高考文科数学一轮复习课时作业导数的应用

课时作业(十六) 第16讲 导数的应用[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．当x ≠0时，有不等式( ) A ．e x <1＋xB ．当x >0时，e x <1＋x ，当x <0时，e x >1＋xC ．e x >1＋xD ．当x <0时，e x <1＋x ，当x >0时，e x >1＋x2．已知点P 在函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])的图象上，若过该点的图象的切线方程为y ＝12x ＋33－π6，则点P 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫π6，12B.⎝⎛⎭⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎫5π6，12D.⎝⎛⎭⎫2π3，32 3．图K16－1都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )图K16－1A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④4．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是________．能力提升 5．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f ′(x )和y ＝f (x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )6．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．[－2,2]C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)7．下列不等式在(0，＋∞)上恒成立的是( ) A ．ln x >x B ．sin x >xC ．tan x >x ⎝⎛⎭⎫x ≠π2＋k π，k ∈N D ．e x>x ＋28．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)，80000(x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品数是( )A ．100B ．150C ．200D ．3009．函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－31610．已知函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是________．11．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离x (千米)成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离x (千米)成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．12．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 13．函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图K16－3，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤014．(10分)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x >0，x ≠1时，f (x )>ln xx －1.15．(13分)[2011·上海模拟] 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求场地一面利用旧墙，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图K16－4所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此场地围墙总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x图K16－4难点突破16．(12分)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数的定义域，并证明f (x )＝ln x ＋1x －1在定义域上是奇函数；(2)若x ∈[2,6]时，f (x )>ln m(x －1)(7－x )恒成立，求实数m 的取值范围；(3)当n ∈N *时，试比较f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )与2n ＋2n 2的大小关系．课时作业(十六)【基础热身】1．C [解析] 设y ＝e x －1－x ，∴y ′＝e x －1，∴x >0时，函数y ＝e x －1－x 是递增的，x <0时，函数y ＝e x －1－x 是递减的，∴x ＝0时，y 有最小值y ＝0.2．B [解析] 切线的斜率为k ＝12，设P 点坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝cos x 0＝12，因为x 0∈[0，π]，所以x 0＝π3，从而y 0＝32.故选B.3．C [解析] 导函数的图象为抛物线，其变号零点为函数的极值点，因此③④不正确． 4．m <0 [解析] y ′＝e x ＋m ，由条件知e x ＋m ＝0有实数解，∴m ＝－e x <0. 【能力提升】5．D [解析] D 中两个函数图象有升有降，因此导函数图象应有正有负，而图中函数图象恒为正或恒为负，故D 不可能正确．6．A [解析] f ′(x )＝3x 2－3，f (x )极大值＝f (－1)＝2＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝－2＋a ，函数f (x )有3个不同零点，则2＋a >0且－2＋a <0，因此－2<a <2.7．C [解析] 当x ＝1时，A ，B 不成立；对于C ，设f (x )＝tan x －x ⎝⎛⎭⎫x ≠π2＋k π，k ∈N ，则f ′(x )＝1cos 2x －1＝1－cos 2x cos 2x ＝sin 2x cos 2x≥0，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )min >f (0)＝0；对于D ，令f (x )＝e x －x －2，f ′(x )＝e x －1>0，故f (x )min >f (0)＝－1，不符合题意．8．D [解析] 由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000(0≤x ≤400)，60000－100x (x >400).而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100(x >400).令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．9．D [解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)，要使函数f (x )的图象经过四个象限，则f (－2)f (1)<0，即⎝⎛⎭⎫163a ＋1⎝⎛⎭⎫56a ＋1<0，解得－65<a <－316. 10.⎝⎛⎭⎫22，＋∞ [解析] ∵f ′(x )＝3x 2－3a 2(a >0)，∴由f ′(x )>0得：x >a 或x <－a ，由f ′(x )<0得－a <x <a .∴当x ＝a 时，f (x )有极小值，x ＝－a 时，f (x )有极大值．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 3－3a 3＋a <0，－a 3＋3a 3＋a >0，a >0.解得a >22. 11．5 [解析] 依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，k 1，k 2是比例系数，于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．12.2－1 [解析] 因为f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin π4＋cos π4， 整理得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1.13. ⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) [解析] 函数在⎝⎛⎭⎫－13，1和(2,3)上为减函数，且在x ＝－13，1,2处均取得极值，因此f ′(x )≤0的解集为⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3)． 14．[解答] (1)∵f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－bx 2，由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12. ∴a ＝b ＝1.(2)证明：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以f (x )－ln x x －1＝11－x 2⎝⎛⎭⎫2ln x －x 2－1x ， 设h (x )＝2ln x －x 2－1x (x >0)，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2，当x ≠1时，h ′(x )<0，而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0.得11－x 2h (x )>0.从而，当x >0，x ≠1时，f (x )－ln x x －1>0，即f (x )>ln xx －1.15．[解答] (1)设矩形另一边长为a m ，则 y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360.由已知ax ＝360，∴a ＝360x.∴y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)y ′＝225－3602x2，令y ′＝0得x 1＝－24(舍)，x 2＝24.此时，x ＝24是x ∈(0，＋∞)内唯一的极值点，即为最小值点，且当x ＝24时，y ＝225×24＋360224－360＝10440. ∴当x ＝24时，修建围墙总费用最小值为10440元． 【难点突破】16．[解答] (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln －x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1－1＝－ln x ＋1x －1＝－f (x )．∴f (x )＝ln x ＋1x －1在定义域上是奇函数．(2)∵x ∈[2,6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln m(x －1)(7－x )恒成立，∴x ＋1x －1>m (x －1)(7－x )>0，∵x ∈[2,6]， ∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2,6]上恒成立．令g (x )＝(x ＋1)(7－x )＝－(x －3)2＋16，x ∈[2,6]，由二次函数的性质可知x ∈[2,3]时g (x )单调递增，x ∈[3,6]时g (x )单调递减， 又g (2)＝15，g (6)＝7，故x ∈[2,6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.(3)f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝ln 31×53×75×…×2n ＋12n －1＝ln(2n ＋1)．证法一：设函数h (x )＝ln x －(x －1)，x ∈[1，＋∞)，则x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＝1－xx<0，即h (x )在(1，＋∞)上递减，所以h (x )<h (1)＝0，故ln x <x －1在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 则当x ＝2n ＋1(n ∈N *)时，ln(2n ＋1)<2n <2n 2＋2n 成立．证法二：构造函数h (x )＝ln(1＋x )－⎝⎛⎭⎫x ＋x 22(x >0)，h ′(x )＝1x ＋1－x －1＝－x 2－2x x ＋1，当x >0时，h ′(x )<0，∴h (x )＝ln(1＋x )－⎝⎛⎭⎫x ＋x 22在(0，＋∞)上单调递减，∴h (x )<h (0)＝0，∴当x ＝2n (n ∈N *)时，ln(1＋2n )－(2n ＋2n 2)<0， ∴ln(1＋2n )<2n ＋2n 2.。