高一数学必修一第一章集合与函数的概念讲义(集合的关系与运算)

知识点3、集合间的基本关系

知识梳理

1、子集的概念

定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集

图示

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.

3、真子集的概念

(1)A⊂B且B⊂C，则A⊂C；(2)A⊆B且A≠B，则A⊂B

常考题型

题型一、集合间关系的判断

例1、(1)下列各式中，正确的个数是()

①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}

A．1B．2 C．3 D．4

①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；

②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．

判断集合间关系的方法

(1)用定义判断．

首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；

其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；

若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.

(2)数形结合判断．

对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．

变式训练

能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是()

A. B. C. D.

题型二、有限集合子集的确定

例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()

A．6 B．7 C．8 D．9

(2)满足{1,2}⊂≠M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．

公式法求有限集合的子集个数

(1)含n个元素的集合有2n个子集．

(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．

(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．

(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．

(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．变式训练

非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．

题型三、集合间关系的应用

例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

变式训练

已知集合A＝{x|1

课时小测

1、给出下列四个判断：

①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．

其中，正确的有()

A．0个B．1个C．2个D．3个

2、已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()

A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A⊂≠B⊆C D．A＝B⊆C

3、已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

4、集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．

5、已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．

(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．

同步练习

一、选择题

1．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是

A．对任意的a∈A，都有a∉B B．对任意的b∈B，都有b∉A

2．如果{}|1A x x =>-，那么

A ．0A ⊆

B ．{}0A ∈

C ．A ∅∈

D ．{}0A ⊆ 3．下列各式中，正确的个数是

（1）{0}∈{0，1，2}；（2）{0，1，2}⊆{2，1，0}；（3）∅⊆{0，1，2}. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若集合{}|0A x x =≥，且B A ⊆，则集合B 可能是

A ．{}1,2

B ．{}|1x x ≤

C ．{}1,0,1-

D ．R 5．若2

{|,}x x a a ⊂∅≤∈≠R ，则实数a 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ． 6．已知全集U =R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}

2|0N x x x =+=关系的韦恩(Venn)图是

A B C D

7．设集合{1,2}M =，2

{}N a =，那么 A ．若1a =，则N M ⊆

B ．若N M ⊆，则1a =

C ．若1a =，则N M ⊆，反之也成立

D ．1a =和N M ⊆成立没有关系

8．已知集合{}4,5,6P =，，定义{}

,,P Q x x p q p P q Q ⊕==-∈∈，则集合P Q ⊕的所有非空真子集的个数为

A ．32

B ．31

C ．30

D ．以上都不对

二、填空题

9．设P ={x |x <4}，Q ={x |－2

10．已知集合，，则满足条件的集合C 的个数为_____.

三、解答题

11．写出集合{0,1,2}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集. (0,)+∞[0,)+∞(,0]-∞(,0)-∞{}1,2,3Q =2

{|320,}A x x x x =-+=∈R {|05,}B x x x =<<∈N A C B ⊆⊆