高考数学下学期模拟试题 文(扫描版)
湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第一次高考模拟数学试题
一、单选题1. 已知椭圆：的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点，是等腰直角三角形.点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（ ）A．B．C．D．2.已知直线，圆，当直线被圆截得的弦最短时，的方程为（ ）A．B．C．D．3. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段和两个圆弧、围成，其中一个圆弧的圆心为，另一个圆弧的圆心为，圆与线段及两个圆弧均相切，若，则（）A．B．C．D．4. 如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为（）A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝x5. 数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6. 已知函数，现有如下说法：的图象关于直线对称；为的一个周期；在上单调递增．则上述说法中正确的个数为（ ）A．B．C．D．湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第一次高考模拟数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2024届高三下学期第一次高考模拟数学试题二、多选题三、填空题四、解答题7. 车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为个等级，其等级（）与其对应等级的市场销售单价单位：元千克近似满足函数关系式若花同样的钱买到的级果比级果多倍，且级果的市场销售单价为元千克，则级果的市场销售单价最接近（ ）参考数据：，，，A ．元千克B ．元千克C ．元千克D ．元千克8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）A．B．C．D．9.有一组样本数据，由这组数据得到新样本数据，则下列结论正确的是（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同10.若，，，，则（ ）．A．B．C．D．11. 已知是等轴双曲线C 的方程，P 为C 上任意一点，，则（ ）A ．C的离心率为B ．C 的焦距为2C ．平面上存在两个定点A ，B，使得D．的最小值为12.在正方体中，下述正确的是（ ）A．平面B ．平面C．D ．平面平面13. 从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，则在这5位老师中，女老师有_______人.14. 在锐角中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为的面积，且，则的取值范围为______.15. 甲､乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢2局者胜，分出胜负即停止比赛.已知甲每局赢的概率为，每局比赛的结果相互独立.本次比赛到第3局才分出胜负的概率为______，本次比赛甲获胜的概率为______.16. 已知函数，.（1）若曲线在处的切线方程为，且存在实数使得与曲线相切，求的值；（2）设函数.①若恒成立，求的取值范围；②若函数仅有两个不同的零点，求的取值范围.17.已知数列满足，且.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和.18. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，．(1)证明：；(2)证明：平面；(3)求三棱锥的体积．19. 如图，在直四棱柱中，底面是直角梯形，，，且．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．20.已知点，，为坐标原点，函数.（1）求函数的解析式及最小正周期;（2）若为的内角，，，的面积为，求的周长.21. 在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题.问题：在中，角，，所对的边分别为，，，且______.(1)求角的大小；(2)若，，边上一点满足，求.。
2023_2024学年高考全国乙卷高考数学(文)真题检测模拟试题(附解析)
2023-2024学年高考全国乙卷高考数学（文）真题模拟试题A ．24B ．264．在中，内角的对边分别是ABC ,,A B C （ ）B ∠=A ．B ．10π5π5．已知是偶函数，则e ()e 1xaxx f x =-EF ADO (1)求证：//平面；该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少其表面积为.() 2224⨯⨯+故选：D. 4．C8．B【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于2()3f x x a '=+【详解】，则3()2f x x ax =++f '若要存在3个零点，则()f x ()f x 令，解得2()30f x x a '=+=x =-16．2【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解【详解】如图，将三棱锥转化为正三棱柱S ABC -设的外接圆圆心为，半径为，ABC 1O r 3223sin 3AB r ACB ===∠3r ==20．(1)；()ln 2ln 20x y +-=(2).1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间()0f x '≥(0,方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．23．(1)；[2,2]-由，解得326y x x y =-+⎧⎨+=⎩(2,8)A -所以的面积ABC 1|2ABC S =。
浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题(3)
一、单选题二、多选题1. 已知复数满足（是虚数单位）,则复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．2. 已知平面向量，是单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）A．B．C．D．3. 若平面向量与满足，且，，则向量与的夹角为（ ）A．B．C．D．4. 已知正实数a ，b 满足，则的最小值是（ ）A．B ．4C．D．5. 已知函数，则（ ）A．的图象是轴对称图形B ．在上单调递增C．的图象只能有一个极值点D．的图象有无数多个极值点6. 定义行列式运算：.若将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是A．B．C．D．7. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A．B．C．D．8. 在梯形中，则的余弦值为（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，则（ ）A ．为偶函数B ．为周期函数，且最小正周期为C ．恒成立D．的最小值为10. 回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i 与n 满足且，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，在上任取一个正整数取得回文数的概率记为，则（ ）A．B．C．D．浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题(3)浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题(3)三、填空题四、解答题11. 如图，已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．A．三棱锥的体积为定值B ．存在点，使得C ．若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为D ．若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为12. 设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一个交点为，则（ ）A ．点在上B．C ．以为直径的圆与相离D ．直线与相切13. 若，函数为增函数，则实数的取值范围为______.14.设数列的前n 项和为，且满足①恒成立，②，③是一个递减数列，写出一个满足以上条件的数列：___________.15.已知，则____________.16. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，，△PAD 是以AD 为底边的等腰三角形，平面ADP ⊥平面ABCD ，点E ､F 分别为PD ､BC 的中点.(1)求证：AE ⊥DF ；(2)当二面角C -EF -D 的余弦值为时，求棱PB 的长度.17.如图，在三棱柱中，，，.点M ，N 分别为线段的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.18. 已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.(1)证明：当时，数列是等比数列；(2)设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.19. 设数列的前项和为，已知，.(1)设，，证明：数列为等差数列；(2)求数列的前项和.20. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（1）从袋中随机取两个球，写出所有的基本事件；（2）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率.21. 已知数列的前项和为，，数列是以为公差的等差数列.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.。
河北省石家庄市2024届高三下学期高考模拟预测 数学试题【含答案】
2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷附解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A ．2024-︒B ．224-︒C ．44-︒D ．24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2i-C ．2-D ．23．已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）AB ．1C ．34D ．324．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2024S 与2024a 的关系是（）A ．2024202421S a =-B ．2024202421S a =+C ．2024202443S a =-D ．2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此可以预测当8x =时，y =（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A ．216B ．432C ．864D ．10807．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左､右焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=，直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，则C 的离心率是（）A ．13B ．22C ．12D ．238．已知函数()xf x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．存在实数()0,a ∈+∞，使得()1ef a =D ．()f x 有最小值1e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D ．已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆˆ3y x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+-≥在()0+∞，上恒成立，则实数a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．e 3D ．211．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．()322f '=C ．()202410122023f =⨯D ．20241()10122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z ，若集合M N ⋂恰有两个元素，则实数a 的取值范围是.13．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为.14．如图，在梯形ABCD 中，190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC 沿直线AC 翻折至1B AC △的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()e e axf x x b =--在0x =处的切线为x 轴．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的单调区间．16．如图，三棱锥A BCD -中，,,,AD CD AD CD ADB BDC E ∠∠⊥==为线段AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设3,2,0AB BD BF FD EF BD ===⋅=，求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*N n n ∈个等差数列的第()N,2m m m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.(1)若()()22212a a -=，求21d d -的值；(2)若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；(3)若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122mm m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．设椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>经过点()2,1P -，且离心率e =:3m x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线l 1交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求||||MN MA 的值．19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x a f x →=且()lim 0x a g x →=（或()lim x a f x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()lim x af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞），则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．(1)用洛必达法则求0limsin x xx→；(2)函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；(3)已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x a x af x f x →→=，()()lim lim x a x a kf x k f x →→=．1．C【分析】利用任意角的定义与集合A 所表示的角即可得解.【详解】因为04420211481︒=-︒-⨯︒-，所以集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为44-︒.故选：C.2．D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z ，继而得z 的虚部.【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++-+=====-+=------+，则22i z =-+，z 的虚部为2.故选：D.3．A【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-= 2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -= 故选：A 4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出2024S 和2024a 观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >因为3a -，2a ，4a 成等差数列，所以2342a a a =-+，所以232q q q =-+，解得2q =，所以()20241202420241211a q S q-==--，20232023202412a a q==，则2024202421S a =-.故选：A.5．D【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，进而求出a 即可得解.【详解】依题意，1234535x ++++==，6678875y ++++==，即样本的中心点为(3,7)，于是70.63a =⨯+，解得 5.2a =，即0.6 5.2y x =+，当8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=.故选：D 6．B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有33A 种方法，再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有2343C A 种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有22A 种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为32323432A C A A 432⋅⋅=.故选：B 7．B【分析】根据题意，得到点M 与点2F 关于PH 对称，从而2120F PM ∠=，在12PF F △中，利用正弦定理得到121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠ ，结合sin 60sin15sin105c e a ==+，即可求解.【详解】由直线:l y x t =-+，且点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，如图所示，可得点M 与点2F 关于PH 对称，且1260F PF ∠=,故在2PF M 中，则2120F PM ∠= ,故230PF M ∠=又PH 的倾斜角为135 ，则245HF M ∠=，故在12PF F △中，有1260F PF ∠= ，21105PF F ∠=，1215PF F ∠= ，又由1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，可得121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠，即1222sin15sin105sin a cF PF =+∠ ，又因为1sin15sin(4530)22224=-⨯-⨯=，1sin105sin(6045)2=++ ，所以sin 602sin15sin1052c e a ===+.故选：B.8．C【分析】由条件可得函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【详解】由x y x =得ln ln y x x =，令ln z x x =，则函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，因为ln z y =为增函数，所以ln z x x =与x y x =单调性、图象变换等基本一致，ln 1z x '=+，由0z '=得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭z '－＋z1e-由表知，ln z x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ex =时，取得极小值（最小值）1e -，所以()xf x x =在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，即B 正确；在1e x =时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）1e 1e e->，即A 、D 都正确，C 错误.故选：C 9．BC【分析】A 选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B 选项，利用平均数定义得到10y x =-，根据方差的计算公式得到()()()()2222123422214s x x x x x x x xs -++-++-++-+==；C 选项，由正态分布的对称性得到C 正确；D 选项，由题意得到()()ˆˆ336m an a -+=-+，得到D 错误.【详解】A 选项，0010404⨯=，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即121312.52+=，A 错误；B 选项，12344x x x x x +++=，12344y y y y y +++=，因为10i i x y +=，（1,2,3,4i =），故123410101010104x x x x y x -+-+-+-==-，故()()()()22221423124s x x x x x x x x-+-+--=+，()()()()2222123422*********s y x y x y x y x-++-++-++-+=()()()()2222123410101010101010104x x x x x x x x --++--++--++--+=()()()()222212344x x x x x x x x-++-++-++-+=，故2212s s =，B 正确；C 选项，因为()2,X N μσ ，()()261P X P X ≥-+≥=，2,6X X =-=关于x μ=对称，所以2622μ-+==，C 正确；D 选项，由题意得()()ˆˆ336m an a -+=-+，整理得39m n +=，D 错误.故选：BC 10．AB【分析】根据题意分12a ≤和12a >两种情况讨论，当12a ≤时，有222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥结论验证；当12a >时，令()2ln u x x x =--，求导判断出函数存在零点设为0x ，即可判断020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，最后综合得出a 的取值范围.【详解】依题意，2e 12ln 0x ax x x -+-+≥在()0+∞，上恒成立，当12a ≤时，222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，令2ln t x x =--，则()e 1t h t t =--，()e 1t h t '=-，故当t (,0)∈-∞时，()0h t '<，当(0,)t ∈+∞时，()0h t '>，故()(0)0h t h >=，故2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，则不等式成立；当12a >时，令()2ln u x x x =--，因为(1)10u =-<，(4)22ln 20u =->，故()x μ在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，则020ex x -=，故020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，不合题意，舍去；综上所述，12a ≤.故选：AB.【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.11．BCD【分析】对A 、B ，利用赋值法进行计算即可得；对C 、D ，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000f f f =++，即()00f =，令1x y ==，则有()()()2111f f f =++，又()10f =，故()21f =，()f x 不关于()1,0对称，故A 错误；对于B ，令1y =，则有()()()()11f x f x f x f x x +=++=+，两边同时求导，得()()11f x f x +='+'，令1x =，则有()()13211122f f =+=+=''，故B 正确；对C ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +-=，则()()()()()()()2024202420232023202211f f f f f f f =-+-+-+ ()2023120232023202210101220232+⨯=++++==⨯ ，故C 正确；对D ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +=+，则()()11f x f x +='+'，即()()11f x f x +-'='，又()112f '=，故()11122f k k k -'=+=-，则()20241112024202422101220242k f k =⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭==⨯'∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.12．(2,)+∞【分析】解二次不等式化简集合M ，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为{}2230{13}M x x x xx =--<=-<<∣，{}20,{()0,}N x x ax x x x x a x =-<∈=-<∈Z Z ∣，又集合M N ⋂恰有两个元素，所以M N ⋂恰有两个元素1和2，所以2a >.故答案为：(2,)+∞.13【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：设过2F 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan b F F P a ∠=可得12cos a F F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-∠ ，即有2229422aa a c a c c=+- ，化简可得，223c a =，则双曲线的离心率==c e a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．3π4【分析】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，此时1B 到底面ACD 的距离最大，即此时平面1⊥B AC 平面ACD ，取AC 的中点E ，AD 的中点O ，O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，从而求解.【详解】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，由于底面ACD 的面积是定值，所以此时1B 到底面ACD 的距离最大，平面1⊥B AC 平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =，取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD 的中点O，则OE =1B E =1π2B EO ∠=，则12OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则222R OM r ==+；由于AC CD ⊥，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面1B AC ，而1AB ⊂平面1B AC ，则1CD AB ⊥，则1π2AB D ∠=，在1B AD 中，12,4B A AD ==，故1π3B AD ∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有211π13422cos 4234OM =+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为3π4.故答案为：3π4【点睛】关键点点睛：取AD 的中点O ，由12OA OD OC OB ====，确定点O O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心.15．(1)e a =，1b =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f =且()00f '=，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数说明()f x '的单调性，即可求出()f x 的单调区间.【详解】（1）因为()e e ax f x x b =--，所以()e e ax f x a '=-，依题意()00f =且()00f '=，所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩，解得e 1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ，又()()e 1e e e e e 1x xf x +'=-=-，令()()e 1e e xg x f x +'==-，则()e 2e0x g x +'=>，所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CF 的方向向量与平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【详解】（1）因为DA DC =，E 为线段AC 的中点，所以DE AC⊥因为DA DC =，DB DB =，ADB CDB ∠=∠，所以ADB CDB ≌，故AB CB =．又E 为线段AC 的中点，所以BE AC ⊥．又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ．（2）取DA 的中点G ，连接EG ，BG ，因为EG 为中位线，所以//EG CD ，又AD CD ⊥，所以AD EG ⊥．因为AB BD =，G 为DA 的中点，所以AD BG ⊥．又⋂=EG BG G ，,EG BG ⊂平面BEG ，所以AD ⊥平面BEG ，BE ⊂平面BEG ，所以AD BE ⊥，因为BA BC =，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．以E 为坐标原点，分别以EA 、EB 、ED 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示设(),0,0A a ，(),0,0B b ，则()0,0,0E ，()0,0,D a ，()0,,0B b ，20,,33b a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,BD b a =- ，由22222||92033AB a b b a EF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩．所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭.又平面ABC 的法向量()0,0,1n = ．设直线CF 与平面ABC 所成角为θ，则232153sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC.17．(1)212d d -=；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入等差数列的通项公式，即可求解；（2）根据已知条件，代入等差数列的通项公式，得到数列{}n d 的递推公式，再通过构造得到数列{}n d 的通项公式，并根据（1）的结果，证明等式；（3）根据题意，结合等差数列和等比数列的综合应用，首先证明()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，再利用求和，即可证明.【详解】（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()11111n i i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111nm m m m m a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122mm m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意，并能正确表示()m a n 和公差为n d .18．(1)22163x y +=(2)（i ）2；（ii ）1【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，利用待定系数法，即可求解；（2）（ⅰ）首先设直线1l 的方程，并联立椭圆方程，转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解；（ⅱ）首先设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,根据正弦定理利用角表示边长MN ，AN ，再求比值，利用（ⅰ）的结论，即可求解.【详解】（1）由题意知2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得ab c ==所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163210x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即()1244144842424242n n n m n k k n n n ----+====---；（ⅱ）设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则1tan k α=，2tan k β=，5π4NMP β∠=-，π2MPN β∠=-,π4PAN α∠=-，π2APN α∠=-，在PMN 中，πsin sin πsin 2sin 4PN PNMN MPN NMP ββ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，在PAN △中，πsin sin πsin 2sin 4PN PN AN APN PAN αα⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以()ππsin sin cos sin cos tan 1242ππtan 1sin sin 422MN AN βαβαααββα⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=，即tan 11tan 1αβ-=--，故1MNAN =..【点睛】关键点点睛：本题第一问的转化比较巧妙，转化为关于斜率的方程，利用韦达定理即可求解，第二问巧妙设倾斜角，利用三角函数表示MN AN 的值.19．(1)1(2)仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点，理由见解析(3)()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数()e x f x ，结合()e xf x 的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，然后结合()01g =，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）001lim lim 1sin cos x x x x x →→==（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,∞+上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0∞-上单调递增，()lime xx f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n nx x xxx x x ⋅⋅⋅⋅=⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2nx t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得0lim1sin t t t →=，故()()sin 0x g x x x=≠，由题意函数()g x 的定义域为()π,π-，综上，()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而利用洛必达法则求极限.。
全国18名校2024届高考模拟试卷(数学试题文)试卷
全国18名校2024届高考模拟试卷（数学试题文）试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2sin cos ()20x x xf x x =+在[2,0)(0,2]ππ-⋃上的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．2．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]0.51-=-，[]1.51=，已知函数12()4324x x f x -=-⋅+（02x <<），则函数[]()y f x =的值域为（ ） A ．13,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ．{}1,0,1-C ．1,0,1,2D ．{}0,1,23．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-4．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥5．若202031i iz i+=+，则z 的虚部是（ ）A ．iB ．2iC ．1-D ．16．已知12,F F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以12F F 为直径的圆经过点P ，若12PF F ∆的面积为b 2233，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．2C ．5D ．37．在直角坐标系中，已知A （1，0），B （4，0），若直线x +my ﹣1=0上存在点P ，使得|PA |=2|PB |，则正实数m 的最小值是( ) A ．13B ．3C ．33D ．38．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．79．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为，则的值为 ( )A ．B ．C ．D ．10．将函数()cos f x x =的图象先向右平移56π个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(0)>ω倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3(,)22ππ上没有零点，则ω的取值范围是（ ） A ．228(0,][,]939 B ．2(0,]9C ．28(0,][,1]99D ．(0,1]11．为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识，驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗，协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( ) A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种12．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学下学期模拟考试试题 文含解析 试题
第二中学2021届高三数学下学期模拟考试试题 文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，一共分〕1{|24}{|0}3x A x N x B x x+=∈-≤=≥-＜，，那么集合A ∩B 中子集的个数是〔 〕 A. 4 B. 8C. 16D. 32【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求出集合M 与N ，进而由交集的定义求得M∩N，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案．【详解】根据题意，A={x∈N|-2≤x＜4}={0，1，2，3}， B={x|13x x+-≥0}={x|-1≤x＜3}， 那么A∩B={0，1，2}，那么集合A∩B 中子集的个数是23=8； 应选：B ．【点睛】此题考察集合的交集计算，关键是求出集合M 、N ，属于根底题．2.i 为虚数单位，m ∈R ，假设复数〔2-i 〕〔m+i 〕在复平面内对应的点位于实轴上，那么复数1mii-的虚部为〔 〕 A. 1 B. iC. 1-D. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义，求出m 的值结合复数虚部的定义进展求解即可． 【详解】〔2-i 〕〔m+i 〕=2m+1+〔2-m 〕i ， 假设复数在复平面内对应的点位于实轴上，那么2-m=0得m=2， 复数22(1)22111(1)(1)2mi i i i i i i i i i +-====-+---+， 即复数的虚部是1， 应选：A ．【点睛】此题主要考察复数的计算，结合复数的几何意义是解决此题的关键．3.折扇由扇骨和扇面组成，初名腰扇，滥觞于汉末，曾是王公大人的宠物．到了明清时期在折扇面上题诗赋词作画，那么成为当时的一种时尚，并一直流行至今．现有一位折扇爱好者准备在以下图的扇面上作画，由于突然停电，不慎将一滴墨汁落入折扇所在区域，那么墨汁恰好落入扇面的概率约为〔 〕A.34B.13C.59D.89【答案】D 【解析】 【分析】先求出扇面的面积和扇子的面积，再利用几何概型的概率公式求解. 【详解】由题得，扇面的面积为S 1=221212186962323πππ⋅⋅-⋅⋅=， 扇子的面积为S 2=21218=10823ππ⋅⋅， 那么墨汁恰好落入扇面的概率P=968=1089ππ． 应选：D ．【点睛】此题主要考察几何概型的概率的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F ，直线x=c 〔c 为半焦距长〕与C 的渐近线的交点为A 、B ，假设△FAB 为等腰直角三角形，那么C 的离心率为〔 〕A. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】利用条件求出A 、B 、F 的坐标，利用△FAB 为等腰直角三角形，求解双曲线的离心率即可．【详解】双曲线C ：()2222100x y a b a b-=＞，＞的左焦点为F 〔-c ，0〕，双曲线的渐近线方程：bx±ay=0，由x=c ，可得A 〔c ，bc a 〕，B 〔c ，-bc a〕； △FAB 为等腰直角三角形，可得2c=bca，可得b=2a ，所以双曲线的离心率为：e=c a a==应选：C ．【点睛】此题主要考察双曲线的简单几何性质，考察双曲线的离心率的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.5.CPI 是居民消费价格指数〔consumerpriceindex 〕的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购置的消费品价格程度变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2021年6月---2021年6月我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图〔注：2021年6月与2021年6月相比拟，叫同比；2021年6月与2021年5月相比拟，叫环比〕，根据该折线图，那么以下结论正确的选项是〔 〕A. 2021年1月至6月各月与去年同期比拟，CPI 有涨有跌B. 2021年2月至6月CPI 只跌不涨C. 2021年3月以来，CPI 在缓慢增长D. 2021年8月与同年12月相比拟，8月环比更大 【答案】B 【解析】 【分析】根据同比，环比的定义，结合所给调查数据逐项分析判断得解． 【详解】A 选项，因为同比数据有增无减，故描绘不正确；B 选项，2021年2月至6月，环比都是负数，所以2月至6月CPI 只跌不涨，故B 选项正确．C 选项，本图表的调查数据为比拟数据，即为与去年同期比拟，或者者与上月比拟的增长或者减少的情况，而非CPI 的真实数据，故C 错．D 选项，图中没有2021年8月与同年12月的数据，故无法判断． 综上，B 正确， 应选：B ．【点睛】此题主要考察新定义，考察折线图，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，那么α∥β的一个充分条件是〔 〕 A. //m α，n β⊥，m n ⊥ B. //m α，n β⊥，//m n C. //m α，//n β，//m n D. m α⊥，n β⊥，//m n【答案】D【解析】 【分析】利用线面位置关系和充分条件的定义对每一个选项逐一判断得解. 【详解】对于选项A ，B ，假设n ⊂α，那么α⊥β，故A ，B 错误；对于选项C ，假设α∩β=l，m∥n∥l，m ，n 为α，β外的直线，显然有m∥α，n∥β，故C 错误；对于选项D ，假设m⊥α，m∥n，那么n⊥α，又n⊥β，故α∥β，故D 正确． 应选：D ．【点睛】此题主要考察空间几何元素的位置关系的判断证明，考察充分条件的判断，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.())f x lnx =，假设()()()0.23220.7a f log b f ln c f -===，，，那么a 、b 、c 之间的大小关系是〔 〕 A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.b ac <<【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出函数()f x 的定义域，结合函数的解析式可得)()(x f x f -=，即函数()f x 为偶函数，设())g x ln x =，利用复合函数单调性的判断方法分析可得()g x 在[0，)+∞上为减函数，又由(0)g 的值，可得在区间[0，)+∞上，()0g x ，由此可得()f x 在区间[0，)+∞上为增函数，据此分析可得答案．【详解】根据题意，函数()|)|f x ln x =，其定义域为R ，那么()|)|||)||)|()f x ln x ln x ln x f x -===-==，即函数()f x 为偶函数，设())g x ln x ==(0)10g ln ==，设211t x x=++，那么y lnt =， 当0x 时，211t x x=++为减函数且0t >，而y lnt =在(0,)+∞为增函数，那么221()(1)1g x ln x x lnx x=+-=++在[0，)+∞上为减函数，又由(0)0g =，那么在区间[0，)+∞上，()0g x ，又由()()f x g x =，那么()f x 在区间[0，)+∞上为增函数， 又由0.23log 2210.7ln -<<<， 那么有c b a <<， 应选：A ．【点睛】此题考察复合函数的单调性的断定和应用，考察函数奇偶性的判断和应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.8.如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，AD=2，∠BAD=60°，点E 在CD 上，且点E 是三等分点，靠近点D ，BE 与AC 的交点为F ，那么BF AB ⋅=〔 〕A. 445-B.445C. 4-D. 4【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，求出相关的坐标，推出所求向量的坐标．然后求解向量的数量积即可． 【详解】建立如图所求的坐标系：那么(0,0)A ，(4,0)B ，3)D ，7(.3)3E ，3)C ，所以AC 的方程：3y =，BE 的方程为：334)y x =-， 联立直线方程可得33F ，33(1,)5BF =-，(4,0)AB =， 所以4BF AB =-． 应选：C ．【点睛】此题考察向量的数量积的应用，向量的坐标运算，考察转化思想以及计算才能．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某组合体的三视图，那么该几何体的外表积为〔 〕A. 3425π++B. 3625π++C. 2425π++D. 2625π++ 【答案】A 【解析】 【分析】几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体，作出直观图计算面积即可． 【详解】由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱柱的底面为直角三角形，直角边为1和2，高为2，∴几何体的外表积为2112212212122342522πππ⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯+⨯++⨯=++． 应选：A ．【点睛】此题考察三视图复原几何体，考察组合体的外表积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.()()202f x sin x πωϕωϕπ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞，，的局部图象如下图，其213AB =，把函f〔x 〕的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数g 〔x 〕的图象，那么g 〔x 〕的解析式为〔 〕A. ()2sin12g x x π=-B. ()22sin 123g x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭C. ()2sin 36g x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D. ()2cos3g x x π=【答案】A 【解析】 【分析】根据条件先求出ϕ和ω，结合函数图象变换关系进展求解即可． 【详解】(0)2sin 1f ϕ==，即1sin 2ϕ=， 56πϕ∴=， 那么5()2sin()6f x x πω=+，||AB =222()24T ∴+=，即241316T +=， 那么2916T =，那么34T =，即212T πω==，得6πω=，即5()2sin()66f x x ππ=+，把函()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到52sin()126y x ππ=+，再把所得曲线向左平移2个单位长度，得到函数()g x 的图象，即()g x =到52sin[(2)]2sin()2sin 1261212y x x x πππππ=++=+=-，应选：A ．【点睛】此题主要考察三角函数图象的应用，根据条件求出ω 和ϕ的值以及利用三角函数图象平移变换关系是解决此题的关键．C 的左焦点恰好为圆F ：22230x y x ++-=的圆心，有两顶点恰好是圆F 与y 轴的交点．假设椭圆C 上恰好存在两点关于直线y=x+t 对称，那么实数t 的取值范围为〔 〕A. (B. ,77⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 43,77⎛⎫-⎪⎝⎭ D.0,7⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求得圆F 的圆心，可得椭圆的c ，求得圆F 与y 轴的交点，可得b ，进而得到a ，可得椭圆方程，设出椭圆上关于直线t x y +=对称的两点连线AB 的方程为y x p =-+，设两点的坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立椭圆方程，运用判别式大于0，以及韦达定理和中点坐标公式，可得中点坐标代入直线，可得p ，t 的关系，进而得到所求范围． 【详解】22230x y x ++-=的圆心为(1,0)-，可得椭圆的1c =，圆F 与y 轴的交点为(0,，可得椭圆的b =可得222=+=c b a ，即有椭圆方程为13422=+y x ，设椭圆上关于直线t x y +=对称的两点连线AB 的方程为y x p =-+， 设两点的坐标为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y由223412x y y x p⎧+=⎨=-+⎩，得22784120x px p -+-=， △226428(412)0p p =-->，p <<1287p x x +=， 设A ．B 的中点0(x ，0)y ， 那么047p x =，057y p =， 中点在t x y +=上，7p t ∴=，即7t <，得t <<．应选：B ．【点睛】此题考察椭圆的方程和性质，考察直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考察化简整理的运算才能，属于中档题．y=f 〔x 〕，y=g 〔x 〕，假设存在0x ，使f 〔0x 〕=g 〔-0x 〕，那么称M 〔0x ，f 〔0x 〕〕，N 〔-0x ，g 〔-0x 〕〕是函数f 〔x 〕与g 〔x 〕图象的一对“雷点〞，函数f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，恒有f 〔x+1〕=f 〔x 〕，且0≤x ＜1时，f 〔x 〕=x ，假设g 〔x 〕=()21-20)x a x ，（+-<<，函数f 〔x 〕与g 〔x 〕的图象怡好存在一对“雷点〞，那么实数a 的取值范围为〔 〕 A. ()0,1B. 11,4⎛⎫--⎪⎝⎭C. ()11,0,14⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭D.(]11,0,14⎛⎤--⋃ ⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】由即时定义的理解得：函数()f x 与()g x 的图象怡好存在一对“雷点〞，即函数()y f x =的图象与函数2()(1)y h x x a ==--在)2,0(恰有一个交点，函数2()(1)y h x x a ==--的图象是将函数2(1)y x a =--的图象向上或者向下平移||a -个单位，当曲线2()(1)y h x x a ==--的图象与直线1y x =-相切时，求得41-=a ，由图可知10a -<-<或者114a <-<，即得解.【详解】函数()f x 与()g x 的图象怡好存在一对“雷点〞，即函数()y f x =的图象与函数2()(1)y h x x a ==--在)2,0(恰有一个交点，函数2()(1)y h x x a ==--的图象是将函数2(1)y x =-的图象向上或者向下平移||a -个单位，当曲线2()(1)y h x x a ==--的图象与直线1y x =-相切时，221)1,320x a x x x a --=-∴-+-=（,所以1=94(2)0,4a a ∆--=∴=-. 由图可知： 10a -<-<或者114a <-<， 即实数a 的取值范围为：11014a a -<<-<<或，应选：C ．【点睛】此题考察了对即时定义的理解、函数图象的作法及函数图象的平移，考察函数的图像和性质的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.二、填空题〔本大题一一共4小题，一共分〕3211333y x x x =-+-的所有切线中，斜率最小的切线方程为______． 【答案】20x y -= 【解析】 【分析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率，先求出导函数()f x '，利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率，再用点斜式写出化简． 【详解】曲线3211333y x x x =-+-，223y x x ∴'=-+，1x ∴=时，切线最小斜率为2，此时，32111131233y =⨯-+⨯-=．∴切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及二次函数的最值等根底题知识，考察运算求解才能，属于根底题．14.2122212cos sin πααπα-⎛⎫∈= ⎪⎝⎭-，，那么tanα=______．【答案】2- 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式和二倍角公式进展化简即可．【详解】212cos (,22sin 12πααπα-∈-，∴12cos cos αα-=-，2cos 1cos αα-=，即1sin 2cos 1|cos |cos αααα+-=，即1sin 2cos 1cos cos αααα+--=， 那么1sin 2cos 1αα--=-， 得ααcos 2sin -=， 那么2tan -=α， 故答案为：2-【点睛】此题主要考察三角函数值的化简和求值，利用同角三角函数关系式和二倍角公式进展化简是解决此题的关键．15.x 、y 满足约束条件210210x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，假设()220ay x z a xy -=＞的最大值为173，那么a=______． 【答案】2 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目的函数的几何意义，结合函数的单调性转化求解a 即可．【详解】x 、y 满足约束条件210210x y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪--⎩的可行域如图：yx 的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率．由可行域可知1(2A ，3)2，)1,1(B ，所以[1yx∈，3]， 22ay x y x z a xy x y-==-，0a >，所以z 是关于yx 的增函数，函数的最大值为317， 可得171333a =-，解得2a =． 故答案为：2．【点睛】此题主要考察线性规划求最值，考察直线斜率的应用和函数的单调性的应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.16.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设-ccosB 2acosB 2bcosA 的等差中项，那么sin2A •tan 2C 的最大值为______． 【答案】223- 【解析】 【分析】由cos c B -2cos a B 2cos b A 的等差中项，结合正弦定理，可以求出角B 为34π，那么4A C π+=，求2sin 2tan A C 的最大值，将C 用4A π-交换后，换元用根本不等式处理，可得解．【详解】cos c B -cos Bcos A 的等差中项，2cos cos cos c B B A ∴-=，2sin cos cos cos sin ))C B A B A B A B C ∴-=++=，cos B ∴= B ∠为三角形内角，34B π∴∠=，4A C π∴∠+∠=，4C A π∴∠=-∠， 222sin()sin cos 1sin 24sin 2tan sin 2()sin 2()sin 2sin cos 1sin 2cos()4A A A A A C A A A A A A A ππ---∴===++-，令sin2A x =，04A π<∠<，2(0,)2A π∴∈，sin 2(0,1)A ∴∈，即(0,1)x ∈． 22sin 2tan 1x x A C x -=+，(0,1)x ∈令1x t +=，那么)2,1(∈t ，22(1)(1)2sin 2tan 3()322t t A C t t t---==-+-．当且仅当. 故答案为：223-．【点睛】此题考察了等差数列的性质、正弦定理、三角恒等变换、根本不等式等知识，屡次使用换元思想，难度较大，属于难题．三、解答题〔本大题一一共7小题，一共分〕{}n a 的前n 项和为()2*1112n n n n S a S a S n n N -==-≥∈，，，．〔1〕求证：数列{}n a 为等差数列； 〔2〕记212n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和Rn ；〔3〕记2(1)n n n c a =-⋅，求数列{}n c 的前2n 项和n T 2．【答案】〔1〕见解析；(2)2(41)3n-；〔3〕22n n +【解析】 【分析】〔1〕正项数列{}n a 的前n 项和为2*11,1,(2,)n n n n S a S a S n n N -==-∈．211n n n S a S ++=-，相减可得：11()(1)0n n n n a a a a +++--=，根据10n n a a ++>，可得11=-+n n a a ，验证1n =时是否成立，进而证明结论．〔2〕由〔1〕可得：n a n =．可得212122n a n n b --==．利用等比数列的求和公式即可得出．〔3〕22(1)(1)n n n n c a n =-=-．可得22212(21)(2)41n n c c n n n -+=--+=-．利用求和公式即可得出．【详解】〔1〕证明：正项数列{an}的前n 项和为()2*1112n n n n S a S a S n n N -==-≥∈，，，．∴211n n n S a S ++=-，相减可得：+1n a =21n a +-2n a -n a ，化为+1+1+1)0n n n n a a a a --=（）（, ∵+1+0n n a a >， ∴11=-+n n a a ，2n =时，2221S a a =-，22211a a ∴+=-，02>a ，解得22=a ， 满足上式．即11=-+n n a a ，*n N ∈．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．〔2〕解：由〔1〕可得：11n a n n =+-=．212122n an n b --==．∴数列}{n b 的前n 项和3212(41)2222(41)413n n n n R --=++⋯⋯+==--．〔3〕解：22(1)(1)n n n n c a n =-=-．22212(21)(2)41n n c c n n n -∴+=--+=-．∴数列{}n c 的前2n 项和22(341)22n n n T n n +-==+． 【点睛】此题考察了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．18.如图，点C 在以AB 为直径的上运动，PA ⊥平面ABC ，且PA=AC ，点D 、E 分别是PC 、PB 的中点．〔1〕求证：PC ⊥AE ；〔2〕假设AB=2BC=2，求点D 到平面PAB 的间隔 ．【答案】〔1〕见解析；〔23【解析】 【分析】〔1〕证明DE ⊥平面PBC 可得PC DE ⊥，再结合AD PC ⊥即可得出PC ⊥平面ADE ，故而PC AE ⊥；〔2〕取AC 中点F ，过F 作FM AB ⊥于M ，那么可证FM ⊥平面PAB ，从而FM 即为所求．【详解】〔1〕证明：∵PA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA⊥BC，∵AB 是圆的直径，∴BC⊥AC， 又AC∩PA=A， ∴BC⊥平面PAC ， 又PC ⊂平面PAC ． ∴BC⊥PC，∵DE 是△PBC 的中位线，∴DE∥BC， ∴PC⊥DE，∵PA=AC，D 是PC 的中点， ∴AD⊥PC，又AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADE，又AE⊂平面ADE，∴PC⊥AE．〔2〕解：取AC中点F，过F作FM⊥AB于M，∵D，F分别是PC，AC的中点，∴DF∥PA，又DF⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴DF∥平面PAB，∴D到平面PAB的间隔等于F到平面PAB的间隔．∵PA⊥平面ABC，FM⊂平面ABC，∴FM⊥PA，又FM⊥AB，PA∩AB=A，∴FM⊥平面PAB，∴F到平面PAB的间隔为线段FM的长．在Rt△ABC3∴C到AB的间隔为BC ACAB3又F为AC的中点，∴FM=34．∴点D到平面PAB的间隔为34．【点睛】此题考察了线面垂直的断定与性质，点到平面的间隔计算，属于中档题．2021年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进展了问卷调查，其中有一项是哪一项他们的月薪情况，经调查统计发现，他们的月薪收入在3000元到10000元之间，根据统计数据得到如下的频率分布直方图：假设月薪落在区间()22x s x s -+，的左侧，那么认为该大学本科生属“就业不理想〞的学生，将联络本人，咨询月薪过低的原因，从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见．其中x s 、分别为样本平均数和样本HY 差，计算可得s ≈1500元〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕．〔1〕现该校2021届大学本科毕业生张茗的月薪为3600元，试判断张茗是否属于“就业不理想〞的学生？〔2〕为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前3组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人中恰有1人月薪不超过5000元的概率；〔3〕位于某的一高校2021届某专业本科毕业生一共200人，现他们决定于2021年元旦期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用．假定这200人与所抽取样本中的100人月薪分布情况一样，并用样本频率进展估计，现有两种收费方案： 方案一：按每人一个月薪水的10%收取；方案二：月薪高于样本平均数的毎人收取800元，月薪不低于4000元但低于样本平均数的每人收取400元，月薪低于4000元的不收取任何用． 问：哪一种收费方案最终总费用更少？ 【答案】〔1〕见解析；〔2〕35；〔3〕见解析 【解析】 【分析】〔1〕6650x =，23650x s -=，经比拟可知张茗属于就业不理想的学生；〔2〕月薪不超过5000的有3人，超过5000的有3人，从6人中抽2人一共有15种，其中符合恰有1人月薪不超过5000的有9种，由古典概型概率公式可得；〔3〕方案一收取132000元，方案二收取108000元，经比拟可知方案二符合题意．【详解】〔1〕x+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650，x-2s=6650-3000=3650＞3600，所以张茗属于“就业不理想“的学生．〔2〕第一组有1000×0.00005×100=5人，第二组有1000×0.00010×100=10人，第三组有1000×0.00015×100=15人，所以按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽2人，记为B，C，第三组抽3人，记为D，E，F，从这6人中抽2人一共有15种：〔A，B〕，〔A，C〕，〔A，D〕，〔A，E〕，〔A，F〕，〔B，C〕，〔B，D〕，〔B，E〕，〔B，F〕，〔C，D〕，〔C，E〕，〔C，F〕，〔D，E〕，〔D，F〕，〔E，F〕．其中恰有一人月薪不超过5000元的有9种：〔A，D〕，〔A，E〕，〔A，F〕，〔B，D〕，〔B，E〕，〔B，F〕，〔C，D〕，〔C，E〕，〔C，F〕．根据古典概型概率公式可得P=915=35．〔3〕方案一：月薪在3000-4000之间的收取1000×0.00005×200×3500×0.1=3500；月薪在4000-5000之间的收取1000×0.00010×200×4500×0.1=9000；月薪在5000-6000之间的收取1000×0.00015×200×5500×0.1=16500；月薪在6000-7000之间的收取1000×0.00030×200×6500×0.1=39000；月薪在7000-8000之间的收取1000×0.00020×200×7500×0.1=30000；月薪在8000-9000之间的收取1000×0.00015×200×8500×0.1=24500；月薪在9000-10000之间的收取1000×0.00005×200×9500×0.1=9500；一共收取132000元．方案二：月薪高于6650的收取800×200×1000×〔0.00020+0.00015+0.00005〕=64000；月薪不低于4000但低于6650的收取400×200×1000×〔0.00010+0.00015+0.00030〕=44000；一共收取108000．故方案二最终总费用更少．【点睛】此题考察了频率分布直方图中平均数的计算，考察古典概型的概率的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.xOy中，不过原点的动直线l：y=x+m交抛物线C：x2=2py〔p＞0〕于A、B两点，且22OA OB m m ⋅=-．〔1〕求抛物线C 的方程；〔2〕设直线y=x 与C 的异于原点的交点为P ，直线l 与C 在点P 处的切线的交点为D ，设2||PD t DA DB=⋅，问：t 是否为定值？假设为定值，求出该定值；假设不为定值，试说明理由．【答案】〔1〕y x 22=；〔2〕见解析【解析】【分析】 〔1〕联立22y x m x py=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：2220x px pm --=，然后根据韦达定理以及向量数量积列式可得；〔2〕先求出C 在点P 处的切线为220x y --=，联立220x y y x m --=⎧⎨=+⎩求出22||5PD m =，然后联立直线l 的HY 参数方程与C ，利用参数的几何意义可得2||||2DA DB m =，最后可得比值为定值．【详解】〔1〕联立22y x m x py=+⎧⎨=⎩消去y 并整理得：2220x px pm --=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，那么122x x p +=，122x x pm =-，22212121212()()()22y y x m x m x x m x x m pm pm m m ∴=++=+++=-++=，∴22121222OA OB x x y y pm m m m =+=-+=-，22pm m ∴=，又因为0m ≠，1p ∴=，抛物线C 的方程为：y x 22=． 〔2〕由22y x x y =⎧⎨=⎩可得(2,2)P ， 由22x y =求导得y x '=，所以C 在点P 处的切线为：22(2)y x -=-，即220x y --=，联立220x y y x m--=⎧⎨=+⎩可得(2,22)D m m ++，2222||(22)(222)5PD m m m ∴=+-++-=， 又直线l的参数方程为：2(222x m t y m ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩为参数〕，将直线l 的参数方程代入到y x 22=得22(220t m m +++=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，那么221212|||||||||||2|2DA DB t t t t m m ====，222||55||||22PD m t DA DB m ∴===为定值． 【点睛】此题主要考察抛物线的HY 方程的求法，考察直线和抛物线的位置关系和定值问题，考察数量积的计算，考察直线参数方程t 的几何意义，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.21.函数()()f x lnx mx m R =-∈．〔1〕讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性与最值；〔2〕证明：当0x >时，212()x x e e ln x x --+>+．【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕11()mx f x m x x-'=-=，由此利用导数性质能讨论函数()f x 在(0,)+∞上的单调性与最值．〔2〕推导出1lnx x -，从而1x e x -，21x e x --，只要证221()x ln x x ->+，即证212x e x x ->+，由此能证明当0x >时，212()x x e e ln x x --+>+．【详解】〔1〕()f x lnx mx =-，m R ∈，0x ∴>，11()mx f x m x x -'=-=， 当0m 时，1()0f x x'=>，函数()f x 在(0,)+∞上的单调递增，无最值；当0m >时，令11()0mx f x m x x -'=-=>，得10x m<<， )(x f ∴在1(0,)m 上单调递增； 令1()0mx f x x -'=<，得1x m>，)(x f ∴在1(m ，)+∞上单调递减． 最大值为1()1f lnm m==--，无最小值． ∴当0m 时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞，无单调减区间，无最值；当0m >时，()f x 的单调增区间是1(0,)m ，单调减区间是1(m ，)+∞．最大值为1()1f lnm m ==--，无最小值． 证明：〔2〕1lnx x -，1x e x -∴，21x e x --，2121x x e e x --∴+-，只要证221()x ln x x ->+，即证212x e x x ->+，由1x e x -，1x e x +相乘，得212x e x x -+．∴当0x >时，212()x x e e ln x x --+>+．【点睛】此题考察不等式的证明，考察导数性质、函数的单调性、最值等根底知识，考察运算求解才能，考察化归与转化思想，是中档题．xOy 中，曲线C 的参数方程为()2x cos y sin 为参数φφϕ=⎧=⎨⎩，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 14cos πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 〔1〕设曲线C 与直线l 的交点为A 、B ，求弦AB 的中点P 的直角坐标；〔2〕动点Q 在曲线C 上，在〔1〕的条件下，试求△OPQ 面积的最大值．【答案】〔1〕4155P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-；〔2〕5【解析】【分析】 〔1〕先把曲线C 和直线l 化成普通方程，再联立根据韦达定理和中点公式可得P 的坐标； 〔2〕先求出OP 的长度和直线OP 的方程，根据曲线C 的参数方程设出Q 的坐标，求出Q 到直线OP 的间隔 得最大值，再求出面积．【详解】由2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩消去参数ϕ，得2214x y +=，cos()14πθ+=cos cos sin sin 142πθθ=，得01=--y x ， 联立221410x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 并整理得0852=-x x ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 那么1285x x +=，12128211255y y x x ∴+=-+-=-=-， 4(5P ∴，1)5-． 〔2〕=5， 所以直线OP 的方程为x+4y=0，设Q 〔2cosα，sinα〕，那么点Q 到直线x+4y=0的间隔， OPQ S ∆∴=12|OP|d≤12【点睛】此题主要考察参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考察直线和椭圆的位置关系，考察三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.23.函数()|1||2|f x x x =---．〔1〕解不等式2()31f x x x -+．〔2〕记函数2()y f x =的值域为M ，假设[a ，21]a M -⊆，试务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕{|13}x x x 或≤≥；〔2〕312a <≤【解析】【分析】〔1〕利用分段函数表示()f x ，利用分类讨论法求不等式()231f x x x -+的解集；〔2〕由〔1〕知函数()f x 的值域，写出()2y f x =的值域M ，根据[a ，21]a M -⊆列不等式组求得实数a 的取值范围．【详解】〔1〕函数()1,11223,121,1x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩；1x 时，不等式()231f x x x -+化为2131x x --+，解得1x 或者2x ，取1x ；12x <<时，不等式()231f x x x -+化为22331x x x --+，解得1x 或者4x ，取x ∈∅；2x 时，不等式()231f x x x -+化为2131x x -+，解得0x 或者3x ，取3x ；综上所述，不等式()231f x x x -+的解集为{|1x x 或者3}x ；〔2〕由〔1〕知，函数()f x 的值域为[1-，1]，那么函数()2y f x =的值域为[2M =-，2]，由[a ，21]a M -⊆，得212212a a a a <-⎧⎪-⎨⎪-⎩，解得312a <， 所以实数a 的取值范围是312a <． 【点睛】此题考察了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考察了集合的定义与应用问题，是中档题．。
湖南省邵阳市第二中学2023届高三下学期高考全真模拟数学试题(含解析)
z1
对应的点与
z2
1 2i i
对应的点关于虚轴对称，则
z1
等于（
）
A． 2 i
B． 2 i
C． 2 i
D． 2 i
3．已知点
P
在单位圆
x2
y2
1 上，点
A 2, 0
，点
B 0, 2
，则
PA PB
的取值范围是
（）
A． 1, 3
B． 1, 3
C． 2 2 1, 2 2 1
D． 1, 2 2 1
则 a 的取值范围是______.
五、解答题
17．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，若 3cos A B cos 2C 2 .
(1)求角 C 的大小； (2)若 c 6 ，求 ABC 的面积 S 的最大值.
18．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 an2 2an1 an ， a5 14 ， S4 26 . (1)求数列an 的通项公式；
B．
f
x
在区间
5π 12
,
π 6
上单调递减
C．将 f x 的图象向左平移 π 个单位所得函数为奇函数
12
D．方程 f x 1 在区间0, 2π 内有 4 个根
2
11．定义在 R 上的奇函数 f x 满足： f 2 3x 是偶函数，且 f 1 2 ，则（ ）
A． f 4 0
B． f 7999 2
可得正方体的边长.
【详解】设正方体棱长为 2a ，
可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为 2a 的正方形，高为 a ，
答案第 1 页，共 21 页
高三数学下学期第二次模拟考试试题 文(含解析)
——————————教育资源共享步入知识海洋————————2019高三下学期第二次模拟考试试卷文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，，，则集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析: 根据题意和集合的基本运算可知1B，3∈A，3B，从而得解.详解: 因为全集U={1，2，3，4，5}，，，则1B，3∈A，3B，则B={2，4，5}.故答案为：B点睛：(1)本题主要考查交集、并集和补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用.本题运用韦恩图分析比较好.2. 若复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第一象限，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先化简复数z，再根据z在复平面内对应的点在第一象限得到a的不等式，解不等式即得a的取值范围.详解：由题得，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对复数基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2)复数和点（a,b）是一一对应的关系.3. 对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则的值为（）A. 2B.C. 3D.【答案】D【解析】分析：先化简，再运行程序得解.详解：=因为4＞（-2），所以输出故答案为：D点睛：(1)本题主要考查程序框图、指数对数运算，意在考查学生对这些基础知识的运算能力.(2) 对数恒等式：(,且,), ,.4. 已知命题：“”，命题：“”，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析:先判断命题p和q的真假，再判断选项的真假.详解：对于命题p,当a=0,b=-1时，0>-1,但是|a|=0,|b|=1,|a|<|b|,所以命题p是假命题.对于命题q,,如所以命题q是真命题.所以为真命题.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查全称命题和特称命题的真假，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对这些基础知识的能力.(2) 复合命题的真假口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 18B. 24C. 32D. 36【答案】B【解析】分析：先利用模型法找到几何体原图，再求几何体的体积.详解:由三视图可知，几何体是三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图，三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，所以几何体的体积为故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的体积，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)通过三视图找原几何体一般有两种方法：直接法和模型法.本题利用模型法比较适宜.6. 《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第6节的容积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：设此等差数列为{a n}，公差d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，可得4a1+6d=3，3a1+21d=4，联立解出即可得出a1与d的值，由等差数列的通项公式计算可得答案．详解：根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{a n}，设其公差为d，且d＞0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=，d=，则第6节的容积a6=a1+5d=故答案为：A点睛：本题主要考查等差数列的通项，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力.7. 已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先求出|AB|的最小值，再求的最大值.详解：由题得所以当AB⊥x轴时，|AB|最小，|A最大.当AB⊥x轴时，|AB|=所以|A最大值为故答案为：D点睛：（1）本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)解答圆锥曲线的问题时，遇到曲线上动点到焦点的距离，要联想到圆锥曲线的定义.由于本题中有，所以要利用椭圆的定义解题.8. 曲线：如何变换得到曲线：（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】B【解析】分析：先化为正弦型函数，根据图象平移法则即可得出结论．详解：曲线C1：=所以曲线：图象向右平移个单位即可得到曲线：.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数图像的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和转化能力. (2) 平移变换口诀：左加右减，上加下减，把函数向左平移个单位，得到函数的图像，把函数向右平移个单位，得到函数的图像.9. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆交的右支于两点，若的一个内角为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由条件可知△PQF1为等边三角形，从而可得出P点坐标，代入双曲线方程化简得出离心率．详解：设双曲线方程为由对称性可知△PQF1为等腰三角形，若△PQF2的一个内角为60°，则△PQF1是等边三角形，∴△F1PQ的一个内角为600°，∴∠PF2Q=120°，设PQ交x轴于A，则|AF1|=|F1P|=c，|PA|=c，不妨设P在第二象限，则P（﹣2c，c），代入双曲线方程可得：∴令a=1可得：4c4﹣8c2+1=0，解得c2=1+或c2=1﹣（舍）．∴c=或c=﹣（舍）．∴e=.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查双曲线的简单几何性质和离心率的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本运算能力. (2) 圆锥曲线的离心率常见的有两种方法：公式法和方程法. 公式法就是先根据已知条件求出和,或者的关系，再代入离心率的公式化简求解.方程法就是把已知的等式化简可以得到一个关于和的方程,再把该方程化为关于离心率的一次或二次方程，直接计算出离心率.10. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先判断函数f(x)的奇偶性，再利用导数求函数f(x)的单调性，再解不等式得解. 详解：由题得=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.由题得.所以当x>0时，函数在单调递减，因为函数是奇函数，所以函数在单调递减，因为，所以f(2x+3)<-f(1)=f(-1),所以2x+3>-1,所以x>-2.故答案为：A点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查抽象函数不等式的解法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答抽象函数不等式，一般先化成的形式，再利用函数的单调性化成具体的函数不等式解答.11. 设均为小于1的正数，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先设=m,再求出，再作商比较它们的大小关系.详解：设=m,因为均为小于1的正数，所以m＜0，所以所以所以，同理，故答案为：B点睛：（1）本题主要考查指数对数的换算，考查指数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键有二，其一是看到要想到设=m，再对指互化.其二是想到作商比较大小，并把他们化成指数相同的数比较大小.12. 在数列中，，一个7行8列的数表中，第行第列的元素为，则该数表中所有不相等元素之和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由于该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1（i=1，2，…，7；j=1，2，…，8），根据等比数列的求和公式即可求出．详解：该矩阵的第i行第j列的元素c ij=a i•a j+a i+a j=（2i﹣1）（2j﹣1）+2i﹣1+2j﹣1=2i+j ﹣1 （i=1，2，…，7；j=1，2，…，8），其数据如下表所示：由表可知，该数表中所有不相等元素之和为22﹣1+23﹣1++=-14=故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等比数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)解答本题时，要注意审题，本题求的是“所有不相等．．．元素的和”.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在中，在边上任取一点，满足的概率为_______.【答案】.【解析】分析：利用几何概型求的概率.详解：设点M在BC上，且BM:MC=3：5，此时.当点P在线段MC上时，满足，所以所求的概率为.故答案为：点睛：（1）本题主要考查几何概型的计算，意在考查学生对该知识的掌握能力.(2) 几何概型的解题步骤:首先是判断事件是一维问题还是二维、三维问题（事件的结果与一个变量有关就是一维的问题，与两个变量有关就是二维的问题，与三个变量有关就是三维的问题）；接着，如果是一维的问题，先确定试验的全部结果和事件构成的区域长度（角度、弧长等），最后代公式；如果是二维、三维的问题，先设出二维或三维变量，再列出试验的全部结果和事件分别满足的约束条件，作出两个区域，最后计算两个区域的面积或体积代公式.14. 在平行四边形中，分别为边的中点，若（），则_______.【答案】2.【解析】分析：先利用平面向量基本定理把表示出来，再由已知得到x,y的方程组，解方程组即得x,y的值.详解：由题得因为，所以解之得故答案为：2点睛：（1）本题主要考查平面向量的加法法则、平面向量基本定理等，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)基底法是平面向量的高频考点，即用两个不共线的向量作为基底表示其它向量，本题用就是选择为基底，表示,使问题迎刃而解.15. 设满足约束条件，则的最大值为_______.【答案】4.【解析】分析：由题意作出其平面区域，当x，y都取到最大值时z有最大值，代入即可．详解：由题意作出其平面区域，由解得A（1，2），因为z=2x+y,所以y=-2x+z,所以直线的纵截距为z,所以直线的纵截距最大时，z最大.当直线y=-2x+z经过可行域A时，纵截距取得最大值，此时z最大.此时x=1，y=2时，z=2x+y有最大值2×1+2=4，故答案为：4点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握能力和数形结合思想方法.(2) 解答线性规划时，要理解，不是纵截距最小，z最小，要看函数的解析式，如：y=2x-z,直线的纵截距为-z,所以纵截距-z最小时，z最大.16. 已知正三棱柱，侧面的面积为，则该正三棱柱外接球表面积的最小值为______.【答案】.【解析】分析：先求出底面三角形的外接圆的半径，再求三棱柱外接球的表面积，再利用基本不等式求最小值.详解：设BC=a,,则ab=.底面三角形外接圆的半径为r,则所以所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为故答案为：点睛：(1)本题主要考查几何体的外接球问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2) 求几何体外接球的半径一般有两种方法:模型法和解三角形法.模型法就是把几何体放在长方体中，使几何体的顶点和长方体的若干个顶点重合，则几何体的外接球和长方体的外接球是重合的，长方体的外接球的半径就是几何体的外接球半径.如果已知中有多个垂直关系，可以考虑用此种方法.解三角形法就是找到球心和截面圆的圆心，找到、球的半径、截面圆的半径确定的,再解求出球的半径.三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在中，边上一点满足，.（1）若，求边的长；（2）若，求.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：(1)先求出，再利用余弦定理求边的长.(2) 在中，利用正弦定理得到，再化简求sinB的值.详解：（1）∵，∴在中，，∴，中，，由余弦定理可得，所以（2）在中，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∴，化简得，，∵，∴.点睛：（1）本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解三角形一般要知道三个元素，且至少一个为边长，对于缺少的元素放到其它三角形中去解答.18. 某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知之间三组的人数可构成等差数列.（1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替），其中【答案】(1) .(2)列联表见解析，有的把握认为消费金额与性别有关.(3) .【解析】分析：（1）根据已知列关于m,n的方程组解之即得.(2)先完成2×2列联表，再计算的值判断.(3)先求调查对象的周平均消费，再求b的值.详解：（1）由频率分布直方图可知，，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，∴.点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验和回归方程，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.19. 多面体中，，，是边长为2的等边三角形，四边形是菱形，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】分析：（1）先证明平面平面，再证明平面.（2）先证明平面，再证明平面平面.详解：（1）证明：取的中点，连接因为分别是的中点，所以在菱形中，，在中，又，所以，，所以平面平面，平面，所以平面.（2）证明：连结，是边长为2的等边三角形，所以，，四边形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，∴又，所以平面平面，所以平面平面.点睛：（1）本题主要考查空间平行和垂直关系的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力. (2)证明空间的平行或垂直关系一般用几何方法和向量方法，本题用的是几何方法.20. 已知抛物线：的焦点，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.【答案】(1) .(2) 直线方程为，恒过点.【解析】【详解】分析：（1）设，直接利用抛物线的定义得到，将点代入抛物线方程，解得.（2）先求直线方程为，再求直线经过的定点.详解：（1）设，由抛物线定义，又，即，解得将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点由得，所以，所以，解得所以直线方程为，恒过点.点睛：（1）本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系和直线的定点问题. (2)解答本题的关键是求出直线方程为，这里需要利用韦达定理.21. 已知函数，为的导函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在上存在最大值0，求函数在上的最大值；（3）求证：当时，.【答案】(1) 当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.(2) 在处取得最大值.(3)见解析.【解析】分析：（1）对a分类讨论，求函数的单调区间.(2)根据函数在上存在最大值0转化得到a=1,再求函数在上的最大值.(3)转化成证明，再转化成证明，再转化成证明.详解：（1）由题意可知，，则，当时，，∴在上单调递增；当时，解得时，，时，∴在上单调递增，在上单调递减综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可知，且在处取得最大值，，即，观察可得当时，方程成立令，当时，，当时，∴在上单调递减，在单调递增，∴，∴当且仅当时，，所以，由题意可知，在上单调递减，所以在处取得最大值（3）由（2）可知，若，当时，，即，∴，∴，令，，当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，即，所以，所以当时，.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握能力和转化分析推理能力. (2)解答本题的关键是转化，先转化成证明，再转化成证明，再转化成证明.请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若直线与相切，求的直角坐标方程；（2）若，设与的交点为，求的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）先根据直线与C相切得到k的值，再写出直线的直角坐标方程.(2)先求AB的长，再求点C到直线AB的距离，最后求的面积.详解：（1）由可得的直角坐标方程为，即，消去参数，可得，设，则直线的方程为，由题意，圆心到直线的距离，解得，所以直线的直角坐标方程为.（2）因为，所以直线方程为，原点到直线的距离,联立解得或,所以，所以.点睛：（1）本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力。
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年河北省部分学校高三下学期高考演练数学模拟试题（一模）一、单选题1．已知集合{}220|A x x x =-<，集合{}210|2x B x -=-≤，则A B ⋃=（）A ．{}|02x x <<B ．{}2|0x x <≤C ．{}|2x x <D ．{}2|x x ≤【正确答案】D【分析】根据一元二次不等式以及指数不等式化简集合,A B ,由集合的并运算即可求解.【详解】由于22021022202x x x x ---≤⇒≤⇒-≤⇒≤所以{}|02A x x =<<，{}|2B x x =≤，所以{}|2A B x x ⋃=≤.故选：D.2．已知复数1z ，2z ，“21z z >”是“211z z >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义求解.【详解】若21z z >，可得复数1z ，2z 都为实数，当120z z <<时，211z z <，充分性不成立；反之，若211z z >取复数11i z =+，222i z =+，满足2121z z =>，但此时复数1z ，2z 均为虚数，不能比较大小，必要性不成立，所以“21z z >”是“211z z >”的既不充分也不必要条件；故选：D.3．若函数923log ,14()1,123x x f x x x x ⎧->⎪⎪=⎨⎪≤⎪++⎩，则523f f ⎡⎤=⎪⎢⎥⎢⎣⎛ ⎝⎦⎭⎥⎫（）A ．517B ．175C ．417D ．174【正确答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于5231>，所以5522935313log 34442f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，故5211431217134f f f ⎡⎤⎛⎫==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+⎪⎭+⎛⎫ ⎝=，故选C.4．2021年5月22日上午10点40分，祝融号火星车安全驶离着陆平台，到达火星表面，开始巡视探测.为了帮助同学们深入了解祝融号的相关知识，某学校进行了一次航天知识讲座，讲座结束之后，学校进行了一次相关知识测试（满分100分），学生得分都在[]50,100内，其频率分布直方图如下，若各组分数用该组的中间值代替，估计这些学生得分的平均数为（）A ．70.2B ．72.6C ．75.4D ．82.2【正确答案】C【分析】根据题意，由频率之和为1，可得m 的值，然后结合平均数的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由条件可得()0.0040.0540.0120.010101m ++++⨯=，则0.020m =，故得分的平均数为.()0.004550.020650.054750.012850.010951075.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故选：C5．中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221x y z a b c++=（0,z ≥，,,0a b c >，且a ，b ，c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)m m π>的圆，给出下列结论：①a b =；②c m =；③2ac m =；④若ac m >，则1c >，其中正确命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据已知得a b m ==，结合题设判断各项正误即可.【详解】在2222221x y z a b c ++=中，令0z =可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221x y a b+=，由室内地面是面积为2πm (0)m >的圆，故a b =，①对；且22ππa m =，则a b m ==，又,,a b c 不全相等，故c m ≠，②错；若2ac m =，则2mc m =，可得c m =，与,,a b c 不全相等矛盾，③错；若ac m >，则0mc m >>，故1c >，④对.故选：B.6．已知α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，则tan α=（）A ．24B 33C 3D ．22【正确答案】A【分析】根据α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，利用二倍角公式整理得26sin sin 10αα--=，求得sin α，再利用基本关系求解.【详解】∵α是第三象限角，3cos 2sin 2αα+=，∴()2312sin sin 2αα-+=，∴26sin sin 10αα--=，解得1sin 3α=-或1sin 2α=(舍去)，∴22cos 1sin 3αα=--=-，∴2tan 4α=，故选：A.7．直线:40l ax by +-=与圆22:4O x y +=相切，则22(3)(4)a b -+-的最大值为（）A ．16B ．25C ．49D ．81【正确答案】C【分析】利用圆与直线的位置关系得出,a b 的方程，根据方程分析利用22(3)(4)a b -+-表示的几何意义求解即可.【详解】由直线l 与圆O 相切可得：圆心()0,0O 到直线l 的距离等于圆的半径，2=，故224a b +=，即点(,)a b 在圆O 上，22(3)(4)a b -+-的几何意义为圆上的点(,)a b 与点(3,4)之间距离的平方，由224a b +=圆心为()0,0，因为22344+>，所以点(3,4)在圆224a b +=外，所以点(,)a b 到点(3,4)的距离的最大值为圆心到(3,4)的距离与圆半径之和，即27d r +=，所以22(3)(4)a b -+-的最大值为2749=.故选：C.8．为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A ，B ，C 三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（）A ．144种B ．162种C ．216种D ．288种【正确答案】A【分析】利用排列组合公式进行合理分类讨论即可.【详解】分两种情况：第一种情况，先从4本里选其中2本，作为一组，有24C 种，第二组从第一组所选书籍中选1本，再从另外2本中选取1本作为一组，剩余一本作为一组，再分给3名同学，共有211342231C C C A 2方法；第二种情况：从4本里任选2本作为一组，剩余的两本作为一组，有224222C C A 种分法，分给3名同学中的2名同学，有23A 种分法，剩余1名同学，从这4本中任选一本阅读，有14C 种分法，共有2221423422C C A C A ⋅种方法.故这三名同学选取图书的不同情况有222113214242233422C C 1C C C A A C 1442A +⋅=种.故选：A.二、多选题9．已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>的最小正周期为π2，若12()()2f x f x =-，则（）A ．()f x 关于直线1x x =对称B ．()f x 关于点2(,0)x 对称C ．12x x +的最大值为π2D ．12x x +的最小值为π8【正确答案】AD【分析】根据辅助角公式化简()f x ，利用周期的公式求解4ω=，进而根据12()()2f x f x =-可判断12,x x x x ==为()f x 的对称轴，即可判断AB,利用对称中心可求解DC.【详解】由π()sin cos cos )4f x x x x ω=+=+的最小正周期为π2可得2ππ2ω=，即4ω=，故π())4f x x =+，由12()()2f x f x =-可得1()f x ，2()f x 分别为()f x 的最大值和最小值，故()f x 关于直线1x x =对称，不关于点2(,0)x 对称，故A 正确，B 错误；由()π4πZ 4x k k +=∈可得()1πZ 416x kx k =-∈，故()f x 的对称中心()1ππ,0Z 416k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，则121π1π2ππ,Z 41628x x n n n +=-=-∈，当0n =时，12x x +取得最小值π8，没有最大值，故C 错误，D 正确.故选：AD10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为2，过C 上点P 的直线l 与C 的渐近线分别交于点A ，B ，且点P 为AB 的中点，则下列正确的是（）A ．若(,)P m n 且直线l 的斜率存在，直线l 的方程为21mynx a -=B ．若(2,1)P ，直线l 的斜率为1C．若离心率e =2OAB S=△D ．若直线l 的斜率不存在，2AB =【正确答案】BCD【分析】根据点差法可得直线的斜率，进而可判断A ，利用A 选项的求解可判断B ，利用离心率可得渐近线方程，进而联立直线AB 与渐近线方程得交点坐标，利用三角形面积公式以及双曲线方程可判断C ，根据顶点和渐近线方程可求解D.【详解】由题意1b =，双曲线222:1x C y a-=.对于A ，若(,)P m n ，则2221m n a-=，即2222m a n a -=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则221120x y a -=，222220x y a -=，利用点差法可得121222212122()2ABy y x x m m k x x a y y a n a n-+===-+=，所以直线l 的方程为y n -=2()mx m a n-，即2222a ny a n mx m -=-，所以22222mx a ny m a n a -=-=，即21mxny a -=，故A 错误；对于B ，若(2,1)P ，可得222211a -=,则a =l 的斜率为22121m a n ==⨯，即B 正确；对于C，若离心率222,2c e c a b a==+，可得2a =.则双曲线22:14x C y -=，其渐近线方程为2xy =±，设11(,)2x A x ，22(,2xB x -，直线()()121112:22x x x AB y x x x x +=-+-，令121220,x xy x x x ==+，则121221122212221OAB x x x x x x S x x +=+=△，由A 知AB 方程为14mxny -=，联立方程142mxny x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得142x m n =-，同理可得242x m n =+，所以1211442222OAB S x x m n m n ==⨯-+△2288244m n ===-，故C 正确；对于D ，若直线l 的斜率不存在，则直线l 过双曲线的顶点，所以(,0)P a ±，双曲线的渐近线方程为1y x a=±，当x a =±时，代入渐近线方程易得A ，B 两点的纵坐标为1±，所以2AB =，故D 正确；故选：BCD.11．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，点P ，Q ，M 分别为11A D ，11C D ，BC 的中点，下列结论正确的有（）A ．//AC 平面PQMB ．该四棱柱有外接球，则四边形ABCD 为正方形C ．BC 与平面PQM 不可能垂直D ．BD QM⊥【正确答案】ABC【分析】根据线线平行即可判断A ，利用外接圆的对角互补，则可判断B ，利用反证法，结合线面垂直的性质定理可判断C,D.【详解】对A ，连接11AC ，由点P ，Q ，分别为11A D ，11C D 可得11//ACPQ ，11111////.AA BB CC AA BB CC == ，所以四边形11A ACC 为平行四边形，则11//AC AC ，故//AC PQ ，AC ⊄平面PQM ,PQ ⊂平面PQM ,则//AC 平面PQM ，即A 正确；对B ，若四棱柱有外接球，则四边形ABCD 有外接圆，则ABCD 对角互补，则ABCD 为正方形，即B 正确；对C ，若BC ⊥平面PQM ，PQ ⊂平面PQM ,则BC PQ ⊥，由//PQ AC 可得BC AC ⊥，与条件矛盾，故BC 与平面PQM 不可能垂直，即C 正确；对D ，取CD 的中点N ，连接MN ，QN ，则//MN BD ，1//QN CC ,1CC ⊥ 平面ABCD ，QN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂ 平面ABCD ，QN MN ∴⊥，90QNM ∴∠=︒，则90QMN ∠<︒，故BD 与QM 不垂直，即D 错误.故选：ABC.12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线2x =对称，当[0,2]x ∈时，2()f x x =，若方程()4log (5)(0,1)a f x x a a >=+≠在[]4,6-上恰有5个实数解，则（）A ．()f x 的周期为4B ．()f x 在[]8,10上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,2D ．711a <<【正确答案】AD【分析】由对称性与奇偶性得到函数的周期性，即可判断A 、B ，结合所给函数解析式求出函数的值域，即可判断C ，画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象，数形结合，即可判断D.【详解】由()f x 的图象关于2x =对称可得(4)()f x f x +=-，再由()f x 为偶函数可得()()f x f x -=，故()(4)f x f x =+，即()f x 的周期为4，即A 正确；当[0,2]x ∈时，由2()f x x =，可得()f x 在[0,2]上单调递增，故()f x 在[]8,10上单调递增，即B 错误；又(0)0f =，(2)4f =，故()f x 的值域为[]0,4，即C 错误；在同一坐标系下画出函数()y f x =与4log (5)(1)a y x a =+>的图象如图所示.由图可知，要使()y f x =与()4log (5)b g x x =+在[]4,6-上恰有5个不同交点，只需()()24641g g a ⎧<⎪>⎨⎪>⎩，即log 71log 1111a a a <⎧⎪<⎨⎪>⎩，解得711a <<，即a 的取值范围为()7,11，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知O 为ABC 的外心，若2OA =，且75BAC ∠=︒，则OB OC ⋅=__________.【正确答案】23-【分析】由平面向量数量积公式进行求解.【详解】由圆的性质可得2150BOC BAC ∠=∠=︒，2OA OB OC ===，故cos 22cos15023OB OC OB OC BAC ⋅=⋅∠=⨯⨯︒= 故23-14．若函数4()ln 42mxf x x-=-的图象关于原点对称，则实数m 的值为__________.【正确答案】2-【分析】根据奇函数的性质根据()()f x f x -=-，即可求解.【详解】依题意，()()f x f x -=-，即44ln ln 4242mx mxx x-+=-+,所以442424mx x x mx +-=+-，解得2m =±，当2m =时，42()ln42xf x x-=-，定义域{}2x x ≠不关于原点对称，故舍去，当2m =-时，42()ln 42xf x x+=-，定义域为{}22x x -<<，符合要求，故2m =-，故2-15．函数33()sincos sin cos 2222x x x xf x =-的最小值为__________.【正确答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sin cos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故14-四、双空题16．如图，在三棱锥A BCD -中，AB CD ⊥，AD BC ⊥，且3BD AC =，点E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AC 与BD 所成角的大小为__________，AC 与EF 所成角的余弦值为__________.【正确答案】90︒10【分析】根据异面直线夹角的定义作辅助线，构造三角形.【详解】取AB 的中点G ，连接EG ，FG ，则//FG AC ，//EG BD ，故EFG ∠或其补角为异面直线AC 与EF 所成的角，过A 作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO ，则AO CD ⊥，又AB CD ⊥，且AB AO A = ，故CD ⊥平面AOB ，故BO CD ⊥，同理可得DO BC ⊥，即O 为BCD △的垂心，故BD CO ⊥，又AO BD ⊥，AO CO O = ，AO ⊂平面AOC ，CO ⊂平面AOC ，故BD ⊥平面AOC ，故AC BD ⊥，即AC 与BD 所成角为90︒；所以90EGF ∠=︒，由3BD AC =可得3EG FG =，故cos FG EFG EF ∠==即异面直线AC 与EF故①90︒，②10.五、解答题17．已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，2a 是1a ，4a 的等比中项，1278S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知1213n a n n b a --=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)n a n=(2)(1)31nn T n =-⨯+【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，即可得结果；（2）由（1）可得：1(21)3n n b n -=-⨯，利用错位相减法求和.【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，因为2a 是1a ，4a 的等比中项，则2214a a a =，即2111()(3)a d a a d +=+，且0d ≠，整理得1d a =①，又因为121121211782dS a =+⨯⨯=，整理得163339a d +=②由①②解得，11a =，1d =，所以()11n a n n =+-=.（2）由（1）知，()11213213n n n n b a n ---=⨯=-⨯，则021133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯，可得12313133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯，两式相减得0123121323232323(21)3n nn T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯16(13)1(21)313n n n --=+--⨯-(22)32n n =-⨯-，所以(1)31nn T n =-⨯+.18．为了了解大家对养宠物的看法，某单位对本单位450名员工（其中女职工有150人）进行了调查，发现女职工中支持养宠物的职工占13，若从男职工与女职工中各随机选取一名，至少有1名职工支持养宠物的概率为12.(1)求该单位男职工支持养宠物的人数，并填写下列22⨯列联表；支持养宠物不支持养宠物合计男职工女职工合计450(2)依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++.α0.100.050.0100.001x α2.7063.8416.63510.828【正确答案】(1)表格见解析(2)不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关【分析】（1）运用对立事件列方程求出男职工支持养宠物的概率p ，再求出男职工中支持养宠物的人数；（2）根据卡方公式求解.【详解】（1）从男职工中随机选取1人，设支持养宠物的概率为p ，则2人中至少有一名支持养宠物是都不支持养宠物的对立事件，∴111(1)(1)32p ---=，解得14p =，则男职工中支持养宠物的人数为1300745⨯=，22⨯列联表如下：支持养宠物不支持养宠物合计男职工75225300女职工50100150合计125325450（2）零假设为：0H ：性别与态度无关联；由于22450(7510022550) 3.462 3.841125325300150χ<⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关；综上，男职工中支持养宠物的人数为75；不能认为该单位职工是否支持养宠物与性别有关.19．在ABC 中，4AB =，AC =点D 为BC 的中点，连接AD 并延长到点E ，使3AE DE =.(1)若1DE =，求BAC ∠的余弦值；(2)若π4ABC ∠=，求线段BE 的长.【正确答案】(1)4-2【分析】（1）设BD DC x ==，由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=结合余弦定理求解即可求出x =ABC 中，由余弦定理即可求出答案.（2）在ABC 中，由余弦定理求出BC =ABD △中，由余弦定理求出AD =，连接BE ，在ABE 中，由余弦定理即可求出线段BE 的长.【详解】（1）因为1DE =，3AE DE =，所以2AD =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，设BD DC x ==，则222222022BD AD AB CD AD AC BD AD CD AD+-+-+=⋅⋅，即224164802222x x x x +-+-+=⋅⋅⋅⋅，解得x =2BC BD ==在ABC 中，由余弦定理知，222cos2AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅（2）在ABC 中，由余弦定理知，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，所以2816242BC BC =+-⋅⋅⋅，化简得280BC -+=，解得BC =因为D 是BC 的中点，所以12BD BC ==在ABD △中，由余弦定理知，2222cos AD AB BD AB BD ABC =+-⋅⋅∠16224102=+-⨯=，所以AD =，因为3AE DE =，所以32AE AD ==在ABD △中，由余弦定理知，222cos2AB AD BD BAE AB AD +-∠=⋅连接BE ，在ABE 中，由余弦定理知，2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅∠=351624222⎛⎫+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，所以BE =20．如图，在三棱锥-P ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，若PAC △为等边三角形，ABC 为等腰直角三角形，且AC BC =，点E 为AC 的中点，点D 在线段AB 上，且4AB AD =.(1)证明：AB ⊥平面PDE ；(2)求平面PDE 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析4【分析】（1）作出辅助线，得到DE AB ⊥，由三线合一得到PE AC ⊥，从而得到线面垂直，面面垂直，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标线，利用空间向量求解二面角的余弦值.【详解】（1）如图，取AB 的中点G ，由AC BC =可得CG AB ⊥，由4AB AD =可得D 为AG 的中点，由E 为AC 的中点可得DE 为ACG 的中位线，∴DE CG ∥，∴DE AB ⊥，∵E 为AC 的中点，PA PC =，∴PE AC ⊥，∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，PE 在面PAC 内，∴PE ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴PE AB ⊥，又PE DE E = ，且PE DE ⊂，平面PDE ，∴AB ⊥平面PDE .（2）以C 为原点，CA 、CB 为x 、y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，设4PA =.则(4,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C，P ，则(2,0,PA =- ，()4,4,0AB =-，∴1(1,1,4PD PA AD PA AB =+=+=-，(2,4,PB =--，(2,0,PC =--，设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =，由24020n PB x y z n PC x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，解得0y =，令x =1z =-，故1)n =-，由（1）可知(4,4,0)AB =-为平面PDE 的一个法向量，∴cos,4ABAB nA nBn=⋅=-⋅，又平面PDE与平面PBC21．已知抛物线2:2(0)C x py p=>的焦点为F，直线:(1)2(0)l y k x k=>--与C交于A，B 两点，当3k=时，28AF BF+=.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线:(1)2m y k x=---与抛物线C交于M，N两点，证明：由直线AM，直线BN及y 轴围成的三角形为等腰三角形.【正确答案】(1)24x y=(2)证明见解析【分析】（1）根据直线抛物线方程的联立以及抛物线的定义即可求解；（2）根据直线与抛物线方程的联立以及坐标关系即可求解.【详解】（1）当3k=时，直线:3(1)235l y x x=--=-，与22x py=联立消去y，整理可得26100x px p-+=，由0∆>得236400p p->，即109p>.设11(,)A x y，22(,)B x y，可得126x x p+=，所以()12123101810y y x x p +=+-=-，由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-，根据抛物线的定义可得12p AF y =+，22p BF y =+，所以121810191028AF BF y y p p p p +=++=-+=-=，解得2p =，满足0∆>，所以抛物线C 的方程为24x y =.（2）直线():12(0)l y k x k =-->与24x y =联立可得24480x kx k -++=，由0∆>得21616320k k -->，即2k >或1k <-（舍）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=；直线:(1)2m y k x =---与24x y =联立消去y ，整理可得24480x kx k +-+=，由0∆>得21616320k k +->，即1k >或2k <-（舍），故2k >，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344x x k +=-；因为2231313131314()4AMy y x x x xk x x x x --+===--，同理424BN x x k +=，所以123404AMBN x x x xk k ++++==，所以由直线AM ，直线BN 及y 轴围成的三角形为等腰三角形.22．已知函数()()2ln 2R f x ax x x x a =--∈.(1)若4a =，求()f x '的极值；(2)若函数()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，且21x ex >，求证.12ln ln 3a x x +>【正确答案】(1)极大值为4ln 22-，无极小值(2)证明见解析【分析】（1）对()f x 求导，判断()f x '的单调性，即可求出()f x '的极值；（2）根据极值点的概念整理原不等式可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-即112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，构建新函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，求导，利用导数证明()2t ϕ>即可.【详解】（1）2()ln 2f x ax x x x =--的定义域为(0,)+∞，当4a =时，()4ln 22f x x x '=-+，设()4ln 22g x x x =-+，则442()2xg x x x-'=-=，由()0g x =可得2x =，当02x <<时，()0g x '>，当2x >时，()0g x '<，∴()f x '在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，∴()f x '的极大值为(2)4ln 22f '=-，无极小值；（2）由()20f x x +=可得2 ln 0ax x x -=，即1ln xa x=.设ln ()(0)xh x x x=>，则21ln ()x h x x -'=.由()0h x '=可得e x =，当(0,e)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当(e,)x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.∴()h x 有极大值1(e)eh =，当01x <<时，()0h x <，当1x >时，()0h x >.要使()2y f x x =+有两个零点1x ，2x ，需有110ea <<，即e a >.∵1212ln ln 1x x a x x ==，由比例的性质可得12211221ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，即()21211221ln ln x x x x x x x x =+-，故121212122211111ln()ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++==--，设21x t x =，由21e 0x x >>可得t e >，设函数1()ln (e)1t t t t t ϕ+=>-，则212ln ()(1)t t t t t ϕ--'=-，设1()2ln s t t t t =--，则22211()110s t t t t ⎛⎫'=-+=-> ⎪⎝⎭，∴()s t 在(e,)+∞上单调递增，故1()(e)e 20es t s >=-->，故()0t ϕ'>，∴()t ϕ在(e,)+∞上单调递增，故e 12()(e)12e 1e 1t ϕϕ+>==+>--，∴212e x x >，故312e ax x >，故312ln()ln e ax x >，即12ln ln 3a x x +>.关键点点睛：本题（2）的关键点在于由题意得出1212ln ln 1x x a x x ==，建立关系112122111ln()ln 1x x xx x x x x +=-，再结合题意化简整理，再利用导数证明不等式.。
高三数学下学期模拟考试试题文扫描
一中2021届高三高考模拟考试?黄金卷二?文科数学参考答案一、选择题二、填空题13、 ︒90 14、 ⑤ 15、 31 16三、解答题17、解：(Ⅰ)由34584a a a +=-得428a =， ············· 〔2分〕∴由11328736a d a d +=⎧⎨+=⎩，得1222ad =⎧⎨=⎩， ·················· 〔4分〕即数列{}n a 的通项公式为22(1)2220n a n n =+-⨯=+. ········ 〔6分〕 (Ⅱ)由〔1〕得，2(1)222212n n n S n n n -=+⨯=+， ········· 〔7分〕 ∴202021n S n n n+=++， ····················· 〔9分〕 令*20()21,f n n n N n=++∈，那么()f n 在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增， ······ 〔11分〕∴当4n =或者5时，()f n 取到最小值30，即20n S n+的最小值为30. ·· 〔12分〕 18、解：(Ⅰ)由茎叶图得，甲的平均分为x 甲1(8688899091+96)906=++++=， 乙的平均分为x 乙1(84878990+94+96)906=+++=， ········ 〔2分〕又2222222129=[(86-90)(8890)(8990)(9090)(9190)(9690)]63s +-+-+-+-+-=甲，2222222149=[(84-90)(8790)(8990)(9090)(9490)(9690)]63s +-+-+-+-+-=乙， =x x甲乙，22s s <甲乙，故甲去更适宜. ················ 〔6分〕(Ⅱ)由题得，两次成绩一一共有15种情况， ············· 〔8分〕 即：(86,88)，(86,89)，(86,90)，(86,91)，(86,96)，(88,89)，(88,90)，(88, 91)，(88,96)，(89,90)，(89,91)，(89,96)，(90,91)，(90,96)，(91,96)， 其中至少有一次成绩在(90,100]之间有9种情况，即：(86,91)，(86,96) ，(88,91)，(88,96)，(89,91)，(89,96)，(90,91)，(90,96)，(91,96)，〔10分〕故至少有一次成绩在(90,100]之间的概率为35. ············ 〔12分〕19 、(Ⅰ)证明：4AC =，8BC =，AB =有222AC BC AB += ······················· 〔2分〕BC AC ∴⊥， ························· 〔3分〕又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ， ··········· 〔4分〕BC ∴⊥平面PAC . ························ 〔6分〕(Ⅱ)解：由〔1〕知，BC ⊥平面PAC .∴BC 为三棱锥B PAC -的高，且BC AC ⊥， ············ 〔7分〕∴在Rt ABC ∆中，AB = ············ 〔8分〕 ∴PAB ∆为等腰三角形，过点B 作PA 边的高交PA 于点D ，那么BD ==，∴11422PAB S PA BD ∆=⨯⨯=⨯⨯= ··········· 〔9分〕2142PAC S ∆=⨯= 8BC =，设点C 到平面PAB 的间隔 为h ，那么由C PAB B PAC V V --=得，1133PAB PAC S h S BC ∆∆⨯⨯=⨯⨯， ·······〔10分〕即11833h ⨯=⨯，解得h =，故点C 到平面PAB 的间隔 . ················· 〔12分〕 20、解：(Ⅰ)由题意知，动圆圆心C 到点F 的间隔 与到直线l 的间隔 相等， 〔2分〕 所以圆心C 的轨迹方程以F 为焦点，直线l 为准线的抛物线， ······ 〔4分〕∴动圆圆心C 的轨迹方程为： 24x y =. ··············· 〔6分〕(Ⅱ)由FB AF λ=得，,,A F B 三点一共线， ············· 〔7分〕 设直线AB 方程为：1y kx =+，那么214y kx x y=+⎧⎨=⎩ ⇒ 2440x kx --=， ················· 〔8分〕 于是4A B x x k +=，4A B x x =-， ·················· 〔9分〕因为42x y =，所以x y 21='，得)(2141:2A A A x x x x y AD -=-， 同理)(2141:2B B B x x x x y BD -=-，即2D x k =，1D y =-，知0=⋅AB DF ，即AB DF ⊥. ···················· 〔10分〕点D 到AB 的间隔 为122+==k DF d ，∴444)(22+=++=++=+=k x x k y y BF AF AB B A B A ， ····· 〔11分〕∴32214(1)2ABDS AB d k ∆=⋅=+∴当0k =时，ABD S ∆最小，最小面积为4. ·············· 〔12分〕21、解：(Ⅰ)225'()2f x x x=+-，·················· 〔2分〕 22252x x x -+=··················· 〔4分〕∴()f x 的单调增区间是，(2,)+∞，1(0,)2单调增区间是1(,2)2. ····· 〔6分〕(Ⅱ)由(Ⅰ)得，令()f x 在区间(0,1)上的最大值为1()32f =-，[]12(0,1),1,2x x ∃∈∀∈，都有12()()f x g x ≥成立，1()(1)21()(2)2f g f g ⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩即35382b b -≥-⎧⎨-≥-⎩得：8b ≥，所以实数的取值范围是[)8,+∞ ···················· 〔12分〕22、解：(Ⅰ)由2sin 4cos 0ρθθ-=得22sin 4cos ρθρθ=， ····· 〔2分〕即曲线C 的直角坐标方程为：24y x =. ················ 〔3分〕 直线的直角坐标方程为:22l y x =-. ················· 〔5分〕(Ⅱ)联立方程2422y x y x ⎧=⎨=-⎩⇒ 2310x x -+=， ············ 〔7分〕∴123x x += ， ························· 〔9分〕∴1225AB x x =++=. ······················ 〔10分〕23、解：(Ⅰ)由题得，21, 1()123, 1221, 2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪->⎩， ··· 〔3分〕那么结合()y f x =的图像可得，不等式()4f x ≤的解集为3522x -≤≤.·· 〔5分〕 (Ⅱ)由题得，()(1)g x kx k k x =+=+， ··············· 〔6分〕又x R ∀∈，有()()f x g x ≥恒成立，由几何意义知，k 的取值范围为21k -≤≤………………………………………. 〔10分〕励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2019-2020年高考数学下学期模拟考试试题 文
可编辑修改2019-2020年高考数学下学期模拟考试试题 文一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，≤≤，则A ．B ．C ．D ．2．在复平面内，复数（i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量，的夹角为，且，，则= A. 2 B. C. D.4．已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y的最小值为________．A 、1B 、2C 、3D 、45．下列有关命题的说法中，正确的是 A ．， B ．，使得 C ．“”是“”的必要不充分条件 D ．“”是“”的充分不必要条件6．若满足则下列不等式恒成立的是 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ）7．若把函数的图象上的所有点向右平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是A. B. C. D.8、函数f (x )＝(x ＋2)3－( 1 2)x 的零点所在区间是（A ）(－2，－1) （B ）(－1，0) （C ）(0，1) （D ）(1，2)9．根据如下样本数据得到的回归方程为.若，则每增加1个单位，就A ．增加个单位；B ．减少个单位；C ．增加个单位；D ．减少个单位.10．已知函数是R 上的偶函数，当时，都有.设，则（ ） A. B. C. D.11．已知双曲线的左右焦点分别为，过作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若△的面积为，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C.2 D.312．对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．13、已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为．直径为4的球的体积为，则3 4 5 6 74 2.5 0.5 0.5 2可编辑修改______________14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是 15．设点A （1，-1），若点P 满足=1,则P 到直 的距离的最大值是 .16．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论：①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列； ③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n 4；④若存在正整数k ，使，则.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
高三数学下学期模拟考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学下学期模拟考试试题〔含解析〕本卷须知：1.考试时间是是120分钟，总分值是150分；2.把每一小题之答案，写在答题卡上. 一、单项选择题1.集合1|02x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，(|B y y ==，那么A B =〔〕 A.∅ B.(,2]-∞C.[)1,2D.[]0,2【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式确定集合A ，求函数值域确定集合B ，再由交集定义计算．【详解】由102x x -≤-得(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，12x ≤<，即[1,2)A =，又2044x ≤-≤，所以02≤≤，即[0,2]B =，所以[1,2)A B ⋂=．应选：C ．【点睛】此题考察集合交集运算，考察解分式不等式，求函数值域，此题属于根底题． 2.复数z 满足342z i ++=，那么z z ⋅的最大值是〔〕A.7B.49C.9D.81【答案】B 【解析】【分析】 设zx yi =+，由342z i ++=可得出()()22344x y +++=，22z z x y ⋅=+，利用数形结合思想求出z z ⋅的最大值.【详解】设zx yi =+，那么()()34342z i x y i ++=+++==，()()22344x y ∴+++=，那么复数z 在复平面内所对应的点的轨迹是以()3,4--为圆心，以2为半径的圆，22z z x y ⋅=+，其几何意义是原点到圆()()22344x y +++=上一点间隔的平方，原点到5=，因此，z z ⋅的最大值为()22549+=，应选B.【点睛】此题考察复数的几何意义，考察复数对应点的轨迹，同时也涉及了点到圆上一点最值的求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成局部．某学生做引体向上运动，处于如下列图的平衡状态时，假设两只胳膊的夹角为60︒，每只胳膊的拉力大小均为400N ，那么该学生的体重〔单位：kg 〕约为〔〕〔参考数据：取重力加速度大小为210/ 1.732g m s ≈＝〕A.63B.69C.75D.81【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形法那么得到该学生的体重||||G F '=,利用余弦定理即可求出||F '得解.【详解】如图，设该学生的体重为G ,那么G F '=.由余弦定理得22222||4004002400400cos()3400,||40033F F π''=+-⨯⨯⨯=⨯∴= 所以||400369G =≈kg .应选：B【点睛】此题主要考察向量的平行四边形法那么和余弦定理解三角形，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.4.α，,22ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0ααββ->，那么以下结论正确的选项是〔〕 A.αβ> B.0αβ+>C.αβ<D.22αβ>【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()sin f x x x =，利用其导函数判断出单调区间，根据奇偶性和对称性可得正确选项.【详解】构造()sin f x x x =形式，那么()sin cos f x x x x +'=，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时导函数()0f x '≥，()f x 单调递增；,02x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时导函数()0f x '<，()f x 单调递减．又()f x 为偶函数，根据单调性和对称性可知选D.故本小题选D.【点睛】本小题主要考察构造函数法，考察利用导数研究函数的单调性以及求解不等式，属于中档题. 5.方舱的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用．某方舱医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班．假设甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，那么周五值夜班的护士为〔〕 A.甲 B.丙C.戊D.庚【答案】D 【解析】 【分析】对乙丙值班的时间是分三种情况讨论得解.【详解】假设乙丙分别在星期三和星期五值班，那么星期六甲和庚值班，不符合题意；假设乙丙分别在星期二和星期六值班，那么甲在星期日，庚在星期五值班，戊在星期一值班，丁在星期三值班；假设乙丙分别在星期一和星期日值班，显然不符合题意. 应选：D【点睛】此题主要考察分析推理，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析才能. 6.抛物线24y x ＝的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，MAF ∠的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q ．假设8AB =，PQ =〔〕A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】 【分析】 如图，先证明||||PM PF =，||||PM PN =,所以点P 是MN 的中点，根据中位线性质和抛物线的定义即得解.【详解】如图，由题得MAP QAP ∠=∠,||||AF AM =,所以||||AP MF MG GF ⊥=，.所以||||PMPF =,所以MPA PAF ∆≅∆,所以90PFB PNB ∠=∠=,所以||||PFB PNB PF PN ∆≅∆∴=，，所以||||PMPN =,即点P 是MN 的中点，所以111||(||||)(||||)||4222PQ AM BN AF BF AB =+=+== 应选：B【点睛】此题主要考察抛物线的定义和几何性质，考察直线和抛物线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大奉献之一．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1：“以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数〞，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1到9这九个数字，填在如图2所示的九宫格里，九宫格的中间填5，四个角填偶数，其余位置填奇数．那么每一横行、每一竖列以及两条对角线上3个数字的和都等于15的概率是〔〕图1图2A.13B.16C.172D.1144【答案】C 【解析】 【分析】先求出满足题意的所有排法的总数，再求出所有排法的总数，再由古典概型的概率公式求解即可.【详解】先排左上角的数字，可以排2,4,6,8，有4种排法，假设固定了左上角的偶数，如图，假设是2，那么有两种排法，当四个角的数字固定之后，其他空位的数字随其固定，所以一共有42=8⨯种排法满足题意. 要求所有的结果，可以先排四个角上的偶数，有44A 种结果，再排其他四个空位，有44A 种结果，一共有44442424576A A =⨯=.由古典概型的概率公式得444488157672P A A ===⋅.应选：C【点睛】此题主要考察古典概型的概率的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 8.直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公一共点1122(,),(,)A x y B x y ，其中12x x ＜，那么122x x +=〔〕A.1-B.0C.1D.a【答案】B 【解析】 【分析】 先分析出直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交，求出直线方程为231132y x x x =-，联立曲线方程3y x =，解方程组即得1220x x +=.【详解】问题等价于直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =有且只有两个公一共点1122(,),(,)A x y B x y ，画出函数的图象只能是这样：直线(0)y ax b b =+＞与曲线3y x =在点A 处相切，在点B 处相交.由题得切线的斜率为213k x =，切线方程为3223111113(),32y x x x x y x x x -=-∴=-.所以23113,2ax b x ==-,所以直线方程为231132y x x x =-.把直线方程和曲线方程3y x =联立得，323323111132,320x x x x x x x x =-∴-+=，所以2111()(2)0,x x x x x x -+=∴=或者12x x =-.所以21122,20x x x x =-∴+=.应选：B【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察直线和曲线的位置关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 二、多项选择题 9.点F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,AB CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方.那么以下结论中一定成立的是〔〕A.1112AB CD p += B.假设243AF BF p ⋅=，那么3k =C.OA OB OC OD ⋅=⋅D.四边形ABCD 面积最小值为216p【答案】AC 【解析】 【分析】先由AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，得到1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理得到2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩再由抛物线的焦点弦公式求出AB，CD ，最后根据题意，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为AB 的斜率为k ，AB CD ⊥，所以1CD k k=-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得，222221(2)04k x p k x k p ，2122212(2)14p k x x k x x p ⎧++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 同理可得22212(1)2(1)1p k CD p k k +==+那么有1112AB CD p+=，所以A 正确； ()22222222212121111(2)34244224+⎡⎤=+-++=+-=-⎢⎥⎣⎦p p k p k x x x x p p k p p 与k 无关，同理234⋅=-OC ODp ，故OA OB OC OD ⋅=⋅，C 正确； 假设243AF BF p ⋅=，由21212121()2224⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭p p p x x x x x x p 得 222222221(2)4223++=+=pk p p p p k k ，解得k =B 错； 因为AB CD ⊥，所以四边形ABCD 面积22222222222112(1)2(1)12(1)22822++⎛⎫==⋅⋅+==++≥ ⎪⎝⎭ABCDp k p k S AB CD p k p k p k k k 当且仅当221k k =，即1k =时，等号成立；故D 错；应选AC【点睛】此题主要考察直线与抛物线位置关系，熟记抛物线的简单性质，以及直线与抛物线的位置关系即可，解决此类题型，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，弦长公式等求解，属于常考题型. 10.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱1CC 上的动点〔点P 不与点C ，1C 重合〕，过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，假设CP CM CN ＝＝，那么以下说法正确的选项是〔〕 A.1A C ⊥面αB.存在点P ，使得1AC ∥平面αC.存在点P ，使得点1A 到平面α的间隔为53D.用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间直线平面的位置关系对A,B 分析判断，利用点到平面的间隔和截面知识对C,D 分析判断得解.【详解】A.如下列图，平面α//平面1BDC ,在正方体中，1A C ⊥平面1BDC ,所以1A C ⊥平面α，所以选项A 正确；B.假设存在点P ，使得1AC ∥平面α，因为1AC ⊂平面1ACC ,平面1ACC 平面α=PE,所以1//AC PE ,所以12CPCP CP ===,显然不等，所以假设不成立，应选项B 错误；C.当CP 越小，那么点1A 到平面α的间隔越大，这个间隔大于零且无限接近153AC =>,所以存在点P ，使得点1A 到平面α的间隔为53，所以选项C 正确； D.用过P ，M ，1D 三点的平面去截正方体，因为PM//1AD ,所以得到的截面就是平面1PMAD ,它是一个梯形，所以该选项正确. 应选：ACD【点睛】此题主要考察空间直线和平面位置关系，考察点到平面的间隔和截面问题，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能. 11.函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，那么〔〕A.()f x 为偶函数B.()f x 为周期函数，且最小正周期为2πC.()0f x <恒成立D.()f x的最小值为【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的性质，对选项逐一分析，得到结果. 【详解】函数()()()sin cos cos sin ,f x x x x R =-∈，满足()sin[cos()]cos[sin()]sin(cos )cos(sin )()f x x x x x f x -=---=-=， 所以()f x 为偶函数，所以A 正确；根据正余弦函数的最小正周期可知()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，所以B 正确；当[0,]2x π∈时，sin [0,1]x ∈，且单调增，cos [0,1]x ∈，且单调减， 所以()0f x <，同理，[,]2x ππ∈，3[,]2x ππ∈，3[,2]2x ππ∈时都成立，结合函数的周期性，满足()0f x <恒成立，所以C 正确；因为sin [1,1]x ∈-，cos [1,1]x ∈-，而sin cos )4x xx π-=-，当4πx =-时获得最小值，结合条件，取不到这个最小值，所以D 不正确；应选：ABC.【点睛】该题考察的是有关三角函数的性质，涉及到的知识点有偶函数的性质，函数的周期性的判断，诱导公式的应用，属于简单题目.12.二次方程的韦达定理，推广到实系数三次方程320Ax Bx Cx D +++=也成立，即123122331123B x x x AC x x x x x x AD x x x A ⎧++=-⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩.假设实数a 、b 、c 满足a b c <<，69a b c ab bc ca ++=⎧⎨++=⎩，那么〔〕 A.0a < B.13b << C.34c << D.()()55b c --的最小值是154【答案】BCD 【解析】 【分析】 构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-，利用导数分析函数()y f x =的单调性，可得出()()()30f x f f ==极小值，()()()14f x f f ==极大值，再由a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点可判断出A 、B 、C 的正误，由题中条件得出6b c a+=-，()()2963bc a a a =--=-，代入()()55b c --可判断D 的正误.【详解】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc=---=-+-，那么2()3129f x x x -'=+由()0f x '>可得3x >或者1x <，由()0f x '<可得13x <<所以()f x 在(),1-∞和()3,+∞上单调递增，在()1,3上单调递减因为a 、b 、c 为函数()y f x =的三个零点所以()()03f x f =<极小值，()()01f x f =>极大值因为()()()()030,140f f f f ==所以由零点存在定理可得01a <<，13b <<，34c <<，故A 错误，B 、C 正确 由条件可得6b c a +=-，()()2963bc a a a =--=-所以()()()()()()2255525356254,0,1b c bc b c a a a a a --=-++=---+=-+∈所以当12a=时()()55b c --获得最小值154，故D 正确应选：BCD 【点睛】构造函数32()()()()69f x x a x b x c x x x abc =---=-+-是解答此题的关键，考察了学生的分析才能与转化才能，属于中档题.三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.函数sin y x =的图象与直线()()20y m x m =+>恰有四个公一共点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，其中1234x x x x <<<，那么442tan x x +=__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意画出图象，找到只有四个公一共点的情况，明确D 点即为直线与函数sin y x =的图象相切点，然后代入运算，即可得到结果． 【详解】由题意画出图象如下： 根据题意，很明显，在D 点处， 直线与函数sin y x =的图象相切，D 点即为切点．那么有，在点D 处，sin y x =-，cos y x '=-．而4cos x m -=，且()4442sin y m x x =+=-，∴44444sin sin 2tan cos x x x x m x --+===-． ∴44442tan 1tan tan x x x x +==． 故答案为：1．【点睛】此题考察根据函数图象关系求解参数的取值，关键在于结合直线与曲线的几何位置关系利用导数的几何意义建立等式求解.14.假设函数11()ln()2x x f x e e --=+-与()sin2xg x π=像的交点为()11,x y ，()22,x y ，(),m m x y ，那么1mi i x ==∑____________.【答案】2 【解析】 【分析】利用复合函数的单调性得出()f x 的单调性，再结合两函数的对称性确定交点个数与性质后可得结论． 【详解】由1x t e-=是增函数，1u t t=+在[1,)+∞是单调递增，ln 2y u =-在(0,)u ∈+∞单调递增得11()ln()2x x f x e e --=+-在[1,)+∞上是增函数，又211(2)11(2)ln 2ln()2()x x x x f x e e e e f x ------⎡⎤-=+-=+-=⎣⎦，所以()y f x =的图象关于直线1x =对称，易知1x =也是()sin2xg x π=的对称轴，在[1,3]上()g x 是减函数，而(1)10(1)g f =>>，(3)10(3)g f =-<<，因此()f x 与()g x 的图象在[1,3]上有一个交点，[3,4)x ∈时，()0,()0f x g x ><，4x ≥时，()1f x >，()1g x ≤，()f x 与()g x 的图象在[3,)+∞上无交点，所以在[1,)+∞上它们只有一个交点，根据对称性在(,1]-∞上也只有一个交点，且这两个交点关于直线1x =对称．所以1212mii xx x ==+=∑．故答案为：2．【点睛】此题考察两函数图象交点问题，解题方法是研究函数的性质：单调性，对称性，确定交点个数及性质． 15.函数()()21x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=，假设()2()x n n n n f x e a x b x c =++，记数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n S ，求2019S 的近似值.有四位同学做出了4个不同答案：23，1，32，53，其中最接近2019S 的近似值的是____________. 【答案】32【解析】 【分析】 依次求导数，归纳出()n f x ，得,,n n n a b c ，然后用放缩法估值n S ，得出结论．【详解】由221()()(21)(22)(43)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，2221()()(43)(24)(67)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++， 2232()()(67)(26)(813)x x x f x f x e x x e x e x x '==++++=++，… 归纳出：22()2(1)1x n f x e x n x n n ⎡⎤=+++++⎣⎦，又()2()x n n n n f x e a x b x c =++ 1n a =，2(1)n b n =+，21nc n n =++.∴222221222(22)n n n n a c b n n n ==-+-++，令221111(2)2(1)1n nn n a d n c b n n n n n==<=-≥---，那么2019123111111122231n S d d d d n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+<+-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭31322n =-<， ∴与2019S 的值最接近的是32. 【点睛】此题考察数列的函数特性，考察根本初等函数的导数运算，考察了用放缩法证明数列不等式，还考察了归纳推理，属于中档题．16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点A ，B 间隔之比为常数(0λλ＞且1)λ≠的点的轨迹是一个圆心在直线AB 上的圆，该圆简称为阿氏圆．根据以上信息，解决下面的问题：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1226AB AD AA ＝＝＝，点E 在棱AB 上，2BE AE ＝，动点P 满足BP ．假设点P 在平面ABCD 内运动，那么点P 所形成的阿氏圆的半径为________；假设点P 在长方体1111ABCD A B C D -内部运动，F 为棱11C D 的中点，M 为CP 的中点，那么三棱锥1M B CF -的体积的最小值为___________．【答案】(1).94【解析】 【分析】〔1〕以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如下列图的坐标系，设(,)P x y ，求出点P 的轨迹为22+12x y =，即得解；〔2〕先求出点P 的轨迹为222++12x y z =，P到平面1B CF的间隔为h =h 的最小值即得解.【详解】〔1〕以AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴，建立如下列图的坐标系，那么(6,0),(2,0),B E 设(,)P x y ， 由3BP PE ＝得2222(6)3[(2)]x y x y -+=-+，所以22+12xy =，所以假设点P 在平面ABCD 内运动，那么点P 所形成的阿氏圆的半径为3〔2〕设点(,,)P x y z ，由3BP PE ＝得222222(6)3[(2)z ]x y z x y -++=-++，所以222++12xy z =，由题得1(3,3,3,),(6,0,3),(6,3,0),F B C 所以11(3,3,0),(0,3,3),FB BC =-=-设平面1B CF 的法向量为000(,,)n x y z =，所以100100·330,(1,1,1)·330n FB x y n n B C y z ⎧=-=⎪∴=⎨=-=⎪⎩， 由题得(6,3,z)CPx y =--，所以点P 到平面1B CF 的间隔为|||||3CP n x h n ⋅+==因为2222222(++)(111)(),66xy z x y z x y z ++≥++∴-≤++≤， 所以min33h ==，所以点M 到平面1B CF 的最小间隔为32，由题得1B CF ∆223332+=，所以三棱锥1MB CF -的体积的最小值为2133932=3424⨯⨯（）.故答案为：(1).94． 【点睛】此题主要考察空间几何中的轨迹问题，考察空间几何体体积的计算和点到平面间隔的计算，考察最值的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.四、解答题：本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤 17.假设数列{}n a 满足221n n a a p +-=〔n ∈+N ，p 为常数〕，那么称数列{}n a 为等方差数列，p 为公方差.〔1〕数列{}n c ，{}n d ，{}n x ，{}n y 分别满足2020n c =，n d =，21n x n =+，3nn y =，从上述四个数列中找出所有的等方差数列〔不用证明〕； 〔2〕假设数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，求数列{}2n a 的前n 项和n S .【答案】〔1〕{}n c ，{}n d 为等方差数列；〔2〕2n S n =. 【解析】 【分析】〔1〕根据等方差数列的定义判断；〔2〕利用等方差数列的定义写出2{}n a 的性质，得出其通项公式2n a ，再求其和． 【详解】〔1〕22221202020200n nc c +-=-=为常数，22111n n d d n n +-=+-=为常数，22221(23)(21)88n n x x n n n +-=+-+=+不是常数，()()2222113389n n n n nyy ++-=-=⨯不是常数，所以{}n c ，{}n d 为等方差数列；〔2〕因为数列{}n a 是首项为1，公方差为2的等方差数列，所以11a =，2212nn a a +-=，所以212(1)21n a n n =+-=-，所以2(121)2nn n S n +-==.【点睛】此题考察数列的新定义，考察等差数列的通项公式和前n 项和公式，解题关键是理解新定义，把新定义数列转化为数列问题．18.如图，平面四边形ABCD ，点B ，C ，D 均在半径为3的圆上，且3BCD π∠＝．〔1〕求BD 的长度； 〔2〕假设3,2AD ADB ABD ∠∠＝＝，求ABD ∆的面积．【答案】〔1〕5〔2〕【解析】 【分析】〔1〕先求出BCD ∆，再利用正弦定理求出BD 得解；〔2〕设ABD α∠=，α为锐角，那么2ADB α∠=，先求出6cos AB α=，再利用余弦定理求出cos α=，即得ABD ∆的面积．【详解】〔1〕由题意可知，BCD ∆，由正弦定理22sin 3BD R BCD ==∠，解得5BD =；〔2〕在ABD ∆中，设ABD α∠=，α为锐角，那么2ADB α∠=，因为sin 2sin AB ADαα=， 所以32sin cos sin AB ααα=，所以6cos AB α=，因为2222cos AD AB BD AB BD α=+-⋅⋅，即22936cos 2560cos αα=+-，所以cos α=，那么6cos 3AB αα===，所以1sin 2ABDS AB BD α∆=⋅⋅= 【点睛】此题主要考察正弦余弦定理解三角形，考察三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.19.如图1，平面四边形ABCD 中，,AB AC AB AC AC CD ⊥⊥＝，E 为BC 的中点，将ACD ∆沿对角线AC 折起，使CD BC ⊥，连接BD ，得到如图2所示的三棱锥D ABC -〔1〕证明：平面ADE ⊥平面BCD ；〔2〕直线DE 与平面ABC 所成的角为4π，求二面角A BD C --的余弦值．【答案】〔1〕见解析〔2〕6【解析】【分析】〔1〕证明 AE ⊥平面BCD ，平面 ADE ⊥平面BCD 即得证；〔2〕先由题可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角，再证明AHE ∠为二面角A DB C --的平面角，再解三角形求解即可.【详解】〔1〕证明：在三棱锥 D ABC -中，因为 ,CD BC CD AC ⊥⊥， =AC BC C ，所以 C D ⊥平面 ABC ， 又 AE ⊂平面 ABC ， 所以AE CD ⊥，因为 =AB AC ，E 为BC 中点，所以 AEBC ⊥， 又= BCCD C ， 所以 AE⊥平面BCD ， 又AE ⊂平面ADE ，所以平面 ADE ⊥平面BCD ．〔2〕由〔1〕可知DEC ∠即为直线DE 与平面ABC 所成的角， 所以4DECπ∠=， 故1CD CE==； 由〔1〕知AE ⊥平面BCD ，过E 作EH BD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理可知AH BD ⊥，故AHE ∠为二面角A DB C --的平面角．由BHE BCD ∆∆∽，得BE EH BD CD =，1EH =得EH=，所以AH =，故cos EH AHE AH ∠==所以二面角A DB C --的余弦值为6． 【点睛】此题主要考察空间直线平面位置关系的证明，考察空间线面角和二面角的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.20.网络购物已经成为人们的一种生活方式．某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为入驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评和差评平台规定商家有50天的试营业时间是，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0分，差评计1-分，某商家在试营业期间随机抽取100单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1和图2．〔1〕通常收件时间是不超过四天认为是物流迅速，否那么认为是物流缓慢；⨯列联表，并判断能否有99％的把握认为“获得好评〞与物流速度有请根据题目所给信息完成下面22关？〔2X．该商家将试营业50天期间的成交情况制成了频数分布表〔表1〕，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率．表1〔Ⅰ〕求X的分布列和数学期望；〔Ⅱ〕平台规定，当积分超过10000分时，商家会获得“诚信商家〞称号，请估计该商家从正式营业开场，1年内〔365天〕能否获得“诚信商家〞称号附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 参考数据：【答案】〔1〕见解析，有99%的把握认为“获得好评〞与物流速度有关．〔2〕〔Ⅰ〕见解析，〔Ⅱ〕该商家在1年内不能获得“诚信商家〞称号．【解析】【分析】〔1〕先画出2×2列联表，再利用HY 性检验求解；〔2〕〔Ⅰ〕先求出X 的取值可能是1，0，1-，再求出对应的概率，写出其分布列，求出其期望得解；〔Ⅱ〕设商家每天的成交量为Y ，求出商家每天能获得的平均积分和商家一年能获得的积分，即可判断得解.【详解】〔1〕由题意得22(5015305)100 6.6358020554511K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为“获得好评〞与物流速度有关．〔2〕〔Ⅰ〕由题意可知，X 的取值可能是1，0，1-，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为，，，所以X 的分布列为所以10.800.1(1)0.10.7EX =⨯+⨯+-⨯=；〔Ⅱ〕设商家每天的成交量为Y ，那么Y 的取值可能为27，30，36，所以Y 的分布列为所以270.4300.4360.230EY =⨯+⨯+⨯=，所以商家每天能获得的平均积分为300.721⨯=，商家一年能获得的积分：21365766510000⨯=<，所以该商家在1年内不能获得“诚信商家〞称号．【点睛】此题主要考察HY 性检验，考察随机变量的分布列和期望及其应用，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.21.在平面直角坐标系xOy 中，①点A ，直线l ：x P 满足到点A 的间隔与到直线l ②圆C 的方程为224x y +=，直线l 为圆C 的切线，记点A 到直线l 的间隔分别为12,d d ，动点P 满足12,PA d PB d ＝＝；③点S ，T 分别在x 轴，y 轴上运动，且3ST ＝，动点P 满足21+33OP OS OT =． 〔1〕在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P 的轨迹方程；〔2〕记〔1〕中的轨迹为E ，经过点(1,0)D 的直线l '交E 于M ，N 两点，假设线段MN 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，求点Q 纵坐标的取值范围．【答案】〔1〕不管选哪种条件，动点P 的轨迹方程2214x y +=〔2〕33[,]44- 【解析】【分析】〔1〕选①,可以用直接法求轨迹方程，选②，可以用待定系数法求轨迹方程，选③，可以用代入法求轨迹方程；〔2〕设0(0,)Q y ，当l '斜率不存在时，00y =，当l '斜率不存在时，求出02331144k y k k k==++，得到0304y -≤<或者0304y <≤，综合即得解. 【详解】〔1〕假设选①，设(,)P x y，根据题意，2=， 整理得2214x y +=， 所以所求的轨迹方程为2214x y +=． 假设选②，设(,)P x y ，直线l 与圆相切于点H ，那么12||||2||4||PA PB d d OH AB +=+==>=，由椭圆定义知，点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，所以24,2||ac AB ===故2,1a c b ===， 所以所求的轨迹方程为2214x y +=．假设选③，设(,)P x y ，(,0)S x '，(0,)T y '，3(*)=， 因为2133OPOS OT =+， 所以2313x x y y ⎧='⎪⎪⎨⎪='⎪⎩， 整理得323x x y y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，代入(*)得2214x y +=， 所以所求的轨迹方程为2214x y += 〔2〕设0(0,)Q y ，当l '斜率不存在时，00y =，当l '斜率存在时，设直线l '的方程为(1)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理， 得2222(14)84(1)0k x k x k +-+-=，>0∆恒成立，2122814k x x k+=+， 设线段MN 的中点为33(,)G x y ， 那么()212333224,121414x x k kx y k x k k +===-=-++，所以线段MN 的垂直平分线方程为：222141414k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭， 令0x =，得02331144k y k k k==++，当k0<时，144k k+≤-， 当且仅当12k =-时，取等号，所以0304y -≤<； 当0k >时，144k k+≥， 当且仅当12k =时，取等号，所以0304y <≤； 综上，点Q 纵坐标的取值范围是33[,]44- 【点睛】此题主要考察轨迹方程的求法，考察椭圆中的范围问题的求解，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理计算才能.22.函数2(1)()x a e x f x x--=，且曲线()y f x ＝在(2,(2))f 处的切线斜率为1． 〔1〕务实数a 的值；〔2〕证明：当0x ＞时，()1f x ＞；〔3〕假设数列{}n x 满足1()n x n ef x +＝，且113x ＝，证明：211n x n e -＜ 【答案】〔1〕2a=〔2〕见解析〔3〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由(2)12a f '==即得a 的值；〔2〕只需证21()102x h x e x x =--->，利用导数证明21()12x h x e x x =---在(0,)+∞上单调递增，所以21()1(0)02x h x e x x h =--->=成立，即得证；〔3〕分析得到只需证11()122n x n f x e -<-，再利用导数证明即可. 【详解】〔1〕3[(2)2]()x a x e x f x x -++'=，(2)12a f '==，所以2a =；〔2〕要证()1f x >，只需证21()102x h x e x x =--->， ()1,()1x x h x e x h x e '''=--=-，因为(0,)x ∈+∞，所以()0h x ''>，所以()1x h x ex '=--在(0,)+∞上单调递增， 所以()1(0)0x h x ex h '=-->'=， 所以21()12xh x e x x =---在(0,)+∞上单调递增， 所以21()1(0)02x h x e x x h =--->=成立， 所以当0x >时，()1f x >成立．〔3〕由〔2〕知当0x>时，()1f x >. 因为1()n x n e f x +=，所以1ln ()n x f x +=，设()ln()n n g x f x =， 那么1()n n x g x +=， 所以121()(())((()))0n n n x g x g g x g g x --====>； 要证：2|1|1n x n e -<，只需证：1|1|()2n x n e -<， 因为113x =， 所以113|1|1x e e -=-， 因为3227()03e e x -=-<， 所以1332e <， 所以1131|1|12x e e -=-<，故只需证：11|1||1|2n n x x ee +-<-， 因为(0,)n x ∈+∞，故只需证：111122n n x x e e +-<-， 即证：11()122n x n f x e -<-， 只需证：当(0,)x ∈+∞时，2211()(2)22022x x x e x x ϕ=-+++>， 21()222x x x x e x ϕ⎛⎫'=+-++ ⎪⎝⎭，21()2112x x x x e ϕ⎛⎫''=+-+ ⎪⎝⎭， 21()3102x x x x e ϕ⎛⎫'''=++> ⎪⎝⎭，所以()x ϕ''在区间(0,)+∞上是增函数， 故21()(21)1(0)02x x x x e ϕϕ''''=+-+>=， 所以()x ϕ'在区间(0,)+∞上是增函数， 故21()(22)2(0)02x x x x e x ϕϕ''=+-++>=， 所以()x ϕ在区间(0,)+∞上是增函数， 故2211()(2)22(0)022x x x e x x ϕϕ=-+++>=， 所以原不等式成立．【点睛】此题主要考察导数的几何意义，考察利用导数证明不等式，考察分析法证明不等式，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度和分析推理才能.。
高三数学下学期二模考试试题 文(扫描版)(2021年整理)
河北省武邑县2017届高三数学下学期二模考试试题文（扫描版）
编辑整理：
尊敬的读者朋友们：
这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省武邑县2017届高三数学下学期二模考试试题文（扫描版））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为河北省武邑县2017届高三数学下学期二模考试试题文（扫描版）的全部内容。
河北省武邑县2017届高三数学下学期二模考试试题文(扫描版）。
高三数学下学期模拟一模考试试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学下学期模拟〔一模〕考试试题文〔含解析〕本套试卷一共4页.总分值是150分.本卷须知：1.2.答复选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在套本套试卷上无效.3.在考试完毕之后，考生必须将试题卷和答题卡一起交回.一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.集合，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再利用交集并集的定义判断选项．【详解】∵B＝，＝{x|}，∴A∩B＝．，应选：B．【点睛】此题考察交集并集的求法，是根底题，解题时要注意交集并集的区别．2.假设复数满足，那么的虚部为〔〕A.5B.C.D.-5【答案】C【解析】【分析】把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由〔1+i〕z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．应选：C．【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，考察复数的根本概念，是根底题．3.是两个不同平面，直线，那么“〞是“〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】表示两个不同平面，直线是内一条直线，假设∥，那么∥，所以∥是∥的充分条件；假设∥不能推出∥，故不是充分条件∴∥是∥的充分不必要条件应选A4.双曲线：的一条渐近线方程为，那么的离心率为〔〕A. B. C. D.【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．【详解】由双曲线C〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线方程为y＝2x，可得∴，，应选：C．【点睛】此题考察双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考察计算才能．5.执行下边的程序框图，假设输出的值是1，那么输入的值是〔〕A.0B.C.0或者D.0或者1【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，转化为条件函数进展计算即可．【详解】程序对应的函数为y，假设x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．假设x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或者e，应选：C．【点睛】此题主要考察程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决此题的关键．6.角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，且，假设点是角终边上一点，那么〔〕A.-12B.-10C.-8D.-6【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义，通过，由此解得的值.【详解】由任意角的三角函数的定义可得，解得，应选D.【点睛】此题主要考察任意角的三角函数的定义，属于根底题．7.假设函数的图象过点，那么〔〕A.点是的一个对称中心B.直线是的一条对称轴C.函数的最小正周期是D.函数的值域是【答案】D【解析】【分析】根据函数f〔x〕的图象过点〔0，2〕，求出θ，可得f〔x〕＝cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由函数f〔x〕＝2sin〔x+2θ〕•cos x〔0＜θ〕的图象过点〔0，2〕，可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，故f〔x〕＝2sin〔x+2θ〕•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x时，f〔x〕＝1，故A、B都不正确；f〔x〕的最小正周期为π，故C不正确；显然，f〔x〕＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，应选：D．【点睛】此题主要考察余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.函数的图象可能是〔〕A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【详解】当x＝0时，y＝4﹣1＝3＞0，排除C，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，应选A.应选：A．【点睛】此题考察了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于根底题．9.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术〞，即三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，那么三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，那么此三角形面积的最大值为〔〕A. B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意，，利用根本不等式，即可得出结论．【详解】由题意，，当且仅当，即时等号成立，∴此三角形面积的最大值为，应选A．【点睛】此题考察面积的计算，考察根本不等式的运用，属于中档题．10.偶函数，当时，，假设，为锐角三角形的两个内角，那么〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f〔x〕在〔-1，0〕上为减函数，结合函数的奇偶性可得f〔x〕在〔0，1〕上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sinα＞sin〔90°﹣β〕＝cosβ，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，当x∈〔﹣1，0〕时，f〔x〕＝2﹣x＝〔〕x，那么f〔x〕在〔0，1〕上为减函数，又由f〔x〕为偶函数，那么f〔x〕在〔0，1〕上为增函数，假设α，β为锐角三角形的两个内角，那么α+β＞90°，那么α＞90°﹣β，那么有sinα＞sin〔90°﹣β〕＝cosβ，那么有f〔sinα〕＞f〔cosβ〕，应选：B．【点睛】此题考察函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于根底题．11.不一共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,，∴，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，∴，应选：C．考点：数量积表示两个向量的夹角.12.定义：区间，，，的长度均为，假设不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析可得或者，进而求出不等式的解集，结合区间长度的定义分析可得答案．【详解】不等式，即，化简可得，∴或者，方程有两个根或者，那么原不等式的解集为，其解集区间的长度为，应选B．【点睛】此题主要考察分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，解出不等式是解题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.假设，满足约束条件，那么的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目的函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目的函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得，，化目的函数为直线方程的斜截式.由图可知，当直线过，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为；当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为.的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目的函数的几何意义，将目的函数进展变形．(3)确定最优解：在可行域内平行挪动目的函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目的函数即可求出最大值或者最小值.14.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，假设，，，那么的长为__________．【答案】1【解析】【分析】首先根据条件先求出C的大小，结合余弦定理进展求解即可．【详解】由，得，即，∴，∵D为AC的中点，，∴，那么，即，故答案为1．【点睛】此题主要考察解三角形的应用，利用余弦定理是解决此题的关键，属于中档题．15.抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点〔其中在、之间且在第一象限〕，假设，，那么__________．【答案】2【解析】【分析】由|MN|＝2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．【详解】如图，过M作MH⊥l＝H，由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y〔x〕，联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：，那么|GF|，即p＝2．故答案为：2．【点睛】此题考察抛物线的简单性质，考察直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．16.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，那么在翻折过程中，以下说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③假设，那么；④假设，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的外表积是.【答案】②④【解析】【分析】对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC一共面一共点，不可能，对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1〔定值〕，NE AB1〔定值〕，AM＝EC〔定值〕，由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，外表积是4π．【详解】对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，那么NE∥AB1，NF∥MB1，假设CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC一共面一共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1〔定值〕，NE AB1〔定值〕，AM＝EC〔定值〕，由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，外表积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点睛】此题主要考察了线面、面面平行与垂直的断定和性质定理，考察了空间想象才能和推理论证才能，考察了反证法的应用，属于中档题.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.17.为等比数列的前项和，，，且公比.〔1〕求及；〔2〕是否存在常数，使得数列是等比数列？假设存在，求的值；假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕，；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕由题意可得列出关于和的方程组，解得，，根据通项公式和求和公式即可求出；〔2〕假设存在常数，使得数列是等比数列，分别令，2，3，根据等比数列的性质求出的值，再根据定义证明即可．【详解】解：〔1〕由题意得，解得，所以，.〔2〕假设存在常数，使得数列是等比数列，因为，，，又因为，所以，所以，此时，，那么，故存在，使得数列是以为首项，公比为3的等比数列.【点睛】此题主要考察了等比数列的性质与判断，等比数列的通项公式，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.〔1〕求证：；〔2〕假设，，为的中点，求三棱锥的体积.【答案】〔1〕见解析〔2〕【分析】〔1〕过点作，垂足为，推导出，，，从而平面，由此能证明；〔2〕推导出，从而，由此能求出三棱锥的体积．【详解】解：〔1〕过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.〔2〕由〔1〕可知，，因为，，故，又因为，，所以，，因为平面，所以，故，所以三棱锥的体积为.【点睛】此题考察线线垂直的证明，考察三棱锥的体积的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，对于三棱锥的体积主要采用等体积法，关键是找到几何体的高，是中19.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量〔单位：〕和与它“相近〞的株数具有线性相关关系〔两株作物“相近〞是指它们的直线间隔不超过〕，并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：0 1 2 3 415 12 11 9 8〔1〕求出该种水果每株的产量关于它“相近〞株数的回归方程；〔2〕该种植基地在如下列图的长方形地块的每个格点〔横纵直线的交点〕处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的面积都为，现从所种的该水果中随机选取一株，试根据〔1〕中的回归方程，预测它的产量的平均数.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕计算出，，代入求出系数和，求出回归方程即可；〔2〕代入的值，求出的预报值，求平均数即可．【详解】解：〔1〕由题意得：，，，，所以，，所以.〔2〕由回归方程得：当时，，当时，，当时，，故平均数为：.所以一株产量的平均数为.【点睛】此题考察了求回归方程问题，考察函数代入求值以及平均数问题，考察了学生的计算才能，属于根底题．20.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.〔1〕求曲线的方程；〔2〕假设点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，假设存在，求出直线方程；假设不存在，说明理由.【答案】〔1〕【解析】【分析】〔1〕设，，那么，，且，通过，转化求解即可．〔2〕设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，那么其充要条件为，那么点Q的坐标为〔x1+x2，y1+y2〕．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】〔1〕设，，那么，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.〔2〕由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】此题考察点的轨迹方程的求法，考察满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，表达了数学转化思想方法，是中档题．21.函数，，.〔1〕当时，求的单调区间；〔2〕设，假设，为函数的两个不同极值点，证明：.【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出原函数的导函数，可得时，假设，，单调递增；假设，求出导函数的零点，根据导函数与0的关系可得原函数的单调性；〔2〕根据导数先得在R上单调递增，原题转化为证，根据和进一步转化为证，再由，得到证明，设，，化为证明，设，利用导数证明即可．【详解】解：〔1〕，假设，，，单调递增.假设，由，解得，且，，单调递减，，，单调递增.综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.〔2〕，故在上单调递增，即证：，也即证：，又，，所以，为方程的两根，即即证，即，而①-②得，即证：，不妨设，，那么证：变形得，所以，，设，那么，∴在单调递增，，即结论成立.【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性，考察函数的单调性，由，得函数单调递增，得函数单调递减；考察利用导数求函数的最值以及导数与极值的关系，考察数学转化思想方法，属于难题．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，曲线：〔为参数〕，在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.〔1〕求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；〔2〕求曲线与直线交点的极坐标〔，〕.【答案】〔1〕，〔2〕，.【解析】【分析】〔1〕直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．〔2〕利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】〔1〕曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.〔2〕的普通方程为，联立，解得或者，所以交点的极坐标为，.【点睛】此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．23.函数的最大值为.〔1〕务实数的值；〔2〕假设，设，，且满足，求证：.【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，〔2〕根据三角不等式和根本不等式的性质求出g〔m+2〕+g〔2n〕≥2．【详解】〔1〕由得，所以，即.〔2〕因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】此题考察理解绝对值不等式问题，考察绝对值不等式的性质以及根本不等式的性质，属于根底题．。
浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 若向量，，则与的夹角的余弦值为（ ）A．B．C．D．2. 为客观反映建设创新型国家进程中我国创新能力的发展情况，国家统计局社科文司《中国创新指数（CII ）研究》课题组研究设计了评价我国创新能力的指标体系和指数编制方法.中国创新指数（China Innovation Index ，CII ）中有4个分指数（创新环境指数、创新投入指数、创新产出指数、创新成效指数），下面是2005—2021年中国创新指数及分领域指数图，由图可知指数与年份正相关，则对4个分领域指数，在建立年份值与指数值的回归模型中，相关系数最大的指数类型是（）A ．创新环境指数B ．创新投入指数C ．创新产出指数D ．创新成效指数3. 已知，点为角的终边上一点，且，则角A．B．C．D．4. 如图所示，边长为2的正，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（）A．B．C．D．5. 在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（ ）A．B．C．D．6. 在区间上为增函数的是（ ）A．B．C．D．7. 已知圆锥的表面积为，侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）A．B．C．D．8. 有一组样本数据：，，，其平均数为2，由这组样本数据得到新样本数据：，，，2，那么这两组样本数据一定有相同的（ ）A ．众数B ．中位数C ．方差D ．极差浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)浙江省湖州市第二中学2024届高三下学期新高考模拟数学试题 (2)三、填空题四、解答题9.设函数向左平移个单位长度得到函数，若在上恰有2个零点，3个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．在上单调递减B ．的取值范围为C ．若的图象关于直线对称，则D ．在区间上存在最大值10. 已知直四棱柱的底面为正方形，，P 为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，存在点P，使得C ．当时，的最小值为D．当时，存在唯一的点P ，使得平面平面PBC11.已知抛物线的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点D ，F 为AD的中点，且，点M 是抛物线上间不同于其顶点的任意一点，抛物线的准线与y 轴交于点N ，抛物线在A ，B 两点处的切线交于点T ，则下列说法正确的有（ ）A ．抛物线焦点F的坐标为B ．过点N作抛物线的切线，则切点坐标为C ．在△FMN 中，若，，则t的最小值为D ．若抛物线在点M 处的切线分别交BT ，AT 于H ，G两点，则12. 阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面."解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则下列结论正确的是（ ）A ．直四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等B．若，则直四棱柱在顶点处的离散曲率为C ．若四面体在点处的离散曲率为，则平面D ．若直四棱柱在顶点处的离散曲率为，则与平面所成角的正弦值为13.已知等差数列满足，且，则______．14.双曲线的渐近线方程是____________．15.二项式的展开式中，各项的系数和是______，各项x 的次数和是______．16. 已知函数.在下列条件①､条件②､条件③这三个条件中，选择可以确定和值的两个条件作为已知.(1)求的值；(2)若函数在区间上是增函数，求实数的最大值.条件①：；条件②：最大值与最小值之和为0；条件③：最小正周期为.17. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且.（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值.18. 如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P-ABC，如图乙．(1)求证：平面平面；(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1∶2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．19. 已知函数.（1）若函数是偶函数，且，求的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数在上的最大、最小值；（3）要使函数在上是单调函数，求的范围.20. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近13年的年宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．由散点图知，按建立关于的回归方程是合理的令，则，经计算得如下数据：(1)根据以上信息，建立关于的回归方程；(2)已知这种产品的年利润与、的关系为，据（1）的结果，求当年宣传费时，年利润的预报值是多少？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 21. 已知定义域为的函数是奇函数，为指数函数且的图象过点.（1）求的表达式；（2）若方程恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合.。