第03讲 传递函数

在零初始条件下，线性定常系统输出量的 拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换之比， 定义为线性定常系统的传递函数。 即，
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若已知线性定常系统的微分方程为
式中c(t)为输出量，r(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对式) 取拉氏变换，得
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（2）极点的位置决定模态的敛散性，即决定稳定 性、快速性。
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（3）零点决定各运动模态的比重。其本身并不形 成自由运动的模态，但它们却影响各模态在响应 中所占的比重。
➢零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所 占比重越大 ➢零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所 占比重越小 ➢如果零极点重合－该极点所产生的模态为零，因 为分子分母相互抵消。
其传递函数为
式中 T—— 惯性环节的时间常数 K—— 惯性环节的增益或放大系数
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当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 单位阶跃响应曲线
1)(is 1)
1)(Tjs 1)
式中，分子和分母中的一次因子对应于实数零点和极点；二次 因式对应于共轭的复数零点和极点；τi和Tj称为时间常数；K为 系统的传递系数或称静态增益；ξ或ζ为阻尼比。
由该表达式可以看出：系统可以分解为一些比较典型的环节。
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传递系数
前面介绍了两种传递系数K和Kg： 其中： Kg=b0/a0为分子与分母多项式中最高次项系
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6.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的 阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。 这是由于实际系统的惯性所造成的。
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3、传递函数的微观结构 1）传递函数的零极点表达式：
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（4）传递系数决定了系统稳态的传递特性。
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2）传递函数的时间常数表达式
G(s)
b0 s m a0 s n
b1sm1 a1sn1
bm1s an1s
bm an
K
(1s
1)(
2 2
s
2
(T1s 1)(T22s2
2 2s 2T2s
(S Pj )
j 1
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零点、极点和放大倍数，对系统的三大性能的影 响：
（1）极点是微分方程的特征根，因此，决定了所 描述系统固有的运动属性。决定了方程解的结构 中基本组成成分。无论是方程的特解还是方程的 通解，这些成分都是相同的。这些由特征根决定 的运动模式称为运动的基本模态。
传递函数的零极点表达式
式中p1，p2……pn为分母多项式的根，称为传递函 数的极点；z1、z2、… zn为分子多项式的根，称为 传递函数的零点；
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传递函数的零极点可以是实数也可以是复数。把传递函 数的零点和极点分别表示在复平面上所形成的图形，就 称为传递函数的零极点分布图。
传递函数是以s为自变量的函数，这里称s为复频率，s 的虚部ω称为频率。所以 G(s)是一个复变函数。
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2、 传递函数的特点
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性 定常系统，这是由于传递函数是经拉普拉斯变 换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定 常系统输入量与输出量的关系式，它表达了系 统内在的固有特性，只与系统的结构、参数有 关，而与输入量或输入函数的形式无关。
GБайду номын сангаасs)
(s
2)(s
(s 4) 3)(s2
2s
5)
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传递函数的极点和零点对输出的影响
Zi
(i 1,2,,m) 为传递函数的零点
Pj
为传递函数的极点 ( j 1,2,,n)
Kg称为系统的根轨迹增益。
m
G(s)
M (s) N (s)
Kg
(S Zi )
i 1 n
第三讲 传递函数
主讲人
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上讲回顾
模型的概念
建立系统微分方程 模型
实例：电枢控制直流伺 服 电动机模型
1. 电枢回路电压平衡方程 2. 电磁转距方程
3. 电动机轴上的转距平衡 方程
非线性系统的线性化
—— 泰勒级数展开法
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1、 传递函数
数之比。 K=bm/am为分子与分母多项式中常数项之比。
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3、典型环节的传递函数
控制系统由许多元件组合而成，这些元件的 物理结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体 结构和物理特点，从传递函数的数学模型来看， 可以划分成几种典型环节，常用的典型环节有比 例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡 环节、延迟环节等。
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3.传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的， 视系统的输入、输出量而定，它包含着联系输入量 与输出量所必须的单位，它不能表明系统的物理特 性和物理结构。许多物理性质不同的系统，有着相 同的传递函数，正如一些不同的物理现象可以用相 同的微分方程描述一样。
4.传递函数只表示单输入和单输出(SISO)之间的关 系，对多输入多输出(MIMO)系统，可用传递函数 阵表示。
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1. 比例环节
环节输出量与输入量成正比，不失真也无 时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环 节。输入量与输出量之间的表达式为
c(t)=Kr(t) 比例环节的传递函数为
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
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2. 惯性环节(非周期环节) 惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程
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则系统的传递函数为 或写为 传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。
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传递函数是由系统的微分方程经线性变换得到的 其本质与微分方程等价。和微分方程一样能表征 系统的固有特性。称为系统的复频域模型。
传递函数的分母多项式：就是微分方程左端的微分算符多 项式，称为系统的特征方程。