尺规作图与角的求法讲义

尺规作图（讲义）一、知识点睛1.基本作图：①作一条线段等于已知线段；②作一个角等于已知角；③作已知角的角平分线．书写作法时注意：________________，________________．2.应用作图：①______________________，设计作图方案；②调用__________________完成图形．二、精讲精练1.作一条线段等于已知线段．已知：如图，线段a．求作：线段AB，使AB=a．作法：（1）作射线AP；（2）以_________为圆心，_______为半径作弧，交射线AP于点B．___________即为所求．2.已知线段a，b（a b>），作一条线段，使它等于2a-b．b a a3. 作一个角等于已知角．已知：如图，∠ABC ．求作：∠DEF ，使∠DEF =∠ABC ．A作法：（1）作射线EF ；（2）以________为圆心，_______为半径作弧，交BA于点M ，交BC 于点N ；（3）以____为圆心，____为半径作弧，交EF 于点P ； （4）____________，__________作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． ∠DEF ______________．证明：连接_________，_________．在___________和___________中______________________________________________________⎧⎪⎨⎪⎩（已作）（已作）（已作） ∴______________________（ ） ∴_______________4. 作一个已知角的倍角．5.过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，A是直线MN外一点．求作：直线AB，使AB∥MN．NMA6.已知两边及夹角作三角形．已知：如图，线段m，n，∠α．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n．αn m7.作已知角的角平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆心，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．8.作已知角的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB9.为打造“宜居城市”，某市拟在新竣工的扇形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M在广场的两个入口P，Q的连线上（P，Q的位置如图所示），且到广场两边AB，AC的距离相等．请在题目给的原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．10.请画出草图，解决下列问题：（1）在△ABC中，点D是AC边的中点，连接BD，若AB=5，BC=3，则△ABD和△BCD的周长的差是____________．（2）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，则∠AED和∠EDB的数量关系是________________________．（3）已知：在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO与CO交于点O，过点O作DE∥BC交AB于D，交AC于E，则DE_____BD+CE．（选填“>”、“<”或“=”）（4）已知：在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于E，过点E作ED∥AC交BC于D，过D作DF∥CE交AB于F，则∠EDF和∠BDF的数量关系是_____________________．（5）已知：在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，BD平分 ABC交AC于点D，CE⊥BD交BD延长线于点E，则∠ECD=_______．（6）若等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线夹角为40°，则此等腰三角形的顶角为______________．【参考答案】一、知识点睛1. 点线取名称，作弧说心径2. ①画出草图②基本作图 二、精讲精练 1. 点A a 长线段AB 图略2. 略3. 作法：（1）作射线EF ；（2）以 点B 为圆心，任意长为半径作弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ；（3）以点E 为圆心，BM 长为半径作弧，交EF 于点P ； （4）以点P 为圆心，MN 长为半径作弧，交前弧于点D ； （5）作射线ED ． D E F ∠即为所求． 证明：连接MN ，DP ． 在BMN △和EDP △中B M E D B N E PM N D P =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已作）（已作）（已作）SSS BMN EDP DEF ABC ≅∠=∠∴△△（）∴ 4. 略5. 略6. 略7. （1）以点O 为圆心任意长为半径（2）点M点N大于12MN 长AOB ∠内部（3）作射线OP 射线OP 即为所求 8. 略 9. 略 10. （1）2（2）2AED EDB ∠=∠（3）=（4）EDF BDF ∠=∠ （5）15°（6）50°或130°尺规作图（随堂测试）1.已知两角及其夹边作三角形．已知：∠α，∠β，线段m．求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，∠B=∠β．αmβ2.已知：在△ABC中，过点A作AD⊥BC于点D，过点D作DG∥AB交AC于G，E为AB上任一点（不与A，B重合），过点E作EF∥AD交BC于F，则∠BEF与∠ADG的数量关系是____________________．【参考答案】1.略2.∠BEF=∠ADG尺规作图（习题）3.下列作图语言描述正确的是（）A．延长线段AB至点C，使AB=ACB．过∠AOB内部一点P，作∠AOB的平分线C．以点O为圆心，AC长为半径作弧D．在射线OA上截取OB=a，BC=b，则有OC=a+b4.已知边长作等边三角形．已知：线段a．求作：等边△ABC，使△ABC的三边长均为a．a作法：（1）作线段_____________；（2）分别以______，______为圆心，_______为半径作弧，两弧交于________；（3）连接________，_________．____________________．5.按下列要求作图，保留作图痕迹，不写作法．已知：如图，∠ABC．求作：∠DEF，使∠DEF=32∠ABC．A6.已知∠AOB=45°，点P在边OA上．请以点P为顶点，射线P A为一边作∠APC=∠O（作出所有可能的图形）．7.如图，分别过A，B两个加油站的公路l1，l2相交于点O，现准备在∠AOB内建一个油库，要求油库的位置点P满足在两个加油站的连线上，且到两条公路l1，l2的距离相等．请用尺规作图作出点P（保留作图痕迹）．8.请画出草图，并根据图形完成下列各题：（1）在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BF∥AD交CA的延长线于点F，则AF和AB的数量关系是_________________．（2）在△ABC中，点D是BC上的一点，过D作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，则∠EDF与∠A的数量关系是__________________．（3）已知，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，若AD与CE所夹的锐角是58°，则∠ABC=______．（4）已知，在锐角△ABC中，∠BAC=50°，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AC于点E，若∠EBC=20°，则∠ADC=_______．【参考答案】1. C2.作法：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A，点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．△ABC即为所求．3.略4.略（有两种情况）5.略6.（1）AF=AB（2）∠EDF=∠A（3）58°（4）85°角的相关计算和证明（讲义）一、知识点睛在证明的过程中，由平行想到____________、____________、____________； 由垂直想到__________________、_____________________； 由外角想到________________________________________．二、精讲精练1. 如图，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC =45°，∠CEF =155°，则∠BCE =_________．FED CBAG FEDCB A第1题图 第2题图2. 如图，在正方形ABCD 中，∠ADC =∠DCB =90°，G 是BC 边上一点，连接DG ，AE ⊥DG 于E ，CF ⊥DG 于F ．若∠DAE =25°，则∠GCF =_________． 3. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠B =∠C =45°，在Rt △AFG 中，∠G =90°，∠F =∠FAG =45°，∠CAG =20°，则∠AEB =_________，∠ADC =_________．GFE DCBAFE DCA第3题图 第4题图4. 如图，ED ⊥AB 于D ，EF ∥AC ，∠A =35°，则∠DEF =______．5. 如图，在△ABC 中，∠B =60°，P 为BC 上一点，且∠1=∠2，则∠APD =________．21PDCBA6. 已知：如图，直线BD 交CF 于点D ，交AE 于点B ，连接AD ，BC ，∠1+∠2=180°，∠A =∠C ．求证：DA ∥CB ． 证明：如图，∵∠1+∠2=180° （__________________________） ∠2+∠CDB =180° （__________________________） ∴_______=_______ （__________________________） ∴______∥________ （__________________________）∴∠A +∠CDA =180° （__________________________）∵∠A =∠C （__________________________）∴______+______=180°（__________________________）∴DA ∥CB （__________________________）7. 已知：如图，E ，F 分别在AB ，CD 上，EC ⊥AF ，垂足为O ，∠1+∠C =90°，∠2=∠D ．求证：AB ∥CD ．21O E FDCBA8. 如图，在△ABC 中，∠B =35°，∠C =75°，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC ，求∠EAD 的度数．E DC BA第6题图21F EDCBA9.已知：如图，BP平分∠ABC，CP平分△ABC的外角∠ACE．求证：∠A=2∠P．APCE证明：如图，设∠PBC=α，∠PCE=β∵BP平分∠ABC （_______________________）∴∠ABC=2∠PBC=2α（_______________________）∵CP平分∠ACE （_______________________）∴∠ACE=______=_______ （_______________________）∵∠ACE是△ABC的一个外角（_____________________）∴2β=2α+∠A （_______________________）∴∠A=2(β-α) （_______________________）∵∠PCE是△BCP的一个外角（_____________________）∴β=______+_______（_______________________）∴∠P=β-α（_______________________）∴∠A=2∠P （_______________________）10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠ACB，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠A=2∠BCD．ADCB【参考答案】一、知识点睛1. 同位角、内错角、同旁内角2. 直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等3. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和二、精讲精练 1. 20° 2. 25° 3. 65°，70° 4. 125° 5. 60° 6. 已知平角的定义∠1，∠CDB ；同角的补角相等 AB ，CD ；同位角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补 已知∠C ，∠CDA ；等量代换 同旁内角互补，两直线平行 7. 证明：如图，21O E FDCBA∵EC ⊥AF （已知） ∴∠COF =90°（垂直的定义）∴∠C +∠2=90° （直角三角形两锐角互余） ∵∠1+∠C =90 （已知） ∴∠1=∠2 （同角的余角相等） ∵∠2=∠D （已知） ∴∠1=∠D （等量代换）∴AB ∥CD（内错角相等，两直线平行）8.解：如图，∵∠B=35°，∠C=75°（已知）∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-75°=70°（三角形的内角和是180°）∵AE平分∠BAC（已知）∴∠BAE=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵∠AED是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠AED=∠B+∠BAE=35°+35°=70°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵AD⊥BC （已知）∴∠ADE=90°（垂直的定义）∴∠EAD=90°-∠AED=90°-70°=20°（直角三角形两锐角互余）9.已知角平分线的定义已知2∠PCE，2β；角平分线的定义外角的定义三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式性质外角的定义α，∠P；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和等式性质等量代换E D CBA10.证明：如图，ADCB在△ABC中，∠A=180°-∠B-∠ACB （三角形的内角和是180°）∵∠B=∠ACB（已知）∴∠A=180°-2∠B=2(90°-∠B) （等式性质）∵CD⊥AB（已知）∴∠BDC=90°（垂直的定义）∴∠BCD=90°-∠B （直角三角形两锐角互余）∴∠A=2∠BCD （等量代换）角的相关计算和证明（随堂测试）1.已知：如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠F=130°．求证：EF∥AB．F E DCBA2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于点E，交BC于点F．求证：∠1=∠2．2 1 CD FEA B 证明：如图，∵∠ACB=90°（__________________________）∴∠CAF+∠2=90°（__________________________）∵______________ （__________________________）∴∠ADE=90°（__________________________）∴∠EAD+∠AED=90°（__________________________）∵AF平分∠CAB （__________________________）∴∠CAF=∠EAD （__________________________）∴______________ （__________________________）∵∠1=∠AED （__________________________）∴∠1=∠2 （__________________________）【参考答案】1.证明：如图，F E DCBA∵CD∥AB（已知）∴∠DCB=∠ABC （两直线平行，内错角相等）∵∠DCB=70°（已知）∴∠ABC=70°（等量代换）∵∠CBF=20°（已知）∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=70°-20°=50°（等式性质）∵∠F=130°（已知）∴∠ABF+∠F=130°+50°=180°（等式性质）∴EF∥AB （同旁内角互补，两直线平行）2.已知直角三角形两锐角互余CD⊥AB，已知垂直的定义直角三角形两锐角互余已知角平分线的定义∠2=∠AED，等角的余角相等对顶角相等等量代换80°20°ACE D B 角的相关计算和证明（作业）例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠ADE =80°，∠EAC =20°，则∠B =_______．BD E CA【思路分析】 ①读题标注：②梳理思路：从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠DAE =10°，∠C =70°；由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 当作△ABC 的一个内角， 则∠B =180°-60°-70°=50°．（思路不唯一，也可将∠B 作为△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解）1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC⊥CE ，∠A =30°，则∠E =______．ABC DE21C B A第1题图 第2题图2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2=____________．3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）A ．120°B ．115°C ．110°D ．105°D CBAEFEBC FDA第3题图 第4题图4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =（ ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80°5. 已知：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ．求证：1902D A ∠=︒+∠．证明：如图， 设∠DBC =α，∠DCB =β ∵BD 平分∠ABC （___________________________） ∴∠ABC =2∠DBC =2α（___________________________） ∵CD 平分∠ACB（___________________________）∴∠ACB =______=_____（___________________________） ∵∠ABC +∠ACB +∠A =180°（________________________） ∴2α+2β+∠A =180°（ 等量代换 ）∴α+β=_______________ （ 等式性质 ） ∵∠DBC +∠DCB +∠D =180° （________________________） ∴____________________（___________________________） ∴α+β=______________ （___________________________）∴190=1802A D ︒-︒-∠∠（ 等量代换 ）∴1902D A ∠=︒+∠ （ 等式性质 ）ABCD6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．求证：AD ∥BC ．A B CDE F17. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 延长线于点M ．已知∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数．MPF EDCBA【参考答案】1. 60°2. 270°3. B4. A5.已知角平分线的定义 已知2∠DCB ，2β；角平分线的定义 三角形的内角和是180°1902A ︒-∠三角形的内角和是180° α+β+∠D =180°，等量代换 180°-∠D ，等式性质 6. 证明：如图，∵AB ∥DE （已知） ∴∠1=∠BAC （两直线平行，同位角相等） ∵AC 平分∠BAD （已知）∴∠DAC =∠BAC （角平分线的定义） ∴∠1=∠DAC （等量代换） ∵∠1=∠ACB （已知）∴∠DAC=∠ACB （等量代换）∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）7.解：如图，在△ABC中，∠ACB=70°，∠B=40°（已知）∴∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-70°-40°=70°（三角形的内角和是180°）∵AD平分∠BAC∴∠DAC=12∠BAC=12×70°=35°（角平分线的定义）∵EF⊥AD（已知）∴∠APF=90°（垂直的定义）∴∠AFP=90°-∠DAC=90°-35°=55°（直角三角形两锐角互余）∵∠CFM=∠AFP （对顶角相等）∴∠CFM=55°（等量代换）∵∠ACB是△CFM的一个外角（外角的定义）∴∠M=∠ACB-∠CFM=70°-55°=15°（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）与角有关的辅助线（讲义）一、知识点睛1. 为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．2. 辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立______和______之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况． 3. 辅助线的作用：①________________________________________________； ②________________________________________________． 4. 添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．二、精讲精练1. 如图，AB ∥CD ，∠E =27°，∠C =52°，则∠EAB 的度数为______________．ED CBA2. 如图，∠BAF =46°，∠ACE =136°，CD ⊥CE ．求证：AB ∥CD ．FEDCBA3. 已知：如图，直线MN ∥GH ，∠ABC =130°，∠HDC =40°．你认为AB ⊥MN 吗？请说明理由．H GNME DC B A4. 已知：如图，AB ∥CD ，E ，F 分别是AB ，CD 上的点．求证：∠EPF =∠AEP +∠CFP ．PFED CBA5. 如图，l 1∥l 2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．321l 2l 16. 已知：如图，AB ∥EF ，∠B =25°，∠D =30°，∠E =10°，则∠BCD =________．F EDCBA7. 已知：如图，AB ∥ED ，α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D ．请问β和α之间有怎样的数量关系？并说明理由．ECDBA8. 已知：如图，CD ∥EF ，∠1+∠2=∠ABC ．求证：AB ∥GF ．21G FE DC BA9. 已知：如图，在四边形ABDC 中．求证：∠BDC =∠A +∠B +∠C ．DBA三、回顾与思考_______________________________________________________________________________________________________________________________________ 【参考答案】 一、知识点睛1. 虚线；2. 已知，未知3. ①把分散的条件转为集中②把复杂的图形转化为基本图形二、精讲精练1. 79°2.G ABCD E F证明：如图，延长DC 到点G ．∵CD ⊥CE （已知）∴∠ECG =90°（垂直的定义） ∵∠ACE =136°（已知） ∴∠ACG =∠ACE -∠ECG=136°-90° =46°（等式性质） ∵∠BAF =46°（已知） ∴∠ACG =∠BAF （等量代换）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）3.FA B C DE MNGH解：MN ⊥AB ，理由如下： 如图，延长AB 交GH 于点F ． ∵∠HDC =40°（已知）∠HDC =∠BDF （对顶角相等） ∴∠BDF =40°（等量代换）∵∠ABD 是△BFD 的一个外角（外角的定义）∴∠ABD =∠BFD +∠BDF （三角形的一个外角等于和它不相 邻的两个内角的和） ∵∠ABC =130°（已知） ∴∠BFD =∠ABD -∠BDF =130°-40°=90°（等式性质）∵MN ∥GH （已知）∴∠AEN =∠BFD =90°（两直线平行，同位角相等） ∴MN ⊥AB （垂直的定义） 4.N M 4321P FE DCBA证明：如图，过点P 作MN ∥AB ． ∵CD ∥AB （已知）∴AB ∥MN ∥CD （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） ∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠EPF=∠2+∠4=∠1+∠3（等量代换）即∠EPF =∠AEP +∠CFP 5. 115°6. 45°7. 解：β=2α，理由如下：21E DM CNAB如图，过点C 作MN ∥AB ． ∵AB ∥ED （已知）∴MN ∥AB ∥ED （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠1+∠D =180° ∠2+∠B =180°∠A +∠E =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵α=∠A +∠E ，β=∠B +∠C +∠D （已知） ∴α=180°，β=360°（等式性质） ∴β=2α（等式性质） 8. 证明：N M AB CDE F G 12如图，延长CB 交FG 于点M ，延长FE 交CM 于点N ． ∵CD ∥EF （已知）∴∠2=∠FNM （两直线平行，同位角相等） ∵∠BMG 是△FMN 的一个外角（外角的定义） ∴∠BMG =∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两 个内角的和）∵∠ABC =∠1+∠2（已知） ∴∠BMG =∠ABC （等量代换）∴AB ∥GF （同位角相等，两直线平行） 9.1EABCD证明：如图，延长BD 交AC 于点E ． ∵∠BDC 是△CDE 的一个外角（外角的定义）∴∠BDC =∠1+∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的 两个内角的和）∵∠1是△ABE 的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A +∠B （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和）∴∠BDC =∠A +∠B +∠C （等量代换）与角有关的辅助线（随堂测试）10. 如图，AB ⊥EF 于点O ，BD 与MN 相交于点C ，∠1=35°，∠B =125°，你认为直线EF ∥MN 吗？请说明理由．N MFA B C D E1O11. 如图，AB ∥CD ，∠α=150°，∠β=80︒，求∠ γ的度数．γβαEDCBA【参考答案】1. 解：EF ∥MN理由如下：如图，延长AB 交MN 于点G ． ∵∠1=35°（已知）∴∠BCG =35°（对顶角相等）∵∠ABC 是△BCG 的一个外角（外角的定义） ∴∠ABC =∠BGC +∠BCG （三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC =125°（已知） ∴∠BGC =∠ABC -∠BCG =125°-35°=90°（等式性质）∵AB ⊥EF （已知）∴∠AOF =90°（垂直的定义） ∴∠AOF =∠BGC （等量代换）∴EF ∥MN （同位角相等，两直线平行） 2.解：如图，过点E 作EF ∥AB ． ∵AB ∥CD （已知）∴CD ∥AB ∥EF （平行于同一直线的两直线平行）N MFEGO 1D C B A C F A BD E αβγ∴∠α+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∠γ=∠DEF （两直线平行，内错角相等） ∵∠α=150°（已知） ∴∠AEF=30°（等式性质） ∵∠β=80°（已知） ∴∠DEF =50°（等式性质） ∴∠γ=50°（等量代换）与角有关的辅助线（作业）例：已知：如图，∠BED =∠B +∠D ．求证：AB ∥CD ．EDBA C①读题标注：EDBA C②梳理思路：要证AB ∥CD ，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB ，CD 没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE 交CD 于点G ．GCABDE③过程书写：证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵∠BED 是△DEG 的一个外角 ∴∠BED =∠DGE +∠D ∵∠BED =∠B +∠D∴∠DGE =∠B ∴AB ∥CD12. 已知：如图，a ∥b ，则∠1+∠2-∠3=_________．ba13213. 已知：如图，∠B +∠E +∠D =360°．求证：AB ∥CD ．CA BDE14. 已知：如图，AB ∥CD ，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．4F123CDE B A15. 已知：如图，AB ∥CD ．求证：∠1+∠3 ∠2=180°．A B CD123E16. 已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A +∠B +∠C +∠D =180°．FG EDCBA321【参考答案】1. 180°2.证明：如图，过点E 作EF ∥AB ．∴∠B +∠BEF =180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B +∠BED +∠D =360°（已知） ∴∠FED +∠D =180°（等式性质）∴EF ∥CD （同旁内角互补，两直线平行）∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行） 3.证明：如图，延长BE 交CD 于点G ． ∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等） ∵∠1=∠2（已知） ∴∠2=∠5（等量代换）∴BG ∥CF （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等） 4.证明：如图，延长EA 交CD 于点F ．∵AB ∥CD （已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等） ∵∠4是△CEF 的一个外角（外角的定义）F E DBAC5GAB EDC321F44FE321DCBA∴∠4=∠2+∠ECF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ECF=180°-∠3（平角的定义）∴∠4=∠2+180°-∠3（等量代换）∴∠4+∠3-∠2=180°（等式性质）∴∠1+∠3-∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）5.证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF =∠1（等式性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BME+∠MNC=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠BME是△ABM的一个外角（外角的定义）∴∠BME=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠MNC是△CDN的一个外角（外角的定义）∴∠MNC=∠C+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°（等量代换）（方法不只一种）。