第三章题解

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(4) f: NN, f (n) = n mod 4 Sol: f (n) = {0, 1, 2, 3}。非单非满 (5) f: IN, f (x) = |3n| + 2。 Sol: 偶函数,非单射。Min f(x) =2, 1无像源,非满射 (6) f: N2N, f(m, n) = mn。 N2 二维空间。 Sol: f (4, 1) = 41 = 4 = 22 = f (2, 2) , 所以非单射;
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10. 设A和B都是有限集, |A| = |B| = n, 试证明由A 到B的函数, 如果它是单射, 则它必是满射。反 之亦真。
Proof: (反证)已知 f: AB是单射, 假设f 不是满射, 则B中至少有一个元素没有像源, 即A中元素至 多只有n-1个像, 但|A| = n, 所以A中至少有两个 元素对应同一个像, 这与f 是单射相矛盾。故f 是满射。
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建立双射f: [0, 1] [a, b], f (x) = (b-a)x + a
所以 [a, b] ~ [0,1] = C
建立双射f: (0, 1) (a, b), f (x) = (b-a)x + a
所以 (a, b) ~ (0, 1) = C
(5) {‹|x|, x› | xR}
Sol: (1) 可以 (2) 可以 (3) 可以
(4) 可以
(5) 不可以 |x|有两个象, x和-x
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2. 设f 和g是函数, 证明 f g dom f dom g, 且对所有x dom f, f(x) = g(x)。
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7. 设|S| = n, 试证明任何从S到S的函数, 如果它是满 射, 则它必是单射。反之亦真。
Proof: 设f 是从S到S的任意函数， y1, y2, x1, x2S, f(x1)=y1, f(x2)=y2 若f 是满射，每个yS 均有原象， 且当y1 y2时, x1x2。 所以f 是单射。
= { (x, g(x)) | x dom g } =g
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4. 设f, g, h都是实数集R上的函数, f(x) = 2x–1, g(x) = x + 4, h(x) = x/3。 求: fog, gof, hof, fo(hog), go(hof)。
Sol: f (0) = res7(0) = 0; f (1) = res7(3) = 3; f (2) = res7(6) = 6; f (3) = res7(9) = 2; f (4) = res7(12) = 5; f (5) = res7(15) = 1; f (6) = res7(18) = 4。 可见f 既是单射, 又是满射, 故是双射。
Proof: 因为 f = { (x, f(x)) | x dom f } g = { (x, g(x)) | x dom g }
f g 对任意 (x, f(x)) f, x dom f 有 (x, f(x)) g, x dom g
(x, f(x)) f (x, f(x)) g 且 (x dom f x dom g)
Proof: 因为hgf = (hg) f = h(gf )是满射, 所以hg和 h是满射
因为gf h = g(f h) = (gf )h是满射, 所以g和 gf 均是满射。
因为f hg = f (hg) = (f h)g是单射, 所以hg和 g均是单射。
所以g 和hg都是双射, hg的逆函数(hg)-1: AB也是双射
(hg)-1(hgf ) = ((hg)-1(hg))f = IBf = f , (hg)-1和hgf 均是满 射, 所以f 是满射；
(f hg) (hg)-1= f ((hg)(hg)-1) = f IA = f , f hg和(hg)-1均是单射, 所以f 是单射；因此f 是双射。
所以g-1和f-1 也是双射, 于是
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(2) 若gf 是单射且f 是满射, 则g 是单射。
Proof: b1, b2B, b1≠b2, 因为f 是满射, 必有 a1, a2A, 使得 f (a1) = b1, f (a2) = b2 , 因为b1≠b2,所以 a1≠a2 , 又因为g是BC的函数, 所以有c1, c2C, 使得 g (b1) = c1, g (b2) = c2 。由合成函数定义
思考题解
1. 下列关系可以定义函数吗？
(1) {‹a, x›, ‹b, y›, ‹0, 1›, ‹Panda, Peris›}
(2) {‹a, ‹b, c››, ‹b, ‹c, d››, ‹d, ‹a, d››}
(3) {‹0, ‹b, c››, ‹1, ‹b, c››}
(4) {‹x, |x|› | xR}
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即h为单射。
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13. 下面集合A的势是什么？ (1) {(p, q) | p, q都是整数};
Sol: 令 f : A B = {p/q}, f (p, q) = p/q, f 为双射, 所以A~B, |B|= 0, 故A的势为0 。
(2) {(p, q) | p, q都是有理数}; (3) A由所有圆心在x轴上, 半径为1的单位圆组成
反之, 已知 f: AB是满射, 假设f 不是单射, 则A
中至少有两个元素对应同一个像, 即A在B中至
多有n-1个像, 这与f 是满射相矛盾。
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故f 是单射。Discrete Math. SLZ 经济学院
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11. 设有函数f : AB, g: BC, h: CA, 且hgf 和gf h是满射, f hg是单射, 试证明g, f, h都是双射
反之,若f 是单射, f(x1)=y1, f(x2)=y2 则x1x2时, y1y2。 |S| = n, 所以有n个不同的象，故为满射。
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Байду номын сангаас
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8. 设f：AB，BC是两个函数，证明： (1) 若gf 是满射且g 是单射，则f 是满射。 Proof: bB, 因为g是由B到C的函数,
Sol: f (x) = (x - 3)2 - 29, f (4) = f (2) = -28, 非单射; min f (x) = -29, 即当像< -29时无像源, 非满射。 (3) f: N+N, f(x) = log n。
Sol: 不是函数。 若 f: N+R, 则因为logn 单调递升,故单射; 但fD是离散的N, logn 不连续, 非满射。
g f (a1) = g(b1) = c1, g f (a2) = g(b2) = c2, 因为g f是单射, 由a1≠a2 可知c1≠c2 , 即g(b1) ≠ g(b2), 故g是单射。
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9 f: Z7Z7, f (n) = res7(3n), 判断f 是否单射、满 射和双射。 res7(3n)表示3n被7除后的余数。
作g: [0, 1)(0, 1)单射为g (x)= x/2 + 1/4 , 则 (0, 1) ~ [0, 1) 作f: (0, 1)[0, 1]单射为f (x)= x 作g: [0, 1](0, 1)单射为g (x)= x/3 + 1/4 , 则 (0, 1) ~ [0, 1] 作f: [0, 1](0, 1]单射为f (x)= x/2 + 1/2 作g: (0, 1][0, 1]单射为g (x)= x, 则[0, 1] ~ (0, 1] ~是可传递的, (0, 1) ~ [0, 1) ~ (0, 1] ~ [0, 1]
f-1(f hg)g-1 = (f-1f )h(gg-1)= IAhIB = h, f-1, f hg, g-1均是单射, 所以h 是单射; 因此h 是双射。
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12. 证明(0, 1), [0, 1), [0, 1], (0, 2), (–∞, +∞)等势。 Proof: 用Bernstein 定理: 作f: (0, 1)[0, 1)单射为f (x)= x,
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5. 设A = {0, 1}, B = {a, b, c}。写出A到B的所有函
数和它们的像集, 指出哪些是单射、满射和双射
Sol: R1={(0, a), (1, a)}, {a}, R2={(0, a), (1, b)}, {a, b},单射 R3={(0, a), (1, c)}, {a, c},单射 R4={(0, b), (1, a)}, {a, b},单射 R5={(0, b), (1, b)}, {b}, R6={(0, b), (1, c)}, {b, c},单射 R7={(0, c), (1, a)}, {a, c},单射 R8={(0, c), (1, b)}, {b, c},单射 R9={(0, c), (1, c)}, {c}, |B||A| = 32 = 9 , 无满射和双射。
nN, 像源(n, 1),使f (n, 1) = n1 = n, 满射。 (7) f: (2U)2(2U)2(二维), f (A, B) = (A∪B, A∩B) Sol: A, B2U, f (A, B) = (A∪B, A∩B)