2.1 波函数的统计解释
2.1波函数的统计解释
粒子在t时刻,出现在点( x, y, z )处的单位体积几率, 即几率密度为: w( x, y, z , t ) C ( x, y, z , t ) C ( x , y , z , t ) d 1 C 1
2 2
( x, y, zt )
2
令 ( x, y, z , t) C (x, y, z , t ), 在t时刻,在(x, y, z )点附近的体元 d内找到粒子的几率为 : dW ( x, y, z , t ) ( x, y, z , t ) d 几率密度是: w( x, y, z , t ) ( x, y, z , t )
(下一页)
1926年,德国物理学家玻恩(Born , 1882--1972) 提出了德布罗意波的统计解释,认为波函数体现了发
现粒子的概率(几率),这是每个粒子在它所处环境
中所具有的性质。
(下一页)
由此 , * 代表单位体积内发现一个粒子的 几率,因而称几率密度。 这就是德布罗意波函数的 物理意义。 玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。 经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间 分布做周期性的变化,是可测量的。 玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测 量的 ,一般是 。它的含义是几率。
2 2 2
所以,归一化为: (x, y, z, t)d 1
对几率分布来说,重要的是相对几率分布。故
和 C描述的相对几率分布是完全相同的。
经典波的波幅如增加一倍,则相应的波动能量
将为原来的四倍,代表了不同的波动状态。
(下一页)
用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 (2)入射弱电子流 • 概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认 识争论至今未息。
量子力学第二章小结.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x , x 0, x a
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 ( 2)
i p r (r , t )e dxdydz
1 C ( p, t ) ( 2)3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p
在一维情况下,
1 ( x, t ) ( 2)1 / 2
1 C ( p, t ) ( 2)1 / 2
C ( p, t ) e
i p x
dp
( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
2 2
2 k3 2E / 2
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽(增大a)或加高(增大U0) 而减小。
对于任意形状的势垒:
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积,即
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a) U (b) E
2
dxdydz 1
波函数的标准条件:单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ: 几率密度
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
2020/7/31
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
2020/7/31
§2.5 一维谐振子
2020/7/31
§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器,测量过程即相互作用过程,其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子:
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系:
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度,即 ( r , t )
2
结论:
波函数的统计解释:波函数在空间某一点的 强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达: (r , t ) | (r , t ) |
归一化:
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中:
而:
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
《量子力学》课程2
量子力学
通过狭缝,短时间内在感光板上就得到衍射 图样,这显示了电子的波动性。第二种实验 方式是极大地降低电子流强度,让电子几乎 一个一个地通过狭缝,感光时间较短时,感 光点的分布没有规律。一个电子打在感光板 上形成一个亮点,表示电子被接受到,显示 了电子的粒子性。当感光时间足够长时,感 光板得到与短时间内大量电子通过狭缝时的 衍射图样一样的衍射图样。因此,粒子在衍 射实验中所揭示的电子的波动性,可看作是 大量粒子在同一实验中的统计结果,也可以 认为是单个粒子在许
微观粒子的重要性质是波粒二重性,怎 样理解粒子性和波动性之间的联系,这是量 子力学首先碰到的一个根本问题。历史上为 了把二者统一起来,曾有多种说法: (1)粒子由波组成,即把粒子看成波包。这种 说法是错误的。物质波包的观点过分强调了 二重性中的波动性一面。 (2)波由粒子组成。这种观点也是错误的。事 实上单个粒子也有波动性。这种观点过分夸
根据原理一,粒子出现的波动性只是反 映微观粒子运动的一种统计规律性,因此描 述微观粒子的波为几率波。在非相对论情况 下,几率波的概念正确地把实物粒子的波动 性和粒子性统一了起来。
(r , t )
量子力学
(3)波函数满足的条件 由波函数的统计解释可得波函数满足的条件 1)由于粒子在某一时刻在空间某点出现的几 率是唯一的,因此除个别点外波函数应该单 值、有界、连续函数。 2)在非相对论量子力学中,因波函数的统计 解释中只涉及到波函数的振幅,因此存在下 列不确定性 ①常数因子不确定性:若c 为常数,则波函数 c ( r , t ) 和 ( r , t ) 描述的是同一状态。因 为它们的相对几率相同。 i ( r , t ) 与 ( r , t ) e ②相角不确定性:由于
量子力学
第二章 波函数和薛定谔方程
§2.5 一维谐振子
思考题: • 对称性 动量表象
§2.5 一维谐振子
思考题: • n维谐振子体系等间距能级 n个粒子 元激发(elementary exitation) 集合产生湮 灭算符
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
一维非奇性势薛定谔方程的束缚态无简并
第二章 波函数和Schroinger方程
质子在钯中的波函数 /groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.s html
薛定谔 ERWIN SCHRODINGER (1887-1961)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
角度部分的解
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• 勒让德多项式的性质
别名
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
§2.7 势垒贯穿
如果讨论的是势阱而不是势垒,那么只需要作代换
§2.7 势垒贯穿
共振透射的条件和共振能量
§2.8 三维薛定谔方程(辏力场情况)
• • •
• •
辏力 普遍性质 若U(r)处处有界=>波函数处处有界 若U(r)有极小值,则体系平均能量必大于势场 的极小值 能量算符的本征值比大于势场的极小值 若无穷远处势场为零,则能量本征值小于零 的能谱必定是分立谱,对应束缚态
§2.5 一维谐振子
• • Motivation: 数学上: 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学,看物理
《波函数与波动方程》课件
1932年海森堡获得诺贝尔 物理学奖。
举例
1. 设一维粒子具有确定的动量p0,即动量的 不确定度Δp=0. 相应的波函数为平面波
p0 (x) eip0 x/
2
所以 p0 (x) 1 ,即粒子在空间各点的几率 都相同(不依赖于x)。即粒子的位置是完全 不确定,即 Δx=∞ 。
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (12* 1*2 )
P1 P2 2 P1P cos
1 2
1,2 称为波函数(描述粒子波动性的函数 称为波函数),也就是说,接收器上某位置电子 数的多少,将由波函数的模的平方 2 来表征。
空间若有两个波,强度则应由波函数 1 2 的模的平方来描述。
2. 粒子是由波函数 (x,t) 来描述,但波函数并不能 告诉你,t0 时刻测量时,粒子在什么位置。粒子位 置可能在x1,可能在 x2, ,而在 x1 x1 dx 中发现 粒子的几率为 (x1,t0) 2 dx 。
也就是说, (x,t0) 2 在某 x 处越大,则在 时刻
测量发现粒子在该处的机会越多。(这表明,我
但是,这种描述是什么意思呢?它没有回答, 电子是一个个出现的问题;也没有回答,空间 电子稀疏时,但时间足够长后,干涉花纹照样 出现。
几率诠释—几率波
Max Born真正将量子粒子的微粒性和波 动性统一起来。
如电子用一波函数 (x)来描述,则
1. 从上面分析可以看到,在 x x dx 范围内, 接收到电子多少是与 P(x)dx (x) 2 d的x 大小有关;
们讲的是能预言到什么,但我们不能说出测量的
结果)。
我们如何来理解这一点呢?因如果对一个体 系去测量发现粒子可能就处于x1 ,只测得一个值。
量子力学波函数的统计解释
波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面,而抹杀了 粒子的波动性的一面,具有片面性。
(2) 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构,是三维
空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等
波动现象。波包的大小即电子的大小,波包的群速度即电子
的运动速度。
3
§2.1 波函数的统计解释(续3)
必须注意
称为几率密度(概率密度)
(1)“微观粒子的运动状态用波函数描述,描写粒子的波是概 概波”,这是量子力学的一个基本假设(基本原理)。
知道了描述微观粒子状态的波函数,就可知道粒子在空间各 点处出现的概率,以后的讨论进一步知道,波函数给出体系的一 切性质,因此说波函数描写体系的量子状态(简称状态或态)
设粒子状态由波函数 (r , t) 描述,波的强度是
(r ,t) 2 *(r ,t)(r ,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的概率
dW (r ,t) C2 (r ,t) 2 d
这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运
动的一种统计规律性,波函数 r,t 有时也称为概率幅。
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如一个
原子内的电子,其广延不会超过原子大小≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢?是粒子?还是波?
“ 电子既不是粒子也不是波 ”,既不是经典的粒子也不是 经典的波,但是我们也可以说,“ 电子既是粒子也是波,它 是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波,粒子也不是经典概念中的粒子。
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
第二章 波函数与薛定谔方程
W
3.5
3
( x, y, z, t ) dxdydz
2
5、状态迭加——干涉项 i1 i 2 一般,为复函数,如1 10e , 2 20e 2 2 c11 c2 2 c1 1 c2 2 c1 1 c2 2
(8)
这就是薛定谔波动方程。它揭示了微观世界中物质运动 的基本规律,是量子力学的基本假设之一。 二、薛定谔方程的讨论 1、要求
⑴、对粒子的所有状态成立,波动方程系数不能含有状 态参量,如 x, p, L ……
(2)、必须满足迭加原理,即方程对于其解而言是线 性的,当1,2各为其解,则 a1 b2也是其解
•
ψ(r, t)
它描写当粒子不受外力F (r , t )作用,因而E , P不变的 自由粒子运动。
Ae
i ( pr Et )
2、一般 F≠0, 在外力场中,势能 , V ( r , t )
波函数
(r , t )满足薛定谔方程和边界条件称为
• 1、经典波表示 y ( x, t ), E (r , t ), P(r , t )
2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论(低能)情况下,实物粒子(m 0 )没有产生和湮 湮灭的现象,所以在随时间演化的过程中,粒子数目保 持不变(即粒子数守恒)。 对于一个粒子来说,在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变,即
d 3 (r , t ) d r 0 dt
p2 E 2m
(1)
m 是粒子质量,按照德布罗意关系,与粒子运动相联系 2 的波的角频率 和波矢 k( k ),由下式给出
量子力学第二章波函数和方程.
考虑电子双缝衍射
一个电子有 Ψ1 和 Ψ2 两种可能的状 态,Ψ 是这两种状 态的叠加。
Ψ1
S1
电子源
Ψ2
S2
PΨ
感 光 屏
Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子的可能状态。 空间找到电子的几率则是:
|Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
ii1i2i大处到达光子数多i小处到达光子数少无光子到达各光子起点终点路径均不确定用i对屏上光子数分布作概率性描述各电子起点终点路径均不确定对屏上电子数分布作概率性描述电子到达该处概率大电子到达该处概率为零电子到达该处概率小光栅衍射电子衍射expet?如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动他的动量和能量不再是常量或不同时为常量粒子的状态就不能用平面波描写而必须用较复杂的波描写一般记为
电子在晶体表面反射后,电子可
例:
能以各种不同的动量 p 运动。具
Ψp
有确定动量的运动状态用de
Ψ
Broglie 平面波表示
d
p
A exp
i
(
p •
r
Et )
根据叠加原理,在晶体表面反射后,电子的状态Ψ可表示 成 p 取各种可能值的平面波的线性叠加,即
(r , t ) c( p)p(r , t )
|Ψ (r)|2 的意义是代表电子出现在 r 点附近几率的大小, |Ψ (r)|2 Δx Δy Δz 表示在 r 点处,体积元Δx Δy Δz中找到 粒子的几率。波函数在空间某点的强度(振幅绝对值的平方)和在这 点找到粒子的几率成比例,
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律,按与高斯定律截然
不同的波定律分布,呈波样状。
返回
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线,玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率,因此玻恩建议给它取个更恰当的名称- 几率波。
• 经典物理学中,从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
返回
状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述:坐标和动量 • 因果律:已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道:粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
返回
描述波的函数
• 回顾电子的行为:电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成;再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法:电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)(波粒二象性) • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动,确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则:不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则:分子运动不存在不规则性,每一次碰撞,每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别:用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同,量子力学用一个分布来描写系统的行为,
薛定谔方程量子力学基本假设I
d sin d d
⑵波函数的归一化
量子力学第一基本假设告诉我们,| c |2与 | |2 描写 同一微观状态
说明量子力学中波函数描述的是相对几率密度分布 如空间R与R点的相对概率:
| c (r1) |2 | (r1) |2 | c (r2 ) |2 | (r2 ) |2
a
A(
a
1
)2
即归一化的波函数为
(x,t) (
a
1 12x2 i t
)2e 2 2
② (x,t) | (x,t) |2 a ea2x2
③ 由 d 0
dx
a ea2x2 (a2 2x) 0 x 0 时
有极值
d 2
dx2
δ为常数,可取任意常实数值
为了方便,一般规定归一化常数C取正实数。 不讨论相因子(δ=0),即归一化的波函数 不会有相因子的不确定性。
例一
已知一维粒子波函数为 (x,t)
1 2x2 i t
Ae 2 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α
(正数),
为已知常数,A为任意常数。
求:①归一化的波函数
②粒子坐标的几率密度分布
电子的双缝衍射实验中:明暗条纹是波动性的体现
屏上接收的只是一个一个的亮点(电子)→亮纹处(亮点密) →电子投射的数目多→电子投射几率大 取的面积大→里的电子数目多→几率大
因此用来描述具有统计性的物质波的波函数也一定具有统计特点
德国玻恩在1924年提出了波函数的统计解释,即: 波函数的一个重要性质。
③粒子在何处出现的几率最大?
解: ① , 1
2.1波函数的统计解释详解
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
2.3 薛定谔方程
The Schrödinger equation
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
★ 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
P (r , t ) Ae
反例:i)自由粒子平 面波,占据整个空间 ii)色散 群速度: 相速度: apter 2 The wave function and Schrödinger Equation
The linear harmonic oscillator
2.8 势垒贯穿
The transmission of potential barrier
2
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
§2-1 波函数的统计解释
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数的意义和性质的理解
波粒二象性的正确解释
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
1)疏密波的观点(波由粒子组成) 如水波,声波,由物质的分子密度疏密变化而形 成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的,它不能解释长时间单 个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔,但只要时间足够长, 底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性 并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象, 单个电子就具有波动性。
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到,为了表示粒子的波粒二象性,可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的,它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用,它的能量和动量就不再是常量,或者不再都是常量。
这时,粒子就不能用平面波来描写,设这时描写粒子的波是某一个函数,这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态,所以也称为态函数,它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢?对于这个问题,曾经有过各种不同的看法。
例如,将波看作是由它所描写的粒子构成的,这种看法是不对的。
我们知道,衍射现象是由波的干涉而产生的,如果波果真是由它所描写的粒子构成,则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明,在粒子流的衍射实验中,照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关,如果减少入射粒子流强度,即使粒子是一个一个地被衍射,虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的,但当足够长的时间后,如果落在照片上的粒子数基本上保持不变,则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关,衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外,还有其他一些企图解释波函数的尝试,但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释,是由玻恩(Born)首先提出的统计解释:波函数在空间某一点的强度(振幅绝对值的平方)和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释,描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释,很容易理解衍射实验:每一个粒子都具有波性,所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少,则统计性质显示不出来,所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的;如果粒子数目足够大,则在波的强度最大的地方,粒子投射在这里的几率也最大,便出现衍射极大,在波的强度最小的地方,粒子投射在这里的几率也最小,便出现衍射极小。
波函数的统计解释
波函数的统计解释波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。
它包含了粒子的可能位置、动量等信息,但并不直接表示物理实体。
波函数的统计解释是指通过波函数计算出的统计规律,用来预测大量粒子的行为。
1.概率解释:波函数的模的平方表示在一些空间点找到粒子的概率。
例如,对于一维运动的粒子,在其中一时刻,波函数的模的平方在一些位置上的积分就给出了粒子在该位置出现的概率。
这一概率解释使得波函数的统计解释与经典物理中的概率概念有了相似之处。
2.叠加解释:波函数的叠加原理使得多个波函数之间可以相互叠加。
这意味着多个波函数所代表的可能状态同时存在,并以一定的概率进行叠加。
这种叠加解释可以用来解释干涉和衍射等现象,这些现象是波粒二象性的体现。
3.线性解释:波函数的时间演化可以通过薛定谔方程进行描述。
根据薛定谔方程,波函数的演化是线性的,即满足叠加率和线性性质。
这一线性解释意味着多个波函数之间可以相互干涉和叠加,形成新的波函数。
4.统计解释:波函数可以用来确定粒子的期望值和方差等统计量。
例如,位置算符对应的期望值可以表示粒子的平均位置,动量算符对应的期望值可以表示粒子的平均动量。
通过对波函数进行数学计算,可以得到这些统计量,并与实验结果进行比较。
5.状态解释:波函数可以表示粒子的状态,包括其位置、动量和自旋等特征。
通过对波函数进行适当的测量,可以得到特定的物理量。
测量过程会导致波函数的坍缩,从而使得粒子的状态变为测量得到的特定值。
这一解释与量子力学的测量原理密切相关。
需要注意的是,波函数的统计解释并不是完美的,它依赖于量子力学中的一些基本假设和数学工具。
例如,波函数的坍缩是一个不可逆的过程,且测量结果具有一定的不确定性。
波函数的统计解释只能给出概率分布等统计规律,而无法提供关于单个粒子行为的具体预测。
总而言之,波函数的统计解释通过描述波函数的数学属性,从而预测大量粒子的行为。
它包括概率解释、叠加解释、线性解释、统计解释和状态解释等多个方面,为我们理解量子力学中的粒子行为提供了重要的物理和数学工具。
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粒子?
波?
“ 电子既不是粒子也不是波 ” “ 电子既是粒子也是波”
粒子和波动二重性矛盾的统一
经典概念粒子 1. 有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性; 2.有确定的运动轨道 3. 每一时刻有一定位置和速度
经典概念波
1. 实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2.干涉、衍射现象,即相干叠加性。
Ψ (r, t) 和 CΨ (r, t) 描述同一状态
这与经典波不同。经典波波幅增大一倍 (原来的 2倍),则相应的波动能量将 为原来的 4 倍,因而代表完全不同的波 动状态。经典波无归一化问题。
归一化常数
若 Ψ (r , t ) 没有归一化,∫ |Ψ (r , t )|2 dτ= A (A 是大于零的 常数),则有
1、经典波描述某物理量在空间分布的周期变化,而几 率波描述微观粒子某力学量的几率分布;
2、经典波的波幅增大一倍,相应波动能量为原来四倍, 变成另一状态;几率波的波幅增大一倍不影响粒子 在空间各点出现的几率,即将波函数乘上一个常数, 所描述的粒子的状态并不改变;
例1:有一微观粒子,沿x轴方向运动,描述其运动的波函数为
(1)
(x,t) 0
(x b / 2, x b / 2)
(x,t) Aexp( iE t) cos(x) (b / 2 x b / 2)
b
其中A为任意常数,E和b均为确定的常数
求:(1)归一化的波函数;(2)几率密度 ?
解:(1)
b/2
|
( x, t )
Born解释(1926年)
电子双 缝衍射 实验
实验结果:
感光时间较短
感光时间足够长
最终
分析及讨论:
底板接收的电 子是一个一个 的完整体
条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
粒子性表现
衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布
波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
常数 C 之值为: C = 1/ ∫ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0, 这是没 有意义的。
注意:自由粒子波函数
不满足这一要求
(r, t )
A
exp
i
∫|(A) 1/2Ψ (r , t )|2 dτ= 1
对归一化波函数仍有一个模为一的因子不定性。若Ψ (r , t )是归一化波函数,那末, exp{iα}Ψ (r , t ) 也是归一化波函数(其中α是实数),与前者描述同一几率波。
也就是说,(A)-1/2Ψ (r , t )是归一化的波函数,与Ψ (r , t )描写同一几率波, (A)1/2 称为归一化因子。
(x,t) 2 exp( iE t) cos(x ) (b / 2 x b / 2)
b
b
(2)几率密度为:
(x,t) (x,t) 2 0
(x b / 2), x b / 2)
(x,t) (x,t) 2 2 cos2 ( x)
b
b
如图所示,在区间(b/2,b/2) 以外找不到粒子。在x=0处找 到粒子的几率最大。
3 在体积 V 内,t 时刻找到粒子的几率为: W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Ψ (r,t)|2 dτ
(2) 平方可积
由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况), 所以在全空间找到粒子的几率应为一,
即: C∫|Ψ (r , t)|2 dτ= 1,
|2
dx
b/2 | (x,t) |2 dx
| (x,t) |2 dx 1
b/ 2
b/2
即: A2 b/2 cos2 (x )dx 1
b/ 2
b
A2 b 1 2
A 2 b
归一化的波 函数为:
(x,t) 0
(x b / 2, x b / 2)
粒子在整个空间出现的几率:
C
2
(x, y, z,t) d 1
C
1
(x, y, z,t) 2 d
概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的
(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2
C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波(概率波Probability Wave)
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性(Wave particle duality) 二、波函数的物理意义
dW d dxdydz dW (x, y, z,t) 2
dW(x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
C为比例常数
几率密度 (x, y, z,t) dW (x, y, z,t) C (x, y, z,t) 2 d
表示某时刻、在空间某点附近 单位体积内粒子出现的几率
(2) 如何体现波粒二象性的? (3) 描写的是什么样的波呢?
(1)波?
1. 波由粒子组成
电子双 缝衍射 实验
实验结果:
单个电子就具有波动性
感光时间较短
感光时间足够长
最终
2. 粒子由波组成 什么是波包?
波包是各种波数(长)平面波的迭加。
电子是波包
实验上观测到的电子,总是处于一个小区域内。例如在一个 原子内,其广延不会超过原子大小≈1 Å 。
某时刻t,在空间某点r处,粒子出现的几
率正比于该时刻、该点处的波函数的模
结论
的平方 r,t2 。
总结: 衍射实验揭示的电子的波动性是: 许多电子在同一个实验中的统计结果,或者是一 个电子在许多次相同实验中的统计结果。
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的,
在此基础上,Born 提出了波函数意义的统计解释。
dW (x, y, z,t) (x, y, z,t) 2 d
(x, y, z,t) (x, y, z,t) 2
2
C (x, y, z,t) d 1
2
(x, y, z,t) d 1 (1)
Байду номын сангаас
2
(x, y, z,t) d 1
(1) ——波函数的归一化条件
满足(1)的波函数——归一化波函数
把 (x, y, z,t) 换成 (x, y, z,t) 的步骤
——归一化(Normalization)
C ——归一化常数
C
1
(x, y, z,t) 2 d
若 (x, y, z,t) 2 d 发散, C=0 则无意义!
经典波和微观粒子几率波的区别:
(三)波函数的性质
(1)几率和几率密度
1 在t时刻,r点,d τ = dx dy dz 体积内,找到由波函数 Ψ(r,t) 描写 的粒子的几率是:
d W( r, t) = C|Ψ (r,t)|2 dτ
C是比例系数。
2 在 t 时刻 r 点,单位体积内找到粒子的几率是
ω( r, t ) = {dW(r, t )/ dτ} = C|Ψ (r,t)|2 几率密度
1 x2
A 1
归一化的波函数为 x
1
1 ix
2)粒子坐标概率密度分布函数为
x
x
x
1
1
x2
3)令x 0 求出,在x=0处概率密度最大 max(0) 1
例2、设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为:
r 点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目
正比于该点附近出现 的电子数目
正比于电子出现在 r 点附近的几率
波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的,在此 基础上,Born 提出了波函数意义的统计解释。
假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述,但意义与经典波不同。
(b / 2 x b / 2)
(x,t) 2
x,t
x
-b/2 o b/2
电子的衍射实验 1.入射电子流强度小,开始显示电子的微粒性,长
时间亦显示衍射图样; 2. 入射电子流强度大,很快显示衍射图样.
电子源
P
P
O
感
Q光
Q
屏
结论:衍射实验所揭示的电子的波动性是许多电子在同一个 实验中的统计结果,或者是一个电子在许多次相同实验中的 统计结果。 在电子衍射实验中,照相底片上
第二章 波函数和薛定谔方程
§1 波函数的统计解释
(一)波函数
自由粒子
A exp
i
(
p•
r
Et)
de Broglie 波
描写粒子状态
的波函数,它 通常是一个复 函数。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动?
(r, t )
量子力学第一条假设
• 3个问题? (1) 是怎样描述粒子的状态呢?
波函数是什么呢?
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢? 物质波既不是机械波,又不是电磁波,而是几率波!
几率波是描写微观体系的统计行为,而不是单个粒子的 单次过程。