习题 1-8

第八节
函数的连续性
习题 1-8
1. (1) 解
x →1+
讨论下列函数的连续性. 并画出函数的图形:
⎧ x3 + 1, 0 ≤ x < 1, ⎪ f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩3 − x, 1 ≤ x ≤ 2;
(2)
⎧ ⎪ x − 1, f ( x) = ⎨ 2 ⎪ ⎩ 1− x ,
x < 0, x ≥ 0.
x → 0+
lim f ( x) = lim+ 1 − x 2 = 1 = f (0) ; lim− f ( x) = lim− ( x − 1) = −1 ≠ f (0) ,
x →0 x →0 x →0
故 x = 0 是 f ( x) 的跳跃间断点. 如图 1.6.
y 2 1 O
图 1.5
y
1 1
(1) 易知 f ( x) 在 [0, 1) 和 (1, 2] 上连续, 在 x = 1 点处,
x →1
x →1 x →1
lim f ( x) = lim+ (3 − x) = 2 = f (1) ; lim− f ( x) = lim− ( x3 + 1) = 2 = f (1) ,
故 f ( x) 在 x = 1 处也连续, 即函数在定义域 [1, 2] 上连续. 如图 1.5. (2) 函数定义域为 [−1, 1] , 易知函数在 [−1, 0) 和 (0, 1] 上连续, 在 x = 0 点处,
证 由 f ( x) 在 x = x0 连 续 , 故 ∀ε > 0 , ∃ δ > 0 , 当 x − x0 < δ 时 , 恒 有
f ( x) − f ( x0 ) < ε , 故
f ( x) − f ( x0 ) ≤ f ( x) − f ( x0 ) < ε ,
即 f ( x) 在 x0 也连续.
−1 1 2 x
O
x
−1
图 1.6
2. 指出下列函数的间断点及其类型, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数 的定义使之连续： (1)
1 y = sin ; x
y= x2 − 1 ; x − 3x + 2
2
(2)y=arcFra bibliotekin x ; x
x > 0, x ≤ 0.
(3)
(4)
2 ⎧ ⎪ x + 1, f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩ 2 − x,
4. 讨论函数 f ( x) = lim
1 − x2n x 的连续性, 若有间断点, 判断其类型. n →∞ 1 + x 2 n
解
⎧− x 当 x > 1, ⎪ 1 − x2n 易知 f ( x) = lim x = ⎨0 当 x = 1, 2 n n →∞ 1 + x ⎪ ⎩ x 当 x < 1,
n →∞
lim n[ln(1 + n) − ln n] = 1 .
1 lim ( − x ) x →∞ 1 tan x e
(6)
x →∞
lim (
x − 1 cot x 1 ( − x )( − ) = lim (1 − ) x →∞ x x
1
cot x
1 x)
=
= e−1 .
7. 设函数
⎧ 1+ x −1 , x > 0, ⎪ x ⎪ ⎪ f ( x) = ⎨b, x = 0, ⎪ arcsin ax ⎪ , x < 0. ⎪ ⎩ 2x
函数在 x = 1 和 x = 2 处无定义.
1
x2 − 1 x +1 = lim = −2 , 所以 x = 1 是函数的可去间断点, 补充定义 x →1 x 2 − 3 x + 2 x →1 x − 2 y (1) = −2 , 则函数连续;
因为 lim 因为 lim
x2 − 1 = ∞ , 所以 x = 2 是无穷间断点. x→2 x 2 − 3x + 2
x →−1+
在 x = −1 处 , 跳跃间断点;
lim f ( x) = lim + x = −1 ,
x →−1
x →−1−
lim f ( x) = lim − (− x) = 1 , 所以 x = −1 为
x →−1
在 x = 1 处 , lim+ f ( x) = lim+ (− x) = −1 , lim− f ( x) = lim− x = 1 , 所以 x = 1 为跳跃间
x 2 +1 −2 x 2 ⋅ 2 x 2 +1
=e
lim
x →∞
−2 x 2 x 2 +1
= e−2 .
3
(5)
1 1 因为 lim x[ln(1 + x) − ln x] = lim ln(1 + ) x = ln lim (1 + ) x = 1 , 所以 x →∞ x →∞ x →∞ x x
lim f ( x) = lim−
x →0
arcsin ax a = = f (0) = b , 故 a = 2b = 1 . 2x 2
4
2 x +1 2 e x
=e
x →∞
lim
2 x +1 x2
= e0 = 1 . = [lim(1 + 2 tan
x →0
2 1 2 x ]2 2 tan x)
lim(1 + 2 tan x)
x →0
2
cot 2 x
= e2 .
(4)
x2 − 1 2 2 − lim ( 2 ) x = lim (1 − 2 ) x →∞ x + 1 x →∞ x +1
x →0 x →0 x →0 x →0
(4)
因为 lim+ f ( x) = lim+ ( x 2 + 1) = 1 ; lim− f ( x) = lim− (2 − x) = 2 , 所以 x = 0 是函
数的跳跃间断点.
3. 设函数 f ( x) 在点 x0 处连续, 证明它的绝对值 f ( x) 亦在点 x0 处连续.
2
2
2+ x x2 + 2 + x2 − x
x →+∞
= lim
x →+∞
2 +1 x 2 1 1+ 2 + 1− x x
=
1 . 2 (4) lim x+2−2 x−2 1 1 = lim = lim = . x → 2 ( x − 2)( x + 2 + 2) x→2 x + 2 + 2 x−2 4
(6)
x →+∞
= lim
x x +1 + x
x →+∞
= lim
1 1+ 1 +1 x
x →+∞
=
1 . 2
6. 计算下列极限: (1)
(3) tan 2 x lim ; x →0 x lim(1 + 2 tan 2 x)cot x ;
x →0
2
(2) (4)
x →∞
lim
2 x +1 2 e x
;
x →∞
lim (
x 2 − 1 x2 ) ; x2 + 1
x − 1 cot x . ) x
1
(5)
解
n →∞
lim n [ln(1 + n) − ln n] ; lim tan 2 x 2x = lim = 2. x →0 x x
(6)
x →∞
lim (
(1) lim
x →0
(2) (3)
x →∞
x →1 x →1 x →1 x →1
断点. 5. (1)
计算下列极限: lim sin(2 x − 1) ;
x →1
(2)
lim ln(tan x) ;
x→ π 4
(3)
x →+∞
lim ( x 2 + 2 − x 2 − x ) ;
(4)
lim
x→2
x+2−2 ; x−2
1 − 1) . x
(5)
解 (1) 函数在 x = 0 处无定义, 且当 x → 0 时, 函数值在 −1 和 1 之间无限次的 变动, 称 x = 0 是函数的振荡间断点.
(2)
连续. (3)
因为 lim
arcsin x = 1 , 所以 x = 0 是可去间断点, 补充定义 y (0) = 1 , 则函数 x →0 x
x→2
(5)
1 1 x 2 sin x = lim x = lim x sin 1 = 0 . lim x →0 sin 2 x x →0 x →0 2 2x x x 2 sin
lim x( 1 + 1 x +1 − 1) = lim x( − 1) = lim x ( x + 1 − x ) x →+∞ x →+∞ x x
解
1 x ; lim x →0 sin 2 x x 2 sin (1) lim sin(2 x − 1) = sin1 .
x →1
(6)
x →+∞
lim x( 1 +
2
(2)
π lim ln(tan x) = ln(tan ) = 0 . π 4 x→
4
(3)
x →+∞
lim ( x + 2 − x − x ) = lim
试求 a 、 b , 使 f ( x) 处处连续. 解 f ( x) 处处连续, 则必在 x = 0 处连续, 故