高数课后解答

从而有 f −1 ( − x )＝ − f −1 (x ) ，因此 t = f −1 (x) 为奇函数. 16．证明狄利克雷函数是以任何正有理数为周期的周期函数．试给出一个函数，它是以任何正实数为 周期的周期函数． 【证】已知狄利克雷函数为
1, x为有理数, D( x) = 0, x为无理数.
x 2
x x = ，即 2 2
2g
1 x x f = x, 故 y = f 的反函数为 2 g ( x) ．同理可求得 y = f (2 x) 的反函数为 g ( x) . 2 2 2 1, x ≥ 0, 的图形， 然后再画出下列函数的图形， 并写出其函数表达式． 0, x < 0
15．设函数 y = f (x ) (x ∈ 数. 【证】设 y = f (x ) 的反函数为 t = f −1 (x) ，由于 y = f (x ) 是奇函数，故
) 存在反函数，证明：如果 y = f (x) 是奇函数，那么它的反函数也是奇函
f ( − f −1 (x) ) = − f ( f −1 (x) ) = − x ，
1 2
α -水平集． 试求函数 f ( x) =
1 的 0.5 -水平集． x −1
2
【解】 根据水平集的定义， 函数 f ( x ) =
1 1 的 0.5 -水平集为 A0.5 = {x | f ( x) ≥ 0.5} ， 令 2 ≥ 0.5 ， x −1 x −1
2
解 不 等 式 可 得 − 3 ≤ x ≤ −1 或 1 ≤ x ≤ 3 ， 故 函 数 f ( x ) =
1, x ≥ 0, 2, x < 0.
13． （1） 设函数 f ( x ) 定义在区间 ( −a, a ) 内， 判断函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 与 G ( x ) = f ( x ) − f ( − x) 的奇偶性； （2）证明定义在区间 ( −a, a ) 内的任何函数都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和． 【解】 (1)因为 F ( − x) = f ( − x ) + f ( x ) = f ( x ) + f ( − x) = F ( x) ， 所以函数 F ( x ) = f ( x ) + f ( − x ) 为偶函数；因为
-8
-6
-4
-2 -10 -20
2
4
6
1.5 1 0.5 2.5 3 3.5 4
（4）定义域： [ 2, 4] ；函数图形如上右。
13
（5）定义域： R ；函数图形如下左。
1 0.8 0.6 0.4
3 2
1
-3
0.2
-2
-1 -1
1
2
3
-6
-4
-2
2
4
6
-2
（6）定义域： R ；函数图形如上右。
4．已知函数 f ( x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内有定义， g ( x ) 是 f ( x ) 的反函数，求 y = f ( ) 及 y = f (2 x ) 的反函 数． 【解】因为 g ( x ) 是 f ( x ) 的反函数，所以有 g ( f ( x )) = x ，从而 g f
（2） − H ( x ) =
−1, x ≥ 0, 0, x < 0.
（3） H ( − x ) =
1, x ≤ 0, 0, x > 0.
（4） H ( x + 1) = 各图形分别对应如下：
1, x ≥ −1, 2, x ≥ 0, （ 5） H ( x ) + 1 = 0, x < −1. 1, x < 0.
H ( x) 的图形如下：
2 H ( x) 的图形如下：
2
1
1
0
x
0
x
− H ( x) 的图形如下：
H (− x) 的图形如下：
14
1
0 -1
x
0
x
H ( x + 1) 的图形如下：
H ( x) + 1 的图形如下：
2
1
1
-1
0
x
0
x
6．已知函数 f ( x ) = 【解】 （1） y = f
x2
【 解 】 由 f ( x) = e ，得 f [ϕ ( x)] = e
x2
ϕ 2 ( x)
，又 f [ϕ ( x)] = 1 − x ，故 e
ϕ2 (x)
= 1 − x . 由此式，再根据
ϕ ( x) ≥ 0 ，解得 ϕ ( x) = ln (1 − x ) .
由 ln (1 − x ) ≥ 0 得 x ≤ 0 ，故 ϕ ( x ) 的定义域为 (−∞, 0] .
习题 1.2
（A）基础题
1．试作出不等式组
x + y ≥ 1, 的解集合的图形． 2 2 + ≤ 1 x y
-1
1
【解】不等式组
x + y ≥ 1, 的解集合的图形如右。 2 2 x + y ≤ 1
0
1
2．判断下列各组函数是否相同． (1) f ( x ) =
x2 − 4 与 g ( x ) = x + 2 ； (2) x−2
x2 ；
(4)
f ( x) = ln( x3 ) 与 g ( x) = 3ln x ； f ( x) = x 与 g ( x) = eln x ．
（ 3） f ( x ) = x 与 g ( x ) = 【解】 （1）否．定义域不同．
（2）是．对应法则与定义域相同． （4）否．定义域不同．
（3）否．对应法则不同．
克雷函数是以任何正有理数为周期的周期函数. 显然，常值函数是以任何正实数为周期的周期函数. 17．设函数 y = f (x ) 在 ( −∞, +∞ ) 内有定义， C 是一正常数，定义函数 f C (x ) (x ∈
)为
− C, f C (x)= f ( x), C,
f ( x) < −C , − C ≤ f ( x) ≤ C , f ( x) > C.
（6） y = 3− | x − 1| ．
1 2

1
2
-1
1.5
-0.5 -1
0.5
1
1.5
1
0.5
-2
-0.5
0.5
1
1.5
2
-3
（2）定义域： ( −1, +∞ ) ；函数图形如上右。 （3）定义域： ( −∞, −1) ∪ (1, +∞ ) ；函数图形如下左。
20 10
3.5 3 2.5 2
的和．
e− x , x ≥ 0, 14．写出函数 f ( x ) = 1 的反函数． , < 0 x x e− x , x ≥ 0, − ln x, x ≥ 0, －1 【解】函数 f ( x ) = 1 的反函数为 f ( x ) = 1 . , x < 0. , x < 0 x x
f (− x) = − f ( x) ，
因此 f ( x ) = ln( x + 1 + x ) ( x ∈ R ) 是奇函数. 该函数的图形如右。
2
-3 -2 -1
2
1
1 -1
2
3
由上图形可知，该函数为单调增函数. 9．指出下列图形所示函数 y = f ( x) 的单调性． 【解】 （1） 图（a）中所示函数显然为单调递增函数；
16
12．设函数 f ( x ) =
x 2 , x ≥ 0, 1, x ≥ 0, g ( x) = 求 f [ g ( x )] 与 g[ f ( x )] ． −1, x < 0, 1 − x, x < 0,
；
【解】 （1）由于 g ( x ) ≥ 0, x ∈ R ，故 f [ g ( x )] = 1, x ∈ （ 2） g [ f ( x ) ] =
-2
（2）观察图（b）所示函数，由于随着 x 的增大，函数值在不断减小，故其为单调减函数； 10．上图给出了函数 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的图形，试按下述要求将 f ( x ) 的图形补充完整． （1）使函数 f ( x ) 为区间 [ −2, 2] 上的奇函数； （2）使函数 f ( x ) 为区间 [ −2, 2] 上的偶函数； （3）使函 数 f ( x) 为 上的以 2 为周期的周期函数．
5． 先画出单位阶梯函数 H ( x ) =
（ 1） 2 H ( x ) ； （2） − H ( x ) ； （ 3） H ( − x ) ； （4） H ( x + 1) ； （ 5） H ( x ) + 1 ． 【解】 （1） 2 H ( x ) =
2, x ≥ 0, 0, x < 0.
x
f (e2 x ) = 1 + ln e2 x = 1 + 2 x .
8．证明函数 f ( x ) = ln( x + 1 + x 2 ) ( x ∈ R ) 是奇函数；试作出其图形，并据此来判定其单调性． 【证】因为 f ( x ) + f ( − x ) = ln( x + 1 + x 2 ) + ln( − x + 1 + x 2 ) = ln1 = 0 ， f ( x)
1
y
o
x
y
o
o
1
2
x
(a)
第 9 题图
( b)
第 10 题图
【解】 （1）由于奇函数的图形关于原点对称，因此要使函数 f ( x ) 为区间 [ −2, 2] 上的奇函数，图形如 下左。