第4讲2波函数统计解释态叠加原理
量子力学讲义chapter2波函数的统计解释培训讲学
2020/7/31
• 将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?
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一维方势阱偶宇称能谱图
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一维方势阱奇宇称能谱图
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具有不同的深度 但是宽度相同的方势阱(1)
nxNne1 22x2Hnx
Nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1/22n
1/2 n!
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§2.5 一维谐振子
产生湮灭算符
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§2.5 一维谐振子
➢思考题: • 半壁振子(两种情况)(图)(暂缺)
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§2.5 一维谐振子
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§2.1 波函数的统计解释
➢粒子性 颗粒性(V) 轨道(X)
➢波动性 物理量周期分布(V and X) 将”粒子分布”视为物理量 叠加性->干涉,衍射(V)
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量子力学中的态叠加与叠加原理
量子力学中的态叠加与叠加原理量子力学是研究微观世界的物理学分支，它提供了一种描述量子体系行为的数学表达方式。
其中，态叠加与叠加原理是量子力学的重要概念。
本文将介绍量子力学中的态叠加与叠加原理，并探讨其在现代科技中的应用。
一、态叠加态叠加是指在量子力学中，微观粒子的量子态可以同时处于多个可能的状态之间，以一种线性叠加的形式进行描述。
这种叠加可以用数学上的波函数来表示。
波函数是描述量子体系状态的数学函数，它包含了对粒子位置、动量、自旋等物理量进行测量所能得到的概率分布。
以著名的双缝实验为例，假设我们有一束光，通过两个紧密排列的狭缝后，光线会在屏幕上形成干涉图案。
而在量子力学中，如果我们发送一束单个光子通过双缝，在屏幕上观察到的结果却是干涉图案的积累。
这说明光子在通过双缝时并不确定经过哪个缝，而是以叠加的形式经过两个缝同时到达屏幕。
二、叠加原理叠加原理是量子力学中的基本原理之一。
它指出，在量子体系中，如果存在多个可观测量，那么系统的总态可以表示为这些可观测量各自的本征态的线性叠加。
而进行观测时，系统的态将坍缩到某个可观测量的一个本征态上，对应的结果将以相应的概率出现。
举个例子，我们考虑一个自旋1/2粒子的态。
自旋是一个量子力学中的内禀角动量，可以用“上”（↑）和“下”（↓）两种态来表示。
假设我们对这个粒子的自旋进行测量，那么它的状态可以是“上”的本征态，也可以是“下”的本征态。
根据叠加原理，我们可以将这两个本征态进行线性叠加，得到一个通用的自旋态表示。
三、应用与展望态叠加与叠加原理在现代科技中有着广泛的应用。
其中，量子计算是最为重要的领域之一。
传统计算机使用的是经典比特（bit）作为信息单位，表示0和1两种状态。
而量子计算机则采用量子比特（qubit），可以表示0和1两种经典状态的叠加态。
这使得量子计算机可以进行更高效的计算，解决目前传统计算机无法处理的问题。
除了量子计算，量子通信和量子密码学也是研究的热点。
波函数的统计诠释态叠加原理薛定谔方程粒子
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程， 量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
i (prEt)
(r, t) Ae
i E
t
2
p2 2
15
利用自由粒子
E p2
2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
16
三、薛定谔方程
一般情况下
p2 E U (r)
2
根据能量和动量算符
i 2 2 U (r) t 2
29
En
(n
1 ),
2
n 0,1, 2,...
简谐振子的能谱是等间 隔的, 间距为ħω, 基态能 量不为零, 即零点能量为 ħω/2。
这是微观粒子波粒二象 性的表现，因为“静止 的”波没有意义。
30
厄密多项式
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
递推关系
dHn ( d
式中
p (r)
1
(2)3/ 2
e ipr /
c(p, t )
1
(2)3/ 2
(r,
t
)e
i
pr
dxdydz
13
(r, t )
1
(2)3/ 2
2.2态迭加原理
来描写，按照态叠加原理，电子通过双缝后的状态ψ
可以表示成不同动量P的平面波的线性叠加
(r, t ) c ( p) p (r, t ) (1)
p
其中c(p)为动量P的电子出现的相对几率，由于P可以 连续变化，上式对P求和应以积分代替。
(r, t ) c( p, t ) p (r )dpx dp y dpz (2)
率是完全确定的，即
a1 | c1 |
2
a2 | c2 |
2
例如，某粒子处于 1 3 1 2 3 2 , 处于各态概率？
三、任何态都可看作是不同动量的平面波的叠加
ψ1 ψ2
ψ
在电子衍射实验中，电子通过双缝后，以各种不 同的动量运动。以确定动量 P 运动的状态用波函数
i ( pr Et ) 1 p (r , t ) e 2
也是体系的可能状态，其中c1，c2 …cn …为复数。当体 系处于态时，体系部分处于ψ1，ψ2 …ψn … 中。
二、态叠加与观测结果的不确定性。
量子力学中的这种态叠加，将导致在叠加态下观
测结果的不确定性，例如，某体系处于ψ1态，测量力 学量A所得结果是一确定值a1 ，当体系处于ψ2态，测 量力学量A所得结果是以确定值a2，则在 ψ=c1ψ1+ c2ψ2 该波函数已归一化 所描述的状态下，测量A所得结果，即可能是a1 ，也 可能是a2 ，但不会是另外的值，测得a1 或a2 的相对概
通过缝2的电子的波函数为用表示电子同时穿过缝1和缝2到达屏的状态那么根据态叠加原理可以写成从上面我们可以看出电子穿过双缝后在一点出现的概率密度一般并不等于电子穿过缝1和缝2的概率之和而是等于两者之和再加干涉项
§2.2 态叠加原理
量子力学教案2
§2.1 波函数的统计解释一．波动－粒子二重性矛盾的分析物质粒子既然是波，为什么长期把它看成经典粒子，没犯错误？实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不会表现出来。
到了原子世界（原子大小约1A）,物质波的波长与原子尺寸可比，物质微粒的波动性就明显的表现出来。
传统对波粒二象性的理解：（1）物质波包会扩散，电子衍射，波包说夸大了波动性一面。
（2）大量电子分布于空间形成的疏密波。
电子双缝衍射表明，单个粒子也有波动性。
疏密波说夸大了粒子性一面。
对波粒二象性的辨正认识：微观粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一，这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念下的粒子。
在经典概念下，粒子和波很难统一到一个客体上。
二．波函数的统计解释1926年玻恩提出了几率波的概念: 在数学上，用一函数表示描写粒子的波，这个函数叫波函数。
波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
既描写粒子的波叫几率波。
描写粒子波动性的几率波是一种统计结果，即许多电子同一实验或一个电子在多次相同实验中的统计结果。
几率波的概念将微观粒子的波动性和粒子性统一起来。
微观客体的粒子性反映微观客体具有质量，电荷等属性。
而微观客体的波动性，也只反映了波动性最本质的东西：波的叠加性（相干性）。
描述经典粒子：坐标、动量，其他力学量随之确定；描述微观粒子：波函数，各力学的可能值以一定几率出现。
设波函数描写粒子的状态，波的强度，则在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz的无穷小区域内找到粒子的几率表示为，应正比于体积和强度归一化条件：在整个空间找到粒子的几率为1。
归一化常数可由归一化条件确定重新定义波函数，叫归一化的波函数。
在时刻t、在坐标 (x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几率称为几率密度，用表示，则归一化的波函数还有一不确定的相因子；只有有限时才能归一化为1。
经典波和微观粒子几率波的区别：（1）经典波描述某物理量在空间分布的周期变化，而几率波描述微观粒子某力学量的几率分布；（2）经典波的波幅增大一倍，相应波动能量为原来四倍，就变成另一状态了；而微观粒子在空间出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，将几率波的波幅增大一倍并不影响粒子在空间各点出现的几率，即将波函数乘上一个常数，所描述的粒子的状态并不改变；（3）对经典波，加一相因子，状态会改变，而对几率波，加一相因子不会引起状态改变。
波函数的统计解释-2022年学习资料
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为粒子是由波组成？-比如说，电子是三维空间的物质波包，波包-的 小即电子的大小，波包的速度即电子的-速度，但物质波包是色散的，即使原来的物-质波包很小，但经过一段时间后， 会扩散-到很大的空间去，或者形象地说，随着时间-的推移，粒子将越来越“胖”，这与实验相-矛盾。
电子双缝实验-P1-P2-P12-薄金属片-电子枪-二二二三-磷探-打开-缝二打开-双缝齐开-测屏-二关闭 缝一关闭-段（相同）时间后每个探测器上的电子数目
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-能否认为波是由粒子组成？-粒子的单缝和双缝实验表明，如减小入射粒-子 度，让粒子近似的一个一个从粒子源射-出，实验发现，虽然开始时底片上的感光点-是无规则的，但只要时间足够长， 光点足-够多，底片上仍然会出现衍射条纹。如果波-是由粒子组成，那末，波的干涉、衍射必然-依赖于粒子间的相互 用。这和上述实验结-果相矛盾，实际上，单个粒子也具有波动性-的。
2.1.1波动一粒子两重性矛盾的分析-◆经典波动测是以场量（振幅、相位等）来-描述其运动状态，遵从经典波动 程，波-的能量和动量周期性分布于波所传播的空-间而不是集中在空间一点，即波的能量-动量是空间广延的。波与其 物质体系相-互作用时，可同时与波所在广延空间内的-所有物理体系相互作用，其能量可连续变-化，波满足叠加原理 “非定域”是波动-性运动的特性。
2.1.1波动—粒子两重性矛盾的分析-在经典物理中，粒子和波各为一类宏观体-系的呈现，反映着两类对象，两种 质形-态，其运动特点是不相容的，即具有粒子-性运动的物质不会具有波动性；反之具有-波动◆-综上所述，微观粒子既不是经典的粒子又不-是经典的波，或者说它既是量子概念的 子-又是量子概念的波。其量子概念中的粒子性-表示他们是具有一定的能量、动量和质量等-粒子的属性，但不具有确 的运动轨道，运-动规律不遵从牛顿定律；其量子概念中的波-动性并不是指某个实在物理量在空间的波动：-而是指用 函数的模的平方表示在空间某处-粒子被发现的概率。
量子力学薛定谔方程及理论(2)
分理出变量后，我们很容易给出两个方程解的形式，大大简化 了方程的求解
i - ct df (t ) f (t )满足i =cf (t )，则f (t )可写为f (t )=Ae ， dt
与自由粒子波函数 A e 我们可以知道c=E
所以有 df (t ) i =Ef (t ) dt
2
i ( p r Et )
一维线性谐振子
如果在一维空 间内运动的粒 1 子的势能为 2 ω是常量，则 这种体系就成 线性谐振子
薛定谔方程可写为
V(x) a 0 x
V0
2
x2
d2 1 2 (x)+ 2 x 2 (x)=E (x) 2 dx 2
2
令 =
， =
2E
， = x，则d = dx
d2 则薛定谔方程可写为 2 ( )+ - 2 ( )=0 d
d2 当 时，有 2 ( )- 2 ( )=0 d 2 2 2 其解的形式为 ( )=Ae +Be 2 ， 因为函数有界，所以A 0， ( )=Be 2 ， 2 令 ( )=e 2 H ，对 求二阶导数并化简为 d2 d H( ) H( )-2 + -1 H( )=0 2 d d
2
2
2
(U 0 E ) (x)=0
令 =
2
2
2
(U 0 E )，则 2 (x) 2 (x)=0
则定态方程的解满足以下形式
x =Ae- x +Be x，当x -时，要满足函数的有界性
所以A =0， x =Be x =0 同理，当x +时， x =Ae- x =0
2波函数统计解释态叠加原理
电子和子弹在靶场上的发射情况
返回
电子和子弹在靶场上的分布情况
返回
电子的射击实验－分析
• 老射手的靶子： 机遇法则：无规则失误曲线或高斯曲线。 大量的弹痕集中在靶心周围，只有少量的弹痕分 布在外环。 • 新射手的靶子： 弹痕将杂乱无章，均匀分布在整个靶 子上。 • 电子靶： 从中心到两侧，这个曲线在一起一伏地 振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然 不同的波定律分布，呈波样状。 返回
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。 • 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。 • 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。 • 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为 规则性。 • 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。 • 分子不是子弹，在运动，在互相碰撞，可是却遵从一些全然不 同的法则。 返回
引言
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。 微观体系的运动状态波函数(r,t)随时间变化 的规律遵从薛定谔方程； • 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述 方式。微观体系的力学量由相应的线性厄米算 符表示。基本对应关系是：xx，p i x . 对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于 波函数 的动量算符可以写为 i .系统的状 x 态需要一组完全的力学量集合，代表它们的算 符两两对易；
谨慎的语言
结构化学1.2.4态叠加原理ppt课件
0li*jdx0l*jidx
0 i≠j 1 i=j
一维势相中的波函数构成正交归一的完
全集合。 转至77页
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〔6〕可根据 ψn(x) 求得一系列力学量 a: 能量En
H ˆE ,En2h2,n1,2,3 8m l2
b: 粒x 垐 子x 在,x 箱 n 中(x 的) 位a 置n(x),x ?
x
假设认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动具有固定的自旋角动量m和相应的自旋磁矩u描述电子运动的完全波函数除了包括空间坐标xyz外还包括自旋坐标对于一个具有n个电子的体系其完全波函数应为
(结构化学)1.2.4态叠加原理
假设 Â =a 那么物理量A对于 所描述的状态有确定 的值a 。
假设 Â a 那么物理量A对于 描述的状态没有确定 的值，只能求得它的平均值〈 a 〉。
( 0 ) 0 A c o s 0 B s i n 0 0 A 0
B 0
(l) 0 B sinkl 0 sinkl 0
I II III
24
sinkl 0
kn,(n0,1,2, )
l
n≠0，n也不能为负值。
Bsin n x
l
I II III
25
sinkl 0
kn,(n0,1,2, )
Bsin n x
l B 2
l
2 lsinnlx,E8 nm 2h l2 2,n1,2,3
28
3、解的讨论
〔1〕一维势箱中粒子的波函数，能级和 概率密度分布图
29
〔2〕能量量子化是微观体系的特征
E E n 1 E n (n 8 m 1 ) l2 2 h 2 8 n m 2 h l2 2 (2 n 8 m l1 2 )h 2
量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理
第二章波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理引言这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性2.1、波函数的统计诠释2.1.1、如何描述粒子的波动性自由粒子：自由粒子的波，其频率和波矢都不变，即为平面波，x。
Ψ=Aπ−vtcos2λ如果波沿单位矢量n的方向传播，则:第二章波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、如何描述粒子的波动性。
改为复数形式为，Ψ=，或者Ae⋅−ωi k r tΨ=()i(p⋅r−Et)，Ae这种波称为德布罗意波。
其中，E=hν=ω，hp n k==。
λ场中的粒子：如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。
用一个函数表示来描写这个波，Ψ=Ψ。
(r;t)那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？2.1.2、实物粒子波动性的两种解释(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。
波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。
夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。
(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波类似与空气振动出现的纵波。
然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。
夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。
2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、概率波以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。
•电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。
•电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。
2.1.3、概率波1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理教学时数:2学时教学内容:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理备注教学目的:掌握波函数的统计诠释和态叠加原理教学重点:1、波函数的统计诠释 2、态叠加原理教学难点:对微观客体的描述教学手段、方法:讲授、讨论教学基本内容?1 波函数的统计解释1、波函数如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为:,描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。
,(r,t)问题: (1) , 是怎样描述粒子的状态呢,(2) , 如何体现波粒二象性的,(3) , 描写的是什么样的波呢,2、波函数的解释PPPPOOOOO电子源电子源电子源感感感感 QQQQ光光光光屏屏屏屏(1)两种错误的看法a. 波由粒子组成:如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。
电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。
这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。
事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子(只含一个电子～)中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。
波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。
第2讲波函数的统计诠释态叠加原理基本教学内容备注 b. 粒子由波组成:电子是波包。
把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。
因此呈现出干涉和衍射等波动现象。
波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包,波包是各种波数(长)平面波的迭加。
平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。
如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。
物理-量子态的描述 波函数 量子态叠加原理
四、波函数必须满足的标准化条件：
（1）单值
(r , t ) 2 ——几率密度
(r
,
t)
2
必须单值，通常要求
(r , t)单值。
（2）平方可积：
r,t 2 dV 1 ( 全空间)
除个别孤立奇点外， (r , t) 必须有界。
（3）连续可微 波函数必须满足空间坐标的二阶微分方程，要求波函 数及一阶导数连续。
P1
P2
C1*C2 1* 2
C1C
2*
1
* 2
干涉项：
C1*C2 1* 2
C1C2*
1
* 2
电子双缝干涉实验表明描述电子运动的波函数满足叠加原理。或 者说叠加原理导致了叠加态下观测结果的不确定性，出现了干涉图 样。
它是由微观粒子波粒二象性所决定的。
§2.3 量子态的叠加原理
量子态叠加与经典波叠加联系 量子态叠加在数学形式上与经典波叠加完全相同，但含意截然不同， 差异来源于量子态与经典波物理内涵不同。但它们有相同的表现，相干 叠加会出现干涉或者衍射现象。
§2.3 量子态的叠加原理
用电子双缝干涉说明量子力学中态的叠加导致了在叠加 态下观测结果的不确定性。
电子枪 1
P1
P1 P2
2
P2
Ψ C1Ψ1 C2Ψ2
单开缝1：电子处于1态；
电子的概率分布P P1P1 ΨP122
单开缝2：电子处于2态；
电子的概率分布 P2 Ψ2 2
同开双缝: P ? 2
波函数不仅把粒子与波统一起来，同时以几率幅（几率密度幅）的形 式描述粒子的量子运动状态。
注意
玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不 同的：
态叠加原理
（4）态叠加原理 1 量子态及其表象若体系由归一化的波函数()r ψ 来描述，若测量粒子的位置, 则()2r ψ表示粒子出现在r点的几率密度。
在傅立叶变换下: ()()()33212ip r p er d r ϕψπ-⋅=⎰若测量粒子的动量p, 则测得粒子动量为p的几率密度为()2p ϕ, 同理, 也可以确定其他力学量的测量值的几率分布.故()r ψ 完全描述一个粒子的量子态. ()r ψ称为态函数, 也叫几率波幅.反之, 若体系由归一化的波函数()p ϕ 来描述， 则测量粒子动量为p 的几率为()2p ϕ, 在傅立叶变换下:()()()33212ip r r ep d r ψϕπ⋅=⎰若在位置r点测量粒子, 则测得粒子出现在r点的几率密度为()2r ψ。
这样, ()p ϕ也可完全描述这个粒子的量子态.因此, 我们知道, 对于一个体系, 粒子的量子态可以有多种描述方式, 每种方式对应于一种不同的表象, 它们彼此之间存在着确定的变换关系. 如()r ψ 是粒子态在坐标表象中的表示, 而()p ϕ是同一个状态在动量表象中的表示. 2 态叠加原理若体系由()r ψ 来描述，则2()r ψ（已归一）描述了体系的几率分布或称几率密度。
若单粒子处于()()()()1122,exp ,exp c p t ip r c p t ip r ⋅+⋅ 态中，则测量动量的取值仅为1p 或2p，而不在12p p -之间取值。
对于由大量粒子组成的体系，好像一部分电子处于1p 态，另一部分电子处于2p态。
但你不能指定某一个电子只处于1p 态或只处于2p 态。
即对一个电子而言，它可能处于1p 态（即动量为1p ），也可能处于2p态（即动量为2p ），即有一定几率处于1p 态，有一定几率处于2p态。
由这启发建立量子力学最基本原理之一： A 、 态叠加原理：设体系处于1ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为1a , 若体系处于2ψ态下, 测量力学量A 时, 测得值为2a , 则体系处于1122c c ψψψ=+下, 测量力学量A 时, 测得值只可能为1a 或2a ，并且测得1a 和2a 的几率分别2221c ,c ∝。
波函数及其统计解释
以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种符合标准条件
符合
不符合精选版ppt 不符合
不符合
8
某粒子的 波函数为
归一化波函数
算例
概率密度 概率密度最大的位置
令
求
得
令
求极大值的 x 坐标
得到归一化波函数：
积分得： 解得
另外两个解
处
最大
处题设
概率密度
精选版ppt
若已知势能函数
，应用定态薛定谔方程
可求解出 ，并得到定态波函数
定态问题是量子力学最基本的问精题选，版p我pt 们仅讨论若干典型的定态问题19。
态叠加原理
设
为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。
为它们的线性叠加
即
为复常数
将上式两边对时间 求偏导数并乘以
因
都满足薛定谔方程
即
这表明：
体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。
精选版ppt定态 波函数
积分
中，得
18
续上
所谓“定态”，就是波函数具有
形
式
所描述的状态。它的重要特点是：
其概率密度
与时间无关
定态 波函数
中的
称为 振幅函数
（有时直称 为波函数）。
的函数形式也应满足统计的条件
连续、单值、有限的标准条件；
归一化条件；
对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。
波函数归一化
故在 矢端的体积元
内
发现粒子的概率为
在波函数存在的全部空间 V 中必 能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒 子出现的概率为1。
4态叠加原理 薛定谔方程
当 /2 时，光子被吸收。
当 取其它值时，光子可能通过，也可能被吸收；通 过的概率为 cos 2 ，被吸收的概率为 sin 2 。 注意 通过的光子总是完整的，而不是 cos 2 个。
描述光子状态的波函数是
cos // sin
三、对态叠加原理的说明
1．叠加原理说的是波函数 的叠加，而不是概率密度 w 的叠 加。
叠加系数
* ( r ) d c( p, t ) (r , t ) p
1
2
3/ 2
ipr / (r , t )e dxdydz
1 ipx / c ( p , t ) e dp 一维情况下 ( x, t ) 2 （互为傅里叶变换） 1 ipx / c ( p, t ) ( x , t ) e dx 2
c( p, t ) ( p p)dp c( p, t )
即
1 c ( p, t ) 2
( x, t )eipx / dx
3．一束偏振光通过偏振片
I0
I I 0 cos 2
当 0 时，光子通过，能量不变，偏振方向不变。
一个光子通 过偏振片
多粒子体系的薛定格方程
N 2 2 i i U t i 1 2 i
证明：
1 ipx / e 把 ( x, t )式两边同乘以 (2 )1/ 2 ，并对空间积分，得
1 1 i ( p p ) x / ipx / ( x, t )e dx c( p, t ) e dx dp 2 2
它的正确性要靠实验来证实。
第4讲2波函数统计解释态叠加原理
振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然
不同的波定律分布，呈波样状。
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几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。
• 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。
• 状态在经典和量子力学中的解释 • 态迭加原理内容 • 与经典波的叠加原理的区别 • 电子的衍射解释 • 态迭加原理的应用和推论
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状态在经典和量子力学中的解释
• 经典粒子的状态
• 描述：坐标和动量 • 因果律：已知初始的坐标和动量便可知以后任一时刻的。 • 轨道：粒子的轨道运动与其在任时刻确定的坐标和动量
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。
• 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。
• 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
• 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。
• 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为
规则性。
• 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。
• 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为，
量子力学第二章波函数
第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
态叠加原理
r
'/
h
3
r r'
22
p,t
3
1
r t
e
ipr
dr 3
22
p,t
3
1
r t
e
ipr
dr 3
p,
t
2
d 3rd 3r,
r,t
r
,
,
t
1
2
3
ip
r
r
,
e
p,
t
2
d 3rd 3r,
r,t
r, ,t
1
2
3
ip
r
r
,
e
d p 3
p, t p, t d 3 p ?
2
(x)
引入 函数
定义式: (x)=
0 x0 x=0
x 0
(1)设常量 >0, 则有 xdx xdx 1
(2)对于连续函数 f(x) 有 f x x adx f a
(3)在三维情况下有
1
2
3
ei 2
d p pr
所有“空间频率”平面波的叠加是一个δ函数
二. 态叠加原理
如果1，2，-----，n 都是体系的可能状态， 那么它 们的线形叠加, 也是这个体系的一个可能态 .
c11 c2 2 cn n cn n
n
式中 c1，c2 ，-----，cn是任意常数.
--- 态粒子处于 1， 2，--- n各态的概率分别为|C1|2,|C2|2,…,|Cn|2 （如果上式已经归一化）
粒子n出现在 rn, rn drn 中的概率.
r2, r2 dr2
例 2： 粒子分别以1/3和 2/3的概率, 处于能量为E1和 E2 (E1 E2)
量子力学中的波函数与叠加原理
量子力学中的波函数与叠加原理量子力学是描述微观世界规律的理论体系，它的基础概念之一就是波函数。
波函数在量子力学中扮演了重要的角色，它包含了微观粒子的全部信息，通过对其的研究和求解，我们能够预测和理解微观粒子的行为。
在量子力学中，波函数描述了一个量子体系的状态。
它是一个复数函数，通常用希腊字母Ψ表示。
波函数的平方值表示了在某一给定时间和空间点上找到粒子的概率。
这里的概率并不是传统意义上的频率，而是描述了粒子可能出现在某个位置或具有某种性质的可能性。
叠加原理是波函数的另一个重要概念。
它表明一个物理系统所处的状态可以是多个不同状态的线性组合。
这意味着，当一个物理系统同时处于多个可能的状态时，其波函数可以表示为各个状态波函数的叠加。
例如，在实验中，我们可以通过装置使得电子同时通过两个不同的路径，所以电子的波函数就是两个路径波函数的叠加。
波函数和叠加原理的重要性在于它们揭示了量子世界的一些奇特现象，例如干涉和量子纠缠。
干涉是指当波函数的两个分量相遇时，它们会相互干涉，形成干涉条纹。
这可以通过双缝实验来观察到，当光通过两个狭缝时，它们产生的干涉现象表明光既具有波粒二象性。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关联，即使它们在空间上相隔很远，一个粒子的状态的改变会立即反映在其他粒子上。
爱因斯坦曾经称之为“鬼魅般的遥远联系”。
这种奇特的现象在实验中已经被证实，它源于波函数的叠加原理。
波函数的叠加原理对量子计算和量子信息理论也有重要意义。
量子计算利用了量子叠加的特性，通过对多个可能状态的叠加进行并行计算，可以在某些特定情况下获得超级计算的速度优势。
量子信息理论则研究如何利用波函数的叠加和纠缠来传递和处理信息。
这些研究为未来的量子技术发展提供了基础。
当然，波函数和叠加原理也存在一些争议和不确定性。
例如，波函数的解释一直是个谜题，是否它只是对我们观测到的粒子行为的一种数学描述，还是它本身就代表了物理粒子的真实存在，至今仍没有明确的答案。
2波函数统计解释态叠加原理_2023年学习资料
引言-公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。-微观体系的运动状态波函数平“，t随时间变化-的规律遵从薛 谔方程；-公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述-方式。微观体系的力学量由相应的线性厄米算-符表示。基本 应关系是：X→x,p→--∂-对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作角于-波函数的动量算符可以写为-ih-系 的状-态需要一组完全的力学量集合，代表它们的算-符两两对易；
几率进入物理学-被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分-布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电 波决定电子射中照相-底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称一-几率波。-经典物理学中，从未遇 几率这个名称。牛顿公式不能直接应-用于气体分子的运动。-●-用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这 法则后-面的是牛顿力学的精确定律。-几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。-对于一个分子而 的不规则性当应用于大数量分子时则转化为-规则性。-统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。-分子不是子弹，在运动，在互相碰撞，可是却遵从一些全然不-同的法则。回
电子和子弹在靶场上的发射情况-0-的8o-P-口-r-椒弹-戴维遼-电子波的衍射。-尽管是由于电子群才能形 像，但形成衍射图-的性质却只能认为是单个电子所具有的性质。-返回
电子和子弹在靶场上的分布情况-返回
电子的射击实验一分析-·老射手的靶子：-机遇法则：无规则失误曲线或高斯曲线。-大量的弹痕集中在靶心周围，只 少量的弹痕分-布在外环。-，新射手的靶子：-弹痕将杂乱无章，均匀分布在整个靶-子上。-。电子靶：-从中心到 侧，这个曲线在一起一伏地-振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然-不同的波定律分布，呈波样状。-返回
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电子和子弹在靶场上的发射情况
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电子和子弹在靶场上的分布情况
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电子的射击实验－分析
• 老射手的靶子： 机遇法则：无规则失误曲线或高斯曲线。 大量的弹痕集中在靶心周围，只有少量的弹痕分 布在外环。 • 新射手的靶子： 弹痕将杂乱无章，均匀分布在整个靶 子上。 • 电子靶： 从中心到两侧，这个曲线在一起一伏地 振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然 不同的波定律分布，呈波样状。 返回
波函数的意义之二
• 波函数是描写微观体系的量子状态：量子力学的第一个假设 （实验提出正确公理无法证明）。
• 两个不确定性：具有一个常数因子的不确定性；具有模为1 的因子的不确定性（相角不定性）。 、C、ei 。 • 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为， 这决定了量子力学的根本目的是求出波函数。波函数一般是 复数，它总可以写为： =p½ ei ， 其中是实的相位角。位相是波动过程特有的量，正 是利用了位相，我们才能统一描写物质的粒子性与波动性。 返回
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第二章 波动力学基础
• • • • • • • §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 波函数的统计解释 态叠加原理 薛定谔方程 一维方势阱 一维谐振子 势垒贯穿 氢原子
谨慎的语言
• • 电子竟然使用自己的自由意志，竟然为所欲为。？ 电子首先遵从几率法则，亮环是电子没有击中的地方，说明其 活动受限制。 问题：电子离开电子源飞过晶体隔板，受晶体的反射然后飞向 照相底片。 经典物理学预言：角度、距离、速度。确定电子击中的地方。 量子力学——谨慎的语言：“我也说不准它会到哪里，但它击 中暗环的可能性最大，击中灰区环的可能性次之，击中亮环简 直没有什么可能性。” 比喻的例子：气象员的预报： 人们接受：明天晴，温度10～20℃。 人们不接受：明天热，无雨，上午8点11 ℃；10点18 ℃；12 点20 ℃；下午3点16 ℃。下午3点在某某区域上方有乌云，面 积为多少平方米，并以每小时11公里速度向西北方向移动。 气象学远远做不到这样能精确地预测完善的天气。量子力学也 是一样的困难，而且更困难。返回
• 量子态
• 描述：波函数 • 几率律：已知初始的波函数便可知以后任一时刻的波函 数，便知任时刻的任何力学量的几率分布和平均值。 • 无轨道：说粒子在某一位置的动量等于多少是没有意义 的。
返回
态叠加原理
c1 1 c2 2 c3 3 ... ci i
iHale Waihona Puke 态迭加原理内容• 公设一：量子力学对物质系统的描述方式。 微观体系的运动状态由相应的波函数(r,t) 完全描述，归一化的波函数是几率波振幅；
引言
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。 微观体系的运动状态波函数(r,t)随时间变化 的规律遵从薛定谔方程； • 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述 方式。微观体系的力学量由相应的线性厄米算 符表示。基本对应关系是：xx，p i x . 对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于 波函数 的动量算符可以写为 i .系统的状 x 态需要一组完全的力学量集合，代表它们的算 符两两对易；
r-wt)=Aei(p· r-Et)/ћ p(r,t)=Aei(k· 返回
波函数的意义之一
• • • • •
几率、几率波和几率密度的概念 波函数在空间中某一点的强度（大小等于 振幅绝对值的平方）和在该点找到的粒子 的几率成正比。 I=|(r,t)|2 几率总和等于1。 |(r,t)|2d=1 描写粒子的波应该是一种几率波。 t时刻在点(x,y,z,t)附近单位体积内找到 粒子的几率称几率密度w(x,y,z,t)。 w(x,y,z,t)=dW(x,y,z,t)/d=C|(x,y,z,t)|2 波函数的归一化
波函数的意义之一
• 波函数的归一化。 dW(x,y,z,t)=1C|(r,t)|2d=1 常数因子C为：C=1/|(r,t)|2d。 归一化条件：|(r,t)|2d=1，或 *d=1，为归一化波函数。 并不是所有的波函数都能按照上面的归一化 条件归一化，例如p(r,t)=Aei(pr-Et)/ћ，但 |(r,t)|2仍和几率成正比。 • 例子 ：
• 当1，2，3，„，n，„都是体系的波函数或状态 时，它们的线性叠加：=c11+c22+c33+„+cnn+„ 也是体系的一个可能的运动状态。 • 当体系处于这个叠加态时，一方面同时有处于态1， 2，3，„，n， ，„的各一定的可能性（各自以一 定的几率处于各态中）；另一方面，这个叠加态也是体 系的单纯一个态，由这个态的波函数的绝对值平方决定 粒子坐标的几率分布。注意式中的系数都是复常数，与 时间无关。 • 反过来说，如果体系的态可以表示为许多态的线性 叠加ncnn，则这些叠加的态1， 2，3，„， n， „也是体系的可能状态。 返回
• 比较讨论：氢原子的电子运动轨道状态的迭加属于经典还是量子？ (在这假设玻尔理论的轨道概念正确) 返回
氢原子的剖面图
• 经典：电子的一个可能 圆运动轨道和另一个可能 圆运动轨道可以合成出电 子新的一个可能圆运动轨道。 • 量子的叠加：合成的新 结果不是新的轨道，而是 部分地处于合成部分的轨道。
返回
波函数的意义之一
• 例子：一维运动的粒子处于状态中 Ψ(x)=Axe-λx(x>0)、0(x<0)运动，其中λ>0 ，A为待定的归一化常数，求：A；粒子坐 标的几率分布函数。 • 解：由-|Ψ|2dx=1 有：0|A|2x2e-2λxdx=1 • 所以：A=2λ3/2。 • 粒子坐标的几率分布函数为 P(x)=|Ψ|2=4λ3x2e-2λx(x>0)、0(x<0)。 • 总结：归一一个任意波函数的实际常用方 法：求Ψ*Ψd，令其结果等于1，求得相 关因子大小。
提纲
第四讲 第二章波动力学基础
• 引言 • §2.1 波函数的统计解释 • §2.2 态叠加原理 • 重点与难点 • 作业 结束
引言
• 无法精确定义的基本概念开始：物理系统、 力学变量、态。 • 理论公设(postulate)(异：hypothesis假设、 assumption假定)：自洽、波动性、粒子性
引言
• 公设四：量子力学对物质系统的力学量的 确定方法。它们之间有确定的对易关系 （称为量子条件），因此力学量算符由其 相应的量子条件确定； • 公设五：量子力学对全同多粒子系统的波 函数的特点。全同的多粒子体系的波函数 对于任意一对粒子交换而言具有对称性， 玻色子系的波函数是对称的，费米子系的 波函数是反对称的。（略）
• 三结论
德布罗意的发现将世界上所有的物理现象结合于一个统一的整体 中，这样就在对两个对立的、看起来甚至好象是互相排斥的存在——微粒与 波——之间架起了一座桥梁。统一性发现了，但没有根据认为对立面已经消 失(如测不准原理、隧道效应)。
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。 • 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。 • 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
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§2.1 波函数及其统计解释
• • • • • •
•
德布罗意波是一种几率波 几率进入物理学 谨慎的语言 粒子波和波粒子 描述波的函数 波函数的意义
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德布罗意波是一种几率波 －电子的射击实验
• 现象： 即使射向靶子的电子数目少，也存在着全然没 有击痕的空白区域，而在另一些区域内则密集着击痕，如 果通过击痕密集的区域划一条线，一个个小环将会出现。 电子向底片的射击完全不是漫无目标的。 • 比较： （1）不管是成千个电子同时完成衍射,还是一个电子 接着一个电子去完成它,得到的图样是一样的。 （2）如图是电子和子弹在靶场上的分布情况。 • 分析： 这种波形曲线在射击中从来没有遇见过。每个 电子不依赖于其他电子而独自显示其不寻常的特性，就好 像其他电子不存在似的。 • 结论： 玻恩称这种电子波是一种几率波。 返回
电子的双缝衍射实验－不干预
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电子的双缝衍射实验－干预
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子弹的干涉实验
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态迭加原理的应用和推论
• 电子在晶体面上的反射图样 • 以动量为自变量的波函数与以坐标为自变量的波函数的 关系 • (r,t)与c(p,t)的关系的物理意义： 体系的任何一个由位置确定的波函数(r,t)给定后， 函数c(p,t)也被确定；反过来，体系的函数c(p,t)给定 后，其以位置为自变量的波函数(r,t)也被给定。 c(p,t)是以动量为自变量的波函数(意义在4.1节讲)。 因此(r,t)和c(p,t)是同一个状态的两种不同描述方 式(第四章：它们是体系的同一状态在不同的表象：分 别是坐标表象和动量表象中的波函数)。
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电子在晶体面上的反射
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。 • 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。 • 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。 • 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为 规则性。 • 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。 • 分子不是子弹，在运动，在互相碰撞，可是却遵从一些全然不 同的法则。 返回