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二次函数中考复习(题型分类练习)

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中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

初三数学二次函数专题训练(含答案)-

初三数学二次函数专题训练(含答案)-

二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线221x y -=向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移3个 单位，得抛物线 .2.函数x x y +-=22图象的对称轴是 ，最大值是 .3.正方形边长为3，如果边长增加x 面积就增加y ，那么y 与x 之间的函数关系是 .4.二次函数6822-+-=x x y ，通过配方化为k h x a y +-=2)(的形为 . 5.二次函数c ax y +=2（c 不为零），当x 取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则 x 1与x 2的关系是 .6.抛物线c bx ax y ++=2当b=0时，对称轴是 ，当a ，b 同号时，对称轴在y 轴 侧，当a ，b 异号时，对称轴在y 轴 侧.7.抛物线3)1(22-+-=x y 开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是 .8.若a?0，则函数522-+=ax x y 图象的顶点在第 象限；当x?4a-时，函数值随x 的增大而 .9.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）当a?0时，图象的开口a?0时，图象的开口 ，顶点坐标是 . 10.抛物线2)(21h x y --=，开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 11.二次函数)()(32+-=x y 的图象的顶点坐标是（1，-2）.12.已知2)1(312-+=x y ，当x 时，函数值随x 的增大而减小. 13.已知直线12-=x y 与抛物线k x y +=25交点的横坐标为2，则k= ，交点坐标为 . 14.用配方法将二次函数x x y 322+=化成k h x a y +-=2)(的形式是 . 15.如果二次函数m x x y +-=62的最小值是1，那么m 的值是 . 二、选择题：16.在抛物线1322+-=x x y 上的点是（ ）A.（0，-1）B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 C.（-1，5） D.（3，4） 17.直线225-=x y 与抛物线x x y 212-=的交点个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.互相重合的两个18.关于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），下面几点结论中，正确的有（ ） ① 当a?0时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大，当a?0时，情况相反.② 抛物线的最高点或最低点都是指抛物线的顶点.③ 只要解析式的二次项系数的绝对值相同，两条抛物线的形状就相同.④ 一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的根，就是抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标.A.①②③④B.①②③C. ①②D.① 19.二次函数y=(x+1)(x-3)，则图象的对称轴是（ ）A.x=1B.x=-2C.x=3D.x=-320.如果一次函数b ax y +=的图象如图代13-3-12中A 所示，那么二次函+=2ax ybx -3的大致图象是（ ）图代13-2-1221.若抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是,2-=x 则=ba（ ） A.2 B.21 C.4 D.41 22.若函数xa y =的图象经过点（1，-2），那么抛物线3)1(2++-+=a x a ax y 的性 质说得全对的是（ ） A. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与正半y 轴相交 B. 开口向下，对称轴在y 轴左侧，图象与正半y 轴相交 C. 开口向上，对称轴在y 轴左侧，图象与负半y 轴相交 D. 开口向下，对称轴在y 轴右侧，图象与负半y 轴相交23.二次函数c bx x y ++=2中，如果b+c=0，则那时图象经过的点是（ ） A.(-1，-1) B.(1，1) C.(1，-1) D.（-1，1）24.函数2ax y =与xay =（a?0）在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）图代13-3-1325.如图代13-3-14，抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于A 点，与x 轴正半轴交于B ， C 两点，且BC=3，S △ABC =6，则b 的值是（ ）A.b=5B.b=-5C.b=±5D.b=4图代13-3-1426.二次函数2ax y =（a?0），若要使函数值永远小于零，则自变量x 的取值范围是 （ ）A ．X 取任何实数 B.x?0 C.x?0 D.x?0或x?027.抛物线4)3(22+-=x y 向左平移1个单位，向下平移两个单位后的解析式为 （ ）A.6)4(22+-=x y B.2)4(22+-=x y C.2)2(22+-=x y D.2)3(32+-=x y 28.二次函数229k ykx x y ++=（k?0）图象的顶点在（ ） A.y 轴的负半轴上 B.y 轴的正半轴上 C.x 轴的负半轴上 D.x 轴的正半轴上 29.四个函数：xy x y x y 1,1,-=+=-=（x?0），2x y -=（x?0），其中图象经过原 点的函数有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个30.不论x 为值何，函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的值永远小于0的条件是（ ） A.a?0，Δ?0 B.a?0,Δ?0C ．a?0,Δ?0 D.a?0,Δ?0 三、解答题31.已知二次函数1222+-+=b ax x y 和1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象都经过x 轴上两上不同的点M ，N ，求a ，b 的值.32.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （2，4），顶点的横坐标为21，它 的图象与x 轴交于两点B （x 1，0），C （x 2，0），与y 轴交于点D ，且132221=+x x ，试问：y 轴上是否存在点P ，使得△POB 与△DOC 相似（O 为坐标原点）？若存在，请求出过P ，B 两点直线的解析式，若不存在，请说明理由.33.如图代13-3-15，抛物线与直线y=k(x-4)都经过坐标轴的正半轴上A ，B 两点，该 抛物线的对称轴x=-21与x 轴相交于点C ，且∠ABC=90°，求：（1）直线AB 的解析式；（2）抛物线的解析式.图代13-3-15图代13-3-1634.中图代13-3-16，抛物线c x ax y +-=32交x 轴正方向于A ，B 两点，交y 轴正方 向于C 点，过A ，B ，C 三点做⊙D ，若⊙D 与y 轴相切.（1）求a ，c 满足的关系；（2）设∠ACB=α，求tg α；（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙O 的位置关系并证明. 35.如图代13-3-17，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示 意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的DGD ＇部分为一段抛物线，顶点C 的高度为8米，AD 和A ＇D ＇是两侧高为5.5米的支柱，OA 和OA ＇为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和C ＇D ＇为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.求（1）桥拱DGD ＇所在抛物线的解析式及CC ＇的长；（2）BE 和B ＇E ＇为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A ＇B ＇为两个方 向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A ＇B ＇的宽；（3）按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米，车 载大型设备的顶部与地面的距离均为7米，它能否从OA （或OA ＇）区域安全通过？请说明理由.图代13-3-1736.已知：抛物线2)4(2+++-=m x m x y 与x 轴交于两点)0,(),0,(b B a A （a?b ）.O 为坐标原点，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2在y 轴的哪一侧？简要说明理由，并指出两圆的位置关系.37.如果抛物线1)1(22++-+-=m x m x y 与x 轴都交于A ，B 两点，且A 点在x 轴 的正半轴上，B 点在x 同的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b. （1） 求m 的取值范围；（2） 若a ∶b=3∶1，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式；（3） 设（2）中的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线上是否存 在 点P ，使△PAB 的面积等于△BCM 面积的8倍？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请 说明理由. 38.已知：如图代13-3-18，EB 是⊙O 的直径，且EB=6，在BE 的延长线上取点P ，使EP=EB.A 是EP 上一点，过A 作⊙O 的切线AD ，切点为D ，过D 作DF ⊥AB 于F ，过B 作AD 的垂线BH ，交AD 的延长线于H ，连结ED 和FH.图代13-3-18（1） 若AE=2，求AD 的长.（2） 当点A 在EP 上移动（点A 不与点E 重合）时，①是否总有FHEDAH AD =？试证 明 你的结论；②设ED=x ，BH=y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.39.已知二次函数)294(2)254(222+--+--=m m x m m x y 的图象与x 轴的交点为 A ，B （点A 在点B 右边），与y 轴的交点为C. （1） 若△ABC 为Rt △，求m 的值； （2） 在△ABC 中，若AC=BC ，求∠ACB 的正弦值； （3） 设△ABC 的面积为S ，求当m 为何值时，S 有最小值，并求这个最小值. 40.如图代13-3-19，在直角坐标系中，以AB 为直径的⊙C 交x 轴于A ，交y 轴于B ， 满足OA ∶OB=4∶3，以OC 为直径作⊙D ，设⊙D 的半径为2.图代13-3-19（1） 求⊙C 的圆心坐标. （2） 过C 作⊙D 的切线EF 交x 轴于E ，交y 轴于F ，求直线EF 的解析式. （3） 抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴过C 点，顶点在⊙C 上，与y 轴交点为B ，求抛物线的解析式. 41.已知直线x y 21=和m x y +-=，二次函数q px x y ++=2图象的顶点为M. （1）若M 恰在直线x y 21=与m x y +-=的交点处，试证明：无论m 取何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点. （2）在（1）的条件下，若直线m x y +-=过点D （0，-3），求二次函数q px x y ++=2的表达式，并作出其大致图象.图代13-3-20（3） 在（2）的条件下，若二次函数q px x y ++=2的图象与y 轴交于点C ，与x同的左交点为A ，试在直线x y 21=上求异于M 点P ，使P 在△CMA 的外接圆上. 42.如图代13-3-20，已知抛物线b ax x y ++-=2与x 轴从左至右交于A ，B 两点， 与y 轴交于点C ，且∠BAC=α，∠ABC=β，tg α-tg β=2,∠ACB=90°. （1） 求点C 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；（3） 若抛物线的顶点为P ，求四边形ABPC 的面积.参 考 答 案动脑动手 1. 设每件提高x 元（0≤x ≤10），即每件可获利润（2+x ）元，则每天可销售（100-10x ） 件，设每天所获利润为y 元，依题意，得)10100)(2(x x y -+=.360)4(10200801022+--=++-=x x x∴当x=4时（0≤x ≤10）所获利润最大，即售出价为14元，每天所赚得最大利润360元. 2.∵43432+⎪⎭⎫⎝⎛+-=x m mx y ， ∴当x=0时，y=4. 当0,043432≠=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-m x m mx 时mm m 34,321==. 即抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴的交点为A （3，0），⎪⎭⎫⎝⎛0,34m B . （1）当AC=BC 时，94,334-=-=m m . ∴ 4942+-=x y（2）当AC=AB 时，5,4,3===AC OC AO .∴ 5343=-m. ∴ 32,6121-==m m . 当61=m 时，4611612+-=x x y ； 当32-=m 时，432322++-=x x y .（3）当AB=BC 时，22344343⎪⎭⎫⎝⎛+=-m m ，∴ 78-=m .∴ 42144782++-=x x y . 可求抛物线解析式为：43232,461161,494222+--=+-=+-=x x y x x y x y 或42144782++-=x x y .3.（1）∵)62(4)]5([222+---=∆m m)1(122222φ+=++=m m m图代13-3-21 ∴不论m 取何值，抛物线与x 轴必有两个交点. 令y=0，得062)5(222=+++-m x m x 0)3)(2(2=---m x x ， ∴ 3,2221+==m x x .∴两交点中必有一个交点是A （2，0）.（2）由（1）得另一个交点B 的坐标是（m 2+3,0）.12322+=-+=m m d ，∵ m 2+10?0，∴d=m 2+1. （3）①当d=10时，得m 2=9.∴ A （2，0），B （12，0）.25)7(241422--=+-=x x x y .该抛物线的对称轴是直线x=7，顶点为（7，-25），∴AB 的中点E （7，0）. 过点P 作PM ⊥AB 于点M ，连结PE ， 则2222)7(,,521a MEb PM AB PE -====， ∴ 2225)7(=+-b a . ① ∵点PD 在抛物线上，∴ 25)7(2--=a b . ② 解①②联合方程组，得0,121=-=b b .当b=0时，点P 在x 轴上，△ABP 不存在，b=0，舍去.∴b=-1. 注：求b 的值还有其他思路，请读者探觅，写出解答过程. ②△ABP 为锐角三角形时，则-25≤b?-1； △ ABP 为钝角三角形时，则b?-1，且b ≠0. 同步题库一、 填空题 1.3)2(21,)2(2122-+-=+-=x y x y ； 2.81,41=x ； 3.9)3(2-+=x y ； 4. 2)2(22+--=x y ； 5.互为相反数； 6.y 轴，左，右； 7.下，x=-1,(-1,-3)，x?-1； 8.四，增大； 9.向上，向下，a bx a b ac a b 2,44,22-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--； 10.向下，（h,0），x=h ； 11.-1，-2； 12.x?-1； 13.-17，（2，3）； 14.91312-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x y ； 15.10.二、选择题16.B 17.C 18.A 19.A 20.C 21.D 22.B 23.B 24.D 25.B 26.D 27.C 28. C 29.A 30.D 三、解答题31.解法一：依题意，设M （x 1，0），N （x 2，0），且x 1≠x 2，则x 1，x 2为方程x 2+2ax-2b+1=0 的两个实数根，∴ a x x 221-=+，1x ·122+-=b x . ∵x 1，x 2又是方程01)3(22=-+-+-b x a x 的两个实数根， ∴ x 1+x 2=a-3，x 1·x 2=1-b 2.∴ ⎩⎨⎧-=+--=-.112,322b b a a 解得 ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1,b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1；b=2时，二次函数322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.解法二：∵二次函数1222+-+=b ax x y 的图象对称轴为a x -=，二次函数1)3(22-+-+-=b x a x y 的图象的对称轴为23-=a x ， 又两个二次函数图象都经过x 轴上两个不同的点M ，N ， ∴两个二次函数图象的对称轴为同一直线.∴ 23-=-a a . 解得 1=a .∴两个二次函数分别为1222+-+=b x x y 和1222-+--=b x x y . 依题意，令y=0，得01222=+-+b x x ， 01222=-+--b x x .①+②得022=-b b .解得 2,021==b b . ∴ ⎩⎨⎧==;0,1b a 或⎩⎨⎧==.2,1b a当a=1，b=0时，二次函数的图象与x 轴只有一个交点， ∴a=1，b=0舍去.当a=1，b=2时，二次函数为322-+=x x y 和322+--=x x y 符合题意. ∴ a=1，b=2.32.解：∵c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点B （x 1，0），C （x 2，0）， ∴ acx x a b x x =⋅-=+2121,. 又∵132221=+x x 即132)(21221=-+x x x x ，∴ 132)(2=⋅--a cab . ① 又由y 的图象过点A （2，4），顶点横坐标为21，则有4a+2b+c=4， ② 212=-a b . ③ 解由①②③组成的方程组得a=-1,b=1,c=6.∴ y=-x 2+x+6.与x 轴交点坐标为（-2，0），（3，0）.与y 轴交点D 坐标为（0，6）.设y 轴上存在点P ，使得△POB ∽△DOC ，则有（1） 当B （-2，0），C （3，0），D （0，6）时，有6,3,2,====OD OC OB ODOP OC OB . ∴OP=4，即点P 坐标为（0，4）或（0，-4）.当P 点坐标为（0，4）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+4.有 0=-2k-4.得 k=-2.∴ y=-2x-4.或 3,6,2,====OC OD OB OCOP OD OB . ∴OP=1，这时P 点坐标为（0，1）或（0，-1）.当P 点坐标为（0，1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx+1.有 0=-2k+1.得 21=k . ∴ 121+-=x y . 当P 点坐标为（0，-1）时，可设过P ，B 两点直线的解析式为y=kx-1，有 0=-2k-1，得 21-=k . ∴ 121--=x y . （2） 当B （3，0），C （-2，0），D （0，6）时，同理可得y=-3x+9，或 y=3x-9，或 131+-=x y ， 或 131-=x y . 33.解：（1）在直线y=k(x-4)中，令y=0，得x=4.∴A 点坐标为（4，0）.∴ ∠ABC=90°.∵ △CBD ∽△BAO ， ∴OBOA OC OB =，即OB 2=OA ·OC.又∵ CO=1，OA=4，∴ OB 2=1×4=4.∴ OB=2（OB=-2舍去）∴B 点坐标为（0，2）.将点B （0，2）的坐标代入y=k(x-4)中，得21-=k . ∴直线的解析式为：221+-=x y . （2）解法一：设抛物线的解析式为h x a y ++=2)1(，函数图象过A （4，0），B （0，2），得⎩⎨⎧=+=+.2,025h a h a 解得 .1225,121=-=h a ∴抛物线的解析式为：1225)1(1212++-=x y . 解法二：设抛物线的解析式为：c bx ax y ++=2，又设点A （4，0）关于x=-1的对 称是D.∵ CA=1+4=5，∴ CD=5.∴ OD=6.∴D 点坐标为（-6，0）.将点A （4，0），B （0，2），D （-6，0）代入抛物线方程，得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-==++.0636,2,0416c b a c c b a 解得 2,61,121=-=-=c b a . ∴抛物线的解析式为：2611212+--=x x y . 34.解：（1）A ，B 的横坐标是方程032=+-c x ax 的两根，设为x 1,x 2（x 2?x 1），C 的 纵坐标是C.又∵y 轴与⊙O 相切，∴ OA ·OB=OC 2.∴ x 1·x 2=c 2.又由方程032=+-c x ax 知 ac x x =⋅21，∴a c c =2，即ac=1. （2）连结PD ，交x 轴于E ，直线PD 必为抛物线的对称轴，连结AD 、BD ，图代13-3-22∴ AB AE 21=. α=∠=∠=∠ADE ADB ACB 21. ∵ a?0,x 2?x 1， ∴ aa ac x x AB 54912=-=-=. a AE 25=. 又 ED=OC=c ，∴ 25==DE AE tg α. （3）设∠PAB=β，∵P 点的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 45,23，又∵a?0， ∴在Rt △PAE 中，aPE 45=. ∴ 25==AE PE tg β. ∴ tg β=tg α. ∴β=α.∴∠PAE=∠ADE.∵ ∠ADE+∠DAE=90°∴PA 和⊙D 相切.35.解：（1）设DGD ＇所在的抛物线的解析式为c ax y +=2，由题意得G （0，8），D （15，5.5）.∴ ⎩⎨⎧+==.255.5,8c a c 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8,901c a∴DGD ＇所在的抛物线的解析式为89012+-=x y . ∵41=AC AD 且AD=5.5, ∴ AC=5.5×4=22(米).∴ 2215(2)(22+⨯=+⨯=='AC OA OC c c ）=74（米）.答：cc ＇的长为74米.（2）∵ 4,41==BE BC EB ， ∴ BC=16.∴ AB=AC-BC=22-16=6（米）.答：AB 和A ＇B ＇的宽都是6米.（3） 在89012+-=x y 中，当x=4时， 45377816901=+⨯-=y . ∵ 4519)4.07(45377=+-?0. ∴该大型货车可以从OA （OA ＇）区域安全通过.36.解:（1）∵⊙O 1与⊙O 2外切于原点O ，∴A ，B 两点分别位于原点两旁，即a?0，b?0.∴方程02)4(2=+++-m x m x 的两个根a ，b 异号.∴ab=m+2?0，∴m?-2.（2）当m?-2，且m ≠-4时，四边形PO 1O 2Q 是直角梯形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. m=-4时，四边形PO 1O 2Q 是矩形. 根据题意，计算得22121b S Q O PO =四边形（或221a 或1）. （3）∵ 4)2()2(4)4(22++=+-+=∆m m m ?0∴方程02)4(2=+++-m x m x 有两个不相等的实数根.∵ m?-2，∴ ⎩⎨⎧+=+=+.02,04φφm ab m b a∴ a?0，b?0.∴⊙O 1与⊙O 2都在y 轴右侧，并且两圆内切.37.解：（1）设A ，B 两点的坐标分别是（x 1，0）、（x 2，0），∵A ，B 两点在原点的两侧，∴ x 1x 2?0，即-（m+1）?0，解得 m?-1.∵ )1()1(4)]1(2[2+⨯-⨯--=∆m m 7)21(484422+-=+-=m m m 当m?-1时，Δ?0，∴m 的取值范围是m?-1.（2）∵a ∶b=3∶1，设a=3k ，b=k （k?0），则 x 1=3k ，x 2=-k ，∴ ⎩⎨⎧+-=-⋅-=-).1()(3),1(23m k k m k k解得 31,221==m m . ∵31=m 时，3421-=+x x （不合题意，舍去）， ∴ m=2 ∴抛物线的解析式是32++-=x x y .（3）易求抛物线322++-=x x y 与x 轴的两个交点坐标是A （3，0），B （-1，0） 与y 轴交点坐标是C （0，3），顶点坐标是M （1，4）.设直线BM 的解析式为q px y +=，则 ⎩⎨⎧+-⋅=+⋅=.)1(0,14q p q p 解得 ⎩⎨⎧==.2,2q p∴直线BM 的解析式是y=2x+2.设直线BM 与y 轴交于N ，则N 点坐标是（0，2），∴ MNC BCN BCM S S S ∆∆∆+= .111211121=⨯⨯+⨯⨯=设P 点坐标是（x,y ），∵ BCM ABP S S ∆∆=8，∴ 1821⨯=⨯⨯y AB . 即 8421=⨯⨯y . ∴ 4=y .∴4±=y .当y=4时，P 点与M 点重合，即P （1，4），当y=-4时，-4=-x 2+2x+3，解得 221±=x .∴满足条件的P 点存在.P 点坐标是（1，4），)4,221(),4,221(---+.38.（1）解：∵AD 切⊙O 于D ，AE=2，EB=6，∴ AD 2=AE ·AB=2×（2+6）=16.∴ AD=4.图代13-2-23（2）①无论点A 在EP 上怎么移动（点A 不与点E 重合），总有FHED AH AD =. 证法一：连结DB ，交FH 于G ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEB.又∵BH ⊥AH ，BE 为直径，∴ ∠BDE=90°有 ∠DBE=90°-∠DEB=90°-∠HDB=∠DBH.在△DFB 和△DHB 中，DF ⊥AB ，∠DFB=∠DHB=90°，DB=DB ，∠DBE=∠DBH ，∴ △DFB ∽△DHB.∴BH=BF ， ∴△BHF 是等腰三角形.∴BG ⊥FH ，即BD ⊥FH.∴ED ∥FH ，∴FH ED AH AD =.图代13-3-24证法二：连结DB ，∵AH 是⊙O 的切线，∴ ∠HDB=∠DEF.又∵DF ⊥AB ，BH ⊥DH ，∴ ∠EDF=∠DBH.以BD 为直径作一个圆，则此圆必过F ，H 两点，∴∠DBH=∠DFH ，∴∠EDF=∠DFH.∴ ED ∥FH.∴ FHED AH AD =. ②∵ED=x ，BH=，BH=y ，BE=6，BF=BH ，∴EF=6y.又∵DF 是Rt △BDE 斜边上的高，∴ △DFE ∽△BDE ，∴EBED ED EF =，即EB EF ED ⋅=2. ∴)6(62y x -=，即6612+-=x y . ∵点A 不与点E 重合，∴ED=x?0.A 从E 向左移动，ED 逐渐增大，当A 和P 重合时，ED 最大，这时连结OD ，则OD ⊥PH. ∴ OD ∥BH.又 12,936==+=+=PB EO PE PO ，4,=⋅==POPB OD BH PB PO BH OD ， ∴ 246,4=-=-===BF EB EF BH BF ，由ED 2=EF ·EB 得12622=⨯=x ，∵x?0，∴32=x .∴ 0?x ≤32.（或由BH=4=y ，代入6612+-=x y 中，得32=x ）故所求函数关系式为6612+-=x y （0?x ≤32）. 39.解：∵]294)[2(2942254222⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=m m x x m m x m m x y , ∴可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--2942,0,0,294),0,2(22m m C m m B A . （1）∵△ABC 为直角三角形，∴OB AO OC⋅=2， 即⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22942294422m m m m ， 化得0)2(2=-m .∴m=2.（2）∵AC=BC ，CO ⊥AB ，∴AO=BO ，即22942=+-m m . ∴429422=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=m m OC .∴25==BC AC . 过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，∴ AB ·OC=BC ·AD.∴ 58=AD .∴ 545258sin ===∠AC AD ACB .图代13-3-25（3）CO AB S ABC ⋅=∆21 .1)1()2(2942229421222-+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=u u u m m m m ∵ 212942≥+-=m m u ，∴当21=u ，即2=m 时，S 有最小值，最小值为45. 40.解：（1）∵OA ⊥OB ，OA ∶OB=4∶3，⊙D 的半径为2，∴⊙C 过原点，OC=4，AB=8.A 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛0,532，B 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛524,0. ∴⊙C 的圆心C 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,516. （2）由EF 是⊙D 切线，∴OC ⊥EF.∵ CO=CA=CB ，∴ ∠COA=∠CAO ，∠COB=∠CBO.∴ Rt △AOB ∽Rt △OCE ∽Rt △FCO.∴OBOC AB OF OA OC AB OE ==,. ∴ 320,5==OF OE . E 点坐标为（5，0），F 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛320,0， ∴切线EF 解析式为32034+-=x y . （3）①当抛物线开口向下时，由题意，得抛物线顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+4512,516，可得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-.524,1,325.52453244,51622c b a c a b ac a b ∴ 5243252++-=x x y . ②当抛物线开口向上时,顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-4512,516，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-.524,4,85.524,5844,51622c b a c a b ac a b ∴ 5244852+--=x x y . 综合上述，抛物线解析式为5243252++-=x x y 或5244852+-=x x y . 41.（1）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧+-==,,21m x y x y 有m x x +-=21， ∴ m y m x m x 31,32,23===. ∴交点)31,32(m m M . 此时二次函数为m m x y 31322+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= m m mx x 31943422++-=. 由②③联立，消去y ，有 0329413422=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m x m x . ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∆m m m 3294413422 .013891613891622>=+-+-=m m m m∴无论m 为何实数值，二次函数q px x y ++=2的图象与直线m x y +-=总有两个不同的交点.图代13-3-26（2）解：∵直线y=-x+m 过点D （0，-3），∴ -3=0+m ，∴ m=-3.∴M （-2，-1）.∴二次函数为)1)(3(341)2(22++=+-=-+=x x x x x y .图象如图代13-3-26.（3）解：由勾股定理，可知△CMA 为Rt △，且∠CMA=Rt ∠，∴MC 为△CMA 外接圆直径.∵P 在x y 21=上，可设⎪⎭⎫ ⎝⎛n n P 21,，由MC 为△CMA 外接圆的直径，P 在这个圆上， ∴ ∠CPM=Rt ∠.过P 分别作PN ⊥y ，轴于N ，PQ ⊥x 轴于R ，过M 作MS ⊥y 轴于S ，MS 的延长线与PR 的 延长线交于点Q.由勾股定理，有222QP MQ MP +=，即222121)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n n MP . 22222213n n NP NC CP +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=. 202=CM. 而 222CM CPMP =+， ∴ 20213121)2(2222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n ， 即 062252=-+n n ， ∴ 012452=-+n n ，0)2)(65(=+-n n .∴ 2,5621-==n n . 而n 2=-2即是M 点的横坐标，与题意不合，应舍去.∴ 56=n ， 此时 5321=n . ∴P 点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛53,56. 42.解：（1）根据题意，设点A （x 1，0）、点（x 2，0），且C （0，b ），x 1?0，x 2?0，b?0， ∵x 1，x 2是方程02=++-b ax x 的两根，∴ b x x a x x -=⋅=+2121,.在Rt △ABC 中，OC ⊥AB ，∴OC 2=OA ·OB.∵ OA=-x 1,OB=x 2，∴ b 2=-x 1·x 2=b.∵b?0,∴b=1，∴C （0，1）.（2）在Rt △AOC 的Rt △BOC 中， 211212121==+-=--=-=-ba x x x x x x OB OC OA OC tg tg βα. ∴ 2=a .∴抛物线解析式为122++-=x x y .图代13-3-27（3）∵122++-=x x y ，∴顶点P 的坐标为（1，2），当0122=++-x x 时，21±=x .∴)0,21(),0,21(+-B A .延长PC 交x 轴于点D ，过C ，P 的直线为y=x+1，∴点D 坐标为（-1，0）.∴ DCA DPB ABPC S S S ∆∆-=四边形).(22321)22(212)22(212121平方单位+=⨯-⨯-⨯+⨯=⋅-⋅⋅=yc AD y DB p。

(完整word版)二次函数中考复习(题型分类练习)

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二次函数题型分析练习题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用1.(2015•兰州）在下列二次函数中,其图象对称轴为x =﹣2的是( ）A ． y =（x +2）2B ．y =2x 2﹣2C ．y =﹣2x 2﹣2D ．y =2（x ﹣2）22.（2014•浙江)已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A 。

（﹣3,7） B.（﹣1，7） C.(﹣4，10） D 。

（0，10） 3.在同一坐标系中,图像与y=2x 2的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A 。

212y x = B 。

212y x =- C.22y x =- D 。

2y x =-4。

二次函数 无论k 取何值,其图象的顶点都在（ ） A.直线上 B 。

直线上 C.x 轴上 D.y 轴上5。

(2012•烟台)已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法:①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时,y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.(2014•扬州）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0)且平行于y 轴的直线，若点P （4，0)在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ． 7。

已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等,则当取时，函数值为（ ）A.B .C 。

D 。

c8.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0，-1)两点,则化简代数式= 。

第2题图题型二：平移 1。

抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（ ）A. B 。

C 。

D.2.(2012上海）将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________3。

二次函数()23212-+=x y 的图象是由函数221x y =的图象先向 (左、右）平移 个单位长度,再向（上、下）平移 个单位长度得到的.4。

(完整版)初三中考复习二次函数专题练习题含答案

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二次函数专题练习题一、选择题1 抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是( )A．直线x＝1 B．直线x＝－1 C．直线x＝－2 D．直线x＝22．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2－x－6向上(下)或向左(右)平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．63．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．164. 如图，已知顶点为(－3，－6)的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，－4)，则下列结论中错误的是( )A．b2＞4acB．ax2＋bx＋c≥－6C．若点(－2，m)，(－5，n)在抛物线上，则m＞nD．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－4的两根为－5和－15. 如图，观察二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①a＋b＋c＞0；②2a＋b＞0；③b2－4ac＞0；④ac＞0.其中正确的是( )A．①② B．①④ C．②③ D．③④6. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( )7. 如图，在正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以 1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )二、填空题8．若y＝(2－m)xm2－3是二次函数，且开口向上，则m的值为．9．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1____y2.(填或“＝”）“>”“<”10．已知二次函数y＝－2x2－4x＋1，当－3≤x≤0时，它的最大值是____，最小值是____．11．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间具有函数关系h＝at2＋19.6t，已知足球被踢出后经过 4 s落地，则足球距地面的最大高度是____m.12. 如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．三、解答题13．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．14．用铝合金材料做一个形状如图①所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图②所示．(1)观察图象，当x为何值时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？(2)要使窗户的透光面积不小于 1 m2，则窗框的一边长x应该在什么范围内取值？15. 某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y(元)与种植面积m(亩)之间的函数关系如图①所示，小李种植水果所得报酬z(元)与种植面积n(亩)之间的函数关系如图②所示．(1)如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是____元，小张应得的工资总额是____元；此时，小李种植水果____亩，小李应得的报酬是____元；(2)当10<n≤30时，求z与n之间的函数关系式；(3)设农庄支付给小张和小李的总费用为W(元)，当10<m≤30时，求W与m之间的函数关系式．16. 如图，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C，顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M，N从点O同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段OB，OC上向点B，C方向运动，过点M作x轴的垂线交BC于点F，交抛物线于点H，当四边形OMHN为矩形时，求点H的坐标．答案：一、1. B2. B3. B4. C5. C6. A7. B二、8. －59. >10. 3 －511. 19.612. (1＋2，2)或(1－2，2)三、13. 解：(1)答案不唯一，如y＝x2－2x＋2(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b，b2＋c＋1)，且－1＋2b＋c＋1＝1，∴c＝1－2b，∵顶点纵坐标c＋b2＋1＝2－2b＋b2＝(b－1)2＋1，∴当b＝1时，c＋b2＋1最小，抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x14. 解：(1)由图象可知当x＝1时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是 1.5 m2(2)由题意可设二次函数解析式为y＝a(x－1)2＋1.5，将(0，0)代入可求a＝－1.5，∴解析式为y＝－1.5(x－1)2＋1.5，令y＝1，则－1.5(x－1)2＋1.5＝1，解得x1＝1－33，x2＝1＋33，由图象可知，当1－33≤x≤1＋33时，透光面积不小于 1 m215. (1) 140 2800 10 1500(2) z＝120n＋300(10<n≤30)(3)当10<m≤30时，y＝－2m＋180，∵m＋n＝30，又∵当0≤n＜10时，z＝150n；当10≤n＜20时，z＝120n＋300，∴当10<m≤20时，10≤n＜20，∴W＝m(－2m＋180)＋120n＋300＝m(－2m＋180)＋120(30－m)＋300＝－2m2＋60m＋3900；当20<m≤30时，0≤n＜10，∴W＝m(－2m＋180)＋150n＝m(－2m＋180)＋150(30－m)＝－2m2＋30m＋4500，∴W＝－2m2＋60m＋3900（10<m≤20）－2m2＋30m＋4500（20<m≤30）16. 解：(1)y＝－12x2＋x＋4(2)根据题意可设ON＝OM＝t，则MH＝－12t2＋t＋4，∵ON∥MH，∴当ON＝MH时，四边形OMHN为矩形，即t＝－12t2＋t＋4，解得t＝22或t＝－22(不合题意，舍去)，把t＝22代入y＝－12t2＋t＋4得y＝22，∴H(22，22)。

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案)

中考数学总复习《二次函数》专项提升练习题(附答案) 学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知二次函数2281y x x =-+，当11x -≤≤时，函数y 的最小值是（ ）A ．1B ．5-C ．6-D ．7-2．把一抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的解析式为22y x =，则原抛物线的解析式为（ ） A ．()2213y x =-+B ．()2213y x =++C ．()2213y x =+-D ．()2213y x =--3．新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A 与()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A ．45c -≤<B ．43c -≤<-C ．164c -≤<D ．114c -≤< 4．如图为2y x bx c =++的图象，则（ ）A ．0b > 0c <B ．0b > 0c >C ．0b < 0c >D ．0b < 0c < 5．把抛物线22y x =-先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ）A ．22(6)2y x =-++B ．22(6)2y x =-+-C ．22(6)2y x =--+D ．22(6)2y x =---6．如图，抛物线2y ax c =-经过正方形OACB 的三个顶点A ，B ，C ，点C 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，菱形ABCD 的边长为3cm ，=60B ∠︒动点P 从点B 出发以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA --运动，到达点A 后停止运动；同时动点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达点A 后停止运动．设点P 的运动时间为(s)x ，BPQ 的面积为()2cm y ，则y 关于x 的函数图象为（ ）A ．B ．B ．C ．D ．8．已知在平面直角坐标系中，抛物线1C 的图象如图所示，对称轴为直线2x =-，将抛物线1C 向右平移2个单位长度得到抛物线2C ：2y ax bx c =++ （a 、b 、c 为常数，且0a ≠），则代数式b c a +-与0的大小关系是（ ）A ．0b c a +-<B ．0b c a +-=C ．0b c a +->D ．不能确定二、填空题9．若关于x 的二次函数2321y x x m =-+-的值恒为正数，则m 的取值范围为 ． 10．将抛物线2(1)2y x =++先向右平移3个单位，再向下平移4个单位，则所得抛物线的解析式为 ．11．小华酷爱足球运动一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （单位：m ）与足球被踢出后经过的时间t （单位：s ）之间的关系为：2412h t t =-+，则足球距离地面的最大高度为 m ．12．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽度增加 m ．（结果可保留根号）13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2x =-，且抛物线与x 轴交于A ，B两点，若5OA OB =，则下列结论中：①0abc >；①()220a c b +->；①50a c +=；①若m 为任意实数，则224am bm b a ++≥，正确的是 .（填序号）三、解答题 14．已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1030A B ，，，两点 (1)求抛物线的函数表达式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而减小．15．如图，抛物线214y x bx c =++过点()0,0O ，()10,0E 矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上．设动点B 坐标为(),0t ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)当t 为何值时矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？16．“潼南柠檬”获评国家地理标志商标，被认定为全国名特优新农产品，柠檬即食片是其加工产品中非常受欢迎的一款零食．一家超市销售了净重500g 一袋的柠檬即食片，进价为每袋10元．销售过程中发现，如果以单价14元销售，那么一个月内可售出200袋．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，每月销售量相应减少20袋．根据物价部门规定，这种柠檬即食片的销售单价不得低于进价且不得高于18元．(1)求每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设超市每月销售柠檬即食片获得离利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？(3)若超市想每月销售柠檬即食片所得利润w 稳定在900元，销售单价应定为多少元？17．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系212123y x x c =-++．已知铅球落地时的水平距离为10m ．(1)求铅球出手后水平距离与这名同学相距多远时，铅球离地面最高？(2)在铅球出手后的行进过程中，当它离地面的高度为5m 3时，此时铅球的水平距离是多少？18．我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规x x≥人生产乙产品．定甲产品每天至少生产20件．设每天安排()1(1)根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品生产成本（元）甲10-乙x402x(2)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？参考答案：1．B2．D3．A4．D5．D6．B7．D8．C9．43m > 10．2(2)2y x =--11．912．()264-13．③④/④③14．(1)243y x x =-+(2)当2x <，y 随x 的增大而减小15．(1)抛物线的函数表达式为21542y x x =-，顶点坐标为2554⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)当1t =时，矩形ABCD 的周长有最大值，最大值为412．16．(1)()480201018y x x =-≤≤； (2)当销售单价定为17元时，每月可获得最大利润；每月获得最大利润为980元．(3)当销售单价定为15元时，每月获得利润可稳定在900元．17．(1)铅球出手后水平距离与这名同学相距3m 远时，铅球离地面最高为3m(2)此时铅球的水平距离为8m18．安排10名工人生产甲产品，10名工人生产乙产品才能使得每天的生产总成本最低，最低成本是400元。

初三--二次函数基础分类练习题(含答案)

初三--二次函数基础分类练习题(含答案)

二次函数练习题练习一 二次函数1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式：2、 下列函数：① y =()21y x x x =-+；③ ()224y x x x =+-；④ 21y x x=+； ⑤ ()1y x x =-，其中是二次函数的是 ，其中a = ，b = ，c = 3、当m 时，函数()2235y m x x =-+-（m 为常数）是关于x 的二次函数 4、当____m =时，函数()2221m m y m m x--=+是关于x 的二次函数5、当____m =时，函数()2564m m y m x-+=-+3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ) 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S ＝πr 2 中，s 与 r 的关系是（ ）A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系D 、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 4cm ，宽是 3cm ，如果将长和宽都增加 x cm ，那么面积增加 ycm 2， ① 求 y 与 x 之间的函数关系式. ② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm 2.10、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.（1） 如果设猪舍的宽AB 为x 米，则猪舍的总面积S （米2）与x 有怎样的函数关系？（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC 和宽AB 的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质1、填空：（1）抛物线221x y =的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；（2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；③y 随x 的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝－x 2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下B 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交D 、最高点是原点4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S ＝12gt 2（g ＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（ ）A B C D5、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、已知函数24mm y mx--=的图象是开口向下的抛物线，求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，求m 的值.8、二次函数223x y -=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系. 9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1） 满足条件的m 的值；（2） m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ 10、如果抛物线2y ax =与直线1y x =-交于点(),2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式.练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时, y 随x 的增大而增大, 当x 时, y 随x 的增大而减小. 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 .3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2，当k 取0，1±时，关于这些抛物线有以下判断：①开口方t ttt向都相同；②对称轴都相同；③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .4、将抛物线122-=x y 向上平移4个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最 （填大或小）值，是 .5、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；6、二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而减小， 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. （1）右移2个单位；（2）左移32个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位.3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）.4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知21=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6.（1）求出此函数关系式.（2）说明函数值y 随x 值的变化情况.7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质1、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝＿＿＿＿时，y 有最小值.3、函数 y ＝12(x －1)2＋3，当 x ＿＿＿＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到. 5、 已知抛物线的顶点坐标为()2,1，且抛物线过点()3,0，则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<17、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小. （4） 求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离； （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？ 8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积； （3） 指出该函数的最值和增减性；（4） 若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式； （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质 1、抛物线942++=x x y 的对称轴是 .2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 .4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝＿＿＿＿.5、把二次函数215322y x x =---的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_________； 7、函数x x y +-=22有最____值，最值为_______；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）A 、6，4B 、－8，14C 、－6，6D 、－8，－149、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（ ） A 、22 B 、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）12212+-=x x y ； （2）2832-+-=x x y ； （3）4412-+-=x x y 11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标 13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点 1） 求一次函数的关系式；2） 判断点()2,5-是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2500元进口一批彩电.如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质1、函数2y x px q =++的图象是以()3,2为顶点的一条抛物线，这个二次函数的表达式为 2、二次函数2224y mx x m m =++-的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是 3、如果抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点A (0,2)，它的对称轴是1x =-，那么acb= 4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1，则b 的值为______.5、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a___0，b___0，c___0，ac b 42-____0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则直线bc ax y +=的图象不经过第 象限. 7、已知二次函数2y ax bx c =++（0≠a ）的图象如图所示，则下列结论：1）,a b 同号；2）当1x =和3x =时，函数值相同；3）40a b +=；4）当2y =-时，x 的值只能为0；其中正确的是（第5题） （第6题） （第7题） （第10题）8、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是-2，则m=9、二次函数2y x ax b =++中，若0a b +=，则它的图象必经过点（ ）A ()1,1--B ()1,1-C ()1,1D ()1,1-10、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如上图所示，则下列选项中正确的是（ ）A 、0,0>>c abB 、0,0><c abC 、0,0<>c abD 、0,0<<c ab 11、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）12、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么abc 、2a+b 、a+b+c 、a-b+c 这四个代数式中，值为正数的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论： ①＞0；②；③＞；④＜1.其中正确的结论是（ ）.（A ）①② （B ）②③ （C ）②④ （D ）③④14、二次函数2y ax bx c =++的最大值是3a -，且它的图象经过()1,2--，()1,6两点， 求a 、b 、c 的值。

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完整版)初三数学二次函数专题训练(含标准答案)-二次函数专题训练（含答案）一、填空题1.把抛物线y=-1/2x向左平移2个单位得抛物线，接着再向下平移3个单位，得抛物线.2.函数y=-2x+x^2图象的对称轴是x=1，最大值是1.3.正方形边长为3，如果边长增加x面积就增加y=x^2+6x+9.4.二次函数y=-2x+8x-6，通过配方化为y=a(x-2)^2-2的形为.5.二次函数y=ax+c（c不为零），当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则x1与x2的关系是x1+x2=-2a/c.6.抛物线y=ax^2+bx+c当b=0时，对称轴是x=0，当a，b同号时，对称轴在y轴侧，当a，b异号时，对称轴在x=-b/2a 处.7.抛物线y=-2(x+1)^2-3开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1,-3).如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是x<-1.8.若a5/2a时，函数值随x的增大而减小.9.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）当a>0时，图象的开口向上；当a<0时，图象的开口向下，顶点坐标是(-b/2a,c-b^2/4a).10.抛物线y=-2(x-2)^2+2，开口向下，顶点坐标是(2,2)，对称轴是x=2.11.二次函数y=-3(x-1)^2+2的图象的顶点坐标是（1，2）.12.已知y=(x+1)^2-2，当x≥1时，函数值随x的增大而减小.13.已知直线y=2x-1与抛物线y=5x+k交点的横坐标为2，则k=9，交点坐标为(2,13).14.用配方法将二次函数y=x^2+x-2化成y=a(x-(-1/2))^2-9/4的形式是y=(x+1/2)^2-9/4.15.如果二次函数y=x^2-6x+m的最小值是1，那么m的值是10.二、选择题：16.在抛物线y=2x^2-3x+1上的点是（D）（3，4）17.直线y=5x/2-2与抛物线y=x^2-x的交点个数是（C）2个18.关于抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0），下面几点结论中，正确的有（A、B、C）①当a>0时，对称轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大，当a<0时，情况相反。

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题7 与二次函数图象有关的八种考法(含答案及解析)

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题7 与二次函数图象有关的八种考法(含答案及解析)

专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|＞|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝ax2﹣bx与一次函数y2＝ax﹣b的大致图象不大可能的是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下【例6】列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【题型8 由动点问题的函数图象获取信息】【例8】（2021春•西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24√5B．16√5C．12√5D．36【变式8-1】（2021•花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E 是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．7√3B．6√3+3C．8√3D．3√3+6【变式8-2】（2021春•郑州期末）如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B 出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2B．34cm2C．36cm2D．38cm2【变式8-3】（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B 运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【解题思路】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答过程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=−22a=−1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．【解答过程】解：∵a＞0∴抛物线开口向上，∵对称轴直线x=−22a=−1a＜0，∴对称轴在y轴的左侧，由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），故选：D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答过程】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【解题思路】当y＞0时，−12＜x＜13，所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m＞0，根据二次函数图象当x＝a时，y ＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根据一次函数的性质，可得答案．【解答过程】解：把x＝a代入函数y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a时，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a时，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象过一二四象限，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．【解答过程】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置．【解答过程】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限，∴两个交点的横坐标都是负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，故选：D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：ba＜0、c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−b2a，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，对称轴为直线x =−b 2a ，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意； 故选：A ．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a ，b 是非零实数，|b |＞|a |，在同一平面直角坐标系xOy 中，二次函数y 1＝ax 2﹣bx 与一次函数y 2＝ax ﹣b 的大致图象不大可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【解答过程】解：{y =ax 2−bx y =ax −b 解得{x =b a y =0或{x =1y =a −b ．故二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（ba ，0）或点（1，a ﹣b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，ba＜0，a﹣b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＜0，故选项B 不可能；在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＞0，故选项C 有可能；在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＞0，ba ＜0，a﹣b ＜0，故选项D 有可能；故选：B．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故选：C．【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【解题思路】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．【解答过程】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【解题思路】由对称轴公式得直线x=−b2a=2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，∴−b2a=2，b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵与x轴右交点为(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，当x2﹣4x﹣21＝0时，（x﹣7)(x+3)＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故选：C．【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解题思路】联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，进而求解．【解答过程】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，故选：D．【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故选：B．【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．【解答过程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x＝﹣1或x＝2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象的交点A、B的横坐标分别为﹣1，2，∴当x＝﹣1或x＝2时，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣1，x2＝2．故选：C．【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解题思路】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．【解答过程】解：①∵对称轴为直线x =−b2a =1， 则：2a +b ＝0正确；②∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴的一个交点是B （4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0）， 故②正确；③将抛物线y 1=ax 2+bx +c 向下平移3个单位，得到y ＝ax 2+bx +c ﹣3， ∴顶点坐标变为（1，0），∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根正确； ④当1＜x ＜4时，有图象可知y 2＜y 1正确； ⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2， 则ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c ， 即y 1＝y 2，∴x 1、x 2关于函数的对称轴对称， 由①知函数对称轴为直线x =−b2a =1， 故12（x 1+x 2）＝1，∴⑤不正确， 故选：B ．【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．【解答过程】解：∵函数开口方向向上，a＞0，∵对称轴为x＝1，则−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；对称轴为x＝1，则−b2a=1，即b＝﹣2a，由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正确；由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．综上，正确的个数有三个．故选：B．【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答过程】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，∴4a﹣b＝0，所以②正确；∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，∴小涛得到了70分，故选：B．【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由a x12+bx1＝a x22+bx2得出x1，x2关于对称轴x ＝2对称，则可对④进行判断．【解答过程】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正确；②∵顶点M（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x =−b 2a=2， ∴4a +b ＝0，所以②不正确； ③∵抛物线的顶点M 的坐标为（2，0），∴4a +2b +c ＝0，又∵4a +b ＝0，∴b +c ＝0，即b ＝﹣c ，4a ＝c ，∵关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4a （c ﹣t ）＞0，即c 2﹣c （c ﹣t ）＞0，得ct ＞0，∵c ＞0，∴t ＞0，所以③正确；④∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则a x 12+bx 1+c ＝a x 22+bx 2+c ，∵当x ＝x 1与x ＝x 2时，y 值相同，∴x 1，x 2关于对称轴x ＝2对称，则x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4，所以④正确．故选：B ．【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1； ⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−b 2a =−2，4ac−b 24a=−9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则x 3+x 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB 与CD 之间的距离为4，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝45°，点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ⊥AB ，已知点P 的移动速度为每秒1个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A．B．C．D．【解题思路】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．【解答过程】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CF A＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=√AD2−DE2=√25−16=3，∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y=12×x×43x=23x2，当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y=12×x×4＝2x，当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，如图，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=−12x2+5x，故选：B．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．【解答过程】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥AB交AB于点E，则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×(5−x)×√22x=−√24x2+5√24x（0＜x≤5），∴此时图象为抛物线开口方向向下；（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5√2，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥BC交BC于点E，则有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×（x﹣5）×√22x=√24x2−5√24x（5＜x≤5√2），∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；综上，只有选项B的图象符合，故选：B．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答过程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，∴△ABC的底边AB边上的高为：AC•sin45°=2√2×√22=2．①当0＜x≤2时，y=12x2，故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项A、D；②当2＜x≤4时，FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(2√2)2−12(x−2)2−12(4−x)2=−x2+6x﹣6，故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线，可排除选项B；③当4＜x＜6时，y=12(6−x)2，故第二段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项C符合题意．故选：C．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解答过程】解：①当0≤x≤1时，如图1，设平移后的正方形交直线a于点G、H，则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，则y＝S△HGC=12×EC•GH=12•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；②当1＜x≤2时，如图2，。

中考数学总复习之二次函数专题复习

中考数学总复习之二次函数专题复习

中考数学总复习之二次函数专题复习一．选择题（共8小题）1．二次函数y＝2x2+8x+5的图象的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．把二次函数y＝x2+2x﹣6配方成顶点式为（）A．y＝（x﹣1）2﹣7B．y＝（x+1）2﹣7C．y＝（x+2）2﹣10D．y＝（x﹣3）2+33．已知二次函数y＝（a﹣2）x2，当x＞0时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（）A．a＞0B．a＞2C．a≠2D．a＜24．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，以下说法正确的是（）A．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是上升的B．抛物线在直线x＝﹣1右侧的部分是下降的C．抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的D．抛物线在直线x＝1右侧的部分是下降的5．2019年在武汉市举行了军运会，在军运会比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝x2+x+的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是米，球落点的距离是（）A．1米B．3米C．5米D．米6．二次函数y＝x2﹣3x+1的图象大致是（）A．B．C．D．7．无论k为何值，直线y＝kx﹣2k+2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a总有公共点，则a的取值范围是（）A．a＞0B．C．或a＞0D．8．如图，已知开口向上的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有两个不相等的实数根；④a＞．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共8小题）9．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为38m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是．10．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m的取值范围是．11．二次函数y＝2x2的图象如图所示，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C 在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB＝30°，则点C的坐标为．12．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2023在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2023在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2022B2023A2023都为等边三角形，则△A2022B2023A2023的边长为．13．已知二次函数y＝（x﹣3）2+3，当x＝时，y取得最小值．14．已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是．15．如图，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（6，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1≤x＜5的范围内有解，则t的取值范围是．16．二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）的图象经过点（1，4），则代数式a+b的值为．三．解答题（共4小题）17．如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A（﹣1，0）和点B，点P是直线BC上方的抛物线上一动点．（1）求二次函数的表达式；（2）求BC所在直线的函数解析式；（3）过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，求线段PM长度的最大值．18．如图，直线y＝x+2与x轴交于点B，与y轴交于点D．抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（4，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图，点P为抛物线在直线AC下方的一动点，作PH∥y轴，PF⊥AC，分别交AC 于点H、F，求PH+PF的最大值和此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4沿射线AC平移个单位长度，得到新抛物线，点R在新抛物线的对称轴上，点S在抛物线y＝ax2+bx﹣4上．当以点D、P、R、S为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．19．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点所围成的三角形面积；（3）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当P A+PC的值最小时，求点P的坐标．。

中考数学《二次函数》复习练习题及答案

中考数学《二次函数》复习练习题及答案

年级数学中考专题复习二次函数一、选择题：1、将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2 B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2+6 D．y=x22、已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞33、已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（）A．x1=1，x2=﹣1 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=34、函数y=（x﹣1）2﹣k与y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致为（）A. B. C. D.5、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个6、在同一平面直角坐标系中，函数y=mx＋m和函数y=-mx2＋2x＋2(m是常数,且m≠0)图象可能是( )7、如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．28、生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间函数关系式为y=-n2+14n-24，则该企业一年中利润最高的月份是( )A.5月B.6月C.7月D.8月9、已知a＜﹣1，点（a﹣1，y1）、（a，y2）、（a+1，y3）都在函数y=x2﹣2的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y310、在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象顶点为A，与y轴交于点B．若在该二次函数图形上取一点C，在x轴上取一点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则D点的坐标为（）A．（﹣9，0） B．（﹣6，0） C．（6，0） D．（9，0）11、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴x=﹣1，下列五个代数式ab、ac、a﹣b+c、b2﹣4ac、2a+b 中，值大于0的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．212、根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.2613、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），∠AOC=60°，垂直于轴的直线从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N 的上方），若△OMN的面积S，直线的运动时间为秒（）,则能大致反映S与的函数关系的图像是( )14、如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0)，对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在（0,2）和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x＞3时,y＜0;②3a+b＜0;③-1≤a≤;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是（）A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④15、已知二次函数y＝x2－2x－3，点P在该函数的图象上，点P到x轴、y轴的距离分别为d1、d2．设d=d1+d2,下列结论中：①d没有最大值；②d没有最小值；③；－1＜x＜3时， d随x的增大而增大；④满足d=5的点P有四个．其中正确结论的个数有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题:16、如图，点E是抛物线y=a（x﹣2）2+k的顶点，抛物线与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，与抛物线交于点B，与对称轴交于点D．点A是对称轴上一点，连结AC、AB．若△ABC是等边三角形，则图中阴影部分图形的面积之和是．17、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在CD边上留一个1m宽的门，若设AB为y（m），BC为x（m），则y与x之间的函数关系式为．18、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的表达式：．（答案不惟一）19、二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1，则另一个解x2= ___________.20、如图，Rt△OAB的顶点A(－2，4)在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为________．21、若抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n=______．22、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心，则他与篮底的距离L是m．23、如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．24、已知抛物线y=﹣与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,若D为AB中点,则CD长为．25、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=于点B、C，则BC的长为．26、如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为．27、如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，有人在直线AB上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶．试图让网球落入桶内，已知AB=4米，AC=3米，网球飞行最大高度OM=5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少个时，网球可以落入桶内．28、如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；④AB+AC=10；⑤，其中正确结论的个数是：．29、如图,平行于x轴的直线AC分别交函数y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）的图象于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则= ．30、如图，抛物线的对称轴是．且过点（，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三、简答题:31、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；（2）请判断以B、C、D为顶点的三角形的形状；（3）若点Q是y轴上的动点，在抛物线上是否存在点P使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．32、如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A、B两点．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．33、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看做一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）（1）每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？34、某水果店出售某种水果，已知该水果的进价为6元/千克，若以9元/千克的价格销售，则每天可售出200千克；若以11元/千克的价格销售，则每天可售出120千克．通过调查验证，我发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系．（1）求y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式；（2）当销售单价为何值时，该水果店销售这种水果每天获取的利润达到280元？（利润=销售量×（销售单价﹣进价））（3）该水果店在进货成本不超过720元时，销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？35、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．36、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），其表达式是y=ax2+c的形式．请根据所给的数据求出a，c的值．（2）求支柱MN的长度．（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．37、某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？38、九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．39、已知：抛物线y=x2+bx+c经过点（2，﹣3）和（4，5）．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G，求图象G的表达式；（3）在（2）的条件下，当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，求m的值或取值范围．40、如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC 相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．参考答案1、D．2、B．3、B．4、C.5、B．6、D.7、B.8、C.9、C．10、D．11、C．12、C．13、C.14、D.15、B.16、答案为:2．17、答案为:y=13﹣x．18、答案为：y=x2﹣x+3．19、答案为:520、答案为:(，2) 21、答案是：9．22、答案为：4.5．23、答案为：2米．24、答案为：．25、答案为:6．26、答案为:_1 27、答案为：8． 28、答案为:4．29、答案为：3﹣．30、答案为:①③⑤．31【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）两点代入y=x2+bx+c得：，解得：b=﹣2，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，连接BC、CD、BD，DM⊥x轴，DN⊥y轴，垂足分别为M、N，∵y=x2﹣2x﹣3与y轴的交点C（O，﹣3），A（﹣1，0）、B（3，0），D（1，4），∴BC==3，CD==，BD==2，∵（3）2+（）2=（2）2∴BC2+CD2=BD2∴△BCD是直角三角形；（3）如图2，①当AB为边时，只要PQ∥AB，且PQ=AB=4即可，又知点Q在y轴上，所以点P的横坐标为﹣4或4，当x=﹣4时，y=21；当x=4时，y=5；所以此时点P1的坐标为（﹣4，21），P2的坐标为（4，5）；②当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可，线段AB中点为G，PQ必过G点且与y轴交于Q 点，过点P3作x轴的垂线交于点H，可证得△P3HB≌△Q3OA，∴AO=BH，∴GO=GH，∵线段AB的中点G的横坐标为1，∴此时点P横坐标为2，由此当x=2时，y=﹣3，∴这是有符合条件的点P3（2，﹣3），∴所以符合条件的点为：P1的坐标为（﹣4，21），P2的坐标为（4，5）；P3（2，﹣3）．32、【解答】解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，﹣4），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x﹣1）2﹣4，又∵抛物线过点C（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣1）2﹣4，解得a=1，∴抛物线的函数关系式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3；（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，∴点P的纵坐标一定为4．令y=4，则x2﹣2x﹣3=4，解得x1=1+2，x2=1﹣2．∴点P的坐标为（1+2，4）或（1﹣2，4）．33、【解答】解：（1）由题意得，z=y（x﹣18）=（﹣2x+100）（x﹣18）=﹣2x2+136x﹣1800．故答案是：z=﹣2x2+136x﹣1800；（2）设月销售利润为w，则w=﹣2x2+140x﹣2000=﹣2（x﹣35）2+450，当x=35时，w取得最大，最大利润为450万元．答：当销售单价为35元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是450万元；（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，故当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．34、【解答】解：（1）设y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=kx+b，根据题意可得：，解得：．故y（千克）与x（元）（x＞0）的函数关系式为：y=﹣40x+560；（2）∵W=280元，∴280=（﹣40x+560）×（x﹣6）解得：x1=7，x2=13．答：当销售单价为7元或13元时，每天可获得的利润达到W=280元；（3）∵利润=销售量×（销售单价﹣进价）∴W=（﹣40x+560）（x﹣6）=﹣40x2+800x﹣3360=﹣40（x﹣10）2+640，当售价为10元，则y=560﹣400=160，160×6=960（元）＞720元，则当（﹣40x+560）×6=720，解得：x=11．即当销售单价为11元时，每天可获得的利润最大，最大利润是600元．35、【解答】方法一：解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：，解得：∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；∵点A、B关于直线l对称，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：，解得：∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；①若MA=MC，则MA2=MC2，得：m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；②若MA=AC，则MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±；③若MC=AC，则MC2=AC2，得：m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．（2）连接BC，∵l为对称轴，∴PB=PA，∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x=1代入l BC：y=﹣x+3，得P（1，2）．（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），∵△MAC为等腰三角形，∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，（1+1）2+（t﹣0）2=（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t=1，（1+1）2+（t﹣0）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t=±，（1﹣0）2+（t﹣3）2=（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1=6，t2=0，经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，），M2（1，﹣），M3（1，1），M4（1，0）．（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，作HG⊥AO，垂足为G，∴∠AHG+∠GHO=90°，∠AHG+∠GAH=90°，∴∠GHO=∠GAH，∴△GHO∽△GAH，∴HG2=GO•GA，∵A（﹣1，0），C（0，3），∴l AC：y=3x+3，H（﹣，），∵H为OO′的中点，∴O′（﹣，），∵D（1，4），∴l O′D：y=x+，l AC：y=3x+3，∴x=﹣，y=，∴Q（﹣，）．36【解答】解：（1）根据题目条件，A、B、C的坐标分别是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．将B、C的坐标代入y=ax2+c，得解得．所以抛物线的表达式是；（2）可设N（5，y N），于是．从而支柱MN的长度是10﹣4.5=5.5米；（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，则G点坐标是（7，0），（7=2÷2+2×3）．过G点作GH垂直AB交抛物线于H，则yH=﹣×72+6=3+＞3．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．37、【解答】解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣x+8）﹣40=﹣x2+10x﹣200，=﹣（x2﹣100x）﹣200=﹣[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．如上图，通过观察函数y=﹣（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣x+8，y随x的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．38、【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y=（90﹣30）=﹣120x+12000，综上所述：y=；（2）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000，y=﹣2（x﹣45）2+6050．∴a=﹣2＜0，∴二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，当x=45时，y最大=6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x=50时，y最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）①当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得：20≤x＜70，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；②当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得：x≤60，因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，所以该商品在整个销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．39、【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．（2）根据题意，﹣y=x2﹣2x﹣3，所以y=﹣x2+2x+3．（3）∵抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为（1，﹣4），当x=﹣2时，y=5，抛物线y=﹣x2+2x+3的顶点（1，4），当x=﹣2时，y=﹣5．∴当﹣2＜x＜2时，直线y=m与该图象有一个公共点，则4＜m＜5或﹣5＜m＜﹣4．40、解：（1）∵点A（1，0）在抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）上，∴a﹣5a+2=0，∴a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+2；（2）抛物线的对称轴为直线x=，∴点B（4，0），C（0，2），设直线BC的解析式为y=kx+b，∴把B、C两点坐标代入线BC的解析式为y=kx+b，得，解得k=﹣，b=2，∴直线BC的解析式y=﹣x+2；（3）设N（x，x2﹣x+2），分两种情况讨论：①当△OBC∽△HNB时，如图1，=，即=，解得x1=5，x2=4（不合题意，舍去），∴点N坐标（5，2）；②当△OBC∽△HBN时，如图2，=，即=﹣，解得x1=2，x2=4（不合题意舍去），∴点N坐标（2，﹣1）；综上所述点N坐标（5，2）或（2，﹣1）．。

中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)

中考数学专项复习《二次函数》练习题(附答案)一、单选题1．周长是4m的矩形，它的面积S(m2)与一边长x(m)的函数图象大致是() A．B．C．D．2．边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，如图所示，点B恰好落在函数y=ax2（a< 0）的图象上，则a的值为（）A．−√2B．-1C．−3√24D．−√233．图中是有相同最小值的两条抛物线，则下列关系中正确的是（）A．k＜n B．h=m C．k+n=0D．h＜0，m＞04．在平面直角坐标系中二次函数y1=﹣x2+4x 和一次函数y2=2x 的图象如图所示，那么不等式﹣x2+4x＞2x 的解集是（）A．x＜0B．0＜x＜4C．0＜x＜2D．2＜x＜45．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标是（1，2）C．对称轴是x=﹣1D．有最大值是26．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2A．16B．15C．14D．13 8．一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c+2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac=0；③a＞0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4 10．将抛物线y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y=(x+1)2+3B．y=(x+1)2−3C．y=(x−1)2+3D．y=(x−1)2−311．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2；⑤2a﹣b＜c．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知抛物线y=x2﹣2bx+4的顶点在x轴上，则b的值一定是（）A．1B．2C．﹣2D．2或﹣2二、填空题13．如图，甲，乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为a，b，使抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点的概率为．14．将抛物线y=﹣x2+1向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的抛物线解析式为．15．若抛物线y=2(x−3)2−8与x轴的两个交点分别为点A和点B，则线段AB的长为．16．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点的横坐标为m，则代数式m2﹣m+2016的值为．17．将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的表达式为．18．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式三、综合题19．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）.（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.20．已知二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；21．已知拋物线y=x2+bx+c经过点(−1，8)和(2，−7)．（1）试确定b，c的值．（2）直接写出x满足什么条件时y随x的增大而减小．22．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．（1）求点C的坐标和抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；（3）点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时求点Q的坐标．23．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1与y轴交于点C．（1）试用含m的代数式表示抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1沿直线y＝﹣1翻折，得到的新抛物线与y轴交于点D，若m＞0，CD＝8，求m的值．（3）已知A（﹣k+4，1），B（1，k﹣2），在（2）的条件下，当线段AB与抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣1只有一个公共点时请求出k的取值范围．24．如图，平面直角坐标系中以点C（2，√3）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．（1）求A，B两点的坐标；（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．参考答案1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】B8．【答案】C9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】11214．【答案】y=﹣（x﹣2）2+415．【答案】416．【答案】201717．【答案】y=(x−2)2+318．【答案】y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+119．【答案】（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等∴ME＝BE，MG=GN.∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN∴AM＝2ME∴AE＝3BE；（2）解：∵篱笆总长为100m∴2AB+GH+3BC＝100即2AB+12AB+3BC=100∴AB=40−65BC.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2则y=BC⋅AB=x(40−65x)=−65x2+40x∵AB =40−65BC∴B E ＝10﹣ 310x ＞0解得x ＜ 1003∴y =65x 2+40x （0＜x ＜ 1003 ）. 20．【答案】（1）解：由顶点A （−1，4），可设二次函数关系式为y ＝a （x ＋1）2＋4（a≠0）．∵二次函数的图象过点B （2，−5） ∴点B （2，−5）满足二次函数关系式 ∴−5＝a （2＋1）2＋4 解得a ＝−1．∴二次函数的关系式是y ＝−（x ＋1）2＋4； （2）解：令x ＝0，则y ＝−（0＋1）2＋4＝3 ∴图象与y 轴的交点坐标为（0，3）； 令y ＝0，则0＝−（x ＋1）2＋4 解得x 1＝−3，x 2＝1故图象与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．答：图象与y 轴的交点坐标为（0，3），与x 轴的交点坐标是（−3，0）、（1，0）．21．【答案】（1）解：∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点(−1，8)和(2，−7)∴{1−b +c =84+2b +c =−7解得{b =−6c =1；（2）解：由（1）可知，抛物线y =x 2−6x −1开口向上，对称轴为直线x =−−62×1=3 故在对称轴左侧，即当x <3时y 随x 的增大而减小．22．【答案】（1）解：对于y =ax 2+bx +5，当x =0时y =5∴C(0，5)∵抛物线y =ax 2+bx +5(a 为常数，a ≠0)交x 轴于点A(−1，0)和点B(5，0)∴{a −b +5=025a +5b +5=0解得{a =−1b =4∴抛物线的解析式为y =−x 2+4x +5；（2）解：∵B(5，0) C(0，5)∴OB =OC连接BC ，设BC 的中点为D∴D(52，52)∴直线OD 的解析式为y =x∵PB =PC∴点P 在直线OD 上 设P(m ，m)∵点P 是抛物线上一点∴m =−m 2+4m +5解得m =3±√292∴点P 的坐标为(3+√292，3+√292)或(3−√292，3−√292)；（3）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x =2 ∵点A 与点B 关于l 对称，点Q 在直线l 上 ∴QA =QB QA +QC =QB +QC∴当B ，C ，Q 三点共线时QB +QC 最小，即QA +QC 最小 设直线BC 的解析式为y =kx +b∴{b =55k +b =5解得{k =−1b =5∴直线BC 的解析式为y =−x +5 把x =2代入y =−x +5得，y =3∴Q(2，3)∴当QA +QC 最小时求点Q 的坐标(2，3)．23．【答案】（1）解：∵y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1＝（x ﹣m ）2﹣1∴抛物线的顶点坐标为（m ，﹣1）（2）解：由对称性可知，点C 到直线y ＝﹣1的距离为4 ∴OC ＝3 ∴m 2﹣1＝3 ∵m ＞0 ∴m ＝2（3）解：∵m ＝2，∴抛物线为y ＝x 2﹣4x+3，当抛物线经过点A （﹣k+4，1）时k ＝2+ √2 或k ＝2﹣ √2 ；当抛物线经过点B （1，k ﹣2）时k ＝2；∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点，则x 2-4x+3=x+k-3∴即x 2-5x+6-k=0的△=0∴25-4（6-k ）=0k=-0.25∵线段AB 与抛物线y ＝x 2﹣2mx+m 2﹣1只有一个公共点∴2﹣ √2 ＜k ＜2或k≥2+ √2 或k=-0.25．24．【答案】（1）解：过点C 作CM△x 轴于点M ，则MA=MB ，连结AC ，如图∵点C 的坐标为（2， √3 ） ∴OM=2 CM= √3 在Rt△ACM 中CA=2 ∴AM= √AC 2−CM 2 =1∴OA=OM ﹣AM=1 OB=OM+BM=3 ∴A 点坐标为（1，0），B 点坐标为（3，0）；（2）解：将A （1，0），B （3，0）代入y=x 2+bx+c 得 {1+b +c =09+3b +c =0解得 {b =−4c =3．所以二次函数的解析式为y=x 2﹣4x+3．。

中考二次函数综合题25题分类训练

中考二次函数综合题25题分类训练

(一)求线段最大值及根据面积求点坐标1、（2013•重庆）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值（二）求三角形周长及面积的最值问题3.（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．（三）为等腰或直角三角形是求点坐标5.（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．6、如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．7、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（四）四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．10.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．1.分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC 的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，平行四边形的判定和性质等知识点，综合性较强，考查学生运用方程组、数形结合的思想方法．（2）中弄清线段MN长度的函数意义是关键，（3）中确定P与Q的位置是关键．2.分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x 的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．点评：此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．3.分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．4.分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．点评：本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用轴对称确定最短路线问题，联立两函数解析式求交点坐标，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．5.分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m 的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．6.分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．点评：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰三角形等知识点，以及分类讨论的数学思想．第（2）问将面积的最值转化为二次函数的极值问题，注意其中求面积表达式的方法；第（3）问重在考查分类讨论的数学思想，注意三种可能的情形需要一一分析，不能遗漏．7.分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．8.分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．9.分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是 y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．点评：此题主要考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求二次函数解析式和函数交点求法以及平行四边形的性质等知识，利用数形结合得出PM=CE进而得出等式是解题关键．10.分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．。

中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案

中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案

中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题带答案一、单选题1．二次函数y=x 2﹣2x+4化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，下列正确的是（ ）A ．y=（x ﹣1）2+2B ．y=（x ﹣1）2+3C ．y=（x ﹣2）2+2D ．y=（x ﹣2）2+42．抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的对称轴和顶点坐标分别是（ ）．A ．x=1，（1，﹣4）B ．x=1（1，4）C ．x=﹣1，（﹣1，4）D ．x=﹣1，（﹣1，﹣4）3．把y=4x 2﹣4x+2配方成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y=（2x ﹣1）2+1B ．y=（2x ﹣1）2+2C ．y=（x ﹣ 12）2+1D ．y=4（x ﹣ 12）2+24．若把抛物线y ＝x 2－2x ＋1先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，则b 、c 的值为（ ） A ．b ＝2，c ＝－2 B ．b ＝－8，c ＝14 C ．b ＝－6，c ＝6D ．b ＝－8，c ＝185．直角坐标平面上将二次函数y=x 2-2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其顶点为（ ） A ．（0，0）B ．（1，-1）C ．（0，-1）D ．（-1，-1）6．将二次函数y=x 2+4x ﹣8化为y=（x+m ）2+n 的形式正确的是（ ）A ．y=（x+2）2+8B ．y=（x+2）2﹣8C ．y=（x+2）2+12D ．y=（x+2）2﹣127．若b<0，则二次函数y=x 2-bx-1的图象的顶点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．通过配方法将二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，此二次函数可变形为（ ）A ．y=a （x+ b 2a ）2+ 4ac−b 24aB ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ 4ac−b 24aC ．y=a （x+ b 2a ）2+ b 2−4ac 4aD ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ b 2−4ac 4a9．将二次函数y=x 2﹣2x+3化为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（ ）A ．y=（x+1）2+4B ．y=（x+1）2+2C ．y=（x ﹣1）2+4D ．y=（x ﹣1）2+210．抛物线y=﹣ 15 x 2+ 25x ﹣1，经过配方化成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式是（ ）A ．y =15(x +1)2−45B ．y =15(x −1)2+45C ．y =15(x −1)2−45D ．y =15(x +1)2+4511．如图，在 ΔABC 中 ∠B =90° ，tan ∠C =34,AB=6cm.动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动.若P,Q 两点分别从A,B 两点同时出发，在运动过程中 ΔPBQ 的最大面积是( )A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 212．如图，在平面直角坐标系中抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x ﹣h ）2+k ，则下列结论正确的是( )A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＜0，k ＞0C ．h ＜0，k ＜0D ．h ＞0，k ＜0二、填空题13．二次函数 y =−x 2+2x +3 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点， P 为它的顶点，则S △PAB = ．14．把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，那么h+k= 15．将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 16．若二次函数y=x 2+bx+5配方后为y=（x ﹣2）2+k ，则b+k= ．17．若将二次函数y=x 2﹣2x+3配方为y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则y= ． 18．已知抛物线的表达式是y =2(x +2)2−1，那么它的顶点坐标是 ；三、综合题19．如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．20．已知二次函数y= 2x2 -4x-6.（1）用配方法将y= 2x2 -4x-6化成y=a (x-h) 2 +k的形式；并写出对称轴和顶点坐标。

中考数学总复习《二次函数》专项练习题-附带参考答案

中考数学总复习《二次函数》专项练习题-附带参考答案

中考数学总复习《二次函数》专项练习题-附带参考答案一、选择题：（本题共8小题，共40分．）1．若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x﹣2）2+k，则b，k的值分别（）A．0，5 B．﹣4，1 C．﹣4，5 D．﹣4，﹣1 2．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点(0,−2)，且直线l//x轴.若直线l与二次函数y=3x2+a的图像交于A，B两点，与二次函数y=−2x2+b的图像交于C，D两点，其中a，b为整数.若AB=2，CD=4 .则b−a的值为( )A．9 B．11 C．16 D．24 3．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A(−2，0)、B(1，0)两点.则以下结论：①ac>0；②二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=−1；③2a+c=0；④a−b+c>0 .其中正确的有（）个.A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）、B（-2，2）、C（0，2），当抛物线y=2（x-a）2 +2a与四边形OABC的边有交点时a的取值范围是（）A．-1≤a≤0 B．−5−√132≤a≤−1−√52C．−4≤a≤−1+√52D．−5−√132≤a≤−1+√525.已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是( )A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜07．已知抛物线y=mx2+4x+m+3开口向下，且与坐标轴的公共点有且只有2个，则m的值为（）A．m=﹣4 B．m=﹣3或﹣4C．m﹣3、﹣4、0或1 D．﹣4＜m＜08．在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点，已知二次函数y=−x2+ bx(b>0)和反比例函数y=4x(x>0)的图象如图所示，它们围成的封闭图形（不包括边界）的整点个数为4，则b的取值范围是（）A．72<b≤103B．103<b≤4 C．174<b≤92D．4<b≤133二、填空题：（本题共5小题，共15分．）9．抛物线y=x2−10x+c的顶点在x轴上，则c=.10．请写出同时符合以下两个条件的一个二次函数的解析式；①过点（3，1）；②当x＞0时，y随x的增大而减小．11．已知点A（4，y1），B（√2，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y=（x﹣2）2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．12．如图，一条抛物线与x轴的交点为A、B两点，其顶点P在折线C﹣D﹣E上运动．若C、D、E的坐标分别为（﹣1，4）、（3、4）、（3，1），点B横坐标的最小值为1，则点A横坐标的最大值为．13．若二次函数y=ax2+2ax−3的图象与x轴的一个交点是（2，0），则与x轴的另一个交点坐标是．三、解答题：（本题共4题，共45分．）14．黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品和3件乙商品，需65元．（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11≤x≤19时，甲商品的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：销售单价x（元/件）11 19日销售量y（件）18 2请写出当11≤x≤19时，y与x之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？15．如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）16．已知抛物线经过A（－1，0）、B（0、3）、C（3，0）三点，O为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F(1)求抛物线的表达式；(2)求证：∠BOF＝∠BDF：(3)是否存在点M使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长COD＝60°，且OD＝OC．（1）A点坐标为，B点坐标为；（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边参考答案1.B2.B3.C4.D5.D6.A7.B8.B9.2510.y =−x 2+10 11.y 3＞y 1＞y 2 12.213.(−4，0)14.（1）设甲、乙两种商品的进货单价分别是a 、b 元/件，由题意得：{3a +2b =602a +3b =65解得：{a =10b =15．∴甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件．（2）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝k 1x +b 1，将（11，18），（19，2）代入得： {11k 1+b 1=1819k 1+b 1=2，解得：{k 1=−2b 1=40． ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x +40（11≤x ≤19）． （3）由题意得： w ＝（﹣2x +40）（x ﹣10）＝﹣2x 2+60x ﹣400＝﹣2（x ﹣15）2+50（11≤x ≤19）． ∴当x ＝15时，w 取得最大值50．∴当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．15.（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣7）2+2.88 将x ＝0，y ＝1.9代入上式并解得：a =−150故抛物线的表达式为：y =−150（x ﹣7）2+2.88； 当x ＝9时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24 当x ＝18时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝0.46＞0故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ 、OQ 交于点Q在Rt △OPQ 中，OQ ＝18﹣1＝17当y ＝0时，y =−150（x ﹣7）2+2.88＝0，解得：x ＝19或﹣5（舍去﹣5） ∴OP ＝19，而OQ ＝17故PQ ＝6√2=8.4 ∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1∴发球点O 在底线上且距右边线0.1米处． 16.(1)设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠ 将A （－1，0）、B （0、3）、C （3，0）代入得03093a b cc a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩ ∴抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；(2)四边形OBDC 是正方形 ,BO BD OBC DBC ∴=∠=∠ BF BF =()OBF DBF SAS ∴≅BOF BDF ∴∠=∠； (3)存在，理由如下：当点M 在线段BD 的延长线上时，此时90FDM ∠>︒ ∴ DF DM = 设(,3)M m设直线OM 的解析式为(0)y kx k =≠ 3km ∴=解得3k m=∴直线OM 的解析式为3y x m=设直线BC 的解析式为11(0)y k x b k =+≠把B （0、3）、 C （3，0）代入，得1303bk b =⎧⎨=+⎩解得131b k =⎧⎨=-⎩∴直线BC 的解析式为3y x =-+令33x x m =-+，解得33m x m =+，则93y m =+ 39(,)33m F m m ∴++ 四边形OBDC 是正方形 3BO BD OC CD ∴====(3,3)D222222239981(3)(3),(3)33(3)m m DF DM m m m m +∴=-+-==-+++ 222981(3)(3)m m m +∴=-+ 222981(9)m m ∴+=-解得0m =或33m =33m =-点M 为射线BD 上一动点 0m ∴> 33m ∴=33BM ∴=当2323y x x ==-++时，解得0x =或2x =2BE ∴=332ME BM BE ∴=-=．当点M 在线段BD 上时，此时 90DMF ∠>︒MF DM ∴=MFD MDF ∴∠=∠2BMO MFD MDF MDF ∴∠=∠+∠=∠ 由（2）得BOF BDF ∠=∠ 四边形OBDC 是正方形 90OBD ∴∠=︒90BOM BMO ∴∠+∠=︒ 390BOM ∴∠=︒ 30BOM ∴∠=︒ 3OB =3tan 33BM BOM OB ∴=∠⋅==2,3BE BD ==1DE =∴33123ME BD BM DE ∴=--==综上，ME 的长为332或2317.解：（1）y ＝23735322x x -+，令y ＝0，解得：x ＝2或5 故A 点坐标为：（2，0）、B 点坐标为（5，0）；（2）连接CD 、BD由（1）知：OA ＝2，AB ＝3，等边三角形ABC 的边长为3 ∵△ABC 为等边三角形∴AC ＝BC ，∠ACB ＝60°＝∠CAB ，∴∠CAO ＝120° ∵∠COD ＝60°，且OD ＝OC ，则△OCD 为等边三角形 ∴OD ＝CD ＝CO ，则∠OCD ＝60°＝∠OCA+∠ACD 而∠ACB ＝60°＝∠ACD+∠DCB ∴∠OCA ＝∠DCB 而CO ＝CD ，CA ＝CB∴△OAC ≌△DBC （SAS ）∴BD ＝OA ＝2，∠CBD ＝∠CAO ＝120°，而∠CBO ＝60° ∴∠OBD ＝60°，则y D ＝﹣BDsin ∠OBD ＝﹣2×32＝﹣3 故点D 的坐标为（4，﹣3）当x ＝4时，y ＝23735322x x -+＝﹣3 故点D 在抛物线上；（3）抛物线的对称轴为：x ＝72设点M （72，s ），点N （m ，n ）n ＝32m 2﹣732m+53①当OD 是平行四边形的边时 当点N 在对称轴右侧时点O 向右平移4个单位，向下平移3个单位得到D 同样点M 向右平移4个单位，向下平移3个单位得到N即：72+4＝m ，s ﹣3＝n ，而n ＝32m 2﹣732m+53解得：s＝633 8则点M（72，6338）；当点N在对称轴左侧时同理可得：点M（72，2738）；②当OD是平行四边形的对角线时则4＝72+m3n+s，而n＝3m2733解得：s＝73则点M（72，73）故点M的坐标为：（72，633）或（72，273）或（72，73）．。

中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案

中考复习专题二次函数分类讲解复习以及练习题含答案

1、二次函数的定义定义： y=ax2 ＋ bx ＋ c a 、 b 、 c 是常数, a ≠ 0 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式练习：1、y=-x2,y=2x2-2/x,y=100-5 x2,y=3 x2-2x3+5,其中是二次函数的有____个;2.当m_______时,函数y=m+1χ - 2χ+1 是二次函数2、二次函数的图像及性质例2：已知二次函数1求抛物线开口方向,对称轴和顶点M 的坐标;2设抛物线与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,求C,A,B 的坐标;抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 最值y=ax2+bx+ca>0y=ax 2+bx+ca<0由a,b 和c 的符号确定由a,b 和c 的符号确定 a>0,开口向上a<0,开口向下在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22abx 2-=直线abx 2-=直线23212-+=x x y3x为何值时,y随的增大而减少,x为何值时,y有最大小值,这个最大小值是多少4x为何值时,y<0x为何值时,y>03、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点,通常设解析式为________________y=ax2+bx+ca≠02,顶点式：已知抛物线顶点坐标h, k,通常设抛物线解析式为_______________求出表达式后化为一般形式.y=ax-h2+ka≠03,交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点x1,0、x2,0,通常设解析式为_____________求出表达式后化为一般形式.y=ax-x1x-x2 a≠0练习：根据下列条件,求二次函数的解析式;1、图象经过0,0, 1,-2 , 2,3 三点；2、图象的顶点2,3, 且经过点3,1 ；3、图象经过0,0, 12,0 ,且最高点的纵坐标是3 ;例1已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点3,-6;求a、b、c;解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时,x=1∴顶点坐标为 1 , 2∴设二次函数的解析式为y=ax-12+2又∵图象经过点3,-6∴-6=a 3-12+2 ∴a=-2∴二次函数的解析式为y=-2x-12+2即： y=-2x2+4x4、a,b,c符号的确定抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：1a的符号：由抛物线的开口方向确定2C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定.3b的符号：由对称轴的位置确定4b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定5a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以a+b+c的符号由x=1时,对应的y值决定;当x=1时,y>0,则a+b+c>0当x=1时,y<0,则a+b+c<0当x=1时,y=0,则a+b+c=06a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c的符号由x=-1时,对应的y值决定;当x=-1,y>0,则a-b+c>0当x=-1,y<0,则a-b+c<0当x=-1,y=0,则a-b+c=0练习１、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a<0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0D、a<0,b<0,c<02、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c的符号为A、a>0,b>0,c=0B、a<0,b>0,c=0C、a<0,b<0,c<0D、a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示,则a、b、c 、△的符号为A、a>0,b=0,c>0,△>0B、a<0,b>0,c<0,△=0C、a>0,b=0,c<0,△>0D、a<0,b=0,c<0,△<0熟练掌握a,b, c,△与抛物线图象的关系上正、下负左同、右异4.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点和二、三、四象限,判断a、b、c的符号情况：a 0,b 0,c 0.5.抛物线y=ax2+bx+ca≠0的图象经过原点,且它的顶点在第三象限,则a、b、c满足的条件是：a 0,b 0,c 0.6.二次函数y=ax2+bx+c中,如果a>0,b<0,c<0,那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图,再根据图象以及性质确定结果数形结合的思想7.已知二次函数的图像如图所示,下列结论;⑴a+b+c=0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是A 1个B 2个C 3个D 4个要点：寻求思路时,要着重观察抛物线的开口方向,对称轴,顶点的位置,抛物线与x轴、y轴的交点的位置,注意运用数形结合的思想;5、抛物线的平移左加右减,上加下减 练习⑴二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x2-3的图象； 二次函数y=2x2的图象向 平移 个单位可得到y=2x-32的图象; ⑵二次函数y=2x2的图象先向 平移 个单位,再向 平移 个单位可得到函数y=2x+12+2的图象;引申：3由二次函数y=x2的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象.y=x2-5x+66二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与b2-4ac 的关系我们知道:代数式b2-4ac 对于方程的根起着关键的作用.二次函数y=ax2＋bx ＋c 的图象和x 轴交点的横坐标,便是对应的一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的解;二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x 轴交点有三种情况: 1有两个交点b2 – 4ac > 0 2有一个交点b2 – 4ac= 0 3没有交点 b2 – 4ac< 0若抛物线y=ax2+bx+c 与x 轴有交点,则b2 – 4ac ≥0例1如果关于x 的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线 y=x2-2x+m 与x 轴有＿＿＿＿个交点.2已知抛物线 y=x2 – 8x +c 的顶点在 x 轴上,则c=＿＿＿＿.y=x 24125(2--=x y .2422,1aacb b x -±-=∴3一元二次方程 3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3, 那么二次函数y= 3 x2+x-10与x轴的交点坐标是＿＿＿＿.7二次函数的综合运用1.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为1,5或1,-5所以其解析式为:1 y=x-12+52 y=x-12-53 y=-x-12+54 y=-x-12-5 展开成一般式即可.2.若a+b+c=0,a0,把抛物线y=ax2+bx+c 向下平移 4个单位,再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是-2,0,求原抛物线的解析式. 分析:1由a+b+c=0可知,原抛物线的图象经过1,0 2 新抛物线向右平移5个单位, 再向上平移4个单位即得原抛物线练习题1．直线y ＝3 x －1与y ＝x －k 的交点在第四象限,则k 的范围是………………A k ＜31 B 31＜k ＜1 C k ＞1 D k ＞1或k ＜1 提示由⎩⎨⎧-=-=k x y x y 13,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.23121k y k x 因点在第四象限,故21k -＞0,231k -＜0．∴ 31＜k ＜1．答案B ．点评本题应用了两函数图象交点坐标的求法,结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图,则下列各式中成立的个数是…………1abc ＜0； 2a ＋b ＋c ＜0； 3a ＋c ＞b ； 4a ＜－2b ． A1 B2 C3 D4 提示由图象知a ＜0,－ab2＞0,故b ＞0,而c ＞0,则abc ＜0．当x ＝1时,y ＞0,即a ＋c －b ＞0；当x ＝－1时,y ＜0,即a ＋c －b ＜0． 答案B ．点评本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a ＜0,把4a ＜－2b 两边同除以a ,得1＞－ab 2,即－a b 2＜1,所以4是正确的；也可以根据对称轴在x ＝1的左侧,判断出－a b 2＜1,两边同时乘a ,得a ＜－2b ,知4是正确的．3．若一元二次方程x 2－2 x －m ＝0无实数根,则一次函数y ＝m ＋1x ＋m －1的图象不经过………………………………………………………………………………… A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限提示由＝4＋4 m ＜0,得m ＋1＜0,则m －1＜0,直线过第二、三、四象限． 答案A ．点评本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意,题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图,已知A ,B 是反比例函数y ＝x2的图象上两点,设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S 1,S 2,则……………………………………………………………… A S 1＝S 2 B S 1＞S 2 C S 1＜S 2 D 上述A 、B 、C 都可能 提示因为S APOQ ＝|k |＝2,S MONB ＝2,故S 1＝S 2． 答案A ．点评本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线,由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k |．5．若点A 1,y 1,B 2,y 2,C ,y 3在反比例函数y ＝－xk 12＋的图象上,则A y 1＝y 2＝y 3B y 1＜y 2＜y 3C y 1＞y 2＞y 3D y 1＞y 3＞y 2提示因－k 2＋1＜0,且－k 2＋1＝y 1＝2 y 2＝y 3,故y 1＜y 2＜y 3．或用图象法求解,因－k 2＋1＜0,且x 都大于0,取第四象限的一个分支,找到在y 轴负半轴上y 1,y 2,y 3 的相应位置即可判定． 答案B ．点评本题是反比例函数图象的性质的应用,图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－k 2＋1＜0．6．直线y ＝ax ＋c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系内大致的图象是……A B C D提示两个解析式的常数项都为c ,表明图象交于y 轴上的同一点,排除A,B ．再从a 的大小去判断． 答案D ．点评本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．B 错误的原因是由抛物线开口向上,知a ＞0,此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y ＝x 2－1840 x ＋1997与x 轴的交点是m ,0n ,0,则m 2－1841 m ＋1997n 2－1841 n ＋1997的值是…………………………………………… A1997 B1840 C1984 D1897提示抛物线与x 轴交于m ,0n ,0,则m ,n 是一元二次方程x 2－1840 x ＋1997＝0的两个根．所以m 2－1840 m ＋1997＝0,n 2－1840 n ＋1997＝0,mn ＝1997．原式＝m 2－1840 m ＋1997－mn 2－1840 n ＋1997－n ＝mn ＝1997． 答案A ．点评本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系,应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点,并要灵活地把所求代数式进行适当的变形． 8．某乡的粮食总产量为aa 为常数吨,设这个乡平均每人占有粮食为y 吨,人口数为x ,则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………A B C D 提示粮食总产量一定,则人均占有粮食与人口数成反比,即y ＝xa．又因为人口数不为负数,故图象只能是第一象限内的一个分支． 答案D ．点评本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．A 错在画出了x ＜0时的图象,而本题中x 不可能小于0． 二填空题每小题4分,共32分9．函数y ＝12-x ＋11-x 的自变量x 的取值范围是____________． 提示由2 x －1≥0,得x ≥21；又x －1≠0,x ≠1．综合可确定x 的取值范围．答案x ≥21,且x ≠1．10．若点Pa －b ,a 位于第二象限,那么点Qa ＋3,ab 位于第_______象限． 提示由题意得a ＞0,a －b ＜0,则b ＞0．故a ＋3＞0,ab ＞0． 答案一．11．正比例函数y ＝kk ＋112--k k x 的图象过第________象限．提示由题意得k 2－k －1＝1,解得k 1＝2,k 2＝－1舍去,则函数为y ＝6 x ． 答案一、三．点评注意求出的k ＝－1使比例系数为0,应舍去．12．已知函数y ＝x 2－2m ＋4x ＋m 2－10与x 轴的两个交点间的距离为22,则m ＝___________．提示抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式||a ∆来求．本题有∆＝)10(4)42(22--+m m ＝5616+m ＝22,故m ＝－3． 答案－3．点评抛物线与x 轴两交点间距离的公式为||a ∆,它有着广泛的应用．13．反比例函数y ＝xk的图象过点Pm ,n ,其中m ,n 是一元二次方程x 2＋kx ＋4＝0的两个根,那么P 点坐标是_____________．提示Pm ,n 在双曲线上,则k ＝xy ＝mn ,又mn ＝4,故k ＝4． 答案－2,－2．点评本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k ＝mn ＝4是关键．14．若一次函数y ＝kx ＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x ≤6,相应函数值y 的范围是－11≤y ≤9,则函数解析式是___________．提示当k ＞0时,有⎩⎨⎧+=+-=-b k b k 69211,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.625b k当k ＜0时,有⎩⎨⎧+-=+=-b k b k 29611,解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.425b k答案y ＝25x －6或y ＝－25x ＋4．点评因k 是待定字母,而k 的不同取值,导致线段分布象限不一样,自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同．故本例要分k ＞0时自变量最大值对应函数最大值,与k ＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论． 15．公民的月收入超过800元时,超过部分须依法缴纳个人收入调节税,当超过部分不足500元时,税率即所纳税款占超过部分的百分数相同．某人本月收入1260元,纳税23元,由此可得所纳税款y 元与此人月收入x 元(800＜x ＜1300)间的函数关系为____________． 提示因1260－800＝460,46023＝5%,故在800＜x ＜1300时的税率为5%． 答案y ＝5%x －800．点评本题是与实际问题相关的函数关系式,解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税,而是超过800元的部分才纳税,故列函数式时月收入x 须减去800． 16．某种火箭的飞机高度h 米与发射后飞行的时间t 秒之间的函数关系式是h ＝－10 t 2＋20 t ,经过_________秒,火箭发射后又回到地面．提示火箭返回地面,即指飞行高度为0,则－10 t 2＋20 t ＝0,故t ＝0或t ＝20． 答案20．点评注意：t ＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面,但未发射,而不是返回地面． 三解答题17．6分已知y ＝y 1＋y 2,y 1 与x 成正比例,y 2 与x 成反比例,并且x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5,求当x ＝4时y 的值．解设y 1＝k 1x ,y 2＝xk 2,则y ＝k 1x ＋xk 2．把x ＝1时y ＝4,x ＝2时y ＝5分别代入上式,得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=22542121k k k k ,解得∴ 函数解析式为y ＝2 x ＋x 2． 当x ＝4时,y ＝2×4＋42＝217．∴ 所求的y 值为217．点评本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y 1,y 2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k 1,k 2 表示出来,而不能仅用一个k 值表示．18．6分若函数y ＝kx 2＋2k ＋1x ＋k －1与x 轴只有一个交点,求k 的值． 提示本题要分k ＝0,k ≠0两种情况讨论．解当k ＝0时,y ＝2 x －1,是一次函数,此时,直线与x 轴必有一个交点．当k ≠0时,函数为二次函数,此时,＝4k ＋12－4 kk －1＝12 k ＋4＝0．∴ k ＝－31． ∴ 所求的k 值为0或－31． 点评注意,当问题中未指明函数形式,而最高次项系数含字母时,要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时,直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时,在＝0的条件下,图象与x 轴只有一个交点．19．8分已知正比例函数y ＝4 x ,反比例函数y ＝xk．1当k 为何值时,这两个函数的图象有两个交点k 为何值时,这两个函数的图象没有交点2这两个函数的图象能否只有一个交点若有,求出这个交点坐标；若没有,请说明理由． 解由y ＝4 x 和y ＝xk ,得 4 x 2－k ＝0,＝16 k ．1当＞0,即k ＞0时,两函数图象有两个交点；当＜0,即k ＜0时,两函数图象没有交点；2∵ 比例系数k ≠0,故≠0．∴ 两函数图象不可能只有一个交点．20．8分如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图,横断面的地平线为x 轴,横断面的对称轴为y 轴,桥拱的D ′GD 部分为一段抛物线,顶点G 的高度为8米,AD 和AD ′是两侧高为米的立柱,OA 和OA ′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD 和CD ′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4．1求桥拱DGD ′所在抛物线的解析式及CC ′的长．2BE 和B ′E ′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB 和A ′B ′为两个方向的行人及非机动车通行区,试求AB 和A ′B ′的宽．3按规定,汽车通过桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不可小于米,今有一大型运货汽车,装载上大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离为7米,它能否从OAOA ′安全通过请说明理由．分析欲求函数的解析式,关键是求出三个独立的点的坐标,然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G 、D ′的坐标,当然也可由对称轴x ＝0解之．至于求CC ′、AB 、A ′B ′的数值,则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过,则只需在抛物线的解析式中令x ＝4,求出相应的y 值,即可作出明确的判断．解1由题意和抛物线的对称轴是x ＝0,可设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋c ．由题意得G 0,8,D 15,∴ ⎩⎨⎧=+=.5.52258c a c∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=.8901c a∴ y ＝2901x -＋8．又 AC AD ＝41且AD ＝, ∴ AC ＝×4＝22米．∴ CC ′＝2C ＝2×OA ＋AC ＝2×15＋22＝74米．∴ CC ′的长是74米．2∵ BC EB ＝41,BE ＝4, ∴ BC ＝16．∴ AB ＝AC －BC ＝22－16＝6米．A ′B ′＝AB ＝6米．3此大型货车可以从OAOA ′区域安全通过．在y ＝2901x -＋8中,当x ＝4时,y ＝－901×16＋8＝45377,而 45377－7＋＝4519＞0, ∴ 可以从OA 区域安全通过． 21．8分已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象抛物线G 经过－5,0,0,25,1,6三点,直线l 的解析式为y ＝2 x －3．1求抛物线G 的函数解析式；2求证抛物线G 与直线l 无公共点；3若与l 平行的直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点P ,求P 点的坐标．分析1略；2要证抛物线G 与直线l 无公共点,就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；3直线y ＝2 x ＋m 与抛物线G 只有一个公共点,就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解,求出这组解,就得P 点的坐标．解1∵ 抛物线G 通过－5,0,0,25,1,6三点, ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==--=cb ac c b a 6255250,解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.25321c b a∴ 抛物线G 的解析式为y ＝21x 2＋3 x ＋25． 2由⎪⎩⎪⎨⎧++=-=25321322x x y x y , 消去y ,得21x 2＋x ＋211＝0, ∵ ＝12－4×21×211＝－10＜0, ∴ 方程无实根,即抛物线G 与直线l 无公共点．3由⎪⎩⎪⎨⎧++=+=2532122x x y m x y ,消去y ,得21x 2＋x ＋25－m ＝0． ① ∵ 抛物线G 与直线y ＝2 x ＋m 只有一个公共点P ,∴ ＝12－4×21×25－m ＝0． 解得m ＝2． 把m ＝2代入方程①,解得x ＝－1． 把x ＝－1代入y ＝21x 2＋3 x ＋25,得y ＝0． ∴ P －1,0．点评本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识,其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．。

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案

中考数学总复习《二次函数》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．要得到二次函数y=−x2图象，可将y=−(x−1)2+2的图象如何移动（）A．向左移动1单位，向上移动2个单位B．向右移动1单位，向上移动2个单位C．向左移动1单位，向下移动2个单位D．向右移动1单位，向下移动2个单位2．若二次函数y=a x2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第二象限，且过点（0，1）和（1，0），则m=a-b+c的值的变化范围是（）A．0<m<1B．0<m<2C．1<m<2D．-1<m<13．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1−(x−a)(x−b)=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b4．对于二次函数y=x2﹣2mx﹣3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②若当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=﹣1；④若当x=4时的函数值与x=2时的函数值相等，则当x=6时的函数值为﹣3．其中正确的说法是（）A．①②③B．①④C．②④D．①②④5．已知二次函数y=x2+2mx+m的图象与x轴交于A(a，0)，B(b，0)两点，且满足，4≤a+b≤6.当1≤x≤3时，该函数的最大值H与m满足的关系式是（）A．H=3m+1B．H=5m+4C．H=7m+9D．H=−m2+m6．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣1），且顶点在第三象限，则a的取值范围是（）A．a＞0B．0＜a＜1C．1＜a＜2D．﹣1＜a＜17．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．正方形的边长为3，边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（）A．y=(x+3)2B．y=x2+9C．y=x2+6x D．y=3x2+12x9．若将抛物线y=2x2+1先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得抛物线的表达式为（）A．y=2(x−1)2−2B．y=2(x+1)2−2C．y=2(x−1)2+3D．y=2(x+1)2+310．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，在下列五个结论中：①2a−b<0；②abc<0；③a+b+c<0；④a−b+c>0；⑤4a+2b+c>0.其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝﹣3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣1，x2＝﹣312．已知某种礼炮的升空高度ℎ(m)与飞行时间t(s)的关系式是ℎ=−52t2+20t+1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为（）A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s二、填空题13．若把函数y=x的图象用E(x，x)记，函数y=2x+1的图象用E（x，2x+1）记，……则E(x，x2−2x+3)图象上的最低点是.14．有一个角是60°的直角三角形，它的面积S与斜边长x之间的函数关系式是．15．如图，点P是双曲线C：y=4x（x>0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y=12x−2于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△ POQ面积的最大值是.16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如表：下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）x﹣5﹣4﹣202y60﹣6﹣4617＜3时，x的取值范围是．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2ax与直线y=x+2的图象在-1≤x≤1的范围有且只有一个公共点P，则a的取值范围是．三、综合题19．已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）过点D（0，74）作x轴的平行线交抛物线于E，F两点，求EF的长；（3）当y≤ 74时，直接写出x的取值范围是.20．已知抛物线y=−12x2+bx+c经过点(1，0)，(0，32).（1）求该抛物线的函数表达式；（2）将抛物线y=−12x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.21．如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2.（1）求S与的函数关系式及x的取值范围.（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？22．如图，二次函数y=−x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D（1）求点A，B，C的坐标．（2）求△BCD的面积23．给出两种上宽带网的收费方式：收费方式月使用费/元包月上网时间/h超时费/（元/ min）A30250.05B50500.0512（1）直接写出y1,y2与x之间的函数关系式；（2）x为何值时，两种收费方式一样？（3）某用户选择B方式宽带网开网店.若该用户上网时间x小时，产生y=−x2+ax+1950（元）（a>103）的经济收益.若某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，直接写出a的值.（上网利润=上网经济收益－月宽带费）24．已知抛物线y=ax2−2ax+c(a<0)的图象过点A（3，m）.（1）当a＝－1，m＝0时，求抛物线的顶点坐标；（2）若P（t，n）为该抛物线上一点，且n＜m，求t的取值围；（3）如图，直线l：y=kx+c(k<0)交抛物线于B，C两点，点Q（x，y）是抛物线上点B，C之间的一个动点，作QD△x轴交直线l于点D，作QE△y轴于点E，连接DE.设△QED＝b，当2≤x≤4时，b 恰好满足30°≤β≤60°，求a的值.参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】A4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】B13．【答案】（1，2）14．【答案】√38x 215．【答案】3 16．【答案】①③④ 17．【答案】－1＜x ＜3 18．【答案】a≥0或a≤-119．【答案】（1）解：把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx+3解得：a ＝﹣1，b ＝2抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3（2）解：把点D 的y 坐标y ＝ 74，代入y ＝﹣x 2+2x+3解得：x ＝ 12 或 32则EF 长 =32−(−12)=2 （3）x ≤12 或 x ≥32.20．【答案】解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32，解得：{b =−1c =32，则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）将抛物线y =−12x 2+bx +c 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解：抛物线解析式为y =−12x 2−x +32=−12(x +1)2+2，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y =−12x 2.（1）解：把(1，0)，(0，32)代入抛物线解析式得：{−12+b +c =0c =32解得：{b =−1c =32则抛物线解析式为y =−12x 2−x +32（2）解：抛物线解析式为y=−12x2−x+32=−12(x+1)2+2将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=−12x2.21．【答案】解：AB为xm，则BC就为（24-3x）m，S=(24-3x)x=24x-3x2，∵x＞0，且10≥24-3x＞0，∴143≤x＜8. (2)如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？解：45=24x-3x2，解得x=5或x=3；故AB的长为5米.（1）解：AB为xm，则BC就为（24-3x）mS=(24-3x)x=24x-3x2∵x＞0，且10≥24-3x＞0∴143≤x＜8.（2）解：45=24x-3x2解得x=5或x=3；故AB的长为5米.22．【答案】（1）解：令y=0，可得x=3或x=﹣1．令x=0，可得y=3．∴A（-1，0）B（3，0）C（0，3）（2）解：依题意，可得y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4．∴顶点D（1，4）．令y=0，可得x=3或x=-1．∴令x=0，可得y=3．∴C（0，3）．∴OC=3，∴直线DC的解析式为y=x+3．设直线DE交x轴于E．∴BE=6．∴S△BCD=S△BED-S△BCE=3．∴△BCD的面积为3．23．【答案】（1）解：由题意可得：A、B两种收费超时收费都为0.05×60=3元/小时A种上网的月收费为y1=30+3(x−25)=3x−45；B种上网的月收费可分①当25≤x≤50时，y2=50，②当x>50时，y2=50+3(x−50)=3x−100综上所述：y2={50,25≤x≤503x−100,x>50.（2）解：由（1）可分：①当25≤x≤50时，两种收费一样，则有3x−45=50解得：x=953②当x>50时，两种收费一样，则有3x−45=3x−100，方程无解，故不成立∴综上所述：当上网时间为953小时，两种上网收费一样；答：当上网时间x为953小时，两种上网收费一样.（3）解：设上网利润为w元，则由题意得：①当上网时间25≤x≤50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−50=−x2+ax+1900∵a>103∴x=a2>50∵该二次函数的图象开口向下，在25≤x≤50，y随x的增大而增大∴该用户上网获得的利润最大值为5650元，所以当x=50时，则有：−2500+50a+1900=5650，解得：a=125；②当x>50时，上网利润为w=−x2+ax+1950−3x+100=−x2+(a−3)x+2050∴该二次函数的图象向下，对称轴为直线x=a−3 2∵a>103∴x=a−32>50∴y随x的增大而减小∴当x=a−32时，y有最大值，即−(a−32)2+(a−3)(a−32)+2050=5650解得：a1=123,a2=−117（不符合题意，舍去）综上所述：当某月该用户上网获得的利润最大值为5650元，则a=125或123. 24．【答案】（1）解：当a＝－1，m＝0时，y=−x2+2x+c，A点的坐标为（3，0）∴－9＋6＋c＝0.解得c＝3∴抛物线的表达式为y=−x2+2x+3.即y=−(x−1)2+4.∴抛物线的顶点坐标为（1，4）.（2）解：∵y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−2a−2a=1∴点A关于对称轴的对称点为（－1，m）.∵a<0∴当x<1，y随x的增大而增大；当x>1，y随x的增大而减小.又∵n ＜m∴当点P 在对称轴左边时，t ＜－1； 当点P 在对称轴右边时，t ＞3.综上所述：t 的取值范围为t ＜－1或t ＞3； （3）解：∵点Q （x ，y ）在抛物线上 ∴y =ax 2−2ax +c .又∵QD△x 轴交直线 l ：y =kx +c(k <0) 于点D ∴D 点的坐标为（x ，kx ＋c ）.又∵点Q 是抛物线上点B ，C 之间的一个动点 ∴QD =ax 2−2ax +c −(kx +c)=ax 2−(2a +k)x . ∵QE ＝x∴在Rt△QED 中， tanβ=QD QE =ax 2−(2a+k)x x=ax −2a −k . ∴tanβ 是关于x 的一次函数 ∵a ＜0∴tanβ 随着x 的增大而减小.又∵当 2≤x ≤4 时， β 恰好满足 30°≤β≤60° ，且 tanβ 随着 β 的增大而增大 ∴当x ＝2时， β ＝60°；当x ＝4时， β ＝30°. ∴{2a −2a −k =√34a −2a −k =√33解得 {k =−√3a =−√33∴a =−√33.。

中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题及答案

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中考数学专项复习《二次函数的三种形式》练习题及答案一、单选题1．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（）A．（1，﹣2）B．（1，2）C．（﹣1，2）D．（﹣1，﹣2）2．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（)A．y＝(x－2)2－1B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋7D．y＝(x＋2)2＋73．把二次函数y=x2﹣2x﹣1配方成顶点式为（）A．y=（x﹣1）2B．y=（x+1）2﹣2C．y=（x+1）2+1D．y=（x﹣1）2﹣24．已知二次函数y=(x−1m)(mx−4m)（其中m＞0），下列说法正确的是（）A．当x＞2时，都有y随着x的增大而增大B．当x＜3时，都有y随着x的增大而减小C．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≥2+12mD．若x＜n时，都有y随着x的增大而减小，则n≤2+12m5．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．-5B．5C．3D．-36．用配方法将y=x2﹣8x+12化成y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+4B．y=（x﹣4）2﹣4C．y=（x﹣8）2+4D．y=（x﹣8）2﹣47．将二次函数y=x2-4x-1化为y=（x-h）2+k的形式，结果为（）A．y=(x+2)2+5B．y=(x+2)2−5C．y=(x−2)2+5D．y=(x−2)2−5 8．将二次函数y=x2﹣2x﹣3化成y=（x﹣h）2+k形式，则h+k结果为（）A．﹣5B．5C．3D．﹣39．抛物线y=(x+2)2−3的对称轴是（）A．直线x=2B．直线x=-2C．直线x=-3D．直线x=310．抛物线y=(x−2)2的顶点坐标是（）A．（2，0）B．（－2，0）C．（0，2）D．（0，－2）11．下列二次函数中，顶点坐标是（2，－3）的函数解析式为（）A．y=(x-2)2+3B．y=(x+2)2+3C．y=(x-2)2-3D．y=(x+2)2-312．通过配方法将二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a（x﹣h）2+k的形式，此二次函数可变形为（ ）A ．y=a （x+ b 2a ）2+ 4ac−b 24aB ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ 4ac−b 24aC ．y=a （x+ b 2a ）2+ b 2−4ac 4aD ．y=a （x ﹣ b 2a ）2+ b 2−4ac 4a二、填空题13．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，那么抛物线y=x 2+bx+c 的顶点坐标为 .14．如图，正方形ABCD 的顶点A ，B 与正方形EFGH 的顶点G ，H 同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在CD 和y 轴上，正方形边AB 与EF 同时落在x 轴上，若正方形ABCD 的边长为4，则正方形EFGH 的边长为15．抛物线y=x 2-2x+5化成y=a(x-h)2+k 的形式是 ．16．将二次函数y=x 2﹣2x+3写成y=a （x ﹣h ）2+k 的形式为 17．将二次函数y=x 2﹣2x+4化成y=（x ﹣h ）2+k 的形式，则k=18．把二次函数的表达式y=x 2﹣6x+5化为y=a （x ﹣h ）2+k 的形式，那么h+k=三、综合题19．把下列函数化为y=a （x+m ）2+k 形式，并求出各函数图象的顶点坐标、对称轴、最大值或最小值：（1）y=x 2﹣2x+4； （2）y=100﹣5x 2．20．已知二次函数y=x 2﹣6x+8．（1）将解析式化成顶点式；（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小．21．如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．22．已知二次函数y=x2−2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.（1）当a＝﹣1，m＝1时.①求点D的坐标；②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.（2）当m＝23时，若另一个抛物线y＝ax2﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.24．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．参考答案1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】B10．【答案】A11．【答案】C12．【答案】A13．【答案】( 32,- 14)14．【答案】2 √5﹣215．【答案】y=(x-1)2+416．【答案】y=（x﹣1）2+217．【答案】318．【答案】﹣119．【答案】（1）解：y=x2﹣2x+4=x2﹣2x+1+3=（x﹣1）2+3．顶点坐标是（1，﹣1），对称轴为x=1，最小值为﹣1（2）解：y=100﹣5x2．顶点坐标是（0，100），对称轴为x=0，最大值为10020．【答案】（1）解：y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=（x﹣3）2﹣1（2）解：开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是（3，﹣1）（3）解：x＞3时，y随x的增大而增大；x＜3时，y随x增大而减小21．【答案】（1）解：∵OM=ON=4∴M点坐标为（4，0），N点坐标为（0，4）设抛物线解析式为y=a（x﹣4）2把N（0，4）代入得16a=4，解得a= 1 4所以抛物线的解析式为y= 14（x﹣4）2= 14x2﹣2x+4（2）解：∵点A的横坐标为t∴DM=t﹣4∴CD=2DM=2（t﹣4）=2t﹣8把x=t代入y= 14x2﹣2x+4得y= 14t2﹣2t+4∴AD= 14t2﹣2t+4∴l=2（AD+CD）=2（14t2﹣2t+4+2t﹣8）= 12t2﹣8（t＞4）22．【答案】（1）解：∵⊥=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）解：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3∴把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．23．【答案】（1）解：①解：当a=-1，m=1时y=−x2−x+2= −(x+12)2+94∴点D的坐标为(−12，94)②∵y=−x2−x+2当y=0时解得：x1=−2∴点A的坐标为(−2，0)设直线AD的表达式为：y=kx+b（k≠0）{0=−2k+b94=−12k+b解得{k=32b=3∴直线AD的表达式为：y=32x+3∵F为线段AD上一动点设点F的横坐标为t∵FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P∴点P的横坐标也为t，点P的纵坐标为−t2−t+2∴P (t,−t2−t+2)，H（t，0)∴PH+OH= −t2−t+2+0−t= −t2−2t+2= −(t+1)2+3∴当t=−1时，PH+OH有最大值当t=−1时，y=32×(−1)+3= 32∴F（−1，3 2）（2）解：∵m= 2 3∴y＝ax2+(2a−ma)x−2am= ax2+(2a−23a)x−43a= a(x+23)2−169a∴D (−23，−169a)∵y＝ax2−(6a+ma)x+6am= ax2−(6a+23a)x+4a= a(x−103)2−649a∴E (103，−649a)∵y＝ax2+(2a−23a)x−43a当y=0时，ax2+(2a−23a)x−43a=0解得x1=−2∴A（-2，0）设直线AD的表达式为：y=mx+n{−2m+n=0−23m+n=−169a解得{m=−43an=−83a∴直线AD的表达式为y=−43ax−83a当x=103，y=−43a⋅103−83a= −649a∴点E在直线AD上∴直线AD经过点E.24．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2）对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0∴函数的最小值为：﹣1 2。

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题1 二次函数的图象与性质(一)(含答案及解析)

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题1 二次函数的图象与性质(一)(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m．设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是（）A．y＝﹣x2+50x B．y=−12x2+24xC．y=−12x2+25x D．y=−12x2+26x【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（）A．y=−12x2+26x（2≤x＜52）B．y=−12x2+50x（2≤x＜52）C．y＝﹣x2+52x（2≤x＜52）D．y=−12x2+27x﹣52（2≤x＜52）【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．答案及解析专题1 二次函数的图象与性质（一）-重难点题型还需使实际问题有意义．【题型1 判断二次函数的个数】【例1】（2020秋•太康县期末）下列函数：①y＝3−√3x2；②y=2x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：①y＝3−√3x2；③y＝x（3﹣5x）；④y＝（1+2x）（1﹣2x），是二次函数，共3个，故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-1】（2020•涡阳县一模）已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a ≠0）是二次函数，注意a≠0这一条件．【变式1-2】（2020秋•扬州期末）下列函数是关于x的二次函数的有（）①y＝x（2x﹣1）；②y=1x2；③y=√32x2−1；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y=√x2+x+1．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析可得答案．【解答】解：是关于x的二次函数的有①③故选：A．【点评】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．【变式1-3】（2020秋•广汉市期中）观察：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；④y＝x3﹣2x；⑤y=x2−1x+312；⑥y＝（x+1）2﹣x2．这六个式子中，二次函数有．（只填序号）【分析】根据二次函数的定义可得答案．【解答】解：这六个式子中，二次函数有：①y＝6x2；②y＝﹣3x2+5；③y＝200x2+400x+200；故答案为：①②③．【点评】本题主要考查的是二次函数的定义，熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．【题型2 利用二次函数的概念求字母的值】【例2】（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a 的值为．【分析】根据二次函数定义可得|a2+1|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，∴|a2+1|＝2且a+1≠0，解得a＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是二次函数的定义，二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c （a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-1】（2020秋•肃州区期末）如果函数y＝（k﹣3）x k2−3k+2+kx+1是二次函数，则k的值是．【分析】利用二次函数定义可得k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，再解出k的值即可．【解答】解：由题意得：k2﹣3k+2＝2，且k﹣3≠0，解得：k＝0，故答案为：0．【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【变式2-2】（2020秋•江油市校级月考）函数y＝（m2﹣3m+2）x2+mx+1﹣m，则当m＝时，它为正比例函数；当m＝时，它为一次函数；当m时，它为二次函数．【分析】首先解方程，进而利用正比例函数、一次函数与二次函数的定义得出答案．【解答】解：m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得：m1＝1，m2＝2，故m≠1且m≠2时，它为二次函数；当m＝1或2时，它为一次函数，当m＝1时，它为正比例函数；故答案为：1；1或2；m≠1且m≠2【点评】此题主要考查了一次函数与二次函数的定义，正确解方程是解题关键．【变式2-3】（2020秋•新昌县校级月考）已知函数y＝（m2+m）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m的值；；（2）当函数是一次函数时，求m的值．．【分析】（1）这个式子是二次函数的条件是：m2﹣2m+2＝2并且m2+m≠0；（2）这个式子是一次函数的条件是：m2﹣2m+2＝1并且m2+m≠0．【解答】解：（1）依题意，得m2﹣2m+2＝2，解得m＝2或m＝0；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝2．（2）依题意，得m2﹣2m+2＝1解得m＝1；又因m2+m≠0，解得m≠0或m≠﹣1；因此m＝1．【点评】本题主要考查一次函数与二次函数的定义与一般形式．【题型3 二次函数的一般形式】【例3】（2020秋•防城区期中）设a，b，c分别是二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（）A．a＝﹣1，b＝3，c＝0B．a＝﹣1，b＝0，c＝3C．a＝﹣1，b＝3，c＝3D．a＝1，b＝0，c＝3【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项作答．【解答】解：二次函数y＝﹣x2+3的二次项系数是a＝﹣1，一次项系数是b＝0，常数项是c＝3；故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．【变式3-1】（2020秋•遂溪县校级期中）关于函数y＝（500﹣10x）（40+x），下列说法不正确的是（）A．y是x的二次函数B．二次项系数是﹣10C．一次项是100D．常数项是20000【分析】根据形如y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案．【解答】解：y＝﹣10x2+100x+20000，A、y是x的二次函数，故A正确；B、二次项系数是﹣10，故B正确；C、一次项是100x，故C错误；D、常数项是20000，故D正确；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，化成二次函数的一般式是解题关键．【变式3-2】（2020春•肇东市期末）已知二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝，一次项系数b＝，常数项c＝．【分析】根据二次函数的定义，可得答案．【解答】解：二次函数y＝1﹣5x+3x2，则二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣5，常数项c＝1，故答案为：3，﹣5，1．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．【变式3-3】（2020秋•新昌县期末）若二次函数y＝（2x﹣1）2+1的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，则b2﹣4ac0（填写“＞”或“＜”或“＝”）【分析】根据二次函数的解析式得出a，b，c的值，再代入b2﹣4ac计算，判断与0的大小即可．【解答】解：∵y＝（2x﹣1）2+1，∴a＝4，b＝﹣4，c＝2，∴b2﹣4ac＝16﹣4×4×2＝﹣16＜0，故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数的定义以及各项系数，掌握a，b，c的确定是解题的关键．（1）理解题意：找出实际问题中的已知量和変量（自变量，因变量），将文字或图形语言转化为数学语言；（2）分析关系：找到已知量和变量之间的关系，列出等量关系式；（3）列函数表达式：设出表示变量的字母，把等量关系式用含字母的式子替换，将表达式写成用自变量表示的函数的形式.【题型4 根据实际问题列二次函数（销售类）】【例4】（2020秋•硚口区期中）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y（单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝300﹣10x B．y＝300（60﹣40﹣x）C．y＝（300+10x）（60﹣40﹣x）D．y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）【分析】由每件涨价x元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【解答】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x元，∴销售每件的利润为（60﹣40+x）元，每星期的销售量为（300﹣10x），∴每星期售出商品的利润y＝（300﹣10x）（60﹣40+x）．故选：D．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x之间的函数关系式．【变式4-1】（2020秋•朝阳期中）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（）A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）B．y＝（x+40）（10x﹣500）C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]D．y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）【分析】直接利用销量×每千克利润＝总利润，得出函数关系式即可．【解答】解：设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为：y＝（50+x﹣40）（500﹣5x）．故选：D．【点评】此题主要考查了根据实际问题列函数关系式，正确表示出销量是解题关键．【变式4-2】（2020春•西湖区校级月考）某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．【分析】（1）当售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，y＝260﹣x，50≤x≤80，当如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件，y＝420﹣3x，80＜x≤140，（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，【解答】解：（1）当50≤x≤80时，y＝210﹣（x﹣50），即y＝260﹣x，当80＜x≤140时，y＝210﹣（80﹣50）﹣3（x﹣80），即y＝420﹣3x．则{y=260−x(50≤x≤80)y=420−3x(80＜x＜140)；（2）由题意可得，W＝﹣x2+300x﹣10400（50≤x≤80），W＝﹣3x2+540x﹣16800（80＜x＜140）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解决本题的关键．【变式4-3】（2020•诸城市一模）某厂生产某种零件，该厂为鼓励销售商订货，提供了如下信息：①每个零件的成本价为40元；②若订购量不超过100个，出厂价为60元；若订购量超过100个时，每多订1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元；③实际出厂单价不能低于51元．根据以上信息，解答下列问题：（1）当一次订购量为个时，零件的实际出厂单价降为51元．（2）设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出P与x的函数表达式．（3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂价﹣成本）．【分析】（1）由题意设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550进而得出答案； （2）前100件单价为P ，当进货件数大于等于550件时，P ＝51，则当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x50得到P 为分段函数，写出解析式即可； （3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，表示出L 与x 的函数关系式，然后令x ＝500，1000即可得到对应的利润．【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x 个，则x ＝100+60−510.02=550， 根据实际出厂单价不能低于51元，因此，当一次订购量为大于等于550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元． 故答案为：≥550；（2）当0＜x ≤100时，P ＝60当100＜x ＜550时，P ＝60﹣0.02（x ﹣100）＝62−x 50当x ≥550时，P ＝51所以P ={60(0＜x ≤100)62−x 50(100＜x ＜550)51(550≤x)；（3）设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元， 则L ＝（P ﹣40）x ={20x(0＜x ≤100)22x −x 250(100＜x ＜500)当x ＝500时，L ＝22×500−500250=6000（元）；当x ＝1000时，L ＝（51﹣40）×1000＝11000（元），因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．【点评】本小题主要考查了二次函数的应用以及分段函数的应用，注意利用自变量取值范围得出函数解析式是解题关键．【题型5 根据实际问题列二次函数（面积类）】【例5】（2020•平阳县一模）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），并在如图所示位置留2m 宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙（不包括门）的总长度为50m ．设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是（ ）A ．y ＝﹣x 2+50xB ．y =−12x 2+24xC ．y =−12x 2+25xD ．y =−12x 2+26x【分析】根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案． 【解答】解：设饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式是：y ＝x •12（50+2﹣x ）=−12x 2+26x ．故选：D ．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．【变式5-1】（2020秋•沙坪坝区校级期中）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m ，门宽为2m ．若饲养室长为xm ，占地面积为ym 2，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．y =−12x 2+26x （2≤x ＜52） B ．y =−12x 2+50x （2≤x ＜52） C ．y ＝﹣x 2+52x （2≤x ＜52）D ．y =−12x 2+27x ﹣52（2≤x ＜52）【分析】直接根据题意表示出垂直与墙饲养室的一边长，再利用矩形面积求法得出答案．【解答】解：y关于x的函数表达式为：y=12（50+2﹣x）x=−12x2+26x（2≤x＜52）．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．【变式5-2】（2020秋•思明区校级期中）如图，某小区进行绿化改造，矩形花园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，另三边由篱笆ADEF围成，篱笆总长40米，墙AB长16米，若BF＝x米，花园面积是S平方米，则S关于x的函数关系式是：．【分析】根据题意分别表示出长方形的长与宽进而得出答案．【解答】解：由题意可得：S＝（16+x）•40−x−16−x2＝（16+x）（12﹣x）＝﹣x2﹣4x+192．故答案为：S＝﹣x2﹣4x+192．【点评】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，正确表示出矩形的长与宽是解题关键．【变式5-3】（2020秋•东营期中）如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）米．则s关于x的函数关系式：（并写出自变量的取值范围）【分析】先根据栅栏的总长度24表示出三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），再根据长方形的面积公式表示即可得到s关于x的函数关系式；找到关于x的两个不等式：24﹣4x＞0，x＞0，解之即可求出x的取值范围．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【点评】此题主要考查了结合实际问题列二次函数解析式．本题中主要涉及的知识点有：二次函数的表示方法，自变量取值范围的解法，找到关于x的不等式．【题型6 根据实际问题列二次函数（几何类）】【例6】（2020•西湖区校级模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若a+b＝5，则Rt△ABC的面积S关于边长c的函数关系式为（）A．S=25−c24B．S=25−c22C．S=25−c2D．S=25+c24【分析】直接利用直角三角形的性质结合完全平方公式得出S与c的关系．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∴a2+b2＝c2，∵Rt△ABC的面积S，∴S=12ab，∵a+b＝5，∴（a+b）2＝25，∴a2+b2+2ab＝25，∴c2+4S＝25，∴S=25−c2 4．故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．【变式6-1】（2020秋•翼城县期末）如图，在Rt△ABO中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设直线x＝t截此三角形所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为（）A．S＝t（0＜t≤3）B．S=12t2（0＜t≤3）C．S＝t2（0＜t≤3）D．S=12t2﹣1（0＜t≤3）【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，所以很容易求得∠AOB＝∠A＝45°；再由平行线的性质得出∠OCD＝∠A，即∠AOD＝∠OCD＝45°，进而证明OD＝CD＝t；最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式．【解答】解：如图所示，∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，∴∠AOB＝∠A＝45°，∵CD⊥OB，∴CD∥AB，∴∠OCD＝∠A，∴∠AOD＝∠OCD＝45°，∴OD＝CD＝t，∴S△OCD=12×OD×CD=12t2（0＜t≤3），即S=12t2（0＜t≤3）．故选：B．【点评】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系，难度不大．【变式6-2】（2021•江夏区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（）A．y=1810x2+52B．y=4810x2+52C．y=1810x2+2D．y=4810x2+2【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．【解答】解：过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE=13AH，∵BD＝DE＝y，∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，∵x＝6AH÷2＝3AH，∴y2＝（5﹣y）2+(19x)2，∴y=1810x2+52，故选：A．【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式的知识，关键是根据等腰三角形的性质进行分析，难度适中．【变式6-3】（2020秋•孝感期末）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE＝DF．四边形AEGF是矩形，矩形AEGF的面积y与BE的长x 的函数关系是．【分析】设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，根据矩形的面积即可得出y关于x的函数关系式，此题得解．【解答】解：设BE的长度为x（0≤x＜4），则AE＝4﹣x，AF＝4+x，∴y＝AE•AF＝（4﹣x）（4+x）＝16﹣x2．故答案为：y＝16﹣x2（0≤x＜4）．【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据矩形的面积找出y关于x的函数关系式是解题的关键．。

九年级数学二次函数中考题型归类练习汇总

九年级数学二次函数中考题型归类练习汇总

九年级数学二次函数中考题型归类练习汇总一、二次函数的概念 例1 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则的值2(1)42y a x x a =--+x a 为 . 分析:题目中没有说明函数的类型，由于是变化的，因此这个函数可能是二次函数，a 也可能是一次函数，前者的条件是，后者的条件是，所以需要进行分类讨论.1a ≠1a = 解:①当时，函数是二次函数，由它的图象与轴有且只1a ≠2(1)42y a x x a =--+x 有一个交点，得.2(4)4(1)20a a =--⨯-⨯=V整理，得.220a a --=解得.122,1a a ==- ②当时，函数是一次函数，其图象与轴的交1a =2(1)4242y a x x a x =--+=-+x 点为，满足“图象与轴有且只有一个交点”的要求，因此满足要求.1(,0)2x 1a =综上所述，的值为1或2或-1.a 评注:形如 (为常数，)的函数叫做二次函数.这里有两个2y ax bx c =++,,a b c 0a ≠要素:一是，二是的最高次数为2，两者缺一不可.不能误认为就一0a ≠x 2y ax bx c =++定是二次函数，当时，它是一次函数;当时，它是平行(或重合)于0,0a b =≠0,0a b ==轴的一条直线.因此，对于这类含字母系数的函数问题，要弄清它是否一定为二次函数，x 注意进行分类讨论.中考时，命题者常设计这方面的试题来考查考生的分类意识.二、二次函数的图象与性质例2 (1)对于二次函数的图象与性质，下列说法正确的是( )2(1)2y x =--+A.对称轴是直线，最小值是21x =B.对称轴是直线，最大值是21x =C.对称轴是直线，最小值是21x =-D.对称轴是直线，最大值是21x =- (2)(2017•宁波)抛物线 (是常数)的顶点在( )2222y x x m =-++mA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(3)对于二次函数，下列说法正确的是( )2144y x x =-+-A.当时，随的增大而增大0x >y xB.当时，有最大值-32x =yC.图象的顶点坐标为(-2, -7)D.图象与轴有两个交点x 分析:(1)由于已知二次函数的解析式是顶点式，所以可以直接写出它的对称轴与最值，再与选项比较得到正确结论.(2)根据题目的特点，要将抛物线 (是常数)化为顶点式，这只2222y x x m =-++m 要在等号的右边加上并减去“-2一半的平方”即可.(3)先将化为顶点式，再根据二次函数的性质确定正确的选项.2144y x x =-+- 解:(1)，2(1)2y x =--+Q 抛物线开口向下，顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线.∴1x = 当时，有最大值2.故选B.∴1x =y (2)由题意，配方有222222222112(1)1y x x m x x m x m =-++=-+-++=-++，可知抛物线的顶点坐标为.2(1,1)m + 又,210,10m >+> 抛物线的顶点坐标在第一象限.故选A.∴(3)二次函数，Q 22114(2)344y x x x =-+-=---其对称轴为直线，顶点坐标为(2,-3).显然选项C 错误.∴2x =,104a =-<Q 抛物线开口向下，顶点为最高点，当时，有最大值-3.故选项B 正确.∴2x =y 由抛物线开口向下，对称轴为直线可知，当时，随的增大而减小.故2x =2x >y x 选项A 错误.由抛物线开口向下，顶点坐标为(2,-3),可知函数图象在轴的下方，所以二次函数的图x 象与轴没有交点.故选项D 错误.故选B.x 评注:解决与二次函数的图象与性质有关的问题的关键是熟练掌握二次函数(为常数，)的如下性质:2()y a x h k =-+,,a h k 0a ≠(1)图象形状:抛物线;(2)开口方向:抛物线的开口向上(下);()0a ><⇔(3)顶点坐标:;(,)h k(4)对称轴:直线;x h =(5)最大(小)值:当时，有最小(大)值;()0,a x h ><=y k (6)增减性:当时，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，0a >y x y 随的增大而增大;当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右x 0a <y x 侧，随的增大而减小.求二次函数图象的对称轴、顶点坐标、最值，判定其增减性时，y x 常将二次函数的一般式 (为常数)配方，转化为顶点式求解.也2y ax bx c =++,,a b c 0a ≠可以利用顶点坐标公式来求解.必须注意:在对称轴的两侧，二次函数的增24(,)24b ac b a a--减性完全相反.三、函数值的大小比较 例3 点均在二次函数的图象上，则112233(1,),(3,),(5,)P y P y P y -22y x x c =-++的大小关系是( )123,,y y yA. B. 321y y y >>312y y y >=C. D. 123y y y >>123y y y => 分析:由于三个点不都在对称轴的同侧，因此可以利用抛物线上的对称点将它们1x =转化为同侧的点，再根据二次函数的增减性得到结论;也可以先计算出自变量分别为-1,3和5时的函数值，再比较函数值的大小;还可以画出函数图象的草图，通过观察图象直接得到结论.解法一:因为,222(1)1y x x c x c =-++=--++所以抛物线的对称轴为直线.1x =因为点关于直线对称，1122(1,),(3,)P y P y -1x =所以.12y y = 又在直线的右侧，抛物线开口向下，由抛物线的性质:在对称2233(3,),(5,)P y P y 1x =轴的右侧，随的增大而减小，y x所以，23y y >所以.故选D.123y y y =>解法二:当时，;1x =-21(1)2(1)3y c c =--+⨯-+=-+当时，;3x =223233y c c =-+⨯+=-+当时，;5x =2352515y c c =-+⨯+=-+因为,3315c c c -+=-+>-+所以.故选D.123y y y =>解法三:画出抛物线的草图(图略)，利用图象可以直接得到.故选D.123y y y => 评注:这里给出了比较抛物线上点的纵坐标大小的三种基本方法.运用解法一时，一定要注意将对称轴两侧的点转化为同侧的点，再运用二次函数的增减性来作出判断;运用解法二时，要注意代数式大小比较的方法;运用解法三时，只要画出二次函数的大致图象，就可以借助图象的直观性快速地得到结论.四、二次函数的解析式例4 如图1，二次函数的图象与轴交于和两点，交轴于点x (3,0)A -(1,0)B y ，点是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点.(0,3)C ,C D ,B D(1)请直接写出点的坐标;D(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围.x 分析:(1)根据抛物线的对称性，由两点的坐标求出抛物线的对称轴，再由对称轴,A B 和点的坐标得到点的坐标;C D(2)用待定系数法求二次函数的解析式，设解析式为一般式、顶点式或交点式都可以; (3)观察给出的函数图象直接得到结论.解:(1)由题意知，该抛物线的对称轴是直线.3112x -+==- 点的坐标为(0，3)，Q C 点的坐标为(-2,3).∴D (2)设二次函数的解析式为.2(0)y ax bx c a =++≠根据题意，得,93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得.123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩二次函数的解析式为.∴223y x x =--+(3)或.2x <-1x > 评注:一般的，若和是抛物线上的两点，则抛物线的对称轴为直线1(,)x y 2(,)x y ，这是一个很有用的结论.用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条122x x x +=件灵活选择解析式的三种表达形式:(1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式;2(0)y ax bx c a =++≠(2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式;(,)m n 2()(0)y a x m n a =-+≠ (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式x 12(,0),(,0)x x .12()()(0)y a x x x x a =--≠ 五、二次函数的图象与系数的关系例5二次函数的图象如图2所示，对称轴是直线.下列结2(0)y ax bx c a =++≠1x =论:①;②;③;④.其中正确的是( )0ab <24b ac >0a b c ++<30a c +<A.①④B.②④C.①②③D.①②③④分析:观察图象，根据二次函数的有关知识，对四个结论逐一判断，进而得到正确答案. 解:抛物线开口向上，Q .0a ∴> 抛物线的对称轴在轴的右侧，Q y .02b a∴-> 0b ∴<.故①正确.0ab ∴<抛物线与轴的交点在轴的下方，Q y x .0c ∴<抛物线与轴有2个交点，Q x ，即.故②正确.240b ac ∴=->V 24b ac > 当时，，由函数图象可知时对应的点在轴的下方，Q 1x =y a b c =++1x =x ，即.故③正确.0y ∴<0a b c ++<抛物线的对称轴是直线,Q 1x = ，即.12b a ∴-=2b a =- 由图2可知，当时对应的点在轴的上方，1x =-x ，即.0y ∴>0y a b c =-+> .(2)0a a c ∴--+> .故④不正确.故选C.30a c ∴+> 评注:本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大,,a b c 小关系及含有的代数式的值的大小关系.,,a b c(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.a 0a >0a < (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号,a b ,a b y ,a b 时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.y 0b =y (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象c y 0c >y 0c =过原点;当时，图象与轴交于负半轴.0c <y (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴24b ac -x 240b ac ->x 有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与240b ac -=x 240b ac -<x轴没有交点.(5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则a b c ++1x =y 0y >0a b c ++>0y <.0a b c ++< (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，a b c -+1x =-y 0y >0a b c -+>0y <则.0a b c -+<六、二次函数与一元二次方程(或不等式)的关系例6 已知抛物线与轴相交于不同的两点.2(12)13y mx m x m =+-+-x ,A B(1)求的取值范围.m (2)证明:该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，并求出点的坐标.P P(3)当时，由(2)求出的点和点构成的的面积是否有最值?若184m <≤P ,A B ABP ∆有，求出最值及相对应的值;若没有，请说明理由.m 分析:(1)根据二次函数与一元二次方程之间的关系，由抛物线与轴相交于不同的两点，可得出对应一元二次方程的2(12)13y mx m x m =+-+-x ,A B ，解不等式即可得到的取值范围;0>V m (2)，故只要，那么的值便与无关，求2(23)1y m x x x =--++2230x x --=y m 解即可得到定点的坐标;(3)解对应的一元二次方程，求出两点的坐标，即可得到的长度(用含的代,A B AB m 数式表示);再计算的面积，根据题目中的条件确定三角形的面积是否有最ABP ∆184m <≤值，并求出的值或说明没有最值的理由.m 解:(1)是二次函数，2(12)13y mx m x m =+-+-Q .0m ∴≠ 抛物线与轴相交于不同的两点，Q x ，222(12)4(13)1681(41)0m m m m m m ∴=---=-+=->V ，解得.410m ∴-≠14m ≠的取值范围是且.m ∴0m ≠14m ≠ (2)，222(12)13213(23)1y mx m x m mx x mx m m x x x =+-+-=+-+-=--++故只要，那么的值便与的取值无关，也就是说抛物线必过定点.2230x x --=y m解，得.2230x x --=123,1x x ==-当时，即;3x =14y x =+=(3,4)P 当时, ，但点(-1,0)是轴上的一点，不合题意，舍去.1x =-10y x =+=x 该抛物线一定经过非坐标轴上的一点，点的坐标为(3,4).∴P P (3)解一元二次方程，得.2(12)130mx m x m +-+-=1213,1x x m =-=-当时，,184m <≤131m->-.111113(1)4,(4)42(4)2ABP AB S m m m m∆∴=---=-=⨯-⨯=-,Q184m <≤ .1148m∴≤< 当时，有最大值，即的面积有最大值，此时.∴118m =12(4)m -314ABP ∆3148m = 评注:(1)二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;2y ax bx c =++x ②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情20ax bx c ++=况:①有实数根，此时;②有两个相等的实数根，此时;③有两个不相等的实数根，0<V 0=V 此时.0>V (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标.(3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换.七、与二次函数有关的新题型例7 定义:如图3，抛物线与轴交于两点，点在该2(0)y ax bx c a =++≠x ,A B P 抛物线上(点与两点不重合)，如果的三边满足，则称点P ,A B ABP ∆222AP BP AB +=为抛物线的“勾股点”.P 2(0)y ax bx c a =++≠(1)直接写出抛物线的勾股点的坐标.21y x =-+(2)如图4，已知抛物线与轴交于两点，点是2:(0)C y ax bx a =+≠x ,A B P抛物线的勾股点，求抛物线的函数表达式.C C (3)在(2)的条件下，点在抛物线上，求满足条件的点 (异于点)Q C ABQ ABP S S ∆∆=Q P 的坐标.分析:(1)因为抛物线与轴交于，与轴交于点(0,1)，根21y x =-+x (1,0),(1,0)A B -y 据抛物线上勾股点的定义可直接得到答案;(2)作轴，由点的坐标求得的长度和，从而求得PG x ⊥P ,,AG PG PA 60PAG ∠=︒的长度，得到点的坐标，即可用待定系数法求解;AB B(3)由且两三角形同底，可知点到轴的距离，据此即可求解.ABQ ABP S S ∆∆=Q x 解:(1)抛物线的勾股点的坐标为(0,1).21y x =-+(2)如图5，过点作轴于.P PG x ⊥G抛物线过原点，即点，点的坐标为，Q 2y ax bx =+(0,0)A P.1,2AG PG PA ∴===== .30APG ∴∠=︒ .60PAG ∴∠=︒ ，4AB ∴= 点的坐标为(4,0).∴B设，将点.(4)y ax x =-P 1(14)a =⨯⨯-a ∴=.2(4)y x x x x ∴=-=+(3)①当点在轴的上方时，由可知点的纵坐标为，有Q x ABQ ABP S S ∆∆=Q2x x += 解得 (不合题意，舍去)，123,1x x ==点的坐标为.∴Q②当点在轴的下方时，由知点的纵坐标为有Q x ABQ ABP S S ∆∆=Q2x x +=解得1222x x ==点的坐标为或.∴Q (2(2综上所述，满足条件的点有3个，分别为或或Q (2.(2评注:本题考查了新定义的抛物线的“勾股点”，属于阅读理解型题目，解题的关键是理解抛物线“勾股点”的定义.解决阅读理解题首先要仔细阅读信息，收集处理信息，以领悟数学知识或感悟数学思想方法;然后再运用新知识解决新问题，或运用范例形成科学的思维方式和思维策略，或归纳与类比作出判断和推理，进而解决问题。

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二次函数题型分析练习题型一：二次函数对称轴及顶点坐标的应用1.（2015•）在下列二次函数中，其图象对称轴为x =﹣2的是（ ）A ． y =（x +2）2B ．y =2x 2﹣2C ．y =﹣2x 2﹣2D ．y =2（x ﹣2）22.（2014•）已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y =x 2+4x +10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ）A.（﹣3，7）B.（﹣1，7）C.（﹣4，10）D.（0，10） 3.在同一坐标系中，图像与y=2x 2的图像关于x 轴对称的函数是（ ） A.212y x = B.212y x =- C.22y x =- D.2y x =-4.二次函数 无论k 取何值，其图象的顶点都在( )A.直线上B.直线上C.x 轴上D.y 轴上5.（2012•）已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6.（2014•）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为 ．7.已知二次函数，当取 ，（≠）时，函数值相等，则当取时，函数值为（ ）A.B . C. D.c8.如图所示，已知二次函数的图象经过（-1,0）和（0,-1）两点，则化简代数式第2题图= .题型二：平移1.抛物线向右平移3个单位长度得到的抛物线对应的函数关系式为（ ）A. B. C.D.2.(2012)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________3.二次函数()23212-+=x y 的图象是由函数221x y =的图象先向 （左、右）平移 个单位长度，再向 （上、下）平移 个单位长度得到的.4.把抛物线的图象先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式是532+-=x x y ，则0=++c b a = ．题型三：求未知数围1.已知点()11y ，，()25.1y ，，()35.0y ，在函数2x y =图像上，则比较321y y y ，，的大小 。

2.已知函数y ＝(k －3)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，则k 的取值围是( ) A ．k ＜4B ．k ≤4C ．k ＜4且k ≠3D ．k ≤4且k ≠33.已知二次函数，当取任意实数时，都有，则的取值围是（ ）A ．41≥m B ．41>m C ．41≤m D ．41<m 4.（2015•）若抛物线y =（x ﹣m ）2+（m +1）的顶点在第一象限，则m 的取值围为（ ）A ． m ＞1B ．m ＞0C ．m ＞﹣1D ．﹣1＜m ＜05.（2015•）已知二次函数y =x 2+（m ﹣1）x +1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，而m 的取值围是（ ）A ． m =﹣1B ．m =3C ．m ≤﹣1D ．m ≥﹣16.（2014•株洲）如果函数()15312-+++-=a a x x a y 的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a 的取值围是 ．7.（2014•）已知当x 1=a ，x 2=b ，x 3=c 时，二次函数y =x 2+mx 对应的函数值分别为y 1，y 2，y 3，若正整数a ，b ，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b ＜c 时，都有y 1＜y 2＜y 3，则实数m 的取值围是 .8.（2012•德阳）设二次函数y=x 2+bx+c ，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值围是（ ） A ．c=3 B ．c ≥3C ．1≤c ≤3D ．c ≤39.如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是①2y ax =②2y bx =③2y cx =④2y dx =；则a 、b 、c 、d 的大小关系是（ ）A.a b c d >>>B.a b d c >>>C.b a c d >>>D.a b d c >>>10.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( ) A ．m ＝n ，k ＞h B ．m ＝n ，k ＜h C ．m ＞n ，k ＝h D ．m ＜n ，k ＝h 题型四：根据图形判断系数之间的关系1．（2015•）对于二次函数y=﹣x 2+2x ．有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1；②设y 1=﹣x 12+2x 1，y 2=﹣x 22+2x 2，则当x 2＞x 1时，有y 2＞y 1；③它的图象与x 轴的两个交点是（0，0）和（2，0）；④当0＜x ＜2时，y ＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 42.（2015•）二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列说确的个数是（ ） ①a ＞0；②b ＞0；③c ＜0；④b 2﹣4ac ＞0．A ．1B ．2C ．3D ．43.（2015•）如图，已知经过原点的抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴是直线x =﹣1，下列结论中： ①ab ＞0，②a +b +c ＞0，③当﹣2＜x ＜0时，y ＜0． 正确的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4.（2015•）如图为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象，则下列说法： ①a ＞0 ②2a +b =0 ③a +b +c ＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.（2015•）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6.（2015•州）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，其中正确结论是（）A．②④B．①④C．①③D．②③7.（2015•）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A． 4 B． 3 C． 2 D． 18.（2015•日照）如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤9.（2014）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：下列结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；X﹣1 0 1 3 y﹣1 3 5 3（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个题型五：坐标系中，二次函数与其他函数共存的问题1.（2015•）在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（）A．B．C．D．2.（2015•）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．3.（2015•）在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．4.（2015•）如图，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．题型六：函数解析式的应用①求二次函数解析式1.已知某函数的图象如图所示，求这个函数的解析式．2.求下列二次函数解析式（1）图像过点（0，-1），（-2,0）和（12，0）（2）图像以A（-1,4）为顶点，且过点B（2，-5）3.（ 2014•）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．4.（2015•）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．5．（2015•）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．6.（2015•资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．7.如图，已知二次函数212y x bx c=++的图像经过A（2,0），B,0，-6）两点（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积②利用解析式及函数图像性质间的关系求解未知数的值1. （ 2014•）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？2.已知抛物线的解析式为(1)求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线的一个交点在y轴上，求m的值.3.已知：关于的方程(1)当取何值时，二次函数的对称轴是；(2)求证：取任何实数时，方程总有实数根.题型七：二次函数与一次函数综合1. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．(1)求D点的坐标；(2)求一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值围．2. 如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M 为它的顶点. (1)求抛物线的解析式；(2)求点B 、M 的坐标；(3)求△MCB 的面积.3.(2012)如图，二次函数y ＝(x －2)2＋m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过该二次函数图象上点A (1,0)及点B ． (1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx ＋b ≥(x －2)2＋m 的x 的取值围．4.（2015•）如图，已知直线y =﹣x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线y =﹣x 2+2x +5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y =﹣x +3于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是 ．5.(2012)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足211121=+x x(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．题型八：函数解析式的应用①求二次函数解析式1.已知某函数的图象如图所示，求这个函数的解析式．2.求下列二次函数解析式，0）（1）图像过点（0，-1），（-2,0）和（12（2）图像以A（-1,4）为顶点，且过点B（2，-5）3.（ 2014•）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．4.（2015•）对于两个二次函数y1，y2，满足y1+y2=2x2+2x+8．当x=m时，二次函数y1的函数值为5，且二次函数y2有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数y2的解析式（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）．5．（2015•）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是．6.（2015•资阳）已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．7.如图，已知二次函数212y x bx c =++ 的图像经过A （2,0），B,（0，-6）两点（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积②利用解析式及函数图像性质间的关系求解未知数的值 1. （ 2014•）如图，已知二次函数y =a （x ﹣h ）2+的图象经过原点O （0，0），A （2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？2.已知抛物线的解析式为()m m x m x y -+--=2212 (1)求证：此抛物线与x 轴必有两个不同的交点；(2)若此抛物线与直线43+-=m x y 的一个交点在y 轴上，求m 的值.3.已知：关于的方程()012312=-+--a x a x a (1)当取何值时，二次函数()12312-+--=a x a x a y 的对称轴是2-=x ；(2)求证：取任何实数时，方程()012312=-+--a x a x a 总有实数根.题型九：二次函数与一次函数综合1. 如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．(1)求D点的坐标；(2)求一次函数的表达式；(3)根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值围．2. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.(1)求抛物线的解析式；(2)求点B、M的坐标；(3)求△MCB的面积.3.(2012)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B．(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值围．4.（2015•）如图，已知直线y =﹣x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线y =﹣x 2+2x +5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线y =﹣x +3于点Q ，则当PQ =BQ时，a 的值是 ．5.(2012)已知二次函数y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A (x 1,0)和点B (x 2,0)，x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足211121=+x x(1)求这个二次函数的解析式；(2)探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．。

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