波函数的统计诠释
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c1 1c2 2 c1，c2是复数
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分. 布1(x) ＋2(x)
3Leabharlann Baidu
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
.
4
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子
流很微弱，
几乎是一个
一个地通过
双缝。图中
的照片是在
.
12
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r,t)c(p)p(r,t)
p
由于p可以连续变化
(r ,t) c (p ,t)p (r )dx d p y d p zp
式中
p(r)(21)3/2 eipr/
c(p,t)(2 1)3/2
(r,t)eiprdxdydz
.
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。 .
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
描写粒子的波称为几率波
.
6
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。
在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。
在经典物理学中，波函数 (x,y,z,t)和 A(x,y,z,t) 代表了能
量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相.对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW (x,y,z,t) (x,y,z,t)2d
几率密度为： w (x,y,z,t) (x,y,z,t)2
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
.
14
决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
(r,t)Aei(prE)t
t
i
E
2
p2 2
.
15
利用自由粒子
E p2 2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
pi
.
16
三、薛定谔方程
一般情况下
E p2 U(r)
2
根据能量和动量算符
i2 2U(r) t 2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
.
17
几率密度 w (r,t)*(r,t)(r,t)
几率密度随时间的变化率
w**
t
t t
利用薛定谔方程
w t 2i (**)
令
Ji(**)
2
.
18
粒子数守恒定律
wJ 0 t
Vw t dSJdS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
.
19
i2 2U(r) t 2
考虑一种特解 (r,t)(r)f(t)
ifd dft 1[2 22U(r)]常数 E＝
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c 11 c 22 . .c .nnc nn
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p(r,t)Nei(Etpr)
归一化条件可表示为：
(x,y,z,t)2d1
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
.
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r ,t) A ex i(k p r [t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1 s(r, , )1 s(r) e r/a
不同时间下
拍的。
.
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
.
9
解 根据归一化的定义，我们有
1s 2d3r 1s 2dxdyd4z r2(er/a)er/adr
0
4 r2e2r/adra3
0
归一化的波函数为
~1s
1 er/a
a3
.
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子 .
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt)
(r,t)(r)ex piE ()t
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数.
20
定态薛定谔方程
22 2
U(r)E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U(r)
2
本征方程
Hˆ E
13
1
(r,t)(2)3/2
c(p,t)e iprdxd pyp dzp
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，
含义：当粒子处于态 1 和态 2 的线性叠加态时，粒子既处 在态 1 ，又处在态 2 。
2 c 1 1 c 2 2 2 ( c 1 1 c 2 2 )c 1 (1 c 2 2 ) c 1 12 c 1 22 c . 1 c 2 1 2 c 1 c 2 1 2 11
1(x)和2(x)分别为单独开缝1或2时，靶上子弹的密度分布，
双缝齐开时，靶上子弹的密度分. 布1(x) ＋2(x)
3Leabharlann Baidu
（2）声波的双缝衍射
双缝齐开时，声波的强度分布不等于I1(x) ＋I2(x)，还包括两 者的干涉项。
.
4
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子
流很微弱，
几乎是一个
一个地通过
双缝。图中
的照片是在
.
12
粒子的状态ψ(r,t)可以表示为p取各种可能值的平面波的线性叠加
(r,t)c(p)p(r,t)
p
由于p可以连续变化
(r ,t) c (p ,t)p (r )dx d p y d p zp
式中
p(r)(21)3/2 eipr/
c(p,t)(2 1)3/2
(r,t)eiprdxdydz
.
（2） 如果粒子受随时间或位置变化的力场的作用，可以用一 个函数来描写粒子的波，称为波函数。
（3）人们曾经错误地认为波是由它所描写的粒子组成的。
若粒子流的衍射现象是由于组成波的这些粒子相互作
用而形成的，衍射图样应该与粒子流强度有关，但实
验证明它们两者却无关。 .
2
2、波函数统计诠释
（1）机枪子弹的“双缝衍射”
描写粒子的波称为几率波
.
6
（6）波函数的特性
波函数可以用来描写体系的量子状态（简称态或状态）。
在经典力学中，一旦用来描写质点状态的坐标和动量确定后， 其他力学量也确定了。
在量子力学中，用来描写体系某一量子态的波函数确定后， 体系的力学量一般有许多可能取值，这些可能取值各自以一 定的几率出现。
在经典物理学中，波函数 (x,y,z,t)和 A(x,y,z,t) 代表了能
量或强度不同的两种波动状态；
而在量子力学中，这两个波函数却描述了同一个量子态。
因为它们所表示的概率分布的相.对大小是相同的。
7
在时刻t，点(x, y, z)附近的体积元dV内找到粒子的几率dW可 以表述为：
dW (x,y,z,t) (x,y,z,t)2d
几率密度为： w (x,y,z,t) (x,y,z,t)2
量子力学中，决定微观粒子任一时刻的状态方程－薛定谔方程
.
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决定微观粒子任一时刻的状态方程必须满足两个条件： （1）方程是线性的 （2）方程的系数不应包括状态参量。
一、描述自由粒子的状态方程
自由粒子的波函数
(r,t)Aei(prE)t
t
i
E
2
p2 2
.
15
利用自由粒子
E p2 2
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
pi
.
16
三、薛定谔方程
一般情况下
E p2 U(r)
2
根据能量和动量算符
i2 2U(r) t 2
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
.
17
几率密度 w (r,t)*(r,t)(r,t)
几率密度随时间的变化率
w**
t
t t
利用薛定谔方程
w t 2i (**)
令
Ji(**)
2
.
18
粒子数守恒定律
wJ 0 t
Vw t dSJdS
统计诠释对波函数提出的要求： 波函数必须是有限的、连续的和单值的
2.5 定态薛定谔方程
我们讨论力场中的势能U(r)与时间无关的情况
.
19
i2 2U(r) t 2
考虑一种特解 (r,t)(r)f(t)
ifd dft 1[2 22U(r)]常数 E＝
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c 11 c 22 . .c .nnc nn
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
p(r,t)Nei(Etpr)
归一化条件可表示为：
(x,y,z,t)2d1
那么，称为归一化波函数
归一化波函数还可以含有一个相因子 e i
.
8
量子力学中并不排斥使用一些不能归一的理想波函数，如 描述自由粒子的平面波函数。
(r ,t) A ex i(k p r [t)]
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1 s(r, , )1 s(r) e r/a
不同时间下
拍的。
.
5
（4）就强度分布来说，电子的双缝衍射与经典波(如声波)的 双缝衍射是相似的，而与机枪子弹的分布完全不同．这种现象 应怎样理解呢?
在底板上点r附近衍射花样的强度
在点r附近感光电子的数目 在点r附近出现的电子的数目 电子出现在点r附近的几率．
（5）波恩提出的波函数统计诠释：波函数在空间某点的强度 （振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
.
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解 根据归一化的定义，我们有
1s 2d3r 1s 2dxdyd4z r2(er/a)er/adr
0
4 r2e2r/adra3
0
归一化的波函数为
~1s
1 er/a
a3
.
10
2.2 态叠加原理
一、态叠加原理 经典物理中，声波和光波都遵从叠加原理。 量子力学中的态叠加原理，是量子力学原理的一个基本假设。
第二章 波函数和薛定谔方程
2.1 波函数的统计诠释
2.2 态叠加原理
2.3 薛定谔方程
2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
2.5 定态薛定谔方程
2.6 一维无限深势阱
2.7 线性谐振子 .
1
2.1 波函数的统计诠释
1、如何解释一个波所描述的一个粒子的行为？
（1）平面波可以用来描述自由粒子。 Aei(krt)
(r,t)(r)ex piE ()t
E是体系处在这个波函数所描写的状态时的能量。
定态与定态波函数.
20
定态薛定谔方程
22 2
U(r)E
哈密顿算符
Hˆ 2 2 U(r)
2
本征方程
Hˆ E
13
1
(r,t)(2)3/2
c(p,t)e iprdxd pyp dzp
(r, t)和c(p, t)是同一种状态的两种不同的描述方式， (r, t) 是以坐标为自变量的波函数， c(p, t)是以动量为自变量的波 函数。
2.3 薛定谔方程
经典力学中，决定任一时刻质点的运动方程－牛顿运动方程，