2016年天津一中高考数学冲刺试卷(理科)(三)(解析版)

2016年天津一中高考数学冲刺试卷（理科）（三）
一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．）
1．设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x|x2﹣4x≤0}，则A∪B=（）
A．（﹣3，4] B．（﹣3，4）C．（0，1]D．（﹣1，4]
2．设变量x，y满足约束条件，且目标函数z=y﹣x的最大值是4，则k等于（）
A．B．C．﹣D．﹣
3．某程序框图如图所示，其中n∈N*，若程序运行后，输出S的结果是（）
A．B．C．D．
4．函数f（x）=log a x﹣x+2（a＞0，且a≠1）有且仅有两个零点的充要条件是（）A．0＜a＜1 B．a＞1 C．1＜a＜2 D．a＞2
5．如图，在半径为10的圆O中，∠AOB=90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为（）
A．B．2C．3D．5
6．已知离心率为2的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p
＞0）的准线分别交于A，B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为，则抛物线的方程为（）
A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x
7．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）
8．已知函数f（x）=，若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）A．[﹣2，0] B．[﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，0]
二、填空题：（每小题5分，共30分﹒把答案填在题中横线上．）
9．i是虚数单位，复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=_______．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为_______cm3．
11．由曲线y=，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积等于_______．
12．在（+2x）7的展开式中，x5的系数为_______．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=sinB+cosB=，b=2，则角A的值为_______．
14．如图，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且=3
=2，则•=_______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=cos（3x+）+cos（3x﹣）+2sin cos，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
16．某单位举行联欢活动，每名职工均有一次抽奖机会，每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球，已知甲箱中装有3个红球，5个绿球，乙箱中装有3个红球，3个绿球，2个黄球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若都是绿球，则获得二等奖；若只有1个红球，则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球，则不获奖．
（Ⅰ）求每名职工获奖的概率；
（Ⅱ）设X为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和，求X的分布列和数学期望．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AB∥DC．已知AD=DC=PA=1，AB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）设M为PB上的点，且PM=PB，求证：PD∥平面ACM；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角P﹣AC﹣M的余弦值．
18．在数列{a n}中，a n＞0，其前n项和S n满足S n2﹣（n2+2n﹣1）S n﹣（n2+2n）=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）若b n=，求b2+b4+…+b2n．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，P（，1）为椭圆C上的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+b（k≠0）与椭圆C交于不同的两点，且线段AB的垂直平分线过定点
M（，0），求实数k的取值范围．
20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+ax2+x+，x∈（0，3]，其图象上任意一点P（x0，y0）处的切
线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，方程2mf（x）=x（x﹣3m）有唯一实数解，求正实数m的值．
2016年天津一中高考数学冲刺试卷（理科）（三）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．）
1．设集合A={x|x2+2x﹣3＜0}，B={x|x2﹣4x≤0}，则A∪B=（）
A．（﹣3，4] B．（﹣3，4）C．（0，1]D．（﹣1，4]
【考点】并集及其运算．
【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的并集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣1）（x+3）＜0，
解得：﹣3＜x＜1，即A=（﹣3，1），
由B中不等式变形得：x（x﹣4）≤0，
解得：0≤x≤4，即B=[0，4]，
则A∪B=（﹣3，4]，
故选：A．
2．设变量x，y满足约束条件，且目标函数z=y﹣x的最大值是4，则k等
于（）
A．B．C．﹣D．﹣
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，因为直线kx+y﹣3k=0过定点（3，
0），所以只有目标函数z=y﹣x过A时取最大值是4，
由得到A（﹣1，3）此时，﹣k=，所以k=；
故选：B．
3．某程序框图如图所示，其中n∈N*，若程序运行后，输出S的结果是（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】由题意，取n=1，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可得当i=1时，不满足条件，输出S的值为0，比较各个选项即可得解．
【解答】解：由题意，n∈N*，不妨取n=1，
模拟程序的运行，可得：
i=1，S=0
不满足条件i＜3n﹣2，输出S的值为0．
比较各个选项，当n=1时，只有=0．
故选：D．
4．函数f（x）=log a x﹣x+2（a＞0，且a≠1）有且仅有两个零点的充要条件是（）A．0＜a＜1 B．a＞1 C．1＜a＜2 D．a＞2
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】令f（x）=0得出log a x=x﹣2，做出y=log a x和y=x﹣2的函数图象，根据函数交点个数进行判断．
【解答】解：令f（x）=0得log a x=x﹣2，
分别做出y=log a x和y=x﹣2的函数图象，
（1）当a＞1时，函数图象如图所示：
由图象可知y=log a x和y=x﹣2的函数图象有两个交点．
∴f（x）=log a x﹣x+2有两个零点，符合题意．
（2）当0＜a＜1时，函数图象如图所示：
由图象可知y=log a x和y=x﹣2的函数图象有一个交点．
∴f（x）=log a x﹣x+2有一个零点，不符合题意．
综上，a的取值范围为：a＞1．
故选：B．
5．如图，在半径为10的圆O中，∠AOB=90°，C为OB的中点，AC的延长线交圆O于点D，则线段CD的长为（）
A．B．2C．3D．5
【考点】圆內接多边形的性质与判定．
【分析】运用直角三角形的勾股定理，可得AC，延长BO交圆于E，由圆中的相交弦定理，可得AC•CD=BC•CE，代入数据，计算即可得到所求．
【解答】解：在直角三角形AOC中，AO=10，OC=5，
可得AC===5，
延长BO交圆于E，则BC=5，CE=15，
圆的相交弦定理可得，AC•CD=BC•CE，
即有CD===3．
故选：C．
6．已知离心率为2的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p
＞0）的准线分别交于A，B两点，O是坐标原点．若△AOB的面积为，则抛物线的方程为（）
A．y2=2x B．y2=3x C．y2=4x D．y2=6x
【考点】双曲线的简单性质；等差数列的通项公式．
【分析】求出双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的
准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值，即可求出抛物线的方程．
【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），
∴双曲线的渐近线方程是y=±x
又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，
故A，B两点的纵坐标分别是、﹣，
又由双曲线的离心率为2，所以=2，则=，
A，B两点的纵坐标分别是、﹣，
又△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线
∴××=，得p=2，
∴抛物线的方程为y2=4x．
故选：C．
7．已知f（x）为R上的减函数，则满足f（）＞f（1）的实数x的取值范围是（）
A．（﹣∞，2）B．（2，+∞）C．（﹣∞，1）∪（1，2）D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）【考点】函数单调性的性质．
【分析】由f（x）为R上的减函数便可根据条件得出，这样解该不等式即可得出
实数x的取值范围．
【解答】解：∵f（x）为R上的减函数；
∴由得：；
解得x＜1，或x＞2；
∴x的取值范围是（﹣∞，1）∪（2，+∞）．
故选D．
8．已知函数f（x）=，若|f（x）|+a≥ax，则a的取值范围是（）
A．[﹣2，0] B．[﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2]D．（﹣∞，0]
【考点】分段函数的应用．
【分析】由题意可得|f（x）|≥a（x﹣1），作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a（x﹣1），直线恒过定点（1，0），讨论a=0，a＜0时，直线与抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得a=﹣2，通过图象即可得到所求范围．
【解答】解：|f（x）|+a≥ax即为|f（x）|≥a（x﹣1），
作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a（x﹣1），
直线恒过定点（1，0），
当a=0时，直线为y=0，即有y=|f（x）|的图象恒在直线的上方；
当a＜0，且直线和y=|f（x）|的图象相切时，
由y=a（x﹣1）和y=x2﹣4x+3（x＜1），联立，可得
x2﹣（4+a）x+3+a=0，由△=0，即（4+a）2﹣4（3+a）=0，
解得a=﹣2．
由图象即可得到﹣2≤a＜0．
综上可得a的范围是[﹣2，0]．
故选：A．
二、填空题：（每小题5分，共30分﹒把答案填在题中横线上．）
9．i是虚数单位，复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，则z=2+3i．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：复数z满足（z﹣2i）（2﹣i）=5，
可得z===2+3i．
故答案为：2+3i．
10．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为12πcm3．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图得到该几何体的结构，利用圆柱的体积公式进行求解即可．
【解答】解：由三视图可知，该几何体是大圆柱的四分之一去掉小圆柱的四分之一，
其中大圆柱的半径为4，高为4，小圆柱的半径为2，高为4，
则大圆柱体积的四分之一为4×π×42=16π，
小圆柱体积的四分之一为4×π×22=4π，
则几何体的体积为16π﹣4π=12π，
故答案为：12π．
11．由曲线y=，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积等于ln2．
【考点】定积分在求面积中的应用．
【分析】先确定积分上限为2，积分下限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：函曲线y=，直线x=1和x=2及x轴围成的封闭图形的面积dx=lnx|12=ln2，
故答案为：ln2．
12．在（+2x）7的展开式中，x5的系数为560．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数等于5求得r值，则答案可求．
【解答】解：由=．
令，解得r=4．
∴x5的系数为．
故答案为：560．
13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=sinB+cosB=，b=2，则角
A的值为．
【考点】正弦定理．
【分析】由已知求出角B，再由正弦定理求得sinA，结合三角形中的大边对大角求得角A．
【解答】解：在△ABC中，由a=sinB+cosB=，得a=，，
∴sin（B+）=1．
∵0＜B＜π，
∴，
则B+，即B=．
由，得，
∴sinA=．
∵a＜b，
∴A=．
故答案为：．
14．如图，在三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且=3
=2，则•=．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数乘运算及向量的加法、减法的几何意义便可得出
，，再由条件，∠BAC=120°，
AB=AC=2，进行数量积的运算便可求出的值．
【解答】解：根据条件：
，=；
∴
=
=；
=
=；
∴
=
=
=．
故答案为：．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．已知函数f（x）=cos（3x+）+cos（3x﹣）+2sin cos，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）展开两角和与差的余弦，利用倍角公式降幂再用两角和的正弦化积，则周期可求；
（Ⅱ）由x的范围求得相位的3x+的范围，进一步求出sin（3x）的范围得答案．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=cos（3x+）+cos（3x﹣）+2sin cos
=cos3xcos﹣sin3xsin+cos3xcos+sin3xsin+sin3x
=+sin3x
=sin3x+cos3x=．
∴；
（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣]，
则 []，sin（3x+）∈[﹣]．
则f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为和﹣1．
16．某单位举行联欢活动，每名职工均有一次抽奖机会，每次抽奖都是从甲箱和乙箱中各随机摸取1个球，已知甲箱中装有3个红球，5个绿球，乙箱中装有3个红球，3个绿球，2个黄球．在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若都是绿球，则获得二等奖；若只有1个红球，则获得三等奖；若1个绿球和1个黄球，则不获奖．
（Ⅰ）求每名职工获奖的概率；
（Ⅱ）设X为前3名职工抽奖中获得一等奖和二等奖的次数之和，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）设A表示“从甲箱中摸出1个绿球”，B表示“从乙箱中摸出1个黄球”，依题意，没获奖的事件为AB，先求出没获奖的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出每名职工获奖的概率．
（Ⅱ）每名员工获得一等奖或二等奖的概率为，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X=k）=，k=0，1，2，3，由此能求出X的分布列及E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）设A表示“从甲箱中摸出1个绿球”，B表示“从乙箱中摸出1个黄球”，
依题意，没获奖的事件为AB，其概率为P（AB）=P（A）P（B）==，
∴每名职工获奖的概率p=1﹣P（AB）=1﹣=．
（Ⅱ）每名员工获得一等奖或二等奖的概率为p==，
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则P（X=k）=，k=0，1，2，3，
P（X=0）==，
P（X=1）==，
P（X=2）==，
P（X=3）==，
X
∴E（X）==．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，AB∥DC．已知AD=DC=PA=1，AB=2．
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）设M为PB上的点，且PM=PB，求证：PD∥平面ACM；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角P﹣AC﹣M的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）求出平面ACM的法向量和=（1，0，﹣1），由此利用向量法能证明PD∥平面ACM．
（Ⅲ）求出平面ACP的法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角P﹣AC
﹣M的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
依题意可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），
∵=（1，0，0），=（0，0，1），=（0，1，0），
∴=0，=0．
∵AD∩AP=A，∴DC⊥平面PAD．
∵DC⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（Ⅱ）∵PM=PB，∴M点的坐标为（0，）．
∴=（0，），=（﹣1，﹣，）．
设平面ACM的法向量为=（x，y，z），
则有，令x=1，得=（1，﹣1，1），
∵=（1，0，﹣1），∴=0，即．
∵PD⊄平面ACM，
∴PD∥平面ACM．
解：（Ⅲ）设平面ACP的法向量为=（a，b，c），
∵=（0，0，1），=（1，1，0），
则有，∴，
令a=1，得=（1，﹣1，0）．
由（Ⅱ）可知平面ACM的法向量为=（1，﹣1，1），
∴cos＜＞===．
即二面角P﹣AC﹣M的余弦值为．
18．在数列{a n}中，a n＞0，其前n项和S n满足S n2﹣（n2+2n﹣1）S n﹣（n2+2n）=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式a n；
（Ⅱ）若b n=，求b2+b4+…+b2n．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【分析】（Ⅰ）把已知数列递推式变形，求得，得到数列首项，再由a n=S n﹣S n
（n≥2）求{a n}的通项公式a n；
﹣1
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b n=，得到b2n，再由错位相减法求得
b2+b4+…+b2n．
【解答】解：（Ⅰ）由S n2﹣（n2+2n﹣1）S n﹣（n2+2n）=0，得[]（S n+1）
=0，
由a n＞0，可知S n＞0，故．
当n≥2时，=2n+1；
当n=1时，a1=S1=3，符合上式，
则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．
（Ⅱ）解：依题意，b n==，
则，
设T n=b2+b4+…+b2n，
故，
而．
两式相减，得
=，
故．
19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率e=，P（，1）为椭圆C上的点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线y=kx+b（k≠0）与椭圆C交于不同的两点，且线段AB的垂直平分线过定点
M（，0），求实数k的取值范围．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）运用椭圆的离心率公式和P的坐标满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，求得线段AB的中点坐标，求得AB的垂直平分线方程，代入中点坐标，化简整理，可得k的不等式，解不等式即可得到所求k的范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，得，
解得，
故椭圆C的方程为+=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，消去y，
得（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0，
依题意△=（8kb）2﹣4（3+4k2）（4b2﹣12）＞0，
即b2＜3+4k2，
而x1+x2=﹣，则y1+y2=k（x1+x2）+2b=，
所以线段AB的中点坐标为（﹣，）．
因为线段AB的垂直平分线的方程为y=﹣（x﹣）．
所以（﹣，）在直线y=﹣（x﹣）上，
即=﹣（﹣﹣）．
则有b=﹣（3+4k2），
所以＜3+4k2，
故k2＞．解得k＜﹣或k＞．
则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．
20．设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x．
（Ⅰ）当a=时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+ax2+x+，x∈（0，3]，其图象上任意一点P（x0，y0）处的切
线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，方程2mf（x）=x（x﹣3m）有唯一实数解，求正实数m的值．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（Ⅱ）求出导数，得到a≥，根据函数的单调性，求出a的范围即可；
（Ⅲ）设h（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，利用导数可得其最小值为h（x2），得到2lnx2+x2﹣1=0．设m（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），再利用导数研究其单调性即可得．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，可知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=时，f（x）=lnx﹣x2﹣x，f′（x）=﹣，
令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣2（舍去）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以f（x）的极大值f（1）=﹣即为f（x）的最大值．
（Ⅱ）依题意，g（x）=lnx+，x∈（0，3]，
则有k=g′（x0）=≤在（0，3]上恒成立，
所以a≥．
当x0=1时，﹣+x0取得最大值，所以a≥．
（Ⅲ）当a=0时，f（x）=lnx﹣x，
因为方程2mf（x）=x（x﹣3m）有唯一实数解，
即x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，
设h（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则h′（x）=．
令h'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．
∵m＞0，x＞0，
∴x1=＜0（舍去），x2=．
当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）在（x2，+∞）上单调递增．∴h（x）最小值为g（x2）．
则，即，
∴2mlnx2+mx2﹣m=0即2lnx2+x2﹣1=0．
设m（x）=2lnx+x﹣1（x＞0），m′（x）=+1＞0恒成立，
故m（x）在（0，+∞）单调递增，m（x）=0至多有一解．
又m（1）=0，∴x2=1，即=1，
解得m=．
2016年9月8日。