15-7波函数 玻恩统计解释
物质波函数
a A2 sin2 x dx A2a 1
0
a
2
A
2 a
0
2
2 a
sin2 x
a
(x 0, x a) (0 x a)
15-8 量子力学简介
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家.
1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学，并建立 了量子力学的近似方法 .
t时刻在(x,y,z)附近小体积dV中出现微观粒子的概率为
2 dV dV dV dxdydz
2 dxdydz 1 波函数归一化条件 V
如果波函数不是归一化函数， 2 仍然和几率 成比例，称为相对几率密度
3 、波函数的标准条件：单值、有限和连续
Ⅰ.波函数的单值性
dV
1
归一化条件
若
A r 2d3r A
则
1 A
Ar2d Nhomakorabea3
r
1
( 全空间)
Ⅳ.波函数的连续性
1 归一化因子
A
势场性质和边界条件要求波函数及其一阶导数 是连续的
以上要求称为波函数的标准化条件
物质波与经典波的本质区别
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。 2 可测量，具有物理意义
波函数物理意义
1、物质波是复函数，本身无具体的物理意义，一般 是不可测量的。
波函数模的平方 2 可测量，具有物理意义
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
（2）归一化波函数模的平方表征了t 时刻，空间 (x,y,z)处出现的概率(几率）密度
§16.2 物质波的波函数,玻恩的统计解释
§16.2 物质波的波函数，玻恩的统计解释（一）物质波的波函数ψ（r ，t ）在第三篇§10.1（四）已谈过，一个频率为ν、波长为λ，沿x 轴传播的平面简谐机械波，其中各个质点的振动位移函数y （x ，t ）可表示如下：()λ-νπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡x t 2cos A )t ,x (y 机械波的位移函数单频率平面简谐 （16.2.1） 此式的y 表示：t 时刻、在x 位置的质点，离开平衡位置的位移．A 为质点的振幅．我们曾经用此式计算机械波的能量和干涉现象等． 在第三篇§11.1（一）描述电磁波时，将上式的y 改为电场强度E y 和磁场强度H z ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡电磁波的表式单频率平面 ()()λ-νπ=λ-νπ=x t 2cos H H x t 2cos E E 0z z 0y y利用复数的欧拉公式，可将上述余弦函数与指数函数联系起来❶：〔欧拉公式：〕 （16.2.4）根据上式可把上述机械波和电磁波表式写成复数形式，例如：〔单频率平面机械波的复数表式〕)/x t (2i Ae )t ,x (y λ-νπ-=（16.2.5）表式（16.2.1）就是（16.2.5）复数表式的实数部分．可以设想，物质波的波函数ψ（x ，t ）也可仿照上式写出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x （16.2.6）这里所说自由粒子，指的是没受外力作用的微观粒子，它的总能ε和动量p 都是不变量，与它缔合的物质波的频率ν和波长λ也是不变量．按波粒二象性的关系式（16.1.4）和（16.1.5），可用ε和p 代替（16.2.6）式中的ν和λ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡其物质波的波函数轴运动的自由粒子沿,x 16.2.7）物质波的波函数要用复数表式，其原因请看（16.3.3）式后面的说明．如果自由粒子在三维空间中运动，则上式的px 应改为p ·r ，波函数应写为ψ（x,y,z,t ）或ψ（r ，t ）：⎥⎦⎤⎢⎣⎡自由粒子的波函数在三维空间中运动的 （16.2.8）❶ 同济大学数学教研室主编《高等数学》下册223—224页，1978年版.（16.2.2） （16.2.3）（16.2.12） （16.2.13）（二）物质波波函数的统计解释物质波波函数ψ（r ，t ）的物理意义如何?这在当时有过不少争论．后来，多数物理学家逐渐接受了玻恩于1926年提出的统计解释．在第三篇§11.1介绍光波时，曾经说过光波的强度与它的振幅平方成正比．现在按光子的观点，光的强度与它的光子数成正比，如（15.2.7）式所示．因此，光子数应与它的光波的振幅平方成正比．对于物质波，应与光波有相似的结论：在某一时刻，入射于空间某处的实物粒子数，应与该处的物质波波函数的模的平方成正比．也就是说，在某一时刻，在空间某一地点，粒子出现的几率，正比于该时刻、该地点的波函数的模的平方．用关系式表示如下：在t 时刻，粒子出现在（x,y,z ）处的体积元dV=dxdydz 内的几率∝|ψ(r ，t)|2dxdydz=|ψ(r ，t)|2dV ．在t 时刻，粒出现在（x,y,z ）处的几率密度∝|ψ(r ，t)|2． （16.2.9）虚数不能表示实际的物理量，含有虚数的复数也不能表示物理量．但是，如〔附录16A 〕所示，复数的模是实数，可以表示现实的物理量．如（16.2.9）式所示，用波函数的模的平方可以表示微观实物粒子出现的几率密度（即单位体积内，粒子出现的几率），其表式如下： 〔微观粒子的几率密度〕 （16.2.10）这就是1926年玻恩提出的波函数ψ的统计解释．因此，物质波也称为几率波．用几率来表示微观粒子的运动，包括量子物理的创始人普朗克、爱因斯坦、德布罗意等所迟迟未予确认．因此，延迟20多年，玻恩才于1954年获得诺贝尔奖金．（三）物质波波函数ψ的条件（1）波函数的标准条件在某一时刻t ，在空间某一定点（x,y,z ），微观粒子出现的几率应是唯一的、有限的数值，随着时间和位置的变化，上述几率应是连续变化的．这就要求波函数ψ必须是一个单值、有限和连续的函数．这称为波函数的标准条件．（2）波函数的归一化条件在时刻t ，粒子出现在（x,y,z ）处的几率为|ψ|2dV ．在整个运动空间V 内，粒子出现的几率总和应为1．其表式如下：〔波函数的归一化条件〕 （16.2.11） （四）非相对论的波函数本教材只讨论非相对论的波函数，也就是只讨论粒子速度v <<c 的情况．对此情况，粒子的总能ε与能量E 和动量p 的关系，可用经典力学的关系式来表示．对于自由粒子，由于没受外力作用，其势能E p =0，其能量E 就等于其动能E k ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡ε<<总能自由粒子的时,c v m 2/p mc 2/m mc E E m 2/p 2/m E E E E .m m ,0E 2222022k p k 0p+=+=+=ε===+===v v 如〔附录16B 〕所示，计算v <<c 的粒子的几率密度|ψ|2时，静能E 0=m 0c 2不起作用．因❶ 杨建邺，止戈编著《杰出物理学家的失误》137、140页，华中师范大学出版社1986年版.、 此，可用能量E 代替（16.2.7）式中的总能ε，以表示自由粒子的波函数ψ❶．⎥⎦⎤⎢⎣⎡<<时的波函数子轴运动的自由粒沿c x v（16.2.14）此式亦可推广于（16.2.8）式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡<<波函数时的自由粒子c v （16.2.15）❶〔美〕E ·H ·威切曼著，复旦大学物理系译《量子物理学》《伯克利物理学教程》第四卷340—341页，1978年版.。
1954年诺贝尔物理学奖——波函数的统计解释和用符合法作出的发现
1915年玻恩去柏林大学任理论物理学教授，并在那里与普朗克、爱 因斯坦和能斯特并肩工作，玻恩与爱因斯坦结下了深厚的友谊，即使 是在爱因斯坦对玻恩的量子理论持怀疑态度的时候，他们之间的书信 见证了量子力学开创的历史，后来被整理成书出版。玻恩在柏林大学 期间，曾加入德国陆军，负责研究声波理论和原子晶格理论，并于 1915年发表了他的第一本书《晶格动力学》（Dynamik der Kristallgitter），该书总结了他在格丁根开始的一系列研究成果。
1930年代，他发现用α粒子轰击铍所产生的射线，是一种全新的，比伽 马射线具有很强穿透力的高能射线，这直接导致了1932年詹姆斯·查德 威克发现中子。
1941年，博特和Peter Jensen发表了对石墨的中子吸收实验结果，然而 由于他们得出的结论错误，阻止了德国在二战中的核计划的进展。博 特一直认为自己是个爱国主义者，并且认为他不需要因为在二战中帮 助德国研发武器而道歉。二战期间的1943年，博特完成了德国的第一 台粒子回旋加速器，1953年被授予马克斯·普朗克奖章。
1932年接替菲利普·莱纳德任海德堡大学物理研究所主任，同时开始 在马克斯-普朗克学会工作，1934年成为海德堡的马克斯-普朗克医学研 究所主任。第二次世界大战结束时，回到海德堡大学物理系任教，直 到患病迫使他减少工作强度，但他仍继续指导马克斯·普朗克物理研究 所的工作，直到1957年2月8日在海德堡逝世。
(2021年整理)量子力学讲义4
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第二章 波函数和薛定谔方程§2-1 波函数（Wave Function ）的统计解释一、微观粒子的波粒二象性1．经典物理学对波粒二象性解释的失败德布洛意的物质波假设的实质是：所有运动的实物粒子都既具有粒子的性质又表现出波动的性质，就是所谓的实物粒子的波粒两象性。
可惜的是，当时人们的思想还是深受经典物理学的影响，在其非此即彼思想的束缚下，曾经出现如下两种对波粒两象性的解释，它们均以失败而告终。
第一种观点认为：运动电子是某种物质波形成的波包，即由许多不同频率的波构成的一个复波，它可以局限在电子大小的空间（152.810m -⨯）中.计算表明，该波包的寿命大约只有261.610s -⨯，也就是说在非常短的时间内电子就变成非定域的了,此即所谓波包发散的困难。
这种观点只片面地强调了电子波动性，而忽略了它的粒子性.另一种观点认为:运动电子的波动性对应于由大量电子分布于空间而形成的疏密波，它类似于空气振动出现的纵波，即分子的疏密相间而形成的一种分布。
这种看法也与实验矛盾.实际上，在电子的衍射实验中,不但让多个电子同时通过仪器可以得到衍射图案，即使让电子一个一个地通过仪器，只要实验的时间足够长，仍然可以在底片上得到电子的衍射图案。
这说明运动电子的波动性并不一定是在许多电子同时存在于空间中才会出现，更确切地说，单个电子就具有波动性。
2．波粒二象性的正确解释首先，让我们来回顾一下经典物理学是如何理解粒子的概念的：(1）经典粒子具有确定的大小、质量和电荷，在空间中占据某个确定的位置。
波函数的统计诠释
w
1 0 (x) dx
0
0 (x) dx .
33
0(x)
1/2
ex p1(2x2)
2
exp(2)d
w
1
exp(2)d
16%
0
经典允许区
.
34
n=10时线性谐振子的位. 置几率分布
35
习题 P52~53 1、3、4、5、7、8
.
36
2m 2
定态薛定谔方程
2 m 2d d2 2x(x.)1 2m2x2
(x)E(x)
27
令
m xx,
m
d2 d2
(2)
0
2E
首先考虑方程的渐近解
dd22 20,
~ e 2 / 2
.
28
因为波函数在无穷远处为有限，
~ e 2 / 2
2
e 2 H()
代入薛定谔方程，得
dd2H 2 2ddH(1)H0
n(r,t)n(r)eiEnt
(r,t) cn n(r)eiEnt
n
.
22
2.6 一维无限深势阱
在一维空间运动的粒子，其势场满足
U(x)
0
x a
x a
（1）阱外（xa, x -a）
因为势壁无限高，粒子不能穿透阱壁，按照波函数的统计解 释，在阱壁和阱外粒子的波函数为零。
0, xa
.
23
（2）阱内（a> x > -a）
c1 1c2 2 c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
波函数及其统计解释
在实验中可以控制电子枪的电压，使发出的电子束的 强度十分微弱，以至电子是一个一个通过。假如时间不 长，则落在屏幕上的是一个个的点，而不是扩散开的衍 射图案。就这个意义而言，电子是粒子而不是扩展开的 波。
但时间一长，则感光点在屏幕上的分布显示衍射图样， 与强度较大的电子束在较短时间内得到的图样相同。可 以认为：尽管不能确定一个电子一定到达照相底片的什 么地方，但它到达衍射图样极大值的几率必定较大，而 到达衍射图样极小值的地方的几率必定较小，甚至为零。
在量子物理中，却将这种波方程的复数表示借用过来， 并不再取它的实部，而赋予它新的物理意义。即 用它表示微观客体的波粒子二象性，它就是波函数。
在量子力学中，粒子的状态用波函数来描写，根据薛 定谔方程得出波函数的变化规律。如果已知波函数，则 可由它求出所有描述粒子状态的物理量。
在量子物理中，波函数常用ψ(x,y,z,t)表示，它的最简 单的一个表示式为
3.3 波函数及其统计解释
一、波函数 二、波函数的统计解释 三、波函数的标准条件和归一化
一、波函数
在经典力学中，我们只要知道了质点的运动 方程及其初始条件，就可以知道它的确切位置 和动量。这种方法在宏观世界取得很大的成功， 但不能适用于具有波粒二象性的微观粒子。
量子力学原理之一：微观粒子的状态可用 波函数来描述。
在经典物理中，为了计算方便，常将波方程表示成 复数，如单色平面波
y( x, t) Acos(t kx)
表示为Y ( x, t ) Aei(tkx)
显然，y（x，t）等于Y（x，t）的实部，这样计算时 用Y（x，t），算完后再取它的实部，这样做在经典物 理中是为了计算的方便，在物理学中并无新意。
波函数及其统计解释
动量分布概率（1）
设子设有平出 动 面pr现 量波 px在的ixip点波的y函pjr概y数j附z率k为近p如，zk的何则为概表(|粒r率示)(子r。？) 的|2eip动|r /量(x,，y, z那) |2么表粒示子粒具
任意粒子的波函数可以按此平面波做傅立叶展开
(r )
1
(2)3
2
( p)eipr / d 3 p
*
(
p)
p
(
p)d
3
p
p
*
(r )
pˆ
(r )d
3r
,
pˆ
力学量用算符表示
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
20
三、力学量用算符表示(5)
力学量 A 的平均值为
A
*
(r )
Aˆ
(r )d
3r
其 问中 题，：Aˆ坐为标力r学的量平A均的值算符r 。
*
(r )r
(r )d
该如何理解波函数的物理意义？为此，人们
提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物
理意义的一种理解。
4
量子力学的基本假定之一
基本假定Ⅰ：波函数假定 微观粒子的状态可以被一个波函数完全 描述，从这个波函数可以得出体系的所 有性质。波函数一般满足连续性、有限 性和单值性三个条件。 说明：波函数一般是粒子坐标和时间的 复函数，波函数的模方代表粒子空间分 布的概率密度。
量子力学
波函数及其统计解释 粒子的动量分布 不确定度关系——进一步讨论
1
简短回顾
1、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一
个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式 Asin(kxt)
波函数及其统计解释资料课件
柱面波函数具有恒定的振幅和相位，并且传播方向与波数 k垂直。
应用
柱面波函数在声学、电磁学和天文学等领域都有广泛的应 用。
04
波函数的物理意义
波函数的粒子性
粒子位置与波函数的关联
波函数可以被视为一个概率幅，描述了粒子在空间中的概率分布 。
粒子动量与波函数的关联
波函数的傅里叶变换描绘了粒子的动量分布。
相干性是波动性质的重要表现之 一，它可以产生明暗相间的条纹
，即干涉现象。
波函数的对称性
波函数的对称性是指波函数在空间上的 分布是否具有某种对称性。
常见的对称性包括：轴对称、面对称、 旋转对称等。
波函数的对称性与其波动性质密切相关 ，不同的对称性会导致不同的干涉现象
。
03
波函数的分类
平面波函数
定义
象。
波函数是一种复数函数，其模方 表示粒子在某个位置出现的概率
密度。
波函数的统计解释的重要性
波函数的统计解释是理解量子力学的基础之一，它提供了从概率角度描述粒子的方 法。
通过波函数的统计解释，我们可以计算出粒子在某个位置出现的概率，以及测量某 个物理量的期望值和方差等统计性质。
波函数的统计解释还与量子纠缠、量子计算等重要概念密切相关。
波函数与量子态的关系
描述量子态的函数
波函数是描述量子态的函 数，它可以表示出量子态 的叠加原理和相干性。
波函数的模平方
波函数的模平方可以表示 出某个物理量的概率分布 ，如位置、动量等。
测量问题
波函数与测量问题密切相 关，测量会导致波函数塌 缩，进而影响后续的测量 结果。
波函数与测量问题
测量导致波函数塌缩
06
结论与展望
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为了区别于经典波动，将上式写成：
( x, t ) 0e
i 2 (t x )
i (Et px)
0e
ψ0 e
第十五章
量子物理
1
物理学
第五版
15-7波函数 波函数物理意义
பைடு நூலகம்
玻恩统计解释
物质波与光波的对比
（波动观点） （微粒观点）
光波振幅平方大 光强大 光子在该处出现 的概率大
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
一、波函数（描写物质波的函数） 自由粒子的波函数 由波动理论，沿x轴传播的平面波波动方程：
y( x, t ) A cos 2 (t x )
y( x , t ) Ae
i 2 (t x )
只取实部
i 2 ( Et px ) h
2 2 势场中的一维运动粒子 E p i 2 2m x t
第十五章 量子物理
6
粒子在该处出现的 （微粒观点） 概率大 在空间某点波函数的平方和粒子在该点出现的 概率成正比. —玻恩统计解释.
第十五章 量子物理
2
物质波的 强度大
波函数振幅的平方大 （波动观点） | |2= *
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
物质波与经典波的本质区别
物质波是复函数，本身无具体的物理意义，
玻恩统计解释
一维自由粒子薛定谔方程 自由粒子波函数:
( x , t ) 0e
i ( Et px )
2 p2 2 2 x
非相对论粒子:
i E t
p2 E 2m
2 2 i 2 2m x t
一维自由粒子
一般是不可测量的。
可测量，具有物理意义
物质波是概率波。
经典波的波函数是实数，具有物理意义，可测量。
2
第十五章
量子物理
3
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
M.玻恩（Max Born，1882— 1970）德国理论物理学家. 在物理学中的主要成就是 创立矩阵力学和对波函数作 出统计解释. 1954年获诺贝尔物理学 奖.
第十五章 量子物理
4
物理学
第五版
15-7波函数
玻恩统计解释
薛定谔（Erwin Schrodinger， 1887—1961）奥地利物理学家. 1926年建立了以薛定谔方 程为基础的波动力学,并建立了 量子力学的近似方法 . 1933年与狄拉克获诺贝尔 物理学奖.
第十五章 量子物理
5
物理学
第五版
15-7波函数