6.2绕定轴转动刚体的动能 动能定理
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2
•
刚体的机械能守恒
1 2
J mghC C
2
对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 角时的 和 。 解二 由动能定理知
A
O
m
l
x
C
0 Md
1 2
•
刚体的机械能:
刚体重力势能
E EK EP
E p mi ghi
质心的势能
mghc
C
m
mi hi mg
i
m
(Gravitational potential energy for an extended body)
h
h
c
i
E
P
0
刚体的 机械能:
E
1 2
J mghc
d dt
3 g cos 2l
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕
在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得
重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
z o
ri
wenku.baidu.comvi
取 mi
Eki
1 2
miv i
2
1 2
2
mi ri
2
2
P
• mi
刚体的总动能
Ek Eki mi ri 2 1 1 2 2 2 mi ri J 2 2
2
1
各质量元速度不同， 但角速度相同 J 为对定轴的 转动惯量
结论
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量
与其角速度平方乘积的一半。
二. 力矩的功(Work Done by a Torque)
力的累积过程—— 力矩的空间累积效应
•
功的定义：
dA F dr F cosds
Fr cos d
cos sin
O
d F r' dr . r P
2
gt
2
2h
1)
若滑轮质量不可忽略，怎样？
2 2 2
2 v mgh ( mr J Z ) 2 2r
mg
2 dh dv 1 2v (mr J Z ) dt dt 2r 2
dh dv v， a dt dt
a h mgr
2 2
mr J Z
常量 mgr
2
2 1 2 1 at t 2 2 mr 2 J Z
J Z mr (
2
A
1
Md
2 1
M i d
1
2
M i d Ai
i
i
(4) 内力矩的功为零。
三. 转动动能定理 (Rotational Work-Energy Theorem)
M J
M J d dt J d d d dt J d d
Fr sin d Md
—— 力矩作功的微分形式
•
2
对一有限过程
A
若 M = C —— 恒力矩的功
1
Md
( 积分形式 ）
A M ( 2 1 )
讨论
(1) 若力 F 不在转动平面内时，则将其分解为 F F// F
(2) 力矩的功的实质是力的功； (3) 合力矩的功等于各分力矩所作功之和；
0 2 mgl cosd
1 2 J 0
2
1
mg
mgl sin
3 g sin l
d dt
3 g cos 2l
解三 由机械能守恒定律知
0 1 2 J mg ( hc )
2
O
m
l
x
C
hc
1 2
l sin
mg
J 1 3 ml
2
3 g sin l
dA Md Jd d ( J ) 2
2
1
2
2
A dA d ( J ) J 2 J1 Ek 2 2 2
2
2 2
1 1
1
1
1
绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该 过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的——动能定理 讨论 (1) 转轴变化，J，M，A 均变化，但动能定理形式不变； (2) 内力对刚体动能的改变没有贡献。
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能(Rotational kinetic energy)
m1 , m2 ,......., mi ,......, mN r , r2 ,.....ri , .....rN 1 v1 ,v 2 ,......,v i ,......v N
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）：EP1 0 Ek 1 0
EP 2 mgh
Ek 2 mv / 2 J Z / 2
2 2
v (mr J Z ) / (2r )
2 2 2
机械能守恒
2
mgh v (mr J Z ) / ( 2r ) 0
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刚体的机械能守恒
1 2
J mghC C
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对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立
例 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 角时的 和 。 解二 由动能定理知
A
O
m
l
x
C
0 Md
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刚体的机械能:
刚体重力势能
E EK EP
E p mi ghi
质心的势能
mghc
C
m
mi hi mg
i
m
(Gravitational potential energy for an extended body)
h
h
c
i
E
P
0
刚体的 机械能:
E
1 2
J mghc
d dt
3 g cos 2l
例 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转 动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕
在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。 重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得
重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子
z o
ri
wenku.baidu.comvi
取 mi
Eki
1 2
miv i
2
1 2
2
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2
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• mi
刚体的总动能
Ek Eki mi ri 2 1 1 2 2 2 mi ri J 2 2
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各质量元速度不同， 但角速度相同 J 为对定轴的 转动惯量
结论
绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量
与其角速度平方乘积的一半。
二. 力矩的功(Work Done by a Torque)
力的累积过程—— 力矩的空间累积效应
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功的定义：
dA F dr F cosds
Fr cos d
cos sin
O
d F r' dr . r P
2
gt
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1)
若滑轮质量不可忽略，怎样？
2 2 2
2 v mgh ( mr J Z ) 2 2r
mg
2 dh dv 1 2v (mr J Z ) dt dt 2r 2
dh dv v， a dt dt
a h mgr
2 2
mr J Z
常量 mgr
2
2 1 2 1 at t 2 2 mr 2 J Z
J Z mr (
2
A
1
Md
2 1
M i d
1
2
M i d Ai
i
i
(4) 内力矩的功为零。
三. 转动动能定理 (Rotational Work-Energy Theorem)
M J
M J d dt J d d d dt J d d
Fr sin d Md
—— 力矩作功的微分形式
•
2
对一有限过程
A
若 M = C —— 恒力矩的功
1
Md
( 积分形式 ）
A M ( 2 1 )
讨论
(1) 若力 F 不在转动平面内时，则将其分解为 F F// F
(2) 力矩的功的实质是力的功； (3) 合力矩的功等于各分力矩所作功之和；
0 2 mgl cosd
1 2 J 0
2
1
mg
mgl sin
3 g sin l
d dt
3 g cos 2l
解三 由机械能守恒定律知
0 1 2 J mg ( hc )
2
O
m
l
x
C
hc
1 2
l sin
mg
J 1 3 ml
2
3 g sin l
dA Md Jd d ( J ) 2
2
1
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A dA d ( J ) J 2 J1 Ek 2 2 2
2
2 2
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绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该 过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定 轴转动刚体的——动能定理 讨论 (1) 转轴变化，J，M，A 均变化，但动能定理形式不变； (2) 内力对刚体动能的改变没有贡献。
§6.2 绕定轴转动刚体的动能 动能定理
一. 转动动能(Rotational kinetic energy)
m1 , m2 ,......., mi ,......, mN r , r2 ,.....ri , .....rN 1 v1 ,v 2 ,......,v i ,......v N
不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴 处的摩擦力矩忽略不计。
解 分析（机械能）：EP1 0 Ek 1 0
EP 2 mgh
Ek 2 mv / 2 J Z / 2
2 2
v (mr J Z ) / (2r )
2 2 2
机械能守恒
2
mgh v (mr J Z ) / ( 2r ) 0