抛物线与图形面积
与抛物线_同行_的图形面积问题_刘娟
的中点（ x0 ，y0 ） ，若设直线 AB 的方程为 y = kx
+ b，则应用x1
+ 2
x2
=
xP 表示 P 为线段 AB 的中
点较好； 若设直线 AB 的方程为 x = my + n，则
应用y1
+ y2 2
=
yP 表示 P 为线段 AB 的中点较
好． 至于直线 AB 方程的其他形式，同理也有类
B（ x2 ，y2 ） ，则 |
BF |
=
x2
+
p 2
= 2，可得 x2 =
2－ p 2
=
3 2
．
设
F
到直线
AB
的距离为
d，则
SBCF = S ACF
1 2
d·|
BC |
1 d·| AC | 2
= | BC | ． | AC |
过点 A、B 分别引准线的垂线 AP、BQ，则
AP
∥
BQ，||
BC AC
+ 1，| AB | = 槡1 + t2 | x1 － x2 | = 2（ t2 + 1） ．
设 d1 、d2 分别为点 D、E 到 直 线 AB 的 距
离，则 d1
=
槡t2 + 1 ，d2
=
2 ，四 边 形 槡t2 + 1
ADBE 的面积
S=
1 2
| AB |
（ d1 + d2 ）
= （ t2 + 3） 槡t2 + 1 ．
相切，且 切 点 为 线 段 AB 的 中 点，求 四 边 形 ADBE 的面积．
( ) 解 （ 1） 直线 AB 过定点 0，12 ． （ 过程略）
抛物线与x轴围成的面积
抛物线与x 轴所围成的面积可以通过定积分来计算。
假设给定一个抛物线的方程为y = f(x)，我们想要计算从x = a 到x = b 之间的面积。
首先，我们需要求出抛物线与x 轴的交点，即解方程f(x) = 0。
假设交点的横坐标为x1 和x2，其中x1 < x2。
然后，我们可以计算从x = a 到x = x1 的面积，从x = x1 到x = x2 的面积，以及从x = x2 到x = b 的面积。
这些部分的面积可以分别表示为：
第一部分的面积：∫[a, x1] f(x) dx
第二部分的面积：∫[x1, x2] f(x) dx
第三部分的面积：∫[x2, b] f(x) dx
最后，我们将这三部分的面积相加即可得到抛物线与x 轴所围成的总面积：
总面积= 第一部分的面积+ 第二部分的面积+ 第三部分的面积
请注意，以上计算是基于抛物线位于x 轴上方的情况。
如果抛物线在x 轴下方，则需要计算的是抛物线与x 轴之间的绝对值面积，即取每个部分的面积的绝对值再相加。
需要注意的是，具体计算过程需要知道抛物线的具体方程或者一些关键点的坐标信息。
根据给定的具体抛物线方程，可以使用积分技术或数值方法来计算这些面积。
抛物线围成的面积公式(一)
抛物线围成的面积公式(一)抛物线围成的面积公式公式1: 一般抛物线的面积公式一般来说，任意一条抛物线可以用一般式表示为：y = ax^2 +bx + c该抛物线与x轴交于两点，设交点坐标分别为(x1, 0) 和 (x2, 0)。
抛物线与x轴围成的面积可以通过以下公式计算：S = ∫[x1,x2] [ax^2 + bx + c] dx举例解释：考虑一条抛物线，其一般式为y = 2x^2 + 3x + 1。
要计算该抛物线与x轴围成的面积，首先需要找到交点的横坐标。
将y = 2x^2 + 3x + 1与x轴相交，即y = 0，得到以下方程：2x^2 + 3x + 1 = 0解这个方程可以得到两个交点的横坐标。
假设解得的横坐标为x1和x2，则抛物线与x轴围成的面积为：S = ∫[x1, x2] [2x^2 + 3x + 1] dx通过计算这个积分即可得到抛物线围成的面积。
公式2: 完整抛物线的面积公式对于完整的抛物线，即自顶点到两交点之间区域的面积，可使用以下公式：S = 2/3 a * h^3*其中，a为抛物线的二次项系数，h为抛物线的高。
举例解释：考虑一条抛物线，表达式为y = -2x^2 + 4x + 3。
要计算该抛物线的面积，首先需要找到抛物线的顶点和两交点的纵坐标。
通过求导，可以得到抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
将x代入抛物线方程中，可以得到抛物线顶点的纵坐标。
假设顶点的纵坐标为y1，交点分别为y2和y3。
根据公式可以计算抛物线的面积：S = 2/3 a * (y1 - y2)^3* 通过计算这个公式即可得到抛物线的面积。
总结：通过上述例子，我们可以看到抛物线围成的面积公式不仅可以用于一般情况的抛物线，还可以用于完整的抛物线。
这些公式可以帮助我们计算抛物线所围成的区域的面积，对于数学和物理学等领域的问题有着广泛的应用。
高中抛物线三角形面积公式
高中抛物线三角形面积公式高中数学中，抛物线是一个常见的曲线类型。
而抛物线的一个重要性质是，它可以被用来构造出一个三角形，其面积可以通过一个简单的公式来计算。
我们需要了解抛物线的基本概念。
抛物线是一个平面曲线，其形状类似于一个开口向上或向下的碗。
它可以由一个二次方程来描述，即y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，x和y是抛物线上的点的坐标。
接下来，我们来看看如何构造一个抛物线三角形。
首先，在抛物线上任选三个点，将它们连接起来，就可以得到一个三角形。
这个三角形的一个顶点是抛物线的顶点，而另外两个顶点则是我们任选的两个点。
接着，我们来看看如何计算这个三角形的面积。
首先，我们需要求出三角形的底边长和高。
底边长可以通过两个顶点的横坐标之差来计算，而高则是从三角形的顶点到底边的垂直距离。
具体来说，我们可以先求出三角形的底边长b，即b=x2-x1，其中x1和x2分别是任选的两个点的横坐标。
接着，我们需要求出三角形的高h。
由于三角形的顶点在抛物线上，因此我们可以通过求出抛物线在顶点处的切线来得到高的长度。
在这里，我们就需要用到一些微积分的知识。
我们可以先求出抛物线在顶点处的导数，即y'=2ax+b。
由于导数表示的是曲线在某一点处的斜率，因此我们可以用这个导数来求出抛物线在顶点处的切线的斜率。
接着，我们可以得到这条切线的方程，即y=2ax0+b，其中x0是抛物线的顶点的横坐标。
我们可以求出这条切线与底边的交点的纵坐标，即三角形的高h。
具体来说，我们可以将这条切线的方程代入三角形底边的方程中，得到一个二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到这条切线与底边的交点的纵坐标y0。
因此，三角形的面积可以通过公式S=1/2bh来计算，其中b是底边长，h是三角形的高。
需要注意的是，由于抛物线的形状类似于一个碗，因此在选取三个点构成三角形时，我们需要保证这个三角形是有意义的。
具体来说，三个点应该按照从左到右或从右到左的顺序排列，这样才能够构成一个有意义的三角形。
抛物线与图形面积专题精编
抛物线与图形面积专题精编【例1】、已知直线42+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、D 两点，抛物线c bx x y ++=221-进过点A 、D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点．（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；（2）设点M 是直线AD 上一点，且3:1:=ΔΔOMD AOM S S ，求点M 的坐标；（3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨： 对于（2），将面积比转化为线段比，因点M 在直线AD 上，等腰△BCP 的底腰不定，故应全面讨论．【例2】 如图，抛物线c bx ax y ++=2经过A （-1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第一象限，对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等？若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨： 对于（2），Q 点必在平行于BC 的直线上，从等积变形切入．归纳总结： “等（同）底、等（同）高、等面积”这三个论断，以其中任意两个为条件，可推得第三个结论．灵活运用这些关系式，常与中点、平行线、梯形、平行四边形相关联．面积比转化为线段比，常与相似三角形联系在一起．【例4】 如图①，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 21Δ=，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解决下列问题：如图②，已知抛物线经过A （-4,0）、B （0，-4）、C （2,0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，其横坐标为m ，△AMB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．图① 图②点拨与解析： 对于（2），分割图形，或作MD ⊥x 轴交AB 于D ，直接运用抛物线上计算三角形面积的公式．（1）2142y x x =+-； （2）直线AB 的解析式为：4y x =--，()()2242440S m m m m =--=-++-<<，∴当2m =-时，max 4S =．总结： 例3通过阅读理解创造一类求图形面积的新方法，铅垂高可用动点的横坐标表示，从而把三角形面积与动点的横坐标联系起来．类比迁移，我们可用例3的模型贯通这一类问题．针对训练：1、如图，二次函数m x x y ++=2-2的图象与x 轴的一个交点为A （3,0），另一个交点为B ，且与y 轴交于点C ．（1）求二次函数解析式；（2）该二次函数图象上有一点D （x ，y ），使ABC ABD S S ΔΔ=，求点D 的坐标．2、如图，抛物线k x y ++=21）（与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-3）．（1）求抛物线的对称轴及k 的值；（2）抛物线的对称轴上存在一点P ，使得P A +PC 的值最小，求此时点P 的坐标；（3）点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．①当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标； ②当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标．3、如图，已知抛物线c bx x y ++=2-与一直线相交于A （-1,0）、C （2,3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D ．（1）求抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）设点M （3，m ），求使MN +MD 的值最小时m 的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，点E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF //BD 交抛物线于点F ，以B 、D 、E 、F 为顶点的四边形能够为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（4）若点P 是该抛物线上位于直线AC 上方的一动点，求△APC 面积的最大值．4、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4,0）、B（0，-4）、C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S 关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．本节总结：面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素—边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的常见形式，解这类问题常用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积变形、等比转化．。
抛物线与面积问题
抛物线与面积问题执教：甘棠中学 王建龙一、基础回顾：1、在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （-1，1），B （2，0），C （4，2），求△ABC 的面积。
分析：分别过A 、C 作x 轴的垂线，转化为 梯形与三角形的面积的差求解。
2、过△ABC 的的顶点A 作BC 的平行线MN ，在直线MN 上任取点P ，PBC S ∆与ABC S ∆有何数量关系？设PC 交AB 于O ，图中还有面积相等的三角形吗？反过来，如果已知PBC S ∆=ABC S ∆或POB S ∆=AOC S ∆，能判断直线MN 与直线BC 的数量关系吗？分析：分别过P 、A 作BC 的垂线，PBC S ∆与ABC S ∆共底等高，故面积相等。
同时减去O B C S ∆，则POB S ∆=AOC S ∆；反过来也成立。
归纳：①求坐标系内图形的面积，通常过其顶点作坐标轴的垂线，转化为直角三角形和直角梯形的面积的和或差来求解；②根据平行线间的距离处处相等，可以过某一顶点作某一边的平行线，将其转化为与之同底等高的三角形来求解。
二、考点迁移：例1：如图，抛物线432+--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，在第二象限的抛物线上是否存在点P ，使PAC S ∆=4？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由。
分析： 解法一：作PM ⊥x 轴于点M ，PAC S ∆=PAM S ∆+PMOC S 梯形-AOC S ∆ 设P 的坐标，列方程求解。
解法二：过P 作P M ∥AC 交x 轴于M ，则MA C S ∆=PAC S ∆，由此得M 的坐标，进而求出PM 的解析式，与抛物线联立求解。
例2：如图，抛物线542+--=x x y 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于点C ，P 是第二象限抛物线上一点，作PF ⊥x 轴于点F ，交AC 于点E ，若PAE S ∆：AEF S ∆=2：3，求点P 的坐标。
抛物线的面积公式
抛物线面积计算公式：S=x^2（1）y。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。
它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。
它在几何光学和力学中有重要的用处。
抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。
抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹。
轨迹，包含两个方面的问题，凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性（也叫做必要性）。
另外凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性（也叫做充分性）。
抛物线围成的面积公式(二)
抛物线围成的面积公式(二)抛物线围成的面积公式1. 抛物线方程•抛物线的标准方程表示为：y = ax^2 + bx + c，•其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。
2. 抛物线的对称轴•抛物线的对称轴的方程表示为：x = -b/2a。
•对称轴是指抛物线上的所有点与对称轴的距离相等。
3. 抛物线的顶点•抛物线的顶点的横坐标为对称轴的 x 值，纵坐标为代入方程得到的对应 y 值。
•顶点表示抛物线的最高点或最低点。
4. 抛物线围成的面积公式•抛物线围成的面积可以通过定积分来计算。
•假设抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，且 a > 0。
•抛物线与 x 轴相交的两个交点为 x = x1 和 x = x2。
•则抛物线围成的面积可以表示为：S = ∫[x1,x2] (ax^2 + bx + c) dx5. 例子说明•假设有一个抛物线，方程为 y = -2x^2 + 4x + 1。
•首先找到对称轴的位置：x = -b/2a = -4/(2*(-2)) = 1。
•对称轴的 x 坐标为 1，代入方程得到对应的 y 坐标：y = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3。
•所以抛物线顶点的坐标为 (1, 3)。
•抛物线与 x 轴相交的两个交点可以通过求解方程 y = -2x^2 + 4x + 1 = 0 得到。
•解得 x = (-4 ± √(16 - 4(-2)1))/(2*(-2)) = (-4 ± √24)/-4。
•即 x1 = 1 - √6，x2 = 1 + √6。
•则抛物线围成的面积可以表示为：S = ∫[1 - √6, 1 + √6] (-2x^2 + 4x + 1) dx•通过计算定积分，可以得到抛物线围成的面积的具体值。
以上是抛物线围成的面积公式的相关内容和例子说明。
通过抛物线的方程、对称轴、顶点的概念，以及定积分的运算，我们可以准确计算抛物线围成的面积。
抛物线上动点p的三角形面积-定义说明解析
抛物线上动点p的三角形面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，抛物线是一种具有特定形状的曲线，其形状类似于开口向上的U形。
它是由一个定点和一条直线（称为准线或直线段）确定的曲线，其中定点被称为焦点，准线表示为直线段AB。
抛物线是一种非常重要的曲线，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将围绕着抛物线上的动点P展开讨论。
在抛物线上，动点P具有自由运动的能力，并且可以在曲线上任意选择不同的位置。
我们将重点研究动点P所形成的三角形的面积，并探究如何计算这个面积。
通过研究动点P在抛物线上的运动以及三角形的面积计算方法，我们可以深入理解抛物线曲线的几何特征，并且可以应用这些知识解决实际问题。
同时，对抛物线上动点P的三角形面积的意义和应用也将在文章中进行探讨。
最后，在总结部分我们将对本文的内容进行总结，并展望未来对抛物线相关问题的研究方向。
本文旨在提供一个清晰的抛物线上动点P三角形面积的计算方法，并希望读者通过阅读本文能够对抛物线的几何特性有更深入的了解。
【1.2 文章结构】本文将分为以下几个部分来探讨抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
每个部分的内容如下：（1）引言：在引言部分，我们将概述本文的主题和研究对象，并介绍文章的结构和目的。
同时，我们也将对抛物线的定义和性质进行简要介绍。
（2）正文：在正文部分，我们将分为三个小节来详细阐述抛物线上动点P的三角形面积的计算方法。
首先，我们会介绍抛物线的定义和性质，包括其数学表达和几何特征。
然后，我们会讨论动点P在抛物线上的运动规律，这一部分将包括动点P在不同位置的情况下的三角形面积的变化规律。
最后，我们将介绍具体的计算方法，包括利用向量、坐标和参数方程等不同的方法来计算动点P的三角形面积。
（3）结论：在结论部分，我们将对前面的研究结果进行总结，并探讨抛物线上动点P的三角形面积的一些意义和应用。
同时，我们也会展望未来可能的研究方向和可进一步发展的领域。
通过以上的安排，我们旨在全面而系统地介绍抛物线上动点P的三角形面积的计算方法，并探讨其应用的可能性，为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
第五课时 抛物线与几何图形面积 教学设计
通过学生的思考，学生上台展示，教师的讲解与总结，让学生掌握利用函数知识解决面积问题的方法
独立思考和体验，自我辩正，形成能力
本节课活动过程中的心得和体会，不断积累学习的经验，通过作业，了解学生学习的情况。
教学过程设计
问题与情境
出示第一张幻灯片，师生课前情感交流
教师出示第二张幻灯片，展示课前热身2个小题
2个小题由学生在2分钟时间内解决，由学生回答结果，教师给予评价
教师留时间给学生思考，可由学生举手讲解
教师出示例1的幻灯片，留时间给学生思考，然后由学生举手上台讲解，教师给予点评与总结
教师出示例2的幻灯片，同样留足够时间给学生思考，可由小组合作讨论，最后派代表举手发言，上台讲解，教师作出评价与总结
第五课时抛物线与几何图形面积教学设计
教
学
目
标
基础性目标
通过对动点的观察，掌握建立图形面积的函数关系式的方法，会求图形面积的最值。
发展性目标
培养学生分析问题，综合运用函数知识解决面积问题的能力。
融通性目标
通过师生合作，生生合作，让学生体会数学学习的乐趣，
改变中等生对压轴题的看法，通过与其他同学交流、活动，初步形成参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【活动4】自我挑战
如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数 的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
教师带领学生一起分析，教师讲解压轴题的板书格式，学生领会
抛物线三角形面积最大值公式
抛物线三角形面积最大值公式在数学中，我们经常需要研究最大化或最小化某个量的问题。
本文将探讨一个有趣的数学问题：如何求解抛物线上的三角形面积的最大值，并给出相应的公式。
问题引入考虑一个抛物线y=ax2+bx+c，我们希望找到一条直线y=mx+n和抛物线所围成的三角形的最大面积。
解决方法为了求解这个问题，我们首先需要确定直线和抛物线的交点。
令二者相交时的x值为x0，则有：ax02+bx0+c=mx0+n化简可得：mx0=ax02+bx0+c−n整理后可得：ax02+(b−m)x0+(c−n)=0这是一个一元二次方程，我们可以根据二次函数的性质求解出x0。
接下来，我们需要计算三角形的面积。
设两条线与x轴围成的三角形面积为S，则有：$$ S = \\frac{1}{2}(\\text{底边} \\times \\text{高}) = \\frac{1}{2}|x_1-x_2|\\times|y_1-y_2| $$求解最大值我们的目标是求解三角形面积的最大值。
根据前面的讨论，我们将三角形的面积公式代入：$$ S = \\frac{1}{2}|x_0-x_1|\\times|y_0-y_1| $$其中，x0为抛物线和直线的交点x坐标，(x1,y1)为抛物线上的点。
将直线方程y=mx+n代入上式，求解最大值问题可以转化为对S的求导问题，即求 $\\frac{dS}{dx_0}=0$。
通过对 $\\frac{dS}{dx_0}$ 求导，并令导数为零，可以得到抛物线三角形面积的最大值。
这个最大面积对应的x坐标即为我们要找的交点x0。
结论通过以上推导和计算，我们得到了抛物线上与给定直线围成的三角形面积的最大值公式。
这个公式可以帮助我们在解决相关数学问题时快速找到最优解。
希望本文的内容能对读者有所启发，也希望读者能在实际问题中灵活运用这些数学知识。
初中数学抛物线与面积问题专题辅导
初中数学抛物线与面积问题抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。
解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为（－1，0）。
点C （0，5）、点D （1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点。
图1（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB 的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为y ax bx c =++2，根据题意得 a b c c a b c -+==++=⎧⎨⎪⎩⎪058，解得a b c =-==⎧⎨⎪⎩⎪145∴所求的抛物线的解析式为y x x =-++245（2）∵C 点坐标为（0，5），∴OC ＝5令y =0，则-++=x x 2450，解得x x 1215=-=，∴B 点坐标为（5，0），OB ＝5∵y x x x =-++=--+224529()，∴顶点M 的坐标为（2，9）过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9∴S S S S MCB OCMN BNM OBC △梯形△△=+- =++--=1259212952125515()()×××××例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB 的一条直角边OA 在x 轴上，二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像过原点、A 点和斜边OB 的中点M 。
图2（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P ，使△PMA 中PA ＝PM ，如果存在，写出P 点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB 的面积为18，∴OA ＝OB ＝6∵M 是斜边OB 的中点，∴OM =32∴点A 的坐标为（6，0）点M 的坐标为（3，3）∵抛物线y ax bx c a =++20()≠ ∴36609330a b c a b c c ++=++==⎧⎨⎪⎩⎪，解得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1320∴解析式为y x x =-+1322， 对称轴为x =3（2）答：在x 轴、y 轴上都存在点P ，使△PAM 中PA ＝PM 。
求抛物线与x轴围成的面积计算方法
求抛物线与x轴围成的面积计算方法
对形如y=ax^2+bx+c,当其与x轴有两个交点时，求其图像与x轴围成的面积的计算方法。
解：设x1,x2是方程的两个根，不妨设x2>x1，当a大于0的时候，开口向上，此时面积计算公式为：
面积S=∫(x1,x2)[0-(ax^2+bx+c)]dx
即：面积S=-∫(x1,x2)(ax^2+bx+c)dx
=-（ax^3/3+bx^2/2+cx）(x1,x2)
=(ax1^3/3+bx1^2/2+cx1)-(ax2^3/3+bx2^2/2+cx2).
若a小于0，即开口方向向下，则面积计算公式为：
面积S=∫(x1,x2)[(ax^2+bx+c)-0]dx
即：面积S=∫(x1,x2)(ax^2+bx+c)dx
=（ax^3/3+bx^2/2+cx）(x1,x2)
=(ax2^3/3+bx2^2/2+cx2)-(ax1^3/3+bx1^2/2+cx1).
举例一：计算抛物线y=x^2-3x+2与x轴所围成的面积。
解：通过解方程，抛物线与x轴有两个交点，即x1=1,x2=2.抛物线开口方向向上，所以：
面积S=-∫(1,2)(x^2-3x+2)dx
=-（x^3/3-3x^2/2+2x）(1,2)
=(1/3-3/2+2)-(8/3-6+4)=1/6平方单位。
举例二：计算抛物线y=-x^2-3x+4与x轴所围成的面积。
解：通过解方程，抛物线与x轴有两个交点，即x1=-4,x2=1.抛物线开口方向向上，所以：
面积S=∫(-4,1)(-x^2-3x+4)dx
=（-x^3/3-3x^2/2+4x）(-4,1)
=125/6平方单位。
求抛物线与x轴围成的面积计算方法
求抛物线与X轴围成的面积计算方法对形如y=ax A2+bx+c,当其与x轴有两个交点时,求其图像与x 轴围成的而积的计算方法。
解：设xl,x2是方程的两个根，不妨设x2>xl,当a大于0 的时候，开口向上，此时面积计算公式为：面积S= f (xl,x2)[0-(ax A2+bx+c)]dx即：面积S=- f (x 1 ,x2)(ax A2+bx+c)dx=-(ax A3/3+bx A2/2+cx) (xl,x2)=(ax 1 人3/3+bx 1 八2/2+cx 1 )-(ax2A3/3+bx2A2/2+cx2).若a小于0,即开口方向向下，则面积计算公式为：面积S= f (x 1 ,x2)[(ax A2+bx+c)-0]dx即：面积S= / (xl ,x2)(ax A2+bx+c)dx=(ax A3/3+bx A2/2+cx) (xl,x2)=(ax2A3/3+bx2A2/2+cx2)-(ax 1 八3/3+bx 1 A2/2+cx 1).举例一：计算抛物线y=x A2-3x+2与x轴所围成的面积。
解:通过解方程，抛物线与x轴有两个交点，即xl=l,x2=2. 抛物线开口方向向上，所以：面积S=-J* (l,2)(x A2-3x+2)dx =-(x A3/3-3x A2/2+2x) (1,2)=(1/3-3/2+2)-(8/3-6+4)= 1/6 平方单位。
举例二：计算抛物线y=-x A2-3x+4与x轴所围成的面积。
解：通过解方程，抛物线与x轴有两个交点，即xl=-4,x2=l.抛物线开口方向向上，所以：面积S= f (-4,l)(-x A2-3x+4)dx=(-x A3/3-3x A2/2+4x) (-4,1)= 125/6平方单位。
专题二十三抛物线与面积问题
专题二十三 抛物线与面积问题知识聚焦面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角．由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线相结合的常见形式之一．解这类问题常用到以下与面积相关的知识：(1)图形的割补； (2)等积变形； (3)等比转化． 例题导航【例1】若抛物线142-+-=m mx x y 经过原点0，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D.2点拨：由于二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则可得m 的值，然后求出A 、B 两点的坐标，进而求出△OAB 的面积．解答：二次函数142-+-=m mx x y 的图象经过原点，则∴==-,1,01m m 二次函数的解析式为.42x x y -=又抛物线与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则A(4，0)、B(2，-4)，OAB ∆∴的面积.84421||21=⨯⨯=⋅=B y OA S 故选B 点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，以及二次函数图象上点的坐标特征和由点的坐标求面积的方法， 【例2】如图，抛物线2)2(21:21--=x y C 与x 轴分别交于0、A 两点，将抛物线1C 向上平移得到,2C 过点A 作x AB ⊥轴交抛物线2C 于点B ，如果由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线2C 的函数解析式为 ( )4)2(21.2+-=x y A 3)2(21.2+-=x y B 2)2(21.2+-=x y C 1)2(21.2+-=x y D 点拨：根据题意可推知由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO 的面积．然后根据抛物线1C 的解析式求得0、A 两点的坐标，从而求得OA 的长度．最后由矩形的面积公式求得AB 的长度，即求得2C 是由抛物线1C 向上平移多少个单位得到的，解答：如图，连接2,C BC Θ是由抛物线1C 向上平移得到的，∴由抛物线、、21C C 直线AB 及y 轴所围成的阴影部分的面积就等于矩形ABCO 的面积．Θ抛物线1C 的解析式是--=2)2(21x y ∴,2抛物线1C 与x 轴分别交于)0,4(、)0,0(A O 两点．2.4.16.4C AB AB OA OA ∴=∴=⋅=∴Θ是由抛物线1C 向上平移4个单位得到的，2C ∴的解析式为,42)2(212+--=x y 即+-=2)2(21x y 2．故选C ．点评：本题主要考查了二次函数的解析式的求法．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标求出线段的长度，从而得出线段之间的关系．【例3】 （2013．泸州）如图①，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为(1，),3-已知抛物线)0(2=/++=a c bx ax y 经过三点A 、B 、O(O 为原点)．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该抛物线的对称轴上，是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如果点P 是该抛物线上x 轴上方的一个动点，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时点P 的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（结果均保留根号）．点拨：(1)直接将A 、O 、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；(2)Θ点A 、0关于对称轴对称，连接AB 交对称轴于点C ，点C 即为所求，求直线AB 的函数解析式，再根据点C 的横坐标值，求纵坐标；(3)设><<-y x y x P ,02)(,(0)，用割补法可表示△PAB 的面积，根据面积的表达式再求取最大值时x 的值．解答：(1)将)0,0(、)3,1(、)0,2(O B A --三点的坐标代人),0(2=/++=a c bx ax y 可得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=++=+-,0,3,024c c b a c b a 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=.0,332,33c b a 故所求抛物线的函数解析式为.332332x x y --= (2)存在．如图②，=--=x x y 332332Θ∴++-,33)1(332x 抛物线的对称轴为直线=x Θ.1-点C 在对称轴直线1-=x 上，△BOC 的周长∴=++=,2,OB CO BC OB 要使△BOC 的周长最小，必须使CO BC +最小．Θ 点0与点A 关于直线1-=x 对称，BOC CA CO ∆=∴,的周长+=OB ∴++=+,CA BC OB CO BC 当B C A 、、三点共线，即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时，+BC CA 最小，此时△BOC 的周长最小．设直线AB 的解析式为,t kx y +=则有⎩⎨⎧-=+=+-.3,02t kt k 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅-=∴-=332,33t k 直线AB 的解析式为--=x y 33⋅332当1-=x 时，∴-=,33y 所求点C 的坐标为⋅--)33,1((3)设),0,02)(,(><<-y x y x P 则=y .①332332x x --如图③，过点P作y PQ ⊥轴于点x PG Q ⊥,轴于点G ，过点A 作PQ AF ⊥于点F,过点B 作PQ BE ⊥于点E ，则⋅=-=y PG x PQ ,由题意，得=--=∆∆∆BEP AFP AFEB PAB s s s s 梯形=⋅-⋅-⋅+BE PE FP AF FE BE AF 2121)(21--+⋅-+++1（21)2(21)21)(3(21x y y y .②32323)3)(++=+x y y x 将①代人,②得=++-⋅-=∆323)33233(,232x x x s PAB ∴⋅++-=+--839)21(233232322x x x 当21-=x 时，△PAB 的面积最大，最大值为,839此时∴=⨯+⨯-=,43213324133y 点P 的坐标为⋅-)43,21( 点评：本题考查了坐标系中点的坐标求法、抛物线解析式的求法以及根据对称性求线段和最小的问题，也考查了在坐标系里表示面积及求面积最；大值等问题．解答本题第(3)问也可以将直线AB 向；上平移至与抛物线相切的位置，联立此时的直线解析式与抛物线解析式，可求唯一交点P 的坐标．【例4】 （2013．三明）如图，△ABC 的顶点坐标分别为A （-6，0）、B(4，0)、C(O ，8)，把△ABC 沿直线BC 翻折，点A 的对应点为D ，抛物线=y c ax ax +-102经过点C ，顶点M 在直线BC 上．(1)证明四边形ABDC 是菱形，并求点D 的坐标； (2)求抛物线的对称轴和函数解析式；(3)在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD 与△PCD 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)根据两点之间的距离公式、勾股定理和翻折的性质可得,AC CD BD AB ===根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标；(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为,b kx y +=根据待定系数法可求得点M 的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数解析式；(3)分点P 在CD 的上面和点P 在CD 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标．解答：(1)),8,0(),0,4(),0,6(C B A -Θ、=∴=+==+=∴AB AC AB .1086,104622AC ．由翻折可得==∴==BD AB CD AC BD AB ,,∴=.AC CD 四边形ABDC 是菱形．.//AB CD ∴∴),8,0(C Θ点D的坐标是(10，8).∴+-=,10)2(2c ax ax y Θ对称轴为直线.5210=--=aax 设点M 的坐标为),,5(n 直线BC 的解析式为∴+=,b kx y ⎩⎨⎧==+.8,04b b k 解得Θ.82.8,2+-=∴⎩⎨⎧=-=x y b k 点M 在直线=y 82+-x 上，.2852-=+⨯-=∴n 又Θ抛物线c ax ax y +-=102经过点C 和点M ，⎩⎨⎧-=+-=∴.25025,8c a a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=∴=.8,52c a 抛物线的函数解析式为.84522+-=x x y (3)存在，△PBD 与△PCD 的面积相等时，点P 的坐标为).38,5(),829,45(21-P P 点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：两点之间的距离，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的应用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的应用．【例5】 （2012．呼和浩特）如图①，抛物线)0(2<++=a c bx ax y 与双曲线xky =相交于点A 、B ，且抛物线经过坐标原点，点A 的坐标为（-2，2），点B 在第四象限内，过点B 作直线x BC //轴，点C 为直线BC 与抛物线的另一交点，已知直线BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E ．(1)求双曲线和抛物线的解析式； (2)计算△ABC 与△ABE 的面积；(3)在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABE 的面积的8倍？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．点拨：(1)将点A 的坐标代入双曲线方程即可得出k 的值，设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 根据双曲线方程可得出m 的值，然后分别求出A 、B 、0的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可；(2)如图②，根据点B 的坐标，结合抛物线方程可求出点C 的坐标，进而可得出△ABC 的面积，先求出直线AB 的解析式，然后求出点F 的坐标及EF 的长，进而根据BEF AEF ABE S s s ∆∆∆+=可得出答案；(3)先确定符合题意的△ABD 的面积，进而可得出当点D 与点C 重合时，满足条件；当点D 不与点C 重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，则可求出 其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点 D 的坐标．解答：(1)Θ点,2(-A 2)在双曲线xky =上，=∴k ∴-.4双曲线的解析式为Θ⋅-=xy 4BC 与x 轴之间的距离是点B 到y 轴距离的4倍，∴可设点B 的坐标为),0)(4,(>-m m m 代人双曲线解析式得∴=.1m 抛物线<++=a c bx ax y (20)过点).0,0(、)4,1(、)2,2(O B A --⎪⎩⎪⎨⎧=-=++=+-∴.0,4,224c c b a c b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.0.,3,1c b a 抛物线的解析式为.32x x y --=Θ)2(抛物线的解析式为∴--=,32x x y 顶点),49,23(-E 对称轴为直线,1(23B x Θ-=,43),42-=--∴-x x 解得Θ.4,121-==x x 点C 的横坐标小于+=∴--∴∆4().4,4(,0ABC S C .1521)24()1=⨯+⨯由A 、B 两点坐标为)2,2(-(1，-4)可求得直线AB 的解析式为.22--=x y 如图②，设抛物线的对称轴与AB 交于点F ，连接AE 、BE ，则点F 的坐标为=-=∴⋅-149)1,23(EF ⨯⨯=+=∴⋅∆∆∆EF S S S BEF AEF ABE 2145=+⨯⨯+-|)||(|21|)||(|横横横横E B EF E A ⋅=⨯⨯=+⨯⨯81534521|)||(|4521横横B A ∴=∴=∆∆.158,815)3(ABE ABE S s Θ当点D 与点C 重合时，显然满足条件；当点D 与点C 不重合时，过点C 作AB 的平行线CD ，其对应的一次函数的解析式为,122--=x y 令--=--2122x x .0)4)(3(.012,32=+-∴=-+∴x x x x x 解得4,321-==x x （舍去）．当3=x 时，,18-=y 故存在另一点D （3，-18）满足条件．综上所述，点D 的坐标为（3，-18）或(-4，-4)．点评：此题属于二次函数的综合题，第(1)问的解答关键是掌握待定系数法的运用，求解第(2)问需要我们会根据函数解析式求两函数图象的交点坐标，求解第(3)问的关键是不要漏解．此类综合题目难度较大，注意逐步分析． 培优训练能力达标1．已知二次函数122-+-=m mx x y 的图象经过原点，与x 轴的另一个交点为A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为( )23.A B ．2 C ．121.D2．抛物线542--=x x y 与x 轴交于点A 、B ，点P 在抛物线上，若△PAB 的面积为27，则满足条件的点P 有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．如图，抛物线56:21+-=x x y C 与x 轴分别交于A 、B 两点，顶点为M ：将抛物线1C 沿x 轴翻折后再向左平移得到抛物线.2C 若抛物线2C 过点B ，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为N ，则四边形AMCN 的面积为( ) A ．32 B ．16 C ．50 D ．404．（2013．河南）如图，抛物线的顶点为P （-2，2），与y 轴交于点A(O ，3)．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点),2,2(-'P 点A 的对应点为,A '则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为 ．5．（2013．成都）在平面直角坐标系xOy 中，直线k kx y <=为常数）与抛物线2312-=x y 交于A 、B 两点，且点A 在y 轴左侧，点P 的坐标为(0，-4)，连接PA 、PB.有以下说法：.2PA PO =①②;PB 当0>k 时，))((BO PB AO PA -+的值随k 的增大而增大；③当33-=k 时，.2BO BP =PAB BA ∆④;面积的最小值为.64其中，正确的是 （填序号）．6．（2013．佛山）如图①，抛物线+=2ax y ,C bx +经过点).3,4(、)0,3(、)3,0(C B A ⋅ (1)求抛物线的函数解析式； (2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积S （图②中的阴影部分）．7．（2013．绥化）如图，抛物线))(2(1a x x ay +-=)0(>a 与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．(1)若抛物线过点),2,2(--M 求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，解答下面的问题：①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使EH CH +的值最小，直接写出点H 的坐标，8．(2013．白银)如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数1)12(2++-+=k x k x y 的图象与x 轴相交于0、A 两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B ，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标；(3)对于(2)中的点B ，在此抛物线上是否存在点P ，使?90ο=∠POB 若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB 的面积；若不存在，请说明理由.拓展提升9．顶点为P 的抛物线322+-=x x y 与y 轴相交于点A ，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P 旋转o 180得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y 轴相交于点B ，则△PAB 的面积为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．610．如图，抛物线x x y C 2:21+-=与x 轴分别交于A 、0两点，顶点为M.将抛物线1C 关于y 轴对称到抛物线C 2，则抛物线2C 过点0，与x 轴的另一个交点为B ，顶点为N ，连接AM 、MN 、NB ，则四边形AMNB 的面积为( )A.3 B ．6 C ．8 D ．1011．(2012．衡阳)如图，A 、B 两点的坐标分别是(8，0)、(O ，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO(O 为坐标原点)方向向点0匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为)3100(<<t t 秒．解答如下问题： (1)当t 为何值时，?//BO PQ (2)设△AQP 的面积为S ．①求S 与t 之间的函数解析式，并求出S 的最大值；②若我们规定：点P 、Q 的坐标分别为,(1x ),,(、)221y x y 则新坐标),(1212y y x x --称为 “向量PQ”的坐标当S 取最大值时，求“向量PQ ”的坐标.12．（2013．兰州）如图，在平面直角坐标，系xOy 中，A 、B 为x 轴上的两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分1C 与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分2C 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为),23,0(-点M 是抛物线)0(32:22<--=m m mx mx y C 的顶点． (1)求A 、B 两点的坐标；(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； (3)当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．魔法赛场【例】 (2013．鄂州)在平面直角坐标系中，已知),1,5(),2,3(11-N M 线段11N M 平移至线段MN 处（注：1M 与1,N M 与N 分别为对应点）．(1)若),5,2(-M 请直接写出点N 的坐标； (2)在(1)的条件下，点N 在抛物线+=261x y k x +332上，求该抛物线对应的函数解析式；(3)在(2)的条件下，若抛物线顶点为B ，与y 轴交于点A ，点E 为线段AB 的中点，点),0(m C 是y 轴负半轴上一动点，线段EC 与线段BO 相交于点F ，且,3:2:=OF OC 求m 的值；(4)在(3)的条件下，动点P 从点B 出发，沿x 轴正方向匀速运动，点P 运动到什么位置时（即BP 长为多少时），将△ABP 沿边PE 折叠，△APE 与△PBE 重叠部分的面积恰好为此时的△ABP 面积的?41求此时BP 的长度．点拨：(1)根据点1M 移动到点M 时坐标的变化情况，将点1N 的坐标进行相应变化，即可求出点)2(;N 将点N 的坐标代入函数的解析式即可求得k 值；(3)配方后确定点E A B 、、的坐标，根据:CO ,3:2=OF 用m 表示出线段CO 、FO 和BF 的长，利用ABC BFC EBF BEC s S S S ∆∆∆∆=+=21得到有关m 的方程，求得m 的值即可；(4)分、APE BPE ∠>∠APE BPE APE BPE ∠<∠∠=∠、三种情况分类讨论即可，解答：(1)由于图形平移过程中，对应点的平移规律相同，由点1M 到点M 可知，点的横坐标减5，纵坐标加3，故点N 的坐标为（5-5，-1+3），即点N 的坐标为(0，2)．)2,0()2(N Θ在抛物线k x x y ++=332612上，∴=∴.2k 抛物线的解析式为.233261++±=x y,)32(61233261)3(22+=++=x x x y Θ).1,3(),2,0(),0,32(--∴E A B 如图②，=-=∴=FO m CO m C OF CO ,),,0(,3:2:Θ=+=+=-∆∆∆BFC EBF BEC S S S m BF m Θ.2332,23⨯⨯=+-+∴∆2121)1)(2332.(21,21m m S ABC ).2(32m -整理，得1,02-=∴=+m m m 或=m .1,0.0-=∴<m m Θ(4)在Rt△ABO 中，===∠322tan BO AO ABO .42,30,33===∠∴AO AB ABO O ①当>∠BPE APE ∠时，则对折后如图③，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，连接E B A Θ.1为AB 的中点，=⋅==∴∆∆∆∆EHP ABP BEP AEP s S s s Θ21⋅===∴∆∆∆∆∆ABP BHP EHP n A ABP s S s S S 41,411∴===∴.1,1HB EH HP H A四边形BPE A 1为平行四边形．,2211====∴AB E E A BP 即=BP 2；②当APE BPE ∠=∠时，重叠部分面积为△ABP 面积的一半，不符合题意；③当<∠BPE APE ∠时．则对折后如图④，1A 为对折后A 的对应点，△EHP 是重叠部分，E Θ为AB 中点，,4121ABP EHP ABP BEP AEP s s S s s ∆∆∆∆∆=⋅==∴Θ=∴⋅===∴∆∆∆∆BH S S S s ABP HP A EHP EBH 411,121,1===AE HA EH HP 又,2.21=∴AP AP 此时P 点与0点重合，=∴BP .32综上所述，2=BP 或.32点评：此题主要考查了点的平移、二次函数解析式的确定、图形折叠问题及图形面积等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大． （2013．徐州）如图，二次函数-+=bx x y 22123的图象与x 轴交于点A （-3，O ）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E. (1)请直接写出点D 的坐标：(2)当点P 在线段AO （点P 不与A 、0重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？求出这个最大值；(3)是否存在这样的点P ，使△PED 是等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由，。
抛物线弓形面积公式
抛物线弓形面积公式摘要：1.抛物线弓形面积的定义和意义2.抛物线弓形面积的计算方法3.抛物线弓形面积公式的推导4.公式的应用实例正文：抛物线弓形面积公式是数学中一个重要的公式，它可以用来计算抛物线弓形的面积。
抛物线弓形面积是指在抛物线上的一段区间内，曲线下方的平面区域的面积。
这个面积可以用抛物线顶点的纵坐标减去抛物线底部一点的纵坐标，再乘以两点间的横坐标差的一半来计算。
抛物线弓形面积的计算方法如下：假设抛物线的方程为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c 为常数，且a ≠ 0。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
抛物线上两点分别为(x1, y1) 和(x2, y2)，则抛物线弓形面积S 可以计算为：S = 1/2 * (y1 - y2) * (x1 - x2)或者S = 1/2 * [(ax1^2 + bx1 + c) - (ax2^2 + bx2 + c)] * (x1 - x2)抛物线弓形面积公式可以从以下几个方面推导出来：1.将抛物线沿着x 轴方向平移，使其顶点与原点重合，此时抛物线的方程为y = ax^2。
2.在x 轴上选取两点，分别为(x1, 0) 和(x2, 0)，计算两点间的面积。
3.将抛物线沿着x 轴方向平移，使其顶点与原点重合，计算平移后的抛物线弓形面积。
4.对比两次计算得到的面积，可以发现它们之间的关系，从而得到抛物线弓形面积公式。
抛物线弓形面积公式在实际应用中具有很大的实用性，例如在物理学、工程学等领域，可以用来计算抛物线形状物体的面积、体积等。
以下是一个应用实例：假设我们需要计算一个抛物线形状的水池的面积。
已知水池的方程为y = 2x^2，顶点坐标为(0, 0)，我们需要计算的是x ∈ [0, 1] 范围内的水池面积。
首先，根据抛物线弓形面积公式，计算出区间[0, 1] 内的水池面积：S = 1/2 * [(2 * 0^2) - (2 * 1^2)] * (1 - 0) = 1所以，这个抛物线形状的水池的面积为1。
求抛物线与直线形成的面积（数学）
求抛物线与直线形成的⾯积（数学）应该是求定积分的但是还没研究很透怎么⽤定积分实现就找了⼀个公式s = -(y2-y1)/pow(x2-x1, 2)*pow(x3-x2, 3)/6以下是Discuss中的详细分析：设直线⽅程：y=kx+t (1)抛物线⽅程：y=ax^2+bx+c (2)已知抛物线顶点p1（x1，y1），两线交点p2（x2，y2）和p3（x3，y3）斜率k=(y3-y2)/(x3-x2) (3)把p3点代⼊（1）式结合（3）式可得：t=y3-(k*x3)⼜因为p1是抛物线的顶点，可得关系：x1=-b/2a即b=-2a*x1 (4)把p1点代⼊（2）式结合（4）式可得：a*x1*x1-2a*x1*x1+c=y1化简得c=y1+a*x1*x1 (5)把p2点代⼊（2）式结合（4）式和（5）式可得：a=(y2-y1)/((x1-x2)*(x1-x2))于是通过3点求出了k，t，a，b，c即两个⽅程式已求出题⽬时求⾯积s通过积分可知：s=f（x2->x3）(积分符号)（ax^2+bx+c-（kx+t））=f（x2->x3）(积分符号)（ax^2+（b-k）x+c-t）=[a/3*x^3+(b-k)/2*x^2+(c-t)x](x2->x3)=a/3*x3*x3*x3+(b-k)/2*x3*x3+(c-t)*x3-(a/3*x2*x2*x2+(b-k)/2*x2*x2+(c-t)*x2)化简得：⾯积公式：s=-(y2-y1)/（(x2-x1)*(x2-x1)）*（(x3-x2)*(x3-x2)*(x3-x2)）/6;1 # include <stdio.h>2 # include <math.h>3 typedef long long LL;45void run()6 {7double x1, x2, x3, y1, y2, y3;8double area;9int p;10 scanf("%d", &p);11while(p--)12 {13 scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &x1, &y1, &x2, &y2, &x3, &y3);14double k, b, a;15double s = -(y2-y1)/pow(x2-x1, 2)*pow(x3-x2, 3)/6;16 printf("%.2lf\n", s);17 }18 }1920int main(void)21 {22 run();2324return0;25 }View Code。
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例：抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C. 点D是第二象限 抛物线上一动点，连接BD、CD，求 △BCD面积的最大值，并求此时点D的 坐标. 变：过点D作x轴的垂线 交BC于点E，求线段 DE长的最大值.
D E
例：抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C. 点P(-2，3)在抛 物线上.抛物线上是否存在一点Q，使 △BCQ的面积与△BCP的面积相等. 若 存在，求出点Q的坐标；若不存在，试 说明理由.
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例：抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C. 点P(-2，3)在抛 物线上.直线BC上是否存在一点Q，使 S△BPQ:S△CPQ=1:3. 若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，试说明理由.
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