2018年【湖北省荆州中学】普通高等学校招生全国统一考试荆州中学卷文科数学

2018年【湖北省荆州中学】普通高等学校招生全国统一考试荆州中学卷文科数学考试时间：老师说什么时候考就什么时候考 命题人：2015级数学组的老头儿们一．选择题：(四个选项你都找不到对的选项，还想在十几亿人中找到对的人......)1．三年前大家在荆中“集合”，今天终于学有所成，长大成人，老师们高兴啊！那么满足{2018}A ⊆{2018,2019,2020}的集合A 的个数为A . 1B . 2C . 3D . 42．读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数2i1i--在复平面内对应的点位于 A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3．周而复始，踏着朝霞当思如何学习，踏着晚霞当思是否进步？已知函数()f x 是定义在R 上的周期为6的奇函数，且满足(1)1f =，(2)3f =，则(8)(5)f f -=A . 4-B . 2-C . 2D . 44．题目略长，不要彷徨，套路不深，何必当真.荆州某公园举办水仙花展，有甲、乙、丙、丁4名志愿者，随机安排2人到A 展区，另2人到B 展区维持秩序，则甲、乙两人同时被安排到A 展区的概率为 A .112B .16C .13D .125．还是原来的配方，还是原来的味道.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则=15SA . 35B . 42C . 49D . 636．今年9月份新高考之后这个内容就要取消啦！赶紧收藏起来.已知实数y x ,满足20,270,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥则y x 32+的最大值为A . 1B . 11C . 13D . 177．我每天带给你惊喜和希望，思念就像正弦余弦曲线无尽延展......为了得到函数1sin cos 22+-=x x y 的图象，只需将函数2)cos (sin x x y +=的图象 A . 向右平移2π个单位长度 B . 向右平移4π个单位长度 开始 1+=i i x x 2log 21=输入x0>x 否1=i 结束输出i 是C . 向左平移2π个单位长度 D . 向左平移4π个单位长度 8．学校就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。

老师们目送着大家远去，渐行渐远......执行如图所示的程序框图，若输入64=x ，则输出的结果为 A . 2 B . 3 C . 4D . 59．假如生活欺骗了你，不要悲伤，不要心急，应该冷静下来，仔细观察：如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧，则这个几何体的体积可能是 A .383π2+ B . 38π2+C . 8π2+D . 8π8+10．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数x x x y sin 11ln +⎪⎭⎫⎝⎛+-=的图象大致为11．包着你的是世界，你心中装的是天下！在直三棱柱ABC C B A -111中，311=B A ，411=C B ，511=C A ，21=AA ，则其外接球与内切球的表面积之比为A .429B .219 C .229 D . 2912．又到了大家最喜（tao ）爱（yan ）的圆锥曲线了.已知直线012:=+--k y kx l 与椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 交于A 、B 两点，与圆1)1()2(:222=-+-y x C 交于C 、D 两点．若存在]1,2[--∈k ，使得DB AC =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是A . ⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0B . ⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,21C . ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0D . ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 二．填空题：（确认过眼神，你是不是会做题的人......）13．零向量可以有很多方向，但却只有一个长度，就像我，可以有很多朋友，但却只有你一个值得守护！已知a ()1,3=-，b ()1,t =，若()2-⊥a b a ，则a 与b 的夹角为 ．14．希望大家的心是一个圆，离心率永远为零，而不是像双曲线那样......已知双曲线的渐近线方程为043=±y x ，焦点坐标为()5,0±，则双曲线的方程为_ __.15．不为别的，只为与你拥有一点共同的语言.函数()x f 是定义在R 上的奇函数，且当0<x 时，O x y O xyO xyO xy()322f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为____________.16．真的好想你，在每一个雨季你选择遗忘的，是数学老师最不舍的题短情长，又要考你求导啦！若直线y kx b =+是曲线e x y =的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则k = ．三．解答题（感情不是一个人的独角戏，好的感情都是相互的，别守着一颗不会开花的树，就如同别守着不会做的难题！）17．（12分）三角是你高一学的吧，想当初你刚入高中，那么青涩，经过军训，经过红歌会，经过运动会，经过春游，经过无数次考试的洗礼，你已经长大了。

在ABC △中，60C =︒，2BC AC ==（1）求证：ABC △是直角三角形； （2）若点D 在BC边上，且sin 7BAD ∠=，求CD ． 18．（12分）如果有一天我们分居异面直线的两头，那我一定穿越时隔，画条公垂线向你冲来，一刻也不愿逗留.如图1所示，在梯形BCDE 中，DE //BC ，且12DE BC =，90C ∠=︒，分别延长两腰交于点A ，点F 为线段CD 上的一点，将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2所示． （1）求证：1A F BE ⊥；（2）若6BC =，8AC =，四棱锥1A BCDE -的体积为四棱锥1A BCDE -的表面积.19．（12分）不论我们前面是怎样的随机变量，不论未来有多大的方差，相信波谷过了，波峰还会远吗？假如你的公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器记x 表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y 表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的维修服务次数.（1）若n =10，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，求n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？20．(12分)有些事，有些人会永远留在脑海，不会忘记，不会褪色．其实没什么放不下的，只是会觉得，付出了这么多时间，却始终没有被感动......已知抛物线)0(2:2>=p px y C ，且)0,(q Q ，)1,41(-M ，)4,(n N 三点中恰有两点在抛物线C 上，另一点是抛物线C 的焦点．（1）求证：Q 、M 、N 三点共线；（2）若直线l 过抛物线C 的焦点且与抛物线C 交于A 、B 两点，点A 到x 轴的距离为1d ，点B 到y轴的距离为2d ，求4212d d +的最小值．21．（12分）你的生活就是我的定义域，你的思想就是我的对应法则，你的微笑肯定，就是我存在于此的充要条件.已知函数()2ln f x x x ax =+-.（1）若0a >，求函数()f x 的极值点；（2）若3a ≥，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()()12f x f x -3ln 24≥-. 选考题：有些时候，选择比努力更重要！22．在直角坐标系xOy 下，曲线1C 的参数方程为cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数，且0t ≥，2π0<<α）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C 的极坐标方程为θρcos 2r =，常数0>r ，曲线2C 与曲线1C ，3C 的异于O 的交点分别为A ，B ．（1）求曲线1C 和曲线2C 的极坐标方程；（2）若||||OB OA +的最大值为6，求r 的值． 23．设函数)0(|||12|)(>-++=a a x x x f ．（1）当2=a 时,求不等式8)(>x f 的解集；（2）若R x ∃∈，使得3()2f x ≤成立，求实数a 的取值范围．文科数学参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数。

选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．C 2．A 3．D 4． B 5． C 6． C 7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．C 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共20分。

13．π414．191622=-y x 15．740x y --= 16．②④ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：（1）在ABC △中，60C =︒，BC =AC =由余弦定理，得2222cos 9AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅= ··························· 2分 所以3AB =， ······················································································ 3分 所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥， ··············································· 5分 所以90A =︒，所以ABC △是直角三角形．················································ 6分 （2）设BAD α∠=，则sin 7α=，90DAC α∠=︒-，090α︒<<︒，所以sin sin(90)cos 7DAC αα∠=︒-==， ········································· 8分 在ACD △中，180180(90)6030ADC DAC C αα∠=︒-∠-=︒-︒--︒=+︒，sin sin(30)ADC α∠=+︒sin cos30cos sin30αα=︒+︒1727214=+⨯=， ·········································· 10分 由正弦定理得，sin sin CD ACDAC ADC=∠∠，所以sin sin AC DAC CD ADC ⋅∠==∠ ···························································· 12分18．（1）证明：因为∠C ＝90°，即AC ⊥BC ，且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，则DE ⊥DC ，DE ⊥DA 1， ············又因为DC ∩DA 1＝D ，所以DE ⊥平面A 1DC . ································ 3分 因为A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F . ········································· 4分 又因为A 1F ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ，所以A 1F ⊥平面BCDE ， ···························· 5分 又因为BE ⊂平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE ． ····················································································· 6分 （2）解：由已知DE ∥BC ，且DE ＝12BC ，得D ，E 分别为AC ，AB 的中点，在Rt △ABC中，10AB ==，则A 1E ＝EB ＝5，A 1D ＝DC ＝4，则梯形BCDE 的面积S 1＝12×(6＋3)×4＝18， ················································· 7分四棱锥A 1—BCDE 的体积为V ＝13×18×A 1F ＝123，即A 1F ＝23， ··················· 8分在Rt △A 1DF中，2DF ==，即F 是CD 的中点，所以A 1C ＝A 1D ＝4，因为DE ∥BC ，DE ⊥平面A 1DC ，所以BC ⊥平面A 1DC ，所以BC ⊥A 1C，所以1A B ==在等腰△A 1BE 中，底边A 1B= ························ 10分 所以四棱锥A 1—BCDE 的表面积为 S ＝S 1＋1A DE S △＋1A DC S △＋1A BC S △＋1A BE S △＝18＋12×3×4＋12×4×23＋12×6×4＋12×213×23＝36＋43＋239． ·············· 12分19．解：（1）2001050,10,25010500(10),10,x x y x x ⨯+⎧=⎨⨯+->⎩≤即502000,10,5002500,10,x x y x x +⎧=⎨->⎩≤N x ∈． ······················································· 4分 （2）因为 “维修次数不大于10”的频率1020300.60.8100++=<=， ········· 5分“维修次数不大于11”的频率=102030300.90.8100+++=≥， ······················ 6分所以若要求“维修次数不大于n ”的频率不小于0.8，则n 的最小值为11． ······· 7分 （3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1001035003030003025002024501024001y 2730（元） ········ 9分=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1001032503027503027002026501026002y 2750（元） ······ 11分 因为21y y <，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务． ······················ 12分20．（1）证明：由条件，可知)1,41(-M ，)4,(n N 在抛物线C 上，)0,(q Q 是抛物线C 的焦点．所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅=-,2,24,412)1(22p q pn p 解得⎪⎩⎪⎨⎧===,4,1,2n q p ························································ 3分所以)0,1(Q ，)1,41(-M ，)4,4(N ， 所以3414101=---=QMk ，341404=--=QN k ，所以QN QM k k =， ······················ 5分 所以Q 、M 、N 三点共线． ···································································· 6分（2）解：由条件可知0≠l k ，可设1:+=my x l ，代入2:4C y x =，得0442=--my y ， ···················································· 7分016162>+=∆m ，解得R m ∈．设),(11y x A ，),(22y x B ，则124y y =-， ···················································8分所以4212d d+44242121816y y x y =+=+==≥， ···················· 10分 当且仅当442116y y =，即12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩时，4212min ()8d d += ··········· 12分21．解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()221'x ax f x x-+=， ························· 1分①若022a <≤，则280a ∆=-≤，所以当0x >时，()221'0x ax f x x-+=≥， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()f x 无极值点． ·············································································· 3分 ②若22a >，则0∆>，由()'0f x =得2184a a x --=，2284a a x +-=.当x 的值变化时，()'f x ，()f x 的值的变化情况如下：所以()f x 有极大值点2184a a x --=，极小值点2284a a x +-=． ············ 6分（2）由（1）及条件可知21282048a a x a a --<==+-2212338=+-≤， ····························· 7分且122a x x +=,1212x x =,即2112x x =,1112a x x =+， ·································· 8分所以()()12f x f x -22111222ln ln x x ax x x ax =+---+2112112ln ln 24x x x =+-+, ········································································································ 10分 记()2212ln ln 24g x x x x =+-+,10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 因为当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()321'22g x x x x =--()2232102x x--=<，所以()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减， ···························································· 11分因为1102x <≤， 所以()113()ln 224g x g =-≥，即()()123ln 24f x f x --≥. ························· 12分 x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞'()f x +- 0 + ()f x极大值极小值22．解：（1）由cos ,1sin ,x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩得1)1(22=-+y x ，即0222=-+y y x ，所以0sin 22=-θρρ，所以曲线1C 的极坐标方程为θρsin 2=． ··················································· 3分 曲线2C 的极坐标方程为αθ=． ······························································· 5分 （2）由条件，有αsin 2||=OA ，αcos 2||r OB =， ····································· 6分所以||||OB OA+2sin 2cos )r αααβ=+=+，其中tan 0r β=>，π(0,)2β∈． ······························································ 8分 因为)2,0(πα∈，所以π(,)2αβββ+∈+， 所以当π2αβ+=时，2max 12|)||(|r OB OA +=+． ································· 9分 因为||||OB OA +的最大值为6，所以6122=+r ，又0>r ，所以22=r ． ······································································· 10分23．解：（1）当2a =时，()8f x >⇔|21||2|8x x ++->⇔2,318,x x ⎧⎨->⎩≥或12,238,x x ⎧-<<⎪⎨⎪+>⎩或1,2318x x ⎧-⎪⎨⎪-+>⎩≤ ··········································· 3分 3x ⇔>或x ∈∅或73x <-3x ⇔>或73x <-，所以原不等式解集为7(,)(3,)3-∞-+∞． ·················································· 5分 （2）因为R x ∃∈，使得3()2f x ≤成立，所以min 3()2f x ≤，························ 6分因为31,,1()1,,2131,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=++-<<⎨⎪⎪--+-⎪⎩≥≤所以()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增， ······················· 8分 所以min 11()()22f x f a =-=+，所以1322a +≤，所以1a ≤，又0a >，所以实数a 的取值范围(0,1]． ··················································· 10分。