第二章第八节课时知能训练

课时知能训练
一、选择题
1．f (x )＝(x －1)ln x x －3
的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0
【解析】 ∵f (x )＝0，即(x －1)ln x x －3
＝0， ∴x －1＝0或ln x ＝0，得x ＝1.
【答案】 A
2．(2012·东莞质检)为了求函数f (x )＝2x －x 2的一个零点，某同学利用计算器，得到自变量x 和函数值f (x )的部分对应值(精确度0.01)，
A ．(0.6,1.0)
B ．(1.4,1.8)
C ．(1.8,2.2)
D ．(2.6,3.0)
【解析】 ∵f (1.8)·f (2.2)＝0.24×(－0.24)＜0，
∴零点在(1.8,2.2)上．
【答案】 C
3．已知a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0＜x 0＜a ，则f (x 0)
的值满足( )
A ．f (x 0)＝0
B ．f (x 0)＞0
C ．f (x 0)＜0
D ．f (x 0)的符号不确定
【解析】 ∵f (a )＝2a －log 12a ＝0.
又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，
∴当0＜x 0＜a 时，f (x 0)＜f (a )＝0.
【答案】 C
4．(2012·珠海模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】 由f (x )＝|x －2|－ln x ＝0，得|x －2|＝ln x ，
令y ＝|x －2|与y ＝ln x (x ＞0)，
在同一坐标系内作两函数的图象，有两个交点．
∴f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内有两个零点．
【答案】 C
5．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x －1
D ．f (x )＝ln(x －12)
【解析】 ∵A 、B 、C 、D 四个选项中的零点是确定的：
A ：x ＝14，
B ：x ＝1，
C ：x ＝0，
D ：x ＝32.
∵g (x )＝4x ＋2x －2在R 上连续且g (14)＝2＋12－2＝2－32＜0，
g (12)＝2＋1－2＝1＞0.
设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14＜x 0＜12，
0＜x 0－14＜14，∴|x 0－14|＜14.
因此函数f (x )＝4x －1的零点x ＝14满足．
【答案】 A
二、填空题
6．“a ＝14”是“函数f (x )＝ax 2－x ＋1只有一个零点”的
________条件．
【解析】 当a ＝14时，Δ＝(－1)2－4a ＝0，
∴f (x )＝ax 2－x ＋1只有一个零点，
但a ＝0时，f (x )＝ax 2－x ＋1也有一个零点，
∴“a ＝14”是“函数f (x )只有一个零点”的充分不必要条件．
【答案】 充分不必要
7．若函数f (x )＝2－|x －1|－m 有零点，则实数m 的取值范围是
________．
【解析】 令f (x )＝0，得m ＝(12)|x －1|，
∵|x －1|≥0，
∴0＜(12)|x －1|≤1，即0＜m ≤1.
【答案】 0＜m ≤1
8．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，且x 0∈(k ，k ＋1)，k ∈Z 则k ＝________.
【解析】 令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)递增，
∵f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0.
∴f (x )在(2,3)内有解，∴k ＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，求g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零
点．
【解】 ∵13是函数f (x )的零点，
∴f (13)＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6.
∴g (x )＝x 2＋5x －6，
由x 2＋5x －6＝0，得x ＝1或x ＝－6，
∴g (x )的零点为1和－6.
10．设函数f (x )＝(12)|x －1|，g (x )＝log 2x (x ＞0)，试判定函数φ(x )＝f (x )
－g (x )在(0,2]内零点的个数．
【解】 (1)当x ∈(0,1)时，g (x )＝log 2x ＜0，
f (x )＝(12)|x －1|＝(12)1－x ＞0，
∴方程f (x )＝g (x )在(0,1)内无实根，
∴φ(x )＝f (x )－g (x )在(0,1)内无零点．
(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝(12)x －1，
∴φ(x )＝f (x )－g (x )＝(12)x －1－log 2x 在[1,2]上是减函数，且φ(x )的图
象连续不间断，
又φ(1)＝1－0＝1＞0，φ(2)＝12－1＝－12＜0，
∴φ(1)·φ(2)＜0，
因此φ(x)在(0,2)内有唯一零点，
根据(1)、(2)知，φ(x)＝f(x)－g(x)在(0,2]内有唯一的零点．
11．中央电视台有一档娱乐“鉴宝”节目，主持人会给选手在限定时间内猜某一“艺术品”的售价机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种“艺术品”，价格在500～1 000元之间．选手开始报价：1 000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了，880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？
【解】取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数．
照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格．。