高中 不等式知识总结
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)k k k<-211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k>∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c++><或2(0,40)a b ac≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()()0()f xf xg xg xf xg xf xg xg x>⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩（<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f xa af x a≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f xa af x a≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f xf xg x g xg xf xg x>⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f xg x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a-=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.. .。
高三数学不等式知识点总结
高三数学不等式知识点总结不等式是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。
在高三数学学习中，掌握不等式的相关知识点对于理解和解决问题至关重要。
本文将对高三数学中的不等式知识点进行总结。
1. 不等式的基本性质不等式的基本性质包括：- 加法性质：如果a > b，那么a + c > b + c。
- 减法性质：如果a > b，那么a - c > b - c。
- 乘法性质：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 除法性质：如果a > b，c > 0，那么a/c > b/c；如果a > b，c < 0，那么a/c < b/c。
2. 不等式的解集表示法解不等式时常常需要表示出解集，常见的表示方法有：- 图形表示法：将不等式的解集在数轴上用图形表示出来，例如用方向箭头表示不等式的解集。
- 区间表示法：使用区间表示法表示解集，例如(a, b)表示开区间，[a, b]表示闭区间，(a, b]表示半开半闭区间，等等。
- 集合表示法：使用集合的符号表示解集，例如{x | a < x < b}表示大于a小于b的x的集合。
3. 一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解方程类似，不同的是在解的过程中需要注意保持不等式的方向性。
- 加减法解不等式：通过加减同一个数使得不等式简化，确定不等式的方向。
- 乘除法解不等式：通过乘除同一个正数或负数使得不等式简化，确定不等式的方向。
4. 一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的关键是确定二次函数的图像与x轴的位置关系。
- 求解不等式组：将二次不等式转化为不等式组的形式，通过观察二次函数的变化趋势求解。
- 图像法求解：绘制二次函数的图像，根据图像与x轴的位置关系得出解集。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结一、知识点1.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a > bb > a②传递性: a > b, b > ca > c③可加性: a > b a + c > b + c④可积性: a > b, c > 0ac > bc;a > b, c < 0ac < bc;⑤加法法则: a > b, c > d a + c > b + d⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd⑦乘方法则：a > b > 0, an > bn (n∈N)⑧开方法则：a > b > 0,2.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R,那么a2 + b2 ≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+,那么(当且仅当a=b时等号)推广：如果为实数，则重要结论1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。
3.证明不等式的常用方法：比较法：比较法是最基本、最重要的方法。
当不等式的两边的差能分解因式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法;当不等式的两边都是正数且它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法;碰到绝对值或根式，我们还可以考虑作平方差。
综合法:以已知或已证明的不等式为基础，根据不等式的性质推导出待证明的不等式。
平均不等式常用于综合法的标度。
分析方法:不等式两边的关系不够清晰。
通过寻找不等式成立的充分条件，对待证明的不等式进行逐步转化，直到找到一个容易证明或已知成立的结论。
4.不等式的解法(1) 不等式的有关概念同解不等式:如果两个不等式有相同的解集，那么这两个不等式称为同解不等式。
同解变形:当一个不等式转化为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等式，那么这种变形称为同解变形。
高中数学不等式知识点总结
高中数学不等式知识点总结在高中数学中，不等式是一个重要的知识点，它广泛应用于代数、几何、数列等领域。
不等式的研究能够培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
下面将对高中数学中的不等式进行总结与归纳。
一、基本不等式基本不等式是不等式研究的起点，也是最简单的一类不等式。
它们包括大小关系的基本性质和对数函数的基本性质。
常见的基本不等式有：1. 两个数大小关系的基本不等式，如 a > b、a < b、a ≥ b、a ≤ b等；2. 两个数的乘积与它们大小关系之间的不等式，如 ab > 0、ab < 0、ab ≥ 0、ab ≤ 0等；3. 两个数的和与它们大小关系之间的不等式，如 a + b > 0、a + b < 0、a + b ≥ 0、a + b ≤ 0等；4. 对数函数的基本性质，如 ln x > ln y、ln x < ln y等。
二、一元一次不等式一元一次不等式包含一个变量，且变量的最高次幂为1。
解一元一次不等式的关键是找出不等式的根，并判断根所在的区间。
通过分析根的情况，可以得到不等式的解集。
三、一元二次不等式一元二次不等式是一种常见的不等式形式，解决一元二次不等式需要利用一元二次函数的性质和图像来进行分析。
通过绘制一元二次函数的图像，可以找出不等式的解集。
四、绝对值不等式绝对值不等式是一类特殊的不等式问题，解决绝对值不等式需要考虑绝对值函数的性质。
对于单个的绝对值不等式，可以通过将其转化成两个不等式来求解；对于多个绝对值不等式的组合问题，需要根据不同情况来分类讨论。
五、分式不等式分式不等式涉及到有理函数的性质，通常需要通过找出分式的解析式、分析分式的变化趋势、确定分式的定义域等步骤来解决问题。
六、不等式组不等式组是由多个不等式组成的集合，解决不等式组需要通过分析各个不等式之间的关系，找出满足所有不等式的解集。
对于不等式组有时需要进行分类讨论，分情况讨论不等式的解集。
高三不等式必背知识点
高三不等式必背知识点在高中数学课程中，不等式是一个重要且普遍存在的概念，而解不等式是解析几何、函数、导数等数学领域的基础。
在高三阶段，不等式也是重要的数学知识点之一。
本文将介绍高三阶段必背的不等式知识点，包括基本不等式、三角不等式、均值不等式等。
一、基本不等式基本不等式是指数学中最基础、最常用的两个不等式：算术平均-几何平均不等式和柯西-斯瓦茨不等式。
1. 算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）对于非负实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$，AM-GM 不等式定义为：$$\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\ldots a_n}$$其中，等号成立的条件是$a_1=a_2=\ldots=a_n$。
2. 柯西-斯瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）对于实数 $a_1、a_2、\ldots、a_n$ 和实数 $b_1、b_2、\ldots、b_n$，柯西-斯瓦茨不等式定义为：$$(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\ldots+b_n^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2+\ldots+a_nb_n)^2$$其中，等号成立的条件是$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\ldots=\frac{a_n}{b_n}$。
二、三角不等式三角不等式是指与三角函数相关的一系列不等式，在解析几何和三角学中有重要的应用。
1. 直角三角形的三角不等式对于直角三角形，设斜边为 $c$，两个直角边分别为 $a$ 和$b$，那么三角不等式定义为：$$a+b>c$$2. 一般三角形的三角不等式对于一般的三角形，设边长分别为 $a、b、c$，则有三种不等式：$$a+b>c, a+c>b, b+c>a$$其中，任意两边之和大于第三边。
三、均值不等式均值不等式是指反映一组数的平均值和什么程度相差的不等式。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结摘要：一、高中不等式的基本概念二、高中不等式的性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、高中不等式的比较大小方法1.作差比较法2.作商比较法四、高中不等式的应用1.解不等式2.不等式的证明正文：一、高中不等式的基本概念不等式是数学中一种表示大小关系的方式，它用符号">"、"<"或">="、"<="连接。
在高中数学中，我们主要学习如何运用不等式的性质来比较大小和解决实际问题。
二、高中不等式的性质高中不等式具有以下基本性质：1.对称性：如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
这意味着不等式的方向可以随意改变，大小关系不变。
2.传递性：如果a>b，且b>c，那么a>c。
这意味着如果一个数大于另一个数，那么这两个数中的较大的数必定也大于第三个数。
3.可加性：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d。
这意味着两个不等式相加，不等号的方向不变。
4.可积性：如果a>b，且c>d，那么ac>bd。
这意味着两个不等式相乘，不等号的方向不变。
三、高中不等式的比较大小方法在高中数学中，我们通常运用以下两种方法来比较大小：1.作差比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相减，如果差值大于0，那么被减数大于减数；如果差值小于0，那么被减数小于减数。
2.作商比较法：比较两个数的大小，可以先将它们相除，如果商大于1，那么被除数大于除数；如果商小于1，那么被除数小于除数。
四、高中不等式的应用高中不等式在实际应用中十分广泛，主要包括解不等式和证明不等式。
1.解不等式：解不等式是求解不等式所表示的数学问题的过程，通常需要运用不等式的性质，将不等式转化为等式，从而求得解集。
2.不等式的证明：不等式的证明是运用不等式的性质和已知条件，论证某个不等式是否成立的过程。
高中不等式知识点总结
高中不等式知识点总结（最新版）目录一、高中不等式知识点总结二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.可积性三、不等式性质的运用1.作差比较法2.作商比较法四、高中数学不等式知识点总结五、结语正文一、高中不等式知识点总结在高中数学的学习中，不等式是一个重要的知识点。
不等式是指用大于号（>）、小于号（<）或大于等于号（≥）、小于等于号（≤）等符号连接的式子。
不等式在数学中有着广泛的应用，因此掌握不等式的相关知识点至关重要。
二、不等式的基本性质不等式具有以下几个基本性质：1.对称性：如果 a>b，那么 b<a；如果 a<b，那么 b>a。
即不等式的方向可以随意改变，不等式仍然成立。
2.传递性：如果 a>b，且 b>c，那么 a>c。
即不等式可以按照顺序进行传递。
3.可加性：如果 a>b，且 c>d，那么 a+c>b+d。
即两个不等式相加，不等号的方向不变。
4.可积性：如果 a>b，且 c>d，那么 ac>bd。
即两个不等式相乘，不等号的方向不变。
三、不等式性质的运用在实际解题过程中，我们可以运用不等式的基本性质来进行计算和比较大小。
例如，在比较两个数的大小时，我们可以通过作差比较法或作商比较法来判断。
作差比较法是指将两个数相减，比较差值的大小；作商比较法是指将两个数相除，比较商的大小。
四、高中数学不等式知识点总结在高中数学中，不等式的知识点涉及到一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、不等式组等。
对于这些不等式，我们需要掌握其解法和性质，并能够熟练运用到实际题目中。
五、结语不等式是高中数学中的一个重要知识点，掌握好不等式的相关性质和解法，对于提高数学成绩具有重要意义。
数学高中不等式知识点有哪些数学知识点
数学高中不等式知识点_有哪些数学知识点高中数学不等式知识点总结1.用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
2.性质：①如果xy，那么yz;如果yy;(对称性) p=""②如果xy，yz;那么xz;(传递性)③如果xy，而z为任意实数或整式，那么x+zy+z;(加法原则，或叫同向不等式可加性)④如果xy，z0，那么xzyz;如果xy，z0，那么xzyz;(乘法原则) p=""⑤如果xy，mn，那么x+my+n;(充分不必要条件)⑥如果xy0，mn0，那么xmyn;⑦如果xy0，那么x的n次幂y的n次幂(n为正数)，x的n次幂y的n次幂(n为负数)。
p=""或者说，不等式的基本性质有：①对称性;②传递性;③加法单调性，即同向不等式可加性;④乘法单调性;⑤同向正值不等式可乘性;⑥正值不等式可乘方;⑦正值不等式可开方;⑧倒数法则。
3.分类：①一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
②一元一次不等式组：a.关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
b.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
4.不等式考点：①解一元一次不等式(组)②根据具体问题中的数量关系列不等式(组)并解决简单实际问题③用数轴表示一元一次不等式(组)的解集注：不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。
(移项要变号)不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。
(相当系数化1，这是得正数才能使用)不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。
(÷或×1个负数的时候要变号)高中数学不等式：柯西不等式一、一般形式((ai))((bi)) aibi)等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
高中不等式知识点大全总结
高中不等式知识点大全总结一、基本不等式性质1. 两个数的比较：（1）当 a > b 时，a-b>0；（2）当 a < b 时，a-b<0；（3）当 a = b 时，a-b=0。
2. 不等式的四则运算：不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。
3. 绝对值不等式：对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。
4. 不等式的取反：若不等式 a > b 成立，则其取反 a < b 也成立；若不等式 a > b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。
5. 不等式的合并：若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。
6. 不等式的分拆：若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或ax+b < 0。
1. 解不等式的方法一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。
2. 一元一次不等式组一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。
解一元一次不等式组的方法同样包括化简法和图解法。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。
1. 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。
折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。
完整版高中数学不等式知识点总结3篇
完整版高中数学不等式知识点总结第一篇：基本不等式和二元平均数不等式一、基本不等式：基本不等式又称柯西不等式，是数学中重要的基本工具，对于解决不等式问题有重大意义。
基本不等式的形式如下：$$(a_1^2 + a_2^2 + … + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + … + b_n^2) \geqslant (a_1b_1 + a_2b_2 + … + a_nb_n)^2$$其中$a_1,a_2,…,a_n$ 和$b_1,b_2,…,b_n$ 是任意实数。
基本不等式的证明过程多种多样，这里给出一种简单易懂的证明方法：设$x=a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n$，则 $x^2$ 可以表示为：$$x^2={(a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n)}^2$$$$={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^ 2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$又因为：$${a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2\geqslant2a_1a_2+2a_1a_3+…+2a_{n-1}a_n$$$${b_1}^2+{b_2}^2+…+{b_n}^2\geqslant2b_1b_2+2b_1b_3+…+2b_{n-1}b_n$$因此：$${a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_n}^2 \geqslant 2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$故：$$x^2={a_1}^2{b_1}^2+{a_2}^2{b_2}^2+…+{a_n}^2{b_ n}^2+2a_1b_1a_2b_2+2a_1b_1a_3b_3+…+2a_{n-1}b_{n-1}a_nb_n$$$$\leqslant({a_1}^2+{a_2}^2+…+{a_n}^2)({b_1}^2+{ b_2}^2+…+{b_n}^2)$$即为所求基本不等式。
高考不等式的知识点总结
高考不等式的知识点总结高考数学中的不等式是一个关键的考点，涉及到不等式的性质、解不等式、不等式的证明等方面。
掌握不等式的知识对于高考数学的学习非常重要。
接下来，我将对高考不等式的知识点进行总结，希望能帮助广大考生更好地备考。
一、不等式的性质首先，不等式的性质是我们理解不等式方程的基础。
不等式性质的理解对于后续的解不等式问题具有重要意义。
1.1 不等式的传递性不等式具有传递性，即如果 a > b，b > c，则 a > c。
这个性质在解不等式过程中常常被使用，特别是在比较大小时。
1.2 倒数性质设 a > b，则 1/a < 1/b。
这个性质在不等式的推导中经常用到，可以将不等式中的分数项化为倒数，从而简化计算。
1.3 开方性质当 a > b 且 a > 0，那么√a > √b。
这个性质常常用于解决存在根号的不等式问题。
需要注意的是，若 a < 0，则不能对不等式两边同时开方。
二、不等式的解法在高考中，不等式的解法通常包括两种：代数法和图像法。
2.1 代数法代数法是通过变量的代入、移项、取绝对值等方式解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.1.1 一元一次不等式例如：ax + b > 0。
可以根据 a 的正负来讨论其解集情况。
2.1.2 一元二次不等式例如：ax^2 + bx + c > 0。
可以运用求根公式求出方程的根，根据其正负确定不等式的解集。
2.1.3 绝对值不等式例如：|ax + b| > c。
可以根据绝对值的性质进行讨论，注意分情况讨论。
2.2 图像法图像法是通过将不等式转化为图像问题，通过观察图像来解决不等式问题的方法。
主要包括以下几种情况：2.2.1 一元一次不等式可以通过绘制一次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
2.2.2 一元二次不等式可以通过绘制二次函数的图像，确定函数曲线与 x 轴的相对位置，从而确定不等式的解集。
高中数学不等式知识点总结精选7篇
高中数学不等式知识点总结精选7篇高中数学不等式知识点总结精选7篇计算机科学和信息技术是数字化时代的重要工具和核心竞争力。
人工智能、机器人等科技前沿领域对人类生活和工作产生了巨大影响。
下面就让小编给大家带来高中数学不等式知识点总结，希望大家喜欢!高中数学不等式知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
高一不等式性质知识点总结
高一不等式性质知识点总结一、不等式的基本性质1、不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c。
2、不等式的加减性：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c，其中c为任意实数。
3、不等式的乘除性：若a>b（c>0），则ac>bc；若a>b（c<0），则ac<bc，其中c为任意实数；若a>b（c>0），则a/c>b/c；若a>b（c<0），则a/c<b/c，其中c为正实数。
4、不等式的倒置：若a>b，则b<a。
5、不等式的平方性：若a>b，且a，b均为非负数，则a^2>b^2。
6、绝对值不等式：|a|<b，则-a<b<a；|a|>b，则a<-b或a>b。
二、一元一次不等式1、一元一次不等式的解法：（1）减法法则：将不等式两边同时减去（或加上）同一个数；（2）乘法法则：将不等式两边同时乘以（或除以）同一个正（或负）数。
2、一元一次不等式的解的可视化表示：（1）开区间表示：使用 ( , ) 符号，表示不包含该值的区间；（2）闭区间表示：使用 [ , ] 符号，表示包含该值的区间；（3）半开半闭区间表示：使用 [ , ) 或者 ( , ] 符号，表示其中一边包含该值，另一边不包含。
三、一元二次不等式1、一元二次不等式的解法：（1）解一元二次不等式的一种方法：根据一元二次不等式的定义，将不等式化成标准形式，然后根据二次函数的性质进行分析求解；（2）解一元二次不等式的另一种方法：通过两边平方和因式分解的方法，将不等式转化为单调函数的形式，进而求解不等式。
2、一元二次不等式的图像表示：一元二次不等式在坐标系中的图像表示可以帮助我们直观地理解题目，并通过图像的方法解决不等式问题。
四、绝对值不等式1、绝对值不等式的性质：（1）|a|≥0；（2）|a|=0 当且仅当 a=0。
高中数学不等式知识点总结
弹性学制数学讲义不等式（4课时）★知识梳理1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2baab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b aab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b an b n a m a mb a b<++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立. ⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法： ①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小）， 如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k >+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z =22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
高中数学不等式知识点总结教师版
高中数学不等式知识点总结教师版一、基本概念1.不等式的定义：不等式是数学中一种重要的关系，是一个数与另一个数之间的大小关系的表达方式。
2.不等式的性质：不等式具有传递性、对称性和加法性。
-传递性：若a>b,b>c，则a>c。
-对称性：若a>b，则b<a。
-加法性：若a>b，则a+c>b+c。
3.常见的不等式符号：>,<,≥,≤。
二、一元一次不等式1. 一元一次不等式的定义：一元一次不等式是形如 ax + b > 0 或ax + b < 0 的不等式，其中 a, b 是实数，且a ≠ 0。
2.一元一次不等式的解法：分为以下几步：-将不等式转化为等式求解，得到等式的解集。
-判断等式解集与原不等式的关系，得到不等式解集。
3.一元一次不等式的图像：可利用数轴来表示一元一次不等式的解集。
三、一元二次不等式1. 一元二次不等式的定义：一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0 或ax² + bx + c < 0 的不等式，其中 a, b, c 是实数，且a ≠ 0。
2.一元二次不等式的解法：-利用一元二次不等式的图像法，即通过绘制一元二次函数的图像来确定不等式的解集。
-利用一元二次不等式的求根法，即通过求解一元二次方程来确定不等式的解集。
3.一元二次不等式的图像：可利用平移、压缩、翻折等方法，通过一元二次函数的图像形状来确定其解集。
四、绝对值不等式1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是形如x-a，>b或，x-a，<b的不等式，其中a,b是实数，且b>0。
2.绝对值不等式的解法：-对于，x-a，>b形式的不等式，可拆分为两个一元一次不等式求解，并求得并集。
-对于，x-a，<b形式的不等式，可利用绝对值的定义，得到不等式的解集。
3.绝对值不等式的图像：可利用数轴来表示绝对值不等式的解集。
高一数学不等式知识点总结
g(x),(a g(x),(0
a
1) 1)
(7)对数不等式
f (x) 0
g(x) 0
(a 1)
logaf (x)
loga g( x)
fg((fxx())x)
0 0
g(x) (0
a
1)
f (x) g(x)
不等式知识点
•（6）放缩法：要恰当的放缩以达到证题的目的
不等式知识点
（7）判别式法：与一元二次函数有关的或可以转化 为一元二次函数,根据其有无实数解建立不等式关系 求解问题. （8）换元法：三角换元，增量换元 ， 均置换元.
（9）数学归纳法：
不等式知识点
7.绝对值的定义
8.绝对值的性质
a,(a 0)
平 方 法f (x) g(x) f 2 (x) g2 (x) 划 分 区 域 讨 论 法 ： 适 合于 两 个 或 两 个 以 上 绝 对值 号 的 不 等 式
利 用 绝 对 值 的 几 何 意 义:
不等式知识点
10.解不等式 (1)一元一次不等式
ax
b(a
x 0)
a
0, (a
0)
a,(a 0)
a 0
a
b
a
b
a
b
a b
a
n
an
a b ab a b
a1
a2
an
a1
a2
an
不等式知识点
高中《不等式》知识点总结(可编辑修改word版)
2一、不等式及其解法：《不等式》知识点1. 一元二次不等式： 化标准式（即二次项系数为正） ⇒ “大于取两边，小于取中间”如：解不等式（1） x 2 + 2x - 3 ≤ 0 ；（2） - x 2 + 2x + 1 ≤ 0 解：（1）原不等式等价于 (x + 3)(x - 1) ≤ 0 ， 方程(x + 3)(x - 1) = 0 的根为- 3 ，1 故解集为{x }- 3 ≤ x ≤ 1}. （2）原不等式等价于 x 2 - 2x - 1 ≥ 0 ， 方程 x 2 - 2x - 1 = 0 的根为1+ ，1 - ，故解集为{x }x ≤ 1 - 2或x ≥ 1 + 2}.2. 高次不等式：“穿根法”. 化标准式（即每一项的 x 系数为都为正） ⇒ 穿根 （从右上方出发，依次穿过每个根，如遇“重根”，奇穿偶回）(x + 2)(x - 1)(x - 1)2 如：解不等式（1） x (x + 1)(x - 1) ≤ 0 ； （2） x - 3≥ 0 ； （3） (x + 1)(x + 2) < 0 解：（1）解集为{x x < -1或0 ≤ x ≤ 1}； （2）解集为{x - 2 ≤ x ≤ 1或x > 3； （3）解集为[-2,-1]3. 分式不等式：移项⇒ 通分. 如：解不等式 2 ≤ 1. 解：移项后 2 - 1 ≤ 0 ，通分后 2 - x≤ 0 ，化标准式为 x - 2 ≥ 0 ，故解集为{x x < 0或x ≥ 2} x x x x4. 绝对值不等式： x < a (a > 0) 的解集为{x - a < x < a }；x > a (a > 0) 的解集为{x x > a 或x < -a } 二、1．重要不等式： a 2 + b 2 ≥ 2ab (a , b ∈ R ) ,当且仅当 a = b 时，等号成立变形： ab ≤ a 2 + b 2 2应用： a 2 + b 2 为定值时，求 ab 的最大值.2．基本不等式： ≤ a + b 2(a > 0, b > 0) 当且仅当 a = b 时，等号成立 变形一： a + b ≥ 2 a + b 变形二： ab ≤ ( )2 2应用： ab 为定值时，求 a + b 的最小值.应用： a + b 为定值时，求 ab 的最大值. 注：利用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等.三、线性规划问题 1. 能画出二元一次不等式组表示的平面区域.2. 相关概念：约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解.3. 目标函数常见类型：（1） 求线性目标函数 z = Ax + By 的最值时，先令 z = 0 ，画出直线l ： Ax + By = 0 ，①若 B > 0 ，则l 向上平移， z 变大，向下平移， z 变小；②若 B < 0 ，则l 向上平移， z 变小，向下平移， z 变大y - b （2） “斜率型”目标函数 z =x - a ， z 表示可行域内动点(x , y ) 与定点(a , b ) 连线的斜率.（3）“距离型”目标函数 z = (x - a )2 + ( y - b )2 = ( 的距离的平方. (x - a )2 + ( y - b )2 )2 ， z 表示可行域内动点(x , y ) 到定点(a , b )2 ab ab。
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模块七不等式✧考纲解读高考大纲分析解读（1）了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件.（2）掌握一元一次、一元二次不等式的解法.（3）会求含有参数的一元二次不等式.（4）会解简单的分式不等式、绝对值不等式等.（5）多考查线性目标函数的最值问题，兼顾面积、距离、斜率等问题.（6）能用线性规划的方法解决重要的实际问题，使收到的效益最大，耗费的人力、物力资源最少.（7）能够利用基本不等式求函数的最值，能熟练运用比较法、综合法证明不等式，注意掌握变形过程中的一些常用技巧；能够运用配方法思想、函数思想、分类讨论思想来证明不等式.（8）求函数的定义域、值域；比较大小；确定参数的取值范围；利用不等式探讨函数的性质；利用不等式求最值；解决实际应用性问题.✧知识导航不等式实数的大小比较不等式的性质重要的不等式不等式的证明解不等式不等式的应用比较法分析法综合法反证法数学归纳法有理不等式无理不等式绝对值不等式指数不等式和对数不等式✧考点剖析考点一不等式的概念和性质1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式.（4）同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）；（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）.;;0babababababa<⇔<-=⇔=->⇔>-abba<⇔>cacbba>⇒>>,cbcaba+>+⇒>dbcadcba+>+⇒>>,（5）（异向不等式相减） （6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则）3.几个常用不等式（12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
考点二 不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例：① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则（3）无理不等式：转化为有理不等式求解①②d b c a d c b a ->-⇒<>,bc ac c b a >⇒>>0,.bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>11(10),0a b ab a b>>⇒<)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭⎪>⎩定义域⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或③（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想；○3应用化归思想等价转化考点三不等式的证明1、证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。
2、常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1n n n n n n n n n-=<<=-++--=<<=考点四简单的线性规划1、涉及到的概念（1）目标函数: P=2x+y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.（2）可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)()()()()(xgxfxgxfxgxf()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lgf xg x f x g xf xa a a f x g x a a a f x g xa b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0()0log()log()(1)()0;log()log()(01)()0()()()()a a a af x f xf xg x a g x f x g x a g xf xg x f x g x>>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()()()0)(),((0)()(|)(|)()()()()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为（3）整点:坐标为整数的点叫做整点．（4）线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决． （5）整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.2、方法技巧（1）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．（2）确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．（3）平移直线y=-kx+p 时，直线必须经过可行域．（4）对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．（5）简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：①寻找线性约束条件，线性目标函数；②由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；③在可行域内求目标函数的最优解.考点六 不等式的综合应用1.利用均值不等式求最值：如果a 1，a 2∈R +，那么.注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.4、不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法） （1）恒成立问题ab ba ≥+2若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < （2） 能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >； 若在区间D 上存在实数x 使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <. （3）恰成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .✧ 真题演练1.【2012北京,1,5分】已知集合A={x ∈R|3x+2＞0}, B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} . 则A ∩B=A （-，-1）B （-1，-）C （-,3）D (3,+)举一反三1.1【2012重庆,2,5分】不等式0121≤+-x x 的解集为( ) A.⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,1.2【2012山东,13,4分】若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.1.3【2011辽宁,11,5分】函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 A ．（1-，1）B ．（1-，+∞）C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）∞2323∞2.【2012北京,2,5分】设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A ） （B ） （C ） （D ）举一反三2.1【2011福建,8,5分】已知O 是坐标原点，点A (-1,1），若点(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ∙的取值范围是 A.[-1.0] B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]2.2【2012江苏,14,5分】已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 。
3.【2008北京,5,5分】若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x y z +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．9举一反三3.1【2012福建,9,5分】若函数y=2x图像上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为4π22π-6π44π-A ．12 B.1 C. 32D.23.2【2012全国,13,5分】若x ，y 满足约束条件则z=3x ﹣y 的最小值为_________ ．3.3【2012四川,9,5分】某公司生产甲、乙两种桶装产品。