分数应用题中比的应用

分数应用题中比的应用

一、抓不变量

【例1】有一些球，其中红球占1/3，当再放入8个红球后，红球占总球数的5/14，问现在共有多少球？

解：其他球的数量没有改变。增加8个红球后，红球与其他球数量之比是5∶（14－5）＝5∶9。在没有球增加时，红球与其他球数量之比是1∶（3－1）＝1∶2＝4.5∶9。因此8个红球是5－4.5＝0.5（份）。现在总球数是

本题的特点是两个数量中，有一个数量没有变。把1∶2写成4.5∶9，就是充分利用这一特点。本题也可以列出如下方程求解：（x＋8）∶2x＝5∶9。

【例2】甲、乙两同学的分数比是5∶4，如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们的分数比是5∶7。甲、乙原来各得多少分？

解一：甲、乙两人的分数之和没有变化。原来要分成5＋4＝9份，变化后要分成5＋7＝12份。如何把这两种分法统一起来？这是解题的关键。9与12的最小公倍数是36，我们让变化前后都按36份来算，5∶4＝（5×4）∶（4×4）＝20∶16.5∶7＝（5×3）∶（7×3）＝15∶21。甲少得22.5分，乙多得22.5分，相当于20－15＝5份。因此原来甲得22.5÷5×20＝90（分），乙得 22.5÷5×16＝72（分）。

我们再介绍一种能解本节所有问题的解法，也就是通过比例式来列方程。

解二：设原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x。根据得分变化，可列出比例式。

（5x－22.5）∶（4x＋22.5）＝5∶7 即 5（4x＋22.5）＝7（5x－22.5），15x＝12×22.5，x＝18。甲原先得分18×5＝90（分），乙得18×4＝72（分）。

【例3】张家与李家的收入钱数之比是8∶5，开支的钱数之比是8∶3，结果张家结余240元，李家结余270元。问每家各收入多少元？

解一：我们采用“假设”方法求解。如果他们开支的钱数之比也是8∶5，那么结余的钱数之比也应是8∶5。张家结余240元，李家应结余x元。240∶x＝8∶5，x＝150（元）。

实际上李家结余270元，比150元多120元。这就是8∶5中5份与8∶3中3份的差，每份是120÷（5－3）＝60。（元）。因此可求出

解二：设张家收入是8份，李家收入是5份。张家开支的3倍与李家开支的8倍的钱一样多。我们画出一个示意图：

张家开支的3倍是（8份－240）×3。李家开支的8倍是（5份－270）×8。从图上可以看出 5×8－8×3＝16份，相当于270×8－240×3＝1440（元）。因此每份是1440÷16＝90（元）。张家收入是90×8＝720（元），李家收入是90×5＝450（元）。本题也可以列出比例式：（8x－240）∶（5x－270）＝8∶3。然后求出x。事实上，解方程求x的计算，与解二中图解所示是同一回事，图解有算术味道，而且一些数量关系也直观些。

【例4】 A和B两个数的比是8∶5，每一数都减少34后，A是B的2倍，求这两个数。

解：减少相同的数34，因此未减时，与减了以后，A与B两数之差并没有变，解题时要充分利用这一点。 8∶5，就是8份与5份，两者相差3份。减去34后，A是B的2倍，就是2∶1，两者相差1。将前项与后项都乘以3，即2∶1＝6∶3，使两者也相差3份。现在就知道34是8－6＝2（份）或5－3＝2（份）。因此，每份是34∶2＝17。 A数是17×8＝136，B 数是17×5＝85。

本题也可以用例13解一“假设”方法求解，不过要把减少后的2∶1，改写成8∶4。

【例5】小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张。小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2。问原来两人各有多少张图画纸？

解一：充分利用已知数据的特殊性。4＋3＝7，5＋2＝7，15－8＝7。原来总数分成7份，变化后总数仍分成7份，总数多了7张，因此，新的1份＝原来1份＋1原来4份，新的5份，5－4＝1，因此，新的1份有15－1×4＝11（张）。小明原有图画纸11×5－15＝40（张），小强原有图画纸11×2＋8＝30（张）。

解二：我们也可采用例13解一的“假设”方法。先要将两个比中的前项化成同一个数（实际上就是通分）4∶3＝20∶15，5∶2＝20∶8。

假设小强也买来15×3/4＝45/4（张），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20:8，因此这个比的每一份是（45/8＋8）÷（15－8）＝11/4。小明现有20×11/4＝55（张），原有55－15＝40（张）；小强现有8×11/4＝22（张），原有22＋8＝30（张）。当然，也可以采用实质上与解方程完全相同的图解法。

解三：设原来小明有4“份”，小强有3“份”图画纸。

把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等。我们可以画出如下示意图：

从图上可以看出，3×5－4×2＝7（份）相当于图画纸15×2＋8×5＝70（张）。因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张。

备注：例1至5这五个例题是同一类型的问题。用比例式的方程求解没有多大差别。用算术方法，却可以充分利用已知数据的特殊性，找到较简捷的解法，也启示一些随机应变的解题思路。另外，解方程的代数运算，对小学生说来是超前的，不容易熟练掌握。例3的解一，也是一种通用的方法。“假设”这一思路是很有用的，希望读者能很好掌握，灵活运用。从课外的角度，我们更应启发小同学善于思考，去找灵巧的解法，这就要充分利用数据的特殊性。因此我们总是先讲述灵巧的解法，利于心算，促进思维。

【例6】粗蜡烛和细蜡烛长短一样。粗蜡烛可以点5小时，细蜡烛可以点4小时。同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍。问这两支蜡烛点了多少时间？

解：设粗、细蜡烛长度是1，每小时粗蜡烛点去1/5，细蜡烛点去1/4，我们把问题改变一下：设细蜡烛长度是2，每小时点去2/4，问过多长时间两支蜡烛长度相等。

现在两者相关是（2－1），每小时能缩小差距（2/4－1/5），因此两者相等需要时间是（2－1）÷（2/4－1/5）＝10/3（小时）。

把细蜡烛的长度和每小时烧掉的长度都乘以2，使原来要考虑的“2倍”变成“相等”，思考就简捷了。解这类问题这是常用的技巧。再请看一个稍复杂的例子。

【例7】箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍多2只。每次从箱子里取出7只白球，15只红球，经过若干次后，箱子里剩下3只白球，53只红球，那么，箱子里原来红球数比白球数多多少只？

解：因为红球是白球的3倍多2只，每次取15只，最后剩下53只，所以对3倍的白球，每次取15只，最后应剩51只。

因为白球每次取7只，最后剩下3只，所以对3倍的白球，每次取 7×3＝21只，最后应剩3×3＝ 9只。因此，共取了（51－ 3×3）÷（7×3－15）＝ 7（次）。

红球有 15×7＋ 53＝ 158（只）。白球有 7×7＋3＝52（只）原来红球比白球多 158－52＝106（只）。

经典练习一

1、甲、乙两堆火柴，从甲取50根火柴到乙堆，甲、乙两堆火柴一样多；从乙取40根火柴到甲堆，甲、乙两堆火柴根数之比是4∶1。两堆火柴各有多少根？

2、A，B两种商品的价格之比是7∶3。如果它们的价格分别上涨70元后，价格之比是7∶4。这两种商品原来的价格各是多少元？

3、甲有50张画片，甲拿出乙有的画片数的8倍给乙，现在乙有的画片数是甲的2倍。问乙原来有多少张画片？

4、兄、弟两人，每月收入的比是4∶3，支出钱数的比18∶13。全年他们两人都结余3600元，问每人每月收入各多少元？

5、一把小刀售价3元。如果小明买了这把小刀，小明与小强的钱数之比是2∶5；如果小强买了这把小刀，两人钱数之比是8∶13。问

（1）买刀前小明与小强的钱数之比；（2）小明原有多少钱？

6、哥哥要做384道口算题，弟弟要做180道口算题。每分钟，哥哥能做18道，弟弟能做15道。几分钟后，哥哥剩下题数是弟弟剩下题数的4倍？

7、某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4∶3。结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8∶5。未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3∶4。问报考的共有多少人？

8、甲、乙两个口袋分别装有红球和黄球，红球个数的4倍与黄球的 3倍一样多。从甲口袋中拿走 10个红球，从乙口袋中拿走30个黄球后，红球的5倍比黄球的4倍还多40个。甲、乙两个口袋原来各有多少个球？

【例1】学校男生人数占45％，会游泳的学生占54％。男生中会游泳的占72％，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？

【解1】在全体学生中，不会游泳的女生占33.4％.

在全体学生中，会游泳的男生占45％×72％＝32.4％.

在会游泳的学生中，男生占32.4％÷54％×100％＝ 60％

在全体学生中，不会游泳的女生占（100％-45％）-54％×（1-60％）＝33.4％.

【解2】画一个图非常清楚。

【例2】、有若干堆围棋子，每堆棋子数一样多，且每堆中白子都占28%。小明从某一堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子。现在，在所有余下的棋子中，白子将占32%。那么，共有棋子多少堆？

[方法一]：

[思路]：拿走的全部是黑子，那么白子的数量没有变，可以作为拿出前后的基准。

解：拿出前：因为每堆棋子数一样多且白子都占28%，所以，白子：黑子=28：72=7：18，黑子是白子的18/7；

拿出后：在拿出的那一堆中，白子：黑子=7：[18-（7+18）/2]=14：11，

即拿出黑子数是这对白子数的18/7-11/14=25/14；

在总数中，白子：黑子=32：68=8：17，黑子是白子的17/8；

黑子对白子总数相差=18/7-17/8=25/56，即拿出黑子数是白子总数的25/56；

所以，堆数=（25/14）/（25/56）=4堆。

答：共有棋子4堆。

[方法二]：

[思路]：把比例问题处理成浓度问题

解：将每一堆白子占28%的棋子看成是浓度28%的溶液，那么

本题相当于浓度=28/（100-50）=56%的溶液50克中，需要加入多少克浓度28%的溶液，才能使浓度变为32%。

原液：添加液=（32-28）：（56-32）=4：24=1：6，即需要添加=6×50=300克，

所以，共有棋子=（300+100）/100=4堆。

答：共有棋子4堆。

[方法三]：

[思路]：有若干堆棋子，每堆一样多，且白子都占28%。则白子占总数的28%。

从某一堆中拿走一半，且拿走的都是黑子，则白子数没有变。拿走黑子后，在所有棋子中，白子将占32%。

说明剩下的棋子总数与原来棋子总数的比是28%：32%=7：8。现有棋子为7份，原

有棋子为8份。比原来少1份。这1份是原来一堆的一半。则原来一堆是2份。

则原有8份是8/2=4堆。

解：28%：32%=7：8， 8-7=1

1/（1/2）=2，8/2=4。

答：共有棋子4堆。

【例3】、有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25%。那么，这堆糖果中有奶糖多少块？

[方法一]：

[思路]：总量数量是变化的，不能作为单位“1”但奶糖的数量没有变化，因此我们可以以奶糖的数量作为基准。

解：奶糖占45%，奶糖：水果糖=45%：（100%-45%）=9：11，即原来水果糖是奶糖的11/9；

放入16块水果糖后，奶糖：水果糖=25%：（100%-25%）=1：3，即后来水果糖是奶糖的3倍；

3-11/9=16/9，即放入的16块水果糖占奶糖的16/9，

所以，奶糖数=16/(16/9)=9块。

答：这堆糖果中有奶糖9块。

[方法二]：

[思路]：放入水果糖后，奶糖的数量是不变的，我们要抓住这个不变量来当做处理的中心，原来奶糖为45%，就是占9/20，后来为25%，占总数的1/4，因为奶糖是不

变的，所以把奶糖所占的分子处理成9，即1/4=9/36，这样总数就由原来的20

份变成36份。增加了16份=16块糖，所以原来奶糖9份=9块

解：45%=9/20，25%=1/4=9/36，36-20=16，16÷16=1，1×9=9（块）

答：这堆糖果中有奶糖9块。

[总结]：这个题中，我们要抓住的就是关键的总量是不变的，然后牢牢抓住其他变量的变化跟这个量什么关系，这种处理方法在比例问题中要学会熟练处理。

[方法三]：原来奶糖占45%，放入16块水果糖后，奶糖占25%。奶糖数没有变。则原来糖的总数与放入水果糖后糖的总数比是25%：45%=5：9。原来糖的总数是5份，现

在糖的总数是9份。比原来多9-5=4份，即16块。则每份是16/4=4块。原来糖

的总数是4×5=20块。奶糖是20×45%=9块。

解：25%：45%=5：9，9-5=4，16/4=4，4×5=20，20×45%=9。

答：这堆糖果中有奶糖9块。

二、典型的相遇问题

【例1】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米／秒，乙比原来速度减少2米／秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。（环形跑道的相遇问题)

【解】：因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两人和跑一圈也用24秒，方法有二。

法一：以甲为研究对象，甲以原速V

甲跑了24秒的路程与以（V

甲

+2 ）

跑了24秒的路程之和等于400米，24V

甲+24（V

甲

+2 ）=400 易得

V 甲=17

3

米/秒

法二：由跑同样一段路程时间一样，得到（V

甲+2）=V

乙

二者速度差

为2；二者速度和（V

甲+V

乙

）=400

24

，典型和差问题。由公式得：（400

24

－2）÷2=V

甲，V

甲

=17

3

米/秒

【变式练习1】小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出

发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A 处相遇。小红和

小强两人的家相距多少米？

【解】：：因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出

发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第二次走的时间比第一次

少4分钟。（70×4）÷（90-70）=14分钟 可知小强第二次走了14

分钟，他第一次走了14＋4=18分钟； 两人家的距离：（52+70）×

18=2196（米）

【变式练习2】甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，6

小时后相遇在C 点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且

两车还从A 、B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距C 点12千米，

如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A 、B 两地

同时出发相向而行，则相遇地点距C 点16千米。甲车原来每小时向

多少千米？

【解】：设乙增加速度后，两车在D 处相遇，所用时间为T 小时。甲

增加速度后，两车在E 处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，

所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经T 小时分别到

达D 、E 。DE ＝12＋16＝28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时5千

米，两车在D 或E 相遇，所以用每小时5千米的速度，T 小时 走过

28千米，从而T ＝28÷5＝528小时,甲用6－528＝5

2（小时），走过12千米，所以甲原来每小时行12÷52＝30（千米）

【例2】在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？（典型的追及问题）

【解】：甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒；

乙跑100/4=25（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；

这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。

答：甲追上乙需要时间是140秒。

【拓展1】一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行 5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、……，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多

少秒？

[方法一]：找路程规律

[思路]：通过处理，找出每次爬行缩小的距离关系规律。

【解】：两只蚂蚁相距1.26÷2=0.63米=63厘米，相向爬行1秒距离缩小5.5+3.5=9（厘米），

如果不调头需要63÷9=7（秒）相遇。

第1轮爬行1秒，假设向上半圆方向爬，距离缩小9×1厘米；

第2轮爬行3秒，调头向下半圆方向爬，距离缩小9×（3-1）=9×2厘米；

第3轮爬行5秒，调头向上半圆方向爬，距离缩小9×（5-2）=9×3厘米；……

每爬行1轮距离缩小9×1厘米，所以爬行7轮相遇，时间是7×7=49（秒）

答：它们相遇时，已爬行的时间是49秒。

[方法二]：

[思路]：对于这种不断改变前进方向的问题，我们先看简单的情况：

在一条直线上，如上面图形，一只蚂蚁先从0点出发向右走，然后按照经过1秒、3秒……改变方向.由于它的速度没有变化，

可以认为蚂蚁每秒钟走一格.

第一次改变方向时，它到A1，走1格，OA1=1格；

第二次改变方向时，它到A2，走3格，OA2=2格；

第三次改变方向时，它到A3，走5格，OA3=3格；

第四次改变方向时，它到A4，走7格，OA4=4格；

第五次改变方向时，它到A5，走9格，OA5=5格.

我们不难发现，小蚂蚁的活动范围在不断扩大，每次离0点都远了一格.当两只蚂蚁活动范围重合时，也就是它们相遇的时候. 另外我们从上面的分析可知，每一次改变方向时，两只蚂蚁都在出发点的同一侧.这样，通过相遇问题，我们可以求出它们改变方向的次数，进而求出总时间.

【解】：由前面分析知，每一次改变方向时，两只蚂蚁之间的距离都缩短：5.5+3.5=9厘米.

所以，到相遇时，它们已改变方向： 1.26×100÷2÷9=7次.

也就是在第7次要改变方向时，两只蚂蚁相遇，用时：1+3+5+7+9+11+13=49秒.

【例3】甲、乙两车的速度分别为 52千米／时和 40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。（上山下山的行程问题、相遇与追及的综合题型）

【解】：

方法1：甲乙两车最初的过程类似追及，速度差×追及时间＝路程差；路程差为72千米；72千米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和×相遇时间＝路程和，得到速度和为72千米／时，所以卡车速度为72-40=32千米／时。

方法2: 52×6-40×7=32千米／时

【拓展】:甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为60千米／时和48千米／时。有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后 6时、7时、8时先后与甲、乙、丙三辆车相遇。求丙车的速度。

39千米/小时。提示:先利用甲，乙两车的速度及与迎面开来的卡车相遇的时间，求出卡车速度为24千米/小时

【拓展1】:快、中、慢三辆车同时同地出发，沿同一公路去追赶前面一骑车人，这三辆车分别用6分、10分、12分追上骑车人。已知快、慢车的速度分别为24千米／时和19千米／时，求中速车的速度。

3

【例4】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？（多次折返的行程问题）

【解1】：甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1*1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。

两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。

甲一共走了1+1/2=1.5（小时）

【解2】：相遇时甲已经下山600米，走这600米的时间，如果甲用上山速度只能走600/1.5=400米，所以上山速度一小时甲比乙多走600+400=1000米。

乙到山顶时甲下到半山腰，甲走1/2下山路的时间，如果用来上山，只能走1/2/1.5=1/3的上山路，所以乙走完上山路的时间里，甲可以走上山路的1+1/3=4/3倍，说明上山速度甲是乙的4/3倍。

甲上山速度是1000/（4/3-1）=4000（米），下山速度是4000*1.5=6000（米），上山路程是4000-400=3600（米），出发1小时后，甲还有下山路3600-600=3000（米），要走6000/3000=0.5（小时）

一共要走1+0.5=1.5（小时）

【例5】一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度（流水行船问题）

。

【解】：两次航行都用16时，而第一次比第二次顺流多行60千米，逆流少行40千米，这表明顺流行60千米与逆流行40千米所用的时间相等，即顺流速度是逆流速度的1.5倍。将第一次航行看成是16时顺流航行了120＋80×1.5＝240（千米），由此得到顺流速度为240÷16＝15（千米／时），逆流速度为15÷1.5=10（千米／时），最后求出水流速度为（15－10）÷2＝2.5（千米／时）。

【拓展1】某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。

【解】：物体漂流的速度与水流速度相同，所以甲船与物体的速度差

=15千米/即为甲船本身的船速（水速作用抵消），甲的船速为1÷1

15

小时；乙船与物体是个相遇问题，速度和正好为乙本身的船速，所以相遇时间为：45÷15=3小时

【拓展2】甲轮船和自漂水流测试仪同时从上游的A站顺水向下游的B站驶去，与此同时乙轮船自B站出发逆水向A站驶来。7.2时后乙轮船与自漂水流测试仪相遇。已知甲轮船与自漂水流测试仪2.5时后相距31.25千米，甲、乙两船航速相等，求A，B两站的距离。

【解】：因为测试仪的漂流速度与水流速度相同，所以若水不流动，则7.2时后乙船到达A站，2.5时后甲船距A站31.25千米。由此求出甲、乙船的航速为31.25÷2.5＝12.5（千米／时）。A，B两站相距12.5×7.2=90（千米）。

【拓展3】江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？

【解】：此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中，两者的追及距离是15千米，共用了5小时，故两者的速度差是15÷5=3千米。由于两者都是顺水航行，故在静水中两者的速度差也是3千米。在紧接着的1个小时中，货船开始领先游船，两者最后相距3*1=3千米。这时货船上的东西落入水中，6分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度*1/10千米，从此时算起，到货船和落入水中的物体相遇，又是一个相遇问题，两者的速度之和刚好等于货船的静水速度，所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。按题意，此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时，货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10千米，两者到相遇共用了1/10小时，帮两者的速度和是每小时33/10÷1/10=33千米，这与它们两在静水中的速度和相等。（解释一下）又已知在静水中货船比游船每小时快3千米，故游船的速度为每小时（33-3）÷2=15千米。

【拓展4】一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。

【解1】：下图中实线为第1时行的路程，虚线为第2时行的路程。

由上图看出，在顺水行驶一个单程的时间，逆水比顺水少行驶6千米。

距

【解2】：：1小时是行驶全程的一半时间，因为去时逆水，小船到达不了B地.我们在B之前设置一个C点，是小船逆水行驶1小时到达处.如下图

第二小时比第一小时多行驶的行程，恰好是C至B距离的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.

为了示意小船顺水速度比逆水速度每小时多行驶8千米，在图中再设置D点，D至C是8千米.也就是D至A顺水行驶时间是1小时.现在就一目了然了.考虑第二小时从B到

A过程，D至B是5千米顺水行驶，与C至B逆水行驶3千米时间一样多.因此

顺水速度∶逆水速度=5∶3.

由于两者速度差是8千米.立即可得出

A至B距离是 12＋3=15（千米）.

答：A至B两地距离是15千米.

三、浓度问题

1、有甲乙两个相同的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛满了含50%的酒精的液体，先将乙杯中的液体的一半倒入甲杯，搅匀后，再将甲杯中的液体的一半倒入乙杯，问：这时乙杯中的酒精是溶液的几分之几？

2、将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？

【解】稀释时加入的水溶液浓度为0％（如果需要加入干物质，浓度为100％），标注数值的方法见下图

所以32÷8×7＝28

2、100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，那么这100千克的蘑菇现在还有多少千克呢？【解】转化成浓度问题

相当于蒸发问题，所以水不变，列方程得：100×（1-99%）=（1-98%）

X ，解得X=50。

方法二：做蒸发的题目，要改变思考角度，本题就应该考虑成“98％

的干蘑菇加水后得到99％的湿蘑菇”，这样求出加入多少水份即为

蒸发掉的水份，就又转变成“混合配比”的问题了。但要注意，10

千克的标注应该是含水量为99％的重量。将100千克按1∶1分配，

如下图：

所以蒸发了100×1/2=50升水。

4、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数

之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，开

始时黑棋子和白棋子各有多少枚？

【解】第二次拿走45枚黑棋，黑子与白子的个数之比由2:1（=10：5）

变为1:5，而其中白棋的数目是不变的，这样我们就知道白棋由原来的

10份变成现在的1份，减少了9份。这样原来黑棋=45÷9×10=50，白

棋=45÷9×5+15=40。

7、实验小学有科技、美术、体育三个课外活动小组，其中科技小组的人数是三个小组人数的5

3，美术小组与体育小组人数的比是3：5，体

育小组比美术小组多12人.三个课外活动小组各多少人? 98%

100% 1% 1%

99%(100千克)

浓度差之比1﹕1

重量比 1

【解】设美术小组为3份，这样体育小组就是5份，所以科技小组就是（3+5）÷2×3=12份。体育小组比美术小组多12人，所以1份就

是12÷（5-3）=6人，所以各小组人数分别为18、30、72。

四、工程问题中的比与比例问题

1\修一条路，如果甲队单独修要45天可以完成，如果乙单独修要60天可以完成。

现在由甲队先修1天，然后乙队修2天，再由甲队修3天，接着乙队修4天……

两队如此交替轮流修这条路，完成任务共用了多少天？

【解答】由于两队交替工作，所以确定完成时间应在45～60天之间完成。1＋2

＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45，45天已经完成（1＋3＋5＋7＋9）×

451＋（2＋4＋6＋8）×

601＝98，剩下的工作由乙还要（1－98）÷601＝632（天），这样共需45＋6

32＝513

2（天）。