工程制图第三章 投影变换
第3章 投影变换
上一页
下一页
返回目录
4.2.1 更换投影面的原则
1. 新投影体系的建立
画 法 几 何 及 工 程 制 图 c1 V1 C b1 A a b X a1 X1 V/H 体系变换为V1/H 体系
上一页 下一页 返回目录
V c c1 b1 X
c
a
a1
b
bc
X1
a
B bc H
a
a b m P
例2 ABC与ABD夹角为60°，求a‘d’，b‘d’。
a'
画 法 V 几 X H 何 及 工 X1 H V1 程 c1' 制 图 a1'
投影分析 空间分析
c' d' b' d b
c
a
b1'
d1'
将AB 当两平面的交 投影面平行线 线 AB垂直于新 新投影轴 X1//ab 投影面时它们 c1 在该投影面上 将AB 的投影反映其 投影面垂直线 60° 夹角实大 d1 新投影轴X2a1'b1' a1(b1) 将AB 投影面垂直线 V1 H1 X2
画 法 几 何 及 工 程 制 图
点的投影变换规律
V
a
V1
a1
A X
X1
a H
上一页 下一页 返回目录
画 法 几 何 及 工 程 制 图
上一页
下一页
返回目录
（1）变换V面时点的投影作图
画 法 几 何 及 工 程 制 图 V V1 a1 a a
A
X
a1
XV H
a H
a
上一页
下一页
返回目录
上一页 下一页 返回目录
03-画法几何及工程制图-第3章-投影变换
a1
a
c1
k1 b1
k'
c
b
XV
H
a
b'2 k'2 a'2
c'2
距离
kb c
Why？
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例]求D点到平面ABC直线的距离。
§3.2 变换投影面法-六个基本问题-例子
[例3]求交叉两直线AB、CD间的距离。
d
X
V H
d
b m
k c
a
kc b
m
a
d1 a1
c2 k2
➢新投影到新投影轴的距离等于（被替换的）原来投影到 原投影轴的距离。坐标值不变
•点的一次变换（变换V面）－Z坐标值不变
a
a
V
A
aX
X
a
a1 V1
aX1
X
V H
aX
X1
a
a1
aX1
§3.1变换投影面法-基本规律-点的一次变换
•点的一次变换（变换H面）－Y坐标值不变
V b
bX1
B
b1
b
bX1 b1
bX
a
b
a1
X
V H
a
b1
b
a2 b2
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
4. 将投影面倾斜面变换成投影面垂直面
b
d
a
X
V H
b d
a
c
Why X1轴这么选？
c
H面倾角
α1
b1
a1 c1 d 1
变换V面（求α1）
§3.2变换投影面法-六个基本问题-倾斜面变换为垂直面
画法几何与工程制图第三章(投影变换)
ax1
X1 H V1
a1'
6
06
第三章 投影变换
点的换面投影作 图(换H面）： 换 面
1、选适位置作新投 、 影轴X 影轴 1。 2、作a1a’⊥X1 。 、 3、截取a1 aX1 = 、
2、点的换面投影作图（换H面） 、点的换面投影作图（ 面
H1 H1 X1 V X1 V
a1
ax1 a' V X H ax
第三章 投影变换
第三章 投影变换 1
当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时，它们在该投影 当直线、平面相对某投影面处于平行或垂直的特殊位置时， 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、 面上的投影具有反映线段实长、平面实形以及直线、平面对投影面的倾角等特 而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时， 性。而当直线、平面相对某投影面处于一般位置时，它们在该投影面上的投影 就不具有这些特性。 就不具有这些特性。 投影变换---把一般位置的几何要素变换成特殊位置 解决其定位和度量问题。 把一般位置的几何要素变换成特殊位置， 投影变换 把一般位置的几何要素变换成特殊位置，解决其定位和度量问题。 线段实长 平面的实形
aaX得a1 。
注意： 注意： 在作点的换面投 影时， 影时，新投影面 的位置可以任取。 的位置可以任取。
O
a
7
07
第三章 投影变换
3、点的两次换面投影 、
根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。 如图所示） 根据解题的需要，可在一次换面的基础上进行再次换面。（如图所示） 在一次换面V 投影体系中再设一个新投影面 投影体系中再设一个新投影面H 求得点A在 在一次换面 1/H投影体系中再设一个新投影面 2，求得点 在H2面上的新投 称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作X 影a2 ，称为点的两次换面投影。第二次换面的新投影轴记作 2 。
工程制图第三章 投影基础
[例3-8] 分析图所示立体各平面的位置。
主视图投射方向
(a)立体图
(1) △ABC是水平面。 (2) △DEF是侧垂面。
(b)三视图
(3) 侧面ACDE是一般位置平面。
三、平面上的点和直线的投影
1. 平面上的点 点在平面内的条件是：点在该平面内的一条线上。
2．平面上的直线
直线在平面内的条件是：通过平面内的两点或通过平 面内一点并平行于平面内的 另一直线。
用虚线绘制，当虚线与实线重合时只画实线。
特别应注意俯、左视图宽相等和前、后方位
关系。
作图举例：画出立体的三视图。
3 2
不能有线
宽相等
1
虚线 要画
小
(1) (2)
结
(3) 三视图投影规律: 主俯视图长对正 主左视图高平齐 俯左视图宽相等
投影方法分类：
中心投影 平行投影 工程制图采用 平行正投影方法 和第一角投影。
轴①平面在与其平行的投影面上的投影反映平面图形的实形。 测 ②平面在其他两个投影面上的投影均积聚成平行于相应投影轴 投 影 的直线。 图 平 面 投 影 图
应 用 举 例
3．一般位置平面 ：与三个投影面都倾斜的平面 。
主视图投射方向
投影特性： ①它的三个投影均为类似形，而且面积比原平面图形小； ②投影图上不直接反映平面对投影面的倾角。
(a) 通过平面内的两点
(b) 过平面内一点且平行 于平面内的一直线
[例3-9] 如图3-39a所示，已知平面△ABC上点M的正面
投影m ，求点M的水平投影m。 （引入反求） 分析：利用点、线从属关系求出M的水平投影m。 作图：
结论：判断点是否在平面内，不能只看点的投影是否在 平面的投影轮廓线内，一定要用几何条件和投影 特性来判断。
工程制图 第三章 投影法及点线面投影
即： AC : CB = ac : cb
B C A a c b b c a c A B C C B b A
a
工程图学基础/机械设计制图 4. 相交二直线的投影也必然相交，交点的投影必是 其投影的交点。
F
B A E b a e f a c k d C K B D
A
b
5. 两平行直线的投影仍然互相平行，且其长度之比投 影后保持不变。
与三个投影面都倾斜
一般位置平面
工程图学基础/机械设计制图
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置平面
V
平面相于投影面W 的位置可归纳为 几类？
H
工程图学基础/机械设计制图
一般位置平面的投影
投影特性： 三个投影都为类似形。
b c
a b a
b
c
a
c
工程图学基础/机械设计制图
V W V W
H
V
e f
a(b)
c
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
工程图学基础/机械设计制图
3） 一般位置直线
V
b B
a
β
b b
W X
Z
b a
a
O
γ
A
a H
a b a
Y
b
Y
投影特性
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
解法二： （应用定比定理）
a
●
k b
●
●
b
b k● a
k● a
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
第3章 投影变换
图3-3 点的一次投影变换（变换H面）
X1 H1 XV H ax1 a1
X
ax
a
b) 投影图
用正垂面H1来代替H面，H1面和V面组成新投影体系V/H1，投影体系由V/H 变换为V/H1。新旧两体系具有同一个V面，因此a1ax1=Aa′ =aax。
无名湖畔论坛
b'
XH b k
V
O a
c
b1' a1'
k1'
作图过程如图4-21所示。
c1'
无名湖畔论坛 图3-21 过点A作直线与BC垂直相交
【例3-2】已知AB、CD是两条交叉直线，求两直线最短距 c' 离及其投影。
B
分析： 连接两交叉直线的线段中，只有它们 的公垂线最短。
M A C N
a
c
无名湖畔论坛 图3-10 一般位置平面变换为正垂面直观图
作图: 将一般位置平面变为正垂面的投影图。
b' a' k' 平面有积聚性的投影
步骤： ①找平面内的水平线;
c'
V XH
b1' a1' (k1')
②建新轴V1/H垂直于 ak，AK变成正垂线; ③平面变成垂直面， 有积聚性，反映平面 与H面的夹角。
无名湖畔论坛
一般位置平面变换为投影面的平行面，必须经过二次换面。
b'
a' k'
平 行
c'
X
V H
b1' a1' (k1') b2 a2 c1 '
b k a c
图3-13 一般位置平面变换为水平面
工程制图 点、直线及平面的投影
工程制图
B b b
A a
a
a
b
Z
b
a
a
X a
b
O
YW
b
YH
27
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于V 投影面的铅垂线
工程制图
Z
a
a
b
b
X
O
YW
a(b)
YH
28
工学院 机械系 张文斌
红河学院
从属于OX轴的直线
工程制图
Z
X a
b O
YW
(b)
a
b a(b)
YH
29
工学院 机械系 张文斌
红河学院
二、一般位置直线
(2) 正垂线
(3) 侧垂线
3.从属于投影面的直线
从属于投影面的直线
从属于投影面的铅垂线
从属于投影轴的直线 二、一般位置直线
20
工学院 机械系 张文斌
红河学院 (1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线 工程制图
z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
B
b a
a
b
b YH
投影特性：1．ab OX ; ab OYW
O
YW
b
a(b)
YH
投影特性：1． a b 积聚 成一点
2． a bOX ; a b OYW 3． a b = a b = AB
24
工学院 机械系 张文斌
红河学院 （2）正垂线— 垂直于正面投影面的直线 工程制图
(a)b
(a)b
z a
b
A
工程制图-03第三章 投影变换
第三章《工程制图（含CAD）》第三章投影变换授课教师：和萌林当直线、平面与投影面处于一般位置时，无法在投影面上得到“实形”和真实的角度，因此，工程中经常会遇到求作线段的实长、平面的实形以及对投影面的夹角等问题。
为此，需要设立一个新的投影面，并使其平行于所求一般位置直线或一般位置平面，或改变直线或平面的位置而使其平行于某投影面（或处于解题的有利位置），从而达到解决问题的目的，这就是投影变换。
第三章投影变换300目录本章主要内容：第一节换面法第二节旋转法学习要求：初步掌握用换面法、旋转法求直线的实长、平面实形及真实角度的方法。
第一节换面法310第一节§3-1换面法解决办法：更换投影面，达到有利位置。
问题提出：如何求一般位置直线的实长？如何求一般位置平面的真实大小？如何求一般位置线、面的夹角？一、换面法的基本概念物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体向新投影面进行投射。
VHXABa'b'ab老投影体系V/H新投影面V 1新投影体系V 1/HX 1新轴老轴a 1'b 1'新投影被替换的投影被保留的投影被保留的投影面被替换的投影面311概念基本概念§3-1换面法VHA B a 'b 'a b 二、新投影面的选择原则1.新投影面必须对空间物体处于最有利的解题位置。
●平行于新的投影面●垂直于新的投影面2.新投影面必须垂直于某一保留的原投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。
Pa 1b 1312规则§3-1换面法VHAa 'a●●●a xX1. 更换一次投影面●旧投影体系X —V H●新投影体系P1HX1 —A 点的两个投影：a ，a 'A 点的两个投影：a ，a1⑴新投影体系的建立X 1P 1a 1a x1●●●●VHX P 1H X 1a 'aa1a xa x1.313变换规律三、点的投影变换规律§3-1换面法VHAa 'a●●●a xX⑵新旧投影之间的关系X 1P 1a 1a x1●●●●VHX P 1H X 1a 'aa1a xa x1.❶aa 1⊥X 1❷a 1a x1= a 'a x❷点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影到原投影轴一般规律：❶点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直于新投影轴。
工程制图
例1：已知点A的两投影ɑ和ɑ′，以及点B在点A的右方10mm、上方8mm、前方6mm，试确定点B的投影。
例2：已知A、B、C、D的投影图，判断其相对位置
§3.5投影变换（projection transformation）概述及点的投影变换
一、概述
投影变换就是通过改变空间几何元素对投影面的相对位置，从而简化求解问题的一种方法。
2）从属性
点在线段上，则点的投影一定在该线段的同面投影上。点M在线段AB上，那么点M的投影m也一定在线段AB的投影ɑb上。
同素性从属性和定比关系
3）平行性
空间两直线平行，其同面投影亦平行。空间直线AB∥CD，其投影ɑb∥cd。
4）定比性
点分线段之比，投影后保持不变。即AM∶MB=ɑm∶ mb，上图所示。
已知点的正面投影和其侧面投影，求其水平投影
已知点的水平投影和侧面投影，求作正面投影
四、点的三面投影与直角坐标的关系
XA=aay＝a＇az＝axO＝Aa＇＇，是空间点A到W面的距离。
YA=aax＝a＇＇az＝ayO=Aa＇，是空间点A到V面的距离。
ZA=a＇ax＝a＇＇ay＝azO=Aa，是空间点A到H面的距离。
3.透视投影图：
优点：图形十分逼真。
缺点：不能度量，绘制复杂。
4.标高投影图：
正投影的一种。主要用来表示地形。
采用地面等高线的水平投影，并在上面标注出高度的图示法。
§3.2点的二面投影（two-plane projection of point）
一、二面投影体系的建立及点的二面投影
点是形体最基本的元素。在几何学中无大小、薄厚、宽窄，只占有位置。空间点用大写字母表示，投影点用小写字在H面之下。
中国大学mooc《工程制图基础(华东交通大学) 》满分章节测试答案
title工程制图基础(华东交通大学) 中国大学mooc答案100分最新版content第1章绪论点、直线、平面的投影第1章测试1、点到投影面的距离，下列说法正确的是（）答案: 点到H面的距离等于点的Z坐标，点到V面的距离等于点的Y坐标，点到W面的距离等于点的X 坐标2、判别A、B、C三点的相对位置，正确的答案是（）答案: A点在B点的左、前、下方，C点在B点的右、前、下方3、用正投影得到的投影具有以下基本性质（ )答案: 真实性、类似性、积聚性、平行性、从属性、等比性4、下列关于直线位置的说法，正确的答案是（ )答案: AB是水平线，CD是侧垂线，EF是一般位置直线5、下列说法正确的是（）答案: 投影法有中心投影法、平行投影法二种，其中平行投影法又分斜投影法、正投影法二种6、求直线AB对投影面V、H的倾角，正确的是（）答案: (C)7、判别交叉两直线AB、CD上重影点的可见性，正确的是（）答案: (D)8、如图所示，判别直线的相对位置，正确的是( )答案: AB与CD交叉，CD与EF交叉9、空间前后方位用哪个坐标轴表示？答案: 坐标轴Y10、以下哪种投影图的度量性最好？答案: 多面正投影图11、以下哪种投影图的直观性最好？答案: 透视投影图12、完成五边形平面ABCDE的水平投影，正确的是（ )答案: (C)13、已知正方形ABCD的一个顶点D在V面上，完成正方形ABCD的两投影，求作过程正确的是（）答案: (B)14、空间A点的正面投影记为：( )答案: a¢15、图中a¢ax =Aa表示的含义为：( )答案: 空间A点的正面投影到X轴的距离等于A点到水平投影面的距离16、空间A点的侧面投影记为：( )答案: a²17、关于点的三面投影规律描述正确的是：( )答案: a¢a⊥OX轴、a¢a²⊥OZ轴、aax=a²az，简称“长对正、高平齐、宽相等”18、关于直线AB描述正确的是：( )答案: AB是水平线19、关于直线AB描述正确的是：( )答案: AB是正垂线20、在一般位置平面P内取一直线AB，已知ab∥OX轴，直线AB是：( )答案: 正平线21、关于C点的位置描述正确的是：答案: C点不在直线AB上22、关于直线AB与CD位置关系描述正确的是：答案: AB与CD交叉23、关于直线AB与CD位置关系描述最正确的是：( )答案: AB与CD交叉垂直24、一条正平线与一条一般位置直线在空间垂直，投影图中互相垂直的是：( )答案: 正面投影25、求A点到BC直线的距离实长时，能从投影图中直接量取距离实长的已知条件是：答案: BC直线为铅垂线26、下图中?号所表示的角为：答案: 直线AB对水平投影面的倾角27、直角三角形法求一般位置直线AB对正投影面的倾角β，下图中正确的是：答案: （C）28、用直角三角形法求一般位置直线AB对H面的倾角α，描述正确的是：答案: 直角三角形的一条直角边是直线的水平投影，另一条直角边是直线两端点的Z坐标差29、下图中关于△ABC叙述正确的是：答案: △ABC是铅垂面30、下图中关于△ABC叙述正确的是：答案: △ABC是正平面31、平面的正面投影积聚为一条直线并与OX轴平行，该平面是：答案: 水平面32、下图中关于AN与与△ABC的关系叙述正确的是：答案: AN是△ABC面上的水平线33、工程中常用的投影图有（）答案: 多面正投影图;标高投影图;轴测图投影;透视投影图34、下面的投影图中哪些采用了正投影法（）答案: 正等轴测投影图;标高投影图;三视图35、采用第一角投影法的国家有（）答案: 俄罗斯;中国36、投影面W可反映空间哪几个方位（）答案: 上下;前后37、下图中关于K点与△ABC的关系叙述正确的是K在△ABC平面上答案: 正确38、空间A点的正面投影记为：( )答案: a¢39、空间A点的侧面投影记为：( )答案: a²40、下图中关于△ABC叙述正确的是：答案: △ABC是正平面41、下图中关于△ABC叙述正确的是：答案: △ABC是铅垂面42、下图中关于△ABC叙述正确的是：答案: △ABC是正平面43、平面的正面投影积聚为一条直线并与OX轴平行，该平面是：答案: 侧平面44、下图中关于AN与与△ABC的关系叙述正确的是：答案: AN是△ABC面上的水平线45、下图中关于K点与△ABC的关系叙述正确的是K在△ABC平面上答案: 正确作业第1章绪论点、直线、平面的投影第1章作业1、评分规则:2、评分规则:3、评分规则:作业第2章直线、平面相对位置第2章作业1、评分规则:2、评分规则:3、评分规则:4、评分规则:第2章直线、平面相对位置第2章测试1、求两平面的交线，并判断可见性。
工程制图投影变换.
投影变换基本要求掌握换面法的基本原理.换面法作图的投影变换规律对投影面的倾角M量问题形的实形、§6-1概述投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为投影 面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的度量和 定楼间题。
当直线或平面相对于投影面处于特殊位置时，它们 的投影反映线段的实长.平面的实形及其与投影面 的倾角。
当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们 的投影不具备上述特性。
HI 1:11=1 1:1 HI 珂点之间距离换面法一、换面法的基本概念二、新投彩面的选择原则三、点的投影变换规律四、四个基本问题五、旋转法简介用新的投影换面法一空间几何元素的位置保持不动，面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投形面上的投影.二、新投影面的选择原则新投形面的选择必须符合以下两个基本条件：1.新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置.2.新投影面必须垂直于一个不变投影面.三、点的投影变换规律1.点的一次变换2.点的投影变换规律3.点的两次变换2.点的投影变换规律(1)点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴(2 )点的新投影到新投影轴的距离弟于点的旧投影到旧投够轴的距离。
"-点在V7H/体系中的投影3点的两次变换（一）把一般位置直线变为投影面平行线（二）把一般位置直线变为投影面垂直线（三）把一般位置平面变为投影面垂直面（四）把一般位置平面变为投影面平行面-（一）把一般位置直线变为投影面平行线［例题1］把一般位置直线变为投影面平行线（二）把一般位置直线变为投影面垂直线把一般位置直线变为投影面垂直线1例题2］求点C到直线A3的距离作图（三）把一般位置平面变为投影面垂直面［例题4］求点S到平面的距离距离求E 点的正面投影"。
『例题5］己知E 到平面ABC 的距离为N, （四）把一般位置平面变为投影面平行面 实形五、旋转法简介旋转法是让几何元素在空间绕垂直轴线转 动，产生新的投影的方法。
武汉理工大学土木工程制图第三章 投影基本知识
P
光线透过形体
光线（投影线）
S
投影中心(光源） 形体(物体）
投影(投影图） 投影面
二、投影法的分类：
1、中心投影法：光线从一点光源出发所得的投 影图。
2、平行正投影法：光线垂直于投影面。 （2）斜投影法：光线倾斜于投影面。
B
B
斜投影法
第三章 投影的基本知识
一、投影的基本知识 二、投影法的分类 三、投影法在工程中的应用 四、正投影图的形成及规律
基础平面图
2-2
在自然界中，光线 照射物体，将在平面上得 到其影子。如图示：
平面P
影子
光线
光源 S
物体
一、投影的方法（投影法）： 光线—透过形体—在投影面上—投影—投影法
W 0
X Y
展开
2、 展开：
去掉边框线
Z
W
X
Yw
Z
V W
0
X Y
YH
3、规律： （1）三面投影之间的关系Z ：长对正、高平齐
宽相等
高 平齐
长 对正
X
宽 相等
Y
宽 相等
Y
（2）三面投影反应形体投影的部分方向： 前、后
上
Z
上
左、 右
上、下
前 左
右 后
左
前
下
X
后
下
Y
H
左
上
右
W
V
Y
前
第三章作业： 习题集P7
A
A C
C
中心投影法
b
a
c
θ
b
a
c
90°
正投影法
三、投影法在工程中的应用：
投影变换
旧的 V面
新的 V面
二.换面法
1)直线的一次换面
新投影与保
留投影的连线
a
垂直于新投影
b
轴；
V
XH
a
新投影到新
投影轴的距离
等于旧投影到
旧投影轴的距
b
a
离。
b1
直线的换面
a1
二.换面法
1)直线的一次换面 2)直线的二次换面
k'
a'
X HV a
k
c'
e' b' b
e
c X1
b1' L a'1
k1'
c1'
15
2020年4月5日星期日
第三章 投影变换
一.投影变换的目的与方法 二.换面法 三.例题
a
a
a
一.投影变换的目的与方法
1）投影变换的目的是将原 体系中的某一个处于一般位 置下的几何元素，改造为特 殊位置的元素，以利于图解。
2）投影变换所采用的方法: 置换投影面法（换面法） 旋转几何元素法（旋转法）
换面法 旋转法
二.换面法
一般位置
直线经过一次
b
变换可变为平 V
行线；
XH
一般位置直
线需先变换成
平行线后才能
再变换为垂直
b
线。
a a
a b1
直线的换面
b2(a2)
a1
二.换面法
平面的换面
1)平面的一次换面
注意：必 需先在该面上 取一条投影面 的平行线作为 变换依据。
三章投影变换
d
N
e
d
章目录
上一页
下一页
（五） 投影面垂直面变为投影面平行面
c1
V1
a1 b1
X1
章目录
上一页
下一页
c′
c1 b1
a1
章目录
上一页
下一页
（六） 把一般位置平面为投影面平行面
a2
b2
实形
d2
c2
d
d
章目录
上一页
下一页
例题：已知E点在平面ABC上， 距离A、B为15，求点E的投影。
为了较容易地解决有关的作图问题，将几何元素与投影面 的相对位置变换成处于有利解题位置的方法称为投影变换。
投影变换的两种形式：
（1）变换投影面法（换面法）——空间几何元素保持不 动，设立新的投影面，使其相对新投影面变成特殊位置， 然后用其新投影解题。
（2）旋转法——投影面保持不动，将几何元素绕某一轴 旋转到有利解题的位置。
第三章 投影变换
第一节 投影变换的目的及种类 第二节 换面法 第三节 旋转法
§3-1 投影变换的目的及其种类
第一节 投影变换的目的及其种类
当直线或平面相对于投影面处特殊位置（平行或垂直） 时，它们的投影可能反映线段的实长、平面的实形以及与投影 面的倾角，从而便于求解几何元素的实长（形）、距离、夹角 和交点（线）等问题。
上一页
下一页
a2b2
c'1
2'1
d'1
b'1
a'1
1'1
章目录
上一页
下一页
（四） 一般位置平面变为投影面垂直面
b
a
d
b1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V2 H1 H1
求平行两直线AB、 CD间距离。
c1
a1
V
b’ c’
d’
V
a’ a
c b
H
d
30
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
c’ a’
V H
P20 3—2（1）
e’
b’ e b
d’
d b1’ e1’
a c
H V1
d1’
a1’
2014-8-29
m1’ c1’
重庆交通大学 画法几何及工程制图 31
14
3.2.2.1
把倾斜线变为投影面平行线
求对H面倾角，换V面； 求对V面倾角，换H面；
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
15
把倾斜线变为投影面平行线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
16
3.2.2.2
将投影面平行线变为投影面垂直线
.
.
垂直
2014-8-29
第三章 投影变换
3.1 投影变换的方法
3.1.1 为什么要进行投影变换
投影变换是研究如何通过改变空间几何元素与投
影面的相对位置或改变投射方向达到简化解题的目的。
利用平行性的投影特性： 利用积聚性投影特性 获得实长
获得实形、实角
获得两几何元素的交集
3.1.2 投影变换的种类
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 1
23
将投影面垂直面换成投影面平行面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
24
3.2.2.6
将投影面倾斜面变为投影面平行面
返回
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
25
a1 a’ c’
V H
c1 k1’
b1
H1 V 1
例1 求C点到 c2’ AB直线的距 离
a2’b2’
重庆交通大学 画法几何及工程制图
17
将投影面平行线变为投影面垂直线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
18
3.2.2.3
将投影面倾斜结变为投影面垂直线
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
19
将投影面倾斜线变为投影面垂直线动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3.2.3
变换投影面法应用实例
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
8
3.2.1.1 点的一次变换
变换V面
旧投影面
旧投影
不变投影面
不变投影 .
新投影 新投影面
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 9
变换V面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
10
变换H面
20
3.2.2.4
将投影面倾斜面变为投影面垂直面
正平线 垂直
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
21
将投影面倾斜面变为投影面垂直面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
22
3.2.2.5
将投影面垂直面换成投影面平行面
ABC实形
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
不变投影
新投影
旧投影
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
11
变换H面动画
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
12
3.2.1.2
点的二次变换
.
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
13
点的两次变换动画
返回
2014-
k’ b’
H1 V
a k c b
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
26
k1 例2 求直线MN与
Δ ABC的交点K。 a’ n’ n k m m’
b’
k’
c’ b c
a
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
27
d’
V H
k’ a’
m’
b’
例3 求交叉两直线AB c’
和CD的距离。
3.3.2
旋转法中的六个基本问题
3.3.2.1 将投影面倾斜线旋转成投影面平行线
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
38
3.3.2.2
将投影面倾斜线旋转成投影面垂直线
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
39
3.3.2.3
将投影面倾斜面旋转成投影面垂直面
2014-8-29
d’ P22 3—4（1）
V H
c’
V1 H
a
c
n m
b b1’
d
c2 n2 a2b2m2
V1 H2
a 1’
c1’ n 1’ m1’ d 1’
d2
34
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
P22 3—4（2）
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
35
V2
Q2'
W1
P22 3—4（2） θ
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
7
3.2 变换投影面法（换面法）
3.2.1 变换投影面法的基本规律
1）不论在新的或原来的（即被代替的）投影面体系中， 点的两面投影的连线垂直于相应的投影轴。
2）点的新投影到新投影轴的距离等于原来的投影到原来 投影轴的距离。
3.2.2
变换投影面法中的六个基本问题
3.3.1.2 当一直线绕垂直于投影面的轴旋转时，它对轴所垂直平 面的倾角不变，它在轴所垂直的投影面上的投影长度不变。态
动画
3.3.1.3 当一平面绕垂直于投影面的轴旋转时，它对轴所垂直平 面的倾角不变，它在轴所垂直的投影面上的投影形状不变。 动画
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 37
重庆交通大学 画法几何及工程制图
43
利用平行性获得实长
实长
一般位置
特殊位置
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
2
利用平行性获得实形
实角
实形
一般位置
特殊位置
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
3
利用积聚性投影特性获得两几何元素的交集
返 回
一般位置
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图
特殊位置
4
3.1.2.1
换面法
平行
实形
选择新投影面的原则：
X1轴//abc
1.新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置 2.新投影面必须垂直于一个不变的投影面
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图 5
投影图：
ABC实形
.
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
6
旋转法
实 形
H1 V
a1 c1 d1 d’
P20 3—2（3）
a’
c’
b’ b
b1
V H
c
d a
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
32
c’
H
V1
d’ P20 3—2（4）
a’
b’ b
V H
a
a1’ b1’
c c1’d1’
2014-8-29
d
重庆交通大学 画法几何及工程制图
33
a’ m’ n’ b’
k c m
a
H V1
d
b
c1’ k1’
c2
k2 d2
a 1’
m1’ b1’ a2b2m2 d 1’
V1 H2
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
28
例4 求变形接头两侧面ABCD和ABFE之间的夹角。
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
29
P19 3—1（4） b1
d1
Q1'' P1''
P2'
W1 V Q'
P'
P''
Q''
V
2014-8-29 重庆交通大学 画法几何及工程制图
W
36
3.3 旋转法
3.3.1 旋转法的基本规律
3.3.1.1 当一点绕垂直于投影面的轴旋转时，它的运动轨迹在轴 所垂直的投影面上的投影为一个圆，而在轴所平行的投影面上 的投影为一平行于投影轴的直线。 动画1 动画2
重庆交通大学 画法几何及工程制图
40
3.3.2.4
将投影面倾斜面旋转成投影面平行面
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
41
例1 求△ABC 和△ABD 两平面之间的夹角
2014-8-29
重庆交通大学 画法几何及工程制图
42
例2 试将点D 绕所设OO 轴旋转到已知平面ABC 上
2014-8-29