九年级数学上册第四章图形的相似5相似三角形判定定理的证明判断两个相似三角形中的错误素材北师大版讲解
北师大版九年级数学上册第4章 相似三角形判定定理的证明
∴易得 AD=AF,∠DAE=∠FAE=α.
∴∠DAF=2α=∠BAC.
∵ = , = , ∴
∴ ∼ .
=
,
例 4: 在△ABC中,AB=AC,点 D,E在BC 边上,∠BAC=2∠DAE=2α.
(2)如图②,在(1)的条件下,若α=45°,连接CF,求证: ² = ² + ².
∴ = ⋅ =
∵ =
− ⋅ = − ,
⋅ = × × = ,
∴当 = 时, − = × ,整理得 ² − + = ,解得 ₁
EF 是直角三角形,. ∴ ² = ² + ².
∵D,F关于直线AE 对称,∴易得 DE=EF. ∴ ² = ² + ².
【题型三】和相似有关的动点问题
例 5: 如图,在直角梯形 ABCD 中,AD=3,AB=11,BC=6,AB⊥BC,
点 P是线段AB 上一动点,如果满足△ADP 和△BCP 相似,求线
点 B以1cm/s的速度移动,点 Q从点 B 出发沿 BC 边向点 C以2cm/s的速度移动
(其中一点到达终点，另一点也停止运动)，设移动时间为 ts.
(1)如果 P、Q 分别从 A、B 两点同时出发，那么几秒时，△PBQ的面
积等于△ABC面积的 ?
解: (1)由题意得 = , = ,则 = − ,
求AB 的长.
解: ∵∠A = ∠A,∠ABD = ∠C,
∴△ABD∽ , ∴
第四章+图形的相似相似三角形判定定理的证明+课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册
考向3 网格中的相似（结合位置关系）
第7题图
7.(2022·河北市)如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点 ， 的连线与钉点 ， 的连线交于点 ，则：
（1） 与 是否垂直?____（填“是”或“否”）；
是
（2） _ ___.
中考热点1 正方形中的相似（多结论问题）
C
A. 平分 B. C. D.
2.如图，已知 .求证: .
证明： ， ， ， ， .
3.如图所示，在 中， ， .
（1）若 ，求 的长;
解： ， ， ， ，
（2）若 ，求 的长.
[答案] ， .
4.如图， 与 都是等边三角形， ，下列结论中: ; ; .正确的序号是______.
解：③理由如下： ， ， ，又 ， .选①也可以.
考向1 相似的条件与判定
第5题图
5.如图，无法保证 与 相似的条件是( )
B
A. B. C. D.
考向2 相似的性质
第6题图
6.(2022·武威市)如图，在矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 __ .
[答案] 过点 作 于点 ，连接 .
四边形 是平行四边形， ， ，
平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， . ， ， .
课后强化
1.(2022·山东济南期中)如图，在四边形 中，已知 ，则补充下列条件后不能判定 和 相似的是( )
（1）当四边形 是矩形时，如图1，求证: ; ；
解：连接 ，过点 作 于点 四边形 是矩形， ， 平分 ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . ， ， .
（2）当四边形 是平行四边形时，如图2，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明.
5_相似三角形判定定理的证明_教案2
第四章图形的相似5．相似三角形判定定理的证明一、学生知识状况分析“相似三角形判定定理的证明”是“探讨三角形相似的条件”以后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识，对相似三角形已有必然的熟悉，而且在前一节课的学习中，以充分经历了猜想，动手操作，得出结论的进程。
本节要紧进行相似三角形判定定理的证明，证明进程中需添加辅助线，对学生来讲具有挑战性，需要通过已有的知识储蓄，相似三角形的概念和构造三角形全等的方式完成证明进程。
二、教学任务分析本节共一个课时，本节是从证明相似三角形判定定理一、两角别离相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方式，为后续证明判定定理2,3打下基础。
三、教学进程分析本节课设计了个教学环节：第一环节：温习回忆,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：动手实践，推理证明；第四环节：方式选择，合理应用；第五环节：课堂小结，布置作业。
第一环节：温习回忆，导入课题内容：在上节课中，咱们通过类比两个三角形全等的条件，寻觅并探讨判定两个三角形相似的条件，咱们得出的结论是如何的？您能证明它们必然成立吗？目的：通过学生回忆温习已得结论入手，激发学生学习爱好。
成效：激发了学生的求知欲和好奇心，激起了学生探讨活动的爱好。
第二环节：动手操作，探求新知内容：命题一、两角别离相等的两个三角形相似。
如何对文字命题进行证明？与同伴进行交流.目的：通过学生回忆证明文字命题的步骤入手，引导学生进行画图，写出已知，求证。
第一步：引导学生依照文字命题画图，第二步：依照图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明进程。
（分析此刻能说明两个三角形相似的方式只有相似三角形的概念，咱们能够利用这一线索进行探讨，已知两角对应相等，依照三角形内角和定理能够推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，咱们只要再证明三边对应成比例即可。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
北师大版九年级上册数学《 相似三角形判定定理的证明 》说课稿
说课稿
目录
01. 新课导入
03. 示范演示 05. 课堂总结 07. 归纳知识
02. 指导学习
04. 合作学习
06. 拓展知识
08.
相似三角形判 定定理的证明
敬爱的各位评委、老师们：
大家好！我今天的说课内容是初中数学北师大版九年级上 册 第四章 图形的相似第5节《相似三角形判定定理的证 明》说课。下面我将从说教材、说学情、说教学目标、说 教学重难点、说教法与学法、说教学过程、说板书设计以 及说教学反思这八个方面进行详细的说课。
谢谢
07说板书Leabharlann 计相似三角形判定定理的证明
1. 相似三角形判定定理的定义 2. 证明思路和关键步骤 3. 比例关系和几何性质的运用
08
说教学反思
本节课通过引导学生自主学习、合作学习的方式，培养 了学生的独立思考和团队合作能力。通过示范演示和指 导，帮助学生理解了相似三角形判定定理的证明过程。 同时，通过拓展问题的设置，培养了学生的应用能力。 在教学过程中，学生的参与度较高，积极思考和讨论， 达到了预期的教学目标。但在时间控制上需要注意，确 保每个环节的时间安排合理，以充分发挥学生的主体性 和积极性。另外，教师在引导学生进行证明时应注重提 问和引导，激发学生的思考和探索，让他们更好地理解 和运用相似三角形判定定理。
指导学习
3、指导学习 - 教师对学生的学习进行指导和辅导，解答他们在 学习过程中遇到的问题，引导他们理解证明的关键 步骤和思路。 - 教师提醒学生注意利用已知条件和几何性质进行 推理，例如利用角度相等和比例关系等。
示范演示
4、示范演示 - 教师进行示范演示，展示相似三角形判定定理的 证明过程，让学生更加清晰地理解证明的思路和方 法。 - 教师使用具体的数学符号和推理步骤，逐步展示 证明过程，并解释每一步的推理依据。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第五节相似三角形判定定理的证明
三角形相似
转化证明
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
∴PPCF
=
PE PC
.
∴
PC2=PE·PF.∵
PC=PB，∴
BP2=PE·PF.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图在四边形ABCD中，AB=AD.AC与BD交于点E. ∠ADB=∠ACB. 求证：AD2=AC·AE.
感悟新知
证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB. ∴AABC＝AAEB.又∵AB＝AD，∴AADC＝AADE. ∴AD2＝AC·AE.
判定定理3是利用判定定理2证明的，体现了数学的 转化思想.
感悟新知
知1－练
例 1 如图4-5-1，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，
AC=CD，AB= 14CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽ △CED. 解题秘方：紧扣相似三角形的三种判定
方法，结合已知条件解决 问题.
感悟新知
知1－练
(1)求证： △ADF∽△DEC； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长.
外一点, 且∠1=∠2，∠3=∠4， 则△ABC与△DBE是 否相似？说明理由.
感悟新知
解：△ABC 与△DBE 相似，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△BAD∽△BCE. ∴BBAC＝BBDE，即BBDA＝BBCE. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC. ∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC∽△DBE.
初三数学九年级上册知识点——图形的相似
九年级数学上册知识点图形的相似一、成比例线段1.定义：（1）线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
2.定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0),那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b二、平行线分线段成比例1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
2.平行于三角形一边的直线与其他两边相交。
截得的线段成比例。
三、相似多边形定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应边的比叫做相似比。
四、探索三角形相似的条件1.两角分别相等的两个三角形相似。
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3.三边成比例的两个三角形相似。
4.概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
五、相似三角形判定定理的证明判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两角对应相等，两三角形相似。
(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
六、利用相似三角形测高1.利用阳光下的影子2.利用标杆3.利用镜子的反射七、相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。
北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教学设计
在课堂小结环节，引导学生总结相似三角形的判定定理及其应用，反思自己在解决问题过程中的优点和不足。此外，教师要对学生的学习情况进行点评，给予鼓励和指导。
7.课后作业，巩固成果
布置适量的课后作业，让学生在课后对所学知识进行巩固。同时，鼓励学生进行自主探究，发现相似三角形的其他性质和应用。
（一）教学重难点
1.理解并掌握相似三角形的判定定理，能够准确地判断两个三角形是否相似。
2.能够运用相似三角形的判定定理解决实际问题，提高数学应用能力。
3.掌握几何证明的方法和技巧，培养学生的逻辑推理能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣
在教学伊始，通过展示生活中的相似图形，如建筑物的立面图、摄影作品中的构图等，让学生感受相似三角形在现实生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。
3.对相似三角形的判定定理进行详细讲解，结合实际例题，让学生理解并掌握定理的内涵。
4.通过变式训练，让学生了解相似三角形判定定理在不同题型中的应用。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，让他们针对相似三角形的判定定理进行讨论，探讨定理的适用范围和注意事项。
2.各小组分享讨论成果，教师进行点评和指导。
（二）过程与方法
1.采用探究式教学方法，引导学生通过观察、分析、归纳等过程，发现相似三角形的判定定理。
2.通过小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
3.设计丰富的例题和练习题，让学生在解决问题的过程中，掌握相似三角形的判定方法和解题技巧。
4.注重培养学生的几何直观，通过画图、观察、推理环节，提高学生的几何素养。
3.结合生活实际，找一些含有相似三角形的事物，如建筑物的立面图、摄影作品等，并运用本节课所学的相似三角形判定定理进行分析，将分析结果以文字或图片形式展示。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 相似三角形判定定理的证明
AD A' C'
AE A' C'
∴ AE = A′C′ .
而 ∠A = ∠A′，
∴ △ADE ≌△A′B′C′.
∴ △ABC∽△A′B′C′.
D B
B'
A E
A' C C'
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中，AB BC AC .
AB BC AC
求证：△ABC ∽ △A'B'C' .
九年级上册数学（北师版）
第四章 图形的相似
*4.5 相似三角形判定定理的证明
复习导入 问题：相似三角形的判定方法有哪些？
① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似.
探究新知
1 证明相似三角形的判定定理
在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节
∠1=∠B，∠2 =∠C，AD = AE . (平行于三角形一边的
AB AC
直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).
A′
过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 B′
AD = CF (平行于三角形一边的直线与其他两 A
AB CB
边相交，截得的对应线段成比例).
D1 2
∴
AE = CF . AC CB
C
∴ AB = 4.
DA
例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2， 当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似．
A 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = 2 ，
北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4.5相似三角形判定定理的证明
4.5 相似三角形 判定定理的证明
回顾与复习
相似三角形的判定方法:
两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
探究1
知识要点
角 A 角 A
√
两角对应相等，两三角形相似.
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′， 那么，△ABC ∽△ A′B′C′. A
B B '， 这两个三角形一定会相似吗？
不会
应用
AB 7 AC 14 7 , , 解： A' B' 3 A' C ' 6 3
两个三角形的相似比是多少？
AB AC . A' B ' A'C '
又A A '，
ABC
∽A ' B ' C '.
探究3
知识要点
边S 边S 边S A′
AB BC AC . DE EF DF
∴△ ABC ∽ △ ADE.
(三条对应边成比例的两个
三角形相似.)
如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? 你用什么方法来支持你的判断?
解:如图,设小正方形的边 长为1,由勾股定理可得: A
C A′ B′
B
AB 8 , BC 2 10 , AC 2 2 ; AB 4, BC 10, AC 2;
√
三边对应成比例，两三角形相似. 如果
AB BC AC , A B BC AC
那么，△ABC∽△A′B′C′. B′
A
C′
B
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案：相似三角形判定定理的证明
北师大版九年级数学上册《图形的相似》导学案相似三角形判定定理的证明【学习目标】1.了解相似三角形判定定理会证明相似三角形判定定理；2.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力.【知识梳理】1.两角 的两个三角形相似. 2.两边 且 的两个三角形相似.3.三边 的两个三角形相似.【典型例题】知识点一：两角分别相等的两个三角形相似.1.已知：如图,∠ABD=∠C ，AD=2, AC=8，求AB.知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D 为AB 上一点,且AD=23AB,在AC 上取一点E,使以A. D. E 为顶点的三角形与ABC 相似,则AE 等于( )A. 6.4B. 10C. 6.4或10D. 以上答案都不对知识点三：定理 三边成比例的两个三角形相似.3.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）【巩固训练】1. 如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点F ，则下列结论一定正确的是（ ）A. =B.C.D.2如图，矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝10，P 为CD 边上的动点，当DP ＝ 时，△ADP 与△BCP 相似2题1题图3.如图，在等边三角形 ABC 中， D ， E ， F 分别是三边上的点， AE = BF = CD ，那么△ABC 与△DEF 相似吗？ 请证明你的结论.4.已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.【拓展延伸】5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF=∠A ．（1）找出图中一对相似的三角形，并证明（2）求证：BC AB CE BD ．6.如图，AB ∥CD ，AC 与BD 交于点E ，且∠ACB ＝90°，AB ＝6，BC ＝6，CE ＝3． （1）求CD 的长；（2）求证：△CDE ∽△BDC ．4题图 A D B E C F。
4.5相似三角形判定定理的证明(教案)
在今天的教学中，我发现学生们对相似三角形判定定理的理解存在一些挑战。首先，他们在识别对应边和对应角时遇到了困难，这说明我们在教学中需要更多地强调这一点，可能通过更多的图形示例和实际操作来加强学生的直观感受。
我还注意到，当涉及到实际应用问题时，学生们在将理论知识应用到解决问题上显得有些犹豫不决。这可能是因为我们平时在教学中缺乏将理论联系实际的机会。因此，我计划在未来的课程中，引入更多的生活实例，让学生看到数学知识是如何在现实世界中发挥作用的。
-能够运用相似三角形的性质和判定定理进行简单的几何证明。
举例：通过比较两个具体的三角形，强调在判定相似时，必须满足两边对应成比例且夹角相等的条件。讲解AA和SAS判定方法时，结合图形示例，让学生直观感受定理的应用。
2.教学难点
-难点一：理解“对应”的概念，即在相似三角形判定中，如何识别哪两边和哪个角是对应的。
4.5相似三角形判定定理的证明（教案）
一、教学内容
本节内容选自教材第四章第五节“相似三角形的判定定理的证明”。内容包括：
1.探索并理解“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的定理；
2.掌握运用“AA”（两个角相等）和“SAS”（两边对应成比例且夹角相等）判定两个三角形相似的方法；
3.通过具体例题，学会运用相似三角形的判定定理解决实际问题；
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教案
3.加强小组合作，鼓励学生互相讨论、互相学习。在小组讨论中，学生可以互相解答疑问，提高解决问题的能力。
4.注重培养学生的几何直观，通过观察、操作、画图等方式，帮助他们建立几何图形的直观认识。
-理解相似三角形判定定理之间的联系和区别，形成知识网络。
举例：在讲解AAA相似定理时，重点强调三角形的三个角分别相等时，可以判定两个三角形相似；在讲解AA相似定理时，强调当两个三角形的两个角分别相等且它们夹的边成比例时，可以判定两个三角形相似；在讲解SAS相似定理时，重点讲解当两个三角形中两边成比例且夹角相等时，可以判定两个三角形相似。
2.应用相似三角形的判定定理解决实际问题：通过典型例题的分析与讲解，培养学生运用相似三角形判定定理解决实际问题的能力，进一步加深对相似三角形性质的理解。
本节课旨在帮助学生掌握相似三角形的判定方法，培养他们的逻辑思维能力和几何直观，为后续学习几何知识打下坚实基础。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力：通过相似三角形判定定理的探索与证明过程，让学生运用归纳、类比、演绎等推理方法，形成严密的逻辑思维，提高解决问题的能力。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，我们将了解相似三角形在实际中的应用，以及如何利用判定定理来解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调AAA、AA和SAS这三个判定定理的应用条件和区别。对于难点部分，我会通过具体的例题和图形比较，帮助大家理解并掌握这些定理。
（三）实践活动（用时10分钟）
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定定理的基本概念。相似三角形指的是两个三角形在形状上完全相同，但大小可以不同。判定两个三角形相似，我们需要掌握AAA、AA和SAS这三种定理。这些定理是解决几何问题的重要工具，可以帮助我们在实际问题中找到相似关系，从而简化问题。
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法有哪些？
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②在实物投影仪上与老师手中的三角形进行比较；
③猜测:若两个角对应相等，能判定两个三角形相似.
【例题】
如图,D，E分别是边AB，AC上的点,DE∥BC. (1)图中有哪些相等的角？ (2)找出图中的相似三角形，并说明理由.
A
D
E
(3)写出图中成比例的线段. 解：（1）DE//BC
B
C
∠ADE 与∠ABC是同位角 ∠AED与∠ACB是同位角
孩子在看书，让她听到了影响学习。
相似三角形的常见类型
A
D
E
E
D
A
B
C
“A”型
A
B
C
“x”型
A
D
E
B
C
“共角”型
D
B
C(E)
“共角共边” 型
“蝴蝶”型
A
D
B
CE
F
= △DEF ∽ △ABC
全等判定： (对应)边角
(6组量)
三角分别 相等, 三 边成比例
判定方法
角边角 角角边 边边边 边角边
北师大新版九年级数学上册-4.5相似三角形判定定理的证明1教案带教学反思
＝∠
ACD ；②∠
ADC ＝∠
ACB；③
AC CD
＝BACB；
④ AC2 ＝ AD·AB. 其 中 能 单 独 判 定
△ ABC ∽△ ACD 的个数为（
）
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：在图中已知两个三角形有一
夹角相等， 若不是夹角相等，则不能判定这
两个三角形相似 . 【类型二】 探索三角形相似的条件
＝ 0，Δ＝ l2－ 4mn. 当 Δ＝l 2－ 4mn＜ 0 时，存在以 P、A、B
三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的一个点 P；
当 Δ＝l 2－ 4mn＝ 0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的两个点 P；
当 Δ＝l 2－ 4mn＞ 0 时，存在以 P、A、B 三点为顶点的三角形与以 P、 C、D 三点为 顶点的三角形相似的三个点 P.
方法总结： 由于相似情况不明确，
因此要分两种情况讨论， 注意要找准对应边 .
三、板书设计 相似 三角 形判定 定理的证 明 判定定理 1 判定定理 2 判定定理 3
本课主要是证明相似三角形判定定理， 以学 生的自主探究为主， 鼓励学生独立思考， 多 角度分析解决问题， 总结常见的辅助线添加 方法， 使学生的推理能力和几何思维都获得 提高，培养学生的探索精神和合作意识 .
P？两个点
P？三个点 P？ 解：（1）设 BP＝ x，则 DP ＝ 10－x.
若△
ABP∽△
CDP
，则
CADB＝
BP DPபைடு நூலகம்
，即
94＝
x ，解得 x＝ 90；若△ ABP∽△ PDC ，则
《相似三角形判定定理的证明》图形的相似PPT3 图文
研讨
由DE//BC,根据平行线分线段成比例推论，
ΔADE和ΔABC的三条边对应成比例，又因为
DE//BC,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A是公共角.
根据相似三角形的定义： ΔADE∽ΔABC
A
D
E
B
C
定义法！
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∠A′= 45°, A′B′=16cm , A′C′=20cm ;
2．∠B=∠B′=75°, ∠C=50°, ∠A′=55°;
相似 (判定1)
3．∠B= ∠B′=75°, ∠A=50°, ∠A′=55°;
引理
如果一条直线截三角形的两边（或两 边的延长线）所得的对应线段成比例，那 么这条直线平行于三角形的第三边.
由以上引理，就可以解决之前提出的：
已知两条边对应成比例，且夹角相等
证明这两个三角形相似.
A
A'
一个角，
两条边，证
B
C B' C'
明相似？
知识要点
判定定理2
对于任意两个三角形，如果一个三角 形的两边和另一个三角形的两边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似．即两边对应成比例，且夹角相等，两 三角形相似.
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判断两个相似三角形中的错误
判断两个图形相似，应正确理解相似图形的判断方法，若判断方法把握不准确，判断就有可能出错哟！
例1下面各组中的两个三角形一定相似的为______
①都有一个角是50°的两个等腰三角形 ② 都有一个角是120°的两个等腰三角形 ③都有一个角是60°的 两个等腰三角形 ④都有一个角90°的等腰三角形
错解：①，④.
分析:要判断两个三角形相似相似，应根据三角形相似的判断方法,判断已知条件中是否具备两个三角形相似的条件.观察①中的两个等腰三角形,由于50°的角可以是底角,也可以是顶角,当作为顶角时,两个底角分别是65°,65°;当作为底角时,两外两个角分别是50°,80°,当第一个三角形中的50°是顶角度数,第二个三角形的50°是底角度数,则这两个三角形不相似.观察②可知,120°的角只能是等腰三角形的顶角,这样的两个三角形的底角也相等,所以满足这个条件的两个三角形相似;观察③中的两个三角形一定是等边三角形,两个三角形一定形似;观察④中的两个三角形是等腰直角三角形,两个三角形一定相似.
正解:②④③ .
例 2 在△ABC 和△A′B′C′中,已知AB=6cm,AC=8cm .BC=10cm, A′B′=24cm, A′C′=18cm,B′C′=30cm,试判断△ABC 与△A′B′C′是否相似,并说明理由.
错解:△ABC 与△A′B′C′不相似.理由:41=''B A AB ,94188==''C A AC ,313010==''C B BC , C B BC C A AC B A AB '
'≠''≠''，所以△ABC 与△A′B′C′不相似. 分析:本题已知两个三角形的边长,要判断这两个三角形是否相似,应判断两个三角形的最短边与最短边的比,中等边与中等边的比,最长边与最长边的比是否相等,而不要思维定势把AB 与A′B′,AC 与A′C′,BC 与B′C′是对应边.
正解:因为31186==''C A AB ,31248==''B A AC ,3
13010==''C B BC , 所以C
B B
C C A AC B A AB ''=''=''，所以△ABC∽△A′C′B′. 例3 已知△ABC△A′B′C′,∠A=50°,∠A′=50°,AB=8,BC=15,A′B′=16,B′C′=30,请问这两个三角形是否相似.请说明你判断的理由.
错解: 因为∠A=∠A′=50°,且
2
1=''=''C B BC B A AB , 所以△ABC 与△A′B′C′相似.
分析:根据边角对应关系判断两个三角形相似,应具备“两边对应成比例，且夹角相等”，本题中虽然2
1=''=''C B BC B A AB ，但BC ，B′C′分别是∠A，∠A′的对边，不满足“两边对应成比例，且夹角相等”，，不能由此来判断△ABC 与△A′B′C′相等． 正解：△ABC 与△A′B′C′不一定相似，因为∠A=∠A′=50°，但不知道
C A AC ''是否等于2
1，所以根据已知条件不能确定△ABC 与△A′B′C′相似． 例 4 在△ABC 和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′=45°，∠B=26°，∠B′=109°，则有
( )．
(A)△ABC∽△A′B′C′ (B)△ABC∽△A′C′B′
(C)△ABC∽△C′A′B′ (D)△ABC 与△A′B′C′不相似
错解：因为∠A=∠A′，但∠B≠∠B′，∠C≠∠C′，所以△ABC 与△A′B′C′不相似.故选(D).
分析：在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′是对应角，但∠B 与∠B′不一定是对应角，不能由∠B≠∠B′，∠C≠∠C′而臆断两个三角形不相似,实际上,本题中. ∠B=∠C′.
正解：因为∠A=45°，∠B=26°，
所以∠C=180°-∠A -∠B=109°，所以∠C=∠B′，
又∠A=∠A′，所以△ABC∽△A′C′B′(两组对应角分别对应相等的两个三角形全等).
所以选(B).。