[推荐学习]高中数学 例说“二分法”思想的应用学法指导
高三数学下册《二分法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二分法的定义及基本原理，了解其在数学及实际问题中的应用。
2.学会运用二分法求解方程、不等式及实际问题，提高解题能力。
3.掌握二分法的迭代过程，能够编写简单的程序实现二分法求解。
4.能够分析二分法的优缺点，了解其在不同场景下的适用性。
（2）二分法的优点和缺点，如高效性、适用范围、局限性等。
（3）如何优化二分法的查找过程，如避免整数溢出、减少不必要的比较等。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计具有针对性和层次的练习题，让学生在实际操作中掌握二分法的应用。
2.教学活动：布置以下练习题，让学生独立完成：
（1）在有序数组中查找一个特定的元素。
（2）如何改进二分法，使其在特定场景下更加高效？
6.小组讨论：组织学生在课后进行小组讨论，分享自己在作业过程中遇到的问题和解决方法，培养合作交流能力和团队精神。
作业要求：
1.学生需认真完成作业，注重解题过程的规范性和准确性。
2.作业完成后，学生应进行自我检查，确保答案正确、步骤清晰。
3.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和方法，及时给予反馈和指导。
（2）原理：利用有序数组的特性，每次查找时比较中间元素与目标值，根据比较结果确定下一次查找的范围。
（3）步骤：确定初始的查找范围；计算中间位置；比较中间元素与目标值；根据比较结果调整查找范围；重复上述步骤直到找到目标值或确定目标值不存在。
（4）应用场景：适用于有序数组的查找，如排序后的数据查找、数据库索引查找等。
2.教学方法：采用讲解与示例相结合的方式，让学生在理解二分法原理的基础上，学会实际应用。
（三）学生小组讨论
二分法解决问题·的·实例
二分法解决问题·的·实例
二分法是一种常用的算法，适用于解决各种问题。
下面我将给出几个实例，展示二分法在不同领域的应用。
1. 查找问题，二分法常用于在有序数组中查找特定元素。
假设我们有一个升序排列的数组，要查找某个元素是否存在于数组中。
我们可以将数组分为两半，然后判断目标元素与中间元素的大小关系，进而确定目标元素可能存在的区间。
然后再对该区间进行二分查找，直到找到目标元素或确定不存在。
2. 数值逼近问题，二分法也可用于数值逼近问题，例如求解方程的根。
假设我们要解一个单调函数的方程，我们可以选择一个区间，然后计算区间的中点。
通过判断中点的函数值与零的关系，可以确定根存在的区间。
然后再对该区间进行二分逼近，直到满足精度要求或者找到根。
3. 图形处理问题，二分法在图形处理中也有广泛应用。
例如，在计算机图形学中，可以使用二分法来进行图像边缘检测。
通过将图像的灰度值进行二分，可以将图像分为两个区域，然后通过比较两个区域的灰度差异来确定边缘。
4. 数据分析问题，二分法在数据分析中也有应用。
例如，在有序数据集合中，可以使用二分法来确定中位数。
通过将数据集合分为两半，然后比较中间元素与目标中位数的大小关系，可以缩小搜索范围，直到找到中位数。
总结起来，二分法是一种高效的算法，可以应用于各种问题的解决。
无论是查找问题、数值逼近问题、图形处理问题还是数据分析问题，二分法都能提供快速、准确的解决方案。
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程
高中数学如何求解二分法和牛顿迭代法方程在高中数学中，求解方程是一个重要的内容，而二分法和牛顿迭代法是两种常用的求解方程的方法。
本文将介绍这两种方法的原理、应用以及解题技巧，并通过具体的例题来说明其考点和解题思路。
一、二分法的原理和应用二分法是一种通过不断缩小搜索范围来逼近方程根的方法。
其基本原理是将待求解的区间不断二分，判断根是否在左半区间还是右半区间，并将搜索范围缩小至根的附近。
具体步骤如下：1. 确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c=(a+b)/2；3. 判断f(c)与0的关系，若f(c)=0，则c为方程的根；若f(c)与f(a)异号，则根在区间[a, c]内，否则根在区间[c, b]内；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求或找到根。
二分法的应用非常广泛，例如在求解函数的零点、解方程、求解最优化问题等方面都有应用。
下面通过一个具体的例题来说明二分法的应用和解题技巧。
例题1：求方程x^3-2x-5=0的根。
解题思路：1. 首先我们需要确定初始区间[a, b]，使得f(a)与f(b)异号。
根据题目中的方程，可以取a=1，b=2，计算f(1)=-6和f(2)=1，满足条件；2. 计算区间中点c=(a+b)/2=1.5；3. 计算f(c)=f(1.5)=-1.375，与0的关系异号，说明根在区间[1, 1.5]内；4. 重复步骤2和步骤3，不断缩小搜索范围，直到满足精度要求或找到根。
通过不断迭代，我们可以得到方程的根为x=1.709。
这个例题展示了二分法的基本思路和解题技巧，通过不断缩小搜索范围，我们可以逼近方程的根。
二、牛顿迭代法的原理和应用牛顿迭代法是一种通过不断迭代逼近方程根的方法，其基本原理是利用函数的切线来逼近根的位置。
具体步骤如下：1. 确定初始点x0；2. 计算函数f(x)在x0处的导数f'(x0)；3. 计算切线的方程y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；4. 求切线与x轴的交点x1，即x1=x0-f(x0)/f'(x0)；5. 重复步骤2到步骤4，直到满足精度要求或找到根。
高一数学之：二分法求方程的近似解
高一数学之：二分法求方程的近似解一：知识点精析1、二分法定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(注意如下两点：①二分法的基本思想：逼近思想；②用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用。
)2、给定精确度ε，用二分法求方程的近似解的步骤：第一步：确定闭区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；第二步：求区间(a，b)的中点c；第三步：计算f(c)；(1)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x。
∈(a，c))；(3)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x。
∈ (c，b))。
第四步：判断是否达到精确度ε：即若|a-b|<c，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二步至第四步。
二：典例讲解题型一：用二分法判断方程根所在区间问题例1、用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x。
=2.5，那么下一个有根的区间是_____________________。
题型二：用二分法求函数零点问题例2 求函数发f(x)＝x3+2x2-3x-6的一个为正数的零点(精确度o.01)．题型三：用二分法求方程近似解问题例3、利用计算器求下列方程的近似解(精确度0.1)．（1）x2-2x-1=0 （2）2x3+3x-3=0题型四：用二分法解决实际应用问题例6 如果在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点就要爬一次电线杆，10 km长大约有200多根电线杆呢! 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理?例7、如图，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为J cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子．(1)求出盒子的体积y以z为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长工是多少(精确到o.1 cm)?三：素质测试1、下列图象与z轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2、下列关于二分法叙述正确的是( )A、用二分法可求所有函数零点的近似值B、用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C、二分法无规律可循，无法在计算机上完成D、只有在求函数零点时才用二分法3、下列函数不能用二分法求零点的是( )A、f(x)＝2x+3B、f (x)＝lnx+2x-6C、f(x)＝x2-2x+1D、f(x)＝2x-14 、函数f(x)＝5-x2的负数零点的近似值(精确到o.1)是( )A-2. B-2.1 C．-2.2 D．-2.35、用二分法研究函数f(x)＝x3+3x-1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0．可使其中一个零点x∈____________，第二次应计算____________以上横线应填的内容为( )A、(0，0.5) f(0.25)B、(0，1) f(0.25)C、(0.5，1) f(0.75)D、(0，0.5) f(0.125)27、f(x)是定义在区间[-c，c]上的奇函数，其图象如图所示．令g(x)＝af(x)+b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是( )A若a<0，则函数g(X)的图象关于原点对称B若a＝1，0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根C若a＝-2，b=0，则函数g(x)的图象关于y轴对称d若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根xA(-1，0) B(0，1) C (1，2) D(2，3)9、某方程有一无理根在区间D＝(1，2)内，若用二分法求此根的近似值，则将D至少等分___________次后，所得近似值可精确到0．01．=0在(-∞，o)内是否存在实数根?并说明理由．10、方程x2-1x。
二分法及其应用
二分法的思想为：首先确定有根区间，将区间二等分，通过判断F(x)的符号和单调性，逐步将有根区间缩小，直至有根区间在所求范围内，便可求出满足精度要求的近似根。
对于在区间{a,b}上连续不断，且满足f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间二等分，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
用二分法的条件f(a)f(b)<0表明二分法求函数的近似零点都是指变号零点。
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.2 求区间(a,b)的中点c.3 计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.4 判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.。
新课程人高中数学必修件用二分法求方程的近似解
实际应用案例分析
经济学领域
01
在经济学中，二分法可用于求解最优化问题，如企业利润最大
化、消费者效用最大化等。
工程学领域
02
在工程学中，二分法可用于求解各种实际问题的数学模型，如
结构设计、电路分析等。
计算机科学领域
03
在计算机科学中，二分法常用于算法设计和优化，如搜索算法
、排序算法等。
05 误差评估与结果验证方法
新课程人高中数学必 修件用二分法求方程
的近似解
汇报人：XX 20XX-02-03
目录
• 引言 • 二分法基本概念与原理 • 方程求解方法与技巧 • 实例演练与案例分析 • 误差评估与结果验证方法 • 总结回顾与拓展延伸
引言ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
背景与意义
01
数学在实际问题中的应用
二分法是数学中的一种重要思想方法，广泛应用于求解 方程的近似解，对于解决实际问题具有重要意义。
解其他根。
利用导数信息
当函数可导时，可以利用导数信 息判断函数在区间内的单调性， 从而更准确地确定有根区间和选
择合适的初始区间。
04 实例演练与案例分析
简单方程求解过程展示
选取合适区间
确定方程的有根区间，这 是二分法的前提。
逐步逼近
通过不断将区间一分为二 ，并判断函数值符号，逐 步缩小有根区间范围。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
A
二分法的基本思想
通过不断缩小解所在区间，逐步逼近方程的解 。
二分法的实施步骤
确定初始区间、计算区间中点、判断中点 是否为解、根据函数值符号确定新的解所 在区间，并重复此过程。
B
C
二分法解决问题的实例
二分法解决问题的实例二分法是一种常用的问题解决方法，特别适用于在有序列表或区间中查找目标值的情况。
下面我将举几个实例来说明二分法的应用。
1. 查找有序数组中的目标值，假设有一个升序排列的数组，我们想要在其中查找某个特定的值。
首先，我们取数组的中间值，与目标值进行比较。
如果中间值等于目标值，则找到了目标值；如果中间值大于目标值，则说明目标值可能在数组的左半部分，我们将在左半部分继续进行二分查找；如果中间值小于目标值，则说明目标值可能在数组的右半部分，我们将在右半部分继续进行二分查找。
通过不断缩小查找范围，最终可以找到目标值或确定目标值不存在。
2. 寻找旋转有序数组中的最小值，假设有一个旋转有序数组，即原本是升序排列的数组被旋转了一定的次数。
我们的目标是找到旋转后数组中的最小值。
同样地，我们可以通过二分法来解决这个问题。
首先，我们取数组的中间值与最右边的值进行比较。
如果中间值小于最右边的值，则说明最小值可能在数组的左半部分，我们将在左半部分继续进行二分查找；如果中间值大于最右边的值，则说明最小值可能在数组的右半部分，我们将在右半部分继续进行二分查找。
通过不断缩小查找范围，最终可以找到旋转有序数组中的最小值。
3. 求解方程的根，假设有一个单调递增的函数，我们想要求解方程 f(x) = 0 的根。
通过二分法，我们可以选择一个合适的区间，在区间的两个端点分别计算函数值。
根据函数值的正负性，我们可以确定根可能存在的位置。
然后，我们将区间一分为二，选择新的区间进行计算，重复上述步骤，直到找到满足要求的根。
总结来说，二分法通过不断缩小查找范围，将问题规模减半，从而高效地解决问题。
它在查找有序列表中的目标值、寻找旋转有序数组中的最小值以及求解方程的根等问题中都有广泛的应用。
例谈二分法的应用
值．
中点 值 ｚ
２５ ．
２ ７ ．５ ２６５ ． ２ ２ ５ ２ ．６５
＿（ ） 号 ， 符
ｆ（． ） Ｏ ２５＜
，２ ７ ） ０ （．５＞ （．２） Ｏ ２ ６ ５＞ （ ． ６ ５＞ Ｏ ２５２）
中学 教 学 参 考
复 习指津
例
谈
二 分
法
的 应
用
河 北邯郸 市峰峰 春光 中学（ ５ ２ Ｏ 王亚 军 ０６Ｏ ）
在二分法中 ， 由于不 断取 中点 ， 区间不断缩小 ， 区间
方便 不 妨取 区间 的 端 点作 为近 似 解 ．
的中点逐渐逼近方程根 （ 函数零点 ） 或 的精确值 ， 以二 所 分法体现 了无 限逼近的极 限思想 ； 二分法本 质上又是 一
精确度定义可知 Ｉ ＜ｅ 又 ｌ 一３ ｌ Ｉ ， 一ｎ ｌ ， ｚ ｂ Ｅ ≤ 一ａ Ｉ ｂ
所以 一ｚ ｌ ≤ ＜ｓ 即 ， ＜０ Ｏ ， ２＞ ．ｌ则
－ ３ 一１ ＞０ 由零 点存 在性定理 知 ， 厂 ） ０ ， （ 区间 （ ， ） ２ ３ 可作 初 始 区间 （ ，）用二分法逐次计算列表如下 ： ２３，
（ ） ｆ １＜０ ＿ １ ５ ＞Ｏ根据零点存在性定 量可 ２ 由 （ ） ， （． ） ， 厂
（ ，） ２ ３
（ ．５ ３） ２ ， （． ２ ７ ２ ５， ． ５） （ ． ，． ２ ） ２ ５ ２６ ５
知 ， 间［ ，． ］ 区 １ １ ５ 可作 为初始 区 间， 二分法 逐次计算 ， 用
厂 １ ３ ３ ５＞ Ｏ （．４７）
４
５
（． ，． ６ ５ ２５ ２ ５ ２ ）
高中数学教师备课必备系列函数的应用：专题二 用二分
各位老师：大家好！今天我说的课是------普通高中课程标准实验教科书数学必修1第三章第一节《用二分法求方程的近似解》。
下面，我将从教材地位学情分析教学理念教学过程等多个方面，重点为大家阐明两个问题，即①怎么教②为什么这样教，希望能得到各位专家、老师的指导。
一、教学地位分析1、教材的地位和作用用二分法求方程的近似解》是新课程中第三章-----《函数与方程》----第一节的新增内容，体现了本套教材的数学应用意识，所以，数学应用意识的培养------与数学思想的渗透------是本章教学的重要任务。
为了帮助学生认识函数与方程的关系，教科书分三个层面来展现：从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根与函数零点的关系，侧重点在于学习零点存在定理.通过用二分法求方程的近似解，体现函数的零点-----与方程的根之间的关系，让学生学会用二分法求方程的近似解.通过建立函数模型--------以及运用模型解决问题，体会二分法在生活中运用的巧妙性与实用性.要求学生根据具体函数的图像，借助计算器用-----二分法求相应方程的近似解，沟通了函数、方程、不等式等高中知识，体现了二分法的工具性和实用性，同时也渗透了函数与方程、数形结合、算法思想和逼近思想.所以，数学应用意识的培养------与数学思想的渗透------是本章教学的重要任务。
二分法是一个重要的数学思想方法，至少蕴涵着三个思想：近似的思想----逼近的思想------和算法的思想。
近似思想是数学应用的一个重要的指导思想，在很多时候，我们只需要给定精度的近似值，--------而且利用二分法，在理论上我们可以无限“逼近”任意精度下的解，从而使得误差任意小，-----另外，二分法具有明显的程序化特征，可以让学生提前感受程序化处理问题的过程，这是算法的重要思想。
本课“承前”是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸，“启后”是------渗透近似思想、逼近思想-----------和程序化算法思想的重要内容，同时，本课为高二所要学习的必修二-------《程序框图和算法思想》奠定了必要的基础。
全国高中数学优秀课评选：用二分法求方程的近似解教学设计教案或说明
f(1.375)= –0.109<0,f(1.4375)= 0.066>0,
1.375<x4<1.4375x4=1.40625 ... ...
2．归纳总结，提炼升华
二分法（bisection )：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断的把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法。
引导学生体会“二分法”的逼近原理，理解二分法的算法思想，明确二分法求方程近似解的具体步骤．
通过学生熟悉的 的近似值的求解，将“二分”的方法运用到数学中，体验思想方法的普遍性，进一步把握“二分法”的内涵意义．
授课班级
课题
§3.1.2用二分法求方程的近似解
课型
新授课
学
习
目
标
知识
与
技能
1.了解“二分法”是求方程近似解的常用方法；
2.数学实验：猜测随机数字，体会“二分”的思想
过程
3.提炼数学关系：抽象数学模型
−(0, 100)+，x1=50
−(0, 50)+，x2=25
−(0, 25)+，x3=12
−(12, 25)+，x4=18
−(12, 18)+，x5=15
−(15, 18)+，x6=16 (17)
温故知新
引入新课
创设情境
（2）若f(a)f(c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)）;
（3）若f©f(b)<0，则令a=c（此时零点x0∈(c,b)）.
(整理版)二分法的应用你了解多少
二分法的应用——你了解多少函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。
本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。
一、求方程的近似解例1.证明方程6-3x=2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解〔精确到0.1).证明: 设函数使f(x)=2x+3x-6.∵f(l)=-1<0,f(2)=4>0,又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)=2x＋3x-6在区间[1,2]有唯一的零点，那么方程6-3x=2x在区间[1,2]有唯一一个实数解．设该解为x0，那么x0∈[1,2]，取x1=1.5，f(1.5)=0.33>0，. F(1)·f(1.5)<0，∴ x0 ∈(1,1.5)．取x2＝1.25，f(1.15)＝0.128＞0，f(1)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1,1.25)．取x3＝1.125，f(1.125)＝-0.44＜0，f(1.125)·f(1.25)＜0，∴x0∈(1.125,1.25)．取x4＝1.187 5,f(1.187 5)＝-0.16＜0，f (1.187 5)·f(1.25)＜0，∴.x0∈(1.187 5,1,25)．∵|1.25-1.87 5|=0.062 5＜0.1，∴可取x0＝1.2，那么方程的实数解为x0=1.2.点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器．二、判断方程解的个数例2.函数f (x)在其定义域上是单调函数，证明f(x)至多有一个零点．分析:不妨设f(x)在R上是增函数，为证明f(x)=0至多有一个实根，考虑用反证法证明．证明: 假设f(x)=0至少有两个不同的实根x1,x2，且不妨设x1<x2，由题意得f(x1)＝O,f(x2)=0, ∴f(x1)＝f(x2) ①∵f(x)在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，由x1＜x2，那么f(x1)<f(x2)②因此①②矛盾，假设不成立，故f(x)=0至多有一个零点．三、求一定条件下的函数的零点f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点〔精确到0.1〕分析：用二分法，要注意到初始区间的选取。
二分法在生活中的实际应用
二分法在生活中的实际应用哎呀，说到二分法，这可真是个神奇的东西！大家有没有试过在网上买东西时，翻来覆去看评论，最终还是得不着所望？这时候，你就会发现，二分法能帮你省不少心。
想象一下，你在选择一款新手机，网上的评论多得像天上的星星，你脑袋都大了。
这时，用二分法，先把评论分成好和坏两大类。
好评那一堆，虽然是听得人心里美滋滋的，但你得看看坏评，才能真知道这手机到底行不行。
然后再从好评中挑出最靠谱的，再从坏评中选出最刺耳的，哇，瞬间清晰很多，对吧？这就是二分法的魅力所在，简单又高效。
再说说找工作的事儿，谁不是在这个过程中碰壁的呢？简历发了十几份，结果还是石沉大海，心里那个郁闷啊！这时候，咱们也可以用二分法来分析。
比如，把感兴趣的公司分成两类：大公司和小公司。
然后各自再细分，比如说大公司里再分出科技类和金融类，小公司里再分出创业型和传统型。
慢慢地，你就能把自己的选择范围缩小，瞄准那些最合适的目标。
这样做不仅能省时省力，还能让你更加专注于提升自己的实力，不是更好嘛？二分法在生活中其实还有很多地方可以用。
比如你晚上想吃什么，哎呀，光是想这个问题就够让人头疼的了。
你可以先把食物分成两类：热菜和冷盘。
热菜里再分出米饭和面食，冷盘里分出水果和沙拉。
这样一来，你心里就有谱了，是不是？再想想你那一天的状态，今天是不是特别想吃点清淡的，还是想来点热乎的。
通过这种方式，最后再缩小到一两种选择，简单又直接，完全没必要纠结一晚上。
再比如说，和朋友出去玩，难免会碰到选择去哪个地方的问题。
尤其是几个人的意见往往就像打仗一样，争得不可开交。
这时候，可以试试二分法，先把目的地分成城市和郊区，然后再分别选出大家最喜欢的几处。
比如城市里有博物馆和购物中心，郊区可以选风景区和农场，慢慢淘汰，最后能达成共识，愉快地出发，大家都能玩得开心，不是美滋滋吗？再说说家里琐事，比如说整理家务。
你看，家里东西多得像个小仓库，真是让人眼花缭乱。
先把东西分成用得着和用不着的。
高中数学 例说 二分法 思想的应用学法指导 试题
例说“二分法〞思想的应用“二分法〞是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。
利用“二分法〞可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。
一、利用“二分法〞思想巧证不等式例1. 三个正数a 、b 、c ，满足b a c 2+>，求证ab c c a ab c c 22-+<<--。
解析：从所要证的目的的构造上看，可把ab c c 2--、ab c c 2-+看作一元二次方程0ab cx 2x 2=+-的两个根，同时构造一个区间)ab c c ,ab c c (22-+--。
设ab cx 2x )x (f 2+-=利用“二分法〞思想，要证目的，只需证a 在区间)ab c c ,ab c c (22-+--内即可。
如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证0)a (f <因0)b c 2a (a ab ca 2a )a (f 2<+-=+-=所以a 在区间内，即ab c c a ab c c 22-+<<--图1二、利用“二分法〞思想巧证一元二次方程根的分布 例2. 函数c bx 2ax 3)x (f 2++=，0c b a =++，0)1(f ,0)0(f >>，求证：〔1〕0a >且1ba 2-<<-； 〔2〕方程0)x (f =在〔0，1〕内有两个实根证明：〔1〕利用0)1(f ,0)0(f >>及0c b a =++，容易证明〔略〕。
〔2〕一般地，要证方程0)x (f =在〔0，1〕内有两个实根，只需证明：①△0≥②对称轴落在区间〔0，1〕内③区间〔0，1〕端点f(0)，f(1)的符号。
而采用“二分法〞，其解法简洁明快，只需证明：①区间〔0，1〕两个端点f(0)，f(1)的符号都为正〔题目条件已给定〕②在区间〔0，1〕内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x 轴有两个不同的交点〔因a>0抛物线开口方向向上〕。
高中数学例析二分法的应用学法指导
高中数学例析二分法的应用二分法在求函数的零点，求方程的近似解、求函数图象的交点的横坐标等方面有广泛的应用，本文列举几例，供同学们参考。
一、确定函数的零点个数例1 二次函数c bx ax y 2++=中0ac <，则函数的零点个数是（ ）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定分析：可以利用函数图象或方程的判别式。
解法1：由0ac <，得0ac 4b 2>-=∆。
∴方程0c bx ax 2=++有两个不相等的实根。
∴函数c bx ax y 2++=有两个零点，选B 。
解法2：∵0)0(f ·a ac <=， ∴⎩⎨⎧<>,0)0(f ,0a 或⎩⎨⎧><.0)0(f ,0a 不论哪种情况，二次函数图象与x 轴都有两个交点，所以函数有两个零点，选B 。
评注：解答形如c bx ax y 2++=的零点判断问题时，注意对a 的讨论。
二、用二分法求方程的近似解例2 借助计算器用二分法求方程03x x ln =-+在区间)3,2(内的根（精确到0.1）。
解：令3x x ln )x (f -+=，即求函数)x (f 在)3,2(内的零点。
∵03ln )3(f ,012ln )2(f >=<-=，∴可取)3,2(作为初始区间。
∵2.221875.2,2.21875.2≈≈，∴所求方程的根为2.2（精确到0.1）。
评注：用二分法求方程的近似解，应先求出相应函数的零点的近似值，再求出近似解，这是求方程根的近似值的常用方法。
应注意利用二分法求方程的近似解时，取不同的初始区间，其计算就有简繁之分，一般地，可用特殊值代入计算并结合估算寻找一个使计算最简单的初始区间，其实，利用1.003.0|1875.221875.2|<≈-可以判断精确度。
三、用二分法求两函数图象交点的横坐标例3 借助计算器或计算机，用二分法求函数17)x (g ,12)x (f x x -=+=的图象交点的横坐标（精确到0.1）。
高一数学教案：二分法
y
O
O
x
（B）
x
（A）
y
y
O
O
x
x
（C）
（D）
感悟交流
• 本堂课你学到了哪些知识？
• 还存在哪些问题？
1、利用计算器，求下列方程的近似解
（） lg 2 x x 1 1
（ ）10 x 3 x 2
思考：由第(2)题及课本 P78例2，你能得到什么 结论？ 2、在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防 洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km 长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困 难很多。每查一个点要爬一次电线杆子，10km长， 大约有200多根电线杆子。请你帮他设计一个维 修方案迅速查出故障所在？
( 2)若f (a ) f ( x1 ) 0，则方程的根x0 (a , x1 )
( 3)若f (b) f ( x1 ) 0，则方程的根x0 ( x1 , b)
4、重复上述步骤，直到 区间两端点按指定 精确度取近似值相等时 ，该近似值为方程 的近似解
巩固反馈
下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（ B ）
想一想
如何确定初始区间（a,b)
估算或作图
总结提炼
二分法求解方程近似解的基本步骤
1、利用估算或作图的方 法，确定初始区间 a , b), ( 使f ( a ) f ( b ) 0
ab 2、求区间 a , b)的中点x1 ( 2 3、计算f ( x1 )
(1)若f ( x1 ) 0，x 3 3 x 1 0在(0,1)上 是否有实数解？若有, 有几解？
解：设f ( x ) x 3 3 x 1 由f ( 0) 0, f (1) 0, 可知有解
SXA317高考数学必修_话说“二分法”
话说“二分法”“二分法”是现行教材中一个新增内容，它的主要用途在于求函数的零点、求方程的近似解以及求两函数图象交点的横坐标等。
在学习的过程中，我们应重视从本质上理解和掌握“二分法”的实质，合理准确地使用“二分法”解题。
一．“二分法”使用三注意1．要注意适用条件若用“二分法”求函数y=f(x)零点的近似值，必须具备两个条件：①函数y=f(x)在区间[a,b]上图象要连续不断。
例如函数⎩⎨⎧>--<+=)2(5)1(223x x x x y 图象不连续，要求它在[0,3]上零点的近似值，区间的中点1.5根本就不在定义域内，不能用“二分法”。
②必须满足0)()(<⋅b f a f ，这说明y=f(x)在区间[a,b]上一定有零点。
否则若0)()(>⋅b f a f ，则y=f(x)在区间[a,b]上有无零点不能保证，不能用“二分法”。
2．注意区间[a,b]长度要尽可能小区间[a,b]长度直接影响“二分”的次数。
一般地，区间越长“二分”次数越多，区间越短“二分”次数越少。
我们在选择区间[a,b]时要使其长度尽可能小以减少运算量。
例如用“二分法”求函数2ln )(--=x x x f 零点的近似值，由于f(2)<0,f(4)>0,f(3)<0，在选区间时最好选(3,4)而不要选(2,4)。
3．切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求例1．求方程031=-+x x 在区间（2，3）上的近似解（精确到0.01）。
解：设3)(1-+=x x x f ，则0)3(,0)2(3121>=<-=f f ，取（2，3）的中点2.5，求得01.0)5.2(<-=f ，因此)3,5.2(0∈x ；用“二分法”逐次计算，得到)75.2,5.2(0∈x ，)625.2,5.2(0∈x ，)625.2,5.2(0∈x ，)625.2,5625.2(0∈x ，)625.2,59375.2(0∈x ，)625.2,609375.2(0∈x ，)625.2,6171875.2(0∈x ，)62109375.2,6171875.2(0∈x ，此时区间两端点精确到0.01的近似值都是2.62，因此方程031=-+x x 在区间（2，3）上精确到0.01的近似解都是2.62。
高中数学二分法
高中数学二分法二分法：1、定义：二分法，是一种从曲线上求解函数极值、积分和解方程等不确定解的有效方法，它是利用一个给定的区间，先假设其取值范围，然后把这个区间分成两部分，根据函数的性质得到函数的最大值和最小值，最终把有限的区间越缩越小，趋近于极限，把某种特征的问题求解出来。
2、特点：二分法具备简单、有效率和可取得近似精确结果的特点，其完成求解的有效步骤是：先将需求解的范围把重点放在中间部分，然后判断函数在两个部分哪个更接近局部最优解，根据这种判断，把不满足要求的部分清除，继续通过重复偏心格把结果的范围缩小，最终当剩余段小于给定的一个误差范围时，得到比较接近真实解的一个近似解。
3、应用场景：二分法在高中数学中有广泛的应用，主要用于求定积分和平面几何中曲线，椭圆等函数最大值、最小值等问题的求解，在十字交叉法中，利用十字构图，根据不等式的约束条件，将最优解的区域以二分的方式划分，把区域的最优解计算出来，而在统计学中，也可以用来找出自变量和因变量的最佳拟合函数，这可通过对拟合函数的在自变量取值的山谷值的搜索，帮助研究者快速找到正确的回归模型。
4、具体实现：二分法是一种迭代算法，算法的迭代重点是：给定一个准确的区间，计算区间的中点，根据函数的增减性质来选取最优解，把不满足要求的部分清除掉，通过迭代的方式，重复这个过程，直到得到的某种特征的结果满足要求。
5、优点：二分法比较简单、有效率，而且可取得近似精确结果，也很容易理解，还可以获得较高的精度，并且在实际有效应用中具有良好的鲁棒性及快速类容错能力，适用于大规模数值计算，提高计算效率。
6、缺点：二分法所限制的误差范围可能过大，得到的结果往往不够精确，而且可能出现陷入局部最优的情况，从而影响最终的结果，易受到初值的影响，同时由于迭代容易受到干扰，有可能出现闭塞的情况。
综上所述，二分法是一种有效的有限迭代的方法，是高中数学中必不可少的重要的求解手段，它可以用来求解函数在某一区间最大值、最小值等问题，可以获得近似精确的结果，但同时也有一些缺点需要注意，所以才能在快速有效精确的基础上找到最佳解。
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例说“二分法”思想的应用
“二分法”是高中数学必修内容之一，是现代信息技术与函数、方程知识的有机整合，是求方程近似解的常用方法。
利用“二分法”可以帮助我们轻松、快捷解决一些相关的问题。
一、利用“二分法”思想巧证不等式
例1. 已知三个正数a 、b 、c ，满足b a c 2+>，求证ab c c a ab c c 22-+<<--。
解析：从所要证的目标的结构上看，可把ab c c 2--、ab c c 2-+看作一元二次方程0ab cx 2x 2=+-的两个根，同时构造一个区间)ab c c ,ab c c (22-+--。
设ab cx 2x )x (f 2+-=
利用“二分法”思想，要证目标，只需证a 在区间)ab c c ,ab c c (22-+--内即可。
如图1所示，由于二次函数的图象开口方向向上，只需证0)a (f <
因0)b c 2a (a ab ca 2a )a (f 2<+-=+-=
所以a 在区间内，即ab c c a ab c c 22-+<<--
图1
二、利用“二分法”思想巧证一元二次方程根的分布
例2. 已知函数c bx 2ax 3)x (f 2++=，0c b a =++，0)1(f ,0)0(f >>，求证：
（1）0a >且1b
a 2-<<-； （2）方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根
证明：（1）利用0)1(f ,0)0(f >>及0c b a =++，容易证明（略）。
（2）一般地，要证方程0)x (f =在（0，1）内有两个实根，只需证明：
①△0≥
②对称轴落在区间（0，1）内
③区间（0，1）端点f(0)，f(1)的符号。
而采用“二分法”，其解法简洁明快，只需证明：
①区间（0，1）两个端点f(0)，f(1)的符号都为正（题目已知条件已给定）
②在区间（0，1）内寻找一个二分点，使这个二分点所对应的函数值小于0，它保证抛物线与x 轴有两个不同的交点（因a>0抛物线开口方向向上）。
如图2所示，由①②可知方程0)x (f =在（0，1）内必有两个不同实根。
图2
在区间（0，1）内选取二等分点21，因0a 41)a (a 43c b a 4
321f <-=-+=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 所以结论得证。
若021f <⎪⎭⎫ ⎝⎛不成立可看⎪⎭
⎫ ⎝⎛41f 是否为负 若还不成立，再看⎪⎭
⎫ ⎝⎛43f 是否为负。
总之，在区间（0，1）内存在一个分点，使对应函数值为负即可。
例3. 已知函数)0a (c bx ax )x (f 2>++=，0c 6b 3a 2=++，求证方程0)x (f =至少有一个根在（0，1内。
证明：用“二分法”来证明。
首先在区间（0，1）内寻找一个分点，使这个分点所对
应的函数值小于0。
在区间（0，1）内选二分点
2
1， 0a 121b 21a 3
1b 21a 41c b 21a 4121f <-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=++=⎪⎭⎫ ⎝⎛ 其次证明区间（0，1）两个端点函数值)0(f ，)1(f 至少有一个为正 因为0a 3
1b a 32b a c 2b a )c b a (c )1(f )0(f >=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=++=+++=+ 所以)1(f ),0(f 中至少有一个为正，由函数的图象可知方程0)x (f =至少有一个根在（0，
1）内。
注意：证方程0)x (f =在区间（m ，n ）内有两个不同的解，只需证)m (f ，)n (f 的符号相同，以及在区间（m ，n ）找一个二分点t 所对应函数值)t (f 的符号（它与f(m)，f(n)的符号相反）。
要证方程0)x (f =在区间（m ，n ）内至少有一个解，只需证f(m)，f(n)中至少有一个的符号与区间（m ，n ）内的一个二分点t 所对应函数值f(t)的符号相反。
三、利用“二分法”思想巧求最值
例4. 函数)N n (|n x |)x (f *
19
1n ∈-=∑=的最小值为（ ） A. 190 B. 171 C. 90 D. 45
解析：因|n x |-表示数轴上的动点x 到点n 之间的距离。
当|19x ||1x |-+-最小时，x 为区间［1，19］内的任意一个分点；
当|18x ||2x |-+-最小时，x 为区间［2，18］内的任意一个分点；
当|17x ||3x |-+-最小时，x 为区间［3，17］内的任意一个分点。
依次类推，
当|11x ||9x |-+-最小时，x 为区间［9，11］内的任意一个分点；
当|10x |-最小时，10x =
利用“二分法”思想，当x 是区间［1，19］，［2，18］，［3，17］，……，［9，11］共同二等分点，即x=10时，f(x)取得最小值，所以
90|1910||1110||1010||910||310||210||110|)x (f min =-+⋯+-+-+-+⋯+-+-+-= 故选C 。