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第一讲优选法
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一什么叫优选法
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引言一什么叫优选法三黄金分割法——0.618法 2.黄金分割法——0.618法四分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割五其他几种常用的优越法 2.盲人爬山法 4.多峰的情形 1.纵横对折法和从好点出发法 3.双因素盲人爬山法一正交试验设计法 2.正交试验设计 4.正交表的特性学习总结报告附录二

2020最新人教版高二数学选修4-1(B版)全册课件【完整版】

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第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1 相似三角
1.1.3 平行截割定理
1.2 圆周角与弦切角
1.2.1 圆的切线
2020最新人教版高二数学选修4－ 1(B版)全册课件【完整版】
1.2.3 判定
阅读与欣赏
欧几里得
第二章圆柱、圆锥与圆锥曲线 2.1 平行投影与圆
2.2 用内切球探索圆锥曲线的性质
2.2.1 球的
2.2.3 圆锥面及其内切球
本章小结
附录部分中英文词汇对照表
第一章相似三角形定理与圆幂定理 1.1 相似三角形 1.1.1 相似三角形判定定理

人教版高三数学选修4-5(B版)电子课本课件【全册】

第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 不等
式的基本性质和一元二次不等人教版高三式数学的选解修法4－5(B版)电子
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人教版高三数学选修4－5(B版)电子课本课件【全册】目录
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第一章不等式的基本性质和证明的基本方法 1.1 1.3 绝对值不等式的解法 1.5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯 2.3 平均值不等式（选学）本章小结第三章数学归纳法与贝努利不等式 3.1 数学归纳本章小结数学归纳法简史

数学选修4-7全套教案

数学选修4-7全套教案(共22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高三数学选修4-7第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数知识与技能：通过本节课的学习，初步了解优选法的概念，帮助学生了解优选问题的广泛存在，能正确的判断出单峰函数，能建立实际优选问题的数学模型，并寻找模型的最佳点，从数学角度加深对解决优选问题的认知.情感、态度与价值：通过本节课的学习帮助学生思考和解决一些简单的实际问题.教学过程1. 有一种商品价格竞猜游戏，参与者在知道售价范围的前提下，对一件商品的价格进行竞猜.当竞猜者给出的估价不正确时，主持人以“高了”“低了”作为提示语，再让竞猜者继续估价，在规定的时间或次数内猜对的，即可获得这件商品.如果参加类似的游戏，每次你将怎么给出估价呢？2. 蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱.如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，蒸出的馒头就发黄且有碱味.对于一定量的面粉来说，放多少碱最合适呢如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，如何迅速地找出合适的碱量3. 一个农场希望知道某个玉米品种的高产栽培条件，如果可以掌握的因素是:种植密度、施化肥量、施化肥时间，如何迅速地找出高产栽培的条件如何找出其中对玉米的产量影响比较大的因素呢一、优选法优选法是根据生产和科学研究中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验，以最少的试验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.二、单峰函数..,这是一个优选问题大时炮弹的射程最远经常要考虑发射角度多在军事训练中.|,|,cos 21tan ,,,),20(,,222为重力加速度其中则有如果忽略空气阻力离地面的高度为离为炮弹距发射点的水平距在时刻发射角度为设炮弹的初速度为如图g v v x v gx y y x t v=-=≤≤θθπθθ.2sin ,.2sin ,0,02221θθgv g v x x y 炮弹的射程为因此得令===如果函数f (x )在区间[a , b ]上只有唯一的最大值点(或最小值点)C ，而在最大值点(或最小值点)C 的左侧，函数单调增加(减少)；在点C 的右侧，函数单调减少(增加)，则称这个函数为区间[a , b ]上的单峰函数.例如，图中的两个函数f (x )，g (x )就是单峰函数.我们规定，区间[a , b ]上的单调函数也是单峰函数.在炮弹发射试验中，除发射角外，初速度、空气阻力等也会影响炮弹的射程，我们把影响试验目标的初速度、发射角、空气阻力等称为因素.在一个试验过程中，只有（或主要有）一个因素在变化的问题，称为单因素问题.射程（目标）可以表示为发射角（因素）的函数.像这样表示目标与因素之间对应关系的函数，称为目标函数.若函数f(x)在区间[a,b]上是单峰函数,C是最佳点，如果在区间[a, b]上任取x1，x2，如果在试验中效果较好的点是x1，则必有C和x1在x2的同侧，若以x2为分界点,含x1点的区间范围是函数的一个存优范围.练习.判断下列函数在区间[－1,5]上哪些是单峰函数：(1) y＝3x2－5x＋2; (2) y＝－x2－3x＋1;(3) y＝cos x; (4) y＝ex;(5) y＝x3.课后作业1.阅读教材P. ；2.《学案》教学后记第一讲优选法三、黄金分割法——法知识与技能：黄金分割法——法是非常著名的优选法，在生产实践中有广泛应用，通过学习这一内容，不仅可以使学生学会一种用数学知识解决实际问题的方法（数学建模），了解黄金分割常数，而且还可以使学生感受数学在解决实际问题中的作用.情感、态度与价值：通过本课学习，增加学生的数学文化内涵，让学生感受到数学的美. 教学过程一、黄金分割常数对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？假设因素区间为[0, 1]，取两个试点102、101 ，那么对峰值在)101,0(中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为54的区间(图1)；但对于峰值在)1,102(的函数，只能去掉长度为101的区间(图2)，试验效率就不理想了.怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？在安排试点时，最好使两个试点关于[a ,b ]的中心2ba + 对称. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同.黄金分割常数：251+-，用ω表示.试验方法中，利用黄金分割常数ω确定试点的方法叫做黄金分割法.由于215-是无理数，具体应用时，我们往往取其近似值.相应地，也把黄金分割法叫做法.二、黄金分割法——法例.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g 到2000g 之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？我们用存优范围与原始范围的比值来衡量一种试验方法的效率，这个比值叫做精度，即n 次试验后的精度为原始的因素范围次试验后的存优范围n n =δ用法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ一般地，给定精度δ，为了达到这个精度，所要做的试验次数n 满足,1618.01<≤-δn即.0lg 618.0lg )1(<≤-δn 所以.1618.0lg lg +≥δn黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.课后作业1.阅读教材P. ；2.《学案》第一讲第三课时.教学后记第一讲优选法四、分数法知识与技能：本节结合具体问题介绍分数法，让学生认识到分数法最优性的含义，并能初步了解它的推导原理，注意斐波那契数列的表示.情感、态度与价值：通过本节内容的学习，丰富了数学内容，传播了数学文化. 一、复习黄金分割法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ 二、新课案例1 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130 ml 肯定不好.用150 ml 的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10 ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.斐波那契数列和黄金分割每个月兔子数构成的数列：.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,110=11=22=33=54=85=136=F这个数列是意大利数学家斐波那契首先给出的，为了纪念他，此数列被称为斐波那契数列.斐波那契数列有着广泛的应用，其中之一是由它可以构造出黄金分割常数ω的近似分数列., , ,138,85 ,53 ,32 ,211+n n F F 数列{F n }为.,98 ,55 ,43 ,12 ,13 ,8 ,5 ,3 ,2 ,1 ,1 案例1中，加入量大于130ml 时肯定不好，因此试验范围就定为0~130ml.我们看到，10ml ，20ml;，30ml ，…，120ml 把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果用65138 F F= 来代替，那么我们有80)0130(13801=-⨯+=x 用“加两头，减中间”的方法，508013002=-+=x 在存优范围50~130ml 内：继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果.优选法中，像这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法. 如果因素范围由一些不连续的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定数，这是只能采用分数法.案例2 在调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为Ω，1K Ω，Ω，2K Ω，3K Ω，5K Ω，Ω等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值4F 5F 6F 502=x 801=x 130003F 4F 6F 1003=x 801=x 130500如果用法，则计算出来的电阻调试者手里可能没有.这时，可以先把这些电阻由小到大的顺序排列：为了便于分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成为8格，用85代替. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.(1) 可能的试点总数正好是某一个(F n －1). 这时，前两个试点放在因素范围的 nn n n F FF F 21--和位置上，即先在第F n －1和F n －2上做实验. (2) 所有可能的试点总数大于某一(F n －1)，而小于(F n +1－1).这时可以用如下方法解决.先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少为 (F n －1)个，从而转化为前一种情形.如果不能减少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成F n +1－1个试点，从而转化成(1)的情形.对于这些虚设点，并不增加实际试验次数...328.0618.0618.0121减中间”的方法来确定，续试点可以用“加两头确定了第一个试点，后分数法中，一旦用是相同的骤来确定试点，后续的步和代替两者的区别只是用分数法的本质是相同的，单峰函数的方法，它与分数法也是适合单因素nn nn n n F FF FF F ---=分数法的最优性在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n +1－1)个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n 次试验中的最优试验点.在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从(F n+1－1)个试点中找出最佳点.综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数的最优性.分数法在有有限个试点优选问题中被广泛使用. 课后作业1.阅读教材P.教学后记第一讲优选法五、其他几种常用的优选法知识与技能：通过本节内容的学习，结合具体实例了解其他几种常用的优选法，对分法，盲人爬山法，分批试验法.情感、态度、价值：通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.教学过程;复习1. 法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.用法确定试点时，从第2次试验开始，每一次试验都把存优范围缩小为原来的.因此，n 次试验后的精度为1618.0-=n n δ2. 斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…,55,34,21,13,8,5,3,2,1,198********==========F F F F F F F F F F3.黄金分割常数ω的近似分数列3. 分数法适用目标函数为单峰的情形，第1个试验点确定在因素范围的黄金分割近似分数处，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定.4. 法和分数法的区别法:适合[a ,b ]区间上的实数试点问题分数法:适合[a ,b ]区间上的有限试点问题5. 分数法的最优性2次试验可以最多处理2个试点问题3次试验可以最多处理4个试点问题4次试验可以最多处理7个试点问题5次试验可以最多处理12个试点问题6次试验可以最多处理20个试点问题…n 次试验可以最多处理(F n +1－1)个试点问题新课一、对分法 , , ,138 ,85 ,53 ,32 ,211+n n F F案例1 有一条10km 长的输电线路出现了故障，在线路的一端A 处有电，在另一端B 处没有电，要迅速查出故障所在位置.法和分数法都是先做两个试验，然后再通过比较，确定存优范围，不断地将试验范围缩小，最后找到最佳点.现在找输电线路故障所在位置，我们只需在AB 之间的任意点C 做检查，就能根据点C 是否有电，判断出故障在哪一段，从而缩小故障范围，而不需要做两个试验进行比较.那么，如何选取每次的检查点才能迅速找出故障位置呢？第一个检查点C 安排在线路中间，如果有电，说明故障不在AC 而在CB 段，接着在CB 中点D 检查，如果没有电，说明故障在CD 部分，再在CD 中点E 检查，如此类推，很快就能找出故障的位置.这个方法的要点是每个试点都取在因素范围的中点，将因素范围对分为两半，所以这种方法就称为对分法.用这种方法做试验的效果较法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的问题都可以用对分法呢？不是的.如果每做一次试验，根据结果，可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.例如案例1中，根据有没有电就可以判断是哪段线路有故障，下次就在有故障的一段 C BA E D检查.决定下次试验方向，只要满足以下两个条件就可以：一是要有一个标准，对分法每次只有一个试验结果，如果没有一个标准，就无法鉴别试验结果的好坏，案例1中的标准是有没有电；二是要预知该因素对指标的影响规律，也就是说，能够从一个试验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了，案例1中，根据检查点是否有电，知道下一个应该离A 点更近些还是更远些.如果没有这一条件就不能确定下一次应该在哪个因素范围进行试验.案例2 在商品价格竞猜游戏中,每一次试猜时，如何给出商品估价就可以最迅速地猜出真实价格？因为每次给出估价都会得到“高了”或“低了”的提示语，于是，我们可以根据提示语确定下一次该往高还是往低估.这说明可以用对分法给出商品估价，每次给出的估价都是存优区间的中点.每给一次估价，可以使价格范围缩小21 ，迅速猜中商品价格.可以发现对分法和法及分数法，在确定下一个试点时，比较的对象是不同的.后两种方法是两个试点上的试验结果的比较，而对分法是一个试点上的试验结果与已知标准（或要求）的比较.所以在满足目标函数为单峰的假设下，使用对分法还需要满足具有已知标准这个条件.从效果上看，对分法比法及分数法好，每一次试验可以去掉一半的因素范围.相对于法及分数法，对分法更简单，易操作.思考分别用法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法会更有效呢为什么二、盲人爬山法在实际的生产实践和科学试验中，某些因素不允许大幅度调整.例如，设备正在运行中，如果坏一次损失会很大；某些成分含量的多少对结果影响很大，甚至由于该成分的过量破坏了试验装置的清洁度，而影响下一次试验结果的正确性.这些试验用法、分数法或对分法就不很合适.这种限制要求我们在原有生产条件的基础上逐步探索，逐步提高，就像盲人爬山一样，在立足处，对前后两个方向进行试探，如果前面高了就向前走一步，否则试探后面，如果前后都比某点低，就说明达到山顶了.盲人爬山法的操作步骤是：先找一个起点A(可以根据经验或估计)，在A点做试验后可以向该因素的减少方向找一点B'做试验.如果好，就继续减少；如果不好，就往增加方向找一点C做试验.如果C点好就继续增加，这样一步一步地提高.如果增加到E点，再增加到F点时反而坏了，这时可以从E点减少增加的步长，如果还是没有E点好，则E就是该因素的最佳点.这就是单因素问题的盲人爬山法.盲人爬山法的效果快慢与起点关系很大，起点选得好可以省好多次试验.所以对爬山来说，试验范围的正确与否很重要.另外，每步间隔的大小，对试验效果关系也很大.在实践中往往采取“两头小，中间大”的办法.也就是说，先在各个方向上用小步试探一下，找出有利于寻找目标的方向，当方向确定后，再根据具体情况跨大步，快接近最佳点时再改为小步.如果由于估计不正确，大步跨过最佳点，这时可退回一步，在这一步内改用小步进行.一般说来，越接近最佳点的时候，效果随因素的变化越缓慢.这个方法还可以应用在某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题上.像改变气体和液体的流速、温度；仪器调试中的可变电容、可变电阻；等等，采用爬山法比较合适.试验中，可以边调整边检查，调到最佳点时就固定下来.一般在大生产中爬山法较常用.三、分批试验法(1)均分分批试验法(2)比例分割分批试验法从效果上看，比例分割法比均匀法好.但是比例分割法每批中的试验点挨得太近，如果试验效果差别不显著的话，就不好鉴别.因此，这种方法比较适用于小的因素变动就能引起结果的显著变化的情形.究竟一批安排几个试验合适呢？这要根据具体的情况而定.如果做一次试验很方便，消耗很少，时间很短；或检验很麻烦，时间又长；或代价很大，而且每次检验可以有好多样品同时进行，在这种情况下每批试验可多做几个，即将试验范围分得细一些；否则就少做几个.四、多峰的情形一般可以采用以下两种方法.(1)先不管它是“单峰”还是“多峰”，用前面介绍的处理单峰的方法去做，找到一个“峰”后，如果达到预先要求，就先应用于生产，以后再找其他更高的“峰”(即分区寻找).(2)先做一批分布得比较均匀的试验，看它是否有“多峰”现象.如果有，则分区寻找，在每个可能出现“高峰”的范围内做试验，把这些“峰”找出来.第一批分布均匀的试点最好以下述比例分：α：β＝：..(图1)这样有峰值的范围总是成(α,β)或(β, α)形式(图2).课后作业βαβαβαβα图1图21.阅读教材P. 教学后记第一讲优选法六、多因素方法知识与技能：通过本节内容的学习，结合具体实例了解多因素方法.对于多因素问题，应抓住主要因素，略去次要因素，当剩下的因素不能再略去时，就只能用多因素方法了，处理双因素问题的方法有纵横对这法，从好点出发法，平行线法，平行线加速法、双因素盲人爬山法.情感、态度、价值：通过本部分的学习，可以培养学生的应用能力，同时通过例题的分析与比较，提升思维的比较迁移能力.教学过程;一、纵横对折法用x，y表示两个因素的取值，z=f(x,y)表示目标函数(并不需要z=f(x,y)的真正表达式).双因素的优选问题，就是迅速地找到二元目标函数z=f(x,y)的最大值(或最小值)及其对应的(x,y)点的问题.假设函数z=f(x, y)在某一区域内单峰，其几何意义是把曲面z=f(x,y)看作一座山，顶峰只有一个.双因素的优选问题就是找出曲面z=f(x,y)的最高峰.把试验范围中z=f(x,y)取同一值的曲线叫作等高线，就如山上同一高度的点的连线在水平面上的投影.等高线一圈套一圈，越高越在里边.所以双因素问题就是通过试验、比较的方法来寻找比较靠里边的等高线，直到找到最里边的一圈等高线(即最佳点)为止.以横坐标表示因素I ，纵坐标表示因素II.假设因素I 的试验范围为[a 1, b 1]，因素II 的试验范围为[a 2, b 2].先将因素I 固定在试验范围的中点c 1，即)(2111b a +处，对因素II 进行单因素优选，得到最佳点A 1.同样将因素II 固定在中点c 2，即)(2122b a +处，对因素I 进行单因素优选，得到最佳点B 1.比较A 1和B 1的试验结果，如果B 1比A 1好，则沿坏点A 1所在的线，丢弃不包括好点B 1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：a 1≤I ≤c 1,a 2≤II ≤b 2.然后再在因素I 的新范围即(c 1，b 1]的中点d 1，用单因素方法优选因素II ，如果最佳点为A 2，而且A 2比B 1好，则沿坏点B 1所在的线，丢弃不包括好点A 2所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：c 1≤I ≤b 1，a 2≤II ≤c 2.如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止.这个方法称为纵横对折法. 思考是否每次都要固定在该因素试验的中点？还有没有改进的余地不一定．实践证明，用以下的方法更好.二、从好点出发法先固定因素I于原生产点(或点)c1，用单因素方法优选因素II，得到最佳点为A1 (c1,c2),然后把因素II固定在c2，用单因素法优选因素I,得到最佳点B1(d1，c2)，则去掉A1右边的平面区域，试验范围缩小到a1≤I＜c11，a2≤II≤b2.再将因素I固定在d1，优选因素II，得到最佳点A2 (d1，d2)，则去掉B1以上部分，试验范围缩小到：a1≤I＜c1，a2≤II＜c2再将因素II固定在d2，用单因素方法在[a1,c1)范围内优选因素I，这样继续下去，就能找到所需要的最佳点.这个方法的要点是：对某一因素进行优选试验时，另一因素固定在上次试验结果的好点上(除第一次外)，所以称为从好点出发法.案例1 阿托品是一种抗胆碱药.为了提高产量、降低成本，利用优选法选择合适的脂化工艺条件.根据分析，主要因素为温度与时间，定出其试验范围为温度：55℃~75℃，时间：30min~210min.用从好点出发法对工艺条件进行优选:(1) 参照生产条件，先固定温度为55℃,用单因素法优选时间，得最优时间为150min，其产率为%.(2) 固定时间为150min，用单因素法优选温度，得最优温度为67℃，其产率为%.(3) 固定温度为67℃，用单因素法再优选时间，得最优时间为80min，其产率为%.(4) 再固定时间为80min，又对温度进行优选，结果还是67℃好.试验到此结束，可以认为最好的工艺条件为温度：67℃，时间：80min(图).实际中采用这个工艺进行生产，平均产率提高了15%.三、平行线法设影响某试验结果的因素有I、II两个，而因素II难以调整.首先把难以调整的因素II固定在处，用单因素方法对另一个因素I的进行优选，例如最佳点在A1处．然后再把因素II固定在的对称点处，再用单因素方法对因素I进行优选，例如最佳点在A2处.比较A2和A1两点上的试验结果，如果A1比A2好，则去掉A2以下的部分(图中阴影部分)，即好点不会在因素II的0~之间(如果A2比A1好，则去掉A1以上的部分，即好点不会在因素II的~1之间).然后按法找出因素II的第三点.第三次试验时，将因素II固定在，用单因素优选方法对因素I进行优选，例如最佳点在A3处.比较A3和A1，如果仍然是A1好，则去掉以上部分(图).如此继续下去，直到找到满意的结果为止.这个方法的特点是，每次试验都是在相互平行的直线上做，因此叫做平行线法.因素II上的取点方法是否一定要按法？不一定，也可以用其他方法，例如可以固定在原有生产水平上，这样可以少做试验.在用平行线法处理两因素问题时，不能保证下一条平行线上的最佳点一定优于以前各条平行线上的最佳点，因此,有时为了较快地得到满意的结果，常常采用平行线加速法.所谓“平行线加速”是在求得两条平行直线l1与l2上的最佳点A1与A2后，比较A1与A2两点上的试验结果，若A1优于A2，则去掉下面一块.然后在剩下的范围内过A2，A1作直线L1，在L1上用单因素法找到最佳点，设为A3.显然A3优于A1.如果对A3的试验结果还不满意，则再过A3作l1的平行线l3，在如l3上用单因素法求得最佳点A4.显然A4优于A3(若A4与A3重合，则可以认为A4即为最佳点)，因此可去掉图的下边一块.若A4的试验结果还不满意，则在剩下的试验范围内过A1，A4作直线L2，在L2上用单因素法进行优选.依次进行，直到结果满意为止.对于A2优于A1的情况也可以类似地讨论.案例2“除草醚”配方试验中，所用原料为硝基氯化苯，一二氯苯酚和碱,试验目的是寻找一二氯苯酚和碱的最佳配比，使其质量稳定、产量高.碱的变化范围：~(克分子比)；酚的变化范围：~(克分子比).首先固定酚的用量(即处)，对碱的用量进行优选，得最优用量为，即图上的点A1.再固定酚的用量 (即处)，对碱的用量进行优选，得碱的最优用量为，即图上的点A2.过A1，A2作直线L(直线L上的点是酚:碱=1:1)，在直线L上用单因素法进行优选(因为A2优于A1,所以酚的用量低于时就不必做了)，最佳点为A3，即酚与碱的用量均为.四、双因素盲人爬山法是否一定要找出第一个因素的最佳点，然后再找另一个因素的最佳点呢？不一定，在双因素寻找最佳点的过程，就像盲人爬山可以朝前后左右四个方向前进一样.盲人在山上某点，想要爬到山顶，怎么办？从立足处用明杖向前一试，觉得高些，就往前一步；如果前面不高，向左一试，高就向左一步；不高再试后面，高就退后一步；不高再试右面，高就向右走一步；四面都不高，就原地不动.总之，某个方向高了就朝这个方向走一步，否则试其他方向，这样一步一步地走，就一定能走上山顶.在寻找最佳点时也可以以起点为中心，向四周探索一下，找出有利于。

人教版B版高中数学选修4-7(B版)0.618法

x1=小+0.618×(大－小) x2=小+大－x1
……(1) ……(2)
找第三、第四、……试验点的方法是取第二试验点的对称点、取剩余好点的对称点、 ……依次进行下去
4.0.618法的结束标准
什么时候结束我们的试验，这取决于试验要求达到什么精度。具体可以由以下公式计算： δ n=第n次试验后的存优范围/原始的因素范围 δ n=0.618n-1
0.618法是美国数学家Jack Kiefer于 1953年提出，我国著名数学家华罗庚于20 世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，目前广泛应用于各个领域。
下面我们一起来认识一下这种方法。
要点总结
1.0.618法的定义
利用来回调试法选择试验点时，如果按照关于区间中点取对称点确定试验点的方法，如果第一试验点取在原区间的0.618处，则第二、三、……各试验点都正好在剩下区间的 0.618处，这种第一试验点的方法，我们称为 0.618法。
0.618法
知识导入
在单因素优选问题中，我们学习了来回调试法（区间消去法），在此基础上，还初步掌握了分数法的基本原理。这些方法都是为了帮助我们解决“怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点？”的问题，但在不同情况下，有不同的功效。
0.618法又称黄金分割法，是优选法的一种。是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择。
2. 0.618法的效果
利用0.618法选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点。
因为在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，所以选择试点的时候有一定的风险。而0.618法具有这样的规律性：保证每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同。

人教版B版高中数学选修4-7：优选问题的目标和因素_课件2

3.在实践中的许多最优化问题，试验结果与因素的关系，有些很难用数学形式来表达，有些表达式很复杂，这需要我们学习解决这类问题的数学方法.
利用数学原理，合理安排试验，以最少使用优选法的目的是什么？需要进一步探究的问题是什么？
目的：减少试验次数.
优选问题的目标和因素
问题提出
1.利用线性规划原理，可以解决在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，同时还可以求得使目标函数取得最大或最小值的最优解.其中在可行域内寻找最优解，体现了一种优选法思想.
2.蒸馒头是日常生活中常做的事情，为了使蒸出的馒头好吃，就要放碱，如果碱放少了，蒸出的馒头就发酸；碱放多了，馒头就会发黄且有碱味.如果你没有做馒头的经验，也没有人可以请教，就要用数学的方法迅速找出合适的碱量标准.
问题：优选法如何实施.

人教版B版高中数学选修4-7(B版)分数法

（0）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 （34）数间隔是32个，然而在斐波那契数列中，并没有 32，所以在试点前面添加一个0，在最后添加34，使得试点的间隔变为33，然后利用分数法，注意0 和34试点是不存在的。
(2) 所有可能的试点总数大于某一 (Fn－1)，而小于(Fn+1－1)。这时可以用如下方法解决。
先分析能否减少试点数，把所有可能的试点减少
为(Fn－1)个，从而转化为前一种情形。如果不能减
少，则采取在试点范围之外，虚设几个试点，凑成
Fn+1－1个试点，从而转化成(1)的情形。对于这些虚
设点，并不增加实际试验次数。
F5－1＝8－1＝7
F4－1＝5－1＝4
故
F4－1＝4＜5＜F5－1＝7
(1)首先需要增加两个虚设点，使其可能的试验总次数为7次，虚设点可以安排在试验范围的一端或两端。假设安排在两端，即一端一个虚设点。如下图所示：
(2)第①个试验点选在第5个分点0.25mg/L；第②个试验点在第3个分点0.15mg/L。假设①点好，划去3分点以下的，再重新编号；
(3) 掌握分数法解决实际的优选问题的方法。
首先我们来回顾一下斐波那契数列：如下形式的数列我们称之为斐波那契数列 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… 用F0、F1、F2、…依次表示上述数串，我们能更加直观的表示出这列数的特征，可以发现它们满足以下递推关系：
Fn＝Fn-1＋Fn-2 (n≥2)。
解析：该已知条件符合分数法的优选要求． ∴第一次应优选0.划去2分点以下的，再重新编号；

人教版B版高中数学选修4-7(B版)精确度

根据经验，乙醇水溶液浓度变化范围为50%～ 90%(体积百分比)，用量变化范围为30%～70%(重量百分比)，精度要求为5%。试用纵横对折法对工艺条件进行优选。
解析由题意设影响该试验结果的因素Ⅰ为浓度，试
验范围为50%～90%，因素Ⅱ为用量，试验范围为 30%～70%。试验：(1)先固定浓度在中点(50%＋ 90%)÷2＝70%处，对用量进行单因素优选，得最佳点A1。
同样将用量固定在中点(30%＋70%)÷2＝50%处，对浓度进行单因素优选，得最佳点B1。比较A1和B1 的试验结果，如果A1比B1好，则沿坏点B1所在的线，丢弃不包括好点A1所在的半个平面区域，即丢弃平面区域：50%≤Ⅰ≤90%,50%≤Ⅱ≤70%。
然后再在因素Ⅱ的新范围即[30%,50%)内取中点 40%，用单因素方法优选因素Ⅰ，得最佳点为B2. 如此继续下去，不断地将试验范围缩小，直到找到满意的结果为止，如下图
设一优选问题的目标函数为y f (x), x [a,b], 最大值为y0 f (x0 ), x0 [a,b]。经过一种实验方法安排后，
取得的最好值点是x*, x* [a,b],定义 x0 x*
ba 为所用实验方法的精确度。
优选方案
优选方案定义对优选问题的目标函数y=f(x),x€A[a.b],
答案：C
练习
2、有一优选试验，试验的因素范围是[10,60]，在试验中第一个试点为25，则第二个试点最好为 ________。
答案：45
[解析] 在安排优选试验时最好使两个试点关于因素范围的中点对称，则第二个试点最好为 10＋60－25＝45。
练习
3、下列函数中，在[－1,4]上不是单峰函数的是 ________．
但基于单峰函数的如下性质，我们能得到一种更加高效的求解方法：设：单峰函数y=f(x)，x在区间A中取值，这里区间A定义为[a,b]，它的最大值为x0，对任意两点x1，x2，且x1<x2,

人教版高中选修4-7三黄金分割法——0.618法课程设计 (2)

人教版高中选修4-7 三黄金分割法——0.618法课程设计一、前言本文为人教版高中选修4-7的课程设计，将会介绍三黄金分割法，也称0.618法的概念、原理及应用。

读者应先了解高中数学课程的相关知识，如比例、平方根等。

二、三黄金分割法——0.618法介绍三黄金分割法是一种数学方法，又称为0.618法，其原理是在等比数列中，任意相邻的两个数a，b，以及中间的数c，均满足a:b=b:c=0.618。

应用范围非常广，从交易市场到设计构图，都可以使用这种方法。

黄金分割法是起源于古代希腊的一种美学规律，表示美好和完美的比例。

在建筑、绘画、音乐等领域应用广泛。

而三黄金分割法，是将黄金分割法推广到数学领域，旨在解决比例问题。

三、三黄金分割法——0.618法原理三黄金分割法的基本原理在于比例，而比例有两个基本概念，即等比数列和黄金分割点。

等比数列就是每一项与其前一项成等比例的数列；黄金分割点是将一条线段分为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，即将线段分为黄金比例（0.618）和互补比例（0.382）。

将等比数列和黄金分割点结合起来，就可以得到三黄金分割法，即在等比数列中，比例为0.618的两项所在的位置即为黄金分割点。

设a、b、c依次为等比数列中的三个数，则有：b / a =c / b = 0.618解出b = 0.618a + 0.382c；c = 1.618b - a，即可使用三黄金分割法求得等比数列中比例为0.618的数。

四、三黄金分割法——0.618法应用1.金融领域三黄金分割法在金融领域应用非常广泛，其中最为明显的是在技术分析中，用来确定股票、外汇等交易的趋势和支撑位阻力位。

这是因为这一比例可在一定程度上反映市场的情况。

2.构图设计三黄金分割法还应用于构图设计中。

在摄影或平面设计中，使用黄金比例构图可让设计出来的作品更具吸引力。

3.数学领域三黄金分割法还有许多数学应用。

在三维空间中，可以使用三黄金分割法来设计立体结构；在数学研究中，可以通过将a、b、c三个数看作是一种三维向量，针对它们所形成的几何关系进行研究。

1.4.坐标轮换法(或称因素轮换法)-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案

1.4 坐标轮换法（或称因素轮换法）-人教B版选修4-7优选法与试验设计初步教案一、教学目标1.理解坐标轮换法（或称因素轮换法）的基本概念和原理。

2.掌握坐标轮换法的具体应用方法，能够通过实例运用坐标轮换法解决实际问题。

3.了解优选法和试验设计的相关知识，并初步运用到实验设计中。

二、教学重点1.坐标轮换法的基本概念和原理。

2.坐标轮换法的具体应用方法。

3.优选法和试验设计的相关知识。

三、教学难点1.坐标轮换法的应用方法，要求学生能够对实际问题进行分析和解决。

2.优选法和试验设计的实际应用。

四、教学过程1. 引入（5分钟）老师通过实例引入，让学生了解实际应用中的问题，并对坐标轮换法（或称因素轮换法）的用途有一个初步了解。

2. 理论知识（20分钟）1.坐标轮换法的基本概念和原理。

2.坐标轮换法的应用条件和步骤。

3. 实例演练（30分钟）老师将给出两个例子进行演练，并要求学生运用坐标轮换法解决问题。

4. 优选法和试验设计（20分钟）1.优选法的基本原理和应用方法。

2.试验设计的基本概念和方法。

5. 实践应用（30分钟）老师将给出一个实际问题，要求学生通过运用优选法和试验设计的知识，解决问题。

6. 总结（5分钟）老师对本节课的知识点进行简单总结并提出问题，要求学生下节课认真复习，并准备好课堂小测。

五、教学方法1.案例教学法：通过实例解决问题，让学生在实践中掌握知识。

2.问答式教学法：老师通过问答的方式，引导学生深入理解知识点。

3.探究式学习法：引导学生在实践中发掘问题，并探索解决问题的方法。

六、教学评估方式1.课堂测验：每节课结束后进行小测验，巩固学生的知识理解。

2.作业检查：老师对学生布置的作业进行检查和点评。