§4.2 多项式的恒等变形

§4.2 多项式的恒等变形

教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是

解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。 教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的

常用方法。 课时安排：2课时。 教学内容如下：

一、 多项式的基本概念

多项式是由数与字母进行+、—、⨯运算而构成。

定义 设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。

所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。零多项式是唯一不定义次数的多项式。

二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）

定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式

1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 的值都等于零，那么这个多项式的所

有系数都等于零。 证明 用数学归纳法

（1）当n=1时，10()f x a x a =+。因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得0

0a =。由此得1()0f x a x =≡，

再令x=1，则有10a =。因此，命题对于一次多项式成立。

（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于

n 次多项式也成立。

如果对于x 的任意值，都有

1

11

()n n n n f x a x a x a x a --=++++ 0≡ ①

在等式①中，以2x 代x ，得

11

110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡ ②

①2n ⨯—②，得1

12221202

(21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡ ③

这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即

122

122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-=

02(21)0,,(21)0n k k n n k

a a ---=-= 因为 20,210(

1,2,n k k k n -≠-≠= 所以

12100,0,,0,0

n n a a a a --===

=

代入①得，0n

n

a x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。 定理2 两个多项式

1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++ （0n a ≠）

1m 110

g(x)=b (0)m m m m x b x b x b b --++++≠ 恒等的充分必要条件是它们的次数相等，且对应项系数相等，即

,(1,2,,)i i n m a b i n ===

证明 条件的充分性是显然的，下面证明必要性。

为了确定起见，不妨设n ≥m 。若两个多项式的次数不同，可以在次数较低的多项式中添系数为零的项，使

1110()n n m n n m g x b x b x b x b x b --=++++++ 。因为

()()f x g x ≡，

所以111110()()()()()()0n n n n n n o f x g x a b x a b x a b x a b ----=-+-++-+-≡ 由定理1，得

11000,0,,0n n n n a b a b a b ---=-=-= 所以

11

00

,,,n n n n a b a b a b --==

= 由此，f(x)与g(x)除系数为零的项以外，完全由相同的项所组成，即次数相等，且对应项系数相等。

以上两个定理，对于多元多项式也能成立，证明从略。定理2也是待定系数法的理论根据。

定理3 如果两个次数不大于n 的多项式f(x)和g(x ），它们对x 的n+1个不同的值都有相等的值，那么这两个多项式恒等，即

()()f x g x ≡。

证明 设()()()R x f x g x =-。如果()()f x g x ≠（不恒等），即()0R x ≠（不恒等），那么()R x 是一个次数不超过n 的多项式。由题设知，有n+1个不同的值使()R x =0，这与代数基本定理矛盾。所以f(x)与g(x)恒等。

由定理3可知，对于次数不大于n 的多项式f(x)，如果x 等于不同的121,,,n n x x x x + 时它的n+1个值121,,,n n y y y y + 是已知的，就能确定f(x)各项的系数，从而唯一确定这个多项式。这就是著名的拉格朗日插值公式：

2311

1213111()()()()

()()()()()

n n n n x x x x x x x x f x y x x x x x x x x ++----=----

+13122123221()()()()

()()()()

n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x ++--------

+ +12111211()()()()

()()()()

n n n

n n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -+-+--------

+1211

1112111()()()()

()()()()

n n n n n n n n n x x x x x x x x y x x x x x x x x -++++-+--------

例1 已知f(x)是二次多项式，且f(-1)=13,f(0)=1,f(1)=-1,求f(x)。 解 由拉格朗日插值公式，得 (0)(1)(1)(1)(1)(0)

()131(1)(1)(2)1(1)21

x x x x x x f x --+-+-=⋅

+⋅+-⋅-⋅-⋅-⋅

=

2

571x x -+ 三、待定系数法

1、定义 按照一定规律，先写出问题解的一般形式（一般是指一个算式、表达式或方程），其中含有一些尚待确定的未知系数 ，然后根据题设条件确定这些未知系数的值，从而得到问题的解。这种方法通常叫做待定系数法。其中待确定的未知系数叫做待定系数。

2、确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。

比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应系数，得到关于待定系数的若干关系式（通常是多元方程组），由此求得待定系数的值。

特殊值法，是指通过取字母的一些特定数值代人恒等式，由左右两边数值相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定系数的