激光原理第二章答案解析

第二章 开放式光腔与高斯光束
1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为121 00 。

证明：设入射光线坐标参数为
11, r，出射光线坐标参数为22
, r



，根据几何关系可知

211122, sinsinrr 傍轴光线sinB则1122



，写成矩阵形式

21
21
1

2

1 0
0
rr


















得证

2. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为121 0 1d。

证明：设入射光线坐标参数为
11, r，出射光线坐标参数为22
, r



，入射光线首先经界面

1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结
论和自由传播的光线变换矩阵可得

212121121 01 01 0 0 0 1rrd 化简后21
21

1

2
1 0 1d
rr



















得证。

3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且
两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：
其往返矩阵为：
由于是共焦腔，则有
12
RRL
将上式代入计算得往返矩阵




12

1010110101nnnnnnrLrLA B

C D
TTTTT

可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件
12
01gg

其中121211,1LLggRR

对平凹共轴球面镜腔有
12
,0RR。

则1221,1LggR，再根据稳定性条件

12
01gg
可得22011LRRL。

对双凹共轴球面腔有，
12
0,0RR

则12121,1LLggRR,根据稳定性条件

12
01gg
可得11221212010 01 1RLRLRLRLRRLLRRL 或。

对凹凸共轴球面镜腔有，
12
0,0RR

则12121,1,0LLggRR根据稳定性条件

12
01gg
可得

12
1

12
0111RLRRRLLRL









。

12
1010
1122110101ABLL
TCDRR









1001T







5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长
0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜
1M和2M的曲率半径分别为1R和2R，12
1m,2mRR

工作物质长0.5ml，折射率1.52
当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l,工作物质左右两
边剩余的腔长分别为
1
l

和2l，则12lllL。设此时的等效腔长为L，则光在腔先经历自由传

播横向距离
1
l

，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l，再在工作物

质右侧面折射，最后再自由传播横向距离
2
l

，则

所以等效腔长等于
21
()llLllLl

再利用稳定性条件

由(1)解出 2m1mL
则
所以得到：
1.17m<2.17mL
6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么
范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面
内传输的子午光线，式(2.2.7)中的(cos)/2FR，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，
/(2cos)FR
，为光轴与球面镜法线的夹角。

0111 (1)21LL




1
0.5(1)0.171.52LLL

21
21

10
11101110010100101101Llll

l
ll







图2.1
解：

22
2
2
2

1010
11211010111442132221ABll

CD
FFllllFFFllFlF















2
2
1312ll

ADFF

稳定条件
2
2
3111ll

FF


左边有 22320210llFFllFF 所以有
21
ll
FF
或

对子午线： 对弧矢线：
对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得
子午光线

弧矢光线
任意光线需同时满足子午线与弧矢线的条件得
7. 有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，方形孔边长20.12cmda，λ=632.8nm，

cos2RF
子午
2cos

R
F
弧矢

424
3333
lRlRl或

43343
923
lRlRl或

3323l
RlRl或

0
4e1310glld

镜的反射率为
12
1,0.96rr

，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果

想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择
00
TEM

模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作

一个大略的估计。氦氖增益由公式

估算（l为放电管长度，假设lL）
解：
01TEM模为第一高阶横模，并且假定00TEM和01
TEM

模的小信号增益系数相同，用

0
g

表示。要实现单模运转，必须同时满足下面两个关系式

根据已知条件求出腔的菲涅耳数
由图2.5.5可查得
00TEM和01
TEM

模的单程衍射损耗为

氦氖增益由公式
计算。代入已知条件有0e1.075gl。将0egl、
00、01


、1r和2r的值代入I、II式，两式的

左端均近似等于1.05，由此可见式II的条件不能满足，因此该激光器不能作单模运转。
为了获得基模振荡，在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来增加衍射损耗。若满足II式的条
件，则要求

01
0.047
根据图2.5.5可以查出对应于
01


的腔菲涅耳数 '0.90N

由菲涅耳数的定义可以算出相应的小孔阑的边长
62'2300632.8100.90.83mmaLN


同理利满足I式的条件可得20.7mma
因此，只要选择小孔阑的边长满足0.720.83mmmma即可实现
00
TEM

模单模振荡。

0
0
1200

1201

e(10.003)1 Ie(10.003)1 IIglglrrrr



22
70.061.930632.810aNL



8.37006011010





0
4e1310glLd
