(北师大版)2018-19高中数学新学案-同步讲义-选修2-1-第二章 空间向量与立体几何 §3 3.1~3.2
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §3 3.3 Word版含答案
空间向量运算的坐标表示学习目标.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.掌握空间向量的坐标运算.会判断两向量平行或垂直.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．知识点一空间向量的坐标运算空间向量，，其坐标形式为＝(，，)，＝(，，).知识点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设＝(，，)，＝(，，)，则．在空间直角坐标系中，向量的坐标与终点的坐标相同．(×)．设＝(，，)，＝(，，)且≠，则∥⇒＝＝.(×)．四边形是平行四边形，则向量与的坐标相同．(√)．设(，－)，为坐标原点，则＝(，－)．(√)类型一空间向量坐标的计算例()已知向量＝(，－，－)，＝(，－)，则(＋)·(－)＝.()已知＋＝(，，)，－＝(，，)，则〈，〉等于()考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案()－()解析()(＋)·(－)＝＋·－·－＝×－－×＝－.()由已知得＝(，，)，＝(，)，故〈，〉＝＝＝.反思与感悟关于空间向量坐标运算的两类问题()直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．()由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练若向量＝(，)，＝()，＝()，且满足条件(－)·＝－，则＝.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案解析据题意，有－＝(－)，＝()，故(－)·＝(－)＝－，解得＝.类型二空间向量平行、垂直的坐标表示例已知空间三点(－)，(－)，(－)，设＝，＝.()若＝，∥.求；()若＋与－互相垂直，求.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解()因为＝(－，－)，且∥，所以设＝λ＝(－λ，－λ，λ)，得＝＝λ＝，解得λ＝±.即＝(－，－)或＝(，－)．()因为＝＝()，＝＝(－)，所以＋＝(－，)，－＝(＋，，－)．又因为(＋)⊥(－)，所以(＋)·(－)＝.即(－，)·(＋，，－)＝＋－＝.。
北师大版高中数学选修2-1教案：第二章空间向量与立体几何复习与小结(1)
uuur uuur uuuur 对（ x，y），使 MA xMB yMC ．
uuur uuuur uuur uuur 对于空间任一定点 O，有 OP OM xMA yMB ．对于空间任一定点 O， P、 M、 A、B 四点共面的充分必要
uuur uuuur uuur uuur 条 件是 OP xOM yOA zOB ，其中 x y z 1。
uuur r uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
在 l 上取 AB a ，则 OP OA t AB 或 OP (1 t )OA tOB ． O是空间任一点， A、 B、 C 三点共线的充要
uuur 条件是 OA
uuur xOB
uuur yOC ，其中 x +
y = 1 ．特别地，当
uuur uuur uuur uuur OP xOA yOB zOC 。
P，都存在唯一的有序实数组
x、 y、z ，使
1/ 3
rr r r
rr
a b a b cos a,b
4、空间向量的数 量积：
空间向量的数量积的性质：①
rr ae
r a cos
rr a,e
r ②a
r b
rr ab 0
rr
r 2 r r r 2 cos a,b
uuur r
aecsin uAuuBr nr
所成角为 arc
AB n
uuur 的一个法向量， AB 是平面
的斜线 l 的一个方向向量， 则直线 l 与平面
2/ 3
3、二面角的求法：① AB、 C D 分别是二面角
l
的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小为
uuur uuur AB, CD ；
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。
2018-2019高二数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 疑难规律方法 第二章
1 空间向量加减法运用的三个层次空间向量是处理立体几何问题的有力工具，但要用好向量这一工具解题，必须熟练运用加减法运算．第1层 用已知向量表示未知向量例1 如图所示，M ，N 分别是四面体OABC 的边OA ，BC 的中点，P ，Q 是MN 的三等分点，用向量OA →，OB →，OC →表示OP →和OQ →.解 OP →＝OM →＋MP → ＝12OA →＋23MN → ＝12OA →＋23(ON →－OM →) ＝12OA →＋23⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝16OA →＋23×12(OB →＋OC →) ＝16OA →＋13OB →＋13OC →； OQ →＝OM →＋MQ →＝12OA →＋13MN →＝12OA →＋13(ON →－OM →) ＝12OA →＋13⎝⎛⎭⎫ON →－12OA → ＝13OA →＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋16OB →＋16OC →. 点评 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立． 第2层 化简向量例2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD .设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量．(1)AB →＋12(BD →＋BC →)；(2)AG →－12(AB →＋AC →)．解 (1)AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋12BC →＋12BD →＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →. (2)AG →－12(AB →＋AC →)＝AG →－AM →＝MG →. AD →，AG →，MG →如图所示．点评 要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量，如果首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.两个向量相加的平行四边形法则在空间中仍成立，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑运用平行四边形法则．第3层 证明立体几何问题例3 如图，已知M ，N 分别为四面体ABCD 的平面BCD 与平面ACD 的重心，且G 为AM上一点，且GM ∶GA ＝1∶3.求证：B ，G ，N 三点共线．证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ， 则BG →＝BA →＋AG →＝BA →＋34AM →＝－a ＋14(a ＋b ＋c )＝－34a ＋14b ＋14c ，BN →＝BA →＋AN →＝BA →＋13(AC →＋AD →)＝－a ＋13b ＋13c ＝43BG →.∴BN →∥BG →，即B ，G ，N 三点共线．2 空间向量易错点扫描易错点1 对向量夹角与数量积的关系理解不清例1 “a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 错解 a·b <0⇔cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |<0⇔〈a ，b 〉为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的充要条件．错因分析 错解中忽略了两个向量共线且反向的情况．剖析 当〈a ，b 〉＝π时，a·b <0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b <0”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件． 正解 必要不充分总结 a·b <0⇔a 与b 的夹角为钝角或a 与b 方向相反，a·b >0⇔a 与b 夹角为锐角或a 与b 方向相同．易错点2 判断是否共面出错例2 已知O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间的一个基底的是( )A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →错解 a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →， 相加得OA →＋OB →＝12(a ＋b )，所以OA →，OB →都与a ，b 共面，不能构成空间的一个基底，故选D.剖析 OA →＋OB →＝12(a ＋b )，说明OA →＋OB →与a ，b 共面，但不能认为OA →，OB →都与a ，b 共面．对A ，B ：设OA →＝x a ＋y b ，因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，代入整理得(x ＋y －1)OA →＋(x ＋y )OB →＋(x －y )OC →＝0，因为O ，A ，B ，C 四点不共面， 所以OA →，OB →，OC →不共面，所以x ＋y －1＝0，x ＋y ＝0，x －y ＝0， 此时，x ，y 不存在，所以a ，b 与OA →不共面， 故a ，b 与OA →可构成空间的一个基底． 同理a ，b 与OB →也可构成空间的一个基底．对C ：因为a ＝OA →＋OB →＋OC →，b ＝OA →＋OB →－OC →，相减有OC →＝12(a －b )，所以OC →与a ，b 共面，故不能构成空间的一个基底． 正解 C易错点4 混淆向量运算和实数运算 例4 阅读下列各式，其中正确的是( ) A ．a ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c B ．a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0 C ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )D.OA →·BO →＝|OA →||BO →|cos(180°－∠AOB ) 错解 A(或B 或C)剖析 想当然地将向量的数量积运算和实数运算等价，以致出错．向量的数量积运算不满足消去律，结合律，故A ，C 错误；a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故B 错误；OA →·BO →的夹角是180°－∠AOB . 正解 D易错点4 忽略建系的前提例4 四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC ＝60°，AE ⊥平面ABCD ，AE ＝2，F 为CE 中点，试建立合理的坐标系，求AF →，BC →夹角的余弦值．错解 以A 为坐标原点，以AB →，AD →，AE →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz .此时AF →＝(1,1,1)，BC →＝(0,2,0)，所以cos 〈AF →，BC →〉＝33.剖析 空间直角坐标系的建立的前提是三条直线两两垂直，而本题中直线AB 与AD 不垂直． 正解 设AC ，BD 交于点O ，则AC ⊥BD . 因为F 为CE 中点，所以OF ∥AE ， 因为AE ⊥平面ABCD ，所以OF ⊥平面ABCD ，OF ⊥AC ，OF ⊥BD ，以O 为坐标原点，以OC →，OD →，OF →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .此时AF →＝(1,0,1)，BC →＝(1，3，0)， 所以cos 〈AF →，BC →〉＝24.易错点5 求空间角时，因对所求角与向量夹角的关系不理解致误例5 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求平面ABD 1与平面BD 1C 的夹角的大小．错解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1， 则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)， C 1(0,1,1)．由题意知A 1D →是平面ABD 1的一个法向量，A 1D →＝(－1,0，－1)，DC 1→是平面BCD 1的一个法向量， DC 1→＝(0,1,1)，所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为120°.剖析 利用向量法求所成角问题，需注意所求的角的取值范围．正解 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)．由题意知AD 1→＝(－1,0，－1)是平面ABD 1的一个法向量，DC 1→＝(0,1,1)是平面BCD 1的一个法向量．所以cos 〈AD 1→，DC 1→〉＝DC 1→·AD 1→|DC 1→||AD 1→|＝－12，所以〈AD 1→，DC 1→〉＝120°.所以平面ABD 1与平面BD 1C 夹角的大小为60°.3 空间直角坐标系构建三策略利用空间向量的方法解决立体几何问题，关键是依托图形建立空间直角坐标系，将其他向量用坐标表示，通过向量运算，判定或证明空间元素的位置关系，以及空间角、空间距离问题的探求．所以如何建立空间直角坐标系显得非常重要，下面简述空间建系的三种方法，希望同学们面对空间几何问题能做到有的放矢，化解自如． 1．利用共顶点的互相垂直的三条棱例1 已知在直四棱柱中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，试求直线BC 1与CD 夹角的余弦值．解 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，C 1(0,1,2)，B (2,4,0)，C (0,1,0)， 所以BC 1→＝(－2，－3,2)，CD →＝(0，－1,0)． 所以cos 〈BC 1→，CD →〉＝BC 1→·CD →|BC 1→||CD →|＝31717.故直线BC 1与CD 夹角的余弦值为31717.点评 本例以直四棱柱为背景，求直线与直线的夹角．求解关键是从直四棱柱图形中的共点的三条棱互相垂直关系处着眼，建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标和相关向量的坐标，再求两直线的方向向量的夹角即可． 2．利用线面垂直关系例2 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥平面BB 1C 1C ，E 为棱C 1C 的中点，已知AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标．解 过B 点作BP 垂直于BB 1交C 1C 于P 点， 因为AB ⊥平面BB 1C 1C ，所以BP ⊥平面ABB 1A 1，以B 为坐标原点，分别以BP ，BB 1，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Bxyz ，如图．因为AB ＝2，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝π3，所以CP ＝12，C 1P ＝32，BP ＝32，则各点坐标分别为B (0，0,0)，A (0,0，2)，B 1(0,2,0)，C ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，C 1⎝⎛⎭⎫32，32，0，E⎝⎛⎭⎫32，12，0，A 1()0，2，2. 点评 空间直角坐标系的建立，要尽量地使尽可能多的点落在坐标轴上，这样建成的坐标系，既能迅速写出各点的坐标，又由于坐标轴上的点的坐标含有0，也为后续的运算带来了方便．本题已知条件中的垂直关系“AB ⊥平面BB 1C 1C ”，可作为建系的突破口． 3．利用面面垂直关系例3 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点．将△ABE 沿AE 折起，使平面BAE ⊥平面AEC (如图2)，连接BC ，BD .求平面ABE 与平面BCD 夹角的大小．解 取AE 中点M ，连接BM ，DM .因为在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ，∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点， 所以△ABE 与△ADE 都是等边三角形， 所以BM ⊥AE ，DM ⊥AE .又平面BAE ⊥平面AEC ，所以BM ⊥MD .以M 为坐标原点，分别以ME ，MD ，MB 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Mxyz ，如图，则E (1,0,0)，B (0,0，3)，C (2，3，0)，D (0，3，0)， 所以DC →＝(2,0,0)，BD →＝(0，3，－3)， 设平面BCD 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DC →＝2x ＝0，m ·BD →＝3y －3z ＝0，取y ＝1，得m ＝(0,1,1)，又因为平面ABE 的一个法向量为MD →＝(0，3，0)，所以cos 〈m ，MD →〉＝m ·MD →|m ||MD →|＝22，所以平面ABE 与平面BCD 夹角为45°.点评 本题求解关键是利用面面垂直关系，先证在两平面内共点的三线垂直，再构建空间直角坐标系，然后分别求出两个平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，即可得所求的两平面夹角的大小．4 用向量法研究“动态”立体几何问题“动态”立体几何问题是在静态几何问题中渗透了一些“动态”的点、线、面等元素，同时由于“动态”的存在，使得问题的处理趋于灵活．本文介绍巧解“动态”立体几何问题的法宝——向量法，教你如何以静制动． 1．求解、证明问题例1 在棱长为a 的正方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，E ，F 分别是AB ，BC 上的动点，且AE ＝BF ，求证：A 1F ⊥C 1E .证明 以O 为坐标原点，OA ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )． 设AE ＝BF ＝x (0≤x ≤G )， ∴E (a ，x,0)，F (a －x ，a,0)． ∴A 1F →＝(－x ，a ，－a )， C 1E →＝(a ，x －a ，－a )．∵A 1F →·C 1E →＝(－x ，a ，－a )·(a ，x －a ，－a ) ＝－ax ＋ax －a 2＋a 2＝0， ∴A 1F →⊥C 1E →，即A 1F ⊥C 1E . 2．定位问题例2 如图，已知四边形ABCD ，CDGF ，ADGE 均为正方形，且边长为1，在DG 上是否存在点M ，使得直线MB 与平面BEF 的夹角为45°？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．解题提示 假设存在点M ，设平面BEF 的法向量为n ，设BM 与平面BEF 所成的角为θ，利用sin θ＝|BM →·n ||BM →||n |求出点M 的坐标，若满足条件则存在．解 因为四边形CDGF ，ADGE 均为正方形， 所以GD ⊥DA ，GD ⊥DC .又DA ∩DC ＝D ，DA ，DC ?平面ABCD ， 所以GD ⊥平面ABCD .又DA ⊥DC ，所以DA ，DG ，DC 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DG 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则B (1,1,0)，E (1,0,1)，F (0,1,1)．因为点M 在DG 上，假设存在点M (0,0，t )(0≤t ≤1)使得直线BM 与平面BEF 的夹角为45°. 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 因为BE →＝(0，－1,1)，BF →＝(－1,0,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BE →＝0，n ·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)为平面BEF 的一个法向量．又BM →＝(－1，－1，t )，直线BM 与平面BEF 的夹角为45°，所以sin45°＝|BM →·n ||BM →||n |＝|－2＋t |t 2＋2×3＝22， 解得t ＝－4±3 2.又0≤t ≤1， 所以t ＝32－4.故在DG 上存在点M (0,0,32－4)，且当DM ＝32－4时，直线MB 与平面BEF 夹角为45°. 点评 由于立体几何题中“动态”性的存在，使有些问题的结果变得不确定，这时我们要以不变应万变，抓住问题的实质，引入参量，利用空间垂直关系及数量积将几何问题代数化，达到以静制动的效果．5向量与立体几何中的数学思想1．数形结合思想向量方法是解决问题的一种重要方法，坐标是研究向量问题的有效工具，利用空间向量的坐标表示可以把向量问题转化为代数运算，从而沟通了几何与代数的联系，体现了数形结合的重要思想．向量具有数形兼备的特点，因此，它能将几何中的“形”和代数中的“数”有机地结合在一起．例1如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，AD∥BC，且A1A＝AB＝AD＝2BC＝2，点E在棱AB上，平面A1EC与棱C1D1相交于点F.(1)证明：A1F∥平面B1CE；(2)若E是棱AB的中点，求平面A1ECF与平面DEC夹角的余弦值；(3)求三棱锥B1－A1EF的体积的最大值．(1)证明因为ABCD－A1B1C1D1是棱柱，所以平面ABCD∥平面A1B1C1D1.又因为平面ABCD∩平面A1ECF＝EC，平面A1B1C1D1∩平面A1ECF＝A1F，所以A1F∥EC.又因为A1F平面B1CE，EC?平面B1CE，所以A1F∥平面B1CE.(2)解因为AA1⊥底面ABCD，∠BAD＝90°，所以AA1，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y 轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz.则A 1(0,0,2)，E (1,0,0)，C (2,1,0)， 所以A 1E →＝(1,0，－2)，A 1C →＝(2,1，－2)． 设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由A 1E →·m ＝0，A 1C →·m ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0， 令z ＝1，得m ＝(2，－2,1)．又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13.所以平面A 1ECF 与平面DEC 夹角的余弦值为13.(3)解 过点F 作FM ⊥A 1B 1于点M ， 因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 平面A 1ABB 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1B 1， FM ?平面A 1B 1C 1D 1， 所以FM ⊥平面A 1ABB 1，所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×11A B ES ×FM＝13×2×22×FM ＝23FM . 因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)， 所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.2．转化与化归思想空间向量的坐标及运算为解决立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题提供了工具，因此我们要善于把这些问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题，利用向量方法解决．将几何问题化归为向量问题，然后利用向量的性质进行运算和论证，再将结果转化为几何问题．这种“从几何到向量，再从向量到几何”的思想方法，在本章尤为重要．例2 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，F 为D 1E 上的一点，D 1F ＝2FE .(1)证明：平面DFC ⊥平面D 1EC ；(2)求平面ADF 与平面DFC 夹角的余弦值．分析 求平面与平面的夹角最常用的办法就是分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小，但要注意平面与平面之间的夹角为锐角． (1)证明 以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，A (1,0,0)， B (1,2,0)，C (0,2,0)， D 1(0,0,2)． DC →＝(0,2,0)， D 1C →＝(0,2，－2)， ∵E 为AB 的中点， ∴E (1,1,0)， ∵D 1F ＝2FE ，∴D 1F →＝23D 1E →＝23(1,1，－2)＝⎝⎛⎭⎫23，23，－43， ∴DF →＝DD 1→＋D 1F →＝(0,0,2)＋⎝⎛⎭⎫23，23，－43 ＝⎝⎛⎭⎫23，23，23.设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面DFC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DF →＝0，n ·DC →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋23y 1＋23z 1＝0，2y 1＝0，取x 1＝1，得平面DFC 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)． 设p ＝(x 2，y 2，z 2)是平面D 1EC 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ p ·D 1F →＝0，p ·D 1C →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 2＋23y 2－43z 2＝0，2y 2－2z 2＝0，设平面ADF 与平面DFC 的夹角为0，取y 2＝1，得平面D 1EC 的一个法向量为p ＝(1,1,1)，∵n ·p ＝(1,0，－1)·(1,1,1)＝0， ∴平面DFC ⊥平面D 1EC .(2)解 设q ＝(x 3，y 3，z 3)是平面ADF 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧q ·DF →＝0，q ·DA →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧23x 3＋23y 3＋23z 3＝0，x 3＝0，取y 3＝1，得平面ADF 的一个法向量为q ＝(0,1，－1)， 设平面ADF 与平面DFC 的夹角为θ， 则cos θ＝|n ·q ||n ||q |＝|0＋0＋1|2×2＝12，∴平面ADF 与平面DFC 的夹角的余弦值为12.3．函数思想例3 已知关于x 的方程x 2－(t －2)x ＋t 2＋3t ＋5＝0有两个实根，且c ＝a ＋t b ，a ＝(－1,1,3)，b ＝(1,0，－2)．问|c |能否取得最大值？若能，求出实数t 的值及对应的向量b 与c 夹角的余弦值；若不能，请说明理由．分析 写出|c |关于t 的函数关系式，再利用函数观点求解． 解 由题意知Δ≥0，得－4≤t ≤－43.又c ＝(－1,1,3)＋t (1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t )， ∴|c |＝(－1＋t )2＋(3－2t )2＋1 ＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65. 当t ∈⎣⎡⎦⎤－4，－43时，f (t )＝5⎝⎛⎭⎫t －752＋65是单调递减函数，∴y max ＝f (－4)，即|c |的最大值存在， 此时c ＝(－5,1,11)．b·c ＝－27，|c |＝7 3.而|b |＝5， ∴cos 〈b ，c 〉＝b·c |b||c |＝－275×73＝－91535.点评 凡涉及向量中的最值问题，若可用向量坐标形式，一般可考虑写出函数关系式，利用函数思想求解．4．分类讨论思想例4 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，P A ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 上方)，问BC 边上是否存在点Q ，使PQ →⊥QD →？分析 由PQ →⊥QD →，得PQ ⊥QD ，所以在平面ABCD 内，点Q 在以边AD 为直径的圆上，若此圆与边BC 相切或相交，则BC 边上存在点Q ，否则不存在． 解 假设存在点Q (Q 点在边BC 上)，使PQ →⊥QD →， 即PQ ⊥QD ，连接AQ .∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥QD . 又PQ →＝P A →＋AQ →且PQ →⊥QD →， ∴PQ →·QD →＝0， 即P A →·QD →＋AQ →·QD →＝0. 又由P A →·QD →＝0， ∴AQ →·QD →＝0， ∴AQ →⊥QD →.即点Q 在以边AD 为直径的圆上，圆的半径为a2.又∵AB ＝1，由题图知，当a2＝1，即a ＝2时，该圆与边BC 相切，存在1个点Q 满足题意； 当a2>1，即a >2时，该圆与边BC 相交，存在2个点Q 满足题意； 当a2<1，即a <2时，该圆与边BC 相离，不存在点Q 满足题意． 综上所述，当a ≥2时，存在点Q ，使PQ →⊥QD →； 当0<a <2时，不存在点Q ，使PQ →⊥QD →.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(二) Wo
§空间向量的运算(二)学习目标.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算与运算律.掌握两个向量的数量积在判断向量共线与垂直中的应用．知识点数量积的概念及运算律．已知两个非零向量，，则〈，〉叫作，的数量积，记作·，即·＝〈，〉．．空间向量数量积的性质()⊥⇔·＝.()＝·，＝.()〈，〉＝.．空间向量数量积的运算律()(λ)·＝λ(·)(λ∈)．()·＝·(交换律)．()·(＋)＝·＋·(分配律)．特别提醒：不满足结合律(·)·＝·(·)．．对于非零向量，由·＝·，可得＝.(×)．对于向量，，，有(·)·＝·(·)．(×)．若非零向量，为共线且同向的向量，则·＝.(√)．对任意向量，，满足·≤.(√)类型一数量积的计算例如图所示，在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，求：()·；()·；()·；()·.考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解()·＝·＝〈，〉＝°＝.()·＝·＝＝.()·＝·＝〈，〉＝°＝－.()·＝·(－)＝·－·＝〈，〉－〈，〉＝°－°＝.反思与感悟()已知，的模及与的夹角，直接代入数量积公式计算．()如果要求的是关于与的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用·＝及数量积公式进行计算．跟踪训练已知在长方体－中，＝＝，＝，为侧面的中心，为的中点．试计算：()·；()·；()·.考点空间向量数量积的概念及性质题点用定义求数量积解如图，设＝，＝，＝，则＝＝，＝，·＝·＝·＝.()·＝·＝＝＝.()·＝·(＋)＝－＝－＝.()·＝·＝(－＋＋)·＝－＋＝.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
1.空间向量的运算及运算律空间向量加法、减法、数乘、向量的意义及运算律与平面向量类似，空间任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量，两个向量相加的三角形法则与平行四边形法则仍然成立.2.两个向量的数量积的计算向量的数量积运算要遵循数量积的性质和运算律，常用于有关向量相等、两向量垂直、投影、夹角等问题中.3.空间向量的坐标运算，关键是建立恰当的空间直角坐标系，然后再利用有关公式计算求解.常用向量的坐标运算来证明向量的垂直和平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式求解空间角与空间距离的问题.4.空间向量的基本定理说明：用三个不共面的已知向量{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的.5.利用向量解决几何问题具有快捷、有效的特征.一般方法如下：先将原问题转化为等价的向量问题，即将已知条件中的角转化为向量的夹角，线段长度转化为向量的模，并用已知向量表示出未知向量，然后利用向量的运算解决该向量问题，从而原问题得解.6.利用向量坐标解决立体几何问题的关键在于找准位置，建立适当、正确的空间直角坐标系，难点是在已建好的坐标系中表示出已知点的坐标，只有正确表示出已知点的坐标，才能通过向量的坐标运算，实现几何问题的代数化解法.1.数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言与直观图形结合来思索，抽象思维和形象思维结合，通过“以形助数”和“以数解形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题过程的目的.空间向量是既有大小又有方向的量，空间向量本身就具有数形兼备的特点，因此将立体几何中的“形”与代数中的“数”有机地结合在一起，使解答过程顺畅、简捷、有效，提高解题速度.例1 一几何体ABC －A 1B 1C 1的三视图和直观图如图所示.(1)求证：A 1C ⊥平面AB 1C 1；(2)求平面AB 1C 1与平面AB 1C 的夹角的余弦值.(1)证明 由三视图可知，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AA 1⊥底面A 1B 1C 1，B 1C 1⊥A 1C 1，且AA 1＝AC ＝4，BC ＝3. 以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.由已知可得A (4,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,0)，A 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(0,0,4)，∴CA 1→＝(4,0,4)，C 1A →＝(4,0，－4)，C 1B 1→＝(0,3,0)， ∴CA 1→·C 1A →＝0，CA 1→·C 1B 1→＝0， ∴CA 1⊥C 1A ，CA 1⊥C 1B 1，又C 1A ∩C 1B 1＝C 1，C 1A 平面AB 1C 1，C 1B 1平面AB 1C 1， ∴A 1C ⊥平面AB 1C 1.(2)解 由(1)得，CA →＝(4,0,0)，CB 1→＝(0,3,4)，设平面AB 1C 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·CB 1→＝0得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(4，0，0)＝0，(x ，y ，z )·(0，3，4)＝0 化简得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3y ＋4z ＝0，取y ＝4，即n ＝(0,4，－3)由(1)得，C 1B 1→＝(0,3,0)，C 1A →＝(4,0，－4)， 设平面AB 1C 1的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)由⎩⎪⎨⎪⎧m ·C 1B 1→＝0，m ·C 1A →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧(x ′，y ′，z ′)·(0，3，0)＝0，(x ′，y ′，z ′)·(4，0，－4)＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧y ′＝0，4x ′－4z ′＝0，∴m ＝(1,0,1)， ∴cos 〈m ·n 〉＝m ·n|m |·|n |＝－35×2＝－3210，∴平面AB 1C 1与平面AB 1C 的夹角的余弦值为3210.跟踪训练1 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .证明 (1)建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，所以FC 1→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →＝(0,2,1). 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2). 因为FC 1→·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1→⊥n 1. 又因为FC 1⊈平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)因为C 1B 1→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量.由n 2⊥FC 1→，n 2⊥C 1B 1→， 得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC 1→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，所以n 1∥n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . 2.转化与化归思想转化与化归思想是指在解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.其本质含义是：在解决一个问题时人们的眼光并不落在结论上，而是去寻觅、追溯一些熟知的结论，由此将问题化繁为简，化大为小，各个击破，达到最终解决问题的目的.例2 如图所示，已知多面体EABCDF 的底面ABCD 是边长为2的正方形，EA ⊥底面ABCD ，FD ∥EA ，且FD ＝12EA ＝1.(1)求多面体EABCDF 的体积；(2)求直线EB 与平面ECF 所成角的正弦值；(3)记线段BC 的中点为K ，在平面ABCD 内过点K 作一条直线与平面ECF 平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明.解 (1)如图所示，连接ED ， ∵EA ⊥底面ABCD 且FD ∥EA ， ∴FD ⊥底面ABCD ， ∴FD ⊥AD ，∵DC ⊥AD ，FD ∩CD ＝D ，FD 平面FDC ，CD 平面FDC ， ∴AD ⊥平面FDC ，∴V E －FCD ＝13AD ·S △FDC ＝13×12×1×2×2＝23.V E －ABCD ＝13EA ·S ▱ABCD ＝13×2×2×2＝83，∴多面体EABCDF 的体积V 多面体＝V E －FCD ＋V E －ABCD ＝103. (2)以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，AE所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示.由已知可得A (0,0,0)，E (0,0,2)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，F (0,2,1)， ∴EC →＝(2,2，－2)，EB →＝(2,0，－2)，EF →＝(0,2，－1)， 设平面ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y －2z ＝0，2y －z ＝0，取y ＝1，得平面ECF 的一个法向量为n ＝(1,1,2)， 设直线EB 与平面ECF 所成角为θ，∴sin θ＝|cos 〈n ，EB →〉|＝|n ·EB →|n |·|EB →||＝|－243|＝36.(3)如图所示，取线段CD 的中点Q ，连接KQ ，直线KQ 即为所求.跟踪训练2 如图，四棱锥F-ABCD 的底面ABCD 是菱形，其对角线AC ＝2，BD ＝ 2.CF 与平面ABCD 垂直，CF ＝2.求平面ABF 与平面ADF 的夹角的大小.解 过点A 作AE ⊥平面ABCD .以A 为坐标原点，BD →、AC →、AE →方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图).于是B ⎝⎛⎭⎫－22，1，0， D ⎝⎛⎭⎫22，1，0，F (0,2,2).设平面ABF 的法向量n 1＝(x ，y ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB →＝0，n 1·AF →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－22x ＋y ＝0，2y ＋2z ＝0.令z ＝1，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1. 所以n 1＝(－2，－1,1).同理，可求得平面ADF 的法向量n 2＝(2，－1,1). 由n 1·n 2＝0知，平面ABF 与平面ADF 垂直， 所以平面ABF 与平面ADF 的夹角的大小等于π2.3.方程思想方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.用空间向量解决立体几何问题属于用代数方法求解，很多时候需引入未知量.例3 如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，AB ＝3，BC ＝1，P A ＝2，E 为PD 的中点. (1)求直线AC 与PB 所成角的余弦值；(2)在侧面P AB 内找一点N ，使NE ⊥平面P AC ，并求出点N 到AB 的距离和点N 到AP 的距离.解 (1)以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，则A (0,0,0)，B (3，0,0)，C (3，1,0)，P (0,0,2)，D (0,1,0)，E (0，12，1)，从而AC →＝(3，1,0)，PB →＝(3，0，－2). 设AC →与PB →的夹角为θ， 则cos θ＝|AC →·PB →||AC →||PB →|＝327＝3714，所以AC 与PB 所成角的余弦值为3714.(2)由于点N 在侧面P AB 内， 故可设点N 的坐标为(x,0，z )， 则NE →＝(－x ，12，1－z ).由题意知AP →＝(0,0,2)，AC →＝(3，1,0)， 由NE ⊥平面P AC ，得⎩⎪⎨⎪⎧NE →·AP →＝0，NE →·AC →＝0，即⎩⎨⎧(－x ，12，1－z )·(0，0，2)＝0，(－x ，12，1－z )·(3，1，0)＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ z －1＝0，－3x ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36，z ＝1， 即点N 的坐标为(36，0,1)， 所以点N 到AB 的距离为1，点N 到AP 的距离为36.跟踪训练3 如图，在直三棱柱ABC-A1B 1C 1中，AB ＝4，AC ＝BC ＝3，D 为AB 的中点.(1)求点C 到平面A 1ABB 1的距离；(2)若AB 1⊥A 1C ，求平面A 1CD 与平面C 1CD 的夹角的余弦值. 解 (1)由AC ＝BC ，D 为AB 的中点，得CD ⊥AB ，又CD ⊥AA 1，AA 1∩AB ＝A ，AA 1平面A 1ABB 1，AB 平面A 1ABB 1，故CD ⊥平面A 1ABB 1，所以点C 到平面A 1ABB 1的距离为CD ＝BC 2－BD 2＝ 5.(2)如图，过点D 作DD 1∥AA 1交A 1B 1于D 1，在直三棱柱中，易知DB ，DC ，DD 1两两垂直，以D 为原点，射线DB ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .设直三棱柱的高为h ，则A (－2,0,0)，A 1(－2,0，h )，B 1(2,0，h )，C (0，5，0)，C 1(0，5，h )，从而AB 1→＝(4,0，h )，A 1C →＝(2，5，－h )， 由AB 1→⊥A 1C →，有8－h 2＝0，h ＝2 2.故DA 1→＝(－2,0,22)，CC 1→＝(0,0,22)，DC →＝(0，5，0). 设平面A 1CD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ⊥DC →，m ⊥DA 1→，即⎩⎨⎧5y 1＝0，－2x 1＋22z 1＝0，取z 1＝1，得m ＝(2，0,1).设平面C 1CD 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ⊥DC →，n ⊥CC 1→，即⎩⎨⎧5y 2＝0，22z 2＝0，取x 2＝1，得n ＝(1,0,0)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝22＋1×1＝63.所以平面A 1CD 与平面C 1CD 的夹角的余弦值为63.空间向量的引入为立体几何问题的解决提供了新的思路，作为解决空间几何问题的重要工具，对空间向量的考查往往渗透于立体几何问题解决的过程之中，成为新课标高考必考的热点之一.(1)对本章的考查的重点是空间线面之间的位置关系的证明与探究；空间中的线线角、线面角以及面面角的求解；空间中简单的点点距和点面距的求解.给出位置关系、角度或距离探求点的存在性问题在近几年考查中已有体现.题目主要以解答题的形式给出，兼顾传统的立体几何的求解方法，主要考查空间向量在解决立体几何中的应用，渗透空间向量的基本概念和运算.(2)空间向量的引入使空间几何体也具备了“数字化”的特征，从而把空间线面关系的逻辑推理证明与空间角、距离的求解变成了纯粹的数字运算问题，降低了思维的难度，成为新课标高考必考的热点.考查的重点是结合空间几何体的结构特征求解空间角与距离，其中二面角(面面角)是历年新课标高考命题的热点，多为解答题.(3)利用向量处理平行和垂直问题，主要是解决立体几何中有关垂直和平行判断的一些命题.对于垂直，主要利用a⊥b⇔a·b＝0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.利用向量处理角度的问题，利用向量求空间角(线线角、线面角、面面角)，其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝a·b|a|·|b|进行计算.。
2018版高中数学北师大版选修2-1学案：第二章 空间向量
[学习目标] 1.了解空间向量的概念.2.经历向量的有关概念由平面向空间推广的过程.3.了解空间中直线的方向向量，平面的法向量，共面向量与不共面向量的概念.知识点一 空间向量(1)在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量.(2)向量用小写字母表示，如：a ，b .也可用大写字母表示，如：AB →，其中A 叫作向量的起点，B 叫作向量的终点.(3)数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量.(4)与平面向量一样，空间向量的大小也叫作向量的长度或模，用|AB →|或|a |表示.(5)向量夹角的定义：如图所示，两非零向量a ，b ，在空间中任取点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉.(6)向量夹角的范围：规定0≤〈a ，b 〉≤π.(7)特殊角：当〈a ，b 〉＝π2时，向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ；当〈a ，b 〉＝0或π时，向量a 与b 平行，记作a ∥b . 知识点二 向量、直线、平面(1)所谓直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量，一条直线的方向向量有无数个. (2)如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量，叫作平面α的法向量.平面α有无数个法向量，平面α的所有法向量都平行.(3)空间中，若一个向量所在直线平行于一个平面，则称这个向量平行于该平面.(4)把平行于同一平面的一组向量称作共面向量，不平行于同一个平面的一组向量称为不共面向量.(5)平行于一个平面的向量垂直于该平面的法向量.思考 观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的三个向量OA →，OB →，OC →，它们和以前所学的向量有什么不同？答案 OA →，OB →，OC →是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内.题型一 空间向量的概念 例1 判断下列命题的真假.(1)空间中任意两个单位向量必相等； (2)方向相反的两个向量是相反向量； (3)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ； (4)向量AB →与BA →的长度相等.解 (1)假命题.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同. (2)假命题.因为方向相反的两个向量模不一定相等.(3)假命题.因为两个向量模相等时，方向不一定相同或相反，也可以是任意的. (4)真命题.因为BA →与AB →仅是方向相反，但长度是相等的.反思与感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念.跟踪训练1 如图所示，以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与AB →相等的所有向量； (2)试写出AA 1→的相反向量；(3)若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模.解 (1)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→共3个. (2)向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →. (3)|AC 1→|＝3.题型二 直线的方向向量与平面的法向量例2 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，PB ＝3，P A ＝PD ＝CD ＝BC ＝1，AD ＝2，AB ＝2，E 是AD 的中点，试证明PE →是面ABCD 的一个法向量，BD →是面P AD 的一个法向量. 证明 在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝1，∴BD ＝2， 在△ABD 中，AD ＝BD ＝2，AB ＝2，∴∠ADB ＝90°，在△PBD 中，BD ＝2，PD ＝1，PB ＝3， ∴∠PDB ＝90°， ∴BD ⊥PD ，BD ⊥AD ， ∴BD ⊥平面P AD .即BD →是平面P AD 的一个法向量，在△P AD 中，P A ＝PD ＝1，AD ＝2，E 是AD 的中点， ∴PE ⊥AD ，且PE ＝22， 在Rt △BDE 中，BD ＝2，DE ＝22，∴BE ＝52， 在△PBE 中，PE ＝22，BE ＝52，PB ＝3， ∴∠PEB ＝90°，∴PE ⊥BE ， 又PE ⊥AD ，∴PE ⊥平面ABCD ， 即PE →为平面ABCD 的一个法向量.反思与感悟 (1)搞清直线的方向向量、平面的法向量和直线、平面的位置关系之间的内在联系；(2)要熟练掌握判断向量共线、垂直的方法，在把向量问题转化为几何问题时，注意其等价性. 跟踪训练2 如图所示，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，底面ABCD为正方形且PD ＝AD ＝CD ，E 、F 分别是PC 、PB 的中点. (1)试以F 为起点作直线DE 的方向向量； (2)试以F 为起点作平面PBC 的法向量. 解 (1)∵E 、F 分别是PC 、PB 的中点， ∴EF 綊12BC ，又BC 綊AD ，∴EF 綊12AD ，取AD 的中点M ，连接MF ，则由EF 綊DM 知四边形DEFM 是平行四边形， ∴MF ∥DE ，∴FM →就是直线DE 的一个方向向量. (2)∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥BC ， 又BC ⊥CD ，∴BC ⊥面PCD ， ∵DE 面PCD ，∴DE ⊥BC ， 又PD ＝CD ，E 为PC 中点， ∴DE ⊥PC ，从而DE ⊥面PBC ， ∴DE →是面PBC 的一个法向量， 由(1)可知FM →＝ED →，∴FM →就是平面PBC 的一个法向量. 题型三 空间向量的夹角例3 如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求： (1)〈AB →，D 1C 1→〉； (2)〈AB →，CD →〉； (3)〈BA 1→，AD 1→〉.解 (1)由图知AB →＝D 1C 1→，则二者的方向相同， 所以〈AB →，D 1C 1→〉＝0；(2)根据题意易知AB →与CD →的方向相反， 所以〈AB →，CD →〉＝π；(3)连接BC 1，A 1C 1，A 1B ， 因为AD 1→＝BC 1→，所以〈BA 1→，AD 1→〉＝〈BA 1→，BC 1→〉，而△A 1BC 1为等边三角形，所以〈BA 1→，AD 1→〉＝〈BA 1→，BC 1→〉＝π3.反思与感悟 本题研究了三个特殊的夹角，在数学中所研究的向量是与向量的起点无关的自由向量，可以设法将向量平移到同一起点上，然后再研究向量之间的夹角问题. 跟踪训练3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中求下列向量的夹角： (1)〈AC →，DD 1→〉； (2)〈AC →，CD 1→〉； (3)〈AC →，A 1D →〉；(4)〈AC →，BD 1→〉.解 (1)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱DD 1⊥底面ABCD ，AC 面ABCD ，∴AC ⊥DD 1， ∴〈AC →，DD 1→〉＝π2.(2)连接AD 1，则AC ＝CD 1＝AD 1， 故△ACD 1为正三角形，∠ACD 1＝π3，∴〈AC →，CD 1→〉＝2π3.(3)方法一 连接AB 1，B 1C ，则有A 1D →＝B 1C →， ∴〈AC →，A 1D →〉＝〈AC →，B 1C →〉， 又AC ＝CB 1＝AB 1，∴△AB 1C 为等边三角形，∠ACB 1＝π3，∴〈AC →，B 1C →〉＝π3＝〈AC →，A 1D →〉，方法二 连接A 1C 1，C 1D ，则A 1C 1→＝AC →，且△A 1C 1D 为正三角形. ∴∠C 1A 1D ＝π3＝〈A 1C 1→，A 1D →〉＝〈AC →，A 1D →〉.(4)方法一 连接BD ，则AC ⊥BD ， 又AC ⊥DD 1，BD ∩DD 1＝D . ∴AC ⊥面BD 1D ，∵BD 1面BDD 1，∴AC ⊥BD 1， ∴〈AC →，BD 1→〉＝π2.方法二 连接BD 交AC 于点O ，取DD 1的中点M ， 则OM →＝12BD 1→，∴〈AC →，BD 1→〉＝〈AC →，OM →〉，在△MAC 中，MA ＝MC ，O 为AC 的中点， ∴MO ⊥AC .∴〈AC →，OM →〉＝π2，即〈AC →，BD 1→〉＝π2.1.两个非零向量的模相等是两个向量相等的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 B解析 a ＝b ⇒|a |＝|b |；|a |＝|b |⇏a ＝b .2.在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，各条棱所在的向量中，模与向量A ′B ′――→的模相等的向量有( )A.7个B.3个C.5个D.6个 答案 A解析 |D ′C ′――→|＝|C ′D ′――→|＝|DC →|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →| ＝|B ′A ′――→|＝|A ′B ′――→|. 3.下列说法中正确的是( )A.若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向相同或相反B.若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C.空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定是AB →＋AD →＝AC →答案 B解析 若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等，方向不确定，故A 不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故B 正确；空间向量的减法不满足结合律，故C 不正确；在▱ABCD 中，才有AB →＋AD →＝AC →，故D 不正确.故选B.4.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各条棱所在的向量中，与向量AD →相等的向量共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 答案 C解析 与AD →相等的向量有A 1D 1→，BC →，B 1C 1→，共3个. 5.两向量共线是两向量相等的________条件. 答案 必要不充分解析 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的情况.空间两向量的夹角(1)计算步骤：一作，二证，三算. (2)作法①平移法：在一向量所在直线上选取“特殊点”，作另一向量所在直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线.②补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两向量所在直线的关系，从而确定两向量的夹角.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §4 第2课时 Word版含答案
第课时用空间向量解决立体几何中的垂直问题学习目标.能用向量法判断一些简单线线、线面、面面垂直关系.掌握用向量方法证明有关空间线面垂直关系的方法步骤．知识点一向量法判断线线垂直，直线的方向向量为＝，，((设直线的方向向量为＝)，，)⇔＋＋＝.⇔＝⊥·，则知识点二向量法判断线面垂直设直线的方向向量＝(，，)，平面α的法向量μ＝(，，)，则⊥α⇔∥μ⇔＝μ(∈)．知识点三向量法判断面面垂直思考平面α，β的法向量分别为μ＝(，，)，μ＝(，，)，用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？答案＋＋＝.β)，平面＝，，ν的法向量为μ若平面梳理α的法向量为(＝(⊥μ⇔ν·＝＋，，ν⇔，则)μα⊥⇔β＋＝.．平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．(×)．两直线的方向向量垂直，则两条直线垂直．(√)．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直．(√)．两个平面的法向量平行，则这两个平面平行；两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直．(√)类型一线线垂直问题例如图，已知正三棱柱－的各棱长都为，是底面上边的中点，是侧棱上的点，且＝.求证：⊥.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明设中点为，作∥.以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得，，，，，∵为中点，∴.∴＝，＝()，∴·＝－＋＋＝.∴⊥，∴⊥.反思与感悟证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．跟踪训练如图，在直三棱柱－中，＝，＝，＝，＝，求证：⊥.考点向量法求解直线与直线的位置关系题点方向向量与线线垂直证明∵直三棱柱－底面三边长＝，＝，＝，∴，，两两垂直．。
数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §3 3.1~3.2 Word版含答案
§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理(一) 3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一 空间向量的坐标表示 空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二 空间向量基本定理思考 平面向量基本定理的内容是什么？答案 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理 (1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面．结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底． 基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C. (2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二 空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 因为OG →＝OA →＋AG →， 而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →， OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三 空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)， e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)， 设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 ⎝⎛⎭⎫－23，12，12 解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，12，12. (2)已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为P A ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(P A →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2， 所以MN →＝⎝⎛⎭⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D解析 由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2)考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________． 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎨⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点 空间向量的正交分解 题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎡⎦⎤12(PC →＋PD →)＝13(P A →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝⎛⎭⎫16AB →＋13AD →－13AP →＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA → B.OB → C.OC →D.OA →或OB →考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－65，－45，－85 B.⎝⎛⎭⎫65，－45，－85 C.⎝⎛⎭⎫－65，－45，85 D.⎝⎛⎭⎫65，45，85考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y x b －zx c ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A.⎝⎛⎭⎫14，14，14 B.⎝⎛⎭⎫34，34，34 C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC → ＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)． 三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c.(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c . AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→ ＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3， 其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF ＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量的基本定理 (1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AA 1→＋⎝⎛⎭⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，12，0，AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，1，1. (2)EF →＝AF →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝⎛⎭⎫12，0，12， EG →＝AG →－AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →－⎝⎛⎭⎫AD →＋12AA ′→ ＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12， DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0.。
数学新学案同步实用课件选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何§1
知识点三
1.向量与直线
向量与直线、平面
与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向.如图所示.
→ 为直线l的 方向向量， l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 AB → 显然，与 AB 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向
向量 平行于该直线.
2.向量与平面 如图，如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的 法向量 .
A.1
B.2 √
C.3
D.4
解析 答案
类型二 例2
求空间向量的夹角
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各
对向量的夹角： → —→ (1)〈AB，A1C1〉 ； —→ → 解 由题意知，A1C1＝AC， → —→ → → ∴〈AB，A1C1〉＝〈AB，AC〉. π 又∵∠CAB＝4， π → —→ 故〈AB，A1C1〉＝4.
解答
→ —→ (2)〈AB，C1A1〉 ；
解
π 3π → —→ → —→ 〈AB，C1A1〉＝π－〈AB，A1C1〉＝π－4＝ 4 .
π —→ → → —→ → → 由题意知，A1D1＝AD，∴〈AB，A1D1〉＝〈AB，AD〉＝2.
→ —→ (3)〈AB，A1D1〉.
解
解答
引申探究 —→ —→ 在本例中，求〈 AB1 ， DA1 〉.
空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向.
跟踪训练 2
→ → 如图，在正四面体 ABCD 中， 〈AB，CD〉的大小为
π A.4
π B.3
√
π C.2
π D.6
解析
答案
类型三
直线的方向向量与平面法向量的理解
例3 已知正四面体A－BCD. → (1)过点 A 作出方向向量为BC的空间直线；
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(一) Wo
§空间向量的运算(一)
学习目标.了解空间向量的加减法及运算律.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．
知识点一空间向量的加减法及运算律
思考下面给出了两个空间向量，，如何作出＋，－?
答
案
如图，空间中的两个向量，相加时，我们可以先把向量，平移到同一个平面α内，以任意点
为起点作＝，＝，则＝＋＝＋，＝－＝－.
梳理类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
＝＋＝＋， ＝－＝－
知识点二 空间向量的数乘运算及运算律
注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量与(≠)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得＝λ.
．若＋＝，则＝＝.(×)
．设λ∈，若＝λ，则与共线．(×)
－＝.(×)
．直线的方向向量为，若∥平面α，则∥平面α.(×)
类型一空间向量的加减运算
例如图，已知长方体－′′′′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
()－；
()＋＋.
考点空间向量的加减运算
题点空间向量的加减运算
解()－＝－＝＋＝.
()＋＋＝(＋)＋＝＋＝.
向量，如图所示．
引申探究
利用本例题图，化简＋＋＋.
解结合加法运算
＋＝，＋＝，＋＝.
故＋＋＋＝.反思与感悟()首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的
向量，即＋＋＋…＋＝. ()首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为.如图，＋＋＋＋＋＋＋＝.
跟踪训练在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝.。
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版第二章 空间向量与立体几何 §4 第1课时 Word版含答案
§用向量讨论垂直与平行第课时用空间向量解决立体几何中的平行问题学习目标.了解空间点、线、面的向量表示.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．知识点一空间中平行关系的向量表示设直线，的方向向量分别为，，平面α，β的法向量分别为μ，，则知识点二利用空间向量处理平行问题思考()设＝(，，)，＝(，，)分别是直线，的方向向量．若直线∥，则向量，应满足什么关系．()若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？()用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案()由直线方向向量的定义知若直线∥，则直线，的方向向量共线，即∥⇔∥⇔＝λ(λ∈)．()可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行．()关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行．梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论．知识点三平面的法向量及其求法在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：()设平面的法向量为＝(，，)；()找出(求出)平面内的两个不共线的向量＝(，，)，＝(，，)；()根据法向量的定义建立关于，，的方程组(\\(·＝，·＝；))()解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量．．若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)．两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) ．若向量，为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×)．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√)类型一求平面的法向量例已知△的三个顶点的坐标分别为()，()，()，试求出平面的一个法向量．考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解设平面的法向量为＝(，，)．∵()，()，()，∴＝(－)，＝(，－)．则有(\\(·(,\(→))＝，·(,\(→))＝，))即(\\(－＋＋＝，－＝，))解得(\\(＝，＝.))令＝，则＝＝.故平面的一个法向量为＝()．反思与感悟利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．跟踪训练如图所示，在四棱锥－中，底面是直角梯形，∥，∠＝°，⊥底面，且＝＝＝，＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面与平面的一个法向量．考点直线的方向向量与平面的法向量题点求平面的法向量解以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()，，()，()，。
【精品】数学新学案同步实用课件选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何§5
π 当夹角等于0时，两个平面重合；当夹角等于 2 时，两个平面互相 垂直 .
(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系
空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.
已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2. π 当0≤〈n1，n2〉≤ 2 时，平面π1与π2的夹角等于 〈n1，n2〉 ； π 当 2＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于 π－〈n1，n2〉 . 事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ， 则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|.
的夹角是 0 .
π 2 如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是__. π 0 ， 2 由此可得，直线与平面夹角的范围是_______.
(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法 空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角 确定. 设平面 α 的法向量为 n ，直线 l 的方向向量为 a ，直线l与平面 α所成的角 为θ.
异面 垂直 .
π 0 ， 2 综上，空间两条直线的夹角的范围是_______.
(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系 空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2 的方向向量分别为s1，s2. π 〈s1，s2〉 当0≤〈s1，s2〉≤ 2 时，直线l1与l2的夹角等于 ； π 当 ＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于 π－〈s1，s2〉 . 2
知识点三
直线与平面的夹角
思考 若直线l与平面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？ 答案 不一定.
梳理 (1)直线与平面夹角的概念 平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的 夹角，如图所示.
数学新学案同步实用课件选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 章末复习
线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔ a⊥μ ⇔_a__·μ__＝__0__
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝___k_v_，___k_∈___R___ l⊥m⇔_a_⊥___b_⇔__a__·b_＝___0__
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直 线线夹角 线面夹角 面面夹角
12345
解析
答案
规律与方法
解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何 法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决 问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合 起来使用.
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
[思考辨析 判断正误] 1.向量a，b的夹角〈a，b〉与它们所在直线所成的角相等.( ×) 2.两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面夹角的范围是0，π2，平 面间的夹角的范围是[0，π].( × )
3.若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( ×)
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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35 ____5____.
解析 b－a＝(1＋t,2t－1,0)， ∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02＝5t2－2t＋2
＝5t－15＋95， ∴当 t＝15时，|b－a|2min＝95，
2018-2019数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §1 Word版含答案 (5)
3.3 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.了解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算.3.会判断两向量平行或垂直.4.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式．知识点一 空间向量的坐标运算空间向量a ，b ，其坐标形式为a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则1．在空间直角坐标系中，向量AB →的坐标与终点B 的坐标相同．(×) 2．设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ⇒x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2.(×)3．四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC →的坐标相同．(√)4．设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA →＝(0,1，－1)．(√)类型一 空间向量坐标的计算例1 (1)已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3,2)，则(2a ＋3b )·(a －2b )＝________. (2)已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉等于( ) A.13B.16C.63D.66考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 (1)－244 (2)C解析 (1)(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2＋3a ·b －4a ·b －6b 2＝2×62－22－6×72＝－244. (2)由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1,0，3)， 故cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝63. 反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标．跟踪训练1 若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，且满足条件(c －a )·2b ＝－2，则x ＝________.考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 2解析 据题意，有c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)， 故(c －a )·2b ＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)若|c |＝3，c ∥BC →.求c ；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k . 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解 (1)因为BC →＝(－2，－1,2)，且c ∥BC →， 所以设c ＝λBC →＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3，解得λ＝±1.即c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 又因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )，所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0. 即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.引申探究若将本例(2)中改为“若k a －b 与k a ＋2b 互相垂直”，求k 的值． 解 由题意知k a －b ＝(k ＋1，k ，－2)，k a ＋2b ＝(k －2，k,4)， ∵(k a －b )⊥(k a ＋2b )， ∴(k a －b )·(k a ＋2b )＝0，即(k ＋1)(k －2)＋k 2－8＝0，解得k ＝－2或k ＝52，故所求k 的值为－2或52.反思与感悟 (1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线．②判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用①适当引入参数(比如向量a ，b 平行，可设a ＝λb )，建立关于参数的方程． ②选择坐标形式，以达到简化运算的目的．跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P ，Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且3B 1P —→＝PD 1—→，若PQ ⊥AE ，BD →＝λDQ →，求λ的值． 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算解 如图所示，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，设正方体棱长为1，则A (1,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a,1)， 因为3B 1P —→＝PD 1—→， 所以3(a －1，a －1,0) ＝(－a ，－a ，0)，所以3a －3＝－a ，解得a ＝34，所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫34，34，1. 由题意可设点Q 的坐标为(b ，b,0)， 因为PQ ⊥AE ，所以PQ →·AE →＝0，所以⎝⎛⎭⎫b －34，b －34，－1·⎝⎛⎭⎫－1，0，12＝0， 即－⎝⎛⎭⎫b －34－12＝0， 解得b ＝14，所以点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫14，14，0.因为BD →＝λDQ →，所以(－1，－1,0)＝λ⎝⎛⎭⎫14，14，0， 所以λ4＝－1，故λ＝－4.类型三 空间向量的夹角与长度的计算例3 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是DD 1，BD ，BB 1的中点． (1)求证：EF ⊥CF ；(2)求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值； (3)求CE 的长．考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用(1)证明 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则D (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎫0，0，12， C (0,1,0)，F ⎝⎛⎭⎫12，12，0，G ⎝⎛⎭⎫1，1，12. 所以EF →＝⎝⎛⎭⎫12，12，－12，CF →＝⎝⎛⎭⎫12，－12，0， CG →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12，CE →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12. 因为EF →·CF →＝12×12＋12×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－12×0＝0，所以EF →⊥CF →，即EF ⊥CF .(2)解 因为EF →·CG →＝12×1＋12×0＋⎝⎛⎭⎫－12×12＝14， |EF →|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－122＝32， |CG →|＝12＋02＋⎝⎛⎭⎫122＝52，所以cos 〈EF →，CG →〉＝EF →·CG →|EF →||CG →|＝1432×52＝1515.又因为异面直线所成角的范围是(0°，90°]， 所以异面直线EF 与CG 所成角的余弦值为1515. (3)解 |CE |＝|CE →|＝02＋(－1)2＋⎝⎛⎭⎫122＝52.反思与感悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题．跟踪训练3 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值． 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量在立体几何中的应用解 如图，以C为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3，∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)，∴A 1B —→＝(－1,1，－2)，B 1C —→＝(0，－1，－2)， ∴A 1B —→·B 1C —→＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3. 又|A 1B —→|＝6，|B 1C —→|＝5，∴cos 〈A 1B —→，B 1C —→〉＝A 1B —→·B 1C —→|A 1B →||B 1C —→|＝3010.又异面直线所成角为锐角或直角， 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010.1．已知M (5，－1,2)，A (4,2，－1)，O 为坐标原点，若OM →＝AB →，则点B 的坐标应为( ) A ．(－1,3，－3) B ．(9,1,1)C ．(1，－3,3)D ．(－9，－1，－1)考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B解析 OM →＝AB →＝OB →－OA →，OB →＝OM →＋OA →＝(9,1,1)．2．若△ABC 的三个顶点坐标分别为A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A解析 AB →＝(3,4,2)，AC →＝(5,1,3)，BC →＝(2，－3,1)．由AB →·AC →＞0，得A 为锐角；由CA →·CB →＞0，得C 为锐角；由BA →·BC →＞0，得B 为锐角．所以△ABC 为锐角三角形． 3．已知a ＝(2，－3,1)，则下列向量中与a 平行的是( ) A ．(1,1,1) B ．(－4,6，－2) C ．(2，－3,5)D ．(－2，－3,5)考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B解析 若b ＝(－4,6，－2)，则b ＝－2(2，－3,1)＝－2a ，所以a ∥b .4．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( ) A ．1B.15C.35D.75考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D解析 依题意得(k a ＋b )·(2a －b )＝0， 所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0， 而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1， 所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.5．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为________． 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 π3解析 ∵AB →＝(0,3,3)，AC →＝(－1,1,0)， ∴|AB →|＝32，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，又∵〈AB →，AC →〉∈[0，π]， ∴〈AB →，AC →〉＝π3.1．在空间直角坐标系中，已知点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．2．两点间的距离公式：若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则|AB |＝|AB →|＝|AB →|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＋(z 2－z 1)2.3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．一、选择题1．已知a ＝(1，－2,1)，a ＋b ＝(－1,2，－1)，则b 等于( ) A ．(2，－4,2) B ．(－2,4，－2) C ．(－2,0，－2)D ．(2,1，－3)考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B2．已知直线l 的方向向量为a ，平面α内两共点向量OA →，OB →，下列关系中能表示l ∥α的是( ) A ．a ＝OA →B ．a ＝kOB →C ．a ＝pOA →＋λOB →D ．以上均不能 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D3．已知a ＝(1,5，－2)，b ＝(m,2，m ＋2)，若a ⊥b ，则m 的值为( ) A ．0B ．6C ．－6D ．±6 考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 B解析 ∵a ⊥b ，∴1×m ＋5×2－2(m ＋2)＝0，解得m ＝6.4．已知a ＝(1,0,1)，b ＝(－2，－1,1)，c ＝(3,1,0)，则|a －b ＋2c |等于( ) A ．310B ．210C.10D ．5考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A解析 a －b ＋2c ＝(9,3,0)，|a －b ＋2c |＝310.5．已知向量a ＝(3，－2,1)，b ＝(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于( ) A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 D解析 4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．6．已知向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 为共线向量，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝32考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 C解析 ∵a ＝(2x,1,3)与b ＝(1，－2y,9)共线， ∴2x 1＝1－2y ＝39(y ≠0)， ∴x ＝16，y ＝－32.7．若A (m ＋1，n －1,3)，B (2m ，n ，m －2n )，C (m ＋3，n －3,9)三点共线，则m ＋n 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2考点 空间向量运算的坐标表示 题点 空间向量的坐标运算 答案 A解析 因为AB →＝(m －1,1，m －2n －3)，AC →＝(2，－2,6)，由题意得AB →∥AC →，所以m －12＝1－2＝m －2n －36， 所以m ＝0，n ＝0，所以m ＋n ＝0.二、填空题8．已知a ＝(2，－3,0)，b ＝(k,0,3)，〈a ，b 〉＝120°，则k ＝________.考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 －39解析 ∵a ·b ＝2k ，|a |＝13，|b |＝k 2＋9，且k ＜0，∴cos120°＝2k 13×k 2＋9，∴k ＝－39. 9．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ＋y 的值为________． 考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 4解析 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3， 即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ， ①x 2＋y －2＝2x ， ②把①代入②得x 2＋x －2＝0，即(x ＋2)(x －1)＝0，解得x ＝－2或x ＝1.当x ＝－2时，y ＝－6；当x ＝1时，y ＝3. 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ， 向量a ，b 反向，不符合题意，所以舍去． 当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，此时x ＋y ＝4. 10．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 －4解析 ∵AB →＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)，AC →＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，∴AB →在AC →方向上的投影为AB →·AC →|AC →|＝(4，－5，0)·(0，4，－3)5＝－4.11．已知向量a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25，若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为________________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215 解析 由已知得a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×⎝⎛⎭⎫－25＝3t －525，因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，即3t －525<0，所以t <5215. 若a 与b 的夹角为180°，则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)，即(5,3,1)＝λ⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝－2λ，3＝tλ，1＝－25λ，所以t ＝－65， 故t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－65∪⎝⎛⎭⎫－65，5215. 三、解答题12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.(1)求四棱锥P ABCD 的体积；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与P A 所成角的余弦值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 (1)∵四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠DAB ＝60°，∴OA ＝OC ＝3，BO ＝OD ＝1，S 菱形ABCD ＝12×2×23＝2 3. 在Rt △POB 中，∠PBO ＝60°，∴PO ＝OB ·tan60°＝ 3.∴V P －ABCD ＝13S 菱形ABCD ·PO ＝13×23×3＝2. (2)如图，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ，则B (1,0,0)，C (0，3，0)，D (－1,0,0)，A (0，－3，0)，P (0,0，3)．∴E ⎝⎛⎭⎫12，0，32， ∴DE →＝⎝⎛⎭⎫32，0，32，P A →＝()0，－3，－3. ∴DE →·P A →＝0＋0＋32×(－3)＝－32， |DE →|＝3，|P A →|＝ 6.∴cos 〈DE →，P A →〉＝DE →·P A →|DE →||P A →|＝－323×6＝－24. ∵异面直线所成的角为锐角或直角，∴异面直线DE 与P A 所成角的余弦值为24. 13．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)当(λa ＋b )∥(a －3b )时，求实数λ的值；(2)当(a －3b )⊥(λa ＋b )时，求实数λ的值．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算解 ∵a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)，∴a －3b ＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa ＋b ＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．(1)∵(λa ＋b )∥(a －3b )，∴λ－27＝5λ＋3－4＝－λ＋5－16，解得λ＝－13. (2)∵(a －3b )⊥(λa ＋b )，∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝1063. 四、探究与拓展14．已知三角形的顶点是A (1，－1,1)，B (2,1，－1)，C (－1，－1，－2)．则这个三角形的面积为________．考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算答案 1012解析 由题意得AB →＝(1,2，－2)，AC →＝(－2,0，－3)，∴|AB →|＝12＋22＋(－2)2＝3， ∴|AC →|＝(－2)2＋0＋(－3)2＝13，∴AB →·AC →＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4，∴cos A ＝cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝43×13＝41339， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝101×1339， S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝1012. 15．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. 考点 空间向量运算的坐标表示题点 空间向量的坐标运算 证明 设m ＝(13a ＋1，13b ＋1，13c ＋1)，n ＝(1,1,1)，则|m |＝4，|n |＝3，由题意知m ·n ≤|m ||n |， 即13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1≤4 3. 当且仅当113a ＋1＝113b ＋1＝113c ＋1， 即a ＝b ＝c ＝13时，取“＝”号．。
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§3向量的坐标表示和空间向量基本定理(一)3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示3．2 空间向量基本定理学习目标 1.了解空间向量基本定理.2.了解基底、标准正交基的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．知识点一空间向量的坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示知识点二空间向量基本定理思考平面向量基本定理的内容是什么？答案如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中，不共线的e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．梳理(1)空间向量基本定理(2)基底条件：三个向量a ，b ，c 不共面． 结论：{a ，b ，c }叫作空间的一个基底． 基向量：基底中的向量a ，b ，c 都叫作基向量．1．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．(×)2．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则a ，b ，c 全不是零向量．(√)3．如果向量a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a 与b 共线．(√) 4．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．(×)类型一 基底的判断例1 下列能使向量MA →，MB →，MC →成为空间的一个基底的关系式是( ) A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC(2)设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底，给出下列向量：①{a ，b ，x }；②{b ，c ，z }；③{x ，y ，a ＋b ＋c }．其中可以作为空间的基底的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个题点 空间向量基底的判断 答案 (1)C (2)B解析 (1)对于选项A ，由OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于选项B ，D ，可知MA →，MB →，MC →共面，故选C.(2)②③均可以作为空间的基底，故选B. 反思与感悟 基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．②假设a ＝λb ＋μc ，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．跟踪训练1 (1)已知a ，b ，c 是不共面的三个非零向量，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．2a B ．2b C ．2a ＋3b D ．2a ＋5c答案 D(2)以下四个命题中正确的是( ) A ．基底{a ，b ，c }中可以有零向量B ．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．空间向量的基底只能有一组 考点 空间向量基底的概念答案 B解析 使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A 不正确；△ABC 为直角三角形并不一定是AB →·AC →＝0，可能是BC →·BA →＝0，也可能是CA →·CB →＝0，故C 不正确；空间基底可以有无数多组，故D 不正确．类型二 空间向量基本定理的应用例2 如图所示，空间四边形OABC 中，G ，H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点．试用向量a ，b ，c 表示向量OG →和GH →.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 因为OG →＝OA →＋AG →， 而AG →＝23AD →，AD →＝OD →－OA →，又D 为BC 的中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)，所以OG →＝OA →＋23AD →＝OA →＋23(OD →－OA →)＝OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23OA →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13(a ＋b ＋c )． 又因为GH →＝OH →－OG →，OH →＝23OD →＝23×12(OB →＋OC →)＝13(b ＋c )， 所以GH →＝13(b ＋c )－13(a ＋b ＋c )＝－13a .所以OG →＝13(a ＋b ＋c )，GH →＝－13a .反思与感悟 用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 跟踪训练2 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．(1)用向量a ，b ，c 表示D 1B —→，EF →；(2)若D 1F —→＝x a ＋y b ＋z c ，求实数x ，y ，z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理解 (1)如图，连接AC ，EF ，D 1F ，BD 1，D 1B —→＝D 1D —→＋DB →＝－AA 1—→＋AB →－AD →＝a －b －c ， EF →＝EA →＋AF →＝12D 1A —→＋12AC →＝－12(AA 1—→＋AD →)＋12(AB →＋AD →)＝12(a －c )．(2)D 1F —→＝12(D 1D —→＋D 1B —→)＝12(－AA 1—→＋D 1B —→) ＝12(－c ＋a －b －c ) ＝12a －12b －c ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－1.类型三 空间向量的坐标表示例3 (1)设{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，a ＝4e 1－8e 2＋3e 3，b ＝－2e 1－3e 2＋7e 3，则a ，b 的坐标分别为________________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 (4，－8,3)，(－2，－3,7)解析 由于{e 1，e 2，e 3}是空间的一个单位正交基底，所以a ＝(4，－8,3)，b ＝(－2，－3,7)． (2)已知a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，求a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为a ＝(3,4,5)，e 1＝(2，－1,1)，e 2＝(1,1，－1)，e 3＝(0,3,3)，设a ＝αe 1＋βe 2＋λe 3，即(3,4,5)＝(2α＋β，－α＋β＋3λ，α－β＋3λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2α＋β＝3，－α＋β＋3λ＝4，α－β＋3λ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧α＝76，β＝23，λ＝32，所以a 沿e 1，e 2，e 3的正交分解为a ＝76e 1＋23e 2＋32e 3.反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3 (1)在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 的中点，MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为________．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12，12解析 ∵OM ＝2MA ，点M 在OA 上， ∴OM ＝23OA ，∴MN →＝MO →＋ON →＝－OM →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12b ＋12c .∴MN →在基底{a ，b ，c }下的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，12，12.(2)已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且PA ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标解 因为PA ＝AD ＝AB ＝1， 所以可设AB →＝e 1，AD →＝e 2，AP →＝e 3. 因为MN →＝MA →＋AP →＋PN → ＝MA →＋AP →＋12PC →＝MA →＋AP →＋12(PA →＋AD →＋DC →)＝－12AB →＋AP →＋12(－AP →＋AD →＋AB →)＝12AP →＋12AD →＝12e 3＋12e 2， 所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB →＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D解析 由AB →＝－i ＋j －k 只能确定向量AB →＝(－1,1，－1)，而向量AB →的起点A 的坐标未知，故终点B 的坐标不确定．2．在下列两个命题中，真命题是( )①若三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．A ．仅①B ．仅②C ．①②D ．都不是 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 ①为真命题；②中，由题意得a ，b ，c 共面，故②为假命题，故选A.3．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标是( ) A ．(12,14,10) B ．(10,12,14) C ．(14,12,10)D ．(4,3,2) 考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标 答案 A解析 设点A 在基底{a ，b ，c }下对应的向量为p ，则p ＝8a ＋6b ＋4c ＝8i ＋8j ＋6j ＋6k ＋4k ＋4i ＝12i ＋14j ＋10k ，故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(12,14,10)．4．若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋λc ，则α，β，λ的值分别为________． 考点 空间向量的正交分解题点 空间向量在单位正交基底下的坐标 答案 52，－1，－12解析 ∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋λ(e 1－e 2＋e 3) ＝(α＋β＋λ)e 1＋(α＋β－λ)e 2＋(α－β＋λ)e 3 ＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＋λ＝1，α＋β－λ＝2，α－β＋λ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧α＝52，β＝－1，λ＝－12.5．如图，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，G 为△PDC 的重心，AB →＝i ，AD →＝j ，AP →＝k ，试用基底{i ，j ，k }表示向量PG →，BG →.考点 空间向量的正交分解题点 向量在单位正交基底下的坐标解 延长PG 交CD 于点N ，则N 为CD 的中点，PG →＝23PN →＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(PC →＋PD →)＝13(PA →＋AB →＋AD →＋AD →－AP →) ＝13AB →＋23AD →－23AP →＝13i ＋23j －23k . BG →＝BC →＋CN →＋NG →＝BC →＋CN →＋13NP →＝AD →－12DC →－13PN →＝AD →－12AB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫16AB →＋13AD →－13AP →＝23AD →－23AB →＋13AP →＝－23i ＋23j ＋13k .1．基底中不能有零向量．因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量．2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．一、选择题1．下列说法中不正确的是( )A ．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底B ．竖坐标为0的向量平行于x 轴与y 轴所确定的平面C ．纵坐标为0的向量都共面D ．横坐标为0的向量都与x 轴上的基向量垂直 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 A解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直． 2．在空间直角坐标系Oxyz 中，下列说法中正确的是( ) A ．向量AB →的坐标与点B 的坐标相同 B ．向量AB →的坐标与点A 的坐标相同 C ．向量AB →的坐标与向量OB →的坐标相同 D ．向量AB →的坐标与OB →－OA →的坐标相同 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 D3．已知点O ，A ，B ，C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a ，b 不能构成空间基底的向量是( ) A.OA →B.OB →C.OC →D.OA →或OB →考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 C解析 ∵OC →＝12a －12b 且a ，b 不共线，∴a ，b ，OC →共面，∴OC →与a ，b 不能构成一组空间基底．4．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，－85B.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－45，－85C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－45，85D.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，45，85 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 设点C 坐标为(x ，y ，z )，则OC →＝(x ，y ，z )． 又AB →＝(－3，－2，－4)，OC →＝25AB →，∴x ＝－65，y ＝－45，z ＝－85.5．{a ，b ，c }为空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得x a ＋y b ＋z c ＝0，则x ，y ，z 的值分别为( ) A ．0,0,1 B ．0,0,0 C ．1,0,1D ．0,1,0考点 空间向量基底的概念题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 若x ，y ，z 中存在一个不为0的数，不妨设x ≠0，则a ＝－y xb －z xc ，∴a ，b ，c 共面．这与{a ，b ，c }是基底矛盾，故x ＝y ＝z ＝0.6．设a ，b ，c 是三个不共面向量，现从①a －b ，②a ＋b －c 中选出一个使其与a ，b 构成空间的一个基底，则可以选择的是( ) A ．仅① B ．仅② C ．①②D ．不确定考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基底的概念 答案 B解析 对于①∵a －b 与a ，b 共面， ∴a －b 与a ，b 不能构成空间的一个基底．对于②∵a ＋b －c 与a ，b 不共面，∴a ＋b －c 与a ，b 构成空间的一个基底．7．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，34，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，23 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 A解析 如图所示，连接AG 1交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，AE →＝12(AB →＋AC →)＝12(OB →－2OA →＋OC →)， AG 1—→＝23AE →＝13(OB →－2OA →＋OC →)， ∵OG →＝3GG 1—→＝3(OG 1—→－OG →)， ∴OG →＝34OG 1—→＝34(OA →＋AG 1—→)＝34⎝⎛⎭⎪⎫OA →＋13OB →－23OA →＋13OC →＝14OA →＋14OB →＋14OC →，故选A.二、填空题8.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系．已知AB ＝AD ＝2，BB 1＝1，则AD 1→的坐标为________，AC 1→的坐标为________．考点 空间向量的正交分解题点 向量的坐标 答案 (0,2,1) (2,2,1)解析 根据已建立的空间直角坐标系，知A (0,0,0)，C 1(2,2,1)，D 1(0,2,1)，则AD 1—→的坐标为(0,2,1)，AC 1→的坐标为(2,2,1)．9．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示) 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 12a ＋14b ＋14c解析 OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c . 10．若四边形ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则顶点D 的坐标为____________． 考点 空间向量的正交分解 题点 向量的坐标 答案 (5,13，－3)解析 由四边形ABCD 是平行四边形知AD →＝BC →，设D (x ，y ，z )，则AD →＝(x －4，y －1，z －3)，BC →＝(1,12，－6)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝1，y －1＝12，z －3＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝13，z ＝－3，即点D 坐标为(5,13，－3)． 三、解答题11.如图所示，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，OA →＝a ，OC →＝b ，OO ′→＝c.(1)用a ，b ，c 表示向量OB ′→，AC ′→；(2)设G ，H 分别是侧面BB ′C ′C 和O ′A ′B ′C ′的中心，用a ，b ，c 表示GH →. 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 解 (1)OB ′→＝OB →＋BB ′→＝OA →＋OC →＋OO ′→＝a ＋b ＋c .AC ′→＝AC →＋CC ′→＝AB →＋AO →＋AA ′→＝OC →＋OO ′→－OA →＝b ＋c －a . (2)GH →＝GO →＋OH →＝－OG →＋OH → ＝－12(OB ′→＋OC →)＋12(OB ′→＋OO ′→)＝12(OO ′－OC )＝12(c －b )． 12.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF →的坐标．考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3， 其方向与各轴的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴DB 1→＝(2,2,2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE →＝(2,2,1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0,1,0)．13．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13BB 1，DF＝23DD 1. (1)证明：A ，E ，C 1，F 四点共面；(2)若EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，求x ＋y ＋z 的值． 考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量的基本定理 (1)证明 因为AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→＝AB →＋AD →＋13AA 1→＋23AA 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AA 1→＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋23AA 1→＝(AB →＋BE →)＋(AD →＋DF →)＝AE →＋AF →， 所以A ，E ，C 1，F 四点共面．(2)解 因为EF →＝AF →－AE →＝AD →＋DF →－(AB →＋BE →) ＝AD →＋23DD 1→－AB →－13BB 1→＝－AB →＋AD →＋13AA 1→，所以x ＝－1，y ＝1，z ＝13，所以x ＋y ＋z ＝13.四、探究与拓展14．已知在四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.考点 空间向量基底的概念 题点 空间向量基本定理 答案 3a ＋3b －5c解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EF →＝GF →－GE →＝12CD →－12BA →＝12CD →＋12AB →＝12(5a ＋6b －8c )＋12(a －2c )＝3a ＋3b －5c . 15.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F ，G 分别为棱DD ′，D ′C ′，BC 的中点，以{AB →，AD →，AA ′→}为基底，求下列向量的坐标．(1)AE →，AG →，AF →； (2)EF →，EG →，DG →.考点 空间向量的正交分解 题点 空间向量的坐标解 (1)AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋12DD ′→＝AD →＋12AA ′→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0， AF →＝AA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝AA ′→＋AD →＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1.(2)EF →＝AF →－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA ′→＋AD →＋12AB →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA ′→＝12AA ′→＋12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EG →＝AG →－AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →－⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AA ′→＝AB →－12AD →－12AA ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，DG →＝AG →－AD →＝AB →＋12AD →－AD →＝AB →－12AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，0.。