初中数学竞赛辅导资料(4)零的特性
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：零的特性
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（4）零的特性【知识精读】一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
二，零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔ b 是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数⇔a+b=05，减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如 近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米； 后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
初中零的认识教案
初中零的认识教案教学目标：1. 让学生理解零的概念，掌握零的性质和运用。
2. 培养学生对数学的兴趣和思维能力。
3. 培养学生合作学习的能力和习惯。
教学重点：1. 零的概念和性质。
2. 零的运用和计算。
教学难点：1. 零的性质和运用。
2. 零在四则运算中的特殊性质。
教学准备：1. 教师准备PPT或者黑板，用于展示和讲解。
2. 学生准备笔记本，用于记录和复习。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过引入生活实例，如购物时找零、计数时遗忘物品等，引发学生对零的思考。
2. 学生分享对零的理解和认识。
二、零的概念和性质（15分钟）1. 教师讲解零的概念：零是一个数，表示没有数量。
2. 教师引导学生探讨零的性质，如：零加上任何数等于那个数，任何数减去零等于那个数，零乘以任何数等于零，零除以任何非零数等于零等。
3. 学生通过实例验证零的性质。
三、零的运用和计算（15分钟）1. 教师讲解零的运用，如：在数轴上表示零，作为起点和参照点；在四则运算中，零的特殊性质等。
2. 教师引导学生进行零的计算练习，如：零加零、零减零、零乘以非零数、零除以非零数等。
3. 学生进行练习，教师给予指导和反馈。
四、巩固练习（10分钟）1. 教师设计一些有关零的练习题，让学生独立完成。
2. 学生互相交流解题过程和答案，教师给予指导和评价。
五、总结和反思（5分钟）1. 教师引导学生总结零的概念、性质和运用。
2. 学生分享自己的学习收获和感受。
3. 教师给予鼓励和指导，提出进一步的学习要求。
教学延伸：1. 教师引导学生探索零在更高级数学中的应用，如：代数、几何等。
2. 学生进行自主学习，教师给予指导和帮助。
教学反思：本节课通过引入生活实例，引导学生对零进行思考，激发学生的学习兴趣。
在教学过程中，注重让学生通过实例验证零的性质，培养学生的实践能力和思维能力。
同时，通过练习和总结，让学生巩固零的知识，提高学生的计算能力和应用能力。
在教学延伸环节，引导学生探索零在更高级数学中的应用，激发学生的进一步学习兴趣。
初中数学竞赛辅导资料(七年级用)
初中数学竞赛辅导资料第一讲 数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除） 能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除 如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除） 二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6. ∵328＋92x ＝567，∴x=3 例2已知五位数x 1234能被12整除，求x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除， 当1＋2＋3＋4＋x 能被3整除时，x=2，5，8 当末两位4x 能被4整除时，x ＝0，4，8∴x＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2、若四位数ax能被11整除，那么x＝__________3、若五位数123435m能被25整除4、当m=_________时，59610能被7整除5、当n=__________时，n6、能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7、能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最大四位数是_________。
七年级第二章专题复习 有理数中“0”的特殊性
我想无论做什么，只要寻规律、找特点、 抓本质，一定会有事半功倍的效果。同学 们应该习惯于自己去寻求掌握知识的更好 的技能技巧。
“0”的特殊性在今后的深入学习及工作、
生活中仍占有极其重要的地位，让我们继
续探索吧！
谢谢！
5、“ 若a为任意有理数，则▕ a ▏＞ 0， —▕ a ▏＜ 0 。”
答：错。 ∵ 当a = 0时，▕ a ▏= 0，∴应为“若a 为任意有理数，则▕ a ▏≥ 0，— ▕ a ▏≤ 0 。”
6、“大于一切负数的数为正数，小于一切正数的
数为负数。” 答：错。应为“正数和0（即非负数）大于一切负 数，负数和0（即非正数）小于一切正数。” 7、“0是最小的数”， 答：错。∵负数＜0，∴应为“0是绝对值最小的 有理数”，或“0是最小的非负数，且是最大的非 正数。”
一个10的倍数，1后边有n个0，就表示成10n，
如698000=6.98×100000=6.98×105，即科学
记数法；“从左边第一个非0的数字起，到精
确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有
效数字。”即一个数前面的0不是有效数字，
而中间的0和后面的0都是有效数字，因此，一
个小数后面的“0”不能轻易去掉，如1.60与
有理数中“0”的特殊性
同学们，你认识它吗？
非常熟悉吧？
对，它读作“零”。
小学中,“0”好像表示“没有”， 是吗？ 你可别小瞧它、忽略它。
其实，“0”的内容可丰富了。
它在数学乃至日常生活中占据
着奇特的位置。
下面我们只来探讨有理
数中“0”的特殊性。
一、“0”的特殊性
在七年级上第二章“有理数及其运算”中，始终涉及
数学有关0的知识点总结
数学有关0的知识点总结在数学中，0是一个非常重要的数，它有着特殊的性质和用法。
今天我们就来总结一下关于0的各种知识点，包括它的性质、运算规则、在不同领域的应用等方面。
一、0的基本性质1. 零是自然数的最小值。
在自然数中，零是第一个非负整数，并且没有小于零的自然数。
2. 零是偶数。
因为偶数定义为能被2整除的数，而0除以2等于0，满足偶数的定义。
3. 零是任何数的相反数。
任何数与其相反数相加等于0，而0本身也是它的相反数。
4. 任何数乘以0都等于0。
这是乘法的零乘法则，对于任何实数a，都有a*0=0。
5. 任何非零数都不能除以0。
这是除法的零不能除法则，因为在数学中，除数不能为0，否则结果无意义。
二、0在运算中的特殊性质1. 加法：任何数加0等于它本身。
即a+0=a。
2. 减法：任何数减0等于它本身。
即a-0=a。
3. 乘法：任何数乘以0都等于0。
即a*0=0。
4. 除法：0不能作为除数。
对于任何非零数a，a/0都是无意义的。
5. 幂运算：任何非零数的零次幂等于1。
即a^0=1，其中a≠0。
三、0在代数中的应用1. 零元素：在代数结构中，零元素是指可以与其他元素相加或相乘得到它自身的特殊元素。
例如，在整数集合中，0是加法的零元素，因为对于任何整数a，都有a+0=a。
另外，在乘法中，1是零元素，因为对于任何非零数a，都有a*1=a。
2. 方程与不等式中的应用：0在代数方程和不等式中有着重要的作用，它可以作为一个基准点用于判断大小关系和解方程。
例如，在解x^2=0时，我们可以得到x=0，这就是零的特殊性质在代数中的应用。
3. 极限与无穷大：在极限的概念中，0起着非常重要的作用，它是无穷小的一个特例，代表着一个非常接近但不等于零的数。
而在无穷大的概念中，0则被看作一个非常接近但不等于无穷大的数。
四、0在几何中的应用1. 坐标系中的应用：在二维和三维坐标系中，0点是原点，是整个坐标系的中心点，用于确定其他点的位置和计算距离、方向等。
零的特性
初中数学竞赛辅导资料（4）零的特性一、内容提要一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔ b 是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数⇔a+b=05，减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0. 三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
数学知识点总结认识零与零的特殊性质
数学知识点总结认识零与零的特殊性质数学中的零（0）是一个非常重要且特殊的数字，它有着一些独特的性质。
在本文中，我们将对数学中的零及其特殊性质进行总结和认识。
一、零的定义与性质零是自然数的空集，同时也是整数、有理数和实数的单位元。
即在加法运算中，任何数与零相加的结果都是其自身，即 a + 0 = a。
此外，任何数与零相乘的结果都是零，即 a × 0 = 0。
零还具有以下几个特殊的性质：1. 零是唯一的。
在任何数域中，只存在一个零。
2. 零的倒数是未定义的。
因为任何数除以零都是没有意义的，即1/0 在数学中没有定义。
3. 零的阶乘等于1。
虽然零的阶乘在直观上似乎应该是0！= 0，但根据数学约定，零的阶乘等于1。
二、零的在代数中的运用零在代数中有着广泛的运用，以下是几个常见的例子：1. 零元素在代数和线性代数中，零元素是指在运算中起到中性元素的作用的元素，即与其进行加法或乘法运算的结果与原数相等。
零元素在向量空间、环、群等数学结构中起到重要的作用。
2. 零向量在向量空间中，零向量是指所有分量为零的向量。
零向量具有一些独特的性质，如与任何向量的加法都等于原向量本身，即 V + 0 = V。
3. 零矩阵在线性代数中，零矩阵是指所有元素都为零的矩阵。
零矩阵在矩阵的加法和乘法操作中起到特殊的作用，如与任何矩阵的加法都等于原矩阵本身，即 A + 0 = A。
三、零的在数论中的特殊性质在数论中，零有一些独特的性质和应用：1. 零与任何数的乘积等于零。
这是数论中的一个重要性质，即 a × 0 = 0。
这个性质在证明和推导中经常被使用。
2. 零和任何数的加法等于该数本身。
这是零在数论中的一个基本性质，即 a + 0 = a。
这个性质在初等数学的运算中起到重要的作用。
3. 零是偶数。
根据数论中对偶数的定义，偶数是可以被2整除的整数。
由于零可以被2整除，所以零也被归类为偶数。
四、零的在几何中的特殊性质在几何中，零有以下几个特殊的性质：1. 零长度在线段、向量等概念中，长度为0的对象被称为零长度。
关于零的知识点总结
关于零的知识点总结一、零的历史在数学发展的历史中，零的概念是相对较晚出现的。
古代的数学体系并没有零的概念，人们只使用数字来表示数量，没有特定的符号来表示空集或不存在的概念。
直到印度数学家布拉马古普达（Brahmagupta）在7世纪提出了“零”的概念，并使用了一个特殊的符号来表示零。
这个符号最终传入了阿拉伯，并随着阿拉伯数字的传播而成为了现代数学中的零的表示方式。
经过漫长的历史发展，零逐渐成为数学中不可或缺的概念，被广泛应用于各个领域。
二、零的特性1. 零是唯一的在自然数、整数、有理数、实数、复数中，零是唯一的。
例如，在自然数中，只有0这个数就是零；在整数中，也只有0这个数就是零。
这个特性使得零有着更为特殊的地位，它是这些数系中的一个独特的元素。
2. 零的特殊性零有着特殊的性质，在一些数学运算中具有独特的地位。
例如，在加法中，任何数与0相加都等于这个数本身，即a+0=a；在乘法中，任何数乘以0都等于0，即a*0=0。
这些性质使得零在数学运算中具有重要的作用。
3. 零的概念是抽象的零代表着“没有”，是一种抽象的概念。
在实际生活中，我们会用0来表示没有东西，但这里的没有不是指空气或者虚无，而是指“不存在”，是一种抽象的概念。
这种抽象性质使得零可以应用于更广泛的数学领域中。
4. 零的位置关系在数轴上，零是数轴的中点，同时也是正数和负数的分界点。
零位于数轴的原点处，它是正数和负数之间的过渡点，具有着重要的位置关系。
零的位置关系对于数轴的运算和理解具有着重要的作用。
三、零在不同数学领域中的应用1. 零在整数和有理数中的应用在整数和有理数中，零有着重要的作用。
在整数中，零是正数和负数之间的过渡点，它同时也是数轴的原点。
在有理数中，零可以表示两个相反数相加得到的结果，也可以表示两个相反数相乘得到的结果。
零在这两个数学领域中具有重要的作用，影响着整数和有理数的运算和理解。
2. 零在实数和复数中的应用在实数和复数中，零也具有着重要的作用。
初中数学竞赛精品标准教程及练习04零的特性
初中数学竞赛精品标准教程及练习04零的特性一、零的性质1.零是一个特殊的数，可以表示“没有”、“不存在”的概念。
2.零是唯一的，没有其他的数和零相等。
3.零与任何数相加等于这个数本身，即a+0=a。
4.零与任何数相乘结果都为零，即a*0=0。
二、零的运算法则1.零与正数相乘的结果还是零，即0*a=0。
2.零与负数相乘的结果也是零，即0*(-a)=0。
3.零除以任何非零数的结果都是零，即0/a=0(a≠0)。
4.零除以零是没有定义的，即0/0没有意义。
三、零的应用1.在方程中，我们常常需要找出使方程成立的解。
当方程中出现零时，往往可以通过零的特性来求解。
例如，解方程2x-5=0，我们知道2x=5，等式两边同时加上5得到2x+5=5+5，即2x=10，再将方程两边同时除以2得到x=5、所以方程的解为x=52.零的特性可以帮助我们理解一些实际问题中的情况。
例如，一个小商贩初始时没有任何存货，然后他以每天10件的速度进货，不久后他又以每天5件的速度售货。
问经过多少天他的存货会是零？答案是这样的：假设过了x天之后，他的存货为0，根据进货和售货的速度，我们可以列出方程10x-5x=0，即5x=0，解方程得到x=0，所以经过0天他的存货就会是零。
3.零的特性也与图形的特征有关。
例如，在一个坐标系中，原点（0,0）是一个特殊点，它是x轴和y 轴的交点，也是所有图形的中心。
在数学中，我们常常需要研究图形的对称性、变化等问题，零的特性在这些问题中起到了重要的作用。
通过学习和理解零的特性，我们可以更好地掌握数学的基础知识，为以后更深入的数学学习打下坚实的基础。
同时，在解题过程中，我们还要灵活运用零的特性，举一反三，将数学应用到实际问题中去。
练习题：1.计算：7+0=？2.计算：5*0=？3.计算：0*(-6)=？4.计算：3x+5=8，求x的值。
5.解方程：2(x-3)=0。
参考答案：1.7+0=72.5*0=03.0*(-6)=04.将方程两边同时减去5得到3x=3，再将方程两边同时除以3得到x=1、所以x的值为15.解方程2(x-3)=0，可将方程写为2x-6=0，再将方程两边同时加上6得到2x=6，最后将方程两边同时除以2得到x=3、所以方程的解为x=3。
数量概念学习零的特点
数量概念学习零的特点数量概念是指人们对数量和数值的认识与理解。
在数学教育中，学习数量概念是非常重要的一部分。
而对于数字中的零，它具有独特的特点。
本文将探讨数量概念学习中零的几个特点。
一、抽象而又实际的存在在数学中，零作为空集合的符号表示，表示一个没有物体、数量为空的情况。
它既是一个具体的数值，又是一个抽象的概念。
学习零意味着学习如何理解虚无，如何理解没有物体的情况。
这种抽象而又实际的存在给学生带来挑战，需要通过多种方式进行教学，以帮助学生理解和掌握。
二、零与其他整数的关系在数线上，零位于正数和负数之间，同时也是自然数和整数的分界点。
学生需要通过学习零的特性，理解零与其他整数的关系。
例如，零是任何数的相反数，与任何数相加都不改变数值；任何数与零相乘得零。
通过这些特性的学习，学生能够进一步理解数整体的结构和性质。
三、零的位置和位值在数位系统中，零的位置和位值也需要学生去认识和理解。
在进位制中，零的位值表示没有任何单位。
例如，在十进位制中，零出现在个位和十位之间，表示没有个位的数量。
学生需要通过练习和实践，掌握零在不同位数中的位置和位值。
四、零的运算法则零作为一个特殊的数，具有一些独特的运算法则。
例如，任何数与零相加等于它本身，任何数与零相乘得零。
学生需要通过具体的实例和练习，学习并掌握这些运算法则。
同时，他们也需要深入理解这些法则背后的原因和逻辑，以增加对零的深刻认识。
五、零的应用在实际生活中，零经常出现在各种情境中。
例如，温度计中的零度表示冰点，货币中的零元表示没有金额。
学生需要学会将零与生活实际相联系起来，理解其在不同领域中的应用。
通过将零与实际情境相结合，学生可以更好地理解和掌握零的概念。
六、培养数学思维和逻辑推理能力零的学习不仅仅是记住概念和符号，更重要的是培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
学生需要通过分析问题、解决问题的过程中运用零的概念和运算法则，培养自己的逻辑思维和推理能力。
这种能力在数学学习和实际生活中都具有很高的价值。
0的关键要点培训
03
0在代数式中应用与简化
代数式中0代入法则
任何数与0相加，其 结果不变：a + 0 = a。
0除以任何非零数， 结果都为0：0 ÷ a = 0 (a ≠ 0)。
任何数与0相乘，结 果都为0：a × 0 = 0 。
利用0简化复杂表达式
通过代入0消除某些项
在复杂表达式中，将某些变量代入0可以简 化表达式，使其更易于计算和理解。
01
0在计数中的应用
在计数或统计时，0常常被用作占位符或表示没有数量。例如，电话号
码、身份证号码等中的0表示占位，而比赛中的0分则表示没有得分。
02
0在计算机科学中的应用
在计算机科学中，0常常表示二进制数的起点或基准值。例如，在计算
机内部存储数据时，0和1是基本的二进制代码，用于表示各种信息。
03
0在化学中的应用
0在数学中的拓展应用
深入研究0在数学中的高级应用和拓展，如无穷小量、极限理论、 复数等领域中的应用。
0与其他学科的交叉研究
探索0在物理、化学、计算机科学等其他学科中的应用和交叉研究 ，发现新的学科增长点和创新点。
感谢您的观看
THANKS
加法单位元
0在加法运算中作为单位元存在，即任 何数与0相加结果不变。
减法运算中0作用
减0结果不变
任何数减去0都等于原数，减0不会改变原数的值。
减法单位元
与加法类似，0在减法运算中也作为单位元存在。
乘法运算中0作用
乘0结果为0
任何数与0相乘的结果都是0，这是乘法运算的基本性质。
乘法吸收元
0在乘法运算中作为吸收元存在，即任何数与0相乘都等于0 。
利用0的性质进行因式分 解
在某些情况下，可以将表达式中的某些项提 取公因子0，从而简化整个表达式的计算过
初中数学培优：零的特性
初中数学培优：零的特性【知识精读】一、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
二、零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数b<0 ⇔ b 是负数c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
三、零具有独特的运算性质1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数⇔a+b=05，减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.四、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
2018初中数学代数辅导之零的描述
2018初中数学代数辅导之零的描述
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了中考五大必考学科的知识点，主要是对初中三年各学科知识点的梳理和细化，帮助各位考生理清知识脉络，熟悉答题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018初中数学代数辅导之零的描述》，仅供参考！零的描述
1、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的数。
零是自然数，是整数，是偶数。
A、零是表示具有相反意义的量的基准数。
B、零是判定正、负数的界限。
C、在一切非负数中有一个最小值是0；在一切非正数中有一个最大值是0。
2、零的运算性质
A、乘方：零的正整数次幂都是零。
B、除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数；0没有倒数。
C、乘法：零乘以任何数都得零。
ab=0 a、b中至少有一个是0。
D、加法a、b互为相反数a+b=0
E、减法a-b=0 a=b; a-b＞0 a＞b;a-b＜0 a＜b。
3、在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度，不能省略。
各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
0的归纳总结
0的归纳总结
0是一种数学符号，代表没有数量或零数量。
它是整数的起点，在数轴上位于正数和负数的中间。
0在数学中起着重要的作用，具有一些独特的属性和特征。
0在加法中起着特殊的作用。
任何数与0相加，结果都是它本身。
1 + 0 = 1，-5 + 0 = -5。
这也可以表示为：对于任何数x，x + 0 = x。
在乘法中，0的作用也非常特殊。
任何数与0相乘的结果都是0。
2 * 0 = 0，-3 * 0 = 0。
这也可以表示为：对于任何数x，x * 0 = 0。
0还有一个独特的除法规则。
任何数除以0是无法定义的，因为0不能作为除数。
这是因为没有一个数可以乘以0等于任何非零数。
所以，对于任何数x，x / 0是没有明确结果的。
除了这些基本运算规则外，0还有一些其他特殊的性质。
它是偶数的一个特例，并且可以整除任何一个非零整数。
4可以被2整除，也可以被0整除。
在数学和科学领域，0还用于表示无或空。
在统计学中，0可能表示没有发生某个事件或没有观测到某个特征。
在物理学中，0常常表示无质量或无体积。
0在数学中起着重要的作用。
它具有特殊的加法和乘法规则，并且在各个领域都有特殊的含义和用途。
无论是在基础运算还是在高级数学和科学中，0都是一个必不可少的概念。
第三课时“0”在四则运算中的特性
第三课时“0”在四则运算中的特性第三课时“0”在四则运算中的特性目标：1. 掌握0在运算中的特性。
2. 对0有一个全面的认识。
0是一个特殊的数。
3. 培养学生分析、归纳推理能力。
重点难点：掌握0在运算中的特性。
教学准备：课件数字卡片0教学手段：多媒体信息技术的应用教学过程：一、创设情景，激发兴趣。
1.出示卡片“0”。
说说你知道的“0”有什么作用或特点？生交流汇报。
2.“0”在数学中有很多作用，想知道吗？二、自主学习，合作探究。
1.出示，写一些与0有关运算的式子。
2.生汇报。
3.运算中你发现了什么？4.生小组里交流，汇报。
5.师小结。
小练习：拍手小游戏分组比赛，看看谁的反应快！根据我说的算式，算出答案，答案是几就拍几下手，如答案是1，就拍一下手。
答案是0就不拍手。
巩固运用。
1.快速口算。
课件出示2.比一比，谁最快课件出示3.改错。
0×75÷25 80+90÷10×0=0×3 =80+9=0=894.列式计算。
(1)360加上0除以65的商，和是多少？(2)45与0的积，再除以9，商是多少？四、拓展应用课件出示生活中的数字“0”（1）0表示起点。
如：赛跑时，从0米开始起跑。
（2）0表示端点。
如：量线段时，用尺的0处对准线段的一个端点。
（3）0表示没有。
如：盘子里没有苹果，用数字0表示。
（4）0表示占位。
如：808,0占十位。
（5）0反映一种情况基点，如0℃有一定的温度，不是没有温度。
（6）海拔0米，不能说没有高度。
五、提升。
这节课，你认识了什么数？它有哪些特性？你掌握了吗？六、课后作业1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
0的归纳总结
0的归纳总结【0的归纳总结】数字0作为自然数中的一个特殊数字，它具有一定的特性和重要意义。
在数学、物理、计算机科学等领域中，0扮演着重要的角色。
本文将对0的归纳总结进行探讨，分析其在各个领域的应用和重要性。
一、数学中的01.1 零的定义数学中，0是最简单的自然数。
它表示“没有数量”，是其他数字之前的缺失状态。
0在整数、有理数和实数中都有其特殊性。
1.2 零的运算1）加法运算：0与任何数相加，结果保持不变。
例如：0 + 5 = 5。
2）乘法运算：0与任何数相乘，结果都为0。
例如：0 × 5 = 0。
3）除法运算：0不能作为除数，因为一个数除以0没有意义。
1.3 零的数轴表示数轴是用来表示实数的直线。
在数轴上，0位于正数和负数之间的中点，同时也是正数和负数的分界线。
1.4 零的集合表示在集合论中，零可以表示空集。
空集是不包含任何元素的集合，用符号“∅”表示。
二、物理中的02.1 温度的绝对零度在热力学中，0绝对零度表示物体温度的最低点。
绝对零度为-273.15°C，即摄氏温度的零点。
在绝对零度下，物体的分子和原子的运动停止。
2.2 空间的零点在几何学和物理学中，0点常用来作为空间的参考点。
例如，经纬度中的0度纬度线为赤道，经度中的0度经线为本初子午线。
2.3 能量守恒定律能量守恒定律中的“零点能”指的是体系在最低能量状态时的能量值。
在这个状态下，任何进一步的能量降低都是不可能的。
三、计算机科学中的03.1 二进制中的0在计算机科学中，二进制是最基本的存储和计算单位。
0和1是二进制的基本数字，0表示低电平或者关闭状态，而1表示高电平或者开启状态。
3.2 零值和空值在编程中，0常常表示一个变量或者表达式的零值，也可表示某些数据类型的默认值。
而空值则表示变量或表达式没有被赋予任何值。
3.3 零比特编码在数据传输中，零比特编码（Zero-bit encoding）是一种特殊的编码方式，用于表示数据传输中的“空闲”状态或者“无信号”状态。
0的性质
【要点】1. 零的性质。
在数学这一门极为重要的学科中，“0”和“1”两个数起到了举足轻重的作用。
今天我先讲讲“0”的性质。
随着年级的升高，我们可将有关“1”的知识日积月累。
在我的教师生涯里，我曾经很认真地对“1的作用”进行了科学细致的总结和分析。
0的性质：⑴0是一个数，并且是一个整数。
⑵0是自然数，0小于除了0以外的一切自然数。
⑶在十进制记数法中，0起占位的作用。
⑷0是一个偶数。
⑸0是任意自然数的倍数。
⑹任何数与0相加，它的值不变，即a+0 = 0+a = a。
⑺任何数减0，它的值不变，即a-0 = a。
⑻相同的两个数相减，差等于0，即a - a = 0。
⑼任何数与0相乘，积等于0，即a×0 = 0×a = 0。
⑽0被非0的数除，商等于0，即如果a≠0，那么0÷a = 0。
⑾0不能作除数。
例如6÷0，0÷0，这类式子是没有意义的。
⑿0是唯一的一个中性数，既不是正数，也不是负数。
⒀0的绝对值等于0。
⒁任何非0的数的0次幂等于1，即如果a ≠0，那么a0 = 1。
……等。
自然数表示没有，仅是最初的含义。
随着人类社会的不断进步和数学研究的不断深入，人们对“0”的认识也不断发展。
“0”不仅表示没有，而且还可以表示特定的数值。
例如：“今天的气温是0摄氏度”，并不是说今天没有温度，而是表示在一个标准大气压下，冰水混合物的温度的数值；在测量工具上，“0刻度线”是计量的起点；在写数运算时，“0”还有占位的作用；当引入负数之后，0是唯一的一个中性数等。
0为什么是自然数？在上世纪九十年代以前人们习惯于自然数不包括0在内。
因此，不论是在我从入小学到大学毕业17年学生生涯里，还是在我中学13年执教期间，脑子里牢记着“0不是自然数”这个概念。
根据1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》中的规定，自然数的集合中包含0在内了，从此之后，0就属于自然数的范围了。
0是自然数有许多理由。
“ 0”的性质有哪些？
“ 0”的性质有哪些？“ 0”的性质有哪些？在小学数学教材中，有关“0”的性质分散在各部分内容里。
现集中起来，简述如下：（1）0是一个数，并且是一个整数，但0不是自然数，它比一切自然数都小。
（2）在十进制记数法中，0起占位的作用。
（3）0是一个偶数。
（4）0是任意自然数的倍数。
（5）任何数与0相加，它的值不变，即a＋0=0＋a=a。
（6）任何数减0，它的值不变，即a-0=a。
（7）相同的两个数相减，差等于0，即a-a=0。
（8）任何数与0相乘，积等于0，即a×0=0×a=0。
（9）0被非零的数除，商等于0，即如果a≠0，那么0÷a=0。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
（10）0不能作除数。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
例如：3÷0，0÷0，这类式子是没有意义的。
随着数学知识的扩充，0的性质也将进一步扩充。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初中数学竞赛辅导资料（4）
零的特性
甲内容提要
一，零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
1，零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高
收支衡可记作结存0元。
2，零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则a＞0
记作a＞0 ⇔a是正数读作a＞0等价于a是正数
b<0 ⇔ b 是负数
c≥0 ⇔c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）
d≤0 ⇔d是非正数(即d不是正数，而是负数或0)
e≠0 ⇔e不是0（即e不是0，而是负数或正数）
3，在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，
a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
4，在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|X|≤0，当X＝0时，－|X|值最大，是0，（∵X≠0时都是负数），
－（X－2）2≤0，当X＝2时，－（X－2）2的值最大，是0。
二，零具有独特的运算性质
1，乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；
零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
3，乘法：零乘以任何数都得零。
即a×0＝0，
反过来如果ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式xy=0成立,必须且只需x=0或y=0。
4，加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数⇔a+b=0
5，减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，
若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b;若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a>b时,a-b>0；当a<b时,a-b<0.
三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
可用不等式表示其值范围如下：
1.55≤近似数1.6<1.65 1.595≤近似数1.60<1605
乙例题
例1．两个数相除，什么情况下商是1？是－1？
答：两个数相等且不是0时，相除商是1；两数互为相反数且不是0时，相除商是－1。
例2．绝对值小于3的数有几个？它们的和是多少？为什么？
答：绝对值小于3的数有无数多个，它们的和是0。
因为绝对值小于3的数包括大于－3并且小于3的所有数，它们都以互为相反数成对出现，而互为相反数的两个数相加得零。
例3．要使下列等式成立X 、Y 应取什么值？为什么？
①X （Y －1）＝0， ② ｜X －3｜＋（Y ＋2）2＝0
答：①根据任何数乘以0都得0，可知当X ＝0时，Y 可取任何数；
当Y ＝1时，X 取任何数等式X （Y －1）＝0都是能成立。
②∵互为相反数相加得零，而｜X －3｜≥0，（Y ＋2）2≥0，
∴它们都必须是0，即X －3＝0且Y ＋2＝0，
故当X ＝3且Y ＝－2时，等式｜X ｜＋（Y ＋2）2 ＝0成立。
丙练习4
1， 有理数a 和b 的大小如数轴所示:
b 0 a
比较下列左边各数与0的大小（用＞、＜、＝号連接）
2a 0, －3b 0,
a 1 0, －
b 2 0， －a 2 0, －b 3 0, a+b 0, a －b 0,
ab 0, (－2b)3 0, b a 0, b
a - 0 2, a 表示有理数，下列四个式子，正确个数是几个？答：＿＿个。
｜a|>a, a 2> －a 2, a>－a, a+1>a
3, x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：＿＿句。
①（x －2）2有最小值0， ③ －｜x+3|有最大值0，
② 2－x 2有最大值2， ④ 3＋｜x －1｜有最小3。
4，绝对值小于5的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？
5， 要使下列等式成立，字母X 、Y 应取什么值？
①X
0＝0， ②X （X －3）＝0， ③｜X －1｜＋（Y ＋3）2＝0 6， 下列说法正确吗？为什么？ ① a 的倒数是a 1 ②方程（a －1）X ＝3的解是X ＝
13-a ③ n 表示一切自然数，2n －1表示所有的正奇数
④ 如果a>b, 那么m 2a>m 2b (a 、b 、m 都是有理数 )
7， X 取什么值时，下列代数式的值是正数？
① X （X －1） ② X （X ＋1）（X ＋2）。