§4.2 多项式的恒等变形

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代数式恒等变形法则归纳

代数式恒等变形法则归纳引言代数式是代数学中的基础概念之一，它用字母和常数通过运算符号相连而成。

在数学中，我们常常需要对代数式进行变形，以达到简化、分解、合并或者推导等目的。

代数式的变形是数学问题解决过程中重要的一环，它不仅能提高计算效率，还能揭示代数运算的本质。

在代数式的变形中，恒等变形法则是重要的基础工具，本文将对代数式的恒等变形法则进行归纳总结。

一、基本变形法则1. 加法法则：•加法结合律：a+(b+c)=(a+b)+c•加法交换律：a+b=b+a•加法零元：a+0=a #### 2. 乘法法则：•乘法结合律：$a \\cdot (b \\cdot c) = (a \\cdot b) \\cdot c$•乘法交换律：$a \\cdot b = b \\cdot a$•乘法零元：$a \\cdot 0 = 0$•乘法单位元：$a \\cdot 1 = a$二、分配律1. 左分配律：对于任意的a,b,c，有$a \\cdot (b + c) = a \\cdot b + a \\cdot c$ #### 2. 右分配律：对于任意的a,b,c，有$(a + b) \\cdot c = a \\cdot c + b \\cdot c$三、幂运算法则1. 幂运算与乘法运算：•幂运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•幂运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.幂运算的乘方法则：•幂运算的乘方法则1：$a^n \\cdot a^m = a^{n + m}$•幂运算的乘方法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•幂运算的乘方法则3：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$四、指数运算法则1. 指数运算与乘法运算：•指数运算与乘法运算的交换律：$(a \\cdot b)^n = a^n \\cdot b^n$•指数运算与乘法运算的结合律：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$ #### 2.指数运算的指数法则：•指数运算的指数法则1：$a^n^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则2：$(a^n)^m = a^{n \\cdot m}$•指数运算的指数法则3：$(a^m)^n = a^{m \\cdot n}$五、因式分解法则1. 公因式提取法则：•公因式提取法则1：ax+ay=a(x+y)•公因式提取法则2：$a \\cdot b + a \\cdot c = a \\cdot (b + c)$ ####2. 公式分解法则：•差的平方公式：a2−b2=(a+b)(a−b)•平方差公式：a2−b2=(a−b)(a+b)•完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2•完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2六、合并同类项法则合并同类项法则：将含有相同字母指数的项合并为一个项•合并同类项法则1：ax+bx=(a+b)x•合并同类项法则2：ax2+bx2=(a+b)x2•合并同类项法则3：ax n+bx n=(a+b)x n结论恒等变形法则在代数式的变形中起着重要的作用。

代数式与恒等变形

第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+ .13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题：？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ ……)]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+=读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解．解设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc -由①+②+③，得)2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且xz z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx解由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值，题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解由已知，得.,22z a y a x a a y -=-= 两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-=即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2 ,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。

恒等变形知识点总结

恒等变形知识点总结恒等变形是指根据等式的性质和算术运算的性质，将一个等式变形成另一个等式的过程。

在变换的过程中，通过适当的运算，将等式的两侧转变成相同的表达式。

首先，我们来看一下恒等变形的基本原则，它包括以下几个方面：1. 相等的两个数（对象）可以相互规约。

2. 等式的两边加(或减)相等的数(或算式)仍相等。

3. 等式的两边同乘(或同除)一个不为零的数(或数的倒数)仍相等。

4. 在等式中引进(或去除)平方根，绝对值符号对方程做平方根变形，只有当两边都为非负数时，该等式才成立。

这些基本原则是我们进行恒等变形时需要牢记的，只有在遵守这些原则的前提下，我们才能正确进行恒等变形。

在进行恒等变形时，我们通常会用到一些基本的代数运算，例如加减法、乘除法、开平方、平移等，这些运算在恒等变形中起着非常重要的作用。

接下来，我们来看一些常见的恒等变形的方法和技巧。

1. 加减法变形加减法变形是指用等于同一个数的两个数互换位置，并相加或相减，来得到一个新的等式。

例如：a +b =c 和 a = c - b这里，我们可以将第一个等式两边分别减去b，得到新的等式 a = c - b。

通过这个例子，我们可以看出，加减法变形是一种常见且有效的恒等变形方法，它可以帮助我们将一个复杂的等式化简成一个简单的等式。

2. 乘除法变形乘除法变形是指用等于同一数的两个数相除或相乘，得到新的等式。

例如：ab = c 和 a = c/b这里，我们可以将第一个等式两边都除以b，得到新的等式a = c/b。

通过这个例子，我们可以看出，乘除法变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

3. 平方根变形平方根变形是指用等于同一数的两个数同时开平方，得到新的等式。

例如：a^2 = c 和a = √c这里，我们可以将第一个等式两边同时开平方，得到新的等式a = √c。

通过这个例子，我们可以看出，平方根变形也是一个常见且有效的恒等变形方法。

4. 移项变形移项变形是指将等式中的某一项移到等式的另一侧，得到新的等式。

常用的14个恒等变形公式

常用的14个恒等变形公式作为数学中的基本工具之一，恒等变形在各种数学问题中都扮演着关键的角色。

本文将介绍14个常用的恒等变形公式，这些公式的掌握对于提高数学学习成绩和应对高考、数学竞赛等考试都有着重要的作用。

一、基本恒等变形1.加减同项式的恒等变形∵a+b+c+d+e+f=0∴a+b+c=-(d+e+f)2.去分母的恒等变形∵a/c=b/d∴ad=bc3.两边平方式的恒等变形∵a=c·d·e·f∴e·f=a/(c·d)4.拆分因式的恒等变形∵a²-b²=(a+b)(a-b)∴(a+b)(a-b)=a²-b²二、平方恒等变形5.一次二次(a+b)²=a²+2ab+b²(a-b)²=a²-2ab+b²6.和差二次cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb7.平方差a²-b²=(a+b)(a-b)8.完全平方a²+2ab+b²=(a+b)²a²-2ab+b²=(a-b)²三、三角函数恒等变形9.正弦cos²(a)+sin²(a)=1sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-cosasinb10.余弦sin²(a)+cos²(a)=1cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb11.正切tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb) tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb) 12.双角sin2a=2sina·cosacos2a=cos²(a)-sin²(a)=2cos²(a)-1=1-2sin²(a)13.半角sin(a/2)=√[(1-cos(a))/2]cos(a/2)=√[(1+cos(a))/2]tan(a/2)=sin(a)/(1+cos(a))14.万能公式sin(a±b)=(sinacosb±cosasinb)cos(a±b)=(cosacosb∓sinasinb)可以通过这些公式的使用，将复杂的数学运算转换成简单而直观的形式，使数学问题的解决变得更加容易和高效。

多项式的概念及运算

结果：$= x^4 + 6x^3 + 4x^2 - 8x - 4$
多项式的除法运算
定义：多项式除以除数与被除数的每一项分别相除，得到商和余数
注意事项：除数不能为0，否则无意义
举例说明：多项式除以单项式的具体运算过程
多项式的代数式展开
第三章
代数式展开的概念
代数式展开是将多项式中的代数式按照一定的顺序进行展开，得到具体的数值或表达式。代数式展开是多项式运算中的一种基本运算，是学习数学和其他学科的基础。通过代数式展开，可以更好地理解多项式的结构和性质，掌握代数运算的技巧和方法。代数式展开在解决实际问题中也有广泛应用，如求解方程、不等式、函数等。
多项式是由有限个单项式通过加减运算得到的代数式。
多项式的次数是所有单项式中次数最高的那一项的次数。
多项式中每一项的系数不能为0。
多项式中单项式的排列顺序不影响多项式的值。
举例说明多项式的形式
二次多项式：ax² + bx + c
四次多项式：ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e
添加标题
添加标题
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三次多项式：ax³ + bx² + cx + d
任意次多项式：a_0 + a_1x + a_2x² + ... + a_nx^n
多项式的运算
第二章
多项式的加法运算
定义：将两个多项式的同类项的系数相加，得到新的多项式举例：如 (2x^2 + 3x + 1) + (x^2 - 2x + 3) = 3x^2 + 1 注意事项：注意合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变运算律：满足交换律和结合律，即 (a+b)+c=a+(b+c)

高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。

字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。

对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。

定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。

两个代数式恒等的概念是相对的。

同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。

因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。

定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。

代数式的变形，可能引起定义域的变化。

如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。

由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。

这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。

由于方程的变形不全是代数式的恒等变形，但与代数式的恒等变形有类似之处，因此，在本节里，我们把方程的恒等变形与代数式的恒等变形结合起来讨论。

例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。

由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。

这样可避免增根和遣根的出现。

解：原方程等价于222(0,0x p x x x ⎧-=-⎪⎨-≥≥⎪⎩222222(4)4448(2)441330440,0p x x p p x x x x p x ⎧-=⎪⎧=+--⎪⎪⎪⎪⇔≤≤⇔≤⎨⎨⎪⎪≥⎪⎪+-≤≥⎩⎪⎩222(4)8(2)44,043p x p p x x ⎧-=⎪⎪-⇔⎨-⎪≤≤≥⎪⎩ 由上式知，原方程有实根，当且仅当p 满足条件24(4)44048(2)33p p p p --≤≤⇔≤≤-这说明原方程有实根的充要条件是403p ≤≤。

第一讲：代数式与恒等变形

第1章代数式与恒等变形1.1 四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。

在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。

而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。

知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。

一计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。

变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。

三利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。

代数变形常用技巧

代数变形中常用的技巧代数变形是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活应用。

代数变形技巧是学习掌握代数的重要基础，这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

本文就初等代数变形中的解题技巧，作一些论述。

两个代数式A、B，如果对于其中所含字母的一切允许值它们对应的值都相等，则称这两个代数式恒等，记作A≡B或A=B，把一个代数式换成另一个和它恒等的代数式，叫做代数式的恒等变形。

恒等变形是代数的最基本知识，是学好中学数学的基础，恒等变形的理论依据是运算律和运算法则，所以，恒等变形必须遵循各运算法则，并按各运算法则在其定义域内进行变形。

代数恒等变形技巧是学习与掌握代数的重要基础,这种变形能力的强弱直接关系到解题能力的发展。

代数恒等变形实质上是为了达到某种目的或需要而采取的一种手段，是化归、转化和联想的准备阶段，它属于技能性的知识，当然存在着技巧和方法，也就需要人们在学习代数的实践中反复操练才能把握，乃至灵活与综合应用。

中学生在平时的学习中不善于积累和总结变形经验，在稍复杂的问题面前常因变形方向不清，而导致常规的化归、转化工作难以实施，甚至失败，其后果直接影响着应试的能力及效率。

代数的恒等变形包括的内容较多，本文着重阐述代数运算和解题中常见的变形技巧及应用。

一、整式变形整式变形包括整式的加减、乘除、因式分解等知识。

这些知识都是代数中的最基础的知识。

有关整式的运算与化简求值，常用到整式的变形。

例1：化简(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2-3(y-z)2-3(z-x)2-3(x-y)2分析：此题若按常规方法先去括号，再合并类项来进行恒等变形的话，计算会繁杂。

而通过观察发现此题是一个轮换对称多项式，就其特点而言，若用换元法会使变形简单，从而也说明了换元法是变形的一种重要方法。

高中数学竞赛讲义---代数式的恒等变换方法与技巧

1—1 代数式的恒等变换方法与技巧一、代数式恒等的一般概念定义1 在给定的数集中，使一个代数式有意义的字母的值，称为字母的允许值。

字母的所有允许值组成的集合称为这个代数式的定义域。

对于定义域中的数值，按照代数式所包含的运算所得出的值，称为代数式的值，这些值的全体组成的集合，称为代数式的值域。

定义2 如果两个代数式A 、B ，对于它们定义域的公共部分（或公共部分的子集）内的一切值，它们的值都相等，那么称这两个代数式恒等，记作A=B 。

两个代数式恒等的概念是相对的。

同样的两个代数式在它们各自的定义域的某一个子集内是恒等，但x =，在x≥0时成立，但在x<0时不成立。

因此，在研究两个代数式恒等时，一定要首先弄清楚它们在什么范围内恒等。

定义3 把一个代数式变形成另一个与它恒等的代数式，这种变形称为恒等变换。

代数式的变形，可能引起定义域的变化。

如lgx 2的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，2lgx 的定义域是(0,)+∞，因此，只有在两个定义域的公共部分(0,)+∞内，才有恒等式lgx 2=2lgx 。

由lgx 2变形为2lgx 时，定义域缩小了；反之，由2lgx 变形为lgx 2时，定义域扩大了。

这种由恒等变换而引起的代数式定义域的变化，对研究方程和函数等相关问题时也十分重要。

例1：设px =有实根的充要条件，并求出所有实根。

由于代数式的变形会引起定义域的改变，因此，在解方程时，尽量使用等价变形的方法求解。

这样可避免增根和遣根的出现。

代数式与恒等变形

第5讲爹代数式与恒等变形在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形．恒等变形，没有统一的方法，需要根据具体问题，采用不同的变形技巧，使证明过程尽量简洁，一般可以把恒等变形分为两类：一类是无附加条件的，需要在式子默认的范围中运算；另一类是有附加条件的，要善于利用条件，简化运算．恒等式变形的基本思路：由繁到简（即由等式较繁的一边向另一边推导）和相向趋进（即将等式两边同时转化为同一形式）．恒等式证明的一般方法：1．单向证明，即从左边证到右边或从右边证到左边，其原则是化繁为简，变形的过程中要不断注意结论的形式，调整证明的方向．2．双向证明，即把左、右两边分别化简，使它们都等于第三个代数式．3．运用“比差法”或“比商法”，证明“左边一右边=0"或1=右边左边（右边≠O)”，可得左边d 右边． 4．运用分析法，由结论出发，执果索因，探求思路，本节结合实例对代数式的基本变形（如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等）方法作初步介绍，题1 求证：=-+⨯+-+++n n n n 23522322n 2).235(1011-+-+n n n对同底数幂进行合并整理，解方法一：左边)222()33(55221n n n n n -+-+++⨯⨯=++)22(2)13(35103121+-++⨯=-+n n n11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n)235(1011-+-+=n n n=右边，方法二：左边)12(2)13(352222+-++⨯=+n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+右边11210310510-+⨯-⨯+⨯=n n n.25310522n n n ⨯-⨯+⨯=+故左边=右边．方法一中受右边”、、“11235-+n n n 的提示，对左边式子进行合并时，以n n 351、+与12-n 为主元合并，迅速便捷．读一题，练3题，练就解题高手 1-1．已知,0=++c b a 求证：.3333abc c b a =++1-2．已知,xyz z y x =++证明：-+--1()1)(1(22y z y x .4)1)(1()1)(2222xyz y x z z x =--+- 1-3．证明：.32232++⋅+.13222.3222=++-+++题2 ?100321=++++ 经研究，这个问题的一般结论是),1(21321+=++++ n n n 其中，n 为整数，现在我们来研究一个类似的问题：？=+⨯++⨯+⨯)1(...3221n n 观察下面三个特殊的等式：);210321(3121⨯⨯-⨯⨯=⨯ );321432(3132⨯⨯-⨯⨯=⨯ );432543(3143⨯⨯-⨯⨯=⨯ 将这三个式子两边相加（累加），可得.2054331433221=⨯⨯⨯=⨯+⨯+⨯ 读完这段材料，请您思考回答：=⨯++⨯+⨯m 1003221)1(=+++⨯+⨯)1(3221)2(n n)2)(1(.432321)3(++++⨯⨯+⨯⋅⨯n n n =（只写出结果，不必写出中间的过程）分析此题可得到如下信息：⨯⨯-⨯⨯=⨯10099102101100(31101100)1();101 +--++=+n n n n n n n n ()1()2)(1([31)1()2()];1 解 321(3110100]3221)1(⨯⨯=⨯++⨯+⨯ 210101100321432210⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯- ;34340010210110031)10110099=⨯⨯⨯=⨯⨯- (2)由类比思想知).2)(1(31)1(3221++=+++⨯+⨯n n n n n ),32104321(41321)3(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯),43215432(41432.⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯ …… )]2)(1()1()3)(2)(1([41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n 则 )2)(1(432321++++⨯⨯+⨯⨯n n n).3)(2)(1(41+++=n n n n 在解题时要善于利用类比推理思想，理解并记住一些常用的一般性结论，如++⨯+⨯ 321211 11321211,1)1(1++++++++=+n n n n n n .)12(531,112n n n =-++++-+= 读一题，练3题，练就解题高手2-1．已知n 是正整数，),(n n n y x P 是反比例函数xk y =图象上的一列点，其中.,,2,121n x x x n === 记⋅===1099322211,,,y x T y x T y x T 若=1T ,1则921T T T 的值是2-2．我们把分子为1的分数叫做单位分数，如,31,21,,41 任何一个单位分数都可以写成两个不同的单位分数的和，如,1214131,613121+=+⋅= ,2015141+= (1)根据对上述式子的观察，你会发现+=口151,1O请写出O ,口所表示的数； (2)进一步思考，单位分数n 1(n 是不小于2的正整数）=*+∆11请写出,*∆所表示的代数式，并加以验证．2-3．已知200921,,a a a 都是正数，+++= 21(a a M ),)(2009322008a a a a +++ +++=< 21a a N).)(2008322009a a a a +++试比较M 与N 的大小．题3 已知c b a a c a c c b c b b a b a ,,,)(3)(2-+=-+=-+互不相等，求证.0598⋅=++c b α 本题可设,)(3)(2k a c a C c b c h b a b a =-+=-+=-+然后求解．解设,)(3)(2k a c a c c b c b b a b a =-+=-⋅+=-+ 则).(3),(2),.(a c k a c c b k c b a k b a -=+-=-=+故 )(2),()(3),(6)(6a c c b c b b a k b a +-=+-=+α).(6a c k -=以上三式相加，得=+++++)(2)(3)(6a c c b b a ).(6a c c b a k -+--即 .0598=++c b a本题运用了连比等式设参数k 的方法，这种引入参数的方法是恒等式证明中的常用技巧，读一题，练1题，决出能力高下3-1．已知,26223823122523=-++-=-+++=---+a c a c c b c b bk a b a 则=++--++734232c b a c b a题4 证明 333)2()2()2(z y x y x z x z y -++-++-+).2)(2()2(3z y x x z x z y -+-+⋅-+=γ本题看似复杂，但是仔细分析各项特征，可尝试使用多变量换元法．解令①,2a x z y =-+②,2b y x z =-+③,2c z y x =-+ 则原待证恒等式转化为.3333abc c b a =++联想到公式 --++++=-++ab c b a c b a abc c b a 222333)((3).ca bc - 由①+②+③，得 )2()2()2(z y x y x z x z y c b a -++-++⋅-+=++.0=故,03333=-++abc c b a即.3333abc c b a =++原式得证．换元法的使用可以使题目条件更趋简洁，更易把握题目特点．读一题，练3题，冲刺奥数金牌4-1试用x+l 的各项幂表示.13.223-+-x x x4-2．已知z y x z y x ,0,0,200920072005222>>==0>且.1111=++zy x 求证：20072005200920072005+=++z y x .2009+ 4-3．解方程：,23322332⋅---=---x x x x 题5 设x,y,z 互为不相等的非零实数，且x z z y y x 111+=+=+求证： 1222=z y x由于结论为”“1222=z y x 的形式，可以从题设式中导出x ，y ，z 乘积的形式xy ，yz ，zx 解由,11xy y x +=+变形可得 ⋅-=-=-yzz y y z y x 11 则①⋅--=y x z y yz 同理可得②,zy x z zx --= ③xz y x xy --= 由①×②×③，得.1222=z y x本题中x ，y ，z 具有轮换对称的特点，也可从二元情形中得到启示：即令x ，y 为互不相等的非零实数，且,11x y y x +=+易推出,11y x y x -=-故有,1-=--=y x x y xy 所以,122=y x 三元与二元情形类似．读一题，练3题，冲刺奥数金牌5-1若实数x ，y ，z 满足x z z y y x 1,11,41+=+=+ ,37=则xyz= 5-2．已知),35(21),35(21-=+=y x 求226y xy x ++的值． 5-3．已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且=+=+c b b a 11,11x a d d c =+=+试求x 的值，题6 已知 za a x y a z x a a y 222,,-==-=求证：由待证式z a a x 2-=知要从题设条件中消去y ．解由已知，得.,22z a y a x a a y -=-=两式相乘，得),)((22z a x a a a -⋅⋅-= 即⋅+--=x z a az x a a a 2322 所以 ⋅-=x a xaz z 2故 ⋅-=z a a x 2综合考查条件结论，充分挖掘隐含信息，常会成为解题的关键，如本题中由-=-=a z x a a y ,2,,2y a 到,,,2z a a x -=发现要消去y 这一信息．读一题，练3题，冲刺奥数金牌6-1.已知,1=ab 求11+++b b a a 的值． 6-2．设⋅+-=+-=+-=,,,a c a c r c b c b q b a b a P 其中a c c b b a +++,,不为零．求证： ).1()1)(1()1)(1)(1(r q P r q P -⋅--=+++6-3．已知a ，b ，c ，d 满足3,0,,a d c b a d c b a =/+=+≤≤.333d c b ⋅+=+ 求证：.,d b c a ==参考答案与提示。

恒等变形与同解变形

恒等变形与同解变形容易看出m+2m-3m=(1+2-3)m是一个恒等式，也就是说，把式子m+2m-3m改变为（1＋2-3）m的这步变形，使变形前后的两个式子恒等，我们把这样的变形叫做恒等变形，我们通常所做的数、式运算都是恒等变形。

例如2×3=6，2（a＋1）＝2a＋2中，从等式左边到等式右边的变形都是恒等变形。

了解到数、式运算的这个特点，就可以利用特殊值代入法来检查运算结果是否有误。

假定计算2(a+l)得到2a+1。

把a=0代入 2(a+1)，得结果 2；把 a=0代入2a+1，得结果1。

如果计算正确，把a=0代入 2(a+1)，2a＋1所得的结果应该相同，这说明运算有误。

运用这种方法时需要注意，把一个特殊值代入变形前后的式子，如果两个式子的值不相同，我们就可以判定变形有误；如果两个式子的值相同，也不能肯定变形正确。

例如，假定计算2（1+x）得到2＋x，把x=0代入2(1＋x)，得结果2；把x=0代入2＋x，也得结果2。

但由此并不能肯定运算正确，因为由2(1+x)得2+x实际上是错的（换一个数，比如把x=-1分别代入，就可以看出结果不同）。

判断两个一元多项式f(x)，g(x)是否恒等，可用下面的结论：如果f(x)，g(x)是n次多项式，并且有n＋l个值使f(x)=g(x)，那么f(x)与g(x)恒等。

其原因是一元n次方程最多有n个根。

我们用上述结论来看下面的变形。

因为当x=a，x=b时，都有两边的值相等，我们就可以断定上述变形正确。

总之，进行数、式运算时，要保证每一步都是恒等变形。

而解方程时，则要保证每一步都是同解变形，也就是保证变形前后的两个方程是同解方程。

由方程同解原理可知：方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得方程与原方程是同解方程。

方程两边都乘以（或除以）不等于0的同一个数，所得方程与原方程是同解方程。

也就是说，方程两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，方程两边都乘以（或除以）不等于0的同一个数，都是同解变形。

第二讲多项式理论

2、根式的定义与意义
3、复合根式的计算
4、根式的恒等变形和化简
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一、有理分式的恒等
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二、根式的定义和意义
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三、复合根式的计算
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四、根式的恒等变形的化简类型1 多元代数式型
基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式
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类型2 一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式
4、多项式的因式分解
中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”
高等代数中规定因式分解的涵义是： “所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”
11
关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？
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类型3 一元代数式型基本思想：降低次数法
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类型4 方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，
利用相关性质求解
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5、代数代换法
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6、函数型根式——构造几何模型法
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7、三角形代换法
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指数式与对数式
题记
如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。
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定义分析：
1、一个置换实际上是指一个排列；
2、置换的总数共有n!种。
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判断下列多项式是否是对称多项式
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（2）基本对称函数（基本对称多项式）

多项式恒等定理

多项式恒等定理在初等数学中的应用The Applications of Polynomial Identity Theorem in Elementary Mathematics专业: 数学与应用数学作者:指导老师:学校二○摘要多项式恒等定理在多项式代数中占有重要地位. 它是多项式代数中一个重要定理——待定系数法的理论依据. 本文给出了多项式相等和恒等的定义与多项式恒等定理, 并介绍了利用多项式恒等定理证明组合恒等式, 进行多项式因式分解等初等数学中的几个方面的应用.关键词: 多项式; 恒等; 多项式恒等定理; 待定系数法; 因式分解; 二项式定理AbstractPolynomial Identity Theorem plays an important role in the polynomial algebra. It is an important algebraic polynomial theorem, and it is based on the theory for the undetermined coefficient method. In this paper, the definition of the same polynomials and Polynomial Identity Theorem have been given, and we introduced some applications of the polynomial identity theorem in elementary mathematics, such as using it to prove combinatorial identities and to factorize polynomial.Keywords: polynomial; identity; Polynomial Identity Theorem; undetermined coefficient method; factorization; Binomial Theorem目录摘要 (I)Abstract (II)0 引言 (1)1 多项式恒等定理的有关理论 (1)2 多项式恒等定理在初等数学中的应用 (4)2. 1待定系数法 (4)2. 2 在三角中恒等式中的应用 (7)2. 3证明恒等式 (8)2. 4 因式分解 (10)2. 5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用 (12)参考文献 (14)0 引言多项式恒等定理在多项式代数中占有非常重要的地位. 对于形式表达式, 多项式)(x f 与)(x g 恒等即: 除去系数为零的项外, 同次项系数全相等. 从函数的观点考察, 数域P 上一个次数不超过n 的非零多项式)(x f 在P 中至多有n 个根, 因此, 当x 取1+n 个不同的值时, 0)(=x f , 那么一定有0)(≡x f . 由此推出, 两个次数均不超过n 的多项式)(x f 和)(x g , 如果对于x 的1+n 个不同的值, 都有)()(x g x f =, 那么)()(x g x f ≡. 关于多项式恒等定理的一些研究见文[3]-[5]. 它不仅是待定系数法的理论依据, 同时在初等数学中还有更广泛的应用. 在这篇文章中, 我们给出了多项式恒等定理相关的理论及证明, 并探讨它在初等数学中的应用.1 多项式恒等定理的有关理论定义1]1[ 设n 是一非负整数. 形式表达式,011a x a x a n n n n +++-- （1）其中n a a a ,,10全属于数域P , 称为系数在数域P 中的一元多项式, 或者简称为数域P 上的一元多项式.定义2 如果在多项式)(x f 与)(x g 中, 除去系数为零的项外, 同次项的系数全相等, 那么)(x f 与)(x g 就称为相等, 记为)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式, 记为0.定义3 两个代数式恒等是指其中的文字用任何值代入时（当然要有意义）总是相等. 常用记号""≡表示恒等.定理1 若数域P 上的多项式)(x f 恒等于零, 即0)(≡x f , 则0)(=x f .证明：对多项式（1）的次数n 用数学归纳法.证定理对于1=n 成立.设)(x f 形如01a x a +. 若对于x 的任意值, 0)(≡x f , 令0=x , 则0)0(0a f ==, 故00=a ；再令1=x , 即01=a , 故)(0)(x x f =. 定理对于1=n 的情况成立.（2）假设定理对于1-=m n 成立, 推证对于m n =成立.设)(x f 形如011a x a x a m m m m +++-- .由于0)(≡x f , 用x 2代x , 得011)2()2()2(a x a x a x f m m m m +++≡-- 01111222a x a x a x a m m m m m m ++++≡--- . （3）由（2）式, 又可得01112222)(2a x a x a x a x f m m m m m m m m m ++++≡-- . （4）由于0)(≡x f ,故0)2(≡x f , .式-（3）式, 得0)12()12(2)12(202222111≡-++-+-------a x a x a m m m m m m m .上式左边是一个1-=m n 情形的多项式, 它恒等于零. 由归纳假定, 必须其所有系数都是零：0)12(211=---m m a , 0)12(2222=---m m a , , 0)12(0=-a m .于是, 0021====--a a a m m . 多项式0)(≡x f , 化为0=m m x a . 令1=x , 又得0=m a .定理2 数域P 上非零多项式)0()(0111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x f )0()(0111≠++++=--m m m m m b b x b x b x b x g恒等的充要条件是)()(x g x f =.证明：充分性. 即由)()(x g x f =推出)()(x g x f ≡.设)()(x g x f =, 即n m =, 且对应系数相等. 那么)(x f 和)(x g 是同一个多项式, 当然是恒等的.必要性. 即由)()(x g x f ≡推出)()(x g x f =.若次数不等, 设m n >, 让)(x f 减去)(x g , 得0)()()(001111≡-+-++-+++++b c x b a x b a x a x a m m m m m n n .等式左边是x 的多项式, 由于它恒等于零, 根据定理1, 0=n a , 与已知矛盾. 故)(x f 与)(x g 次数相等：n m =. 所以)()()()()()(0)(00111110111b a x b a xb a x b a x g x f a x a x a x a x f m m m m m m m m m m -+-++-+-≡-≡++++=-----由定理1, 0,,0,00011=-=-=---b a b a b a m m m m .或001111,,,,b a b a b a b a m m m m ====-- .所以 )()(x g x f =.定理3 多项式恒等定理：数域P 上两个多项式)()(x g x f ≡（或)()(x g x f =）的充要条件是n i b a i i ,,1,0, ==.证明：根据定理2, )()(x g x f ≡的充要条件是)()(x g x f =. 只需证)()(x g x f =的充要条件是n i b a i i ,,1,0, ==. 由定义1, )()(x g x f =, n m =, 且同次项对应的系数相等, 即n i b a i i ,,1,0, ==. 反过来, n i b a i i ,,1,0, ==,0)()()()()(00111=-++-+-=----b a x b a x b a x g x f n n n n n n .故)()(x g x f =.特别0)(≡x f 的充要条件是n i a i ,,1,0,0 ==.定理4 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个, 重根按重数计算.本定理的证明过程参见参考文献[2]第25页.定理5 如果多项式)(),(x g x f 的次数都不超过n , 而它们对1+n 个不同的数121,,,+n ααα 有相同的值, 即)()(i i g f αα=, 1,,2,1+=n i ,那么)()(x g x f =.证明：由定理的条件, 有.1,,2,1,0)()(+==-n i g f i i αα这就是说, 多项式)()(x g x f -有1+n 个不同的根. 如果,0)()(≠-x g x f 那么它就一定是一个次数超过n 的多项式, 由定理3, 它不可能有1+n 个根. 因此, )()(x g x f =.因为数域P 中有无穷多个数, 所以上述结论表明, 多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的. 数域上的多项式既可以用形式表达式来处理, 也可以作为函数来处理. 定理2、定理3和定理5从两个不同的方面阐述了多项式恒等的条件, 它们是等价的.2 多项式恒等定理初等数学中的应用2.1 待定系数法定理2与定理3是多项式代数中一个重要方法——待定系数法的理论依据. 所谓待定系数法, 是假定一个多项式的等式成立, 某些未知的系数先形式的写出来, 再根据变量的某些特定数值或系数之间的关系, 列出以待定系数为未知量的方程组, 解这些方程组就可以得到所求的系数.例1 已知三次多项式)(x f 在x =-1, 0, 1, 2时函数值分别为1, 2, 3, 2, 试写出这个多项式.解：令d cx bx ax x f +++=23)(, 由条件可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++==+-+-2248321d c b a d c b a d d c b a 解之得2,34,0,31===-=d c b a 所以23431)(3++-=x x x f .例2 若多项式c x c b a x c a x f ++++++=)()33()(2与 a x d x d b x g 2)1()()(3++++= 相等, 求d c b a ,,,, 并把多项式写出来.解：由条件知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=+ac d c b a c a d b 210330解之得57,56,57,53-=-==-=d c b a所以5652)()(--==x x g x f .例3 多项式5)(23+++=bx ax x x f 在x =0, 1, 2时的函数值是同一个数, 试写出这个多项式.解：由条件知132465++=++=b a b a解得2,3=-=b a所以523)(23++-=x x x x f .例4 已知多项式7)(+=ax x f , , 且922)()(2++=+x x x g x f . 试求b a ,的值. 解：)7()2()2()7()()(2222b x a x b x x ax x g x f ++++=++++=+ 对R x ∈∀都有922)7()2(222++=++++x x b x a x ,比较等式两边对应的同次项的系数, 得⎩⎨⎧=+=+972222b a 解之得, 2,2±==b a .例5 已知)(x f 为一次函数且34)]([-=x x f f , 求)(x f . 分析：先将)(x f 用一次函数的形式写出, 然后再根据题设条件得到待定系数应满足的条件.解：由题设条件可设)0()(≠+=a b ax x f , 则b b ax a b ax f ++=+)()(b ab x a ++=234-=x比较两边对应项系数得⎩⎨⎧-=+=342b ab a , 解之得⎩⎨⎧-==12b a 或 ⎩⎨⎧=-=32b a . 例6 已知)(x f 是三次函数, 且3)0(=f , 0)0(='f , 3)1(-='f , 0)2(=f 求函数)(x f 的解析式.解：设)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f , 则c bx ax x f ++='23)(2.将已知条件代人得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++='=='=+++===323)1(0)0(0248)2(3)0(c b a f c f d c b a f d f 解以上方程组得23=a , 415-=b , 0=c , 3=d .一般已知函数的类型求函数表达式时, 先用待定系数法设出函数表达式, 然后再用方程（或方程组）求解待定系数.2.2 在三角中恒等式中的应用在三角恒等问题中, 某些时候利用多项式恒等定理可以化繁为简. 例7证明C B A B A C C B A C B A C B A sin cos cos 4)sin()sin()sin()sin(=--++-+++-+++.分析：这是一个三角恒等问题, 常规方法是利用三角函数的有关公式进行恒等变换, 这样运算量比较大, 观察等式可知左右两边均为关于C sin 的一次多项式, 因而我们可以考虑运用多项式恒等定理.证：设)sin()sin()sin()sin()(sin B A C C B A C B A C B A C f --++-+++-+++=,C B A C g sin cos cos 4)(sin =则)(sin C f 与)(sin C g 都是C sin 的一次多项式. 令C =0, 则0)sin()sin()sin()sin()0(sin =--+-++-++=B A B A B A B A f ,00sin cos cos 4)(sin ==B A A g ,故)0(sin )0(sin g f =；令A C =,则B A B B A B B A A f cos 2sin 2)sin()2sin(sin )2sin()(sin =-+-+++=,B A A g cos 2sin 2)(sin =所以)(sin )(sin A g A f =,由定理4, )(sin )(sin C g C f =,即C B A B A C C B A C B A C B A sin cos cos 4)sin()sin()sin()sin(=--++-+++-+++.例8 求证)6(sin )3cos(cos sin 22απαπαα--++的值与α无关.证：令)6(sin )3cos(cos sin )cos ,(sin 22απαπαααα--++=f , 则)cos ,(sin ααf 是关于αsin 与αcos 的次数为2的多项式. 令0=α, 则416sin 3cos)0cos ,0(sin 2=-=ππf ；令3πα=, 则41)36(sin 32cos3cos3sin )3cos,3(sin22=--+=πππππππf ；令3πα-=, 则41)36(sin )3cos()3(sin ))3cos(),3(sin(22=+--+-=--ππππππf .即当3,0πα±=时,41)cos ,(sin =ααf , 由定理4, 原式41≡, 从而)6(sin )3cos(cos sin 22απαπαα--++的值与α无关.2.3 证明恒等式恒等式的证明是中学数学常见的问题之一. “两个多项式)(x f 与)(x g 相等, 对于任意的x , 都有)()(x g x f =.” 根据这条结论, 在证明某些恒等问题时, 我们可以构造两个相等的多项式函数, 然后将特定的数赋值给自变量, 即可得欲证之式. 当等式两边的次数n 较低时, 我们还可以根据定理4, 将1+n 个特殊的函数值进行比较, 即可得欲证之式.例9 已知+∈N n , 求证1321232-=++++n nn n n n n nC C C C .证：设n x x f )1()(+=, 则)()(x g x f =因此)()(x g x f '=', 而1)1()(-+='n x n x f ,因此可得12112)1(--+++=+n n n n n n x nC x C C x n令1=x , 即得所证之式.例10 已知数列{}n a 的通项为12-⋅=n n n a , 其前n 项和为n S , 证明12)1(+-=n n n S .证：设xx x x g x x x x f n n--=+++=1)1()(,)(2则)()(x g x f =(当1≠x 时）因此)()(x g x f '=', 易算得2112)1(1)1()(,321)(-++-='++++='+-x x n nx x g nx x x x f n n n 由)2()2(g f '='即得12)1(21+⋅+-⋅=+n n n n n S , 化简即得欲证之式.例11 证明：)1/()12(1131211210+-=++++++n C n C C C n n n n n n. 证：设132210113121)(++++++=n n n n n nx C n x C x C x C x f , 则 n n n n n n n x x C x C x C C x f )1()(2210+=++++='从而C n x x f n +++=+1)1()(1, 又当0=x 时有C n f ++==110)0( 因此11+-=n C 故11)1()(1+-+=+n x x f n令1=x 原恒等式得证.例12试证恒等式2222))(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----.分析: 如果直接计算相当麻烦, 容易看出, 等式两边都是关于x 的二次多项式. 并且c b a x ,,=时两边的值相等, 所以我们考虑用多项式恒等定理.证：令 ))(())(())(())(())(())(()(222b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a x f ----+----+----=, 则)(x f 与)(x g 都是关于x 的2次多项式. 令a x =则22)(,)(a a g a a f ==, 故)()(a g a f =；令b x =, 则22)(,)(b b g b b f ==, 故)()(b g b f =；令c x =则22)(,)(c c g c c f ==, 故)()(c g c f =. 由定理4, )()(x g x f =. 即2222))(())(())(())(())(())((x b c a c b x a x c a b c b a x c x b c a b a c x b x a =----+----+----.例13 试证恒等式1))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()((=------+------+------+------c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x证：令))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(()(c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x x f ------+------+------+------=则)(x f 的次数不会超过3, 由于1)()()()(====d f c f b f a f , 所以1)(≡x f . 即1))()(())()(())()(())()(())()(())()(())()(())()((=------+------+------+------c d b d a d c x b x a x b c a c d c b x a x d x a b d b c b a x d x c x d a c a b a d x c x b x .2.4 因式分解“若两个多项式相等, 则它们同次的对应项系数一定相等. ”用这条结论可以处理因式分解问题.例14 分解233222+++-+y x y xy x . 解：先分解二次项：))(3(3222y x y x y xy x -+=-+所以原式一定能分解成))(3(b y x a y x +-++的形式. 将它展开得ab y a b x b a y xy x +-+++-+)3()(3222与原式比较对应项的系数, 得⎩⎪⎨⎧==-=+2133ab a b b a 解之得1,2==b a .所以, 原式=)1)(23(+-++y x y x . 例15 分解4925322-++-+y x y xy x 解：先分解二次项：)2)(3(25322y x y x y xy x +-=-+所以原式一定能分解成)2)(3(b y x a y x +++-的形式. 将它展开得ab y b a x b a y xy x +-+++-+)2()3(25322与原式比较对应项的系数, 得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+49213ab b a b a 解之得1,4-==b a .所以, 原式=)12)(43(-++-y x y x . 例16 分解2234+++x x x .解：先试其中一种，即分解为两个二次式，则)2)(1)2)(1(22222234-+-+++++=+++bx x ax x bx x ax x x x x 或（)2)(1(22++++bx x ax x2)2()12()(234++++++++=x b a x ab x b a x2234+++=x x x则⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+021121b a ab b a 解之得，2,1=-=b a 成立，故)22)(11(222234+++-=+++x x x x x x x我们可以看到运用多项式恒等定理, 不但能解决一元二次多项式的因式分解问题, 同时也能解决二元二次多项式的因式分解问题.2.5 多项式恒等定理解决二项式问题的应用二项式定理：n n n n n n n n n n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)(例17 已知n xx )1(2-的展开式中第3项与第5项的系数之比为143, 则展开式中常数项是 .分析由已知条件可求出n 的值. 再利用通项求出r .解: 由14342=n n C C , 得05052=--n n .解得10=n ,5-=n (舍).由222010102101)1()1()(rr r r r rr r xC xx C T ---+-=-⋅=, 令 02220=--rr ,∴ 8=r . 故常数项45)1(210810818==-=+C C T .例18 已知7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,求7210a a a a ++++ 的值. 分析: 展开二项式7766672227177)2()2()2()2(1)21(x x C x C x C x -+-++-+-+=-则72271772102221++++=++++ C C a a a a根据多项式恒等定理，上式即为7)21(x +展开式中各项系数之和. 解: 710a a a +++ 即为7)21(x +展开式中各项的系数之和. ∴218737710==+++a a a .引申：已知n n n x a x a a bx a +++=+ 10)(，求n a a a +++ 10、131-+++n a a a 、),2(20N k k n a a a n ∈=+++ .解:比较系数发现，n a a a +++ 10即为nx b a )(+展开式中各系数之和；131-+++n a a a 即为n bx a )(+展开式中各系数之和与n bx a )(-展开式中各系数之和相减的差的一半，；n a a a +++ 20即为n bx a )(+展开式中各系数之和与n bx a )(-展开式中各系数之和相加的和的一半，所以n b a a a a )(710+=+++])()[(21131n n n b a b a a a a --+=+++-])()[(2120n n n b a b a a a a -++=+++ .二项式定理本身是一个恒等式,对待恒等式通常利用多项式恒等定理(两个多项式恒等,则对应项系数分别相等).致谢本文是在的指导和帮助下完成的, 在此对周老师表示衷心的感谢!参考文献[1]李师正. 多项式代数[M]. 山东人民出版社,1981.[2]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京:高等教育出版社,2003.[3]毕明黎,王丽. 利用求导法证明恒等式举隅[J]. 中学数学研究,4(2008).[4]刘秀英. 多项式恒等定理的应用[J]. 菏泽师专学报,5(1999).[5]赵运锋. 因式分解之浅谈[J]. 甘肃教育,1(2006).。

多项式恒等定理

多项式恒等定理多项式恒等定理是代数学中的重要定理之一，它描述了多项式的恒等关系。

首先，什么是多项式？多项式是一个基本数学概念，它是由系数和幂指数的和组成的表达式。

一般来说，一个n次多项式可以写成以下形式：P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ其中，a₀, a₁, a₂, ... , aₙ为任意实数或复数，x为未知数，n为非负整数。

在这个表达式中，a₀, a₁, a₂, ... , aₙ为多项式的系数，x为多项式的变量，n为多项式的次数。

而多项式恒等定理正是研究多项式之间恒等关系的定理。

多项式恒等定理可以分为两个方向：多项式相等和多项式不等式。

首先，我们来看多项式相等的情况。

在多项式相等的情况下，两个不同的多项式在某些条件下可以证明它们是相等的。

常见的多项式相等定理有：1. 多项式的表示唯一性定理：对于给定的一元多项式P(x)，它的表示形式是唯一的，即不存在两个不同的多项式Q(x)和R(x)，使得P(x) = Q(x) = R(x)成立。

2. 多项式根与系数关系定理：对于给定的一个n次多项式P(x)，它的根与系数之间存在一种确定的关系。

例如，对于二次多项式ax² + bx + c，它的根x₁和x₂满足x₁ + x₂ = -b/a，x₁x₂ =c/a。

这个定理可以通过将多项式P(x)进行因式分解来证明。

接下来，我们来看多项式不等式的情况。

在多项式不等式的情况下，多项式之间的关系是不等关系，即存在一个条件，使得某个多项式大于或小于另一个多项式。

常见的多项式不等定理有：1. 多项式的增减性定理：对于给定的一个n次多项式P(x)，当x在一个区间内递增或递减时，多项式的值也随之递增或递减。

这个定理可以通过多项式的导数和导函数的性质来证明。

2. 多项式不等性定理：对于给定的两个不同的多项式P(x)和Q(x)，可以通过比较它们的系数和次数的关系来确定它们的不等关系。

多项式恒等(3篇)

第1篇一、多项式恒等式的定义多项式恒等式是指两个或多个多项式之间成立的关系，这种关系在所有实数范围内都成立。

换句话说，如果两个多项式A(x)和B(x)满足A(x) = B(x)对于所有x的值，那么我们就称A(x)和B(x)之间有一个多项式恒等式。

二、多项式恒等式的性质1. 对称性：多项式恒等式具有对称性，即如果A(x) = B(x)成立，那么B(x) =A(x)也成立。

2. 传递性：如果A(x) = B(x)和B(x) = C(x)都成立，那么A(x) = C(x)也成立。

3. 可逆性：如果A(x) = B(x)成立，那么B(x) = A(x)也成立。

4. 可加性：如果A(x) = B(x)和C(x) = D(x)都成立，那么A(x) + C(x) = B(x)+ D(x)也成立。

5. 可乘性：如果A(x) = B(x)和C(x) = D(x)都成立，那么A(x)C(x) = B(x)D(x)也成立。

三、多项式恒等式的应用1. 简化代数表达式：多项式恒等式可以用来简化复杂的代数表达式，使问题更加容易解决。

2. 求解方程：多项式恒等式在求解一些特定类型的方程时非常有用，如因式分解、求根等。

3. 推导公式：多项式恒等式可以帮助我们推导出一些重要的数学公式，如多项式长除法、二项式定理等。

4. 证明定理：多项式恒等式在证明一些数学定理时也起到关键作用。

四、著名的多项式恒等式1. 二项式定理：二项式定理是多项式恒等式中最著名的之一，它描述了多项式(a + b)^n的展开式。

具体公式如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ... + C(n, n-1)a^1b^(n-1) + C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, k)表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。

2. 欧拉公式：欧拉公式是复数领域中的一个重要恒等式，它将指数函数、三角函数和虚数单位i联系起来。

§4.2多项式的恒等变形

§4.2 多项式的恒等变形教学目的:使学生掌握多项式的有关理论及多项式变形的方法,主要是解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

教学重点与难点：解析式的求法——拉格朗日插值公式，因式分解的常用方法。

课时安排：2课时。

教学容如下：一、多项式的基本概念多项式是由数与字母进行+、—、⨯运算而构成。

定义设n 是一非负整数，形如1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 的多项式，当0n a ≠时，叫做一元n 次多项式。

所有系数全为零的多项式叫做零多项式，记为0。

零多项式是唯一不定义次数的多项式。

二、多项式的恒等定理（多项式的基本定理）定理1 如果在给定的数域里，对于变数字母的任意值，多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 的值都等于零，那么这个多项式的所有系数都等于零。

证明用数学归纳法（1）当n=1时，10()f x a x a =+。

因为对于x 的任意值，f(x)的值都等于零，所以令x=0，即得00a =。

由此得1()0f x a x =≡，再令x=1，则有10a =。

因此，命题对于一次多项式成立。

（2）假定命题对于次数低于n 的多项式成立，现在来证明对于n 次多项式也成立。

如果对于x 的任意值，都有1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 0≡ ①在等式①中，以2x 代x ，得11110(2)2220n n n n n n f x a x a x a x a ---=++++≡L ②①2n ⨯—②，得112221202(21)2(21)(21)0n n n n n n n a x a x a -------+-++-≡L ③ 这是一个次数低于n 次的多项式，它恒等于零，依归纳假定，它的所有系数都等于零，即122122(21)0,2(21)0,,n n n n a a -----=-=L02(21)0,,(21)0n k k n n ka a ---=-=L 因为20,210(1,2,,)n k k k n -≠-≠=L 所以 12100,0,,0,0n n a a a a --====L代入①得，0n na x ≡，令x=1,得0n a = 根据（1）、（2），命题对于任意的一元多项式都成立。

多项式恒等定理

多项式恒等定理多项式恒等定理是代数学中的一个重要定理，它关于多项式的等价与相等的性质进行了精确的描述。

本文将介绍多项式恒等定理的基本概念、证明过程和应用，并深入探讨其在数学领域的重要性和实际应用。

一、多项式恒等定理的基本概念多项式是由若干项组成的代数表达式，每一项由系数与幂的乘积组成。

多项式的恒等定理是指当两个多项式在所有取值下都相等时，它们可以视为同一个多项式。

换句话说，恒等定理描述了当多项式的各项系数相等时，这两个多项式是完全相同的。

根据多项式的恒等定理，我们可以通过比较各项系数的值来判断两个多项式是否相等或等价。

这为解决方程、求解代数问题提供了有力的工具和方法。

二、多项式恒等定理的证明过程证明多项式的恒等定理通常基于代数的基本运算法则和等价变形的原理。

下面以一个简单的例子来说明证明多项式恒等定理的一般过程：假设有两个多项式P(x) = x^2 + 2x + 1和Q(x) = (x + 1)^2。

首先，我们可以对多项式Q(x)进行展开，得到Q(x) = x^2 + 2x + 1。

观察到这两个多项式的各项系数完全相同，即P(x)与Q(x)在所有取值下都相等。

据此，我们可以得出结论：P(x) ≡ Q(x)，即P(x)恒等于Q(x)。

三、多项式恒等定理的应用多项式恒等定理在数学领域有着广泛的应用。

以下列举了其中几个重要的应用领域：1. 代数方程求解：多项式恒等定理可用于解决多项式方程的根的问题。

通过比较各项系数，我们可以判断两个多项式是否相等，从而得到方程的解。

2. 多项式拟合：多项式恒等定理可用于拟合实际数据。

通过将已知数据点带入多项式方程，可以得到拟合曲线，从而对未知数据进行预测和估计。

3. 几何推理：多项式恒等定理可用于几何证明和推理。

通过建立几何模型，并运用多项式的恒等定理得出结论，可以推导出几何问题的解答。

四、多项式恒等定理的重要性和实际应用多项式恒等定理在代数学和数学分析中扮演着重要的角色。

数学中的恒等变换与证明方法

配方法
用于解二次方程、二次方程的近似解以及解一般的一元高次方程。
三角换元法
用于解含有三角函数或者可以转化为三角函数的方程。
参数法
用于解某些不能直接求解的方程，通过引入参数，将问题简化。
三角函数中的恒等变换与证明
和差角公式
用于证明三角函数中的和差角之间的恒等关系。
倍角公式
用于证明三角函数中的二倍角之间的恒等关系。
化简分式
在分式的化简中，利用恒等变换可以找到分式的最简形式。
解方程
在解方程时，通过恒等变换可以将方程转化为更容易求解的形式。
证明数学命题
在证明数学命题时，通过恒等变换可以将复杂的命题转化为简单的形式，便于证明和理解。
02
证明方法
直接证明
定义
直接证明是一种通过直接推理，从已知条件推导出结论的证明方法。
步骤
首先明确已知条件和待证明的结论，然后根据定义、定理或已知事实进行推理，最后得出结论。
例子
在三角形ABC中，已知AB=AC，求证三角形ABC 是等腰三角形。
间接证明
定义
间接证明又称反证法，是通过否定或质疑某些假设，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
步骤
首先假设待证明的结论不成立，然后根据已知条件或假设进行推理，最后得出矛盾的结论。
数学中的恒等变换与证明方法
目录
• 恒等变换 • 证明方法 • 恒等式证明 • 等式证明 • 不等式证明 • 应用实例
01
恒等变换
定义与性质
定义
恒等变换是指在进行数学运算或证明时，通过某种方法将一个式子或命题转化为另一个式子或命题，它们在形式上完全相同，只是符号或字母的排列顺序发生了变化。