新人教版高中数学必修第一册：课时跟踪检测(十六) 奇偶性

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人教版数学高一-数学人教A版必修一课时作业 1.3.2 奇偶性

[课时作业][A组基础巩固]1．下面四个命题：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如y＝1x2，故①错误，③正确．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，如y＝1x，故②错误．若y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝1－x2＋x2－1，其定义域为{－1,1}，故④错误．故选A.答案：A2．若奇函数f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[－7，－3]上有() A．最小值5 B．最小值－5C．最大值－5 D．最大值5解析：当3≤x≤7时，f(x)≥5，设－7≤x≤－3，则3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函数．∴f(x)＝－f(－x)≤－5.答案：C3．y＝x＋1x的大致图象是()解析：设f(x)＝x＋1x，则f(－x)＝(－x)＋1－x＝－(x＋1x)＝－f(x)∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．又x>0时，x>0，1x>0，∴f(x)＝x＋1 x>0.答案：B4．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数解析：函数定义域为x∈R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)∴f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函数．答案：B5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b ＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：D6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则x<0时，f(x)的解析式为________．解析：设x＜0，则－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－4(－x)]＝－(x2＋4x)＝－x2－4x.答案：f(x)＝－x2－4x7．已知f(x)是奇函数，F(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，则F(－2)＝________.解析：∵f (x )是奇函数且f (2)＝4，∴f (－2)＝－f (2)＝－4. ∴F (－2)＝f (－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0. 答案：08．已知f (x )是实数集上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－2)， f (－π)，f (3)的大小关系是________．解析：本题是利用函数的单调性比较函数值的大小．当自变量的值不在同一区间上时，利用函数的奇偶性，化到同一单调区间上比较其大小．因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又因为f (x )在[0，＋∞)上是增函数，2＜3＜π，所以f (2)＜f (3)＜f (π)，所以f (－2)＜f (3)＜f (－π)．答案：f (－2)＜f (3)＜f (－π)9．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72，又∵g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－72，∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＋1＝－6.10．函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明．解析：(1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )为偶函数．[B 组能力提升]1．函数f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋2|－2≠0，∴f (x )的定义域为x ∈[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．此时f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2＝4－x 2x .又f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )，∴f (x )＝4－x 2|x ＋2|－2为奇函数．答案：A2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 解析：∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23. 答案：A3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝________.解析：f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，又∵f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2. ∴f (7)＝f (－1)＝－2. 答案：－24．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x ) 在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. 答案：(－1,3)5．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R. (1)试判断f (x )的奇偶性；(2)若－12≤a ≤12，求f (x )的最小值．解析：(1)当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝f (x )，此时，f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (－a )，此时，f (x )为非奇非偶函数．(2)当x ≤a 时， f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝(x －12)2＋a ＋34； ∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减，从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－a ＋34，∵a ≥－12，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.6．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，求m －n 的最小值．解析：∵x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，∴当x ∈[－3，－1]时， f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－14，f (x )max ＝f (－3)＝2. 由于函数为奇函数，∴函数在x∈[1,3]时的最小值和最大值分别是－2，14，∴m的最小值为14，n的最大值为－2.∴(m－n)min＝14－(－2)＝94.即m－n的最小值为94.。

函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习

±1，解得 a ＝0（舍去）或 a ＝2，故选D.
法二

− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝－ −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
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高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
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考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】（1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
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解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
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（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案知识讲解_ 奇偶性_提高

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案函数的奇偶性编稿：审稿：【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数.【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ，又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-，()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--，而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）．举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-．【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间．【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。

高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)

函数的单调性和奇偶性例1（1）画出函数y＝-x2+2｜x｜+3的图像，并指出函数的单调区间．解：函数图像如下图所示，当x≥0时，y＝-x2+2x+3＝-（x-1）2+4；当x＜0时，y＝-x2-2x+3＝-（x+1）2+4．在（-∞，-1］和［0，1］上，函数是增函数：在［-1，0］和［1，+∞）上，函数是减函数．评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上．（2）已知函数f（x）＝x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4］上是减函数，求实数a的取值范围．分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征．解：f（x）＝x2+2（a-1）x+2＝［x+（a-1）］２-（a-1）2+2，此二次函数的对称轴是x＝1-a．因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x＝1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3．评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合．例2判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝-（2）f（x）＝（x-1）．解：（1）f（x）的定义域为R．因为f（-x）＝｜-x+1｜-｜-x-1｜＝｜x-1｜-｜x+1｜＝-f（x）．所以f（x）为奇函数．（2）f（x）的定义域为｛x｜-1≤x＜1｝，不关于原点对称．所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：（1）求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称．（2）计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）＝f（x）或f（-x）＝-f（x）之一是否成立．f （-x）与-f（x）的关系并不明确时，可考查f（-x）±f（x）＝0是否成立，从而判断函数的奇偶性．例3已知函数f（x）＝．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）确定f（x）在（-∞，0）上是增函数还是减函数?在区间（0，+∞）上呢?证明你的结论．解：因为f（x）的定义域为R，又f（-x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数．（2）f（x）在（-∞，0）上是增函数，由于f（x）为偶函数，所以f（x）在（0，+∞）上为减函数．其证明：取x1＜x2＜0，f（x1）-f（x2）＝- ＝＝．因为x1＜x2＜0，所以x2-x1＞0，x1+x2＜0，x21+1＞0，x22+1＞0，得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在（-∞，0）上为增函数．评析奇函数在（a,b）上的单调性与在（-b,-a）上的单调性相同，偶函数在（a,b）与（-b,-a）的单调性相反．例4已知y=f（x）是奇函数，它在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，试问F（x）＝在（-∞，0）上是增函数还是减函数?证明你的结论．分析根据函数的增减性的定义，可以任取x1＜x2＜0，进而判定F（x1）-F（x2）＝-＝的正负．为此，需分别判定f（x1）、f（x2）与f（x2）的正负，而这可以从已条件中推出．解：任取x1、x2∈（-∞，0）且x1＜x2，则有-x1＞-x2＞0．∵y＝f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（x）＜0，∴f（-x2）＜f（-x1）＜0．①又∵f（x）是奇函数，∴f（-x2）＝-f（x2），f（-x1）＝-f（x1）②由①、②得f（x2）＞f（x1）＞0．于是F（x1）-F（x2）＝＞0，即F（x1）＞F（x2），所以F（x）＝在（-∞，0）上是减函数．评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0，+∞）内任取x1＜x2，展开证明．这样就不能保证-x1，-x2，在（-∞，0）内的任意性而导致错误．避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动．例5讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（-1，1）内的单调性．分析根据函数的单调性定义求解．解：设-1＜x1＜x2＜１，则f（x1）-f（x2）＝-＝∵x1，x2∈（-1，1），且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，（1-x21）（1-x22）＞0于是，当a＞0时，f（x1）＜f（x2）；当a＜0时，f（x1）＞f（x2）．故当a＞0时，函数在（-1，1）上是增函数；当a＜0时，函数在（-1，1）上为减函数．评析根据定义讨论（或证明）函数的单调性的一般步骤是：（1）设x1、x2是给定区间内任意两个值，且x1＜x2；（2）作差f（x1）-f（x2），并将此差式变形；（3）判断f（x1）-f（x2）的正负，从而确定函数的单调性．例6求证：f（x）＝x+ （k＞0）在区间（0，k］上单调递减．解：设0＜x1＜x2≤k，则f（x1）-f（x2）＝x1+ -x2-＝∵0＜x1＜x2≤k，∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜k2，∴f（x1）-f（x2）＞0∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）＝x+ 中（0，k］上是减函数．评析函数f（x）在给定区间上的单调性反映了函数f（x）在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质．因此，若要证明f（x）在［a,b］上是增函数（减函数），就必须证明对于区间［a,b］上任意两点x1，x2，当x1＜x2时，都有不等式f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））类似可以证明：函数f（x）＝x+ （k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例7判断函数f（x）＝的奇偶性．分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2｜＝2-x．∴f（x）＝，∴f（-x）＝＝＝f（x）．且注意到f（x）不恒为零，从而可知，f（x）＝是偶函数，不是奇函数．评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了．这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）＝ax3＋bx2＋cx（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数 2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．31=a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝0 3．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（） A ．y ＝x （x －2） B ．y ＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2） 4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（） A ．－26 B ．－18 C ．－10 D ．10 5．函数1111)(22+++-++=x xx x x f 是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－3 二、填空题 7．函数2122)(xx x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数）．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________． 9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1．解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件．答案：A2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ． 3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0．答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0． 9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m12．证明：令x ＝y ＝0，有f （0）＋f （0）＝2f （0）·f （0），又f （0）≠0，∴可证f （0）＝1．令x ＝0，∴f （y ）＋f （－y ）＝2f （0）·f （y ）⇒f （－y ）＝f （y ），故f （x ）为偶函数． 13．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝0．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．因此，.)0()0()0(12012)(,,2323<=>+--+=⎪⎩⎪⎨⎧x x x x x x x x f 点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力． 14．解析：任取x 1＜x 2≤－5，则－x 1＞－x 2≥－5．因f （x ）在［5，＋∞］上单调递减，所以f （－x 1）＜f （－x 2）⇒f （x 1）＜－f （x 2）⇒f （x 1）＞f （x 2），即单调减函数．点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化．15．解析：由x1，x2 R且不为0的任意性，令x1＝x2＝1代入可证，f（1）＝2f（1），∴f（1）＝0．又令x1＝x2＝－1，∴f［－1×（－1）］＝2f（1）＝0，∴（－1）＝0．又令x1＝－1，x2＝x，∴f（－x）＝f（－1）＋f（x）＝0＋f（x）＝f（x），即f（x）为偶函数．点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，x1＝x2＝1，x1＝x2＝－1或x1＝x2＝0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可．。

新教材人教A版高中数学必修一奇偶性(一)(含解析)

3.2.2奇偶性（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步练习（含解析）一．单选题1.已知函数y=f(x)是奇函数，其图象与x轴有5个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是()A. 4B. 5C. 1D. 02.函数f(x)=x2+√x的奇偶性为()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数3.下列函数是偶函数的是()A. y=xB. y=3x2D. y=|x|(x∈[0,1])C. y=1x4.已知y=f(x)，x∈(−a,a)，F(x)=f(x)+f(−x)，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数5.函数f(x)=(x−1)⋅√1+x(x∈(−1,1))()1−xA. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 是非奇非偶函数6.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)−g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)=()A. −3B. −1C. 1D. 37.下列说法正确的是()A. 偶函数的图象一定与y轴相交B. 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0C. 奇函数y=f(x)的图象一定过原点D. 图象过原点的奇函数必是单调函数8.已知f(x)=x5−2ax3+3bx+2，且f(−2)=−3，则f(2)的值为()A. 3B. 5C. 7D. −19.下列函数中奇函数的个数为()①f(x)=x3;②f(x)=x5;③f(x)=x+1x ;④f(x)=1x2．A. 1B. 2C. 3D. 410.已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，则下列各点中一定在函数f(x)的图像上的是()A. (3,−2)B. (3,2)C. (−3,−2)D. (2,−3)11.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()A. B.C. D.12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+2x，若f(3−2a)>f(a)，则实数a的取值范围是()A.(−∞,−1)B. (−∞,1)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)二．多选题13.下列函数中是偶函数的是()A. y=x4−3B. y=x2，x∈(−3,3]C. y=−3x D. y=1x2−114.已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，；②∀x1,x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有；则下列选项成立的是()A.f(3)>f(−4)B. 若，则C. 若f(x)x>0，则D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≤M三．填空题15.你认为下列说法中正确的是________．①图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数；②图象关于y轴对称的函数一定是偶函数；③奇函数图象一定经过原点；④偶函数的图象一定与y轴相交；⑤偶函数图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数．16.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(−π)，f(3)，f(−4)按从小到大的顺序排列是________．17.若函数f(x)=x2+|x−a|为偶函数，则实数a=________．18.若函数f(x)=x为奇函数，则a=_________．(2x+1)(x−a)19.设f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则f(x)>0的解集为____.20.已知f(x)=ax3+bx9+2在区间(0,+∞)上有最大值5，那么f(x)在(−∞,0)上的最小值为____.21.设函数若f(x)是奇函数，则g(2)的值是.四．解答题22.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)=x−1．x(2)f(x)=|x|+1．(3)f(x)=2x−1．23.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2−4x+3．(1)求f[f(−1)]的值;(2)求函数f(x)的解析式．24.已知函数f(x)对一切x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(−3)=a，试用a表示f(12)．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的对称性，属于基础题．由奇函数的性质得出方程的所有根关于原点对称．【解答】解：因为奇函数定义域关于原点对称，故原点左右各有两个交点，另一个交点必在坐标原点，故所有根之和为0．选D．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性的判定，属于基础题．先看定义域是否关于原点对称，若对称，再看f(−x)与f(x)的关系;若不对称，则为非奇非偶函数．【解答】解：由函数f(x)=x2+√x可知：定义域为[0,+∞),显然定义域不关于原点对称，所以函数f(x)=x2+√x为非奇非偶函数．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：对于A，y=x是奇函数，不符合题意；对于B，定义域关于原点对称，且满足f(−x)=f(x)，是偶函数，符合题意；对于C，y=1x是奇函数，不符合题意；对于D，定义域不关于原点对称，不符合偶函数的定义，不符合题意．故选B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考察了函数奇偶性的判定，属于基础题．由F(−x)=F(x)结合已知条件即可得出结论．【解答】解：∵F(−x)=f(−x)+f(x)=F(x)且x∈(−a,a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．故选B．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】【分析】本题主要考查函数的奇偶性，属基础题．先将原函数化简，再根据奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：f(x)=(x−1)⋅√1+x1−x =−√1+x1−x·(1−x)2=−√(1+x)(1−x)=−√1−x2(x∈(−1,1))f(−x)=−√1−(−x)2=−√1−x2=f(x)，所以函数f(x)为偶函数．故选B．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性的相关知识，试题难度较易【解答】解：用“−x”代替“x”，得f(−x)−g(−x)=(−x)3+(−x)2+1，化简得f(x)+g(x)=−x3+x2+1，令x=1，得f(1)+g(1)=1，故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题重点考查了奇偶函数的图象的性质，考查分析理解能力，属于基础题．根据奇函数、偶函数的图象性质解决此题，即偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，而当奇函数在x=0时有定义时，有f(0)=0.据此逐个判断选项．【解答】解：对于选项A，举例函数y=1|x|是偶函数，但不与y轴相交，故A错误；对于选项B，若奇函数f(x)在x=0时有定义，则f(−0)=−f(0)，所以f(0)=0，故B 正确；是奇函数，但不过原点，故C错误；对于选项C，函数y=1x对于选项D，函数y=sinx是奇函数，但不是单调函数，故D错误．故选B．8.【答案】C【解析】【试题解析】【分析】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造函数f(x)−2，结合函数奇偶性的性质进行转化求解是解决本题的关键，考查分析与计算能力，属于基础题．根据条件得到f(x)−2是奇函数，结合奇函数的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵f(x)=x5−2ax3+3bx+2，∴f(x)−2=x5−2ax3+3bx为奇函数，则f(−2)−2=−[f(2)−2]，得−3−2=−f(2)+2，得f(2)=2+5=7，故选：C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数的奇偶性，由奇函数的定义即可得出结论．【解答】解：由奇函数的定义可知①②③是奇函数．由偶函数的定义可知④为偶函数，所以奇函数的个数为3，故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，属于基础题．由f(x)是定义在R上的奇函数，f(−3)=2，可得f(3)=−f(−3)=−2，即可求解．【解答】解：因为f(−x)=−f(x)，所以f(3)=−f(−3)=−2，所以点(3,−2)一定在函数f(x)的图像上．故选A．11.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称．【解答】解：奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数的图象关于y轴轴对称，由已知图形可知，选项B中的图象关于y轴轴对称，函数为偶函数。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册课时作业：3.2.2 奇偶性 Word版含解析

第三章 3.2 3.2.2A 组·素养自测一、选择题1．下列说法正确的是( B )A ．偶函数的图象一定与y 轴相交B ．奇函数y ＝f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0C ．奇函数y ＝f (x )的图象一定过原点D ．图象过原点的奇函数必是单调函数[解析] A 项中若定义域不含0，则图象与y 轴不相交，C 项中定义域不含0，则图象不过原点，D 项中奇函数不一定单调，故选B ．2．对于定义域是R 的任意奇函数f (x )，都有( C )A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )≤0D ．f (x )·f (－x )>0[解析] ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，且f (0)＝0，∴f (x )·f (－x )＝－f 2(x )≤0，故选C ．3．若y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下面坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )的图象上的是( C )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．(a ，f (－a )) [解析] ∵y ＝f (x )是奇函数，∴f (－a )＝－f (a )，∴(－a ，－f (a ))在y ＝f (x )图象上．4．下列函数中既是奇函数又是偶函数的是( A )A ．f (x )＝x 2－1－1－x 2B ．f (x )＝1－x ＋1＋xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0 D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0[解析] 选项A 中定义域为{－1,1}，函数解析式为y ＝0，所以函数既是奇函数又是偶函数，选项B 为偶函数，选项C 为偶函数，选项D 为非奇非偶函数，故选A ．5．若函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，则下列结论正确的是( C ) A ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．对任意实数a ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．存在实数a ，使f (x )是偶函数D ．存在实数a ，使f (x )是奇函数[解析] 对于A ，取a ＝4.5，则f (1)＝5.5，f (1.5)＝1.52＋4.51.5＝5.25，f (1)>f (1.5)，A 错；对于B ，取a ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上为增函数，B 错；对于C ，取a ＝0，则f (x )＝x 2，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f (－x )＝f (x )＝x 2，C 对；对于D ，假设存在实数a 使f (x )为奇函数，则f (－1)＝－f (1)，又f (－1)＝1－a ，f (1)＝1＋a ，－f (1)＝－1－a ，显然f (－1)≠－f (1)，即假设不成立，D 错．6．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝x 2＋|x |－1，则当x <0时，f (x )的解析式为f (x )＝( D )A ．x 2－|x |＋1B ．－x 2＋|x |＋1C ．－x 2－|x |－1D ．－x 2－|x |＋1[解析] 若x <0，则－x >0，f (－x )＝x 2＋|x |－1，∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x 2＋|x |－1，f (x )＝－x 2－|x |＋1.二、填空题7．设f (x )为奇函数，且f (0)存在，则f (0)＝__0__.[解析] 由奇函数定义，得f (－0)＝－f (0)．即f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＋f (0)＝__－5__.[解析] 由题意知f (－2)＝－f (2)＝－(22＋1)＝－5，f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5.9．若f (x )为偶函数，则f (2＋1)－f ⎝⎛⎭⎪⎫11－2＝__0__. [解析] 因为f (x )为偶函数，。

新高考数学复习课时跟踪检测六函数的奇偶性及周期性理含解析16

课时跟踪检测（六）函数的奇偶性及周期性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通中学高三测试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，那么f (0)＋f (1)＝________.解析：因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，f (1)＝－f (－1)＝－2，f (0)＝0，所以f (0)＋f (1)＝－2. 答案：－22．(2018·南京三模)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 答案：[－1,3]3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )＝________.解析：由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.所以f (－a )＝2－f (a )＝－1. 答案：－14．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. 解析：因为f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，所以当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 答案：－－x －15．(2019·连云港高三测试)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (－2＋log 35)＝________.解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)，由于当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，故f (－2＋log 35)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 395＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1339log 5＝－59. 答案：－596．(2018·南通一调)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －b ，x ≥0axx ＋2，x ＜0(a ，b ∈R)为奇函数，则f (a＋b )＝________.解析：法一：因为函数f (x )为奇函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－f 1，f －2＝－f 2，即⎩⎪⎨⎪⎧11－b ＝a －1＋2，22－b ＝2a －2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.法二：因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，由题意知，当x ≥0，二次函数的图象顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x ＜0，二次函数的图象顶点坐标为(－1，－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b2＝－1，b24＝－a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案：－1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·抚顺期末)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为________．解析：∵f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， ∴－2b ＋3＋b ＝0， ∴b ＝3，∴f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且在[－6,0]上为增函数， ∴f (x )在[0,6]上为减函数，∴由f (x －1)≥f (3)，得|x －1|≤3，解得－2≤x ≤4，∴f (x －1)≥f (3)的解集为{x |－2≤x ≤4}．答案：{x |－2≤x ≤4}2．(2019·常州一中模拟)设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＋f (x )＝1，且当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 018.5)＝________.解析：由f (x ＋1)＋f (x )＝1在R 上恒成立，得f (x －1)＋f (x )＝1，两式相减得f (x ＋1)－f (x －1)＝0，即f (x ＋1)＝f (x －1)恒成立，故函数f (x )的周期是2，∴f (－2 018.5)＝f (－0.5)＝f (1.5)，又当x ∈[1,2]时，f (x )＝2－x ， ∴f (－2 018.5)＝f (1.5)＝2－1.5＝0.5. 答案：0.53．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数．若f (2x ＋1)＋f (1)＜0，则x 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，且在区间[0,2]上是单调减函数， ∴函数f (x )在区间[－2,2]上是单调减函数． ∵f (2x ＋1)＋f (1)＜0，即f (2x ＋1)＜－f (1)， ∴f (2x ＋1)＜f (－1)．则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ＋1≤2，2x ＋1＞－1，解得－1＜x ≤12.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－1，124．(2018·泰州期末)设f (x )是R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x＋ln x4，记a n ＝f (n－5)，则数列{a n }的前8项和为________．解析：数列{a n }的前8项和为f (－4)＋f (－3)＋…＋f (3)＝f (－4)＋(f (－3)＋f (3))＋(f (－2)＋f (2))＋(f (－1)＋f (1))＋f (0)＝f (－4)＝－f (4)＝－⎝⎛⎭⎪⎫24＋ln 44＝－16.答案：－165．(2018·徐州期中)已知函数f (x )＝e x －e －x＋1(e 为自然对数的底数)，若f (2x －1)＋f (4－x 2)＞2，则实数x 的取值范围为________．解析：令g (x )＝f (x )－1＝e x－e －x，则g (x )为奇函数，且在R 上单调递增．因为f (2x－1)＋f (4－x 2)＞2，所以f (2x －1)－1＋f (4－x 2)－1＞0，即g (2x －1)＋g (4－x 2)＞0，所以g (2x －1)＞g (x 2－4)，即2x －1＞x 2－4，解得x ∈(－1,3)．答案：(－1,3)6．(2019·镇江中学测试)已知奇函数f (x )在定义域R 上是单调减函数，若实数a 满足f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，则a 的取值范围是________．解析：由f (2|2a －1|)＋f (－22)＞0，可得f (2|2a －1|)＞－f (－22)．因为f (x )为奇函数，所以f (2|2a －1|)＞f (22)．因为f (x )在定义域R 上是单调减函数，所以2|2a －1|＜22，即|2a－1|＜32，解得－14＜a ＜54.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，547．(2019·苏州调研)已知奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (2)＝0，则不等式f xx －1＞0的解集为________．解析：由f xx －1＞0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，f x ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，fx ＜0.因为奇函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝f (－2)＝0，所以当x ＞1时，f (x )＞0的解集为(1,2)；当x ＜1时，f (x )＜0的解集为(－2,0)．所以不等式f xx －1＞0的解集为(－2,0)∪(1,2)．答案：(－2,0)∪(1,2)8．函数f (x )在R 上满足f (－x )＝－f (x )，当x ≥0时，f (x )＝－e x＋1＋m cos(π＋x )，记a ＝－πf (－π)，b ＝－134·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134，c ＝e f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－e x＋1＋m cos(π＋x )， ∴f (0)＝－1＋1－m ＝0，即m ＝0， ∴f (x )＝－e x＋1(x ≥0)．令g (x )＝xf (x )，有g (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝g (x )， ∴函数g (x )为偶函数，当x ≥0时，g (x )＝xf (x )＝x (1－e x)，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )＝1－(1＋x )e x＜0， ∴函数g (x )在[0，＋∞)上为减函数，∵a ＝－πf (－π)＝g (－π)＝g (π)，b ＝－134f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫134，c ＝e f (e)＝g (e)，又e ＜π＜134，∴b ＜a ＜c .答案：b ＜a ＜c9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．(2018·大同期末)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)，g (x )＝log a (1－x )，其中a ＞0，a ≠1. (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)当a ＞1时，求使F (x )＞0成立的x 的取值范围．解：(1)∵F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1，∴函数F (x )的定义域为(－1,1)．(2)F (x )为(－1,1)上的奇函数．理由如下：由(1)知F (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称，F (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－F (x )，∴函数F (x )为(－1,1)上的奇函数．(3)根据题意，F (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，当a ＞1时，由F (x )＞0，得log a (x ＋1)＞log a (1－x )，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，x ＋1＞1－x ，解得0＜x ＜1，故x 的取值范围为(0,1)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·南通模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，当－2≤x ＜0时，f (x )＝2x，若a n ＝f (n )(n ∈N *)，则a 2 018＝________.解析：∵f (2＋x )＝f (2－x )，以2＋x 代替上式中的x ，得f (4＋x )＝f (－x )，又函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (－x )＝－f (x )，再以4＋x 代替上式中的x ，得f (8＋x )＝－f (4＋x )＝f (x )，∴函数f (x )的周期为8. ∴a 2 018＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，而f (2)＝－f (－2)＝－14，∴a 2 018＝－14.答案：－142．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值；(3)若g (x )＝x 2＋ax ＋3，且y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，求实数a 的值．解：(1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.(3)因为y ＝|f (x )|·g (x )是偶函数，且|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以|f (x )|为偶函数．故g(x)＝x2＋ax＋3为偶函数，即g(－x)＝g(x)恒成立，于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立．于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.。

2021_2022学年新教材高中数学课时跟踪检测(十六)奇偶性新人教A版必修第一册

课时跟踪检测〔十六〕奇偶性A 级——学考水平达标练1．以下函数中，是偶函数的是( )A ．y ＝x 2(x ＞0)B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝2x 2＋2D ．y ＝3x －1解析：选C 先判断定义域是否关于原点对称，排除A ，再验证f (－x )＝f (x )是否成立，应选C.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 是有理数，0，x 是无理数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选B 假设x 是有理数，那么－x 也是有理数，∴f (－x )＝f (x )＝1；假设x 是无理数，那么－x 也是无理数，∴f (－x )＝f (x )＝0.∴函数f (x )是偶函数．3．f (x )是定义在R 上的偶函数，且有f (3)＞f (1)，那么以下各式中一定成立的是( )A ．f (－1)＜f (3)B ．f (0)＜f (5)C ．f (3)＞f (2)D ．f (2)＞f (0)解析：选A f (x )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，又f (3)＞f (1)，所以f (3)＞f (－1)成立．4．如果奇函数f (x )的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3,7]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5解析：选C ∵f (x )为奇函数，∴f (x )在[3,7]上的单调性与[－7，－3]上的单调性一致，且f (7)为最小值．∵f (－7)＝5，∴f (7)＝－f (－7)＝－5，选C.5．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x 2＋2x ＋b (b 为常数)，那么f (－1)＝( )A ．4B ．1C ．－1D ．－4 解析：选D 因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以有f (0)＝2×02＋2×0＋b ＝0，解得b ＝0，所以当x ≥0时，f (x )＝2x 2＋2x ，所以f (－1)＝－f (1)＝－(2×12＋2×1)＝－4.6．定义在R 上的偶函数f (x )满足：当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≥2，x 2＋1，0≤x ＜2，那么f (f (－2))＝________.解析：因为f (－2)＝f (2)＝0，所以f (f (－2))＝f (0)＝1.答案：17．函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[2,6]上是减函数，那么f (－5)________f (3)．(填“＞〞或“＜〞)解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－5)＝f (5)，而函数f (x )在[2,6]为减函数，∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．答案：＜8．定义域为[a －4,2a －2]的奇函数f (x )＝2 019x 3－5x ＋b ＋2，那么f (a )＋f (b )的值为________．解析：奇函数的图象关于原点对称，所以a －4＋2a －2＝0，所以a ＝2，因为函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即b ＋2＝0，故b ＝－2，所以f (a )＋f (b )＝f (2)＋f (－2)＝f (2)－f (2)＝0.答案：09．判断以下函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3＋x 5；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0.(3)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1. 解：(1)函数的定义域为R.∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0， f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x )．综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数．(3)∵函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f (x )是非奇非偶函数．10．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x .(1)求f (x )的表达式；(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．解：(1)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x .因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x (x <0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋4x ，x <0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)·(x 2＋x 1＋4)．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是(0，＋∞)上的增函数．B 级——高考水平高分练1．y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下函数：①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x 中奇函数为________(填序号)．解析：因为f (|－x |)＝f (|x |)，所以①为偶函数；因为f (－x )＝－f (x )，令g (x )＝－f (x )，那么g (－x )＝－f (－x )＝f (x )＝－g (x )，所以②为奇函数；令F (x )＝xf (x )，那么F (－x )＝(－x )f (－x )＝xf (x )＝F (x )，故③是偶函数；令h (x )＝f (x )＋x ，那么h (－x )＝f (－x )－x ＝－f (x )－x ＝－h (x )，故④是奇函数．答案：②④2．假设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0)上是增函数，且f (2)＝0，那么使f (x )＜0的x 的取值范围是________．解析：由f (2)＝f (－2)＝0，再结合图象可知f (x )＜0的解为x ＜－2或x ＞2.答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)3．如图是函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，请说明你的作图依据．解：因为f (x )＝1x 2＋1，所以f (x )的定义域为R.又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如下图．4．函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．(1)求函数g (m )的解析式；(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )．假设h (t )>h (4)，求实数t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－mx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24(m >0)，所以当0<m ≤4时，0<m2≤2，此时g (m )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＝－m 24. 当m >4时，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24在区间[0,2]上单调递减，所以g (m )＝f (2)＝4－2m . 综上可知，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.(2)因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以0<|t |<4，解得－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．5．函数f (x )对一切实数x ，y 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)假设f(－3)＝a，试用a表示f(12)．解：(1)证明：由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(2)由(1)知f(x)为奇函数．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.。

高中数学课时跟踪检测(十六)--奇偶性

课时跟踪检测（十六）奇偶性A 级——学考合格性考试达标练1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )解析：选B 选项A 中的图象关于原点或y 轴均不对称，故排除；选项C 、D 中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B 中的图象关于y 轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：选C ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．3．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋c x 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数解析：选A 因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)是偶函数，所以由f (－x )＝f (x )，得b ＝0.所以g (x )＝ax 3＋c x .所以g (－x )＝a (－x )3＋c(－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数．4．如果奇函数f (x )的区间[－7，－3]上是减函数且最大值为5，那么函数f (x )在区间[3，7]上是( )A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－5解析：选C f (x )为奇函数，∴f (x )在[3，7]上的单调性与[－7，－3]上一致，且f (7)为最小值．又已知f (－7)＝5，∴f (7)＝－f (－7)＝－5，选C.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)解析：选A∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．6．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________．解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.答案：127．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．解析：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为偶函数，∴f(x)＝－x＋1.答案：－x＋18．若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝x＋mx2＋nx＋1，则常数m，n的值分别为________．解析：由已知得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，即－x＋0x2－nx＋1＝－x＋0x2＋nx＋1，∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.答案：0，09．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(－x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.(2)偶函数y ＝f (x )在y 轴左侧图象上任一点P (－x ，f (－x ))关于y 轴对称点为P ′(x ，f (x ))，图④为图②补充后的图象，易知f (1)>f (3)．10．设函数f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x . (1)求f (x )的表达式；(2)证明f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数．解：(1)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x . 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x (x <0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋4x ，x <0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)·(x 2＋x 1＋4)．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是(0，＋∞)上的增函数．B 级——面向全国卷高考高分练1．(2019·宁波高一检测)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－26解析：选B 设g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数．由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，得g (－3)＝13.又g (x )为奇函数，所以g (3)＝－g (－3)＝－13，于是f (3)＝g (3)－8＝－13－8＝－21.2．设f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x 1<0且x 1＋x 2>0，则( ) A ．f (－x 1)>f (－x 2) B ．f (－x 1)＝f (－x 2)C ．f (－x 1)<f (－x 2)D ．f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系不确定解析：选A 因为x 2>－x 1>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以f (x 2)<f (－x 1)．又f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x 2)＝f (x 2)，所以f (－x 2)<f (－x 1)．3．(2019·开封高一检测)设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，偶函数f (x )在(－∞，0)上为增函数，且f (－2)＝0，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (－2)＝f (2)＝0，作出函数f (x )的草图如图所示，又由xf (x )<0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f （x ）<0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f （x ）>0，由图可得－2<x <0或x >2，即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C.4．函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2，2] D ．[－1，1] C ．[0，4]D ．[1，3]解析：选D ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.5.设奇函数f (x )的定义域为[－6，6]，当x ∈[0，6]时f (x )的图象如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．解析：由f (x )在[0，6]上的图象知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0，3)．又f (x )为奇函数，图象关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f (x )<0的解集为(－6，－3)．综上可知，不等式f (x )<0的解集为(－6，－3)∪(0，3)．答案：(－6，－3)∪(0，3)6．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2.∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，又∵f(x)＝－x2＋2为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．即f(－2)<f(1)<f(0)．答案：f(－2)<f(1)<f(0)7．已知函数f(x)＝mx＋11＋x2是R上的偶函数．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，0]上的单调性；(3)求函数f(x)在[－3，2]上的最大值与最小值．解：(1)若函数f(x)＝mx＋11＋x2是R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，即m（－x）＋11＋（－x）2＝mx＋11＋x2，解得m＝0.(2)函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．理由如下：由(1)知f(x)＝11＋x2，设任意的x1，x2∈(－∞，0]，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝11＋x21－11＋x22＝1＋x22－1－x21（1＋x21）（1＋x22）＝（x2＋x1）（x2－x1）（1＋x21）（1＋x22）.因为x1<x2≤0，所以x2＋x1<0，x2－x1>0，(1＋x21)(1＋x22)>0，所以f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．(3)由(2)知函数f(x)在(－∞，0]上是增函数．又f(x)是R上的偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以f(x)在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，又f (－3)＝110，f (0)＝1，f (2)＝15，所以f (x )m ax ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝110. C 级——拓展探索性题目应用练已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0，2]上的最小值为g (m )． (1)求函数g (m )的解析式；(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )．若h (t )>h (4)，求实数t 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24(m >0)，所以当0<m ≤4时，0<m2≤2，此时g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m24. 当m >4时，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24在区间[0，2]上单调递减，所以g (m )＝f (2)＝4－2m .综上可知，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧－m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.(2)因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以0<|t |<4，解得－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4，0)∪(0，4)．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

高中数学第一章集合与函数1.3.2奇偶性课时跟踪训练含解析新人教A版必修1

奇偶性[A 组学业达标]1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－x C ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：对A 、D ，可验证为偶函数，B 为非奇非偶函数．答案：C2．已知f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( ) A ．5 B ．10 C ．8D ．不确定解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－4)＝f (4)＝5， ∴f (4)＋f (－4)＝5＋5＝10、答案：B3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3解析：∵f (x )是奇函数， ∴f (1)＝－f (－1)＝－3、答案：A4．已知偶函数y ＝f (x )在[0,4]上是增函数，则一定有( ) A ．f (－3)>f (π) B ．f (－3)<f (π) C ．f (3)>f (－π)D ．f (－3)>f (－π) 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－π)＝f (π)．又f (x )在[0,4]上是增函数，∴f (3)<f (π)． ∴f (－3)<f (π)．答案：B5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x －x 2，则当x >0时，f (x )＝( ) A ．x －x 2 B ．－x －x 2 C ．－x ＋x 2D ．x ＋x 2解析：当x >0时，－x <0， ∴f (－x )＝－x －(－x )2＝－x －x 2，又f (－x )＝－f (x )，故f (x )＝x ＋x 2、答案：D6．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝__________、解析：∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即(－x ＋a )(－x －4)＝(x ＋a )(x －4)恒成立，整理得，(a －4)x ＝0恒成立，∴a ＝4、答案：47．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝__________、解析：∵f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (4－x )＝f (x )，∴f (4－1)＝f (1)＝f (3)＝3，即f (1)＝3、 ∵f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (－1)＝f (1)＝3、答案：38．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是__________．解析：因为f (x )是偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以f (x )＞f (1)可转为f (|x |)＞f (1)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |＞1，即x ＜－1或x ＞1、答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．已知函数f (x )和g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72，又∵g (x )为奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－72，∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－72＋1＝－6、 10．函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值;(2)判断f (x )的奇偶性并证明．解析：(1)令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0、 (2)f (x )为偶函数，证明如下：令x 1＝x 2＝－1，有f [(－1)×(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，解得f (－1)＝0、令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )．所以f (x )为偶函数．[B 组能力提升]1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)解析：遇到以偶函数为背景的此类题目，画出不含坐标轴的二次函数简图．若f (x )在(－∞，0]上递减，则开口向上，若f (x )在(－∞，0]上递增，则开口向下．如图所示：易得f (x )<0时x 的范围是(－2,2)．答案：D2．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增的，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A 、⎝⎛⎭⎫13，23B 、⎣⎡⎭⎫13，23 C 、⎝⎛⎭⎫12，23 D 、⎣⎡⎭⎫12，23 解析：∵f (x )在[0，＋∞)上是单调递增， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递减， ∴－13＜2x －1＜13，解得13＜x ＜23、答案：A3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝__________、解析：f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)，又∵f (x )是R 上的奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2、 ∴f (7)＝f (－1)＝－2、答案：－24．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25、 (1)确定函数f (x )的解析式;(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数; (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0、解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2、(2)证明：任取x 1，x 2且满足－1<x 1<x 2<1，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22)、 ∵－1<x 1<x 2<1， ∴－1<x 1x 2<1,1－x 1x 2>0、于是f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )为(－1,1)上的增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12、。

高中数学人教A版必修第一册课时素养评价 3.2.2.1 函数奇偶性的概念

课时素养评价二十二函数奇偶性的概念(15分钟35分)1.函数f(x)=-x的图象关于( )A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称【解析】选C.函数f(x)=-x是奇函数，其图象关于坐标原点对称. 【补偿训练】函数f(x)=的图象关于( )A.x轴对称B.原点对称C.y轴对称D.直线y=x对称【解析】选B.由题意知f(x)=的定义域为[-，0)∪(0，]，所以定义域关于原点对称，又因为f(-x)==-f(x)，所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称.2.下列各图中，表示以x为自变量的奇函数的图象是( )【解析】选B.A，D不是函数；C是偶函数.3.已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，则f(2)等于( )A.-26B.-18C.-10D.10【解析】选A.令g(x)=x5+ax3+bx，则g(-x)=-g(x)，所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8，所以f(-2)=g(-2)-8=10⇒g(-2)=18.所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.4.若f(x)=(ax+1)(x-a)为偶函数，且函数y=f(x)在x∈(0，+∞)上单调递增，则实数a的值为( )A.±1B.-1C.1D.0【解析】选C.因为f(x)=(ax+1)(x-a)=ax2+(1-a2)x-a为偶函数，所以1-a2=0.所以a=±1.当a=1时，f(x)=x2-1，在(0，+∞)上单调递增，满足条件；当a=-1时，f(x)=-x2+1，在(0，+∞)上单调递减，不满足.5.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2+，则f(-1)=_______.【解析】当x>0时f(x)=x2+，所以f(1)=1+1=2.又f(x)为奇函数，所以f(-1)=-2.答案：-26. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=3，x∈R；(2)f(x)=5x4-4x2+7，x∈[-3，3]；(3)f(x)=【解析】(1)因为f(-x)=3=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(2)因为x∈[-3，3]，f(-x)=5(-x)4-4(-x)2+7=5x4-4x2+7=f(x)，所以函数f(x)是偶函数.(3)当x>0时，f(x)=1-x2，此时-x<0，所以f(-x)=(-x)2-1=x2-1，所以f(-x)=-f(x)；当x<0时，f(x)=x2-1，此时-x>0，f(-x)=1-(-x)2=1-x2，所以f(-x)=-f(x)；当x=0时，f(0)=0.综上，对x∈R，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数.(20分钟40分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.若y=f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是( )A.(a，-f(a))B.(-a，-f(a))C.(-a，-f(-a))D.(a，f(-a))【解析】选B.因为f(x)为奇函数，所以f(-a)=-f(a)，所以点(-a，-f(a))在函数y=f(x)的图象上.2.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)=( )A.3B.1C.-1D.-3【解析】选D.因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，所以当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3.【补偿训练】已知函数f(x)=ax3+bx++5，满足f(-3)=2，则f(3)的值为_______. 【解析】因为f(x)=ax3+bx++5，所以f(-x)=-ax3-bx-+5，即f(x)+f(-x)=10.所以f(-3)+f(3)=10，又f(-3)=2，所以f(3)=8.答案：83.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)+g(1)= ( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选C.因为f(x)-g(x)=x3+x2+1，所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，又由题意可知f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，则f(1)+g(1)=1.【误区警示】分清f(x)，g(x)的奇偶性，解决此类问题时，很多学生常混淆f(x)，g(x)的奇偶性，导致解题错误或不会解决该题.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为 ( )A.y=-xB.y=-x2C.y=D.y=-x|x|【解析】选A、D.A项，函数y=-x既是奇函数又是减函数；B项，y=-x2是偶函数，故B项错误；C项，函数y=是奇函数，但是y=在(-∞，0)或(0，+∞)上单调递减，在定义域上不具有单调性，故C项错误；D 项，函数y=-x|x|可化为y=其图象如图：故y=-x|x|既是奇函数又是减函数，故D项正确.【光速解题】分别判断4个选择项的奇偶性，排除B，再判断A、C、D 的单调性，排除C.三、填空题(每小题5分，共10分)5.设奇函数f(x)的定义域为[-6，6]，当x∈[0，6]时，f(x)的图象如图所示，不等式f(x)<0的解集用区间表示为_______.【解析】由f(x)在[0，6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0，3).又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[-6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3).综上可知不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)∪(0，3).答案：[-6，-3)∪(0，3)【补偿训练】已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+mx+1，若f(2)=3f(-1)，则m=_______.【解析】因为x>0时，f(x)=x2+mx+1，所以f(2)=5+2m，f(1)=2+m，又f(-1)=-f(1)=-2-m，所以5+2m=3(-2-m)，所以m=-.答案：-6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+1，则f(-2)=_______，f(0)=_______.【解析】由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5，f(0)=0.答案：-5 0四、解答题(共10分)7.已知函数f(x)=是奇函数，且f(2)=.求实数m和n的值.【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即=-=.比较得n=-n，则n=0.又因为f(2)=，所以=，解得m=2，故实数m和n的值分别是2和0.关闭Word文档返回原板块由Ruize收集整理。

2022新教材高中数学课时检测21奇偶性的概念新人教B版必修第一册

奇偶性的概念[A 级基础巩固]1．函数f (x )＝1x－x 的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：选C ∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x－(－x )＝x －1x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图像关于原点对称．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：选A 因为f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是偶函数，所以由f (－x )＝f (x )，得b ＝0.所以g (x )＝ax 3＋cx .所以g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数．3．(多选)下列对函数的奇偶性判断正确的是( ) A ．f (x )＝(x －1)1＋x1－x是偶函数 B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x <0），－x 2＋x （x >0）是奇函数 C ．f (x )＝3－x 2＋x 2－3是非奇非偶函数 D ．f (x )＝1－x2|x ＋3|－3是奇函数解析：选BD 由1＋x1－x ≥0，即(x －1)(x ＋1)≤0，x ≠1，解得－1≤x <1，所以函数的定义域是[－1，1)，不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A 错误；设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－x 2－x ，则f (－x )＝－f (x )，同理当x >0时，f (－x )＝－f (x )，所以函数是奇函数，故B 正确；由x 2－3≥0，解得x ≥3或x ≤－3，所以函数的定义域是(－∞，－3 ]∪[ 3，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝3－(－x )2＋（－x ）2－3＝3－x 2＋x 2－3＝f (x )，所以函数是偶函数，故C 错误；由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠0，所以函数的定义域[－1，0)∪(0，1]，f (x )＝1－x2x，又f (－x )＝1－（－x ）2－x ＝－1－x 2x＝－f (x )，所以函数是奇函数，故选B 、D.4．已知奇函数y ＝f (x )(x ≠0)，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，则函数f (x －1)的图像为( )解析：选D 奇函数y ＝f (x )(x ≠0)，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1. 设x <0，则－x >0，f (－x )＝－x －1， ∴－f (x )＝－x －1，∴f (x )＝x ＋1.综上可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，x ＋1，x <0，故f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >1，x ，x <1，其图像如图所示．即D 选项满足条件，故选D.5．(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析：选BC ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴|f (x )|是偶函数，|g (x )|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，故选项A 错误，C 正确；由两个偶函数的和还是偶函数知B 正确；由f (x )g (x )为奇函数得|f (x )g (x )|为偶函数，故D 错误．故选B 、C.6．设奇函数f (x )的定义域为[－6，6]，当x ∈[0，6]时f (x )的图像如图所示，不等式f (x )<0的解集用区间表示为________．解析：由f (x )在[0，6]上的图像知，满足f (x )<0的不等式的解集为(0，3)．又f (x )为奇函数，图像关于原点对称，所以在[－6，0)上，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[－6，－3)∪(0，3)．答案：[－6，－3)∪(0，3)7．若定义在(－1，1)上的奇函数f(x)＝x＋mx2＋nx＋1，则常数m，n的值分别为________．解析：由已知得f(0)＝0，故m＝0.由f(x)是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，即－x＋0x2－nx＋1＝－x＋0x2＋nx＋1，∴x2－nx＋1＝x2＋nx＋1，∴n＝0.答案：0，08．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝________．解析：设g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数．由题设可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，得g(－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.答案：－219．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，如图所示．(1)请补出完整函数y＝f(x)的图像；(2)根据图像写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图像写出使f(x)＜0的x的取值集合．解：(1)由题意作出函数图像如图：(2)据图可知，单调增区间为(－1，0)，(1，＋∞)．(3)据图可知，使f(x)＜0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)．10．设函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋4x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．解：(1)当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝(－x )2＋4(－x )＝x 2－4x . 因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－(x 2－4x )＝－x 2＋4x (x <0)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，－x 2＋4x ，x <0.(2)证明：设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝(x 22＋4x 2)－(x 21＋4x 1)＝(x 2－x 1)·(x 2＋x 1＋4)．因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 2＋x 1＋4>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )是(0，＋∞)上的增函数．[B 级综合运用]11．已知偶函数f (x )的定义域为(－3，3)，且f (x )在[0，3)上是减函数，f (m －1)－f (3m －1)>0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，43解析：选C ∵f (x )为偶函数，且在[0，3)上是减函数，∴f (x )在(－3，0)上是增函数．f (m －1)－f (3m －1)>0可化为f (m －1)>f (3m －1)，∵f (x )为偶函数，∴f (m －1)>f (3m －1)即为f (|m －1|)>f (|3m －1|)．又f (x )在[0，3)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－3<m －1<3，－3<3m －1<3，|m －1|<|3m －1|，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43，故选C.12．我们知道，函数y ＝f (x )的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图像关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．则函数f (x )＝x 3＋3x 2图像的对称中心为( )A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，2)D ．(1，－2)解析：选A 设(a ，b )为f (x )＝x 3＋3x 2图像的对称中心，则有y ＝f (x ＋a )－b ＝(x ＋a )3＋3(x ＋a )2－b 为奇函数，设g (x )＝(x ＋a )3＋3(x ＋a )2－b ，则g (x )为奇函数；g (x )＝x 3＋3(a ＋1)x 2＋3(a 2＋2a )x ＋a 3＋3a 2－b ，又g (－x )＋g (x )＝0，可得3(a ＋1)x 2＋a 3＋3a 2－b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝0，a 3＋3a 2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以函数f (x )＝x 3＋3x 2图像的对称中心的坐标为(－1，2)．故选A.13．给出定义：若m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的四个命题：①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②函数y ＝f (x )是偶函数； ③函数y ＝f (x )是奇函数；④函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上是增函数．其中正确的命题是________(填序号)．解析：化简函数解析式可得f (x )＝x －{x }＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧…x ，－12＜x ≤12，x －1，12＜x ≤32，x －2，32＜x ≤52，…则函数f (x )的图像，如图：由图像可知①④正确．答案：①④ 14．已知函数f (x )＝mx ＋11＋x2是R 上的偶函数． (1)求实数m 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0]上的单调性； (3)求函数f (x )在[－3，2]上的最大值与最小值．解：(1)若函数f (x )＝mx ＋11＋x2是R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即m （－x ）＋11＋（－x ）2＝mx ＋11＋x2，解得m ＝0.(2)函数f (x )在(－∞，0]上单调递增．理由如下：由(1)知f (x )＝11＋x2，设任意的x 1，x 2∈(－∞，0]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝11＋x 21－11＋x 22＝1＋x 22－1－x 21（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 2＋x 1）（x 2－x 1）（1＋x 21）（1＋x 22）. 因为x 1<x 2≤0，所以x 2＋x 1<0，x 2－x 1>0， (1＋x 21)(1＋x 22)>0，所以f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－∞，0]上单调递增． (3)由(2)知函数f (x )在(－∞，0]上是增函数．又f (x )是R 上的偶函数，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )在[－3，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，又f (－3)＝110，f (0)＝1，f (2)＝15，所以f (x )max ＝f (0)＝1，f (x )min ＝f (－3)＝110.[C 级拓展探究]15．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，如果存在实数m ，n 使得h (x )＝mx 2＋(m ＋n )x ＋2n ，那么称h (x )为f (x )，g (x )在R 上生成的函数．设f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x ＋2，若h (x )为f (x )，g (x )在R 上生成的一个偶函数，且h (1)＝3，求函数h (x )．解：h (x )＝mf (x )＋ng (x )＝m (x 2＋x )＋n (x ＋2)＝mx 2＋(m ＋n )x ＋2n ； ∵h (x )为偶函数，∴m ＋n ＝0，① 又h (1)＝3，∴m ＋m ＋n ＋2n ＝3，② 联立①②解得m ＝－3，n ＝3， ∴h (x )＝－3x 2＋6.。

高一数学人教A版必修1课时作业：1.3.2奇偶性

课时作业(十一)奇偶性[学业水平层次]一、选择题1．函数f(x)＝x2＋x()A．是奇函数B．是偶函数C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数【解析】函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数．【答案】 C2．设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数F(x)＝f(x)－f(－x)在R上一定()A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数【解析】F(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－F(x)，符合奇函数的定义．【答案】 A3．(2014·湖南浏阳一中期中)若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A．f(x)f(－x)＞0B．f(x)f(－x)＜0C．f(x)＜f(－x) D．f(x)＞f(－x)【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2＜0.【答案】 B4．(2014·河北衡水中学期中)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx＋2，且f(－2)＝－3，则f(2)＝() A．3B．5 C．7D．－1【解析】令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(x)为奇函数，∴f(x)＝g(x)＋2，f(－2)＝g(－2)＋2＝－g(2)＋2＝－3，∴g(2)＝5，f(2)＝g(2)＋2＝7.【答案】 C二、填空题5．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________．【解析】∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x＋a)(－x－4)＝(x＋a)(x－4)恒成立，整理得，(a－4)x＝0恒成立，∴a＝4.【答案】 46．(2014·课标全国卷Ⅱ)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．【解析】∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3.∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.【答案】 37．(2014·山东日照期末)偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则不等式f(x)＞f(1)的解集是________．【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(|x|)＝f(x)，所以f(x)＞f(1)可转为f(|x|)＞f(1)，又x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以|x|＞1，即x＜－1或x＞1.【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)三、解答题8．(2014·淄博高一检测)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝3x ·(1＋x )．(1)求f (27)与f (－27)的值；(2)求f (x )的解析式．【解】 (1)由题意知f (27)＝327×(1＋27)＝84，f (－27)＝－f (27)＝－84，所以f (27)＝84，f (－27)＝－84.(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝3－x ·[1＋(－x )]＝－3x ·(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝3x (1－x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x （1＋x ），x ＞0，0， x ＝0，3x （1－x ）， x ＜0.9．已知定义在(－1，1)上的奇函数f (x )，在定义域上为减函数，且f (1－a )＋f (1－2a )＞0，求实数a 的取值范围．【解】 ∵f (1－a )＋f (1－2a )＞0，∴f (1－a )＞－f (1－2a )．∵f (x )是奇函数，∴－f (1－2a )＝f (2a －1)，∴f (1－a )＞f (2a －1)．而f (x )在(－1，1)上是减函数．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜2a －1，－1＜1－a ＜1，－1＜2a －1＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞23，0＜a ＜2，0＜a ＜1，∴23＜a ＜1.[能力提升层次]1．已知函数y ＝f (x )是偶函数，且图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( )A ．4B ．2C ．1D ．0【解析】因为f (x )是偶函数，且图象与x 轴四个交点，所以这四个交点每组两个关于y 轴一定是对称的，故所有实根之和为0.选D.【答案】 D2．(2014·哈师大附中期中)若函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f （x ）＋f （－x ）x＜0的解集为( ) A ．(－3，3) B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3，0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3) 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴原不等式等价于f （x ）x ＜0.∴当x ＞0时，f (x )＜0＝f (3)，∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴x ＞3；当x ＜0时，f (x )＞0＝f (－3)，又f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴－3＜x ＜0，综上选C.【答案】 C3．已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________．【解析】∵函数y＝f(x)＋x2是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－f(x)－x2，∴当x＝1时，f(－1)＋1＝－f(1)－1.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.【答案】－14．(2014·安庆高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋23x＋b是奇函数，且f(2)＝53.(1)求实数a，b的值．(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并用定义证明．【解】(1)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．所以ax2＋2－3x＋b ＝－ax2＋23x＋b＝ax2＋2－3x－b，因此b＝－b，即b＝0.又f(2)＝53，所以4a＋26＝53，所以a＝2.(2)由(1)知f(x)＝2x2＋23x＝2x3＋23x，f(x)在(－∞，－1]上为增函数．证明：设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x1x2＝23(x1－x2)·x1x2－1x1x2.因为x1＜x2≤－1，所以x1－x2＜0，x1x2＞1.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以f(x)在(－∞，－1]上为增函数．。

人教新课标版数学高一-A版必修一课后训练 1.3.2奇偶性

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课后提升训练十二奇偶性(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2017·温州高一检测)函数f(x)=( )A.是奇函数但不是偶函数B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数【解析】选B.因函数f(x)=的定义域为R,且f(-x)===f(x),故f(x)为偶函数.2.(2017·商丘高一检测)下列函数是偶函数的是( )A.f(x)=|x-3|B.f(x)=x2+xC.f(x)=x2-xD.f(x)=【解析】选D.A,B,C选项中的定义域均为实数集R,但f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),所以都为非奇非偶函数,只有选项D中f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称.【补偿训练】下面四个结论中正确的个数为( )①偶函数的图象一定与y轴相交;②奇函数的图象一定通过原点;③偶函数的图象关于y轴对称;④既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,如y=,故①错,③对;奇函数的图象不一定通过原点,如y=,故②错;既奇又偶的函数除了满足f(x)=0,还要满足定义域关于原点对称,④错,故选A.3.对于定义域是R的任意奇函数f(x),都有( )A.f(x)-f(-x)>0B.f(x)-f(-x)≤0C.f(x)·f(-x)≤0D.f(x)·f(-x)>0【解析】选C.奇函数满足f(-x)=-f(x),所以f(-x)·f(x)≤0.4.(2017·吉林高一检测)已知f(x)=x7+ax5+bx-5,且f(-3)=5,则f(3)= ( )A.-15B.15C.10D.-10【解析】选A.设g(x)=x7+ax5+bx,则g(x)为奇函数,因为f(-3)=g(-3)-5=-g(3)-5=5,所以g(3)=-10,所以f(3)=g(3)-5=-15.【一题多解】选A.f(-3)=(-3)7+a(-3)5+(-3)b-5=-(37+a·35+3b-5)-10=-f(3)-10=5,所以f(3)=-15.5.函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象如图,则函数y=f(x)·g(x)的图象可能是( )【解析】选A.由图象知y=f(x)为偶函数,y=g(x)为奇函数,所以y=f(x)·g(x)为奇函数且x≠0,由图象知x∈时f(x)>0,g(x)<0,x∈时f(x)<0,g(x)<0,所以x∈时y=f(x)·g(x)<0,x∈时,y=f(x)·g(x)>0.6.(2017·温州高一检测)如图是一个由集合A到集合B的映射,这个映射表示的是( )A.奇函数而非偶函数B.偶函数而非奇函数C.奇函数且偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数【解析】选C.因为f(x)=0,x∈{-2,2},满足f(-x)=±f(x).所以该映射表示的既是奇函数又是偶函数.7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ( )A.-3B.-1C.1D.3【解析】选C.把x=-1代入已知得f(-1)-g(-1)=1,所以f(1)+g(1)=1.8.(2017·冀州高一检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( )A.-1B.0C.1D.2【解析】选B.因为f(x+2)=-f(x),所以f(6)=-f(4)=f(2)=-f(0),又f(x)是定义域上的奇函数,所以f(0)=0,所以f(6)=0.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x2-7,则f(-2)=________.【解析】因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-(2×22-7)=-1.答案:-110.(2017·西安高一检测)已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,则f(x)=________,g(x)=________.【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得,f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得:f(x)=x2-2,g(x)=x.答案:x2-2x三、解答题(每小题10分,共20分)11.判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=+.(2)f(x)=x2+|x+a|+1.(3)f(x)=【解析】(1)f(x)的定义域为,不关于原点对称,所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)①当a=0时,f(x)为偶函数.②当a≠0时,因为对所有x∈R,|x+a|≠|-x+a|.所以f(x)既不是奇函数又不是偶函数.(3)函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.①当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2-1=-x3+3x2-1=-(x3-3x2+1)=-f(x)②当x<0时,-x>0,则f(-x)=(-x)3-3(-x)2+1=-x3-3x2+1=-(x3+3x2-1)=-f(x).由①②知,对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.【拓展延伸】判断分段函数奇偶性的步骤(1)分析定义域是否关于原点对称.(2)对x进行分段讨论,寻求f(-x)与f(x)在各段上的关系.(3)综合(2)在定义域内f(-x)与f(x)的关系,从而判断f(x)的奇偶性. 12.(2017·北京高一检测)已知函数f(x)=x2-2x,设g(x)=·f(x+1).(1)求函数g(x)的表达式,并求函数g(x)的定义域.(2)判断函数g(x)的奇偶性,并证明.【解析】(1)由f(x)=x2-2x,得f(x+1)=x2-1,所以g(x)=·f(x+1)=,定义域为{x|x∈R,且x≠0}.(2)结论:函数g(x)为奇函数.证明:由(1)知,g(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,并且g(-x)==-g(x),所以,函数g(x)为奇函数.【能力挑战题】(2017·成都高一检测)已知函数f(x)对一切实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).(1)求证:f(x)是奇函数.(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).【解析】(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.(2)因为f(x)为奇函数,所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),所以f(12)=-4a.关闭Word文档返回原板块。

人教A版高一数学必修一 1.3.2函数的奇偶性检测教师版

1.3.2函数的奇偶性（检测教师版）时间:50分钟总分：80分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．函数f (x )＝(x －1)·1＋x 1－x ，x ∈(－1,1)( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数答案：B解析：∵x ∈(－1,1)，∴x －1＜0.∴f (x )＝(x －1)·1＋x 1－x ＝－ 1－x 2.∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )为偶函数．故选B.2．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案：C解析：∵f (x )＝1x－x 是奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称，故选C. 3．下列说法错误的个数为( )①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数； ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数； ③奇函数的图象一定过坐标原点； ④偶函数的图象一定与y 轴相交．A ．4B ．3C ．2D ．1答案：C解析：由奇、偶函数的性质，知①②说法正确；对于③，如f (x )＝1x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以③说法错误；对于④，如f (x )＝1x2，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以④说法错误．故选C.4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (－3)＝2，则下列各点在函数f (x )图象上的是( )A ．(－3，－2)B ．(3,2)C ．(2，－3)D ．(3，－2) 答案：D解析：∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝2，∴f (3)＝－2，故选D.5．设函数y ＝f (x )在区间D 上是奇函数，函数y ＝g (x )在区间D 上是偶函数，则函数H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上是( )A ．偶函数B ．奇函数C ．即奇又偶函数D ．非奇非偶函数答案：B解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，g (x )是偶函数得g (－x )＝g (x )，H (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－H (x )，所以H (x )＝f (x )·g (x )在区间D 上为奇函数．6．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋2a －b 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝( )A ．－13 B.13C ．0D ．1 答案：B解析：由偶函数的定义，知[a －1,2a ]关于原点对称，所以2a ＝1－a ，解得a ＝13.又f (x )为偶函数，则b ＝0. 所以a ＋b ＝13. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案：(－2,0)∪(2,5]解析：由奇函数的图象关于原点对称，作出函数f (x )在[－5,0)的图象，由图象可以看出，不等式f (x )＜0的解集是(－2，0)∪(2,5]，如图所示．8.已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为________．答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.)解析：令x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0.)9．已知f (x )在[a ，b ]上是奇函数，且f (x )在[a ，b ]上的最大值为m ，则函数F (x )＝f (x )＋3 在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为________．答案：6解析：因为奇函数f (x )在[a ，b ]上的最大值为m ，所以它在[a ，b ]上的最小值为－m ，所以函数F (x )＝f (x )＋3在[a ，b ]上的最大值与最小值之和为m ＋3＋(－m ＋3)＝6，故选D.10．已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，f (x )的最大值为m ，最小值为n ，则m －n 的值为________．答案：94解析：∵x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (x )是奇函数，∴当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝x 2－3x ＋2. 故当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋3x －2.∴当x ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，f (x )是增函数；当x ∈⎣⎡⎦⎤32，3时，f (x )是减函数．因此当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫32＝14，f (x )min ＝f (3)＝－2.∴m ＝14，n ＝－2，从而m －n ＝94. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|x －1|－|x ＋1|； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ＜－10，|x |≤1－x ＋2，x ＞1.解：(1)函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －1|－|－x ＋1|＝|x ＋1|－|x －1|＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，定义域关于原点对称．当x ＜－1时，－x ＞1，f (－x )＝－(－x )＋2＝x ＋2＝f (x )；当|x |≤1时，|－x |≤1，f (－x )＝0＝f (x )；当x ＞1时，－x ＜－1，f (－x )＝(－x )＋2＝－x ＋2＝f (x )．所以对一切x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，即函数f (x )是偶函数．12.已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．解析：(1)设x ＜0，则－x ＞0，于是f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2.又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．因此，f (x )＝x 2＋2x －2.又∵f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2，x ＜0，0，x ＝0，－x 2＋2x ＋2，x ＞0.(2)先画出y ＝f (x )(x ＞0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x ＜0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax ＋b x 2＋1是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在(－1,1)上的单调性，并且证明你的结论．解析：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f 0＝0，f ⎝⎛⎭⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ×0＋b 1＋02＝0，a 2＋b 1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 1＋x 2. (2)任意x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22 ＝x 11＋x 22－x 21＋x 211＋x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x21＋x 21＋x 22∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0,1－x 1x 2＞0，从而f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )在(－1,1)上是增函数．。

2020-2021学年高中数学新教材必修第一册(人教A版)课时练习 3.2.2 奇偶性(含解析)

课时作业(十五) 奇偶性[练基础]1．下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数是( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋42．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数3．f (x )是定义在[－6,6]上的偶函数，且f (1)<f (3)，则下列各式一定成立的是( ) A ．f (0)<f (6) B ．f (－3)>f (1) C ．f (2)<f (3) D ．f (－1)>f (0)4．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)．若f (2 020)＝k ，则f (－2 020)＝( ) A ．k B ．－k C ．1－k D ．2－k5．已知f (x )为R 上的奇函数，x >0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (－1)＝________.6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________________________________________________________________________．[提能力]7．函数f (x )的定义域为R ，对∀x 1，x 2∈[1，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，且函数f (x＋1)为偶函数，则( )A ．f (1)<f (－2)<f (3)B ．f (－2)<f (3)<f (1)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2)8．(多选)若y ＝f (x )，x ∈R 是奇函数，则下列点一定在函数y ＝f (x )图象上的是( ) A ．(0,0)B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))9．已知函数f (x )＝px ＋q x 2＋1(p ，q 为常数)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝12.(1)求函数f (x )的解析式；(2)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并用定义证明； (3)解关于x 的不等式f (x －1)＋f (x )<0.[战疑难]10．已知函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)对任意实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＝f(x1x2)．(1)求f(1)和f(－1)的值；(2)求证：y＝f(x)为偶函数；(3)若y＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，试求满足不等式f(2x－1)>f(1)的x的取值范围．。