上海学校2017届高三第三次月考试卷

上海市实验学校2017届高三第三次月考试卷
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律不得分. 1、设集合{}
{}2|,|lg 0M x x x N x x ===≤，则M N = .
2、已知()()()11221,,2,,,,,n P a P a P n a 是直线上的一列点，且122, 1.2a a =-=-，则这个数列{}n a 的通项
公式是 . 3、设02
π
θ<<
，向量()()sin2,cos2,cos ,1a b θθθ==，若//a b ，则tan θ= .
4、已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1
cos 3
α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .
5、函数()2
13,10x y x -=-≤≤的反函数是 .
6、函数(
)cos sin 222x x x f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的最小正周期是 .
7、,a b 是不等的两正数，若11
lim 2n n n n
n a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是 .
8、数列{}n a 中，已知()*11121
1,,2
n n a a a a a n N +==+++∈，则{}n a 的前n 项和n S = .
9、若向量a 与b 夹角为
3
π
，()()
4,327b a b a b =+-=-，则a = . 10、已知棱形ABCD 的边长为2，120BAD ∠=︒点,E F 分别在边,BC DC 上，3,BC BE DC DF λ==，若
1AE AF ⋅=，则λ的值为 .
11、若平面向量i a 满足()11,2,3,4i a i ==且()101,2,3i i a a i +⋅==，则1234a a a a +++可能的值有 个
12、设()f x 是R 上的奇函数，且当0x ≥时，()2f x x =.若对任意的[],2x a a ∈+，不等式()()3f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 .
13、记[][][][]222
2l o g 1l o g 2
l o g 3
l o g n S n =++++（其
中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.90,2.62==）
，则2017S = . 14、给定001x ≤≤，对一切整数0n >，令111
12,2121,21n n n n n x x x x x ----<⎧=⎨-≥⎩，则使06x x =成立的0x 的个数为 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相
应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分 15、在ABC ∆中，“cos sin cos sin A B B B +=+”是“90C ∠=︒”是（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
16、函数()()cos f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）
A.13,,44k k k Z ππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦
B. 132,2,44k k k Z ππ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣⎦
C. 13,,44k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D 132,2,44k k k Z ⎡⎤
-+∈⎢⎥⎣
⎦
17、已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量12345,,,,x x x x x 和12345,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成，记1122334455S x y x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，min S 表示S 所有可能取值中的最小值，则下列命题（ ）
（1）S 有5个不同的值；（2）若a ⊥b ，则min S 与a 无关；（3）若a //b ，则min S 与b 无关； （4）若4b a >，则min 0S >；（5）若2b a =，min 8S =2
a 则a 与
b 夹角为
4
π
正确的是（ ） A. （1）（2） B. （1）（4） C. （3）（5） D. （2）（3）
18、记[]x 为不超过实数x 的最大整数，例如[][][]22,1.51,0.31==-=-，设a 为正整数，数列{}n x 满足
()*11
,2n n n a x x x a x n N +⎡⎤
⎡⎤+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，现有下列命题： ①当5a =时，数列{}n x 的前3项依次为5，3，2； ②对数列{}n x 都存在正整数k ，当n k ≥时，总有n k x x =； ③当1n
≥时，1n x >
④对某个正整数k ，若1k k x x +≥
，则n x =
则其中真命题个数为（ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分） 已知函数(
)cos2cos f x x x x =+
（1）求函数()f x 的值域，并写出函数()f x 的单调递增区间；
（2）若06
π
θ<<
，且()4
3
f θ=
，计算cos 2θ的值. 20、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数，当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）：当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年） （1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式：
（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值. 21、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知函数()()sin sin 4242x x f x x πππ⎛⎫⎛⎫
=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()y g x =的图像与函数()y f x =的图像关
于直线4
x π
=
对称
（1）若存在0,2x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，使等式()()220g x mg x -+=⎡⎤⎣⎦成立，求实数m 的最大值和最小值； （2）若当110,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时不等式()()0f x ag x +->恒成立，求a 的取值范围. 22、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
设n S 是各项均为非零实数的数列{}n a 的前n 项和，给出下列两个命题： 命题{}:n p a 是等差数列；命题q ：等式
1223
1111
1n n n
kn b
a a a a a a a a +++++
=对任意n ()
*n N ∈恒成立，其中,k b 是常数.
（1）p 是q 的充分条件，求,k b 的值
（2）对于（1）中的k 与b ，问p 是否为q 的必要条件，请说明理由；
（3）若p 为真命题，对于给定的正整数()1n n >和正数M ，数列{}n a 满足条件22
11n a a M ++≤，试求n S 的
最大值.
23、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知,λμ为常数，且为正整数，λ为质数且大于2，无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，对任意正整数n ，2n n S a λμ=-，数列{}n a 中任意两不同项的和构成集合A （1）证明无穷数列{}n a 为等比数列，并求λ的值； （2）如果2010A ∈，求μ的值；
（3）当1n ≥，设集合{}
1|5353,n n n B x x x A μμ-=⋅<<⋅∈中元素的个数记为n b ，求n b。