15-7波函数 玻恩统计解释
物质波函数
a A2 sin2 x dx A2a 1
0
a
2
A
2 a
0
2
2 a
sin2 x
a
(x 0, x a) (0 x a)
15-8 量子力学简介
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学，并建立 了量子力学的近似方法 .
t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
2 dV dV dV dxdydz
2 dxdydz 1 波函数归一化条件 V
如果波函数不是归一化函数， 2 仍然和几率 成比例，称为相对几率密度
3 、波函数的标准条件：单值、有限和连续
Ⅰ.波函数的单值性
dV
1
归一化条件
若
A r 2d3r A
则
1 A
Ar2d Nhomakorabea3
r
1
( 全空间)
Ⅳ.波函数的连续性
1 归一化因子
A
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数 是连续的
以上要求称为波函数的标准化条件
物质波与经典波的本质区别
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。 2 可测量，具有物理意义
波函数物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般 是不可测量的。
波函数模的平方 2 可测量，具有物理意义
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
（2）归一化波函数模的平方表征了t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率(几率）密度
§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。
1954年诺贝尔物理学奖——波函数的统计解释和用符合法作出的发现
1915年玻恩去柏林大学任理论物理学教授，并在那里与普朗克、爱 因斯坦和能斯特并肩工作，玻恩与爱因斯坦结下了深厚的友谊，即使 是在爱因斯坦对玻恩的量子理论持怀疑态度的时候，他们之间的书信 见证了量子力学开创的历史，后来被整理成书出版。玻恩在柏林大学 期间，曾加入德国陆军，负责研究声波理论和原子晶格理论，并于 1915年发表了他的第一本书《晶格动力学》（Dynamik der Kristallgitter），该书总结了他在格丁根开始的一系列研究成果。
1930年代，他发现用α粒子轰击铍所产生的射线，是一种全新的，比伽 马射线具有很强穿透力的高能射线，这直接导致了1932年詹姆斯·查德 威克发现中子。
1941年，博特和Peter Jensen发表了对石墨的中子吸收实验结果，然而 由于他们得出的结论错误，阻止了德国在二战中的核计划的进展。博 特一直认为自己是个爱国主义者，并且认为他不需要因为在二战中帮 助德国研发武器而道歉。二战期间的1943年，博特完成了德国的第一 台粒子回旋加速器，1953年被授予马克斯·普朗克奖章。
1932年接替菲利普·莱纳德任海德堡大学物理研究所主任，同时开始 在马克斯-普朗克学会工作，1934年成为海德堡的马克斯-普朗克医学研 究所主任。第二次世界大战结束时，回到海德堡大学物理系任教，直 到患病迫使他减少工作强度，但他仍继续指导马克斯·普朗克物理研究 所的工作，直到1957年2月8日在海德堡逝世。
(2021年整理)量子力学讲义4
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第二章 波函数和薛定谔方程§2-1 波函数（Wave Function ）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。
可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。
第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（152.810m -⨯）中.计算表明，该波包的寿命大约只有261.610s -⨯，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了,此即所谓波包发散的困难。
这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性.另一种观点认为:运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。
这种看法也与实验矛盾.实际上，在电子的衍射实验中,不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到电子的衍射图案。
这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。
2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：(1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。
波函数的统计诠释
w
1 0 (x) dx
0
0 (x) dx .
33
0(x)
1/2
ex p1(2x2)
2
exp(2)d
w
1
exp(2)d
16%
0
经典允许区
.
34
n=10时线性谐振子的位. 置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
.
36
2m 2
定态薛定谔方程
2 m 2d d2 2x(x.)1 2m2x2
(x)E(x)
27
令
m xx,
m
d2 d2
(2)
0
2E
首先考虑方程的渐近解
dd22 20,
~ e 2 / 2
.
28
因为波函数在无穷远处为有限，
~ e 2 / 2
2
e 2 H()
代入薛定谔方程，得
dd2H 2 2ddH(1)H0
n(r,t)n(r)eiEnt
(r,t) cn n(r)eiEnt
n
.
22
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U(x)
0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, xa
.
23
（2）阱内（a> x > -a）
c1 1c2 2 c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
波函数及其统计解释
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
波函数及其统计解释
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
波函数及其统计解释资料课件
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
量子力学波函数的统计解释
波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了 粒子的波动性的一面，具有片面性。
（2） 粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维
空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等
波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子
的运动速度。
3
§2.1 波函数的统计解释（续3）
必须注意
称为几率密度(概率密度)
（1）“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概 概波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）。
知道了描述微观粒子状态的波函数，就可知道粒子在空间各 点处出现的概率，以后的讨论进一步知道，波函数给出体系的一 切性质，因此说波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）
设粒子状态由波函数 (r , t) 描述，波的强度是
(r ,t) 2 *(r ,t)(r ,t)
则微观粒子在t 时刻出现在 r 处体积元dτ内的概率
dW (r ,t) C2 (r ,t) 2 d
这表明描写粒子的波是几率波(概率波),反映微观客体运
动的一种统计规律性，波函数 r,t 有时也称为概率幅。
实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个
原子内的电子，其广延不会超过原子大小≈1
0
A
。
电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？
“ 电子既不是粒子也不是波 ”，既不是经典的粒子也不是 经典的波，但是我们也可以说，“ 电子既是粒子也是波，它 是粒子和波动二重性矛盾的统一。”
这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
波函数
2
Ψ = EΨ
(2) )
方程( ) h 代入 方程(2)得:
8
2m 令 ω = 2mE
解为: 解为:
ψ
dψ + 2 = ωψ 0 2 dx (x) = A cos ( ωx + )
由边值条件: 由边值条件: ψ (0) =ψ (a) = 0
= ±π cos =0,
波函数为: 波函数为: 2
ψ (x) = A sin ωx
Ψ
2
dV = Ψ (x,y,z,t) dz dy dz
2
Ψ (x,y,z,t) . Ψ *(x,y,z,t) dzdydz =
粒子在 t 时刻,在 时刻, (x,y,z) 处单位体积出现 的几率, 几率密度为 的几率,即几率密度为:
Ψ
2
Ψ .Ψ * =
这就是玻恩对波函数的统计解释 . 这就是玻恩对波函数的统计解释
Ψ ( x ,t ) = o e Ψ
h ( Et
i
px )
其中波函数模的平方为: 其中波函数模的平方为: 2 .Ψ * Ψ =Ψ = Ψo e
i (Et-px) h
. Ψo e
+ i (Et-px)
h
Ψ o2 =
统计解释:电子的衍射实验为例 统计解释:电子的衍射实验为例:
一个一个电子依次入射双缝的衍射实验: 一个一个电子依次入射双缝的衍射实验:
h Ψ = i Ψ h 2 2m
2 2
2. 粒子是在有势力场中 在有势力场中粒子的总能量为: 在有势力场中粒子的总能量为: p2 E = 2m + U (x,t ) 2 p2 Ψ Ψ = i EΨ = h 2Ψ x 2 h t 2 2 h Ψ +U(x,t ) = i h Ψ ∴ Ψ 2 2m x t 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 这是势场中一维运动粒子的含时薛定谔方程 三维运动粒子的薛定谔方程: 三维运动粒子的薛定谔方程: 2 2 2 2 h Ψ Ψ Ψ U Ψ + + Ψ =i h t + 2 2 2 2m x y z
2.1波函数的统计解释.
粒子在整个空间出现的几率：
C
2
(x, y, z,t) d 1
C
1
(x, y, z,t) 2 d
概率波(x, y, z,t)和 C(x, y, z,t) 的相对概率是相同的
(x1, y1, z1, t) 2 (x2, y2, z2 ,t) 2
C (x1, y1, z1, t) 2 C (x2 , y2 , z2 ,t) 2
电子在空间出现的概率 分布显示了电子运动的 波动性
电子出现的概率分布规律 表现为波强度的分布规律
德布罗意波或物质波（概率波Probability Wave）
微观粒子的波动性乃是粒子统计运动规律的一种特殊表现 粒子保持完整的颗粒结构在空间以概率波的形式运 动的性质——波粒二象性（Wave particle duality） 二、波函数的物理意义
常数 C 之值为： C = 1/ ∫ |Ψ (r , t)|2 dτ
这即是要求描写粒子量子 状态的波函数Ψ必须是绝 对值平方可积的函数。
若 ∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ ∞, 则 C 0, 这是没 有意义的。
注意：自由粒子波函数
不满足这一要求
(r , t)
A exp
i
波函数是什么呢？
2 与粒子(某时刻、在空间某处)出现的几率成正比
物质波是什么呢？ 物质波既不是机械波，又不是电磁波，而是几率波！
几率波是描写微观体系的统计行为，而不是单个粒子的 单次过程。
结论
对微观粒子，讨论其运动轨道是没有意义 的。波函数反映的只是微观粒子运动的统计规
律。
宏观物体：讨论它的位置在哪里 区别
电子双缝衍射
第14讲 玻恩的统计解释
设粒子的质量为
m，通
S
*
过水平臂 2 的时间为 T，
1
2 M
P H M2
求这一相移。
解：在引力场中，机械能守恒
1 mv 2 + mgz const.
M1
P
2 视重力加速度为常数
g1
H
S mvdv mgdz mgH *
Dv gH
2
M
M2
v
设粒子通过水平臂 2 的时间为 T，
则波程差为 DvT
Dv gH v
设粒子通过水平臂 2 的时间为 T，
则波程差为 DvT
h h
M1
P
p mv
DfCOW
2π DvT
2pmgH/h
g1
S
*
2 M
H M2
第14讲 玻恩的统计解释
小 1. 德布罗意波是一种概率波。
结 2. 波函数(r，t)：描述实物粒子运动状态的数学
表达式。
波函数统计诠释：实物粒子的波函数在给定时刻
在空间某点的模平方
|
， 2
|
表示该时刻在该点附近出现粒
子的概率密度。
波函数满足条件：单值、连续、有限。
(r，t)2dV 1
V
3. 波函数的性质
(1) (r，t)与C (r，t)表示微观粒子的同一状态。
(2) 态叠加原理
若体系具有一系列不同的可能状态 1，2， 3，···，则它们的线性组合 C11 + C22 + C33 + ···也是该体系的一个可能的状
态。其中 C1、C2、C3、···为任意复常数。
[Q4.14.1] 若粒子 1 处于 y1 态，粒子 2 处于 y2 态，那么由粒子 1 和粒子 2 组成 的体系的态是否是 y1 + y2？
2.1 波函数的统计解释
P
电子源
P
O Q
感性是： 结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果， 许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是 一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的， 波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础 正是为了描述粒子的这种行为而引进的 上，Born 提出了波函数意义的统计解释。
(x, y, z,t ) =
Cϕ
(x, y, z,t )
(2.1-5) (2.1-
则在t时刻， 点 体积内， 则在 时刻，r点，dτ体积内，找到由波函数描写的粒子的几率是： 时刻 体积内 找到由波函数描写的粒子的几率是：
几率密度
ω
(x, y, z,t ) = ψ (x, y, z,t )
2
(2.1-6)
由于粒子在空间总要出现 所以在全空间找到粒子的几率 应为一， 应为一，即： dτ=1, C∫∞|Φ(r,t)|2 dτ=1, 从而得常数C之值为： 从而得常数C之值为： C = 1/∫∞|Φ(r,t)|2dτ (r,t)| (2.1(2.1-3) (2.1(2.1-4)
归一化波函数
CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的 所描写状态的相对几率是相同的， Ψ(r,t) 和CΨ(r,t)所描写状态的相对几率是相同的，这 里的C是常数.因为在t时刻,空间任意两点r 里的C是常数.因为在t时刻,空间任意两点r1 和r2 处找到粒 子的相对几率之比是： 子的相对几率之比是：
描述，与光学相似， 假设衍射波波幅用 Ψ (r) 描述，与光学相似， 描述， 衍射花纹的强度则用 |Ψ (r)|2 描述，但意义与经典波 不同。 不同。 的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小. |Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小. 点处, 确切的说 |Ψ (r)|2ΔxΔyΔz 表示在 r点处,体积元 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率 中找到粒子的几率。 ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找 波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方） 到粒子的几率成比例. 到粒子的几率成比例. 据此，描写粒子的波可以认为是几率波， 据此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微 观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称 观客体运动的一种统计规律性，波函数Ψ(r)有时也称 Ψ(r) 为几率幅。这就是首先由 Born 提出的波函数的几率解 为几率幅。 释，它是量子力学的基本原理。 它是量子力学的基本原理。
2.1波函数的统计解释详解
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
1.波函数本身没有直接的物理意义，并不像经典波那样代表什么 实在的物理量的波动，而波函数模的平方
C (r , t )
2
C ( r , t ) ( r , t )
则表示t时刻粒子在空间r 点出现的概率密度 （即在r 点附近单位体积出现的概率） 2.C|Ψ(r)|2 ΔxΔyΔz 表示在 r 点处，在体积元ΔxΔyΔz 中找到粒子的几率。C是比例系数。波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）宇在这点找到粒子的几率成比例，
最终
分析及讨论： 底板接收的电 子是一个一个 的完整体 条纹由大量电 子密集与稀疏 有规律交替出 现形成
Chapter 2 The wave function and Schrödinger Equation
粒子性表现 衍射波的强度分布对应于 电子数的密度分布 波动性表现
电子聚集密度的分布决定 于单个电子在底板上出现 概率的分布
波由粒子组成的看法，夸大了粒子性的一面，而抹杀
了粒子的波动性的一面，具有片面性。
2）物质波包的观点（粒子由波组成） 这种观点认为，电子本身就是一种波包。把电子 波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分 布的某种物质波包，因此呈现出干涉和衍射等波动现 象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子 的运动速度。 什么是波包？
2
全
1 ψ ( r ) d 3r 1 A
1 1 (r )与 (r )描述同一个波函数 , 为归一化因子 A A
归一化条件消除了波函数常数因子的一种不确定性。
注
意
（1）归一化后的波函数 (r , t ) 仍有一个模为一 i 的因子 不定性（ δ为实数）。 e i r , t e 若 是归一化波函数，那么 r ,t 也是归一化波函数，与前者描述同一概率波。
浅谈对玻恩的量子力学统计解释的一点看法
浅谈对玻恩的量子力学统计解释的一点看法09物本郑默超Einstein不但是相对论的奠基人，而且也是量子力学的主要创立者之一，量子力学的哲学基础是Einstein实证哲学观的体现。
关于光的波粒二象性，Einstein从统计观点作了解释，即光的波动性可看作是大量光子运动时表现出的统计规律性，光波振幅大因而光强大的地方，光子到达的概率大，或者严格一点说，光子在该处单位体积中出现的概率大，即概率密度大。
微观粒子遵从的规律是概率性的。
Einstein讲：“根据目前的量子理论，在辐射损耗的基本过程中，分子要经受一个数量上为hv/c而方向上“随机”的反冲。
”对量子力学解释的统计观点认为，量子力学对客观世界的描述只能是统计性的，而不是决定论的，也不能描述单独发生的事件．最早提出这概念的是玻恩，1926年他写了一篇不到5页的文章——“论碰撞过程的量子力学”，认为波函数服从统计原理，波函数模量的平方代表粒子出现的概率．值得说明一点的是，玻恩的观点最早也为玻尔、海森伯等人所接受，就其哲学思想来说和哥本哈根学派是一致的，但在量子力学解释的看法上却是有差别的，尽管都承认概率的概念，但哥本哈根学派认为这种概率可以描述单个事件，而这里所说的统计解释则刚好否认这一点．在这一点上Einstein的观点是与玻恩一致的．玻恩受Einstein思想的启发，认识到可以通过概率的途径将“粒子与波”合理地联系起来．“概率”一词意味着可能性程度，概率也叫几率、可能率、或然率，这许多名词都是同一个意思．要正确理解玻恩的概率解释，关键在于分清两个关系：一个是波与粒子(例如，电子)的关系，另一个是单个粒子(例如，电子)与粒子总体(例如，电子流)的关系．为了说明玻恩的概率的解释，我们可以结合具体的电子衍射实验．在这一实验中，可以得出电子-电子流-波三者之间的有机联系．在实验中，人们控制电子束，使电子一个一个地穿过薄晶片再射到照相底片上．实验结果是：单个电子虽然能绕射到几何阴影区内，却只能完全随机地形成一个个斑点(一个电子对应一个斑点)，不能直接生成衍射图样；然而作为许多个电子累积的统计总和的粒子全体则可以得到衍射图样，这个图样显示出电子的波动性．从波动观点看，底片上衍射极大处，波的强度(即振幅平方)较大；从粒子观点看，单个粒子在某处的出现是随机的，但粒子总体则满足统计规律．在这里，可以用统计观点看待单个粒子与粒子总体的联系，并将波的观点与粒子观点结合起来了，但这里的波是特殊意义的波，因而被称为“概率波”．这种对物质波衍射与实物粒子的波粒二象性的理解，称作统计解释或概率解释．Bohr讲“在定态中系统的动力学平衡可以借助普通力学来讨论，但不同定态之间的过渡不能在同样基础上考虑。
量子力学的玻恩几率解释
量子力学的玻恩几率解释
玻恩几率解释是一种解释量子力学的方法，它是由德国物理学家玻恩提出的。
根据量子力学，粒子的位置和动量的值是不确定的，取决于其波函数的性质。
玻恩几率解释认为，波函数的平方是一个粒子出现在某个位置的概率，而不是一个实际存在的波。
换句话说，玻恩几率解释认为粒子没有明确的位置，而是存在于可能性的集合中，波函数的平方给出了它出现在不同位置的概率。
因此，量子力学的玻恩几率解释强调的是概率与唯一性的原则，而不是确定性和可知性。
虽然玻恩几率解释在解释量子力学方面具有重要意义，但它并不涉及更深层次的哲学或本质问题。
因此，在当代物理学中，玻恩几率解释往往被视为量子力学的一种临时性解释。
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为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
2 2 i 2 2m x t
一维自由粒子
一般是不可测量的。
可测量，具有物理意义
物质波是概率波。
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
2
第十五章
量子物理
3
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
M.玻恩（Max Born，1882— 1970）德国理论物理学家. 在物理学中的主要成就是 创立矩阵力学和对波函数作 出统计解释. 1954年获诺贝尔物理学 奖.
第十五章 量子物理
4
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 . 1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
第十五章 量子物理
5
物理学
第五版
15-7波函数