上海市奉贤区2019高三一模数学试卷

上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷

2018.12

一、填空题

1. 已知}13|{<=x x A ，)}1lg(|{+==x y x B ，则=B A ；

2. 双曲线1322

=-y x 的一条渐近线的一个方向向量),(v u =，则=v u ； 3. 设函数c x f y x +==2)(的图像经过点)5,2(，则)(x f y =的反函数=-)(1x f ；

4. 在5)2(x

x -的展开式中，x 的系数为 ；

5. 若复数)43)((i i a z ++=（i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数z 的共轭复数的模等于 ；

6. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是 ；

7. 在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，若S c b a 3)(222=++，则角B 的值为 ；（用反正切表示） 8. 椭圆142

2=+t

y x 上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为 ； 9. 函数)(x g 对任意的R x ∈，有2)()(x x g x g =-+，设函数2

)()(2x x g x f -=，且)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，若0)2()(2≤-+a f a f ，则实数a 的取值范围为 ；

10. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支。

十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸

十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥

天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年；

11. 点P 在曲线192522

=+y x 上运动，E 是曲线第二象限上的定点，E 的纵坐标是8

15，

)0,0(O ，)0,4(F ，若OE y OF x OP +=，则y x +的最大值是 ；

12. 设),(11y x A ，),(22y x B 是曲线y x y x 4222-=+的两点，则1221y x y x -的最大值为 ；

二、选择题

13. 下列以行列式表达的结果中，与)sin(βα-相等的是（ ） A. βαβαcos cos sin sin - B. αβαβcos sin sin cos C. βαβαcos cos sin sin D. β

βααcos sin sin cos - 14. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）

A. 充分非必要条件

B. 必要非充分条件

C. 充要条件

D. 非充分也非必要条件

15. 各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若31lim

<+-∞→n n n n n a S a S ，则q 的取值范围是（ ）

A. )1,0(

B. ),2(+∞

C. ),2[]1,0(+∞

D. )2,0(

16. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足3

21211x x x =+，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合},100|||{Z x x x M ∈≤=，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（ ）

A. 25

B. 50

C. 51

D. 100

三、解答题

17. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ，AC AB =，D 是BC 的中点。

（1）求证：⊥BC 平面11AD A ；

（2）若 90=∠BAC ，4=BC ，三棱柱111C B A ABC -的体积是38，

求异面直线D A 1与1AB 所成角的大小。

18. 函数)0,0()s i n ()(<<->+=ϕπωϕωx A x f 在一个周期内的图像经过)0,6

(π

B ，)0,32(

πC ，)1,4

(πD 三点，求)sin()(ϕω+=x A x f 的表达式。

19. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数)(x f 与时刻x （时）的函数关系为12|)1(log |)(25++-+=a a x x f ，]24,0[∈x ，其中a 为空气治理调节参数，且)1,0(∈a 。

（1）若2

1=a ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中)(x f 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？

20. 已知抛物线2x y =上的A 、B 两点满足2=⋅，点A 、B 在抛物线对称轴的左右两侧，且A 的横坐标小于零，抛物线顶点为O ，焦点为F 。

（1）当点B 的横坐标为2，求点A 的坐标；

（2）抛物线上是否存在点M ，使得)0(||>=λλMO MF ，若不存在，请说明理由；

（3）设焦点F 关于直线OB 的对称点是C ，求当四边形OABC 面积取得最小值时点B 的坐标。

21. 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列}{n a 的前n 项和m n a S =，则称数列}{n a 是“回归数列”。

（1）前n 项和为n n S 2=的数列}{n a 是否是“回归数列”？请说明理由；

（2）设}{n a 是等差数列，首项11=a ，公差0

（3）是否对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“回归数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a += )(*∈N n 成立，请给出你的结论，并说明理由。