2013年北京高考模拟押题卷文科数学(二)

绝密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）·押题卷二本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}30<<∈=x x A R ，{}42≥∈=x x B R ，则=B AA. {}2 23x x x ≤-≤<或B. {}32<<x xC. {}32<≤x xD. R（2）已知平面,αβ和直线m ，且m Ìα，则“α∥β”是“m ∥β”的（A ）充要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （3）在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上随机取一个x ，x sin 的值介于21-与21之间的概率为（ ）(A) 31 (B)π2(C)21 (D)32（4）执行右图的程序框图，则第3次输出的数为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（5）函数21()log f x x x =-的零点所在区间为A ．1(0,)2B. 1(,1)2C. (1,2)D. (2,3)（6）6. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直 角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 A ．61 B ．23C．324+D．322+（7）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ．则“||q =”是“627S S =”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数22, ,()42, x m f x x x x m>⎧=⎨++≤⎩的图象与直线y x =恰有三个公共点，则实数m的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．[1,2)-C ．[1,2]-D ． [2,)+∞第II 卷（非选择题，共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）圆22450x y x +--=，点P （1,1），过P 的最长弦和最短弦所构成的四边形面积为_____.（10）已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____. （11）若tan 2α=，则sin 2α= . （12）在△A B C中，B C =A C =π3A =，则B =_____．正视图侧视图（13）可以将函数πsin (2)3y x =-的图象向左平移_____个单位得到函数sin (π-2)y x =的图象（任写一个） （14）函数()sin()3f x x π=-的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线56x π=对称；②图象C 关于点4(,0)3π对称；③函数)(x f 在区间5[,]36ππ内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15)（本题满分13分）设函数()2sin co s co s(2)6f x x x x π=--．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）当2[0, ]3x π∈时，求函数()f x 的最大值及取得最大值时的x 的值.（16）（本小题共13分）如图，四棱锥ABCD E -中，E A E B =，A B ∥C D ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使D F // 平面B C E ？若存在，求出E F E A；若不存在，说明理由．（17）（本小题共14分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示（1）如果X =8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率。

（注：方差()()()2222121n s x xxxx xn ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）（18）（本小题共14分） 已知函数22()3x a f x x a+=+（0a ≠，a ∈R ）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =时，若对任意12,[3,)x x ∈-+∞，有12()()f x f x m -≤成立，求实数m 的最小值.（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xO y 中，点E 到两点1(1,0)F -，2(1,0)F 的距离之和为E 的轨迹为曲线C .（Ⅰ）写出C 的方程；（Ⅱ）设过点2(1,0)F 的斜率为k （0k ≠）的直线l 与曲线C 交于不同的两点M ,N ，点P 在y 轴上，且P M P N =，求点P 纵坐标的取值范围.（20）（本小题共14分）已知数列{}n a 为等差数列，53=a ，137=a ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且有12-=n n b S（1）求{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c =，{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ； （3）试比较n T 与n n S a 的大小，并说明理由.15.解：（Ⅰ）因为()2sin co s co s(2)6f x x x x π=--sin 2(co s 2co s sin2sin)66x x x ππ=-+1sin 2s 222x x =-sin (2)3x π=-，所以()sin (2)3f x x π=-. 函数()f x 的最小正周期为π.…………7分（Ⅱ）因为2[0,]3x π∈，所以2,33x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当π232x π-=，即5π12x =时函数()f x 的最大值为1. ………………………………13分 16．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 E A E B =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 A B ∥C D ，CD AB 2=， 所以 BO ∥C D ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12E F E A=，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以F G ∥A B ，AB FG 21=．因为A B ∥C D ，AB CD 21=，所以F G ∥C D ，CD FG =．所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 D F ∥C G ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分 所以 DF // 平面BCE ． ………………13分(18)（本小题满分13分） 解：222()(3)'()(3)x a x a f x x a --+=+.令'()0f x =，解得x a =或3x a =-. ……………………………………2分（Ⅰ）当0a >时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(3,)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,3)a -∞-，(,)a +∞. ……………………………………4分当0a <时，'()f x ，()f x 随着x 的变化如下表函数()f x 的单调递增区间是(,3)a a -，函数()f x 的单调递减区间是(,)a -∞，(3,)a -+∞. ……………………………………6分（Ⅱ）当1a =时，由（Ⅰ）得()f x 是(3,1)-上的增函数，是(1,)+∞上的减函数.又当1x >时，21()03x f x x +=>+. ……………………………………8分所以 ()f x 在[3,)-+∞上的最小值为1(3)6f -=-，最大值为1(1)2f =.……………………………………10分 所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，122()()(1)(3)3f x f x f f -≤--=.所以 对任意12,[3,)x x ∈-+∞，使12()()f x f x m -≤恒成立的实数m 的最小值为23.……………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题设知1212||||||E F E F F F +=>,根据椭圆的定义，E 的轨迹是焦点为1F ，2F，长轴长为 设其方程为222210x y (a b )ab+=>>则1c =，a =1b =，所以C 的方程为2212xy +=. ………5分（II ）依题设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2212xy +=并整理得，2222(21)4220k x k x k +-+-= . 2880k ∆=+>. ………6分设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122421kx x k +=+， 21222221k x x k -=+ ..………7分设M N 的中点为Q ，则22221Q kx k =+，2(1)21Q Q k y k x k =-=-+，即2222(,)2121kkQ k k -++. ………8分因为0k ≠，所以直线M N 的垂直平分线的方程为22212()2121k ky x k kk +=--++， ……9分令0x =解得，211212P k y k k k==++， .………10分当0k >时，因为12k k +≥04P y <≤； .………12分当0k <时，因为12k k+≤-04P y -≤<. .………13分综上得点P纵坐标的取值范围是[0)(0,44-. .………14分20．解：（1）∵{}n a 是等差数列，且53=a ，137=a ，设公差为d 。

∴⎩⎨⎧=+=+1365211d a d a ， 解得⎩⎨⎧==211d a∴12)1(21-=-+=n n a n （*∈N n ） …2分 在{}n b 中，∵12-=n n b S 当1=n 时，1211-=b b ，∴11=b当2≥n 时，由12-=n n b S 及1211-=--n n b S 可得 122--=n n n b b b ，∴12-=n n b b ∴{}n b 是首项为1公比为2的等比数列 ∴12-=n n b （*∈N n ） …4分（2）12)12(-⋅-==n n n n n b a c122)12(25231-⋅-++⋅+⋅+=n n n T ①nn n n n T 2)12(2)32(2523212132⋅-+⋅-++⋅+⋅+⋅=- ② ①-②得 nn n n T 2)12(222222112⋅--⋅++⋅+⋅+=--nn n 2)12(21)21(2211⋅----⋅+=-nn n 2)12()12(411⋅---+=-nn 2)32(3⋅---=∴32)32(+⋅-=n n n T （*∈N n ） …8分 （3）)12)(12(32)32(---+⋅-=-nn n n n n n S a T 122)12(32)32(-+⋅--+⋅-=n n n nn)21(22222nnn n -+=⋅-+= …9分11 令)1(21)(≥-+=x x x f x ，则2ln 21)(x x f -='∵)(x f '在[)+∞,1是减函数，又04ln 12ln 21)1(<-=-='f ∴1≥x 时，0)(<'x f∴1≥x 时，)(x f 是减函数.又0211)1(=-+=f∴1≥x 时，0)(≤x f∴1≥x 时，021≤-+x x …13分 ∴*∈N n 时，021≤-+n n∴*∈N n 时，n n n S a T ≤…14分。