第4讲2波函数统计解释态叠加原理

电子和子弹在靶场上的发射情况
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电子和子弹在靶场上的分布情况
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电子的射击实验－分析
• 老射手的靶子： 机遇法则：无规则失误曲线或高斯曲线。 大量的弹痕集中在靶心周围，只有少量的弹痕分 布在外环。 • 新射手的靶子： 弹痕将杂乱无章，均匀分布在整个靶 子上。 • 电子靶： 从中心到两侧，这个曲线在一起一伏地 振荡着。拒绝服从经典定律，按与高斯定律截然 不同的波定律分布，呈波样状。 返回
波函数的意义之二
• 波函数是描写微观体系的量子状态：量子力学的第一个假设 （实验提出正确公理无法证明）。
• 两个不确定性：具有一个常数因子的不确定性；具有模为1 的因子的不确定性（相角不定性）。 、C、ei 。 • 与经典的区别：用统计性完全确定这个状态。 • 和经典力学不同，量子力学用一个分布来描写系统的行为， 这决定了量子力学的根本目的是求出波函数。波函数一般是 复数，它总可以写为： =p½ ei ， 其中是实的相位角。位相是波动过程特有的量，正 是利用了位相，我们才能统一描写物质的粒子性与波动性。 返回
量子力学
主讲：林洁丽
alishalin@
电子与信息工程学院光信息工程系
2012年9月
第二章 波动力学基础
• • • • • • • §2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 波函数的统计解释 态叠加原理 薛定谔方程 一维方势阱 一维谐振子 势垒贯穿 氢原子
谨慎的语言
• • 电子竟然使用自己的自由意志，竟然为所欲为。？ 电子首先遵从几率法则，亮环是电子没有击中的地方，说明其 活动受限制。 问题：电子离开电子源飞过晶体隔板，受晶体的反射然后飞向 照相底片。 经典物理学预言：角度、距离、速度。确定电子击中的地方。 量子力学——谨慎的语言：“我也说不准它会到哪里，但它击 中暗环的可能性最大，击中灰区环的可能性次之，击中亮环简 直没有什么可能性。” 比喻的例子：气象员的预报： 人们接受：明天晴，温度10～20℃。 人们不接受：明天热，无雨，上午8点11 ℃；10点18 ℃；12 点20 ℃；下午3点16 ℃。下午3点在某某区域上方有乌云，面 积为多少平方米，并以每小时11公里速度向西北方向移动。 气象学远远做不到这样能精确地预测完善的天气。量子力学也 是一样的困难，而且更困难。返回
• 量子态
• 描述：波函数 • 几率律：已知初始的波函数便可知以后任一时刻的波函 数，便知任时刻的任何力学量的几率分布和平均值。 • 无轨道：说粒子在某一位置的动量等于多少是没有意义 的。
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态叠加原理
c1 1 c2 2 c3 3 ... ci i
iHale Waihona Puke 态迭加原理内容• 公设一：量子力学对物质系统的描述方式。 微观体系的运动状态由相应的波函数(r,t) 完全描述，归一化的波函数是几率波振幅；
引言
• 公设二：量子力学对物质系统的运动状态规律。 微观体系的运动状态波函数(r,t)随时间变化 的规律遵从薛定谔方程； • 公设三：量子力学对物质系统的力学量的描述 方式。微观体系的力学量由相应的线性厄米算 符表示。基本对应关系是：xx，p i x . 对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于 波函数 的动量算符可以写为 i .系统的状 x 态需要一组完全的力学量集合，代表它们的算 符两两对易；
r-wt)=Aei(p· r-Et)/ћ p(r,t)=Aei(k· 返回
波函数的意义之一
• • • • •
几率、几率波和几率密度的概念 波函数在空间中某一点的强度（大小等于 振幅绝对值的平方）和在该点找到的粒子 的几率成正比。 I=|(r,t)|2 几率总和等于1。 |(r,t)|2d=1 描写粒子的波应该是一种几率波。 t时刻在点(x,y,z,t)附近单位体积内找到 粒子的几率称几率密度w(x,y,z,t)。 w(x,y,z,t)=dW(x,y,z,t)/d=C|(x,y,z,t)|2 波函数的归一化
波函数的意义之一
• 波函数的归一化。 dW(x,y,z,t)=1C|(r,t)|2d=1 常数因子C为：C=1/|(r,t)|2d。 归一化条件：|(r,t)|2d=1，或 *d=1，为归一化波函数。 并不是所有的波函数都能按照上面的归一化 条件归一化，例如p(r,t)=Aei(pr-Et)/ћ，但 |(r,t)|2仍和几率成正比。 • 例子 ：
• 当1，2，3，„，n，„都是体系的波函数或状态 时，它们的线性叠加：=c11+c22+c33+„+cnn+„ 也是体系的一个可能的运动状态。 • 当体系处于这个叠加态时，一方面同时有处于态1， 2，3，„，n， ，„的各一定的可能性（各自以一 定的几率处于各态中）；另一方面，这个叠加态也是体 系的单纯一个态，由这个态的波函数的绝对值平方决定 粒子坐标的几率分布。注意式中的系数都是复常数，与 时间无关。 • 反过来说，如果体系的态可以表示为许多态的线性 叠加ncnn，则这些叠加的态1， 2，3，„， n， „也是体系的可能状态。 返回
• 比较讨论：氢原子的电子运动轨道状态的迭加属于经典还是量子？ (在这假设玻尔理论的轨道概念正确) 返回
氢原子的剖面图
• 经典：电子的一个可能 圆运动轨道和另一个可能 圆运动轨道可以合成出电 子新的一个可能圆运动轨道。 • 量子的叠加：合成的新 结果不是新的轨道，而是 部分地处于合成部分的轨道。
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波函数的意义之一
• 例子：一维运动的粒子处于状态中 Ψ(x)=Axe-λx(x>0)、0(x<0)运动，其中λ>0 ，A为待定的归一化常数，求：A；粒子坐 标的几率分布函数。 • 解：由-|Ψ|2dx=1 有：0|A|2x2e-2λxdx=1 • 所以：A=2λ3/2。 • 粒子坐标的几率分布函数为 P(x)=|Ψ|2=4λ3x2e-2λx(x>0)、0(x<0)。 • 总结：归一一个任意波函数的实际常用方 法：求Ψ*Ψd，令其结果等于1，求得相 关因子大小。
提纲
第四讲 第二章波动力学基础
• 引言 • §2.1 波函数的统计解释 • §2.2 态叠加原理 • 重点与难点 • 作业 结束
引言
• 无法精确定义的基本概念开始：物理系统、 力学变量、态。 • 理论公设(postulate)(异：hypothesis假设、 assumption假定)：自洽、波动性、粒子性
引言
• 公设四：量子力学对物质系统的力学量的 确定方法。它们之间有确定的对易关系 （称为量子条件），因此力学量算符由其 相应的量子条件确定； • 公设五：量子力学对全同多粒子系统的波 函数的特点。全同的多粒子体系的波函数 对于任意一对粒子交换而言具有对称性， 玻色子系的波函数是对称的，费米子系的 波函数是反对称的。（略）
• 三结论
德布罗意的发现将世界上所有的物理现象结合于一个统一的整体 中，这样就在对两个对立的、看起来甚至好象是互相排斥的存在——微粒与 波——之间架起了一座桥梁。统一性发现了，但没有根据认为对立面已经消 失(如测不准原理、隧道效应)。
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描述波的函数
• 回顾电子的行为：电子的衍射说明电子波不是由 粒子形成；再回顾玻尔理论遇到的困难—无法解 释电子的跃迁过程(光谱产生的过程)。 • 解决办法：电子的行为用波函数表示。这波函数 的自变量为电子的坐标和时间。因为由该波函数 应该可以得到粒子的状态。 • 定义—复函数(r,t)（波粒二象性） • 例子—自由运动的粒子
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§2.1 波函数及其统计解释
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德布罗意波是一种几率波 几率进入物理学 谨慎的语言 粒子波和波粒子 描述波的函数 波函数的意义
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德布罗意波是一种几率波 －电子的射击实验
• 现象： 即使射向靶子的电子数目少，也存在着全然没 有击痕的空白区域，而在另一些区域内则密集着击痕，如 果通过击痕密集的区域划一条线，一个个小环将会出现。 电子向底片的射击完全不是漫无目标的。 • 比较： （1）不管是成千个电子同时完成衍射,还是一个电子 接着一个电子去完成它,得到的图样是一样的。 （2）如图是电子和子弹在靶场上的分布情况。 • 分析： 这种波形曲线在射击中从来没有遇见过。每个 电子不依赖于其他电子而独自显示其不寻常的特性，就好 像其他电子不存在似的。 • 结论： 玻恩称这种电子波是一种几率波。 返回
电子的双缝衍射实验－不干预
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电子的双缝衍射实验－干预
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子弹的干涉实验
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态迭加原理的应用和推论
• 电子在晶体面上的反射图样 • 以动量为自变量的波函数与以坐标为自变量的波函数的 关系 • (r,t)与c(p,t)的关系的物理意义： 体系的任何一个由位置确定的波函数(r,t)给定后， 函数c(p,t)也被确定；反过来，体系的函数c(p,t)给定 后，其以位置为自变量的波函数(r,t)也被给定。 c(p,t)是以动量为自变量的波函数(意义在4.1节讲)。 因此(r,t)和c(p,t)是同一个状态的两种不同描述方 式(第四章：它们是体系的同一状态在不同的表象：分 别是坐标表象和动量表象中的波函数)。
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电子在晶体面上的反射
几率进入物理学
• 被晶体发射的电子在照相底片上留下痕迹。这些痕迹形成的分 布曲线，玻恩建议称为德布罗意波。电子波决定电子射中照相 底片上的某点的几率，因此玻恩建议给它取个更恰当的名称－ 几率波。 • 经典物理学中，从未遇到几率这个名称。牛顿公式不能直接应 用于气体分子的运动。 • 用几率法则、统计法则描述气体运动，确信深藏在这些法则后 面的是牛顿力学的精确定律。 • 几率法则：不可能设想每一瞬时所有分子都具有相同的速度。 对于一个分子而言的不规则性当应用于大数量分子时则转化为 规则性。 • 统计法则：分子运动不存在不规则性，每一次碰撞，每一个分 子的个别运动都可以用牛顿定律表述出来。 • 分子不是子弹，在运动，在互相碰撞，可是却遵从一些全然不 同的法则。 返回