1-4~高等数学讲解

例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知 说明 : y = 0 是 的渐近线 .
（三）定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
证: lim f ( x) A
x x0
f ( x) A , 其中 为 x x0
定理 5 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 且 B≠0 , 则有
例4.
( x 3)( x 1) x 1 lim lim x 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
例5 . 求
解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
则称函数
(或x )
例如 :
函数 函数 当
时为无穷小;
当
函数
时为无穷小;
当 时为无穷小.
定义1. 若
则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
则
x ) 时的无穷小 .
说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 C 当
时, C
显然 C 只能是 0 !
（二） 无穷小运算法则
定理 4 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 . 推论 1 . lim[ C f ( x)] C lim f ( x) 推论 2 . lim[ f ( x)]n [ lim f ( x) ] n ( C 为常数 ) ( n 为正整数 )
a x2 , x 1 且 lim f ( x) 存在, 则 2. 设函数 f (x) 2 x 1, x 1 x1 a 3 .
第一章
第四节 无穷小与无穷大
一、 无穷小 二、 无穷大
三 、 无穷小与无穷大的关系
一、 无穷小
(一）定义1 . 若
(或x )
为
时 , 函数 时的无穷小 .
x x0
例5. 设函数
y
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 x 1 , x 0 y x 1 讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
x 0 x 0
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
若
若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
第一章
第五节
极限运算法则
一、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有 证: 因 lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
( 分母不为 0 )
2) x x0 时, 对 0 型 , 约去公因子 0
(2) 复合函数极限求法
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
设中间变量
思考及练习
1. 问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知
矛盾. 2.
存在 , 与已知条件
n (n 1) 1 1 1 解: 原式 lim lim (1 ) 2 n 2n n 2 n 2
2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
例如, 函数
当
但
所以
பைடு நூலகம்时,
不是无穷大 !
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即
1 只要取 , 则对满足 M
的一切 x , 有
所以 说明: 若
为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 渐近线
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中,
3. 求 解法 1 原式 = lim
x x2 1 x
x
lim
x
1 1 1 1 2 1 2 x
1 则 t 0 令t , x 2 1 1 1 1 t 1 原式 = lim 2 1 lim t0 t t0 t t2 t 1 1 lim 2 2 t 0 1 t 1
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 定理3 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 ! 例如，
1 1 1 lim n 2 1 2 2 n n n 2 n n
u 1
方法 2
( x 1)( x 1) lim( x 1) lim x 1 x 1 x 1
2
内容小结
1. 极限运算法则 (1) 无穷小运算法则 (2) 极限四则运算法则 (3) 复合函数极限运算法则 注意使用条件
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法 1) x x0 时, 用代入法
解法 2
u
例7. 求
x3 解: 令 u 2 x 9
已知
1 lim u x 3 6
1 6
∴ 原式 =
6 6
例8 . 求 解: 方法 1 令 u x , 则 lim u 1,
x 1
x 1 u2 1 u 1 x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
lim 记作 x x f ( x) a 或
0
精确定义：
当 0 x x0 时, 有 则称常数 a 为
即 时, 有
当
几何解释: y A A A
y f (x)
这表明: 极限存在
函数局部有界
x0 x0 x
例2. 证明 证:
2 x 1
只要
0 , 欲使
( A 0)
内容小结
1. 函数极限的" " 或 " X " 定义及应用 2. 函数极限的性质: 唯一性、局部有界性、保号性定理 与左右极限等价定理
思考与练习
x x0 x x0
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有 lim f ( x) f ( x0 ) ？
A 为函数
x
lim f ( x) A
几何解释:
y
A A
A
y f (x)
X
X
o
x
直线 y = A 为曲线
的水平渐近线
1 例6. 证明 lim 0. x x 1 1 证: 0 x x
故 0 , 欲使 取X 即 就有
y
1 y x
o
x
1

,
因此 注:
x 2 5 x 4 12 5 1 4 0 lim 2 1 3 x1 2 x 3
例6 . 求
解:
时, 分母
分子分母同除以 x 2 , 则 原式 lim
分子
“ 抓大头”
4 31 9 x 5 21 x
x
1 x2 1 x2
一般有如下结果：
a0 x a1 x am lim x b x n b x n 1 b 0 1 n
2
取 , 则当 0 x 1 时 , 必有
因此
例3. 证明 证: f ( x) A 故 0 , 取 , 当
由 f ( x) A 解出 x x0 ( )
时 , 必有
说明: 时的极限，与 x0 点处 是否有函数定义或函 数值为多少无关
f ( x) A , g ( x) B (其中 , 为无穷小)
于是
f ( x) g ( x) ( A ) ( B ) ( A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小
的关系定理 , 知定理结论成立 . 说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
lim f ( x )不存在 或不存在 x
AB
1 例6. 证明 lim 0. x x
注: 例7. 证明
lim arctan x 不存在
y
2
y
1 y x
o
x
x

o
y arctan x
x
2
三、函数极限的性质 1、局部有界性
2、局部保号性
定理1 . 若
x x0
o
x
x0
x
2. 左极限与右极限
f ( x0 ) lim f ( x) A 左极限 :
x x0
右极限 : f ( x0 ) lim f ( x) A
x x0
定理 3 .
x x0
lim f ( x) A
x x0
lim f ( x) lim f ( x) A
m m 1
为非负常数 )

二、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设 且 x 满足
则有
x x0
时,
( x) a , 又
lim f [ ( x) ]
说明: 若定理中 lim ( x) , 则类似可得
x x0
x x0
lim f [ ( x) ] lim f (u ) A
时的无穷小量 .
0 , 0 , 当 0 x x0 时,有 f ( x) A
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其它变化过程类似可证 .
二、 无穷大
定义2 . 若任给 M > 0 , 总存在 一切满足不等式 (正数 X ) , 使对 ① 则称函数
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
则称常数 时的极限, 记作
0 , X 0 ,
两种特殊情况 :
x
lim f ( x) A
0 , X 0 , 当 f ( x) A
时, 有
0 , X 0 , 当 x X 时, 有 f ( x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f ( x) 0. ( f ( x) 0)
推论: 若
则存在
使当
时, 有
定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f ( x) 0 , 且 则 A 0.
( f ( x) 0)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f ( x) 0, 是否必有 A 0 ? 不能! 如
x 1 2 x 1
2
因此
x2 1 lim 2 x 1 x 1
例4. 证明: 当
证:
时
0 , 欲使
而
1 x x0 x0 只要
可用 保证 . 故取
且
min x0 , x0 , 则当 0 x x0 时, 必有
因此
x x0
lim
例如，
1 1 x
都有水平渐近线 y 0 ;
又如，
1 x
都有水平渐近线 y 1.
3、定理 4 .
lim f ( x) A
x
x
lim f ( x) lim f ( x) A
x
推论：
x x
lim f ( x ) A lim f ( x ) B
第三节 函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
第一章
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限
表示从 x0 左右近旁无限趋近x0，但永不等于x0
在点 的某去心邻域内有定义 , 描述定义 ：设函数 若x x 0时，函数f(x)无限接近于某一常数a, 则称常数 a 为函数 当 时的极限,
( x X ) 的 x , 总有
当
( x ) 时为无穷大, 记作
( lim f ( x) )
x
若在定义中将 ①式改为
则记作
x x0 ( x )
( f ( x) M ) ,
( lim f ( x) )
注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.