(浙江专版)2018年高考数学二轮专题复习重难增分训练(五)圆锥曲线的研究性学习

重难增分训练（五） 圆锥曲线的研究性学习

1．已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8.

(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；

(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．

解：(1)已知定点A (4,0)，

设圆心C (x ，y )，MN 线段的中点为E ，

由几何图象知ME ＝MN 2＝4， CA 2＝CM 2＝ME 2＋EC 2⇒(x －4)2＋y 2

＝42＋x 2⇒y 2

＝8x . 即圆心C 的轨迹方程为y 2＝8x .

(2)证明：点B (－1,0)，

设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，

由题知y 1＋y 2≠0，y 1y 2<0，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2.

由x 轴是∠PBQ 的角平分线可得

y 1

x 1＋1＝－y 2x 2＋1⇒y 1y 21＋8＝－y 2y 22＋8⇒8(y 1＋y 2)＋y 1y 2(y 2＋y 1)＝0⇒8＋y 1y 2＝0.

直线PQ 方程为： y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)⇒y －y 1＝1y 2＋y 1

(8x －y 21) ⇒y (y 2＋y 1)－y 1(y 2＋y 1)＝8x －y 2

1 ⇒y (y 2＋y 1)＋8＝8x ⇒y ＝0，x ＝1.

所以直线PQ 过定点(1,0)．

2．(2018届高三·杭州市联谊校联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 1上任意一点，且PF 1―→·PF 2―→

最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2.

(1)求椭圆C 1的离心率e 的取值范围；

(2)设双曲线C 2以椭圆C 1的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线C 2上在第一象限内的任意一点，当e 取得最小值时，是否存在常数λ(λ>0)，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)设P (x ，y )，又F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

∴PF 1―→＝(－c －x ，－y )，PF 2―→＝(c －x ，－y )，

∴PF 1―→·PF 2―→＝x 2＋y 2－c 2

.

由x 2a 2＋y 2

b 2＝1，得y 2＝b 2－b 2x 2a 2，其中0≤x 2≤a 2

.

∴PF 1―→·PF 2―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2

＝c 2

a 2x 2＋

b 2－

c 2

.

∴当x 2＝a 2时，PF 1―→·PF 2―→取得最大值，且(PF 1―→·PF 2―→)max ＝b 2

，

由题意得c 2≤b 2≤3c 2，c 2≤a 2－c 2≤3c 2.

∴14≤c

2

a 2≤12，即14≤e 2≤12，∴12≤e ≤2

2.

(2)当e ＝1

2时，a ＝2c ，b ＝3c .

∴双曲线C 2：x 2c 2－y 23c 2＝1，A (2c,0)．

设B (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则x 20c 2－y 2

03c 2＝1.

当AB ⊥x 轴时，x 0＝2c ，y 0＝3c ，

则tan ∠BF 1A ＝3c

3c ＝1，

故∠BF 1A ＝π

4.

故∠BAF 1＝π

2＝2∠BF 1A ，

猜想存在常数λ＝2，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立．

当AB 不垂直于x 轴，

即x 0≠2c 时，tan ∠BAF 1＝－y 0

x 0－2c ，tan ∠BF 1A ＝y 0

x 0＋c

.

∴tan 2∠BF 1A ＝2tan ∠BF 1A 1－tan 2∠BF 1A ＝2y 0

x 0＋c

1－⎝ ⎛⎭

⎪⎫y 0

x 0＋c 2

.

又y 20＝3c 2

⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20c 2－1＝3(x 20－c 2

)，

∴tan 2∠BF 1A ＝2y 0 x 0＋c

x 0＋c 2－3 x 20－c 2

＝－y 0

x 0－2c

＝tan ∠BAF 1.

又2∠BF 1A 与∠BAF 1同在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π

2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π

2，π内，

∴2∠BF 1A ＝∠BAF 1.

综上，存在常数λ＝2，使得∠BAF 1＝λ∠BF 1A 恒成立．

3．(2017·郑州市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |＝2(其中O 为坐标原点)．

(1)求椭圆的方程；

(2)若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)由已知得b ＝c ＝2，∴a 2＝b 2＋c 2＝4，

∴椭圆的方程为x 24＋y 22

＝1. (2)由(1)知，C (－2,0)，D (2,0)．

由题意可设直线CM ：y ＝k (x ＋2)，P (x 1 ，y 1)．

∵MD ⊥CD ，∴M (2,4k )． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 22

＝1，y ＝k x ＋2

消去y ，整理得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， ∴Δ＝(8k 2)2－4(1＋2k 2)(8k 2

－4)＞0.

由根与系数的关系得－2x 1＝8k 2－41＋2k 2，即x 1＝2－4k 21＋2k 2. ∴y 1＝k (x 1＋2)＝4k 1＋2k 2， ∴P ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2－4k

2

1＋2k 2，4k

1＋2k 2. 设Q (x 0,0)，且x 0≠－2.

若以MP 为直径的圆恒过DP ，MQ 的交点，

则MQ ⊥DP ，∴QM ―→·DP ―→＝0恒成立．

QM ―→＝(2－x 0,4k )，DP ―→＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－8k 21＋2k 2，4k 1＋2k 2. ∴QM ―→·DP ―→＝(2－x 0)·－8k 21＋2k 2＋4k ·4k 1＋2k 2＝0， 即8k 2x 01＋2k 2＝0恒成立，∴x 0＝0. ∴存在点Q (0,0)，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点．

4．(2017·四川双流中学模拟)已知动圆P 与圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝81，圆F 2：(x －3)2＋y 2＝1