第三章 投影变换(11.11.8-64)
投影变换
投影变换投影变换就是要确定一个取景体积，其作用有两个：1). 确定物体投影到屏幕的方式，即是透视投影还是正交投影。
2). 确定从图象上裁剪掉哪些物体或物体的某些部分。
投影变换包括透视投影和正交投影（平行投影）。
●透视投影透视投影的示意图如下，其取景体积是一个截头锥体，在这个体积内的物体投影到锥的顶点，用glFrustum()函数定义这个截头锥体，这个取景体积可以是不对称的，计算透视投影矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glFrustum(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);该函数以透视矩阵乘当前矩阵left, right 指定左右垂直裁剪面的坐标。
bottom,top 指定底和顶水平裁剪面的坐标。
near,far 指定近和远深度裁剪面的距离，两个距离一定是正的。
程序函数gluPerspective()可以创建一个与调用glFrustum()所得到的同样形状的视图体，它创建的是一个沿视线关于x和y轴均对称的平截台体，在很多实际应用中都采用函数gluPerspective()。
void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect, GLdouble zNear,GLdouble zFar)；fovy是在x-z平面内视区的角度，其值必须在区间【0.0，180.0】内。
Aspect为长宽比，是平截台体的宽度与高度之比。
zNear和zFar的值是视点（沿z轴负向）与两个裁剪平面的距离。
参数恒为正。
图1透视投影示意图●正交投影正交投影的示意图见下：其取景体积是一个各面均为矩形的六面体，用glOrtho()函数创建正交平行的取景体积，计算正交平行取景体积矩阵M，并乘以当前矩阵C，使C=CM。
void glOrtho(Gldouble left,Gldouble right,Gldouble bottom,Gldouble top,Gldoublenear,Gldouble far);该函数以正交投影矩阵乘当前矩阵。
投 影 变 换
透视投影
平行投影
1.1透视
在坐标系 oxyz 中来讨论投影，假定投影平面是z 0 , 设视点为
C (xc , yc , zc ) ，空间中任一点 Q (x, y, z) 在 z 0 平面上的投影为
P(xp , yp , 0) 。设 P，Q ，C 在 oxz 平面上的正投影分别为
x0 xr d xn
xn2
y
2 n
z
2 n
y0 yr d yn
xn2
y n2
z
2 n
(4.19)
z0 zr d zn
xn2
y
2 n
z
2 n
oz 轴和N方向一致，故有
(a31, a32 , a33 ) (xn , yn , zn )
xn2
yn2
z
2 n
(4.20)
计算x0, y0, z0和aij(i, j =1, 2, 3)的方法
P，Q ， C 则
xp xc x xc
zc
zc z
图示
透视投影的计算公式
整理后便有
同理可得
xp
xc
(x
xc )
zc zc
z
(4.13)
yp
yc
(y
yc )
zc zc
z
(4.14)
这两式便是透视投影的计算公式。把空间任一点 (x, y, z)
的坐标代入式（4.13）和式（4.14）便可求出在平面 z 0
ox 轴和向量U×N方向一致，设
i jk
U N x y z bi bj b k
u
u
u
第 03 章 投影变换与图像校正——数字图像处理及应用北航谢凤英课件PPT
y2
x2
x2
x
y1
y2
β y1 γ
x1
x1
[三维坐标中] 绕x3转θ角 则有:
L11= cosθ L12= cos(90°-θ) = sinθ L13=0 L21= cos(90°+θ) = -sinθ L22= cosθ L23= L31= L32= 0 = cos90° L33=1
即：R= cosθ sinθ 0
γ x
任意旋转：
R Ri Rj Rk i, j, k 1,2,3
注意到：
m11 m12 m13
R = m21 m22 m23
m31 m32 m33
只包括旋转。
进一步的（旋转、位移、透视、缩放）如何呢？ [我们]引入齐次坐标系，扩展了非线性项—透视、位移
m11 m12 m13 m14 H = m21 m22 m23 m24
[研究典型的变换关系、典型线性变换、二维面上的线性变换含义表 示及特征。]
1) 点变换
比例变换：[x y] a 0
0b 旧坐标
= ∣ax, by∣=∣x* y*∣ 新坐标
原点变换：∣x y∣ a b = ∣0 0∣
cd
翻转：
绕x轴∣x y∣ 1
=∣x, -y∣=∣x* y*∣
-1 绕y轴∣x y∣ -1 0 =∣-x, y∣=∣x* y*∣
=| m11x1 m22y1 m33z1 m44 |
分项比
总比例
由三维变到二维空间：
| x1 y1 z1 1| m11 m12 0 m14
m21 m22 0 m24
矩阵A
m31 m32 0 m34 m41 m42 0 m44
= WH|x2 y2 0 1 |
第3部分投影变换
在变换两个或两个以上的投影面时，点的新 投影的求法和原理与更换一个投影面时完全相 同。但必须指出，v面和H面必须交替变换。 如右图所示。
点的二次变换
5
➢3.2.2 换面法中六个基本问题
➢1.将一般位置直线变换成新投影面 平行线
若求直线的实长及其与投影面的倾 角时，可用变换一次投影面来解决。
6
例1：求直线AB的实长及与H面的夹角。
3 0 ax1
连a1b1,a1b2，即为实长；
O1
4）过b作直线垂直于OX轴，
X
V H
并量取
b1 H1 X1 V
bx1
b
a
ax
b
x
O b1
b1bx=b1bx1,b2bx=b2bx1， 连ab1、ab2,即为所求。 （该题有两解）。
a
b2
15
➢4.将一般位置平面变换成投影面垂直面
将一般位置平面变换成投影面垂直面时， 新投影面既要垂直于一般位置平面，又要垂直 于基本投影面，为此只要将一般位置平面内一 条投影面的平行线变成投影面的垂直线即可。
分析:
由于一次换 面可将一般位置 直线变换成投影 面平行线，利用 已知直线AB=30， 先求出新投影 a1b1，然后再返 回求旧投影ab。
14
作图步骤：
b2
1）在V面适当位置作
3
O1X1∥ab；
0
2）求得点A的H1投影a1；
3）以a1为圆心，以30mm为半 a1 径画圆弧，与过b垂直于O1X1 的直线交于两点b1、 b2 ，
17
倾斜面变换成垂直面(求1角)
如果要求△ABC对v面的倾角β1，可在此平 面上取一水平线AE，作H1面垂直AE，则 △ABC在H1面上的投影为一直线，它与X1轴 的夹角反映该平面对V面的倾角β1。具体 作图如右图所示。
投影变换
投影变换由于数据源的多样性，当数据与我们研究、分析问题的空间参考系统（坐标系统、投影方式）不一致时，就需要对数据进行投影变换。
同样，在对本身有投影信息的数据采集完成时，为了保证数据的完整性和易交换性，要对数据定义投影。
空间数据与地球上的某个位置相对应。
对空间数据进行定位，必须将其嵌入到一个空间参照系中。
因为GIS 描述的是位于地球表面的信息，所以根据地球椭球体建立的地理坐标（经纬网）可以作为空间数据的参照系统。
而地球是一个不规则的球体，为了能够将其表面的内容显示在平面的显示器或纸面上，就必须将球面的地理坐标系统变换成平面的投影坐标系统当系统使用的数据取自不同地图投影的图幅时，需要将一种投影的数字化数据转换为所需要投影的坐标数据。
投影转换的方法可以采用：1.正解变换通过建立一种投影变换为另一种投影的严密或近似的解析关系式，直接由一种投影的数字化坐标x、y 变换到另一种投影的直角坐标X、Y。
2.反解变换即由一种投影的坐标反解出地理坐标(x、y→B、L)，然后再将地理坐标代入另一种投影的坐标公式中(B、L→X、Y)，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换(x、y→X、Y)。
3.数值变换根据两种投影在变换区内的若干同名数字化点，采用插值法，或有限差分法，最小二乘法、或有限元法，或待定系数法等，从而实现由一种投影的坐标到另一种投影坐标的变换。
目前，大多数GIS 软件是采用正解变换法来完成不同投影之间的转换，并直接在GIS 软件中提供常见投影之间的转换。
借助ArcToolbox 中Projections and Transformations工具集中的工具，可以实现对数据定义空间参照系统、投影变换，以及对栅格数据进行多种转换，例如翻转（Flip）、旋转（Rotate）和移动（Shift）等操作。
1. 定义投影定义投影（Define Projection），指按照地图信息源原有的投影方式，为数据添加投影信息。
第三章投影变换
第三章投影变换知识点：投影变换的目的及所采用的方法、换面法、直线的换面、平面的换面、换面法在解题中的应用难点：换面法在解题中的应用时间：2学时讲课内容：§3-1投影变换的目的与方法投影变换的目的，主要在于将原投影体系中的某一个（注意是“某一个”）处于一般位置下的几何元素，改造为特殊位置的元素，以利于图解。
当然，这种改造是以不改变有关元素的已定关系为前提的。
否则，改造是毫无意义的。
这种对原投影进行有目的的改造的方法，称为投影变换。
投影变换所采用的方法，主要有两种：一．置换投影面法。
也即以新的投影面置换某一旧的投影面，建立起一个新的二面体系，使某一直线或平面由一般位置变换为特殊位置。
这种方法简称为换面法；二．旋转几何元素法。
也即在原投影体系中，令空间各有关元素按同轴、同向、同速进行旋转，使其中的某一元素（直线或平面）由一般位置旋转到特殊位置上，重新进行投影。
这种方法简称为旋转法。
根据所设旋转轴的位置不同，可以有垂直轴旋转法和水平轴§3-2设有AB一个HZ如示。
实长，即a1线。
线的投影面。
图3-1 直线的一次换面（平行）一个新的H1面，一个V1面，所以的y坐标等值。
根据yH1上的投影如图这时，AB正垂线。
[例一] 求二交叉直线的公垂线。
这是一个典型的例题。
若应用换面法来求解，则颇为简便。
这里，只要使其中的一线图3-3 求公垂线二．平面的换面在二面体系中，一般位置平面的换面，应借助于该面上的投影面平行线（正平线或水平线）来进行。
这样只要这条面上的平行线垂直于新投影面，则该一般位置平面在新投影面上的投影，就产生积聚，成为新二面投影体系的垂直面。
见图3-4和图3-5。
设二面体系HV中有一一般位置平面△ABC，现欲另设一新的V1投影面替换原V投影面，1。
为此，特在原体ABC面的水平线SA。
HV1之间共V和V1上的坐ABC在ABC平面H1投影面与H投影面。
V1投影面，3-6，ABC，反映了实投影往往要返回。
建筑图学 第三章 投影变换.
为简单起见，我们取新面H1 重合于△ABC，在图上即引新轴 O1X1重合于abc(线段），再作 出新投影△ a1b1c1，它必然反映 实形。
§4—2 变换投影面法
6 第六个问题---把一般位置平面变换成平行面
空间分析：
一次换面：把一般 位置平面变换成新 投影面的垂直面； 二次换面：再变换 成新投影V1
ax2 .
a2
a1
H2 V1 X2
§4—2 变换投影面法
三、换面法的六个基本作图问题
1. 第一个问题---把一般位置直线变换成平行线 作图方法： （1）作新轴O1X1∥ab；
（2）作出两端点A和B 的新投影，得a1b1。
§4—2 变换投影面法
[例题1]：求直线AB的实长及与H面的夹角。
解决的方法：改变已知形体对投影面 体系的相对位置，以达到简化定位问题和 度量问题的解答。
二、投影变换的方法
§4—1投影变换的目的和方法
两种变换方法：
1.变换投影面法（换面法） 保持几何元素的位置不
动，而建立新的直角投影面 体系 。
2.旋转法 保持原直角投影面体系
不动，将空间几何元素绕 某个选定的轴旋转 。
a1 '
V1
a
A
X
ax
ax1
a H
V X
ax
H
X1
a
a1
. ax1 H V1
X1
二、换面法的基本原理
§4—2 变换投影面法
（2）换H 面 原V 面保持不变，以新
旧投影体系 X —V
H A点的两个投影：a, a
的H1 面替换原H 面。
新投影体系
计算机图形学13投影变换
将坐标原点平移到点(a,b)。
01
平行投影
02
俯投影视图 将立体向xoy面作正投影，此时Z坐标取0;
03
投影变换 平行投影
使水平投影面绕X轴旋转-90，使与正投影面处于同一平面； 最后让图形沿Z轴平移dx=tx , dy=ty; 将x轴、y轴反向以与U、V两坐标轴方向一致； 将坐标原点平移至点O
不平行于投影面的平行线的投影会汇聚到一个点，这个点称为灭点(Vanishing Point)。 坐标轴方向的平行线在投影面上形成的灭点称作主灭点。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行。 两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行。 三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。
湖北大学 数计学院
1
讨论(续)：
2
类似，若主灭点在 Y 轴或 X 轴上，变换矩阵可分别写为：
二点透视投影的变换矩阵
湖北大学 数计学院
在变换矩阵中，第四列的p,q,r起透视变换作用 当p、q、r中有两个不为0时的透视变换称为二点透视变换。假定p!=0, r!=0, q=0; 将空间上一点(x,y,z)进行变换，可得如下结果：
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法
知投影方向矢量为（xp,yp,zp）
设形体被投影到XOY平面上
形体上的一点(x,y,z)在xoy平面上投影后→(xs,ys)
∵投影方向矢量为(xp,yp,zp)
∴投影线的参数方程为：
01
03
02
04
05
7.4 投影变换 7.4.2 平行投影 斜平行投影求法 因为 所以 若令
则矩阵式为：
三章投影变换
d
N
e
d
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（五） 投影面垂直面变为投影面平行面
c1
V1
a1 b1
X1
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c′
c1 b1
a1
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（六） 把一般位置平面为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
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例题：已知E点在平面ABC上， 距离A、B为15，求点E的投影。
为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面 的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。
投影变换的两种形式：
（1）变换投影面法（换面法）——空间几何元素保持不 动，设立新的投影面，使其相对新投影面变成特殊位置， 然后用其新投影解题。
（2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素绕某一轴 旋转到有利解题的位置。
第三章 投影变换
第一节 投影变换的目的及种类 第二节 换面法 第三节 旋转法
§3-1 投影变换的目的及其种类
第一节 投影变换的目的及其种类
当直线或平面相对于投影面处特殊位置（平行或垂直） 时，它们的投影可能反映线段的实长、平面的实形以及与投影 面的倾角，从而便于求解几何元素的实长（形）、距离、夹角 和交点（线）等问题。
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a2b2
c'1
2'1
d'1
b'1
a'1
1'1
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（四） 一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
第3章：摄影测量中的投影变换理论
a11 v a = 21 w a 31 t a 41 a11 a = 21 a 31 a 41
a12 a 22 a 32 a 42 a12 a 22 a 32 a 42
a13 a 23 a 33 a 43 a13 a 23 a 33 a 43
如：齐次坐标（4,8,2,2）与（2,4,1,1）代表同一点
齐次坐标
q 齐次坐标的不唯一性 ü 齐次坐标中位于无穷远的点表示为： （u, v, w , 0） ü 齐次坐标中原点的坐标表示为： （0, 0, 0 , t）
齐次坐标
q 齐次坐标的应用 反算式为：
U V W T a11 a = 21 a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44
比较 线性分 数形式 线性形式
（便于处理）
a 31 X + a 32 Y + a 33 Z + a 34 a 41 X + a 42 Y + a 43 Z + a 44
可得：
u = a11U + a12V + a13W + a14 T v = a 21U + a 22V + a 23W + a 24 T w = a 31U + a 32V + a 33W + a 34 T t = a 41U + a 42V + a 43W + a 44 T
中心投影
q
航空影像是中心投影（透视投影）
c b a
S
B A C
第3章 投影变换2011
4. 将一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 c2 需经几次变换？ 一次换面,把一般 位置平面变换成新 投影面的垂直面； 二次换面，再变换 成新投影面的平行 面。
b
d
a
V X H a
c b d c
AD是正平线
3.3 换面法应用
换面法解题的基本过程
★ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影 面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、直线 、平面等）。 ★ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应 处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的 解题思路与方法。
V1
a b a
B A b
a1
X
H1 X1 V1
a1
a H
b1
a2b2
X1
将投影面倾斜线变换为投影面垂直线，需要经过两次 换面，首先将投影面倾斜线变换成为某投影面的平行线， 然后再将投影面平行线变换成为另一投影面的垂直线。
思考题 如何求点C到直线AB的距离？
b
a c
b a V H b 提示
2. 点的两次变换
a
V1
a
a2 a1 A
XV H
a
X1
a2 a1
a
两次换面是在第一次换面的基础上进行。必须一个投 影面变换之后，在新的两投影面体系中再交替地更换另一 个投影面。同时，新、旧投影面的概念也随之改变。
3.2.3 四个基本问题
1. 将一般位置直线变为投影面平行线
b1
B a1 V b a X a1 a b1 a b
◆点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 ■点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影 轴的距离。
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c’ a’ c a d
d’
b‘
d b
b
a’1b’1
2013-7-3 重庆交通大学 画法几何及工程制图
c’1d’1
20
例题3 用换面法求作两直线AB、CD的公垂线。
a’
n’
d’
c’
m’ m
b’ V
X
a
H b d n H X1 V1 b2 m2 d’1 n c2d2 2
c m’1 c’1
2013-7-3
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
24
3.2.2.5
将投影面垂直面换成投影面平行面
ABC实形
.
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
25
3.2.2.6
将投影面倾斜面变为投影面平行面
返回
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
26
例题4 摆锤MN在垂直于Δ ABC平面的铅垂面内摆动，求作接 触点的投影。 m’
b’1
n’1
a2
21
V1 H2 a’1 重庆交通大学 画法几何及工程制图
3.2.2.4
将投影面倾斜面变为投影面垂直面
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
22
3.2.2.4
将投影面倾斜面变为投影面垂直面
正平线 垂直
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
23
3.2.2.5
将投影面垂直面换成投影面平行面
利用平行性获得实长
实长
一般位置
特殊位置
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
2
利用平行性获得实形
实角
实形
一般位置
特殊位置
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3
利用积聚性求点到面的距离、两公垂线距离、面与面夹角等
b c k a d X
实长
a k
c l
b e
变换H面
不变投影
新投影
旧投影
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
8
变换H面动画
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
9
3.2.1.2
点的二次变换
.
.
2013-7-3
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10
点的两次变换动画
返回
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
11
14
3.2.2.2
将投影面平行线变为投影面垂直线
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
15
3.2.2.2
将投影面平行线变为投影面垂直线
.
.
垂直
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
16
3.2.2.3
将投影面倾斜线变为投影面垂直线
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3.2.2
六个基本问题
者将特殊位置的直线转换为有利于求解的特殊位置。
目标：将一般位置的直线和平面转换为特殊位置的直线或平面，或
1. 将投影面倾斜线变换成投影面平行线
2. 将投影面平行线变换成投影面垂直线 3. 将投影面倾斜线变换成投影面垂直线 4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面 5. 将投影面垂直面变换成投影面平行面 6. 将投影面倾斜面变换成投影面平行面 3.2.3
投影变换
（projection change）
为什么要进行投影变换
投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投 影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。 利用平行性的投影特性： 利用积聚性投影特性 获得实长 获得实形、实角 获得两几何元素的交集
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
1
2013-7-3
变换投影面法应用实例
重庆交通大学 画法几何及工程制图 12
3.2.2.1
把倾斜线变为投影面平行线
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
13
3.2.2.1
把倾斜线变为投影面平行线
求对H面倾角，换V面； 求对V面倾角，换H面；
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3.6.2
2013-7-3
变换投影面法中的六个基本问题
重庆交通大学 画法几何及工程制图 5
3.2.1.1 点的一次变换
变换V面
旧投影面
旧投影
不变投影面 不变投影 .
新投影 新投影面
2013-7-3 重庆交通大学 画法几何及工程制图 6
变换V面动画
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
7
1‘
k’
1
k k1’
m(n)
n1‘ H V1 x1
θ
m1‘
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
27
例题5 求夹角
a’ b’c’ a c
c1’
d1’ a1’ b1’ a2b2
2013-7-3 重庆交通大学 画法几何及工程制图
d’
d
b
c2
θ
d2
V1 H2
28
P22 3—4（2）
2013-7-3
17
3.2.2.3
将投影面倾斜线变为投影面垂直线
.
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
18
例题1.求点A到直线的距离。
a’
b’ k’ c’ V b k a k’1 c c H V1 H
k2 b2 c2
b
2013-7-3
a2
H2 重庆交通大学 画法几何及工程制图 V1
a
19
例题2已知平行直线之间的距离为15，求作CD的投影（ok）。
m
b
d
X
a
c b c a θ ed d
X d k
a b
c m
ab k l
d
实长
c
实角
2013-7-3
重庆交通大学 画法几何及工程制图
4
3.6 变换投影面法（换面法）
（The method of changing projection plane）
3.6.1
变换投影面法的基本规律
1）不论在新的或原来的（即被代替的）投影面体系中， 点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。 2）点的新投影到新投影轴的距离等于原来的投影到原来 投影轴的距离。
重庆交通大学 画法几何及工程制图
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V2
Q2'
W1
θ
Q1'' P1''
P2'
W1 V Q'
P'
P''
Q''
V
2013-7-3 重庆交通大学 画法几何及工程制图
W
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