2.2参数方程和普通方程的互化

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信
自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!
2.2参数方程和普通方程的互化
一、学习目标
1．了解参数方程化为普通方程的意义． 2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法． 3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题． 二、知识梳理
1．参数方程转化为普通方程
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，通过消去参数可从参数方程得到普通方程． 2．普通方程转化为参数方程
如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝f (t )，那么⎩
⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持前后一致.
三、例题讲解
要点一 把参数方程化为普通方程
例1 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线：
(1)⎩⎨⎧x ＝1－3t ，
y ＝4t ；
(t 为参数) (2)⎩⎨⎧x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t ；
(t 为参数，0≤t ≤π) (3)⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2
θ，y ＝－1＋cos 2θ；
(θ为参数)
跟踪演练1 参数方程⎩⎨⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为
________．
要点二 把普通方程化成参数方程
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信
自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!
例2 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y ＝t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x ＝2t (t 为参数)，如何求曲线的参数方程？
跟踪演练2 (2013· 陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆
x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为______．
要点三 参数方程的应用
例3 已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos β，
y ＝2sin β(β为参数)
上，对应参数分别为β＝α与β＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．
(1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．
跟踪演练3 已知直线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数)，
C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ
(θ为参数)．
(1)当α＝π
3时，求C 1与C 2的交点坐标；
(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求
P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 四、课堂小结
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信
自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!
五、课后反思：参数方程与普通方程互化时注意参数的取值范围。

答案
例1 解 (1)由已知t ＝1－x
3，代入y ＝4t 中，得
4x ＋3y －4＝0，它就是所求的普通方程，它表示的是一条直线． (2)∵0≤t ≤π，－1≤cos t ≤1，0≤sin t ≤1. ∴－3≤x ≤5，－2≤y ≤2，
(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝16cos 2
t ＋16sin 2
t ＝16.
∴(x －1)2＋(y ＋2)2＝16(－3≤x ≤5，－2≤y ≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆． (3)由y ＝－1＋cos 2θ可得y ＝－2sin 2
θ，把sin 2
θ＝x －2代入y ＝－2sin 2θ可得y ＝－2(x －2)，即2x ＋y －4＝0， 又∵2≤x ＝2＋sin 2θ≤3，
∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段． 规律方法 (1)将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，
常用的消元法有代入消元法、加减消元法．如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前做必要的变形．另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin 2α＋cos 2α＝1，(e x ＋
e －x
)2－(e x －e －x
)2
＝4，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－k 21＋k 22＋⎝
⎛⎭⎪⎫2k 1＋k 22＝1等． (2)把普通方程化成参数方程后，很容易改变变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们在解题时一定要验证普通方程与参数方程的等价性． 跟踪演练1 答案 x 2＋(y －1)2＝1
解析 ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，
y ＝1＋sin α，cos 2α＋sin 2α＝1，
∴x 2＋(y －1)2＝1.
要点二 把普通方程化成参数方程
例2 解 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16.于是4x 2＝16－
16sin 2θ＝16cos 2θ，
∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!
因此4x 2
＋y 2
＝16的参数方程是⎩
⎨⎧x ＝2cos θ
y ＝4sin θ(θ为参数)．
(2)将y ＝t 代入椭圆方程4x 2＋y 2＝16，得4x 2＋t 2＝16，
则x 2＝16－t 24.∴x ＝±16－t
2
2.
因此，椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程是
⎩⎨
⎧x ＝16－t 22，y ＝t 和⎩⎨⎧x ＝－16－t 2
2，y ＝t .
(t 为参数) 同理将x ＝2t 代入椭圆4x 2＋y 2＝16，得椭圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝41－t 2和⎩⎨⎧x ＝2t ，y ＝－41－t 2.
(t 为参数) 规律方法 (1)将普通方程化为参数方程的一般方法： 已知⎩⎨⎧x ＝f （t ），
F （x ，y ）＝0.把
x ＝f (t )――→代入F （x ，y ）＝0
y ＝
φ(t )―→⎩⎨⎧x ＝f （t ），
y ＝φ（t ）.
(2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一
条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实际意义，也可没有具体意义．
跟踪演练2 答案 ⎩⎨⎧x ＝cos 2
θ，
y ＝cos θ·sin θ
(θ为参数，θ∈R )
解析 由题意，得圆的标准方程为(x －12)2＋y 2＝(1
2)2，所以圆的半径r ＝1
2.
∵OP ＝2r ·cos θ＝cos θ，∴x ＝OP ·cos θ＝cos 2θ，y ＝OP ·sin θ
＝cos θ·sin θ.
所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2
θ，
y ＝cos θ·sin θ，
(θ为参数，θ∈
R )
要点三 参数方程的应用
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信
自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。

但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!
例3 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2α，
y ＝sin α＋sin 2α.(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M 点到坐标顶点的距离
d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．
规律方法 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力．
跟踪演练3 解 (1)当α＝π
3时，C 1的普通方程为 y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），
x 2＋y 2＝1，
解得C 1与C 2的交点为(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，－32.
(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2
α，
y ＝－1
2sin αcos α
(α为参数)． P 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.
故P 点轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫
14，0，半径为14的圆．。