加减法解方程组
加减消元法—解二元一次方程组(1)
追问3
如何用加减法消去x？
应用新知
二 元 一 次 方 程 组 3x 3 x+4y y= =16 16
①×5
使未知数x 系数相等
15x+20y=80
5x-6y=33
代 入
②×3
15x-18y=99
解得x
x=6
1 y= 2
解得y
两 式 相 减
消 x
38y=-19
初步尝试：
解下列方程组： 1. 3x 2 y 6, 2.
y 4．
探究新知
x y 10 ，① 问题1 我们知道，对于方程组 2 x y 16 ②
可以用代入消元法求解，除此之外，还有没有 其他方法呢？ 追问5 ①－②也能消去未知数y，求出x吗？
（x y ）（ 2x y ） 10 16.
探究新知
问题2 联系上面的解法，想一想应怎样解方程组
3x 10 y 2.8， ① ② 15 x 10 y 8 ．
追问1 此题中存在某个未知数系数相等吗？你发 现未知数的系数有什么新的关系？ 未知数y的系数互为相反数，由①+②，可消去 未知数y，从而求出未知数x的值． 追问2 两式相加的依据是什么？ “等式性质”
探究新知
问题3 这种解二元一次方程组的方法叫什么？有 哪些主要步骤？ 当二元一次方程组中的两个二元一次方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分 别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元 一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．
自测
x = 1 mx + n = 5 1、已知方程组 的解是 y = 2 my - n = 1
2 m=____________,n=________________ 3
人教版七年级下册数学8.2.2加减消元法解二元一次方程组课件
463x+361y=102
2006x-2007y=2008
(3) 3(x-1)=y+5 5(y-1)=3(x+5)
5.已知关于x、y的方程组 2x-3y=3和 3x+2y=11
2ax+3by=3
ax+by=-1
的解相同。
x 2 y 1
2
6.方程
+ =0与二元一次方程组 3ax+by=11
ax-by= 2
(1)某个未知数的系数互为相反数，则可以直接 把这两个方程中的两边分别相加， 消去这个未知数;
(2)如果某个未知数系数相等，则可以直接 把这两个方程中的两边分别相减, 消去这个未知数。
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数
8.2.2 消元
——用加减法解二元一次方程组
1、根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c= b±c .(等式性质1)
<2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
a
b
若a=b,那么 c = c .(b≠0)
2、解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元
消元 转化
一元
3、用代入法解方程的步骤是什么？
1
点悟：
当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1， 且不相等或成倍数关系时，应将两个方程同时变 形， 使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等, 利用加减法解方程组， 同时选择系数比较小的未知数消元。
加减法归纳：
用加减法解二元一次方程组时，若同一个未 知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍时， 把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数， 使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等， 从而化为第一类型方程组求解．
加减法解方程的一般步骤
加减法解方程的一般步骤
【题目】：
用加减法解方程组的一般步骤是什么？
【答案】：
用加减法消元的一般步骤为：
①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同(或互为相反数)，则可直接相减(或相加)，消去一个未知数。
②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同(或互为相反数)，再把方程两边分别相减(或相加)，消去一个未知数，得到一元一次方程。
③解这个一元一次方程。
④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值。
⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
加减法解方程组练习题
加减法解方程组练习题解方程组是数学中的重要概念之一，它是用于求解多个方程同时成立时的未知数的值。
在解方程组的过程中，加减法是一种常用的运算方法。
本文将为大家提供一些加减法解方程组的练习题，帮助大家巩固和提升解方程组的能力。
练习题一：解方程组：1. 3x + 2y = 72x - 3y = 1解法：首先，我们可以通过加减法消去其中一个未知数。
为了消去y，我们将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：3(3x + 2y) = 3(7) => 9x + 6y = 212(2x - 3y) = 2(1) => 4x - 6y = 2接下来，我们将这两个方程相加，消去y得到：(9x + 6y) + (4x - 6y) = 21 + 213x = 23因此，x = 23/13。
将x的值带入第一个方程，可以解得y的值：3(23/13) + 2y = 769/13 + 2y = 72y = 7 - 69/132y = (91 - 69)/132y = 22/13y = 22/26y = 11/13所以，解为x = 23/13，y = 11/13。
练习题二：解方程组：1. 5x + 2y = 113x - y = 4解法：同样地，我们可以通过加减法消去其中一个未知数。
为了消去y，我们将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，得到：3(5x + 2y) = 3(11) => 15x + 6y = 332(3x - y) = 2(4) => 6x - 2y = 8接下来，我们将这两个方程相加，消去y得到：(15x + 6y) + (6x - 2y) = 33 + 821x = 41因此，x = 41/21。
将x的值带入第一个方程，可以解得y的值：5(41/21) + 2y = 11205/21 + 2y = 112y = 11 - 205/212y = (231 - 205)/212y = 26/21y = 13/21所以，解为x = 41/21，y = 13/21。
加减法解方程组
§3.3二元一次方程组的解法—加减消元法一、教学内容分析：本节课内容节选自沪科版七年级数学上册第3章第三节第3课时。
是在学生学习了一元一次方程解法和代入消元法解二元一次方程组的基础上，继续学习的另一种消元方法——加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
让学生通过学习加减消元法充分体会“化未知为已知”的转化过程，体会代数的一些特点和优越性。
对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。
理解并掌握解二元一次方程组的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础。
二、教学目标设置：（一）知识与技能目标1、学会用加减消元法解二元一次方程组；2、灵活的对方程进行恒等变形使之便于加减消元；3、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想.（二）过程与方法目标：1、通过经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步体会化“未知”为“已知”、化复杂问题为简单问题的化归思想方法；2、经历思考探究、小组交流合作，理解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。
（三）情感态度及价值观：1、培养学生探索、尝试、比较，养成与他人合作、交流思维过程的习惯；2、通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，品尝成功的喜悦，树立学习自信心；三、学生学情分析：我所任教的班级学生基础比较薄弱，学生的探索能力和思维能力有待提高，养成合作交流的习惯。
大多数学生性格比较活泼,他们希望有展现自我才华的机会，但是对于七年级的学生来说，他们独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高，很多时候还需要教师的点拨、引导和归纳。
因此，遵循学生的认识规律，由浅入深，适时引导，调动学生的积极性，并适当地给予表扬和鼓励，借此增强他们的自信心。
四、教学准备：1教师：多媒体，课件。
2学生：笔纸。
本节内容的教学重点：探索并掌握加减消元法解二元一次方程组，体会消元化归思想。
本节内容的教学难点：灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”。
第5章 2.第2课时 用加减法解二元一次方程组
【规范解答】(1)①－②，得 3x＝－9，解得 x＝－3.把 x＝－3 代入①得－15
－6y＝1，解得 y＝－83.所以，原方程组的解为yx＝＝－－833 .
(2)②×3，得 51x－9y＝222③，①＋③，得 59x＝295，解得 x＝5，把 x＝5
代入②，得 85－3y＝74，y＝131.所以，原方程组的解为xy＝＝1531 .
D．①×2－②×(－3)，消去 y
11．若方程 mx＋ny＝6 的两个解是xy＝＝11 ，xy＝＝－2 1 ，则 m、n 的值为( A )
A．4,2
B．2,4
C．－4，－2
D．－2，－4
12．若二元一次方程 2x＋y＝3,3x－y＝2,2x－my＝－1 有公共解，则 m 的值
是( D )
A．－2
B．－1
C．4
D．3
13．用加减消元法解方程组23xx＋ ＋32yy＝ ＝65① ② ，由①×2－②×3，得 －5x＝－3 .
x＝3
ax＋by＝3
14．已知y＝－2 的方程组bx＋ay＝－7 的解，则代数式(a＋b)(a－b)的值
为 －8 .
15．当 x＝2 时，代数式 x2＋ax＋b 的值为 3；当 x＝－3 时，其值为 4，则当
x＝1 时，其值是 －45
.
16．已知|2a－b－3|＋(a＋2b＋1)2＝0.求(2a＋b)2017 的值． 解：根据非负数的性质，得2a＋a－2bb－ ＋31＝ ＝00 ，解得ab＝＝1－1 ，所以(2a＋b)2017 ＝(2－1)2017＝1
Байду номын сангаас
17．若xy＝＝34 是关于 x、y 的二元一次方程组aaxx＋ －bbyy＝ ＝－ －17 的解．求 a＋b 的值．
加减法解二元一次方程组
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形
加减 求解 写解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有 代入法、加减法。
拓展挑战 请仔细观察哦！
解方程组 11x9 y26 9 x11y14 不解方程组，直接求x＋y 与x－y的值。
解： ①×3得 6x+9y=36 ③
②×2得 6x+8y=34 ④
③-④ 得:
y=2
把y ＝2代入①，得
2x+3×2=12
解得:
x＝3
x=3
∴原方程组的解是
y=2
追问1 能直接加减消元吗？ 为什么？
追问2 能否对方程变形，使得 两个方程中某个未知数的系数相
反或相同？
追问3 如何用加减法消去x？
解法二：
求解二元一次方程组（加减消元法）
王莉欣
1、根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c=
.(等式性质1)
思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗?
<2>若a=b,那么ac= 2.相反数:
. (等式性质2)
重点：探索加减消元法解二
元一次方程组。
难点：会灵活运用加减法解二
元一次方程组。创设情景来自②－④得x＝－1，从而可得y＝2，x＝-1
∴原方程组的解是
y＝2
2018x 2017 y 2016 2016x 2015y 2014
作业
1、课本P-113[习题5.3] 2、预习鸡兔同笼
用加减法解二元一次方程组
｛
3x +2y =13 3x -2y =5
y=2
①
②
解：①-② 得：4y=8
把 y=2代入①得：
3x+4=13 x=3 x=3 ∴ y=2
｛
一.填空题：
1：利用加减消元法解方程组时在所有的方程组的 两个方程中，某个未知数的系数互为相反数，则 可以直接 把这两个方程中的两边分别相加。 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等，则 可以直接 把这两个方程中的两边分别相减, 消去这个未知数
第二节 二元一次方程组的解法
用加减法解二元一次方程组
想一想
3x+2y=13
为了解方程组
3x-2y=5
不用代入法能否消去其中的未知数y？
解法1:
｛
3x +2y =13 3x -2y =5
x=3
①
②
解：①+② 得：6 x=18
把 x=3代入①得：
9+2y=13 y=2 x=3 ∴ y=2
｛
解法2:
二 元 一 次 方 程 组 变形 某 元 绝 对 值 相 等 加减 消 去 一 个 元 解方程 得 一 代入 个 元 的 值 求 另 一 个 元 的 值 写 方 程 组 的 解
• 作业布置：
5x y 3 x 2y 5 练习、已知方程组 5 y 4 与 ax 5 x by 1
有相同的解，求a、b的值．
思维拓展
解方程组 5x－4y=3x＋2y=33
• 课堂小结：
• 一、利用加减消元法解方程组时在所有的方程组 的两个方程中，某个未知数的系数互为相反数， 则可以直接把这两个方程中的两边分别相加。 • 消去这个未知数，如果某个未知数系数相等，则 可以直接把这两个方程中的两边分别相减,消去这 个未知数
(课件)解方程组(加减法)第3课时
解方程组: 解方程组 (4) 解
2x - 3y = 8, ① 5y-7x = 5. ② ③ ④
消去y 消去
① ×5,得10x - 15y = 40, 得 ② ×3,得 15y-21x = 15. 得 ③+④,得 -11x = 55, ④得
x = -5. 即 5y-7×(-5) = 5, × 代入② 把x=-5代入②,得 代入 得 5y+35 = 5, 5y = 5-35, 5y = -30, 即 y = -6. x = -5, 所以 y = -6.
① ② ③ ② 或将x=2代入②,得 代入② 得 或将 代入 4×2+3y = 17, × 8+3y = 17 3y =17-8, 3y = 9, y = 3. 消去y 消去
解方程组: 解方程组 (1) 解
3x - y =3, ① 4x + 3y = 17. ② ③ ④
消去x 消去
①×4,得 ①× 得 12x - 4y = 12, ②×3,得 12x + 9y = 51. 得
解方程组: 解方程组 (3) 解
3x - 2y = 6, ① 2x+3y = 17. ② ③ ④
消去x 消去
① ×2,得 6x - 4y = 12, 得 ② ×3,得 6x+9y = 51. 得 ④ - ③,得 13y = 39, 得
y = 3. 即 代入② 把y=3代入②,得 2x+3 ×3 = 17, 代入 得 2x + 9= 17, 2x = 17-9, 2x = 8, 即 x = 4. x = 4, 所以 y = 3.
① ×3,得 9x - 12y = 30, 得
② ×2,得 10x+12y = 84. ④ 得 19x = 114, ③+ ④,得 得 即 x = 6. 代入② 把x=6代入②,得 5×6+6y = 42, 代入 得 × 30+6y = 42, 6y = 42-30, 6y = 12, 即 y= 2. x= 6, 所以 y= 2.
(课件)解方程组(加减法)第2课时
加减法(2) 加减法
七年级数学(下 七年级数学 下)
解方程组: 解方程组 (1) 解
7x-2y=3, ① 9x+2y= -19. ②
消去y 消去
①+ ②,得 7x+9x=3+(-19), 得 16x= -16, 即 x= -1. 2y = -19+9 即 所以 2y = -10, y= -5. y= -5.
① ×3,得 9x - 12y = 30, 得 ② ×2,得 10x+12y = 84. 得 ③+ ④,得 19x = 114, 得
x = 6y = 42, 代入 得 × 30+6y = 42, 6y = 42-30, 6y = 12, 即 y = 2. x = 6, 所以 y = 2.
解方程组: 解方程组 (8) 解
2x - 3y =8, ① 5y-7x = 5. ② ③ ④
消去y 消去
① ×5,得 10x - 15y =40, 得 ② ×3,得 15y-21x = 15. 得 ③+④,得 -11x = 55, ④得
x = -5. 即 × 代入② 把x=-5代入②,得 5y-7×(-5 ) = 5, 代入 得 5y+35 = 5, 5y = 5-35, 5y = -30, 即 y = -6. x = -5, 所以 y = -6.
解方程组: 解方程组 (7) 解
3x - 2y = 6, ① 2x+3y = 17. ② ③ ④
消去y 消去
① ×3,得 9x - 6y = 18, 得 ② ×2,得 4x+6y = 34. 得 ③+ ④,得 13x = 52, 得
x = 4. 即 代入② 把x=3代入②,得 2×4+3y = 17, 代入 得 × 8+3y = 17, 3y = 17-8, 3y = 9, 即 y = 3. x = 4, 所以 y = 3.
初中七年级下册练习题专题10 用加减法二元一次方程组简单数学之七年级下册同步讲练解析版
专题10 用加减法二元一次方程组一、知识点1、用加减法解二元一次方程组2、应用解二元一次方程组的有关知识，解决与二元一次方程相关联的问题。
二、标准例题例1：用加减法解下列方程组： （1）{4（y +2)=1−5x 3(x +2)=3−2y（2）{3x−24+2y−15=23x+64−2y+45=1【答案】（1）{x =1y =−3 ；（2）{x =2y =3【解析】解：（1）{4（y +2)=1−5x ①3(x +2)=3−2y ②整理得5x+4y ＝﹣7③，3x+2y ＝﹣3④ ④×2﹣③，得x ＝1， 将x ＝1代入③，得y ＝﹣3， 所以原方程的解是{x =1y =−3；（2）{3x−24+2y−15=2①3x+64−2y+45=1②，整理得15x+8y ＝54③，15x ﹣8y=6④， ③+④，得30x ＝60，解得x ＝2， 将x ＝2代入③，得y ＝3， 所以原方程的解是{x =2y =3．总结：本题考查了解二元一次方程组．这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法基本过程． 例2：对于有理数，规定新运算：x ※y ＝ax ＋by ＋xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算。
已知：2※1＝7 ，(－3)※3＝3 ，求13※b 的值. 【答案】613.【解析】解：2※1=7，得2a+b+2=7(3)※3=3，得3a+3b9=3解得{a =13b =133则13※b=13a+b 2+13b =13×13+133×133+139=19+1699+139=613.故答案为：613.总结：本题在定义新运算的基础上考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，弄清题中的新定义是解题关键． 例3：已知方程组{x +2y =m +12x −y =4的解x ，y 的和等于2，①求m 的值. ②原方程组的解．【答案】①m=1；②{x =2y =0．【解析】 【分析】由x+y=2变形得到y=2x ，代入方程组中计算即可求出m 的值．再解方程组即可. 【详解】①将y =2−x 代入方程组得：{x +2(2−x)=m +12x −3(2−x)=4， 整理得：{−x +4=m +1①5x −6=4②，解得：{x =2m =1.②当x =2时，y =0. 原方程组的解为{x =2y =0．例4：阅读材料：善于思考的小军在解方程组{2x +5y =3①4x +11y =5②时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5③，把方程①代入③得：2×3+y=5， ∴y=1，把y=1代入①得x=4， ∴方程组的解为{x =4y =−1.请你模仿小军的“整体代换”法解方程组{3x −2y =5①9x −4y =19②【答案】{x =3y =2【解析】 {3x −2y ＝5①9x −4y ＝19②将方程②变形：3（3x2y ）+2y=19． 将方程①代入③，得3×5+2y=19．y=2 把y=2代入①得 x=3 ∴方程组的解为{x =3y =2.总结：整体代换思想是解决简化解题过程的一种重要思想，应该熟练掌握。
元一次方程组的解法(加减法)
加简便。
03
缺点
对于一些系数复杂或方程数量较多的方程组，加减法可能较为繁琐和耗
时。此外，加减法在处理一些特殊情况（如无解或无穷多解）时可能不
够准确和全面。
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加适用。
适用范围与优缺点
01
适用范围
加减法适用于系数相近或相反的未知数，以及方程数量较少的简单方程
组。对于一些特殊类型的方程组，如线性方程组或系数为整数的方程组，
加减法可能更加简便。
02
优点
加减法简单直观，易于理解和操作，不需要复杂的数学工具和技巧。对
于一些特定类型的方程组，如系数相近或相反的未知数，加减法可能更
代入法与加减法的结合
代入法是通过将一个方程中的变 量用另一个方程表示出来，然后 将其代入另一个方程中求解的方
法。
在使用加减法解元一次方程组时， 可以结合代入法进行消元，提高
解题效率。
通过代入法将一个方程化简为一 元一次方程后，再利用加减法消 去其他变量，最终得到一个简单 的一元一次方程，方便求解。
与高斯消元法的比较
高斯消元法
高斯消元法是一种基于矩阵运算的解法，通过一系列的行变换将方程组转化为单一方程 进行求解。这种方法具有较高的计算效率和精度，但需要一定的数学基础和计算能力。
加减法
与高斯消元法相比，加减法更加直观和简单，不需要复杂的矩阵运算和行变换。然而， 对于一些系数复杂或方程数量较多的方程组，加减法可能较为繁琐，而高斯消元法则更
将求得的未知数值代入原方程组中，解出另一个未知数的值 。
04 实例解析
实例一：简单方程组
方程组
$begin{cases}2x + 3y = 7 4x - y = 5end{cases}$
二元一次方程组的解法(加减法)
课题7．1 二元一次方程组的解法（加减消元法）集备组别七年级数学备课组上课时间上课班级七（）班上课教师课程标准要求掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
教学目标1.会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路.通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；2.会用加减法解简单的二元一次方程组.3.在探究的过程中，获得用加减法解二元一次方程组的初步经验.培养学生观察、归纳、类比、联想以及分析问题、解决问题的能力.教学重点学会用加减法解简单的二元一次方程组教学难点准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组. 教学准备PPT，学案教学方法学案导学法，引导发现法，练习法等镇巴县通州实验学校集体备课教学设计导学案设计（一课时一案原则、问题呈现原则、循序渐进原则、方法提示原则）达成情况1.若关于x、y的二元一次方程组5,9,x y kx y k+=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（）2.已知方程组中，x、y的值相等，则m等于（）A.1或-1B.1C.5D.-53.解下列方程组：(3)23 53212x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②(4)()()43433442x yx y+=-=+⎧⎪⎨⎪⎩①②4.已知关于x，y的二元一次方程y=kx+b的解有.（1）求k，b的值.（2）当x=2时，y的值.（3）当x为何值时，y=3？【教学说明】通过这一系列有层次有梯度形式多样的练习，使学生可以灵活熟练地选择准确的加减法完成对二元一次方程组的求解，并能在解解答的过程中摸索运算技巧，培养计算能力与观察问题、分析问题与解决问题的能力.审阅意见审阅人：时间：。
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学习目标：
掌握用加减法解二元一次方程组的 方法，明确其中的数学思想。
想一想：还可以怎样解下面的二元一次方 程组？
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
例：解方程组
2 x 5 y 7 2 x 3 y 1
当方程组其中有一个未知数的系数互为相反 数时，可以将两个方程相加，就可以消去这 个未知数，从而原方程组化一元一次方程。 当方程组其中有一个未知数的系数相同时， 可以将两个方程相减，就可以消去这个未知 数，从而原方程组化一元一次方程。 这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法
课堂小结：
加减消元法与代入消元法有什么区别和联系？ 在解二元一次方程组时，你觉得用哪种方法比 较好？面对一个二元一方程组你如何做出选择？
解方程组
3x 2 y 5 6 x 5 y 4
2 x 3 y 12系数都不互为相反 数（或相等）时，可以将两个方程组中的其中 一个未知数的系数化成互为相反数（或相等） 从而原方程组可以用加减消元法来解。
议一议: 上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪 些?