2017—2018学年北京市第十三中学初三上学期期中数学试卷(图片版含答案)
2017-2018北京十三中分校初一第一学期数学期中试卷
2 页，第Ⅱ卷共 2 页。 100
分钟。
8．如图所示，数轴上点 A、B 对应的有理数分别为 a、b，下列说法正确的是（ A． ab 0 C． B． a b 0 D． a b 0 ). D. 0
）
100
分，考试时间
学号：
3.在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号。 4.考试结束，将试卷、机读卡及答题纸一并交回监考老师。
，则 x 的值是
y
.
B． x 的系数为 1 D． 5a 2b 的次数是 3
16．某地对居民用电收费采用阶梯电价，具体收费的标准为：每月如果不超过 90 度，那 么每度电价按 a 元收费，如果超过 90 度，超出部分电价按 b 元收费，某户居民一个月用电 120 度，该户居民这个月应交纳电费是_______________元（用含 a、b 的代数式表示）
班级： 密
5．已知 a b 1 ，则代数式 2a 2b 3 的值是（ A. 1 B. 1 ） C. 5
.
14．已知方程 2 x m 2 5 9 是关于 x 的一元一次方程，则 m=___________. 15．已知
x 1 2 y 0
2
学校：
6．下列说法中正确的是（ x y A． 是单项式 2 C． 5 不是单项式
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2017---2018 学年度北京市第十三中学分校 第一学期期中
考 生 须 知
7．若关于 x 的方程 2 x a 4 0 的解是 x 2 ，则 a 的值等于（ A． 8 B． 0 C． 2 D． 8
）
七年级
数 学 试 卷
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2.本试卷满分
2016-2017北京市十三中分校初三第一学期数学期中试卷及答案
BD ________. DC
班级： 密
封
线
参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，四边形 ABCD 中，
AB 2, BC 6, ABC 60, BD 平 分 ABC ，
如图，已知 AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽 略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高 AB 的长度．
2 13． 点 A( 3 ，y1 )， B( 2 ，y2 )在抛物线 y x 5 x 上， 则 y1
19． 已知： 如图, 在 △ ABC 中, D 是 AC 上一点, E 是 AB 上一点, 且 ∠AED =∠C. （1）求证：△AED∽△ACB； （2）若 AB=6, AD=4, AC=5, 求 AE 的长.
2 ∴ P 10 x 1500 x 50000 ∵
题
20．已知抛物线 G1：y=ax2+bx+c 的顶点为（2，-3)，且经过点（4， 1)． （1）求抛物线 G1 的解析式； （2）将抛物线 G1 先向左平移 3 个单位，再向下平移 1 个单位后得到抛物线 G2，且抛物线 G2 与 x 轴的负半轴相交于 A 点，求 A 点的坐标； 21．对于两个相似三角形，如果对应顶点沿边界按相同方向顺序环绕，那么称这两个三角 形互为同相似，如图 1， A1 B1C1 ∽ ABC ，则称 A1 B1C1 与 ABC 互为同相似；如果对应顶 点沿边界按相反方向顺序环绕，那么称这两个三角形互为异相似，如图 2 ， A2 B2C2 ∽
18．已知二次函数 y = 2x2 -4x -6. （1）用配方法将 y = 2x2 -4x-6 化成 y = a (x -h) 2 + k 的形式；
2017-2018北京十三中分校初一第一学期数学期中试卷 pdf版
10. 小博表演扑克牌游戏，她将两副牌分别交给观众 A 和观众 B，然后背过脸去，请他们 各自按照她的口令操作： a．在桌上摆 3 堆牌，每堆牌的张数要相等，每堆多于 10 张，但是不要告诉我； b．从第 2 堆拿出 4 张牌放到第 1 堆里； c．从第 3 堆牌中拿出 8 张牌放在第 1 堆里； d．数一下此时第 2 堆牌的张数，从第 1 堆牌中取出与第 2 堆相同张数的牌放在第 3 堆里； e．从第 2 堆中拿出 5 张牌放在第 1 堆中． 小博转过头问两名观众： “请告诉我现在第 2 堆有多少张牌，我就能告诉你们最初的 每堆牌数． ”观众 A 说 5 张，观众 B 说 8 张，小博猜两人最初每一堆里放的牌数分别为 （ ） A．14，17 B．14，18 C．13，16 D．12，16
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7．若关于 x 的方程 2 x a 4 0 的解是 x 2 ，则 a 的值等于（ A． 8 B． 0 C． 2 D． 8
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数 学 试 卷
1.本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共 2.本试卷满分
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17．右面的框图表示解方程 3x 7( x 1) 3 2( x 3) 的流程，其中 A 代 表 的 步 骤 是 __________ ， 步 骤 A 对 方 程 进 行 变 形 的 依 据 是 _______________________． 18．在茫茫宇宙中，存在着一种神秘的天体，任何物质经过它的附 近都会被它吸引进去，再也不能出来，这就是黑洞。在数学中也有 学号： 这种神秘的黑洞现象， 被称为“西西弗斯串”。 “西西弗斯串”是 指任意设定一个数字串，数出其中所含偶数数字的个数、奇数数字的个数、数字的总个数， 将它们按照“偶—奇—总”的顺序排列成新的数字串，再将新的数字串按照上述规则重复 进行下去，最终总能得到一个不再变化的数字串。 例如，11 位的数字串 46818957892，其中偶数数字有 6 个，奇数数字有 5 个，数字总 题 个数是 11 个，按上述规则操作得到新的数字串 6511；将所得 4 位数字串 6511 再次按规则 进行操作可得到新的数字串__________；若一直按规则重复进行操作，最终得到的数字串 答 是__________； 三、计算题（本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分， ） 4 9 19． 2 1 (16) (13) ． 20． 4 ( ) ． 9 4
北京市十三中2017届九年级数学上学期期中试卷(含解析)新人教版
2016-2017学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x﹣2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x+2）2﹣23．如果4a=5b（ab≠0），那么下列比例式变形正确的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：55．在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．120°B．140°C．150°D．160°8．二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为（）A．5 B．0 C．﹣3 D．﹣49．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式．12．把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k= ．13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是米2．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为．15．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：请回答：小涵的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2﹣6x﹣1=0．18．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由．19．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）2y）．m= ；（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1y2（用“＞”或“＜”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．22．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．25．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．28．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．2016-2017学年北京十三中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．进行分析即可．【解答】解：A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B 、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：B ．2．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x 2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）A ．y=（x+2）2+2B ．y=（x ﹣2）2﹣2C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x+2）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【解答】解：函数y=x 2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x ﹣2）2﹣4；再向上平移2个单位，得：y=（x ﹣2）2﹣2；故选B ．3．如果4a=5b （ab ≠0），那么下列比例式变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】比例的性质．【分析】根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．【解答】解：两边都除以ab ，得=，故A 正确；B 、两边都除以20，得=，故B 错误；C 、两边都除以4b ，得=，故C 错误；D 、两边都除以5a ，得=，故D 错误．故选：A ．4．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：DB=3：2，则AE：AC等于（）A．3：2 B．3：1 C．2：3 D．3：5【考点】平行线分线段成比例．【分析】由DE∥CB，根据平行线分线段成比例定理，可求得AE、AC的比例关系．【解答】解：∵DE∥BC，AD：DB=3：2，∴AE：EC=3：2，∴AE：AC=3：5．故选：D．5．在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，∴点A在⊙O上，故选：B．6．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是（）A．50° B．60° C．70° D．80°【考点】旋转的性质．【分析】根据旋转的性质可知，∠BCB′=∠ACA′=20°，又因为AC⊥A′B′，则∠BAC的度数可求．【解答】解：∵△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置∴∠BCB′=∠ACA′=20°∵AC⊥A′B′，∴∠BAC=∠A′=90°﹣20°=70°．故选C．7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．120°B．140°C．150°D．160°【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】利用垂径定理得出==，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∴=，∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°，∴∠AOD=140°．故选：B．8．二次函数y=x2﹣2x﹣3的最小值为（）A．5 B．0 C．﹣3 D．﹣4【考点】二次函数的最值．【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其定点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x﹣3可化为y=（x﹣1）2﹣4，∴最小值是﹣4．故选D．9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，若∠A=30°，AB=2，则AC等于（）A．4 B．6 C． D．【考点】切线的性质．【分析】连接OB，则△AOB是直角三角形，利用三角函数即可求得OA的长，则AC即可求解．【解答】解：连接OB．∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，在直角△OAB中，OB=AB•tanA=2×=2，则OA=2OB=4，∴AC=4+2=6．故选B．10．如图1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发沿图中某一个扇形顺时针匀速运动，设∠APB=y（单位：度），如果y与点P运动的时间x（单位：秒）的函数关系的图象大致如图2所示，那么点P的运动路线可能为（）A．O→B→A→O B．O→A→C→O C．O→C→D→O D．O→B→D→O【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据图2，分三段考虑：当点P沿O→C运动时；当点P沿C→D运动时；当点P沿D→O运动时；分别判断出y的取值情况，进而判断出y与点P运动的时间x（单位：秒）的关系即可．【解答】解：当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y=90°，当点P在点C的位置时，∵OA=OC，∴y=45°，∴y由90°逐渐减小到45°；当点P沿C→D运动时，根据圆周角定理，可得y≡90°÷2=45°；当点P沿D→O运动时，当点P在点D的位置时，y=45°，当点P在点0的位置时，y=90°，y由45°逐渐增加到90°．故点P的运动路线可能为O→C→D→O．故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．写出一个抛物线开口向下，与y轴交于（0，2）点的函数表达式y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【分析】首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与y轴的交点坐标的纵坐标为2得到c值即可得到函数的解析式．【解答】解：∵开口向下，∴y=ax2+bx+c中a＜0，∵与y轴交于（0，2）点，∴c=2，∴抛物线的解析式可以为：y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．故答案为：y=﹣x2+x+2（答案不唯一）．12．把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，那么h+k= ﹣1 ．【考点】二次函数的三种形式．【分析】首先把x2﹣6x+5化为（x﹣3）2﹣4，然后根据把二次函数的表达式y=x2﹣6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式，分别求出h、k的值各是多少，即可求出h+k的值是多少．【解答】解：∵y=x2﹣6x+5=（x﹣3）2﹣4，∴（x﹣3）2﹣4=a（x﹣h）2+k，∴a=1，h=3，k=﹣4，∴h+k=3+（﹣4）=﹣1．故答案为：﹣1．13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是6米2．【考点】正多边形和圆．【分析】首先根据题意画出图形，易得△OBC是等边三角形，继而可得正六边形的边长，由S正六边形=6S△OBC求得结果即可．【解答】解：如图所示：连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=×360°=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC=OB=OC，∴BH=BC=1，∴OH=，∴S正六边形=6S△OBC=6××2×=6．故答案为：6．14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为26 ．【考点】垂径定理的应用．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．【解答】解：连接OA，AB⊥CD，由垂径定理知，点E是AB的中点，AE=AB=5，OE=OC﹣CE=OA﹣CE，设半径为r，由勾股定理得，OA2=AE2+OE2=AE2+（OA﹣CE）2，即r2=52+（r﹣1）2，解得：r=13，所以CD=2r=26，即圆的直径为26．15．如图，弦AB的长等于⊙O的半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是30°或150°．【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．【分析】首先在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，由弦AB的长等于⊙O的半径，可得△OAB是等边三角形，然后利用圆周角定理与圆的内接四边形的性质求得答案．【解答】解：在优弧上取点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取点D，连接AD，BD，∵弦AB的长等于⊙O的半径，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠ACB=∠AOB=30°，∴∠ADB=180°﹣∠ACB=150°，∴弦AB所对的圆周角的度数是：30°或150°．故答案为：30°或150°．请回答：小涵的作图依据是直径所对的圆周角是直角．【考点】切线的判定；作图—复杂作图．【分析】根据圆周角定理得出∠PBO=∠PCO=90°，即OB⊥PB，OC⊥PC，即可证得PB、PC是⊙O的切线．【解答】解：∵OP是⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°，∴OB⊥PB，OC⊥PC，∵OB、OC是⊙O的半径，∴PB、PC是⊙O的切线；则小涵的作图依据是：直径所对的圆周角是直角．故答案为：直径所对的圆周角是直角．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28分7分，第9题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．解方程：x2﹣6x﹣1=0．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2﹣6x﹣1=0，移项得：x2﹣6x=1，配方得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10，开方得：x﹣3=±，则x1=3+，x2=3﹣．18．如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC，AD于E，F两点，交BA的延长线于G，判断弧和弧是否相等，并说明理由．【考点】圆心角、弧、弦的关系；平行四边形的性质．【分析】要证明=，则要证明∠DAF=∠GAD，由AB=AF，得出∠ABF=∠AFB，平行四边形的性质得出，∠AFB=∠DAF，∠GAD=∠ABF，由圆心角、弧、弦的关系定理得出=．【解答】解： =，理由：连接AE．∴AB=AE，∴∠B=∠AEB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B=∠GAF，∠FAE=∠AEB，∴∠GAF=∠FAE，∴．19．已知抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求抛物线与x轴有两个交点的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点．（1）根据抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点时，可知（m﹣2）x2+2mx+m+3=0【分析】时，△＞0且m﹣2≠0，从而可以解答本题；（2）根据第一问求得的m的取值范围，可以得到m的最大整数，从而可以求得抛物线与x 轴有两个交点的坐标．【解答】（1）∵抛物线y=（m﹣2）x2+2mx+m+3与x轴有两个交点，∴y=0时，（m﹣2）x2+2mx+m+3=0，则△=（2m）2﹣4×（m﹣2）×（m+3）＞0，m﹣2≠0，解得m＜6且m≠2．即m的取值范围是：m＜6且m≠2．（2）∵m＜6且m≠2，∴m满足条件的最大整数是m=5．∴y=3x2+10x+8．当y=0时，3x2+10x+8=0．解得．即抛物线与x轴有两个交点的坐标是：（﹣2，0），（，0）．20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC 绕点A顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）【考点】作图-旋转变换；弧长的计算．【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）AB==5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．2y）．m= 3 ；（2）其中A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，则y1＞y2（用“＞”或“＜”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．【考点】二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据二次函数的对称性即可求出m；（2）根据﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，它们y的范围解答；（3）设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，然后把点（1，0）代入求出a的值，即可得解．【解答】解：（1）观察表格，可知m=3．故答案为：3；（2）∵A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，且﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴y1＞y2．故答案为：＞；（3）∵顶点是（2，﹣1），∴设二次函数顶点式解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，由图可知，函数图象经过点（1，0），∴a（1﹣2）2﹣1=0，解得a=1．∴二次函数的解析式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．22．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣3x+108（20＜x＜36）”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【考点】二次函数的应用．【分析】根据题意得出每天获得的利润P=（﹣3x+108）（x﹣20），转换为P=﹣3（x﹣28）2+192，于是求出每天获得的利润P最大时的销售价格．【解答】解：根据题意得：P=（﹣3x+108）（x﹣20）=﹣3x2+168x﹣2160=﹣3（x﹣28）2+192．∵a=﹣3＜0，∴当x=28时，利润最大=192元；答：当销售单价定为28元时，每天获得的利润最大，最大利润是192元．23．如图，⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切与点P，且l∥BC．（1）请仅用无刻度的直尺，在⊙O中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请写出证明△ABC被所作弦分成的两部分面积相等的思路．【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心．【分析】（1）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD即可；（2）由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵直线l与⊙O相切与点P，∴OP⊥l，∵l∥BC，∴PE⊥BC，∴BE=CE，∴弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．24．密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的纪念碑，如图．拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度．【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以CD的中垂线为y轴，CD所在的直线为x轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由A、B的坐标可求出抛物线的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题．【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，此时，抛物线与x轴的交点为C（﹣100，0），D，设这条抛物线的解析式为y=a（x﹣100）（x+100），∵抛物线经过点B（50，150），可得 150=a（50﹣100）（50+100）．解得，∴．即抛物线的解析式为，顶点坐标是（0，200）∴拱门的最大高度为200米．25．如图，已知△ABC是等边三角形，以AB为直径作⊙O，交BC边于点D，交AC边于点F，作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若△ABC的边长为4，求EF的长度．【考点】切线的判定；等边三角形的性质．【分析】（1）连接OD，根据等边三角形的性质求出∠ODE=90°，根据切线的判定定理证明即可；（2）连接AD，BF，根据等边三角形的性质求出DC、CF，根据直角三角形的性质求出EC，结合图形计算即可．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于点D．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AD，BF，∵AB为⊙O直径，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．∵△ABC是等边三角形，∴，．∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．26．根据下列要求，解答相关问题．（1）请补全以下求不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集的过程．①构造函数，画出图象：根据不等式特征构造二次函数y=﹣2x2﹣4x；并在下面的坐标系中（图1）画出二次函数y=﹣2x2﹣4x的图象（只画出图象即可）．②求得界点，标示所需，当y=0时，求得方程﹣2x2﹣4x=0的解为x1=0，x2=﹣2 ；并用锯齿线标示出函数y=﹣2x2﹣4x图象中y＞0的部分．③借助图象，写出解集：由所标示图象，可得不等式﹣2x2﹣4x＞0的解集为﹣2＜x＜0．请你利用上面求一元一次不等式解集的过程，求不等式x2﹣2x+1≥4的解集．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】①利用描点法即可作出函数的图象；②当y=0时，解方程求得x的值，当y＞0时，就是函数图象在x轴上方的部分，据此即可解得；③仿照上边的例子，首先作出函数y=x2﹣2x+1的图象，然后求得当y=4时对应的x的值，根据图象即可求解．【解答】解：①图所示：；②方程﹣2x2﹣4x=0即﹣2x（x+2）=0，解得：x1=0，x2=﹣2；则方程的解是x1=0，x2=﹣2，图象如图1；③函数y=x2﹣2x+1的图象是：当y=4时，x2﹣2x+1=4，解得：x1=3，x2=﹣1．则不等式的解集是：x≥3或x≤﹣1．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+2mx﹣m2+1的对称轴是直线x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，请直接写出n的取值范围；（3）设点M（p，q）为抛物线上的一个动点，当﹣1＜p＜2时，点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，求k的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线的对称轴方程可求得m=1，从而可求得抛物线的表达式；（2）将x=3代入抛物线的解析式，可求得y2=3，将y=3代入抛物线的解析式可求得x1=﹣1，x2=3，由抛物线的开口向下，可知当当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2；（3）先根据题意画出点M关于y轴对称点M′的轨迹，然后根据点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，列出关于k的不等式组即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=﹣=1．解得：m=1．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x．（2）将x=3代入抛物线的解析式得y=﹣32+2×3=﹣3．将y=﹣3代入得：﹣x2+2x=﹣3．解得：x1=﹣1，x2=3．∵a=﹣1＜0，∴当n＜﹣1或n＞3时，y1＜y2．（3）设点M关于y轴对称点为M′，则点M′运动的轨迹如图所示：∵当P=﹣1时，q=﹣（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣3．∴点M关于y轴的对称点M1′的坐标为（1，﹣3）．∵当P=2时，q=﹣22+2×2=0，∴点M关于y轴的对称点M2′的坐标为（﹣2，0）．①当k＜0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴﹣2k﹣4≤0．解得：k≥﹣2．②当k＞0时，∵点M关于y轴的对称点都在直线y=kx﹣4的上方，∴k﹣4≤﹣3．解得；k≤1．∴k的取值范围是﹣2≤k≤1．28．已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．（1）如图1，已知∠AOB=150°，∠BOC=120°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC．①∠DAO的度数是90°；②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；（2）设∠AOB=α，∠BOC=β．①当α，β满足什么关系时，OA+OB+OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说明理由；②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA+OB+OC的最小值．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）①根据周角的定义得到∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，由于将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，于是得到∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，根据四边形的内角和即可得到结论；②如图1，连接OD，由于△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，得到△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，根据全等三角形的性质得到CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，推出△OCD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，由于∠AOB=150°，∠BOC=120°，得到∠AOC=90°，求得∠AOD=30°，∠ADO=60°，根据勾股定理即可得到结论；（2）①如图2，由旋转的性质得到O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．．推出△OC O′是等边三角形，根据等边三角形的性质得到OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，由于∠AOB=∠BOC=120°，得到∠AOC=∠A′O′C=120°，推出四点B，O，O′，A′共线，即可得到结论，②根据①的结论即可得到结果．【解答】解：（1）①∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=360°﹣120°﹣150°=90°，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD=60°，∠D=∠BOC=120°，∴∠DAO=360°﹣∠AOC﹣∠OCD﹣∠D=90°，故答案为：90°；②线段OA，OB，OC之间的数量关系是OA2+OB2=OC2，如图1，连接OD，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△ADC≌△BOC，∠OCD=60°，∴CD=OC，∠ADC=∠BOC=120°，AD=OB，∴△OCD是等边三角形，∴OC=OD=CD，∠COD=∠CDO=60°，∵∠AOB=150°，∠BOC=120°，∴∠AOC=90°，∴∠AOD=30°，∠ADO=60°，∴∠DAO=90°，在Rt△ADO中，∠DAO=90°，∴OA2+OB2=OD2，∴OA2+OB2=OC2；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC有最小值．如图2，将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，连接OO′，∴△A′O′C≌△AOC，∠OCO′=∠ACA′=60°，∴O′C=OC，O′A′=OA，A′C=BC，∠A′O′C=∠AOC．∴△OC O′是等边三角形，∴OC=O′C=OO′，∠COO′=∠CO′O=60°，∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=∠A′O′C=120°，∴∠BOO′=∠OO′A′=180°，∴四点B，O，O′，A′共线，∴OA+OB+OC=O′A′+OB+OO′=BA′时值最小；②∵∠AOB=∠BOC=120°，∴∠AOC=120°，∴O为△ABC的中心，∵四点B，O，O′，A′共线，∴BD⊥AC，∵将△AOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△A′O′C，∴A′C=AC=BC，∴A′B=2BD，在Rt△BCD中，BD=BC=，∴A′B=，∴当等边△ABC的边长为1时，OA+OB+OC的最小值A′B=．29．在平面直角坐标系xOy中，定义点P（x，y）的变换点为P′（x+y，x﹣y）．（1）如图1，如果⊙O的半径为，①请你判断M（2，0），N（﹣2，﹣1）两个点的变换点与⊙O的位置关系；②若点P在直线y=x+2上，点P的变换点P′在⊙O的内，求点P横坐标的取值范围．（2）如图2，如果⊙O的半径为1，且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上，求点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）①根据新定义得到点M的变换点M′的坐标为（2，2），于是根据勾股定理计算出OM′=2，则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M的变换点在⊙O上；同样方法可判断点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外②利用一次函数图象上点的坐标特征，设P点坐标为（x，x+2），利用新定义得到P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则根据勾股定理计算出OP′=，然后利用点与圆的位置关系得到＜2，解不等式得﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据新定义得到m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，消去x得3m+n=6，则n=﹣3m+6，于是得到P点坐标为（m，﹣3m+6），则可判断点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，易得A（2，0），B（0，6），利用勾股定理计算出AB=2，再利用面积法计算出OH=，所以CH=﹣1，当点P在H点时，PC为点P与⊙O上任意一点距离的最小值．【解答】解：（1）①M（2，0）的变换点M′的坐标为（2，2），则OM′==2，所以点M（2，0）的变换点在⊙O上；N（﹣2，﹣1）的变换点N′的坐标为（﹣3，﹣1），则ON′==＞2，所以点N（﹣2，﹣1）的变换点在⊙O外；②设P点坐标为（x，x+2），则P点的变换点为P′的坐标为（2x+2，﹣2），则OP′=，∵点P′在⊙O的内，∴＜2，∴（2x+2）2＜4，即（x+1）2＜1，∴﹣1＜x+1＜1，解得﹣2＜x＜0，即点P横坐标的取值范围为﹣2＜x＜0；（2）设点P′的坐标为（x，﹣2x+6），P（m，n），根据题意得m+n=x，m﹣n=﹣2x+6，∴3m+n=6，即n=﹣3m+6，∴P点坐标为（m，﹣3m+6），∴点P在直线y=﹣3x+6上，设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，过O点作OH⊥AB于H，交⊙O于C，如图2，则A（2，0），B（0，6），∴AB==2，∵OH•AB=OA•OB，∴OH==，∴CH=﹣1，即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为﹣1．。
北京第十三中九年级上册期中试卷检测题
北京第十三中九年级上册期中试卷检测题一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）1．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形； （2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．【答案】（1）83t =；（2）S =299(08)8t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当573256=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上【解析】【分析】（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解.（2）由PE AC ∥，得=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得364=-DE t ，34CE t = 再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式299(08)8S t t t =-+<<. （3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932得299986832S t t =-+=⨯⨯，可解当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22=EQ PE ，由Rt CEQ 与△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即2222+=+CE CQ PD DE ，代入364=-DE t ，34CE t =，2CQ t =，8PD t =- 可得222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t ，计算验证可解. 【详解】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ，又∵PD QC ，∴四边形CDPQ 为平行四边形，∴PD CQ =，即82t t -=， ∴83t = （2）∵PE AC ∥， ∴=DP DE DA DC， 即886-=t DE ， ∴364=-DE t ， ∴336644=-+=CE t t ， ∴21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ， S 梯形11()(28)632422=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ， ∴S S =梯形299(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，299986832-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932．（4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，∴22=EQ PE ，在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ，在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=，∴2222+=+CE CQ PD DE ， 即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭t t t t解得1256-=t ，2256+=-t （舍）所以当=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.2．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．3．已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的取值范围；（2）若原方程的两个实数根分别为1x ，2x ，且满足1212215x x x x +=-，求m 的值．【答案】（1）14m <且0m ≠；（2）15m =- 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到：()22140m m ∴∆=-->且20m ≠，然后求出两个不等式解集的公共部分即可.（2）利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=， 1221x x m=，加上14m <且0m ≠，则可判断10x <，20x <，所以1212215x x x x --=-，2221215m m m--=-，然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】（1）因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根， ()221240m m ∴∆=-->，解得14m <； 又因为是一元二次方程，所以20m ≠，0m ∴≠．m ∴的取值范围是14m <且0m ≠． （2）1x ，2x 为原方程的两个实数根，12221m x x m -∴+=，1221x x m = 14m <且0m ≠，122210m x x m -∴+=<，12210x x m=>，10x ∴<，20x <． 1212215x x x x +=-，1212215x x x x --=-，2221215m m m -∴-=-，215210m m ∴--=，解得113m =，215m =-， 14m <且0m ≠，113m ∴=不合题意，舍去，15m ∴=-． 【点睛】此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义，正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.4．已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a 的取值范围；（2）若（x 1+1）（x 2+1）是负整数，求实数a 的整数值．【答案】（1）a≥0且a≠6;（2）a 的值为7、8、9或12．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可；（2）根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ，x 1x 2=-6a a ，由（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数，即可得66a -是正整数．根据a 是整数，即可求得a 的值2．【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩， ∴a≥0且a≠6．（2）∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程（a ﹣6）x 2+2ax+a=0的两个实数根，∴x 1+x 2=﹣26a a -，x 1x 2=6a a -， ∴（x 1+1）（x 2+1）=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -． ∵（x 1+1）（x 2+1）是负整数，∴﹣66a -是负整数，即66a -是正整数． ∵a 是整数，∴a ﹣6的值为1、2、3或6，∴a 的值为7、8、9或12．【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键．5．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．二、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）6．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(−1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =23S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.【答案】（1）213222y x x =-++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）（3）10【解析】【分析】 （1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），∴2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线解析式为：213222y x x =-++； （2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0），∴AB=5，OC=2，∴S △ABC =12AB•OC=12×5×2=5， ∵S △ABC =23S △ABD ， ∴S △ABD =315522⨯=， 设D （x ，y ）， ∴11155222AB y y •=⨯•=， 解得：3y =；当3y =时，2132322y x x =-++=， 解得：1x =或2x =，∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，2132322y x x =-++=-， 解得：5x =或2x =-（舍去），∴点D 的坐标为：（5，-3）；综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，∴AC ==BC ==∴222AC BC AB +=，∴△ABC 为直角三角形，即BC ⊥AC ，如图，设直线AC 与直线BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，由题意可知∠FBC=45°，∴∠CFB=45°， ∴25CF BC == ∴AO AC OM CF =，即1525OM = 解得：2OM =， ∴OC AC FM AF =，即2535FM = 解得：6FM =，∴点F 为（2，6），且B 为（4，0），设直线BE 解析式为y=kx+m ，则2640k m k m +=⎧⎨+=⎩，解得312k m =-⎧⎨=⎩， ∴直线BE 解析式为：312y x =-+；联立直线BE 和抛物线解析式可得：231213222y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得：40x y =⎧⎨=⎩或53x y =⎧⎨=-⎩， ∴点E 坐标为：(5,3)-， ∴22(54)(3)10BE =-+-=【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D 点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE 的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．7．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2，-1)，且与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PD∥y轴，交AC于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（22，1），F2（22，1）．【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标；②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P 点的坐标；（3）很显然当P、B重合时，不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形，因为点P、F都在抛物线上，且点P为抛物线的顶点，所以PF与x轴不平行，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．【详解】（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式，得：3=a （0﹣2）2﹣1，a=1；∴y=（x ﹣2）2﹣1，即y=x 2﹣4x+3； （2）分两种情况：①当点P 1为直角顶点时，点P 1与点B 重合； 令y=0，得x 2﹣4x+3=0，解得x 1=1，x 2=3； ∵点A 在点B 的右边， ∴B （1，0），A （3，0）； ∴P 1（1，0）；②当点A 为△AP 2D 2的直角顶点时； ∵OA=OC ，∠AOC=90°， ∴∠OAD 2=45°；当∠D 2AP 2=90°时，∠OAP 2=45°， ∴AO 平分∠D 2AP 2； 又∵P 2D 2∥y 轴， ∴P 2D 2⊥AO ，∴P 2、D 2关于x 轴对称；设直线AC 的函数关系式为y=kx+b （k≠0）． 将A （3，0），C （0，3）代入上式得：303k b b +=⎧⎨=⎩， 解得13k b =-⎧⎨=⎩；∴y=﹣x+3；设D 2（x ，﹣x+3），P 2（x ，x 2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x 2﹣4x+3）=0， 即x 2﹣5x+6=0；解得x 1=2，x 2=3（舍去）；∴当x=2时，y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1； ∴P 2的坐标为P 2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P 点坐标为P 1（1，0），P 2（2，﹣1）；（3）由（2）知，当P 点的坐标为P 1（1，0）时，不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F；∵P（2，﹣1），∴可设F（x，1）；∴x2﹣4x+3=1，解得x1=2﹣2，x2=2+2；∴符合条件的F点有两个，即F1（2﹣2，1），F2（2+2，1）．【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，能力要求较高，难度较大.8．如图，若抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝x﹣3经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交BC于点M，连接PC．①线段PM是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；②在点P运动的过程中，是否存在点M，恰好使△PCM是以PM为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①有，94；②存在，(2，﹣3)或(32，2﹣2)【解析】【分析】（1）由直线表达式求出点B 、C 的坐标，将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）①根据PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94即可求解； ②分PM ＝PC 、PM ＝MC 两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）对于y ＝x ﹣3，令x ＝0，y ＝﹣3，y ＝0，x ＝3， 故点B 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，﹣3）， 将点B 、C 的坐标代入抛物线表达式得：9303b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：32c b =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）设：点M （x ，x ﹣3），则点P （x ，x 2﹣2x ﹣3）， ①有，理由：PM ＝（x ﹣3）﹣（x 2﹣2x ﹣3）＝﹣（x ﹣32）2+94， ∵﹣1＜0，故PM 有最大值，当x ＝32时，PM 最大值为：94； ②存在，理由：PM 2＝（x ﹣3﹣x 2+2x+3）2＝（﹣x 2+3x ）2； PC 2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2； MC 2＝（x ﹣3+3）2+x 2；（Ⅰ）当PM ＝PC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝x 2+（x 2﹣2x ﹣3+3）2， 解得：x ＝0或2（舍去0）， 故x ＝2，故点P （2，﹣3）；（Ⅱ）当PM ＝MC 时，则（﹣x 2+3x ）2＝（x ﹣3+3）2+x 2，解得：x ＝0或（舍去0和），故x ＝3，则x 2﹣2x ﹣3＝2﹣，故点P （3，2﹣）．综上，点P 的坐标为：(2，﹣3)或(3，2﹣)． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏．9．如图，已知二次函数1L ：()22311y mx mx m m =+-+≥和二次函数2L ：()2341y m x m =--+-()1m ≥图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），（1）函数()22311y mx mx m m =+-+≥的顶点坐标为______；当二次函数1L ，2L 的y值同时随着x 的增大而增大时，则x 的取值范围是_______； （2）判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； （3）抛物线1L ，2L 均会分别经过某些定点； ①求所有定点的坐标；②若抛物线1L 位置固定不变，通过平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是多少？ 【答案】（1）()1,41m --+，13x；（2）四边形AMDN 是矩形；（3）①所有定点的坐标，1L 经过定点()3,1-或()1,1，2L 经过定点()5,1-或()1,1-；②抛物线2L 应平移的距离是423+423-． 【解析】 【分析】（1）将已知抛物线解析式转化为顶点式，直接得到点M 的坐标；结合函数图象填空； （2）利用抛物线解析式与一元二次方程的关系求得点A 、D 、M 、N 的横坐标，可得AD 的中点为（1，0），MN 的中点为（1，0），则AD 与MN 互相平分，可证四边形AMDN 是矩形；（3）①分别将二次函数的表达式变形为1:(3)(1)1L y m x x =+-+和2:(1)(5)1L y m x x =----，通过表达式即可得出所过定点；②根据菱形的性质可得EH 1=EF=4即可，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形，由勾股定理可得方程即可求解． 【详解】解：（1）12bx a=-=-，顶点坐标M 为(1,41)m --+， 由图象得：当13x 时，二次函数1L ，2L 的y 值同时随着x 的增大而增大．故答案为：(1,41)m --+；13x；（2）结论：四边形AMDN 是矩形．由二次函数21:231(1)L y mx mx m m =+-+和二次函数22:(3)41(1)L y m x m m =--+-解析式可得：A 点坐标为41(1m m --0)，D 点坐标为41(3m m-+，0)，顶点M 坐标为(1,41)m --+，顶点N 坐标为(3,41)m -，AD ∴的中点为(1,0)，MN 的中点为(1,0)，AD ∴与MN 互相平分，∴四边形AMDN 是平行四边形，又AD MN =，∴□AMDN 是矩形；（3）①二次函数21:231(3)(1)1L y mx mx m m x x =+-+=+-+，故当3x =-或1x =时1y =，即二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41(1)(5)1L y m x m m x x =--+-=----，故当1x =或5x =时1y =-，即二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点， ②二次函数21:231L y mx mx m =+-+经过(3,1)-、(1,1)两点，二次函数22:(3)41L y m x m =--+-经过(1,1)-、(5,1)-两点，如图：四个定点分别为(3,1)E -、(1,1)F ，(1,1)H -、(5,1)G -，则组成四边形EFGH 为平行四边形，∴FH ⊥HG ，FH=2，HM=4-x ，设平移的距离为x ，根据平移后图形为菱形， 则EH 1=EF=H 1M=4，由勾股定理可得：FH 2+HM 2=FM 2， 即22242(4)x =+-， 解得：43x =±抛物线1L 位置固定不变，通过左右平移抛物线2L 的位置使这些定点组成的图形为菱形，则抛物线2L 应平移的距离是423+423-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．10．在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知二次函数2y ax bx c =++（其中a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图像经过点A （0，-3）、B （1，0）、C （3，0），联结AB 、AC ． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点D 是线段AC 上的一点，联结BD ，如果:3:2ABD BCD S S ∆∆=，求tan ∠DBC 的值； （3）如果点E 在该二次函数图像的对称轴上，当AC 平分∠BAE 时，求点E 的坐标．【答案】（1）243y x x =-+-；（2）32；（3）E （2，73-） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法，把A 、B 、C 三点代入解析式，即可得到答案； （2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，在△ABC 中，设AC 边上的高为h ，利用面积的比得到32AD DC =，然后求出DH 和BH ，即可得到答案； （3）延长AE 至x 轴，与x 轴交于点F ，先证明△OAB ∽△OFA ，求出点F 的坐标，然后求出直线AF的方程，即可求出点E的坐标.【详解】解：（1）将A（0，-3）、B（1，0）、C（3，0）代入20y ax bx c a=++≠（）得，03,0934,300a ba bc=+-⎧⎪=+-⎨⎪-=++⎩解得143abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴此抛物线的表达式是：243y x x=-+-．（2）过点D作DH⊥BC于H，在△ABC中，设AC边上的高为h，则11:():():3:222ABD BCDS S AD h DC h AD DC∆∆=⋅⋅==，又∵DH//y轴，∴25CH DC DHOC AC OA===．∵OA=OC=3，则∠ACO=45°，∴△CDH为等腰直角三角形，∴26355CH DH==⨯=．∴64255BH BC CH=-=-=．∴tan∠DBC=32DHBH=.（3）延长AE至x轴，与x轴交于点F，∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，∵∠OAB=∠OAC-∠BAC=45°-∠BAC，∠OFA=∠OCA-∠FAC=45°-∠FAC，∵∠BAC=∠FAC，∴∠OAB=∠OFA．∴△OAB∽△OFA，∴13 OB OAOA OF==．∴OF=9，即F（9，0）；设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），可得093k bb=+⎧⎨-=⎩，解得133kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AF的解析式为：133y x=-，将x=2代入直线AF的解析式得：73y=-，∴E（2，73 -）.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的性质，求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质，以及正确作出辅助线构造相似三角形.三、初三数学旋转易错题压轴题（难）11．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝13AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP与EC的数量关系是．（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为93，求线段AC的长．67【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：（1）∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，理由如下，∵△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝60°，AB＝BE，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，∴△ABP≌△EBC（SAS），∴AP＝EC；（3）过点C作CD⊥m于D，∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，∴34PC293∴PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，∵m∥n，∴∠CAD＝∠AEB＝60°，∴AD＝12AC＝t，CD33，∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，∴t 37（负值舍去），∴AC＝2t 67．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．12．已知抛物线y=ax2+bx-3a-5经过点A(2，5)（1）求出a和b之间的数量关系．（2）已知抛物线的顶点为D点，直线AD与y轴交于(0，-7)①求出此时抛物线的解析式；②点B为y轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BC，连接AB、AC，将AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BH．截取BC的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，F 1(-8，33-4+)，G 2(8，，F 2(218，-4) 【解析】【分析】（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。
2018届北京西城13中学高三上学期期中考试数学(理)试题(解析版)
北京市第十三中学2017~2018学年度第一学期高三年级数学期中（理科）测试一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．设集合{}|(1)(2)0A x x x =+-<，集合{}|13B x x =<<，则AB =（ ）． A ．{}|13x x -<<B ．{}|11x x -<<C ．{}|12x x <<D ．{}|23x x <<【答案】A【解析】∵{}|12A x x =-<<， {}|13B x x =<<，{}|13A B x x =-<<．故选A ．2．若复数(1i)(i)a -+在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．(,1)-∞B ．(,1)-∞-C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】C【解析】复数(1i)(i)a -+，2i i i a a =-+-， (1)(1)i a a =++-，对应点(1,1)a a +-在第四象限，1010a a +>⎧⎨-<⎩， 解出1a >．故选C ．3．已知(0,π)α∈，3cos 5α=-，则tan α=（ ）． A ．34 B ．34- C ．43D ．43- 【答案】D 【解析】3cos 5α=-且(0,π)α∈，4sin 5α， sin 4tan cos 3ααα==-． 故选D ．4．设A 、B 30y -+=与圆221x y +=的两个交点，则||AB =（ ）．A ．1B C D ．2 【答案】C【解析】圆心(0,0)到直线距离d 12=，||AB =故选C ．5．已知函数1()22xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）． A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是减函数C ．是偶函数，且在R 上是增函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】B 【解析】1()2()2x f x x x =-∈R ， 1()2()2xx f x f x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭， ∴()f x 为奇函数， 又∵函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与2x y =-都是减函数， 两个减函数之和仍为减函数．故选B ．6．设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）．A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若10a <，则2123()()0a a a a -->D ．若120a a <<，则2a > 【答案】D【解析】A 项．∵120a a +>，∴2312()2a a a a d +=++，d 的正负无法判断，23a a +正负无法判断，错误，B 项错误，∵130a a +<，∴12()0a a d ++<，12a a +正负无法判断，C 项错误，22123()()0a a a a d --=-<，D 项正确，∵1210a a a d <<=+，∴0d >，22213111()(2)0a a a a d a a d -=+-+>．∴2a ．7．设a ，b 是非零向量，且a b ≠±．则“||||a b =”是“()()a b a b +⊥-”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】充分性：当||||a b =时， 22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∴()()a b a b +⊥-，必要性：当()()a b a b +⊥-时，22()()||||0a b a b a b +⋅-=-=，∵a b ≠±，∴||||a b =．故选C ．8．某地区在六年内第x 年的生产总值y （单位：亿元）与x 之间的关系如图所示，则下列四个时段中，生产总值的年平均增长率．．．．．．最高的是（ ）．A ．第一年到第三年B ．第二年到第四年C ．第三年到第五年D ．第四年到第六年【答案】A【解析】设年平均增长率为m ，末年生产总值为P ，起始年生产总值为Q ，则m =（n 为年间隔数）∴两年间的年平均增长率1m =， 由图知，第一年到第三年的P Q最大． 故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．在5(2)x +的展开式中，3x 的系数为__________．（用数字作答）【答案】40【解析】5(2)x +展开式中含3x 项为32335C 240x x ⨯⨯=．10．已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a =__________．【解析】2221x y a-=的渐近线为x y a =±=，∴a =11．在极坐标系中，点π2,6⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线(cos )ρθθ的距离为__________．【解析】直角坐标系中，直线方程为x =点坐标为ππ2cos ,2sin 66⎛⎫= ⎪⎝⎭，到直线距离d ==． 12．在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin A C=__________． 【答案】1 【解析】∵2222536163cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯， 且sin sin a c A C =，即sin 2sin 3A a C c ==， ∴sin 22sin cos 2321sin sin 34A A A C C ==⨯⨯=．13．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为(2,0)-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为__________．【答案】6【解析】设(cos ,sin )P θθ，(2,0)AO =，(cos 2,sin )AP θθ=+，∴2cos 4AO AP θ⋅=+，∵cos [1,1]θ∈-，当cos 1θ=时，∴max 2146AO AP ⋅=⨯+=．14．某科技小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（i ）男学生人数多于女学生人数．（ii ）女学生人数多余教师人数．（iii ）教师人数的两倍多余男学生人数．①若教师人数为5，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．【答案】8 12【解析】设男学生，女学生，教师人数分别为x ，y ，z ．由题意，建立方程组．2x y y z z x >⎧⎪>⎨⎪>⎩③①②，【注意有文字】 ①当5z =时，由方程组解出510y x <<<，故此时女学生最多有8人．②设小组总人数为M x y z =++，∵由上述方程组可得2z y x z <<<，即z 最小为3才能满足条件，此时min 5x =，min 4y =，故min 54312M =++=，即小组人数最少为12人．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x x f x =-． （I ）求π3f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值． （II ）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（I ）π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （II ）单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ， 对称轴为2ππ3x k =+，()k ∈Z ． 【解析】（I）()1cos f x x x =--，π11032f ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （II）∵()cos 1f x x x --，12cos 12x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭， π2sin 16x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ππ32ππ2k π()262k x k +-+∈Z ≤≤， 25π2ππ2π33k x k ++≤≤， ()f x 单调递减区间为25π2π,π2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z ， 对称轴为πππ62x k -=+， 2ππ()3x k k =+∈Z ．16．（本小题满分13分）某花店每天以每枝4元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（I ）若花店一天购进16枝玫瑰花，写出当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．（II ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望． （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？只写结论．【答案】（I ）1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N ≤≥．（II ）（i ）x 的分布列为：（ii ）17支．【解析】（I ）当16x ≥时，16(105)80y =⨯-=，当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，故1080(15)80(16)n n y n n -⎧=⎨∈⎩N≤≥． （i ）X 可取60，70，80，(60)0.1P X ==，(70)0.2P X ==，(80)0.7P X ==，故X 的分布列如下：800.7+⨯，6145676=++=．（ii ）购进17枝时，当天利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.7y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯，76.476=>，故应购进17枝．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90DAB ∠=︒，112AD DC AB ===．直角梯形ABEF 可以通过直角梯形ABCD 以直线AB 为轴旋转得到，且平面ABEF ⊥平面ABCD ．D ABC EF H M N（I ）求证：FA BC ⊥．（II ）求直线BD 和平面BCE 所成角的正弦值． （III ）设H 为BD 的中点，M ，N 分别为线段FD ，AD 上的点（都不与点D 重合）．若直线FD ⊥平面MNH ，求M H 的长．【答案】（I ）略 （II（III【解析】（I ）∵90FAB ∠=︒，∴FA AB ⊥，∵平面ABEF ⊥平面ABCD 且平面ABEF 平面ABCD AB =，∴FA ⊥面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴FA BC ⊥．（II ）由（I ）知，FA ⊥平面ABCD ， ∴FA AB ⊥，FA AD ⊥，∵DA AB ⊥， AD ，AB ，AF 两两垂直，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，∵112AD DC AB ===， (0,2,0)B ，(1,1,0)C ，(1,0,0)D ，(0,1,1)E ， (1,1,0)BC =-，(0,1,1)BE =-．设平面BCE 的一个法向量为(,,)n x y z =， ∴00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， ∴00x y y z -=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，(1,1,1)n =，设直线BD 与平面BCE 所成角为θ，∵(1,2,0)BD =-，sin |cos ,|n BD θ=，||||||3n BD n BD ⋅===⋅． （III ）在以A 为原点的空间直角坐标系中， (0,0,0)A ，(1,0,0)D ，(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，1,1,02H ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设(01)DM k k DF =<≤， DM k DF =，∵(,0,)DM k k =-，∴(1,0,)M k k -，1,1,2MH k k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， (1,0,1)FD =-，若FD ⊥平面MNH ，则FD M H ⊥，即0FD MH ⋅=， 102k k -+=，解得14k =， ∴11,1,44MH ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，||MH18．（本小题满分13分）已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--．（I ）求曲线()y f x =在点(0,())f x 处的切线方程．（II ）求证：当(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭． （III ）设实数k 使得3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值． 【答案】（I ）2y x =（II ）略 （III ）k 最大值为2【解析】（I ）∵()ln(1)ln(1)f x x x =+--， 1ln 1x x +⎛⎫= ⎪-⎝⎭， ∴101xx +>-，∴11x -<<． ∵11()11f x x x '=++-，(0)112f '=+=，(0)0f =，∴在(0,0)处切线方程为2y x =．（II ）证明：令3()()23x g x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，211()2211g x x x x '=+--+-，4220(01)1x x x =><<-，∴()(0)0g x g >=， ∴3()203x f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即在(0,1)x ∈时，3()23x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭．（III ）由（II ）知，在2k ≤时， 3()3x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭对(0,1)x ∈恒成立， 当2k >时，令3()()3x F x f x k x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 则222()(1)1F x k x x '=-+-，42(2)1kx k x --=-，∴当0x <<()0F x '<，此时在上()F x 单调递减，当0x <<)0x =， 即3()3x f x k x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴当2k >时，3()x f x k x x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，对(0,1)x ∈不恒成立，∴k 最大值为2．19．（本小题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点是1F ，2F，点P 在椭圆C 上，且12||||4PF PF +=． （I ）求椭圆C 的方程．（II ）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【答案】（I ）22142x y += （II ）见解析 【解析】（I ）在椭圆中， 12||||24PF PF a +==，∴2a =，代入P 于22214x y b+=中，解出b∴椭圆C 的方程为22142x y +=． （II ）证明：∵P 、Q 关于x 轴对称，∴1)Q -，设00(,)M x y ，则220024x y +=，0x ≠1y ≠±，直线:1MP y x -=，令0y =，则0001x x y -=-，∴||OE =直线:1MQ y x +=， 令0y =，0x =∴||OF =， ∴2200202||||1y x OE OF y -=-， 2200202(42)41y y y --==-， ∴||||OE OF ⋅为定值．20．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，的最小值记为n B ，n n n B q A =． （I ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，，是一个周期为4的数列（即对任意n ∈N *，4n n a a +=），写出1q ，2q ，3q ，4q 的值． （II ）设q 是正整数，证明：(1,2,3,)n q q n ==的充分必要条件为{}n a 是公比为q 的等比数列．（III ）证明：若12a =，1(1,2,3,)2n q n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【答案】（I ）1212q q ==，3414q q == （II ）（III ）见解析 【解析】（I ）由题知，在{}n a 中， 12341B B B B ====， 122A A ==，344A A ==， ∴1212q q ==，3414q q ==， （II ）证明：充分性：∵{}n a 是公比为q 的等比数列且q 为正整数， ∴12n a a a ≤≤≤， ∴n n A a =，1n n B a =+， ∴n n n B q q A ==，（1n =，2，3）．必要性：∵1n q q =≥，（1n =，2，3）， ∴n n n B q A A =⋅≥， 又∵n n a A ≤，1n n B a +≤， ∴1n n a a +≤，∴n n A a =，1n n B a +=， ∴19n n n n na B q a A +===， ∴{}n a 为公比为q 的等比数列．（III ）∵12a =，1(1,2,3)2n q n ==， ∴112A a ==，1111B A q ==，∴对任意1n ≥，11n a B =≥， 假设{}(2)n a n ≥中存在大于2的项， 设m 为满足2m a >的最小正整数， 则2m ≥，对任意1k m <≤，2k a ≤， 又∵12a =，∴12m A -=且2m m A a =>， ∴212m m m B A q =⨯==， 1min m m B a -=，2m B ≥， 故111221m m m B q A ---=÷=≤与112m q -=矛盾，∴对于任意1n ≥，有2n a ≤， 即非负整数列{}n a 各项只能为1或2．。
北京市第十三中学2019-2020九年级上学期期中数学试卷及答案
北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试2019年11月考生须知1.本试卷共6页，共三道大题，28道小题，满分100分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上认真填写班级、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5.考试结束，请将答题卡交回并按监考老师要求交回其它考试材料。
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）.2．在平面直角坐标系中，将抛物线24y x=-先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）.A．2(2)2y x=++ B．2(2)2y x=--C．2(2)2y x=-+ D．2(2)2y x=+-3．在平面直角坐标系xoy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（-3，-4）与⊙O的位置关系是（）A. 在⊙O内B.在⊙O上C. 在⊙O外D. 不能确定4．如图，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若BAAC''⊥，则BAC∠的度数是（）．A．50° B．60° C．70° D．40°5．如右图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A． 120°B． 140° C．150° D． 160°6．二次函数223y x x=--的最小值为（）A. 5B. 0C. -3D. -4A. B. C. D.BCDOA7．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，AO 的延长线交⊙O 于C 点，连接BC ，如果30A ∠=，23AB =AC 的长等于( ) ． A. 6 B. 4 C. 3638．如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路线作匀速运动，设运动时间为t （s ）．()APB y =∠，则下列图象中表示y 与t 之间函数关系最恰当的是（ ）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．写出一个抛物线开口向下，与y 轴交于（0，2）点的函数表达式10．如果2210a a +-=，那么代数式242a a a a ⎛⎫-⋅ ⎪-⎝⎭的值是11．直线m x y +=和抛物线c bx x y ++=2都经过点A (1, 0), B (3, 2)． 观察图象直接写出不等式m x c bx x +<++2的解集.12. 弦AB 的长等于⊙O 的半径，那么弦AB 所对的圆周角的度数是____________.13．颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为2米的正六边形，那么这个地基的面积是 米2． 14．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” 用数学语言可以表述为：“如图，CD 为⊙OCAOOy xBA第8题图 A B C D O PB ．ty 045 90 D ．ty 045 90 A ．ty 04590 C ．ty 045 90的直径，弦AB CD ⊥于E ，如果CE = 1， AB = 10，那么直径CD 的长为 .”15. 如图，在喷水池的中心A 处竖直安装一根水管AB ，水管的顶端安有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心A 的水平距离为1m 处达到最高点C ，高度为3m ，水柱落地点D 离池中心A 处3m ，以水平方向为x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点A 为坐标原点时的抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤，则选取点D 为坐标原点时的抛物线表达式为 ，水管AB 的长为 m. 16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题： 小涵的主要作法如下：老师说：“小涵的作法正确．”请回答：小涵的作图依据是 ． 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．11(1)527232-⎛⎫π-+-+-- ⎪⎝⎭18．解不等式组2(1)41,2,2x x x x -≤+⎧⎪⎨+>⎪⎩并写出它的所有整数解．尺规作图：过圆外一点作圆的切线. 已知：⊙O 和点P .PO求作：过点P 的⊙O 的切线.如图：（1）连结OP ，作线段OP 的中点A ； （2）以A 为圆心，OA 长为半径作圆，交⊙O 于点B ，C ； （3）作直线PB 和PC .所以PB 和PC 就是所求的切线.1m 3mD3mCBAA 19．如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断弧EF 和弧FG 是否相等，并证明.20．已知抛物线y = (m -2)x 2 + 2mx + m +3与x 轴有两个交点． (1) 求m 的取值范围；(2) 当m 取满足条件的最大整数时，求抛物线与x 轴两个交点的坐标．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个 顶点均在格点上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AB 1C 1． (1) 在网格中画出△AB 1C 1；(2) 计算点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）22．下表是二次函数2(a 0)y ax bx c =++≠图象上部分点的横坐标（x ）和纵坐标（y ）.x … -1 0 1 2 3 4 5 … y…83-1m8…（1）观察表格，直接写出m=____；（2）其中A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在函数的图象上，且-1< x 1 <0， 2< x 2 <3，则1y _____2y （用“>”或“<”填空）；（3）求这个二次函数的表达式．23．如图是一名考古学家发现的一块古代车轮碎片，你能帮他找到这个车轮的圆心吗？ (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，写出结论)BCA24. 如图，已知△ABC 是等边三角形，以AB 为直径作⊙O ，交BC 边于点D ，交AC 边于点F ，作DE ⊥AC 于点E ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若△ABC 的边长为4，求EF 的长度．25．如图，在半圆弧AB 中，直径6AB =cm ，点M 是AB 上一点，2MB =cm ，P 为AB 上一动点，PC AB ⊥交弧AB 于点C ，连接AC 和CM ，设A 、P 两点间的距离为x cm ，A 、C 两点间的距离为1y cm ，C 、M 两点间的距离为2y cm. 小东根据学习函数的经验，分别对函数1y 、2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究： 下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到1y ，2y 与x 的几组对应值；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，1y ），（x ，2y ），并画出函数1y ，2y 的图象；（3） 结合函数图象，解决问题： ①当>AC CM 时，线段AP 的取值范围是 ；②当∆AMC 是等腰三角形时，线段AP 的长约为 （结果保留1位小数） .AB26．已知：二次函数C 1：()21210y ax ax a a =++-≠．（1）求二次函数C 1的对称轴，并写出顶点坐标； （2）已知二次函数C 1的图象经过点A （－3,1）． ①求a 的值；②点B 在二次函数C 1的图象上，点A ，B 关于对称轴对称，连接AB ．二次函数C 2：()220y kx kx k =+≠的图象，与线段AB 只有一个交点，求k 的取值范围．27．如图，△ABC 为等边三角形，点P 是线段AC 上一动点(点P 不与A,C 重合)，连接BP ，过点A 作直线BP 的垂线段，垂足为点D ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,连接DE,CE ．（1）求证：BD=CE ；（2）延长ED 交BC 于点F ，求证：F 为BC 的中点； （3）若△ABC 的边长为1，直接写出EF 的最大值.28．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P’，当点P’在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”． 已知A （1,0），B （0,2），C （3,3） （1）当⊙O 的半径为1时， ①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；②已知点M在直线2y x =+上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；（2）已知点D ()，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T （t ，－1），半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，直接写出圆心T 的横坐标t 的取值范围是 ．北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试参考答案及评分标准 2019年11月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 不唯一； 10. 1； 11．1 <x<3 ； 12． 30°和150°； 13．36； 14．26；15．()23234y x =-++；94 ； 16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．11(1)52-⎛⎫π-+-+ ⎪⎝⎭解：略 …………5分解：略 …………5分19. 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC ，AD 于E ，F 两点，交BA的延长线于G ，判断EF 和FG 是否相等，并说明理由.结论：EF FG =. ………………… 1分； 证法一：连接AE . ∴AB AE =，∴B AEB ∠=∠，………………… 2分； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，………………… 3分； ∴GAF FAE ∠=∠， ………………… 4分；在⊙A 中，∴EF FG =. ………………… 5分. 结论：EF FG =. ………………… 1分； 证法二：连接GE . ∵BG 是⊙A 的直径，∴90BEG ∠=. ………………… 2分； ∴GE BE ⊥.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ………………… 3分； ∴AD GE ⊥ ………………… 4分； ∴EF FG =. ………………… 5分. 20．（1）解：在 y = (m -2)x 2+ 2mx + m +3 中，令y =0 由题意得2(2)4(2)(3)020m m m m ⎧∆=--+>⎨-≠⎩------------------------------------------2分整理，得 42402m m -+>⎧⎨≠⎩解得 62m m <≠且-----------------------------------3分（2）满足条件的m 的最大整数为5．-------------------------4分∴y =3x 2+10x +8令y =0，3x 2+10x +8=0，解得423x x =-=-或∴抛物线与x 轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（43-，0）-------5分 21．解：(1)画出△AB 1C 1，如图． ………………………………2分(2)由图可知△ABC 是直角三角形，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5． ………………3分 点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分∴＝πππ25521241=⨯=⨯⨯AB ． …………5分所以点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长为π25． 22．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点， 设抛物线表达式为2(2)1y a x =----------------3分把（0，3）点代入，4a -1=3，解得a =1--------------------------------------------------4分 ∴2(2)1y x =--243y x x =-+∴-----------------------------------5分23. 略 -----------------------6分24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ．∴BF AF ⊥，BD AD ⊥．∵ABC ∆是等边三角形，∴221==BC DC ，221==AC FC ．…………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC∴1=-=EC FC FE ． ………………………………………………5分25．解： （1）补全下表：------------------------------------------1分 （2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：-------------------------------------------3分（3）①线段AP 的取值范围是26<≤AP -----------------------------------------4分 ②线段AP 的长约为 2或 2.6 ------------------------------------------------6分26．解：（1）()()2110y a x a =+-≠．对称轴：x =－1；顶点坐标（-1，-1） -----------------------------------------2分（2）①∵二次函数C 1经过点A （－3,1），∴a =12．-----------------------------------------3分 ②∵A （－3,1），对称轴：x =－1，∴B （1,1）．………………………………………4分当k >0时，当二次函数C 2经过点A （－3 ,1）时，16k =， 当二次函数C 2经过点B （1,1）时，12k =， ∴1162k ≤<．………………………………………5分 当k <0时，4k =-．--------------------------------------- 6分 综上所述，1162k ≤<或4k =-． 27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形.在等边△ABC 和等边△ADE 中AB ＝ACAD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分∴BD=CE ……………………………………3分EBA（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G∴∠G ＝∠BDF∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90°∴∠BDF ＝30°∴∠G ＝30°……………………………………………………4分由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90°∵∠AED ＝60°，∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分在△BDF 和△CGF 中BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BD F ≌△CGF （AAS ）∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分（3）1………………………………………7分28．解：（1）①B ；……………………………… 2分 ②03m ≤≤；…………………………5分（2）33433t -≤≤． (7)。
26.北京市第十三中学分校初三期中考试(试题和答案)
第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是( ) A.B.C.D.2. 抛物线224y x x =+-的对称轴是直线( )A. B. C.D.3. 如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，且四边形OABC 是平行四边形，则∠D 的度数为( ) A. 45°B. 60° C. 75° D. 不能确定4. 将抛物线23y x =先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后抛物线的函数表达式是( )A. 23(1)4y x =++B. 23(1)4y x =+-C. 23(1)4y x =-+D. 23(1)4y x =--5. 如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为E ，如果CE =2，那么，那么AB 的长是( ) A. 3 B. 8 C. 6 D. 106. 若二次函数221y kx x =--的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( ) A. k ≠0且k ≤1- B. k ≠0且k ≥1- C. k ≥1- D. k ≤1-7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有这样一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆，径几何？”其意思是：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径是( ) A. 6步 B. 5步C. 8步D. 10步8. 随着时代的进步，人们对 2.5PM （空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切 某市一天中 2.5PM 的值1y (u g /m 3)随时间t (h )的变化如图所示，设 表示0时到t 时2.5PM 的值的极差（即0时到t 时 2.5PM 的最大值与最小值的差），则 与t 的函数关系大致是( )A. B. C. D.第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 在平面直角坐标系中，点()3,1M -关于原点的对称点的坐标是___________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为5，则点()3,4P -在O ______．(填“内”、“上”或“外”)11. 若点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是________________（用“<”连接）. 12. 如图，正六边形ABCDEF 内接于 ， 的半径为6， 则这个正六边形的边心距OM 的长为______．13. 在半径为2cm 的 中，用刻度尺 单位： 测得弦AB 的2019--2020学年度北京市第十三中学分校 第一学期期中 九年级 数 学 试 卷长如图所示，则弦AB的所对的圆周角度数为_____________°．14. 设二次函数y1、y2的图象的顶点分别为(),m n、(),p q，当p m=-，2q n=，则称y2是y1的“倍顶二次函数”.请写出一个跟抛物线()2215y x=-+开口方向相反的“倍顶二次函数”：________________________.15. 若二次函数的图象满足：当时位于x轴的上方，当时位于x轴的下方，则m = _______________。
北京三中九年级数学上学期期中试题有答案
北京三中2015-2016九年级数学上学期期中试题（有答案）北京市北京三中2015-2016学年度九年级数学上学期期中试题考生须知1．本试卷共8页，共五道大题，29道小题，满分120分。
考试时间120分钟。
2．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。
3．在答题纸上，除作图使用铅笔外，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．不得使用涂改液（带），没有在指定位置答题或在答题框外答题一律不给分.选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．１．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD∶BD=1∶2，若△ADE的面积等于2，则△ABC的面积等于（）.A.6B.8C.12D.182．在平面直角坐标系中，已知点和点，则等于（）. A．B．C．D．3．抛物线的顶点坐标是（）.A．(-2，5)B．(2，5)C．(-2，-5)D．(2，-5)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则sinA的值为（）.A．B．C．D．25．下列三角函数值错误的是（）.A．sinB．C．D．6．如图，身高为1.6米的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2.0米，BC＝8.0米，则旗杆的高度是（）.A．6.4米B．7.0米C．8.0米D．9.0米7．将抛物线绕顶点旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（）.A．B．C．D．8．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），若它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）.A．(-3，-3)B．(-3，-4)C．(-4，-3)D．(-4，4)9．同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（）10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动．设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为()ABCD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=3，CD=4，则△CDE与△CAB的周长的比为．12．点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若＞＞1，则与的大小关系是．（用“＞”、“＜”、“=”填空）13.在正方形网格中，的位置如图所示，则tanB的值为__________．14．关于x的二次函数的图象与y轴的交点在x轴的上方，请写出一个满足条件的二次函数的表达式：．15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么的值是．16.在平面直角坐标系中，直线和抛物线在第一象限交于点A，过A作轴于点.如果取1，2，3，…，n时对应的△的面积为…，，那么_____；…+=___________.三、解答题（本题共30分，每小题5分）17．计算：.18．若二次函数的图象经过A（1，0）、B（2，－1）两点，求此二次函数的解析式.19．如图，△ABC中，点D在AB上，∠ACD=∠ABC，若AD=2，AB=6，求AC的长．20．已知二次函数（1）用配方法将化成的形式；（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；（3）当时，求y的取值范围．21．如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°（A、B、D三点在同一直线上）。
北京市第十三中学分校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含答案解析)
北京市第十三中学分校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C．D．的顶点坐标是（）．(1,2)C．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，．B．．．①抛物线开口向下；②4a b<③当4m ≤时，关于x 的一元二次方程2ax bx c m ++=必有两个不相等的实数根；④直线()0y kx c k =+≠经过点A ，C ，当2kx c ax bx c +<++时，x 的取值范围是40x -<<；其中推断正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①④D ．①②③④二、填空题11．若二次函数y ＝2x 2﹣3的图象上有两个点“＜”或“＝”或“＞”）．12．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到∠C 的度数为．15．已知二次函数22y ax ax c =-+（a 合条件的a 和c 的值：．16．点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1·x 2时，12y y -=1成立，写出一个满足条件三、解答题17．解方程：2680x x -+=．四、计算题18．计算：2sin60°+tan45°－cos30°tan60°五、作图题19．已知：二次函数y =x 2－4x +3（1）求出二次函数图象的顶点坐标及与x 轴交点坐标；（2）在坐标系中画出图象，并结合图象直接写出y ＜0时，自变量x 的取值范围六、解答题七、证明题八、问答题九、应用题十、解答题26．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,M x y ，()22,N x y 在抛物线()210y ax bx a =++<上，其中12x x <，设抛物线的对称轴为x t =．(1)当1t =时，如果121y y ==，直接写出1x ，2x 的值；(2)当11x =-，23x =时，总有211y y <<，求t 的取值范围．十一、问答题27．已知正方形ABCD ，将线段BA 绕点B 旋转()090αα︒<<︒，得到线段BE ，连接EA ，EC ．(1)如图1，当点E 在正方形ABCD 的内部时，若BE 平分ABC ∠，4AB =，则AEC ∠=________︒；(2)当点E 在正方形ABCD 的外部时．①在图2中依题意补全图形，并求AEC ∠的度数；②作EBC ∠的平分线BF 交EC 于点G ，交EA 的延长线于点F ，连接CF ，用等式表示线段AE ，FB ，FC 之间的数量关系，并证明．十二、解答题(1)当点A 与点O 重合时，在()()()1232,22,14,4P P P --,,中，关于点是___________；(2)已知点()()2,1,1,1B C -，若线段BC 关于点(),1A m -的距离系数小于范围为___________；(3)已知点()()4,0,0,A T t ，其中24t ≤≤．以点T 为对角线的交点作边长为参考答案：解得：13a c =⎧⎨=-⎩，故答案为：3,1-．【点睛】本题考查二次函数解析式，解决本题的关键是掌握待定系数法求解析式．11．＞【分析】易得抛物线y ＝2x 2﹣3的对称轴是y 轴，然后即可确定点A （﹣3，m ）关于y 对称的点的坐标是（3，m ），再根据抛物线的性质解答即可．【详解】解：∵抛物线y ＝2x 2﹣3的对称轴是y 轴，∴点A （﹣3，m ）关于y 对称的点的坐标是（3，m ），∵当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大，2＜3，∴m ＞n ．故答案为：＞．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．30度/30︒【分析】先根据旋转的性质求得CAB ∠，再运用三角形内角和定理求解即可．【详解】解： 将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，110DAE ∠=︒，110BAC DAE ∴∠=∠=︒，40B ∠=︒ ，1801804011030C B BAC ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用旋转的性质是解答本题的关键．13．()221y x =-+【分析】根据图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．【详解】解：将抛物线2y x =向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是()221y x =-+．故答案为：()221y x =-+．∵将线段BA 绕点B 旋转(0α︒BE BA BC ∴==，90ABC ∠=︒902BEA BAE α∴∠=∠=︒-，∠45AEC BEA BEC ∴∠=∠-∠=︒②22FB FC AE =-，证明如下：证明：过点B 作BH EC ∥交FCBE BC = ，BF 平分EBC ∠，BF ∴垂直平分EC ，FE FC ∴=，FEC FCE ∴∠=∠，由①知，45AEC ∠=︒，45FEC FCE ∴∠=∠=︒，45GFC ∴∠=︒，BH EC ∥ ，90FBH FGC ∠=∠=︒ ，H ∠=∴45H BFH ∠=∠=︒，BF BH ∴=，2FH FB =，90ABF FBC ∠=︒-∠ ，CBH ∠ABF CBH ∴∠=∠，在ABF △和CBH 中，AB CB ABF CBH BF BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABF CBH ∴≌ ，AF CH ∴=，FH FC CH FC AF FC =+=+= 22FB FC AE ∴=-．【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．②若线段DE 关于点A 的距离系数的最大值是在最小值为32，∴432y b y k x a x -=--=≥，由题意知：11,15x y -≤≤≤≤【点睛】本题考查坐标系下的新定义．熟练掌握距离系数的定义和运算方法是解题的关键．。
北京市第十三中学2017—2018学年第一学期初二数学期中试卷(教师版)
【解析】
【分析】
试题分析：当分式的分子为零，分母不为Байду номын сангаас时，则分式的值为零.
【详解】x2-4=0，x=±2，同时分母不为 0，∴x=﹣2
7. 已知如图点 D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法：
①AD=CD；②D 到 AB、BC 的距离相等；③D 到△ABC 的三边的距离相等；④点 D 在∠B 的平分线上；其
C.
3
【答案】A
D.（1 ）-2 = 1 24
【解析】
试题分析：根据同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
A、 a-1 a-3 = a2 ，故本选项正确；
B、（1）0 = 1 0 ，故本选项错误； 3
C、 (a2 )3 = a6 a5 ，故本选项错误；
D、（1 ）-2 = 4 1 ，故本选项错误．
B. x2 + 6x + 9 = x( x + 6) + 9 ，不是因式分解，故不符合题意；
C. ax − ay = a ( x − y) ，是因式分解，符合题意；
D. a2 − 2 (a + 2)(a − 2) ，故不符合题意，
故选 C.
4. 下列计算正确的是
A. a-1 a-3 = a2
B.（1）0 = 0
【详解】∵两个三角形全等， ∴∠α=50°． 故选 D． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，学生不仅需要掌握全等三角形的性质，而且要准确识别图形，确定 出对应角是解题的关键．
6. 若分式 x2 − 4 的值为零，则 x 的值是( ) x2 − x − 2
A. 2 或-2
B. 2
C. -2
D. 4
【答案】C
北京市第十三中学2017——2018第二学期期中考试数学试卷
………外…………内…绝密★启用前北京市第十三中学2017——2018第二学期期中考试数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ）A ． 3cm ，4cm ，5cmB ． 2cm ，2cm ，2 cmC ． 2cm ，5cm ，6cmD ． 5cm ，12cm ，13cm2．□ABCD 中，∠A ＝60°，则∠B 的度数为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120°3．在 △ 中, 为斜边 的中点，且 ，AB=5，则线段 的长是( ) A ． B ． 1.5 C ．D ． 44．方程 的根的情况是（ ）.A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有一个实数根D ． 没有实数根5．如图，平行四边形ABCD 中，AB=10，BC=6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF=7，则四边形EACF 的周长是（ ）A ． 20B ． 22C ． 29D ． 316．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中………○…………装………订……※※请※※不※※※※线※※内※※答※………○…………装………订……的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用. 《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？ 译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短. 横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x 尺，则可列方程为（ ） A ． ( x-4)2+(x-2)2 =x 2 B ． ( x+4)2=x 2+(x-2)2 C ． ( x-4)2=x 2+(x+2)2 D ． ( x+4)2=x 2+(x+2)27．为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如下左图）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD ，并在A 与C 、 B 与D 两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定. 课上，李老师右手拿住木条BC ，用左手向右推动框架至AB ⊥BC （如下右图）. 观察所得到的四边形，下列判断正确的是( )A ． ∠BCA ＝45°B ． BD 的长度变小C ． AC ＝BD D ． AC ⊥BD 8．若方程 是关于x 的一元二次方程，则m =（ ） A ． 0 B ． 2 C ． －2 D ． ± 29．如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的顶点 在 轴上，且 ， ，则正方形 的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．○………………………………○……学校:_________：__________：___________○………………………………○……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE=AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF=2BE ；②PF=2PE ；③FQ=4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）A ． ①②B ． ②③C ． ①③D ． ①④11．如果关于x 的方程2x mx 20-+=有两个相等的实数根，那么m 的值为 ．12．如图，在□ABCD 中，AB =4，BC =7，∠ABC 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE =____________.13．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝2，∠AOB ＝60º，则BD 的长为__________.14．如图，在□ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°，则∠DAE 等于_______．15．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长是____________。
北京市第十三中学2019-2020九年级上学期期中数学试卷(答案)
北京市第十三中学2019-2020学年度九年级数学期中测试参考答案及评分标准 2019年11月一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 不唯一； 10. 1； 11．1 <x<3 ； 12． 30°和150°； 13．36；14．26； 15．()23234y x =-++；94 ； 16．直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27-28题，每小题7分）17．101(1)52-⎛⎫π-+-+- ⎪⎝⎭解：略 …………5分解：略 …………5分19. 如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作⊙A ，分别交BC，AD 于E ，F 两点，交BA 的延长线于G ，判断»EF和»FG 是否相等，并说明理由. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法一：连接AE . ∴AB AE =，∴B AEB ∠=∠，………………… 2分； ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴B GAF ∠=∠，FAE AEB ∠=∠，………………… 3分；∴GAF FAE ∠=∠， ………………… 4分；在⊙A 中，∴»»EFFG =. ………………… 5分. 结论：»»EFFG =. ………………… 1分； 证法二：连接GE . ∵BG 是⊙A 的直径，∴90BEG ∠=o . ………………… 2分； ∴GE BE ⊥.∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ………………… 3分； ∴AD GE ⊥ ………………… 4分；∴»»EFFG =. ………………… 5分. 20．（1）解：在 y = (m -2)x 2+ 2mx + m +3 中，令y =0 由题意得2(2)4(2)(3)020m m m m ⎧∆=--+>⎨-≠⎩------------------------------------------2分 整理，得 42402m m -+>⎧⎨≠⎩解得 62m m <≠且-----------------------------------3分（2）满足条件的m 的最大整数为5．-------------------------4分 ∴y =3x 2+10x +8令y =0，3x 2+10x +8=0，解得423x x =-=-或∴抛物线与x 轴有两个交点的坐标分别为（-2,0）、（43-，0）-------5分21．解：(1)画出△AB 1C 1，如图． ………………………………2分(2)由图可知△ABC 是直角三角形，AC ＝4，BC ＝3，所以AB ＝5． ………………3分 点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径是一段弧， 且它的圆心角为90°，半径为5． …………4分∴＝πππ25521241=⨯=⨯⨯AB ． …………5分所以点B 旋转到B 1的过程中所经过的路径长为π25． 22．解（1）3； --------------------------------------------------1分 （2）>； -----------------------------2分（3）观察表格可知抛物线顶点坐标为（2，-1）且过（0，3）点， 设抛物线表达式为2(2)1y a x =----------------3分把（0，3）点代入，4a -1=3，解得a =1--------------------------------------------------4分 ∴2(2)1y x =--243y x x =-+∴-----------------------------------5分23. 略 -----------------------6分24.（1）证明：连接OD ， ∵ABC ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60C B ． ∵OD OB =，∴︒=∠=∠60B ODB ．…………………………………………………………1分∵AC DE ⊥， ∴︒=∠90DEC ． ∴︒=∠30EDC ． ∴︒=∠90ODE ． ∴OD DE ⊥于点D ．∵点D 在⊙O 上，∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………………2分 （2）连接AD ，BF ， ∵AB 为⊙O 直径，∴︒=∠=∠90ADB AFB ．∴BF AF ⊥，BD AD ⊥． ∵ABC ∆是等边三角形， ∴221==BC DC ，221==AC FC ．…………………3分 ∵︒=∠30EDC ，∴121==DC EC∴1=-=EC FC FE ． ………………………………………………5分25．解： （1）补全下表：------------------------------------------1分 （2）描点（x ，1y ），画出函数1y 的图象：-------------------------------------------3分（3）①线段AP 的取值范围是26<≤AP -----------------------------------------4分 ②线段AP 的长约为 2或 2.6 ------------------------------------------------6分 26．解：（1）()()2110y a x a =+-≠．对称轴：x =－1；顶点坐标（-1，-1） -----------------------------------------2分（2）①∵二次函数C 1经过点A （－3,1），∴a =12．-----------------------------------------3分 ②∵A （－3,1），对称轴：x =－1，∴B （1,1）．………………………………………4分当k >0时，当二次函数C 2经过点A （－3 ,1）时，16k =， 当二次函数C 2经过点B （1,1）时，12k =， ∴1162k ≤<．………………………………………5分 当k <0时，4k =-．--------------------------------------- 6分综上所述，1162k ≤<或4k =-．27.（1）∵线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE,∴△ADE 是等边三角形.在等边△ABC 和等边△ADE 中 AB ＝AC AD ＝AE∠BAC ＝∠DAE ＝60°∴∠BAD ＝∠CAE ……………………………………………………1分 在△BAD 和△CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAD ≌△CAE （SAS ）……………………………2分 ∴BD=CE ……………………………………3分EBA（2）如图，过点C 作CG ∥BP 交DF 的延长线于点G ∴∠G ＝∠BDF ∵∠ADE ＝60°，∠ADB ＝90°∴∠BDF ＝30° ∴∠G ＝30°……………………………………………………4分 由（1）可知，BD ＝CE ，∠CEA ＝∠BDA∵AD ⊥BP∴∠BDA ＝90°∴∠CEA ＝90° ∵∠AED ＝60°， ∴∠CED ＝30°=∠G ，∴CE ＝CG∴BD ＝CG ……………………………………………………5分 在△BDF 和△CGF 中 BDF G BFD CFG BD CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BD F ≌△CGF （AAS ） ∴BF ＝FC即F 为BC 的中点．……………………………………………………6分 （3）1………………………………………7分28．解：（1）①B ；……………………………… 2分②0m ≤≤5分 （2）4t ≤≤．…………………7。