激光原理第二章答案

第二章开放式光腔与高斯光束

1.证明如图所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为

1

2

1 0

η

η

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

。

证明：设入射光线坐标参数为

11

,rθ，出射光线坐标参数为22

,rθ，根据几何关系可知

211122

,sin sin

r rηθηθ

==傍轴光线sinθθ则1122

ηθηθ

=，写成矩阵形式

21

21

1

2

1 0

r r

θθ

η

η

⎡⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥

=

⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

⎢⎥

⎣⎦

得证

2.证明光线通过图所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为

1

2

1

0 1

d

η

η

⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

。

证明：设入射光线坐标参数为

11

,rθ，出射光线坐标参数为22

,rθ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最

后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得

212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡

⎤

⎡⎤⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣

⎦

得证。 3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

12R R L ==

将上式代入计算得往返矩阵

1

21122

110101A B L L T C D R

R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

1001T -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

()

()()1

2

101

0110101n n

n

n n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。

于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。

解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中1212

11,1L L

g g R R =--

=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。则122

1,1L

g g R ==-，再根据稳定性条件

1201g g <<可得2

2011L

R R L <-

<>⇒。 对双凹共轴球面腔有，120,0R R >>则1212

1,1L L

g g R R =-

=-,根据稳定性条件1201g g << 可得11

221

212010 01 1R L R L R L R L R R L L R R L

<<⎧>⎧⎪

<<⎨⎨>⎛⎫⎛⎫<--<⇒ ⎪⎩⎪+> ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 或。 对凹凸共轴球面镜腔有，

120,0R R ><则1212

1,1,0L L

g g R R =-=>-根据稳定性条件1201g g << 可得121120111R L R R R L L R L ⎛⎫⎛⎫

<--<⇒ ⎪⎪⎝⎭+⎝><⎭

⎧⎨⎩。

5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-= 工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η=

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l ,工作物质左右两边剩余的腔长分别为1l 和2l ，则12l l l L ++=。设此时的等效腔长为L '，则光在腔先经历自由传播横向距离1l ，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l ，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离2l ，则

所以等效腔长等于 21()l l

L l l L l η

η

'=++=-+

再利用稳定性条件

由(1)解出 2m 1m L '>> 则

011 1 (1)

21L L ''⎛

⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝

⎭⎝⎭1

0.5(1)0.171.52

L L L ''=+⨯-

=+21211011101110010100101101L l l l l l l ηηη⎡⎤

'⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

⎡⎤

++⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦