九年级数学一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

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九年级一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

【分析】
(1)根据题意列二元一次方程组即可求解,(2)根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】
(1)解:设甲、乙两种苹果的进价分别为 a 元/千克, b 元/千克.
a b 18
由题得: 3a 4 4b 2 82
a 10
解之得:
b
8
答:甲、乙两种苹果的进价分别为 10 元/千克,8 元/千克
在△ABP 和 BCD 中,
BAP CBD
AB
BC

ABC BCD
△ABP △BCD ASA ,
BP CD ,
即5t 4,
t 1;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 当 a 3 , t 8 时, DN at 1,而 CD 4, 83
DN CD ,
点 N 在点 C 、 D 之间, AM 1.5t 4 , CD 4,
②连接 AP、BD 交于点 E ,当 AP BD 时,求出 t 的值;
(2)如图②,连接
AN、MD 交于点 F
.当 a
3,t 8
8 3
时,证明: SADF
SCDF

【答案】(1)① t 2.5 , a 1.1或 t 2 , a 0.5 ;② t 1;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)①当 △PBM △PCN 时或当 △MBP △PCN 时,分别列出方程即可解决问题;
由③④可得 a 0.5 , t 2 .
综上所述,当 a 1.1, t 2.5 或 a 0.5 , t 2时,以 P 、 B 、 M 为顶点的三角形与 △PCN 全等;
② AP BD,
BEP 90 ,
APB CBD 90 ,
ABC 90,
APB BAP 90 , BAP CBD ,

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测含答案

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测含答案
24.为了绿化学校附近的荒山,某校初三年级学生连续三年春季上山植树,至今已成活了 棵,已知这些学生在初一时种了 棵,若平均成活率 ,求这个年级两年来植树数的年平均增长率.(只列式不计算)
25.如图,为美化校园环境,某校计划在一块长为 米,宽为 米的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 米.
(2)用直接开方法求一元二次方程的解,要仔细观察方程的特点.
5.若α,β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为()
A.2005B.2003C. ﹣2005D.4010
[答案]B
[解析]
[分析]
根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可.设x1,x2是关于x的一元二次方程Ax2+Bx+C=0(A≠0,A,B,C为常数)的两个实数根,则x1+x2=- ,x1x2= .而α2+3α+β=α2+2α+(α+β),即可求解.
(1)若商场要求该服装部每天盈利 元,每件衬衫应降价多少元?
(2)试说明每件衬衫降价多少元时,商场服装部每天盈利最多.
参考答案
一、选择题(本题共计10小题,每题3分 ,共计30分)
1.如果关于x的方程(m﹣3) ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程,那么m的值为()
A.±3B.3C.﹣3D.都不对
[答案]C
10.把方程 的左边配方后可得方程()
A. B. C. D.
[答案]A
[解析]
[分析]
首先把常数项 移项后,再在左右两边同时加上一次项系数 的一半的平方,继而可求得答案.
[详解] ,

九年级数学一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学一元二次方程单元综合测试(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形.【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长;(2)结合图形,利用勾股定理求解即可; (3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解.试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0∴1x =3或2x =4 .则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去)则t =4时,AP 10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形.①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. 2234+=5,CP 1=12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒)③当PD =CD =3时,作DQ⊥AC 于Q. 1341221552DQ ⨯⨯==⨯,95PQ == ∴PC=2PQ =185∴183453515t ++==(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 2.已知关于x 的一元二次方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)若原方程的两个实数根分别为1x ,2x ,且满足1212215x x x x +=-,求m 的值.【答案】(1)14m <且0m ≠;(2)15m =- 【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到:()22140m m ∴∆=-->且20m ≠,然后求出两个不等式解集的公共部分即可.(2)利用根与系数的关系得到12221m x x m -+=, 1221x x m =,加上14m <且0m ≠,则可判断10x <,20x <,所以1212215x x x x --=-,2221215m m m--=-,然后解方程求出m 即可得到满足条件的m 的值.【详解】(1)因为方程()221210m x m x +-+=有两个不相等的实数根, ()221240m m ∴∆=-->,解得14m <; 又因为是一元二次方程,所以20m ≠,0m ∴≠.m ∴的取值范围是14m <且0m ≠. (2)1x ,2x 为原方程的两个实数根,12221m x x m -∴+=,1221x x m = 14m <且0m ≠,122210m x x m -∴+=<,12210x x m =>,10x ∴<,20x <. 1212215x x x x +=-,1212215x x x x --=-,2221215m m m -∴-=-,215210m m ∴--=,解得113m =,215m =-, 14m <且0m ≠,113m ∴=不合题意,舍去,15m ∴=-. 【点睛】 此题主要考查一元一次方程的定义和判别式的意义,正确理解概念和熟练运用根的判别式是解题的关键.3.问题提出:(1)如图1,在四边形ABCD 中,已知:AD BC ∥,90D ∠=︒,4BC =,ABC 的面积为8,求BC 边上的高.问题探究(2)如图2在(1)的条件下,点E 是CD 边上一点,且2CE =,EAB CBA =∠∠,连接BE ,求ABE △的面积 问题解决(3)如图3,在(1)的条件下,点E 是CD 边上任意一点,连接AE 、BE ,若EAB CBA =∠∠,ABE △的面积是否存在最小值;若存在,求出最小值;若不存在;请说明理由.【答案】(1)4;(2)203;(3)存在,最小值为16216 【解析】【分析】 (1)作BC 边上的高AM ,利用三角形面积公式即可求解;(2)延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,易得四边形BCDF 为矩形,在(1)的条件下BC=CD=4,则BCDF 为正方形,由EAB CBA =∠∠,结合∠FAB=∠CBA 可得∠FAB=∠EAB ,从而推出BF=BH=4,易证Rt △BCE ≌Rt △BHE ,所以EH=CE=2,设AD =a ,则AF=AH=4-a ,在Rt △ADE 中利用勾股定理建立方程可求出a ,最后根据S △ABE =1AE BH 2即可求解; (3)辅助线同(2),设AD=a ,CE=m ,则DE=4-m ,同(2)可得出m 与a 的关系式,设△ABE 的面积为y ,由y=1AE BH 2得到m 与y 的关系式,再求y 的最小值即可. 【详解】(1)如图所示,作BC 边上的高AM ,∵S △ABC =1BC AM=82 ∴82AM==44⨯ 即BC 边上的高为4;(2)如图所示,延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,∵AD BC ∥,90D ∠=︒∴∠BCD=∠D=90°=∠F∴四边形BCDF 为矩形,又∵BC=CD=4∴四边形BCDF 为正方形,∴DF=BF=BC=4,又∵AD ∥BC∴∠FAB=∠CBA又∵∠EAB=∠CBA∴∠FAB=∠EAB∵BF ⊥AF ,BH ⊥AE∴BH=BF=4,在Rt △BCE 和Rt △BHE 中,∵BE=BE ,BH=BC=4∴Rt △BCE ≌Rt △BHE (HL )∴EH=CE=2同理可证Rt △BAF ≌Rt △BAH (HL )∴AF=AH设AD=a ,则AF=AH=4-a在Rt △ADE 中,AD=a ,DE=2,AE=AH+EH=4-a+2=6-a由勾股定理得AD 2+DE2=AE 2,即()22226+=-a a 解得8=3a ∴AE=6-a=103 S △ABE =111020AE BH=4=2233⨯⨯ (3)存在,如图所示,延长DA ,过B 点作BF ⊥DA 于点F ,作BH ⊥AE 于点H ,同(2)可得CE=EH ,AF=AH ,设AD=a ,CE=EH=m ,则DE=4-m ,AF=AH=4-a在Rt △ADE 中,AD 2+DE 2=AE 2,即()()22244+-=-+a m a m整理得8=4+m a m ∴AE=AH+HE=2816444+-+=++m m m m m 设△ABE 的面积为y ,则y=()222161116AE BH=42244++=++m m m m ∴()()24216+=+y m m 整理得:223240++-=m ym y∵方程必有实数根∴()2=423240∆-⨯⨯-≥y y 整理得2322560+-≥y y∴()()16216162160⎡⎤⎡⎤---≥⎣⎦⎣⎦y y (注:利用求根公式进行因式分解) 又∵面积y ≥0∴216≥y即△ABE 的面积最小值为16216.【点睛】本题考查四边形综合问题,正确作出辅助线,得出AB 平分∠FAC ,利用角平分线的性质定理得到BF=BH ,结合勾股定理求出AE 是解决(2)题的关键,(3)题中利用一元二次方程的判别式求最值是解题的关键.4.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价?【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= ,解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=,解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件.【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.5.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆?(假定每年新增汽车数量相同)【答案】详见解析【解析】试题分析:(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)解决问题;(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不等式来判断正确的解.试题解析:(1)设年平均增长率为x,根据题意得:10(1+x)2=14.4,解得x=﹣2.2(不合题意舍去)x=0.2,答:年平均增长率为20%;(2)设每年新增汽车数量最多不超过y万辆,根据题意得:2009年底汽车数量为14.4×90%+y,2010年底汽车数量为(14.4×90%+y)×90%+y,∴(14.4×90%+y)×90%+y≤15.464,∴y≤2.答:每年新增汽车数量最多不超过2万辆.考点:一元二次方程—增长率的问题6.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg时,用油的重复利用率为61.6%.①润滑用油量为80kg,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?【答案】(1)28(2)①76%②75,84%【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案;②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg);(2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%;②设润滑用油量是x千克,则x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x)]}=12,整理得:x2﹣65x﹣750=0,(x﹣75)(x+10)=0,解得:x1=75,x2=﹣10(舍去),60%+1.6%(90﹣x)=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%.考点:一元二次方程的应用7.计算题(1)先化简,再求值:21xx-÷(1+211x-),其中x=2017.(2)已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,求m的值.【答案】(1)2018;(2)m=4【解析】分析:(1)根据分式的运算法则和运算顺序,先算括号里面的,再算除法,注意因式分解的作用;(2)根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解:(1)21xx-÷(1+211x-)=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1,当x=2017时,原式=2017+1=2018(2)解:∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根,∴△=(﹣2)2﹣4×1×(m﹣3)=0,解得,m=4点睛:此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式,关键是熟记分式方程的运算顺序和法则,注意通分约分的作用.8.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,tan∠ABO=.(1)求点A,C的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E,求k的值;(3)若点P在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q,使以点C,E,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q的个数,并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A(12,0),C(﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA>OC求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度,根据Rt△AOB得出AB的长度,作EM⊥x轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E(3,12),C(﹣6,0),∴CG=9,EG=12,∴EG2=CG•GP,∴GP=16,∵△CPE与△PCQ是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12,∵OC=6,∴OH=10,∴Q(10,﹣12),如图②作MN∥x轴,交EG于点N,EH⊥y轴于点H ∵E(3,12),C(﹣6,0),∴CG=9,EG=12,∴CE=15,∵MN=CG=,可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR,HE=CR ∴Q(﹣3,6﹣3),考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.9.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 于点E ,连结CD .(1)若28A ∠=︒,求ACD ∠的度数;(2)设BC a =,AC b =; ①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由.②若线段AD EC =,求a b的值. 【答案】(1)ACD ∠=31︒;(2)①是;②34a b =. 【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B ,根据等腰三角形的性质求出∠BCD ,计算即可; (2)①根据勾股定理求出AD ,利用求根公式解方程,比较即可;②根据勾股定理列出算式,计算即可.【详解】(1)在ABC ∆中,90ACB ∠=︒.∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒62=︒,∵BC BD =,∴1802B BCD BDC ︒-∠∠=∠= 180622︒-︒= 59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.(2)①BD BC a ==,∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AB ==∵2220x ax b +-=,∴22a x -±=a =-a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根.②∵AE AD =,又∵AD EC =, ∴2b AE EC ==, ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中,222AB AC BC =+, ∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 22224b a ab b a ++=+, ∴234b ab =. ∵0b >, ∴34b a =, ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.10.如图,在矩形ABCD 中,6AB = ,10BC = ,将矩形沿直线EF 折叠.使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处,且点E 、F 分别在边AB 、AD 上(含端点),连接CF .(1)当BG =时,求AE 的长;(2)当AF 取得最小值时,求折痕EF 的长;(3)连接CF ,当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时,直接写出BG 的长.【答案】(1)92AE =;(2)62EF =;(3)185BG =. 【解析】【分析】 (1)根据折叠得出AE=EG ,据此设AE=EG=x ,则有BE=6-x ,由勾股定理求解可得;(2)由FG ⊥BC 时FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,显然四边形AEGF 是正方形,从而根据勾股定理可得答案;(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①FG=FC ;②FG=GC ;分别求解可得.【详解】(1)由折叠易知,AE EG =,设AE EG x ==,则有6BE x =-,由勾股定理,得()()222632x x =-+,解得92x =,即92AE = (2)由折叠易知,AF FG =,而当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,点E 与点B 重合,此时四边形AEGF 是正方形,∴折痕226662EF =+=.(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①当FG=FC 时,如图2,过F 作FH ⊥CG 于H ,则有:AF=FG=FC ,CH=DF=GH设AF=FG=FC=x ,则DF=10-x=CH=GH在Rt △CFH 中∵CF 2=CH 2+FH 2∴x 2=62+(10-x )2解得:x=345,∴DF=CH=GH=10-165,即BG=10-165×2=185,②当FG=GC时,则有:AF=FG=GC=x,CH=DF=10-x;∴GH=x-(10-x)=2x-10,在Rt△FGH中,由勾股定理易得:x2=62+(2x-10)2,化简得:3x2-40x+136=0,∵△=(-40)2-4×3×136=-32<0,∴此方程没有实数根.综上可知:BG=185.【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点,也考查了分类讨论的数学思想.。

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷(附答案)

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷(附答案)
三、解答题
18.解方程:(x﹣1)2=2x(1﹣x)
19.2x2+2x=1(公式法).
20.已知关于x的方程(k+1) +(k-3)x-1=0
(1)当k取何值时,它是一元一次方程?
(2)当k取何值时,它是一元二次方程?
21.用配方法说明:不论x取何值,代数式2x2+5x-1的值总比代数式x2+7x-4的值大,
【答案】B
【解析】
试题分析:利用公式法即可求解.
解:a=1,b=﹣1,c=﹣6
△=1+24=25>0
∴x=
解得x1=3,x2=﹣2;故选B.
考点:解一元二次方程-公式法.
2.如果一元二次方程x2-ax+6=0经配方后,得(x+3)2=3,则a的值为()
A.3
B.-3
C.6
D.-6
【答案】D
【解析】
【分析】
【答案】D
【解析】
试题解析:设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1、x2,方程y2+2ny+2m=0的两根为y1、y2.
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正,
∴x1•x2=2n>0,y1•y2=2m>0,
16.已知直角三角形两直角边x、y的长满足|x2-4|+ =0,则斜边长为_________.
17.已知关于x的方程kx2+(1-k)x-1=0,有下列说法:①当k=0时,方程无解;②当k=1时,方程有一个实数解;③当k=-1时,方程有两个相等的实数解;④此方程总有实数解.其中正确的是_________.

一元二次方程单元试卷(word版含答案)

一元二次方程单元试卷(word版含答案)

一元二次方程单元试卷(word 版含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP 10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. 2234+=5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒)③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于Q.1341221552DQ⨯⨯==⨯,22129355PQ⎛⎫=-=⎪⎝⎭∴PC=2PQ=18 5∴183453515t++==(秒)可知当t为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP是等腰三角形.2.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发时,点P和点Q之间的距离是10cm;(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?【答案】(1)85s或245s(2)62cm;213cm(3)4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E,得到AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P在AO上时,当点P在OC上时和当点P在CB上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t秒时,如图,过点P作PE⊥BC于E,由运动知,AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm , ∴62+(16﹣5t )2=100, 解得t 1=85,t 2=245, ∴t =85s 或245s . 故答案为85s 或245s(2)t=2时,由运动知AP =3×2=6 cm ,CQ =2×2=4 cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BE =6,∴EQ =BC ﹣BE ﹣CQ =16﹣6﹣4=6, 根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=, ∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为62 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4 ∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4, 根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=, P ,Q 两点的距离为213cm .(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s , 当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t-⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.3.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,点A (0,8),点B (m ,0),且m >0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°,得△ACD ,点O ,B 旋转后的对应点为C ,D , (1)点C 的坐标为 ;(2)①设△BCD 的面积为S ,用含m 的式子表示S ,并写出m 的取值范围; ②当S=6时,求点B 的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C (8,8);(2)①S=0.5m 2﹣4m (m >8),或S=﹣0.5m 2+4m (0<m <8);②点B 的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0). 【解析】 【分析】(1)由旋转的性质得出AC =AO =8,∠OAC =90°,得出C (8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC =OB =m ,∠ACD =∠AOB =90°,∠OAC =90°,得出∠ACE =90°,证出四边形OACE 是矩形,得出DE ⊥x 轴,OE =AC =8,分三种情况:a 、当点B 在线段OE 的延长线上时,得出BE =OB−OE =m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m 2−4m (m >8)即可;b 、当点B 在线段OE 上(点B 不与O ,E 重合)时,BE =OE−OB =8−m ,由三角形的面积公式得出S =−0.5m 2+4m (0<m <8)即可;c 、当点B 与E 重合时,即m =8,△BCD 不存在;②当S =6,m >8时,得出0.5m 2−4m =6,解方程求出m 即可; 当S =6,0<m <8时,得出−0.5m 2+4m =6,解方程求出m 即可. 【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:m=4±27(负值舍去),∴m=4+27;当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.4.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等82cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解.③当时,,,由题意,得,解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.5.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.6.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg ,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关. (1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg 时,用油的重复利用率为61.6%. ①润滑用油量为80kg ,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少? 【答案】(1)28(2)①76%②75,84% 【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案; ②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg ); (2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%; ②设润滑用油量是x 千克,则 x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x )]}=12, 整理得:x 2﹣65x ﹣750=0, (x ﹣75)(x+10)=0, 解得:x 1=75,x 2=﹣10(舍去), 60%+1.6%(90﹣x )=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%. 考点:一元二次方程的应用7.已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根.()1求k 的取值范围;()2设方程两实数根分别为1x ,2x ,且满足221223x x +=,求k 的值.【答案】(1)134k ≤;(2)2k =-. 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥,解之可得.()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值,根据条件可得到关于k 的方程,可求得k 的值,注意利用根的判别式进行取舍. 【详解】 解:()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根,0∴≥,即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥,解得134k ≤. ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-,2123x x k =-,()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+, 221223x x +=,224723k k ∴-+=,解得4k =,或2k =-,134k ≤, 4k ∴=舍去, 2k ∴=-. 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ,b ,c 为常数)根的判别式.当0>,方程有两个不相等的实数根;当0=,方程有两个相等的实数根;当0<,方程没有实数根.以及根与系数的关系.8.已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ,且它们的倒数之和是32-,求k 的值. 【答案】(1)k <-34;(2)k=﹣1 【解析】试题分析:(1)根据交点得个数,让y=0判断出两个不相等的实数根,然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值;(2)利用y=0时的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系,可直接列式求解可得到k 的值.试题解析:(1)∵二次函数y=x 2-(2k-1)x+k 2+1的图象与x 轴有两交点, ∴当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0有两个不相等的实数根. ∴△=b 2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k 2+1)>0. 解得k <-34; (2)当y=0时,x 2-(2k-1)x+k 2+1=0. 则x 1+x 2=2k-1,x 1•x 2=k 2+1, ∵=== 32-,解得:k=-1或k= 13-(舍去), ∴k=﹣19.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案. 【详解】(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0, (x +3)(x ﹣4)=0, x +3=0或x ﹣4=0, ∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,, ∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0, 解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,. ∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦, 把22112211x x a x x a -=--=-,代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9, 解得:a =﹣4,a =2(舍去), 所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.10.如图直线y =kx +k 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,且AB =2 (1)求k 的值;(2)点P 从A 出发,以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动,过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ,连接OP ,设△PQO 的面积为S ,点P 运动时间为t ,求S 与t 的函数关系式,并直接写出t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当P在AB的延长线上,若OQ+AB=7(BQ﹣OP),求此时直线PQ的解析式.【答案】(1)k32)当0<t<12时,S=12•OQ•P y=12(1﹣2t3=﹣323.当t>12时,S=12OQ•P y=12(2t﹣1)•32t=32t2﹣34t.(3)直线PQ的解析式为y 353.【解析】【分析】(1)求出点B的坐标即可解决问题;(2)分两种情形①当0<t<12时,②当t>12时,根据S=12OQ•P y,分别求解即可;(3)根据已知条件构建方程求出t,推出点P,Q的坐标即可解决问题.【详解】解:(1)对于直线y=kx+k,令y=0,可得x=﹣1,∴A(﹣1,0),∴OA=1,∵AB=2,∴OB223AB OA-=∴k3(2)如图,∵tan ∠BAO =3OB OA= ∴∠BAO =60°,∵PQ ⊥AB ,∴∠APQ =90°,∴∠AQP =30°,∴AQ =2AP =2t , 当0<t <12时,S =12•OQ •P y =12(1﹣2t 3323. 当t >12时,S =12OQ •P y =12(2t ﹣1)•32t =32t 2﹣34t . (3)∵OQ +AB 7(BQ ﹣OP ),∴2t ﹣1+22221373(21)(1)24t t t +--+ ∴2t +1271t t -+∴4t 2+4t +1=7t 2﹣7t +7,∴3t 2﹣11t +6=0,解得t =3或23(舍弃), ∴P (1233Q (5,0), 设直线PQ 的解析式为y =kx +b ,则有133250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得353k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴直线PQ 的解析式为33y x =-+. 【点睛】 本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,三角形的面积,无理方程等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.。

九年级上册一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级上册一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级上册一元二次方程单元综合测试(Word版含答案)一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1.阅读下面材料:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,它通常用字母d表示,我们可以用公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和.(公式中的n表示数的个数,a表示第一个数的值,)例如:3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10×3+10(101)2-×2=120.用上面的知识解决下列问题.(1)计算:2+8+14+20+26+32+38+44+50+56+62+68+74+80+86+92+98+104+110+116(2)某县决定对坡荒地进行退耕还林.从2009年起在坡荒地上植树造林,以后每年植树后坡荒地的实际面积按一定规律减少,下表为2009、2010、2011、2012四年的坡荒地面积的统计数据.问到哪一年,可以将全县所有坡荒地全部种上树木.【答案】(1)1180;(2)到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【解析】【分析】(1)根据题意,由公式(1)2n nS na d-=+⨯来计算等差数列的和,即可得到答案;(2)根据题意,设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.列出方程,解方程即可得到答案.【详解】解:(1)由题意,得6d=,20n=,2a=,∵(1)2n nS na d-=+⨯,∴20(201)22062S-=⨯+⨯401140=1180=+;(2)解:设再过x年可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.根据题意,得1200x+(1)2x x-×400=25200,整理得:(x ﹣9)(x+14)=0,∴x =9或x =﹣14(负值舍去).∴2009+9-1=2017;答:到2017年,可以将全县所有的坡荒地全部种上树木.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,解一元二次方程,以及计算等差数列的和公式,解题的关键是熟练掌握题意,正确找出等量关系,列出方程进行解题.2.为了满足师生的阅读需求,某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册.(1)求这两年藏书的年均增长率;(2)经统计知:中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%,在这两年新增加的图书中,中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率,那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几?【答案】(1)这两年藏书的年均增长率是20%;(2)到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【解析】【分析】(1)根据题意可以列出相应的一元二次方程,从而可以得到这两年藏书的年均增长率; (2)根据题意可以求出这两年新增加的中外古典名著,从而可以求得到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几.【详解】解:(1)设这两年藏书的年均增长率是x ,()2517.2x +=,解得,10.2x =,2 2.2x =-(舍去),答:这两年藏书的年均增长率是20%;(2)在这两年新增加的图书中,中外古典名著有()7.2520%0.44-⨯=(万册), 到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是:5 5.6%0.44100%10%7.2⨯+⨯=, 答:到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用,解答本题的关键是明确题意,列出相应的方程,利用方程的知识解答,这是一道典型的增长率问题.3.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价?【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= ,解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=,解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件.【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.4.阅读下列材料计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t ,则:原式=(1﹣t )(t +)﹣(1﹣t ﹣)t =t +﹣t 2﹣+t 2= 在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:(1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+) (2)因式分解:(a 2﹣5a +3)(a 2﹣5a +7)+4(3)解方程:(x 2+4x +1)(x 2+4x +3)=3【答案】(1);(2)(a 2﹣5a +5)2;(3)x 1=0,x 2=﹣4,x 3=x 4=﹣2【解析】【分析】(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.【详解】(1)令+=t,则:原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣﹣t+t2+=(2)令a2﹣5a=t,则:原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2(3)令x2+4x=t,则原方程转化为:(t+1)(t+3)=3t2+4t+3=3t(t+4)=0∴t1=0,t2=﹣4当x2+4x=0时,x(x+4)=0解得:x1=0,x2=﹣4当x2+4x=﹣4时,x2+4x+4=0(x+2)2=0解得:x3=x4=﹣2【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.5.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦,某企业加工一台设备润滑用油量为90kg,用油的重复利用率为60%,按此计算,加工一台设备的实际耗油量为36kg,为了倡导低碳,减少油耗,该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.(1)甲车间通过技术革新后,加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重复利用率仍然为60%,问甲车间技术革新后,加工一台设备的实际油耗量是多少千克?(2)乙车间通过技术革新后,不仅降低了润滑油用油量,同时也提高了用油的重复利用率,并且发现在技术革新前的基础上,润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加1.6%,例如润滑用油量为89kg时,用油的重复利用率为61.6%.①润滑用油量为80kg,用油量的重复利用率为多少?②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千克?用油的重复利用率是多少?【答案】(1)28(2)①76%②75,84%【解析】试题分析:(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ,用油的重复利用率仍然为60%,进而得出答案;(2)①利用润滑用油量每减少1kg ,用油的重复利用率将增加1.6%,进而求出答案; ②首先表示出用油的重复利用率,进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ,得出等式求出答案.试题解析:(1)根据题意可得:70×(1﹣60%)=28(kg );(2)①60%+1.6%(90﹣80)=76%;②设润滑用油量是x 千克,则x{1﹣[60%+1.6%(90﹣x )]}=12,整理得:x 2﹣65x ﹣750=0,(x ﹣75)(x+10)=0,解得:x 1=75,x 2=﹣10(舍去),60%+1.6%(90﹣x )=84%,答:设备的润滑用油量是75千克,用油的重复利用率是84%.考点:一元二次方程的应用6.已知x 1、x 2是关于x 的﹣元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根.(1)求a 的取值范围;(2)若(x 1+1)(x 2+1)是负整数,求实数a 的整数值.【答案】(1)a≥0且a≠6;(2)a 的值为7、8、9或12.【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可;(2)根据根与系数的关系可得x 1+x 2=﹣2-6a a ,x 1x 2=-6a a ,由(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=﹣66a - 是是负整数,即可得66a -是正整数.根据a 是整数,即可求得a 的值2.【详解】(1)∵原方程有两实数根, ∴260(2)4(6)*0a a a a -≠⎧⎨∆=-->⎩, ∴a≥0且a≠6.(2)∵x 1、x 2是关于x 的一元二次方程(a ﹣6)x 2+2ax+a=0的两个实数根,∴x 1+x 2=﹣26a a -,x 1x 2=6a a -,∴(x 1+1)(x 2+1)=x 1x 2+x 1+x 2+1=-6a a ﹣26a a -+1=﹣66a -. ∵(x 1+1)(x 2+1)是负整数, ∴﹣66a -是负整数,即66a -是正整数. ∵a 是整数,∴a ﹣6的值为1、2、3或6,∴a 的值为7、8、9或12.【点睛】 本题考查了根的判别式和根与系数的关系,能根据根的判别式和根与系数的关系得出关于a 的不等式是解此题的关键.7.有n 个方程:x 2+2x ﹣8=0;x 2+2×2x ﹣8×22=0;…x 2+2nx ﹣8n 2=0.小静同学解第一个方程x 2+2x ﹣8=0的步骤为:“①x 2+2x=8;②x 2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x 1=4,x 2=﹣2.” (1)小静的解法是从步骤 开始出现错误的.(2)用配方法解第n 个方程x 2+2nx ﹣8n 2=0.(用含有n 的式子表示方程的根)【答案】(1)⑤;(2)x 1=2n ,x 2=﹣4n .【解析】【分析】(1)根据移项要变号,可判断;(2)先把常数项移到方程的右边,再把方程两边都加上一次项系数的一半,使左边是一个完全平方式,然后用直接开平方法求解.【详解】解:(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的,故答案为⑤;(2)x 2+2nx ﹣8n 2=0,x 2+2nx=8n 2,x 2+2nx+n 2=8n 2+n 2,(x+n )2=9n 2,x+n=±3n ,x 1=2n ,x 2=﹣4n .8.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上,顶点B 在x 轴正半轴上,OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根(OA >OB ).(1)求点D 的坐标.(2)求直线BC 的解析式.(3)在直线BC 上是否存在点P ,使△PCD 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D(4,7)(2)y=3944x (3)详见解析【解析】试题分析:(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度,过点D作DE⊥y于点E,根据正方形的性质可得AD=AB,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA,AE=OB,再求出OE,然后写出点D的坐标即可;(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同理求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0,k、b为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P与点B重合时,△PCD为等腰三角形;点P为点B关于点C 的对称点时,△PCD为等腰三角形,然后求解即可.试题解析:(1)x2﹣7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∵OA>OB,∴OA=4,OB=3,过D作DE⊥y于点E,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P 2﹣1,2);②P (﹣32 ,154) 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA ,从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标;②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,3),其对称轴l 为1x =-,∴0{312a b c c b a++==-=-,解得:1{23a b c =-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x =--+=,解得3x =-或1x =,∴点A (﹣3,0),B (1,0),作PD ⊥x 轴于点D ,∵点P 在223y x x =--+上,∴设点P (x ,223x x --+), ①∵PA ⊥NA ,且PA=NA ,∴△PAD ≌△AND ,∴OA=PD ,即2232y x x =--+=,解得21(舍去)或x=21-,∴点P (21-,2);②设P(x ,y),则223y x x =--+,∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P(32,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.10.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上,我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形.探究一:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍?如图,假设存在正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD的2倍.因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为2,所以EF=FG=GH=HE2EB=x,则BF2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF=AE2﹣x在Rt△AEB中,由勾股定理,得x2+2﹣x)2=12解得,x1=x2=2 2∴BE=BF,即点B是EF的中点.同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍?(仿照上述方法,完成探究过程)探究三:已知边长为1的正方形ABCD,一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究过程)【答案】不存在,详见解析【解析】【分析】探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.【详解】探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+x)2=12,整理得x2x+1=0,b2﹣4ac=3﹣4<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=2﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(2﹣x)2=12,整理得2x2﹣4x+3=0,b2﹣4ac=16﹣24<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,故答案为不存在;探究四:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为n,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+﹣x)2=12,整理得2x2﹣+n﹣1=0,b2﹣4ac=8﹣4n<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.。

人教版九年级数学一元二次方程章节综合测试(Word版有答案)

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人教版九年级数学一元二次方程章节综合测试(Word版有答案)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(每小题2分,共32分)1.关于x的方程3x2-5=2x的二次项系数和一次项系数分别是( )A.3,-2 B.3,2 C.3,5 D.5,22.一元二次方程x2-x+10=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3.若方程(m-3)xm2-7-x+3=0是关于x的一元二次方程,则m=( )A.9 B.3 C.-3 D.3或-34.方程x2+x-1=0的一个根是( )A.1- 5 B.1-52C.-1+ 5 D.-1+525.若m,n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根,则mn-m-n的值是( ) A.7 B.-7 C.3 D.-36.已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根-b,则a-b的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.-27.如图,在宽为20 m、长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的小路(图中阴影部分),余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2,求小路的宽.如果设小路的宽为x m,根据题意,所列方程正确的是( )A.(32+x)(20+x)=540B.(32-x)(20-x)=540C.(32+x)(20-x)=540D.(32-x)(20+x)=548.将进货单价为40元的商品按50元出售时,就能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为了赚得8 000元的利润,商品售价应为( )A.60元B.80元C.60元或80元D.30元9.若2-3是方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值是( )A.1 B.3- 3C.1+ 3 D.2+ 310.用配方法解方程x2+x=2,要使方程左边为x的完全平方式,应把方程两边同时( )A.加14B.加12C.减14D.减1211.a,b,c为常数,且(a-c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( )A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根。

《一元二次方程》单元检测试题(含答案)

《一元二次方程》单元检测试题(含答案)

《一元二次方程》单元检测试题(含答案)一、选一选,慧眼识金(每小题3分,共24分)1.在一元二次方程265x x x -=+中,二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ).A .1、-1、5B .1、6、5C .1、-7、5D .1、-7、-5 2.用配方法解方程22x x +=,方程的两边应同时( ).A .加上14B .加上12C .减去14D .减去123.方程(x -5)( x -6)=x -5的解是( )A .x =5B .x =5或x =6C .x =7D .x =5或x =74.餐桌桌面是长160cm ,宽为100cm 的长方形,妈妈准备设计一块桌布,面积是桌面的2倍,且使四周垂下的边等宽,小刚设四周垂下的边宽为xcm ,则应列得的方程为( ). A .(160+x )(100+x )=160×100×2 B .(160+2x )(100+2x )=160×100×2 C .(160+x )(100+x )=160×100 D .(160+2x )(100+2x )=160×1005.电流通过导线会产生热量,设电流强度为I (安培),电阻为R (欧姆),1秒产生的热量为Q (卡),则有Q=0.24I 2R ,现在已知电阻为0.5欧姆的导线,1秒间产生1.08卡的热量,则该导线的电流是( ).A .2安培B .3安培C . 6安培D .9安培 6.关于x 的方程20ax bx c ++=(a ≠0,b ≠0)有一根为-1,则ba c+的值为( ) A .1 B .-1 C .2 D .-27.关于x 的一元二次方程x 2(23)20m x m --+-=根的情况是( ).A .有两个相等的实数根B .没有实数根C .有两个不相等的实数根D .根的情况无法确定8.在解二次项系数为1的一元二次方程时,粗心的甲、乙两位同学解同一道题,甲看错了常数项,得到两根分别是4和5;乙看错了一次项系数,得到的两根分别是-3和-2,则方程是( )A .2960x x ++=B .2960x x -+=C .2960x x +-=D .2960x x --= 二、填一填,画龙点睛(每题3分,共18分) 9.关于x 的方程22(2)(3)20mm x m x --+--=是一元二次方程,则m 的值为_______.10.若关于x 的一元二次方程20x mx n ++=有两个相等的实数根,则符合条件的一组m ,n 的实数值可以是m =_________,n =________. 11.第二象限内一点A (1x -, x 2-3),其关于x 轴的对称点为B ,已知AB=12,则点A 的坐标为__________.12.随着人们收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入了普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2008年底全市汽车拥有量为150万辆,而截止到2010年底,全市的汽车拥有量已达216万辆.则2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率为__________.13.黎明同学在演算某正数的平方时,将这个数的平方误写成它的2倍,使答案少了35,则这个数为__________.14.将4个数a b c d ,,,排成2行、2列,两边各加一条竖直线记成a bc d,定义a bc dad bc =-,上述记号就叫做2阶行列式.若1111x x x x +--+ 6=,则x =______. 三、做一做,牵手成功(共58分)15.(每小题3分,共9分)用适当方法解下列方程: (1)(x -4)2-81=0; (2)3x (x -3)=2(x -3);(3)2216x x -=.16.(5分)已知213y x x =-+,25(1)y x =-,当x 为何值时,12y y =. 17.(6分)飞机起飞时,要先在跑道上滑行一段路程,这种运动在物理中叫做匀加速直线运动,其公式为2012s v t at =+,若某飞机在起飞前滑行了400m 的距离,其中v 0=30m/s ,a =20m/s 2,求所用的时间t .18.(7分)阅读材料:为解方程222(1)5(1)40x x ---+=,我们可以将21x -看作一个整体,然后设21x y -=,那么原方程可化为2540y y -+=……①. 解得y 1=1,y 2=4.当1y =时,211x -=,∴22x =,∴x =;当4y =时,214x -=,∴25x =,∴x =.故原方程的解为1x =2x =22x =-,4x =解答问题:(1)上述解题过程,在由原方程得到方程①的过程中,利用________法达到了解方程的目的,体现了转化的数学思想; (2)请利用以上知识解方程x 4-x 2-6=0.19.(7分)设a 、b 、c 是△ABC 的三条边,关于x 的方程220x c a ++-=有两个相等的实数根,且方程322cx b a +=的根为0. (1)求证:△ABC 为等边三角形;(2)若a 、b 为方程230x mx m +-=的两根,求m 的值.20.(7分)在国家的宏观调控下,某市的商品房成交价由今年5月份的14000元/m 2下降到7月份的12600元/ m 2(1)问6、70.95≈) (2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/ m 2?请说明理由.21.(8分)已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x . (1)求实数m 的取值范围;(2)当22120x x -=时,求m 的值.22.(9分)如图1,在矩形ABCD 中,AB=6㎝,BC=12㎝,点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1/cm s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2/cm s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发. (1)经过几秒后,△PBQ 的面积等于28cm ;(2)经过几秒后,五边形APQCD 的面积最小,最小值是多少?参考答案:一、选一选,慧眼识金1.D .点拨:原方程的一般形式为2750x x --=.2.A .点拨:方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 3.D .点拨:可利用因式分解法解方程.4.B .点拨:桌布的长为(160+2x )cm ,桌布的宽为(100+2x )cm . 5.B .点拨:根据题意得,20.240.5 1.08I ⨯=.6.A .点拨:由1x =-,得0a b c -+=,即a c b +=.7.C .点拨:[]2224(23)4(2)4(2)10b ac m m m -=----=-+>.8.B .点拨:设原方程为20x bx c ++=,则129x x b +=-=,126x x c ⋅==. 二、填一填,画龙点睛9.—2. 点拨:根据一元二次方程的定义知,222m -=且20m -≠.图110.2,1. 点拨:答案不惟一,只要满足24m n =即可.11.(-4,6).点拨:根据题意得,23x -=6,解得1x =-3,2x =3(不符合题意,舍去) 12.20%. 点拨:设该市汽车拥有量的年平均增长率为x . 根据题意,得2150(1)216x +=. 13.7.点拨:设这个正数为x ,根据题意得2235x x -=,解得1x =7,2x =-5(舍去)14.点拨: 原方程可转化为22(1)(1)6x x ++-=. 三、做一做,牵手成功15.(1)1x =13,2x =-5; (2)1x =3,223x =; (3)132x =,232x =16.根据题意得,235(1)x x x -+=-,整理得2680x x -+=,解得1x =2,2x =4.即当x =2或x =4时,12y y =. 17.根据题意得,2140030202t t =+⨯,整理得23400t t +-=, 解得1t =5,2t =-8(不符合题意,舍去).答:飞机在起飞前滑行400m 的距离所用的时间为5秒. 18.(1)换元法(2)设2x y =,那么原方程可化为260y y --=,解得13y =;22y =-.当y =3时,23x =,∴x =当y =-2时,x 2 =-2,,不符合题意,应舍去.∴原方程的解为1x 2x =.19.(1)∵方程220x c a ++-=有两个相等的实数根,∴24(2)0c a --=,化简得2a b c +=; 又∵x =0是方程322cx b a +=的根,∴a b =. ∴a b c ==,故△ABC 为等边三角形(2)由(1)知a b =,∴方程230x mx m +-=有两个相等的实数根.∴24(3)0m m -⨯-=,即2120m m +=,解得10m =,212m =-.20.(1)设6、7两月平均每月降价的百分率为x .根据题意,得214000(1)12600x -=,化简得2(1)0.9x -=. 解得10.05x ≈,2 1.95x ≈(不合题意,应舍去).答:设6、7两月平均每月降价的百分率为5%.(2)如果房价按此降价的百分率继续回落,则9月份该市的商品房成交均价为12600(1-x )2 =12600×0.9=11340>10000.答:9月份该市的商品房成交均价不会跌破10000元/m 2. 21.(1)由题意有2224(21)40b ac m m -=--≥,解得14m ≤. 即实数m 的取值范围是14m ≤. (2)由22120x x -=得,1212()()0x x x x +-=.若120x x +=,即(21)0m --=,解得12m =. ∵21>41,∴12m =不合题意,应舍去. 若120x x -=,即12x x =,∴240b ac -=,由(1)知14m =. 故当22120x x -=时,14m =. 22.(1)设经过x 秒后,△PBQ 的面积等于28cm .此时BP=(6-x )cm ,BQ=2x cm .根据题意得1(6)282x x -⋅=,解得12x =,14x =. 答:经过2秒或4秒后,△PBQ 的面积等于28cm . (2)设经过y 秒后,五边形APQCD 的面积最小. 此时BP=(6-y )cm ,BQ=2y cm ,则S △PBQ =1(6)22y y -⋅=26y y -. ∴S 五边形APQCD =S 四边形ABCD -S △PBQ =72-(26y y -)=2(3)63y -+. ∴当3y =时,S 五边形APQCD =63.答:经过3秒后,五边形APQCD 的面积最小,最小值是63cm 2.人教版九年级数学(上)第21章《一元二次方程》单元检测题(word 版有答案)一、选择题(每小题3分,共30分)1.关于x 的方程(a -1)x 2+x -2=0是一元二次方程,则a 满足( )A .a ≠1B .a ≠-1C .a ≠0D .为任意实数2.用公式法解一元二次方程3x 2-2x +3=0时,首先要确定a 、b 、c 的值,下列叙述正确的是( )A .a =3,b =2,c =3B .a =-3,b =2,c =3C .a =3,b =-2,c =3D .a =3,b =2,c =-3 3.一元二次方程x 2-4=0的根为( )A .x =2B .x =-2C .x 1=2,x 2=-2D .x =44.关于x 的一元二次方程(a -1)x 2+x +a 2-1=0的一个根是0,则a 的值为( )A .-1B .1C .1或-1D .215.某企业2017年的产值是360万元,要使209年的产值达到490万元,设该企业这两年的平均增长率为x ,根据题意列方程,则下列方程正确的是( )A .360x 2=490 B .360(1+x )2=490C .490(1+x )2=360D .360(1-x )2=4906.要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是( )A .6个B .7个C .8个D .9个 7.一个面积为120 m 2的矩形苗圃,它的长比宽多2 m ,苗圃的长是( )A .10 mB .12 mC .13 mD .14 m 8.若M =2x 2-12x +15,N =x 2-8x +11,则M 与N 的大小关系为( )A .M ≤NB .M >NC .M ≥ND .M <N9.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中,平均一个人传染的人数 为( )A .8人B .9人C .10人D .11人10.定义[a ,b ,c ]为方程ax 2+bx +c =0的特征数,下面给出特征数为[2m ,1-m ,-1-m ]的方程的一些结论:①m =1时,方程的根为±1;②若方程的两根互为倒数,则m =31 ;③无论m 为何值,方程总有两个实数根;④无论m 为何值,方程总有一个根等于1,其中正确有( )A .①②③B .①②④C .①③④D .②③④二、填空题(每小题3分,共18分) 11.一元二次方程x 2=9的解是 .12.若方程3x 2-5x -2=0有一根是a ,则6a 2-10a 的值是 .13.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +b -1=0有两个相等的实数根,则b 的值是 .14.现有一块长80 cm 、宽60 cm 的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形,做成一个底面积为1500 cm 2的无盖的长方体盒子,根据题意列方程,化简可得 .15.已知方程x 2-4x -3=0的两根为m ,n ,则m 2+mn +n 2= .16.如图,矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的.如果AB =8,阴影部分的面积是24,另外两个小矩形全等,则小矩形的长为 . 三、解答题(共8题,共72分) 17.(本题8分)解方程:x 2+3x =0.18.(本题8分)已知x 1、x 2是方程2x 2+3x -4=0的两个根,不解方程. (1)求x 1+x 2+x 1x 2的值; (2)求2111x x的值.19.(本题8分)已知x 的方程x 2-(k +1)x -6=0的根为2,求另一根及k 的值.20.(本题8分)有两人患了流感,经过两轮传染后共有242人患了流感,每轮传染中平均一个人传染几个人?21.(本题8分)已知m ,n 是方程x 2+2x -5=0的两个实数根,求m 2-mn +3m +n 的值.22.(本题8分)如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,点Q以2cm/s的速度向点D移动,当点P运动到点B停止时,点Q也随之停止运动,问P、Q两点从出发经过几秒时,点P、Q间的距离是10cm?23.(本题10分)如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面,请观察下列图形,并解答有关问题:(1)在第n个图中,第一横行共_____块瓷砖,第一竖列共有_____块瓷砖,铺设地面所用瓷砖的总块数为__________________(用含n的代数式表示);(2)上述铺设方案,铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值;(3)黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(2)中,共需要花多少钱购买瓷砖?(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形?请通过计算加以说明.24.(本题12分)在平面直角坐标系中,已知A(a,a2)、B(b,b2)两点,其中a<b,P、A、B三点共线.(1)若点A、B在直线y=5x-6上,求A、B的坐标;(2)若点P的坐标为(-2,2),且P A=AB,求点A的坐标;(3)求证:对于直线y=-2x-2上任意给定的一点P,总能找到点A,使P A=AB成立.1-5ACDAB 6-10BBCAB11.x1=3,x2=-312.-413.2_14.x2-70x+825=015.1916.617.解:x1=0,x2=-3.18.解:(1)x1+x2=-32;x1x2=-2,则x1+x2+x1x2=-3.5;(2)34.19.解:另一根为a,则2a=-6,2+a=k+1,∴a=-3,k=-2.20.解:10.21.解:m2+2m-5=0,m+n=-2,mn=-5,∴原式=5-2m-mn+3m+n=5+m+n-mn=8.22.解:设x秒后,点P和点Q的距离是10cm.(16-2x-3x)2+62=102.(16-5x)2=64,16-5x=±8,x1=1.6,x2=4.8.23.解:(1)n+3,n+2,(n+3)(n+2);(2)(n+3)(n+2)=506,解得n=20或n=-25(舍);(3)420×3+86×4=1604元;(4)n(n+1)=2(2n+3),解得n24.解:(1)A(2,4),B(3,9);(2)∵P(-2,2),过P,A,B作x轴垂线,垂足为G,E,F,则AE是梯形PGFB的中位线,GE=FE,PG+BF=2AE,∴2a=b-2,2a2=b2+2,∴b=0或b=-4,∴A(-1,1),B(-3,9);(3)设P(m,-2m-2),∴2a=b+m,2a2=b2-2m-2,∴2a2-4am+m2-2m-2=0,∆=8(m+1)2+8>0,故成立.人教新版九年级数学上第21章一元二次方程单元练习试题(含答案)一.选择题(共14小题)1.下列方程中,是一元二次方程的是()A.x2﹣4=0 B.x=C.x2+3x﹣2y=0 D.x2+2=(x﹣1)(x+2)2.已知a是方程2x2﹣4x﹣2019=0的一个解,则a2﹣2a=()A.2019 B.4038 C.D.3.若2是关于x的方程x2﹣(m﹣1)x+m+2=0的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的长,则△ABC的周长为()A.7或10 B.9或12 C.12 D.94.若方程(x﹣4)2=a有实数解,则a的取值范围是()A.a≤0 B.a≥0 C.a>0 D.a<05.用配方法解方程x2﹣4x﹣9=0时,原方程应变形为()A.(x﹣2)2=13 B.(x﹣2)2=11 C.(x﹣4)2=11 D.(x﹣4)2=13 6.已知a,b,c满足4a2+2b﹣4=0,b2﹣4c+1=0,c2﹣12a+17=0,则a2+b2+c2等于()A.B.C.14 D.20167.一元二次方程2x2﹣2x﹣1=0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间()A.4,3 B.3,2 C.2,1 D.1,08.点P的坐标恰好是方程x2﹣2x﹣24=0的两个根,则经过点P的正比例函数图象一定过()象限.A.一、三B.二、四C.一D.四9.若x2﹣2px+3q=0的两根分别是﹣3与5,则多项式2x2﹣4px+6q可以分解为()A.(x+3)(x﹣5)B.(x﹣3)(x+5)C.2(x+3)(x﹣5)D.2(x﹣3)(x+5)10.关于x的方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为()A.m>B.m<﹣C.m=D.m<11.已知m,n是关于x的方程x2+(2b+3)x+b2=0的两个实数根,且满足+1=,则b 的值为()A.3 B.3或﹣1 C.2 D.0或212.如图,空地上(空地足够大)有一段长为20m的旧墙MN,小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,已知木栏总长100m,矩形菜园ABCD的面积为900m2.若设AD=xm,则可列方程()A.(50﹣)x=900 B.(60﹣x)x=900C.(50﹣x)x=900 D.(40﹣x)x=90013.2018年一季度,华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%,2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%,设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x,则可列方程()A.2x=22%+30%B.(1+x)2=1+22%+30%C.1+2x=(1+22%)(1+30%)D.(1+x)2=(1+22%)(1+30%)14.为迎接端午促销活动,某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动.已知一件原价500元的春装,优惠后实际仅需320元,设该店春装原本打x 折,则有()A.500(1﹣2x)=320 B.500(1﹣x)2=320C.500()2=320 D.500(1﹣)2=320二.填空题(共4小题)15.若关于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0有一个根是0,此时方程的另一个根是16.已知关于x的一元二次方程a(x﹣h)2+k=0的解为x1=﹣1,x2=3,则方程a(x﹣h ﹣1)2+k=0的解为.17.若等腰三角形(不是等边三角形)的边长刚好是方程x2﹣9x+18=0的解,则此三角形的周长是.18.对任意的两实数a,b,用min(a,b)表示其中较小的数,如min(2,﹣4)=﹣4,则方程x•min(2,2x﹣1)=x+1的解是.三.解答题(共5小题)19.选择合适的方法解一元二次方程(1)x2﹣x=1;(2)(2x﹣1)2=9;(3)3y(y﹣1)=2y﹣2;(4)(x﹣3)2+x2=9;(5)x2﹣6x﹣2=0;(6)x2+2x+10=0.(7)x2+10x+21=0 (8)7x2﹣x﹣5=0 (9)(2x﹣1)2=(3﹣x)2(10)x2+2x=0.20.关于x的方程x2+(2k﹣3)x+k2=0有两个不相等的实数根α、β.(1)求k的取值范围;(2)α+β+αβ=6,求(α﹣β)2+3αβ﹣5的值.21.已知关于x的一元二次方程2x2+4x+m=0(1)x=1是方程的一个根,求方程的另一个根;(2)若x1,x2是方程的两个不同的实数根,且x1和x2满足x12+x22+2x1x2﹣x12x22=0,求m 的值.22.如图,将一幅宽20cm,长30cm的图案进行装裱,装裱后的整幅画长与宽的比与原画的长宽比相同,四周装裱的面积是原图案面积的,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度?23.如图,要设计一幅宽20cm、长30cm的图案,其中有两横三竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.如果要使彩条所占面积是图案面积的,应如何设计彩条的宽度?参考答案一.选择题(共14小题)1.解:A、x2﹣4=0是一元二次方程,符合题意;B、x=不是整式方程,不符合题意;C、x2+3x﹣2y=0是二元二次方程,不符合题意;D、x2+2=(x﹣1)(x+2)整理得:x﹣4=0,是一元一次方程,不符合题意,故选:A.2.解:∵a是方程2x2﹣4x﹣2019=0的一个根,∴2a2﹣4a﹣2019=0,∴a2﹣2a=,故选:C.3.解:将x=2代入方程得:4﹣2(m﹣1)+m+2=0,解得:m=8,则方程为x2﹣7x+10=0,即(x﹣5)(x﹣2)=0,解得:x=5或x=2,当三角形的三边为2、2、5时,2+2<5,不能构成三角形;当三角形的三边为5、5、2时,三角形的周长为5+5+2=12,综上所述,三角形的周长,12.观察选项,选项C符合题意.故选:C.4.解:∵方程(x﹣4)2=a有实数解,∴x﹣4=±,∴a≥0;故选:B.5.解:∵x2﹣4x=9,∴x2﹣4x+4=9+4,即(x﹣2)2=13,故选:A.6.解:由题意,知4a2+2b﹣4+b2﹣4c+1+c2﹣12a+17=0,整理,得(b2+2b+1)+(4a2﹣12a+9)+(c2﹣4c+4)=0,所以(b+1)2+(2a﹣3)2+(c﹣2)2=0,所以b+1=0,2a﹣3=0,c﹣2=0,所以b=﹣1,a=,c=2.故a2+b2+c2=+1+4=.故选:B.7.解:解方程2x2﹣2x﹣1=0得:x=,设a是方程2x2﹣2x﹣1=0较大的根,∴a=,∵1<<2,∴2<1+<3,即1<a<.故选:C.8.解:x2﹣2x﹣24=0,(x﹣6)(x+4)=0,x﹣6=0,x+4=0,x1=6.x2=﹣4,∵点P的坐标恰好是方程x2﹣2x﹣24=0的两个根,∴P(6,﹣4)或(﹣4,6),故经过点P的正比例函数图象一定过二、四象限.故选:B.9.解:∵x2﹣2px+3q=0的两根分别是﹣3与5,∴2x2﹣4px+6q=2(x2﹣2px+3p)=2(x+3)(x﹣5),故选:C.10.解:∵方程有两个不相等的实数根,a=1,b=﹣3,c=m,∴△=b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×m>0,解得m<.故选:D.11.解:∵m,n是关于x的方程x2+(2b+3)x+b2=0的两个实数根,∴m+n=﹣(2b+3),mn=b2,∵+1=,∴+=﹣1,∴=﹣1,∴=﹣1,解得:b=3或﹣1,当b=3时,方程为x2+9x+9=0,此方程有解;当b=﹣1时,方程为x2+x+1=0,△=12﹣4×1×1=﹣3<0,此时方程无解,所以b=3,故选:A.12.解:设AD=xm,则AB=(60﹣x)m,由题意,得(60﹣x)x=900.故选:B.13.解:设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x,根据题意可得:(1+x)2=(1+22%)(1+30%).故选:D.14.解:设该店春装原本打x折,依题意,得:500•()2=320.故选:C.二.填空题(共4小题)15.解:把x=0代入原方程得出c=0,∴方程为ax2+2ax=0,∴ax(x+2)=0,∴该方程的另一个根为﹣2.故答案为:﹣2.16.解:∵关于x的一元二次方程a(x﹣h)2+k=0的解为x1=﹣1,x2=3,∴方程a(x﹣h﹣1)2+k=0的解为x﹣1=﹣1或x﹣1=3,∴x1=0,x2=4.故答案为x1=0,x2=4.17.解:x2﹣9x+18=0,(x﹣3)(x﹣6)=0,x﹣3=0或x﹣6=0,x1=3,x2=6,因为3+3=6,所以这个三角形的底边长为3,腰长为6,所以这个三角形的周长为3+6+6=15.故答案为:15.18.解:①若2<2x﹣1,即x>1.5时,x+1=2x,解得x=1(舍);②若2x﹣1≤2,即x≤1.5时,x(2x﹣1)=x+1,解得x=或x=,故答案为:x=或x=.三.解答题(共5小题)19.解:(1)x2﹣x=1,x2﹣x﹣1=0,a=1,b=﹣,c=﹣1,∴x=,,(2)(2x﹣1)2=9,2x﹣1=±3,2x=1±3,x=,x1=﹣1,x2=2,(3)3y(y﹣1)=2y﹣2,3y(y﹣1)﹣2(y﹣1)=0,(y﹣1)(3y﹣2)=0,,(4)(x﹣3)2+x2=9,x2﹣6x+9+x2﹣9=0,2x2﹣6x=0,x2﹣3x=0,x(x﹣3)=0,x1=3,x2=0,(5)x2﹣6x﹣2=0;x2﹣6x+9=2+9,(x﹣3)2=11,x﹣3=,,(6)x2+2x+10=0,a=1,b=2,c=10,△=b2﹣4ac=﹣4×1×10=20﹣40<0,∴此方程无实数根,(7)x2+10x+21=0,(x+3)(x+7)=0,x1=﹣3,x2=﹣7,(8)7x2﹣x﹣5=0,a=7,b=﹣,c=﹣5,△=﹣4×7×(﹣5)=6+140=146,x=,,(9)(2x﹣1)2=(3﹣x)2,2x﹣1=±(3﹣x),2x﹣1=3﹣x,2x﹣1=﹣3+x,,(10)x2+2x=0,x(x+2)=0,x1=﹣2,x2=020.解:(1)∵关于x的方程x2+(2k﹣3)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2k﹣3)2﹣4k2=﹣12k+9>0,解得:k<.(2)∵关于x的方程x2+(2k+3)x+k2=0有两个实数根α、β,∴α+β=﹣(2k﹣3),αβ=k2.∵α+β+αβ=6,∴k2﹣2k﹣3=6,由(1)可知k=3不合题意,舍去.∴k=﹣1,∴α+β=5,αβ=1,则(α﹣β)2+3αβ﹣5=(α+β)2﹣αβ﹣5=19.21.解:(1)设方程的另一个根是x1,那么x1+1=﹣2,∴x1=﹣3;(2)∵x1、x2是方程的两个实数根,∴x1+x2=﹣2,x1x2=,又∵x12+x22+2x1x2﹣x12x22=0,∴(x1+x2)2﹣(x1x2)2=0,即4﹣=0,得m=±4,又∵△=42﹣8m>0,得m<2,∴取m=﹣4.22.解:由题意知长:宽=3:2,因装裱后的整幅画长与宽的比与原画的长宽比相同,故上下边衬和左右边衬的比例也为3:2,所以可设上下边衬的宽度为3xcm,左右边衬的宽度为2xcm,则装裱后的面积为:(20+4x)(30+6x),且原面积为:30×20,所以四周装裱的面积为:(20+4x)(30+6x)﹣30×20,根据题意列方程:(20+4x)(30+6x)﹣30×20=×30×20整理得:x2+10x﹣11=0,解得:x1=﹣11(舍去),x2=1,所以上下边衬为3cm,左右边衬为2cm,答:应按上下边衬为3cm,左右边衬为2cm来进行设计.23.解:设竖条的宽度是2xcm,横条的宽度是3xcm,则(20﹣6x)(30﹣6x)=(1﹣)×20×30解得x1=1,x2=(舍去).2×1=2(cm),3×1=3(cm).答:横条宽3cm,竖条宽2cm.。

九年级数学上册一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学上册一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学上册一元二次方程单元综合测试(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形.【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长;(2)结合图形,利用勾股定理求解即可; (3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解.试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0∴1x =3或2x =4 .则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去)则t =4时,AP 10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形.①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. 2234+=5,CP 1=12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒)③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于Q.1341221552DQ⨯⨯==⨯,22129355PQ⎛⎫=-=⎪⎝⎭∴PC=2PQ=18 5∴183453515t++==(秒)可知当t为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP是等腰三角形.2.阅读与应用:阅读1:a,b为实数,且a>0,b>0,因为()2≥0,所以a﹣2+b≥0,从而a+b≥2(当a=b时取等号).阅读2:若函数y=x+(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.阅读理解上述内容,解答下列问题:问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x=时,周长的最小值为;问题2:汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1h的耗油量为yL.(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.【解析】【分析】(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.【详解】(1)∵x+≥2=4,∴当x=时,2(x+)有最小值8.即x=2时,周长的最小值为8;故答案是:2;8;问题2:,当且仅当,即x=90时,“=”成立,所以,当x=90时,函数取得最小值9,此时,百公里耗油量为,所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.3.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发时,点P和点Q之间的距离是10cm;(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?【答案】(1)85s或245s(2)62cm;213cm(3)4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E,得到AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P 在AO 上时,当点P 在OC 上时和当点P 在CB 上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t 秒时,如图,过点P 作PE ⊥BC 于E ,由运动知,AP =3t ,CQ =2t ,PE =6,EQ =16﹣3t ﹣2t =16﹣5t ,∵点P 和点Q 之间的距离是10 cm , ∴62+(16﹣5t )2=100,解得t 1=85,t 2=245, ∴t =85s 或245s . 故答案为85s 或245s(2)t=2时,由运动知AP =3×2=6 cm ,CQ =2×2=4 cm ,∴四边形APEB 是矩形,∴PE =AB =6,BE =6,∴EQ =BC ﹣BE ﹣CQ =16﹣6﹣4=6,根据勾股定理得2262PE EQ +=∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为2 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm ,∴四边形APEB 是矩形,∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4,根据勾股定理得22213PE EQ +=,P ,Q 两点的距离为13.(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s ,当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t -⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2.【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.4.随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭.据某市交通部门统计,2008年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2010年底,该市的汽车拥有量已达108万辆.(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆;另据统计,从2011年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆.【答案】解:(1)2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% (2)从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆【解析】【分析】(1)设年平均增长率x ,根据等量关系“2008年底汽车拥有量×(1+年平均增长率)×(1+年平均增长率)”列出一元二次方程求得.(2)设从2011年初起每年新增汽车的数量y,根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%,推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×(1-10%),得出等量关系是: 2010年拥有量×(1-10%)+新增汽车数量]×(1-10%)+新增汽车数量”,列出一元一次不等式求得.【详解】解:(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x.根据题意,得75(1+x)2=108,则1+x=±1.2解得x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市汽车拥有量的年平均增长率为20%.(2)设全市每年新增汽车数量为y万辆,则2010年底全市的汽车拥有量为(108×90%+y)万辆,2011年底全市的汽车拥有量为[(108×90%+y)×90%+y]万辆.根据题意得(108×90%+y)×90%+y≤125.48,解得y≤20.答:该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆.5.已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0.(1)求证:对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是2,求m的值及方程的另一个根.【答案】(1)证明见解析;(2)m的值为±2,方程的另一个根是5.【解析】【分析】(1)先把方程化为一般式,利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可;(2)根据方程的根,利用代入法即可求解m的值,然后还原方程求出另一个解即可.【详解】(1)证明:∵(x﹣3)(x﹣4)﹣m2=0,∴x2﹣7x+12﹣m2=0,∴△=(﹣7)2﹣4(12﹣m2)=1+4m2,∵m2≥0,∴△>0,∴对任意实数m,方程总有2个不相等的实数根;(2)解:∵方程的一个根是2,∴4﹣14+12﹣m2=0,解得m=±,∴原方程为x2﹣7x+10=0,解得x=2或x=5,即m的值为±,方程的另一个根是5.【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当△=b2-4ac<0时,方程没有实数根.6.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,tan∠ABO=.(1)求点A,C的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E,求k的值;(3)若点P在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q,使以点C,E,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q的个数,并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A(12,0),C(﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA>OC求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度,根据Rt△AOB得出AB的长度,作EM⊥x轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E(3,12),C(﹣6,0),∴CG=9,EG=12,∴EG2=CG•GP,∴GP=16,∵△CPE 与△PCQ 是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12, ∵OC=6, ∴OH=10,∴Q (10,﹣12),如图②作MN ∥x 轴,交EG 于点N ,EH ⊥y 轴于点H ∵E (3,12),C (﹣6,0),∴CG=9,EG=12, ∴CE=15,∵MN=CG=, 可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR ,HE=CR ∴Q (﹣3,6﹣3), 考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.7.某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件,A 种品牌的建材售价为每件6000元,B 种品牌的建材售价为每件9000元.(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售A 种品牌的建材多少件?(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ,B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ;同时,与(1)问中最低销售额的销售量相比,A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ,B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ,结果2019年第二季度的销售额比(1)问中最低销售额增加2%23a ,求a 的值.【答案】(1)至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】【分析】(1)设销售A 品牌的建材x 件,根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,列不等式求解;(2)根据题意列出方程求解即可.【详解】(1)设销售A 品牌的建材x 件.根据题意,得()60009000126966000x x +-≥,解这个不等式,得56x ≤,答:至多销售A 品牌的建材56件.(2)在(1)中销售额最低时,B 品牌的建材70件,根据题意,得 ()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令%a y =,整理这个方程,得21030y y -=,解这个方程,得1230,10y y ==, ∴10a =(舍去),230a =,即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.8.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上,顶点B 在x 轴正半轴上,OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根(OA >OB ). (1)求点D 的坐标.(2)求直线BC 的解析式.(3)在直线BC 上是否存在点P ,使△PCD 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D (4,7)(2)y=3944x -(3)详见解析 【解析】 试题分析:(1)解一元二次方程求出OA 、OB 的长度,过点D 作DE ⊥y 于点E ,根据正方形的性质可得AD=AB ,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE ,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ,AE=OB ,再求出OE ,然后写出点D 的坐标即可;(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,同理求出点C 的坐标,设直线BC 的解析式为y=kx+b (k≠0,k 、b 为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P 与点B 重合时,△PCD 为等腰三角形;点P 为点B 关于点C 的对称点时,△PCD 为等腰三角形,然后求解即可.试题解析:(1)x 2﹣7x+12=0,解得x 1=3,x 2=4,∵OA >OB ,∴OA=4,OB=3,过D 作DE ⊥y 于点E ,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数9.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.【答案】(1)y=﹣(x+1)2+4,顶点坐标为(﹣1,4);(2)①点P2﹣1,2);②P(﹣32,154)【解析】试题分析:(1)将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式,由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式;(2)①首先求得抛物线与x轴的交点坐标,然后根据已知条件得到PD=OA,从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标;②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形,表示出来得到二次函数,求得最值即可.试题解析:(1)∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为1x=-,∴{312a b ccba++==-=-,解得:1{23abc=-=-=,∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++,∴顶点坐标为(﹣1,4);(2)令2230y x x=--+=,解得3x=-或1x=,∴点A(﹣3,0),B(1,0),作PD⊥x轴于点D,∵点P在223y x x=--+上,∴设点P(x,223x x--+),①∵PA⊥NA,且PA=NA,∴△PAD≌△AND,∴OA=PD,即2232y x x=--+=,解得21(舍去)或x=21-,∴点P(21-,2);②设P(x,y),则223y x x=--+,∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++, ∴当x=32-时,ABCP S 四边形最大值=758,当x=32-时,223y x x =--+=154,此时P (32-,154).考点:1.二次函数综合题;2.二次函数的最值;3.最值问题;4.压轴题.10.如图,正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上,我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形.探究一:已知边长为1的正方形ABCD ,是否存在一个外接正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 面积的2倍?如图,假设存在正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 的2倍. 因为正方形ABCD 的面积为1,则正方形EFGH 的面积为2,所以EF =FG =GH =HE 2EB =x ,则BF 2﹣x ,∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF =AE 2﹣x在Rt △AEB 中,由勾股定理,得x 2+2﹣x )2=12解得,x 1=x 2=22∴BE=BF,即点B是EF的中点.同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍?(仿照上述方法,完成探究过程)探究三:已知边长为1的正方形ABCD,一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究过程)【答案】不存在,详见解析【解析】【分析】探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.【详解】探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+x)2=12,整理得x2x+1=0,b2﹣4ac=3﹣4<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=2﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(2﹣x)2=12,整理得2x2﹣4x+3=0,b2﹣4ac=16﹣24<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,故答案为不存在;探究四:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为n,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+﹣x)2=12,整理得2x2﹣+n﹣1=0,b2﹣4ac=8﹣4n<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.。

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷(含答案)

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合测试卷(含答案)

人教版数学九年级上学期《一元二次方程》单元测试(满分120分,考试用时120分钟)一.选择题(共10小题)1.关于x的方程(m﹣1)x2+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是()A. 任意实数B. m≠1C. m≠﹣1D. m>12.一元二次方程的一次项的系数是()A. 4B. -4C. 1D. 53.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为()A. 1B. ﹣1C. ±1D. 04.方程(x+1)2=0的根是()A. x1=x2=1B. x1=x2=﹣1C. x1=﹣1,x2=1D. 无实根5.方程x2+2x+1=0的根是()A. x1=x2=1B. x1=x2=﹣1C. x1=﹣1,x2=1D. 无实根6.一元二次方程的根是A. B. C. D.7.方程x2=4x的根是()A. x=4B. x=0C. x1=0,x2=4D. x1=0,x2=﹣48.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为()A. 1B. ﹣4C. 1或﹣4D. ﹣1或39.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为()A. k>﹣B. k>4C. k<﹣1D. k<410.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件182万个.若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是()A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)2=182C. 50+50(1+x)+50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182二.填空题(共8小题)11.已知是方程的一个根,则的值是_______.12.如果关于x的方程(m﹣1)x3﹣mx2+2=0是一元二次方程,那么此方程的根是_____.13.已知关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__.14.将一元二次方程x2﹣6x+10=0化成(x﹣a)2=b的形式,则b的值为_____.15.圣诞节时,某班一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡110张,则可列方程为_____.16.我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造,2015年市政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,2017年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为_____.17.已知,是方程的两个实数根,则________.18.已知x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,则方程的另一个根是_____.三.解答题(共7小题)19.解方程:(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3)(2)2x2﹣x﹣3=0.20.是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.21.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.22.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.23.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元,到2017年盈利2160万元,且从2015年到2017年,每年盈利的年增长率相同.(1)求平均年增长率?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2018年盈利多少万元?24.某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元,2018年投入资金1210万元.(1)求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率;(2)若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2019年预计投入资金多少万元?25.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:共有多少名同学参加了研学游活动?参考答案一.选择题(共10小题)1.关于x的方程(m﹣1)x2+2mx﹣3=0是一元二次方程,则m的取值是()A. 任意实数B. m≠1C. m≠﹣1D. m>1【答案】B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解,一元二次方程必须满足二次项系数不为0,所以m-1≠0,即可求得m的值.【详解】根据一元二次方程的定义得:m-1≠0,即m≠1,故答案为:B.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握该定义是本题解题的关键.2.一元二次方程的一次项的系数是()A. 4B. -4C. 1D. 5【答案】A【解析】【分析】方程整理为一般形式,求出一次项系数即可.【详解】方程整理得:x2+4x+5=0,则一次项系数为4.故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项,bx叫一次项,c 是常数项.其中a,b,c分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.3.若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为()A. 1B. ﹣1C. ±1D. 0【答案】A【解析】【分析】把x=0代入方程,再依据一元二次方程的二次项系数不为零,即可求得答案.【详解】∵关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2﹣1=0的一个根是0,∴(a+1)×02+0+a2-1=0,∴a2-1=0,即a=±1,∵a+1≠0,∴a≠-1,∴a=1,故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,解一元二次方程-直接开平方法,把求未知系数的问题转化为解方程的问题,是待定系数法的应用,容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件.4.方程(x+1)2=0的根是()A. x1=x2=1B. x1=x2=﹣1C. x1=﹣1,x2=1D. 无实根【答案】B【解析】【分析】根据平方根的意义,利用直接开平方法即可进行求解.【详解】(x+1)2=0,解: x+1=0,所以x1=x2=﹣1,故选B.【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法,解决本题的关键是要熟练掌握一元二次方程的解法.5.方程x2+2x+1=0的根是()A. x1=x2=1B. x1=x2=﹣1C. x1=﹣1,x2=1D. 无实根【答案】B【解析】【分析】由原方程得出(x+1)2=0,开方即可得.【详解】∵x2+2x+1=0,∴(x+1)2=0,则x+1=0,解得:x1=x2=−1,故答案选:B.【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程-配方法,解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程-配方法.6.一元二次方程的根是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义可判断方程根的情况.【详解】解:△,方程有两个不相等的两个实数根,即.故选:.【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程,用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:①a≠0;②b2-4ac≥0.7.方程x2=4x的根是()A. x=4B. x=0C. x1=0,x2=4D. x1=0,x2=﹣4【答案】C【解析】【分析】原式利用因式分解法求解即可.【详解】方程整理得:x(x﹣4)=0,可得:x=0或x﹣4=0,解得:x1=0,x2=4.故选C.【点睛】本题考查了一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键.8.如果(x+2y)2+3(x+2y)﹣4=0,那么x+2y的值为()A. 1B. ﹣4C. 1或﹣4D. ﹣1或3【答案】C【解析】【分析】在本题中有两个未知数,且通过观察最后结果,可采用换元法,把当成一个整体进行考虑.【详解】设,则原方程变形为,解得或.故选:.【点睛】此题主要是把当成一个整体,把求代数式的值的问题转化为解关于这个整体的方程,利用求根公式求解.9.已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0①有两个不相等的实数根.则k的取值范围为()A. k>﹣B. k>4C. k<﹣1D. k<4【答案】A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△>0;即可得出关于k的一元一次不等式;解之即可得出结论.【详解】∵关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2=0有两个不相等的实数根,∴△=(2k+1)2﹣4×1×k2=4k+1>0,∴k>﹣.故选A.【点睛】本题考查了根的判别式,牢记“当△>0时,方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.10.某机械厂七月份生产零件50万个,第三季度生产零件182万个.若该厂八、九月份平均每月生产零件的增长率均为x,则下面所列方程正确的是()A. 50(1+x)2=182B. 50+50(1+x)2=182C. 50+50(1+x)+50(1+2x)=182D. 50+50(1+x)+50(1+x)2=182【答案】D【解析】【分析】主要考查增长率问题,一般增长后的量=增长前的量×(1+增长率),如果该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么可以用x分别表示五、六月份的产量,然后根据题意可得出方程.【详解】依题意得五、六月份的产量为50(1+x)、50(1+x)2,∴50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故答案选D.【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程,解题的关键是熟练的掌握由实际问题抽象出一元二次方程.二.填空题(共8小题)11.已知是方程的一个根,则的值是_______.【答案】2【解析】【分析】由题意知x=-1是方程x2+ax+3-a=0的一个根,再根据一元二次方程的根的定义代入x=-1,求解即可.【详解】∵x=-1是方程的根,由一元二次方程的根的定义,可得,1-a+3-a=0,解此方程得到a=2.【点睛】本题考查一元二次方程解的定义,把解代入方程易得出a的值.12.如果关于x的方程(m﹣1)x3﹣mx2+2=0是一元二次方程,那么此方程的根是_____.【答案】【解析】【分析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围,再代入方程解方程即可.【详解】由题意得:,∴m=1,原方程变为:﹣x2+2=0,x=,故答案为:.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,正确把握二次项系数不为零是解题关键.13.已知关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__.【答案】且【解析】【分析】由于关于的一元二次方程有实数根,计算根的判别式,得关于的不等式,求解即可【详解】解:关于的一元二次方程有实数根,则△,且.解得且.故答案为:且.【点睛】本题考查了根的判别式、一次不等式的解法及一元二次方程的定义.题目难度不大,解题过程中容易忽略条件而出错.14.将一元二次方程x2﹣6x+10=0化成(x﹣a)2=b的形式,则b的值为_____.【答案】8【解析】【分析】对原方程移项,利用完全平方公式的特点对其配方.【详解】原方程移项得x2﹣6x=-1,配方得x2﹣6x+9=-1+9,即(x-3)2=8故b的值为8.【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程配方法,解题的关键是熟练的掌握解一元二次方程配方法. 15.圣诞节时,某班一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡110张,则可列方程为_____.【答案】x(x﹣1)=110【解析】【分析】设这个小组有人,要求他们之间互送贺卡,即除自己外,每个人都要求送其他的人一张贺卡,即每个人要送-1张贺卡,所以全组共送(-1)张,又知全组共送贺卡110张,由送贺卡数相等为等量关系,列出方程即可.【详解】设这个小组有x人,则每人应送出x−1张贺卡,由题意得:x(x−1)=110,故答案为:x(x−1)=110.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.16.我市计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造,2015年市政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,2017年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为_____.【答案】20%【解析】【分析】先设每年投资的增长率为x.根据2015年县政府已投资5亿元人民币,若每年投资的增长率相同,预计2017年投资7.2亿元人民币,列方程求解.【详解】设每年投资的增长率为x,根据题意,得:5(1+x)2=7.2,解得:x1=0.2=20%,x2=−2.2(舍去),答:每年投资的增长率为20%.故答案为:20%.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握该定义是本题解题的关键.17.已知,是方程的两个实数根,则________.【答案】【解析】【分析】找出方程的二次项系数,一次项系数及常数项的值,由方程的两个实数根,利用根与系数的关系求出两个之和与两根之积的值,然后把所求式子通分后,将求出的两根之和与两根之积代入即可求出值.【详解】∵方程的两个实数根,∴则故答案为:−3【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,熟记公式是解决本题的关键.18.已知x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,则方程的另一个根是_____.【答案】x=3.【解析】【分析】设方程的另一根为a,由根与系数的关系可得到方程2a=6,解方程求得a的值,即可求得原方程的另一根.【详解】设方程的另一根为a,∵x=2是一元二次方程x2+mx+6=0的一个根,∴2a=6,解得a=3,即方程的另一个根是x=3,故答案为:x=3.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系,掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键.三.解答题(共7小题)19.解方程:(1)2(x﹣3)=3x(x﹣3)(2)2x2﹣x﹣3=0.【答案】(1)x1=3,x2=;(2)x1=,x2=﹣1.【解析】【分析】(1)方程整理后,利用因式分解法求出解即可;(2)方程变形后,利用因式分解法求出解即可.【详解】解:(1)2(x﹣3)﹣3x(x﹣3)=0,(x﹣3)(2﹣3x)=0,x﹣3=0或2﹣3x=0,所以x1=3,x2=;(2)(2x﹣3)(x+1)=0,2x﹣3=0或x+1=0,所以x1=,x2=﹣1.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,熟练掌握解一元二次方程的方法是本题解题的关键.20.是否存在某个实数m,使得方程x2+mx+2=0和x2+2x+m=0有且只有一个公共的实根?如果存在,求出这个实数m及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.【答案】实数m=﹣3,两方程的公共根为x=1.【解析】【分析】设两方程的公共根为a,然后将两方程相减,消去二次项,求出公共根和m的值.【详解】解:假设存在符合条件的实数m,且设这两个方程的公共实数根为a,则①﹣②,得a(m﹣2)+(2﹣m)=0(m﹣2)(a﹣1)=0∴m=2 或a=1.当m=2时,已知两个方程是同一个方程,且没有实数根,故m=2舍去;当a=1时,代入②得m=﹣3,把m=﹣3代入已知方程,求出公共根为x=1.故实数m=﹣3,两方程的公共根为x=1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.21.关于x的方程(m+1)x|m﹣1|+mx﹣1=0是一元二次方程,求m的值.【答案】m的值为3.【解析】【分析】根据一元二次方程的定义,m+1≠0、│m-1│=2即可求出答案.【详解】解:根据题意得,|m﹣1|=2,且m+1≠0,解得:m=3,答:m的值为3.【点睛】本题考查了一元二次方程的定义,熟练掌握一元二次方程的定义是本题解题的关键.22.已知:关于x的一元二次方程x2﹣(k+3)x+2k+2=0.(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程有一个根小于0,求k的取值范围.【答案】(1)见解析;(2)k<﹣1.【解析】【分析】根据一元二次方程的解及定义,(1)根据公式法可知当 ≥0时,方程总有两个实数根;(2)通过因式分解法求出两根,可得其中一个为实数、一个为k+1,再根据方程一根小于0即可求出本题答案.【详解】(1)证明:∵△=[﹣(k+3)]2﹣4×1×(2k+2)=k2﹣2k+1=(k﹣1)2≥0,∴方程总有两个实数根;(2)解:∵x2﹣(k+3)x+2k+2=0,即(x﹣2)[x﹣(k+1)]=0,∴x1=2,x2=k+1.∵方程有一个根小于0,∴k+1<0,∴k<﹣1.【点睛】本题考查了一元二次方程的解及定义,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.23.汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2015年盈利1500万元,到2017年盈利2160万元,且从2015年到2017年,每年盈利的年增长率相同.(1)求平均年增长率?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,预计2018年盈利多少万元?【答案】(1)年增长率为20%;(2)预计2018年盈利2592万元.【解析】【分析】(1)设每年盈利的年增长率为,根据题意列出方程求解即可;(2)利用2018年盈利=2160×(1+),由此计算即可;【详解】解:(1)设平均年增长率为x,根据题意得:1500(1+x)2=2160,整理得:(1+x)2=1.44,开方得:1+x=±1.2,解得:x=0.2=20%或x=﹣2.2(舍去),则平均年增长率为20%;(2)根据题意得:2160×(1+20%)=2592(万元),则预计2018年盈利2592万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.24.某镇为打造“绿色小镇”,投入资金进行河道治污.已知2016年投入资金1000万元,2018年投入资金1210万元.(1)求该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率;(2)若2019年投入资金保持前两年的年平均增长率不变,求该镇2019年预计投入资金多少万元?【答案】(1)年平均增长率为10%;(2)该镇2019年预计投入资金1331万元.【解析】【分析】(1)利用2016年投资1000万元,2018年投资1210万元,进而得出等式求出即可;(2)利用(1)中所求,得出2019年邹城市投入河道治污与园林绿化两项工程的经费.【详解】解:(1)设该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为x,根据题意得:1000(1+x)2=1210,解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(舍去).答:该镇投入资金从2016年至2018年的年平均增长率为10%.(2)1210×(1+10%)=1331(万元).答:该镇2019年预计投入资金1331万元.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,熟练掌握该知识点是本题解题的关键.25.为了让学生亲身感受合肥城市的变化,蜀山中学九(1)班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动,某旅行社推出了如下收费标准:(1)如果人数不超过30人,人均旅游费用为100元;(2)如果超过30人,则每超过1人,人均旅游费用降低2元,但人均旅游费用不能低于80元.该班实际共支付给旅行社3150元,问:共有多少名同学参加了研学游活动?【答案】共有35名同学参加了研学游活动.【解析】试题分析:由该班实际共支付给旅行社3150元,可以判断出参加的人数在30人以上,等量关系为:(100﹣在30人基础上降低的人数×2)×参加人数=3150,得到相关解后根据人均活动费用不得低于80元作答即可.试题解析:∵100×30=3000<3150,∴该班参加研学游活动的学生数超过30人.设九(1)班共有x人去旅游,则人均费用为[100﹣2(x﹣30)]元,由题意得:x[100﹣2(x﹣30)]=3150,整理得x2﹣80x+1575=0,解得x1=35,x2=45,当x=35时,人均旅游费用为100﹣2(35﹣30)=90>80,符合题意.当x=45时,人均旅游费用为100﹣2(45﹣30)=70<80,不符合题意,应舍去.答:该班共有35名同学参加了研学旅游活动.考点:一元二次方程的应用。

数学九年级上册《一元二次方程》单元综合测试卷(带答案)

数学九年级上册《一元二次方程》单元综合测试卷(带答案)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把常数项-5移项后,应该在左右两边同时加上一次项系数-2的一半的平方.
【详解】解:移项得,x2-2x=5,
配方得,x2-2x+1=5+1,
即(x-1)2=6,
故选:B.
【点睛】本题考查配方法解方程.配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
9.设 的两实根为 , ,而以 , 为根的一元二次方程仍是 ,则数对 的个数是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用根与系数的关系把 , 之间的关系找出来,利用 , 之间的关系,解关于 , 的方程,然后再代入原方程检验即可.
详解】解:根据题意得, ①, ②,
③, ④,
由②、④可得 ,
【详解】 ,
x-3=0或4x-9=0,
所以 ;
x2-2x-3=0,
x2-2x=3,
,

,
, .
【点睛】本题考查了解一元二次方程,根据方程的特点以及解题的要求选择恰当的解法是解题的关键.注意本题运用了整体思想.
18.若 , , 是 的三条边,且 ,判断此三角形的形状.
由 ,得 ,∴ ,综上,得 ,即x的值为0.故答案为0.
考点:1.分式的值为零的条件;2.解一元二次方程-因式分解法.
14.已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则 的取值范围是________.
【答案】 且
【解析】
【详解】解:由题意得, ,
解得 ,
又∵ ,即m≠0,
∴m的取值范围是 且
故答案为: 且
【详解】∵大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,

九年级数学一元二次方程单元测试卷 (word版,含解析)

九年级数学一元二次方程单元测试卷 (word版,含解析)

九年级数学一元二次方程单元测试卷 (word 版,含解析)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图,在长方形ABCD 中,边AB 、BC 的长(AB <BC )是方程x 2-7x +12=0的两个根.点P 从点A 出发,以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动,运动时间为t (秒).(1)求AB 与BC 的长;(2)当点P 运动到边BC 上时,试求出使AP 长为10时运动时间t 的值;(3)当点P 运动到边AC 上时,是否存在点P ,使△CDP 是等腰三角形?若存在,请求出运动时间t 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1) AB =3,BC =4;(2) t =4;(3) t 为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP 是等腰三角形. 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程即可求得边长; (2)结合图形,利用勾股定理求解即可;(3)根据题意,分为:PC =PD ,PD =PC ,PD =CD ,三种情况分别可求解. 试题解析:(1)∵x 2-7x +12=(x -3)(x -4)=0 ∴1x =3或2x =4 . 则AB =3,BC =4(2)由题意得()223t-310?+=() ∴14t =,22t =(舍去) 则t =4时,AP 10.(3)存在点P ,使△CDP 是等腰三角形. ①当PC =PD =3时, t =3431++ =10(秒). ②当PD =PC(即P 为对角线AC 中点)时,AB =3,BC =4. 2234+=5,CP 1= 12AC =2.5 ∴t=34 2.51++ =9.5(秒)③当PD=CD=3时,作DQ⊥AC于Q.1341221552DQ⨯⨯==⨯,22129355PQ⎛⎫=-=⎪⎝⎭∴PC=2PQ=18 5∴183453515t++==(秒)可知当t为10秒或9.5秒或535秒时,△CDP是等腰三角形.2.阅读与应用:阅读1:a,b为实数,且a>0,b>0,因为()2≥0,所以a﹣2+b≥0,从而a+b≥2(当a=b时取等号).阅读2:若函数y=x+(m>0,x>0,m为常数),由阅读1结论可知:x+≥2,所以当x=,即x=时,函数y=x+的最小值为2.阅读理解上述内容,解答下列问题:问题1:已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为,周长为2(x+),求当x=时,周长的最小值为;问题2:汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度,某种汽车在每小时70~110公里之间行驶时(含70公里和110公里),每公里耗油()L.若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶,1h的耗油量为yL.(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量.【答案】问题1:2,8;问题2:(1)y=;(2)10.【解析】【分析】(1)利用题中的不等式得到x+=4,从而得到x=2时,周长的最小值为8;(2)根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可,经济时速就是耗油量最小的形式速度.【详解】(1)∵x+≥2=4,∴当x=时,2(x+)有最小值8.即x=2时,周长的最小值为8;故答案是:2;8;问题2:,当且仅当,即x=90时,“=”成立,所以,当x=90时,函数取得最小值9,此时,百公里耗油量为,所以,该汽车的经济时速为每小时90公里,经济时速的百公里耗油量为10L.【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用,最值问题,解题的关键是读懂题目提供的材料,易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”,难度中等偏上.3.某中心城市有一楼盘,开发商准备以每平方米7000元价格出售,由于国家出台了有关调控房地产的政策,开发商经过两次下调销售价格后,决定以每平方米5670元的价格销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)房产销售经理向开发商建议:先公布下调5%,再下调15%,这样更有吸引力,请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠?为什么?【答案】(1)平均每次下调的百分率为10%.(2)房产销售经理的方案对购房者更优惠.【解析】【分析】(1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可;(2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可.【详解】(1)设平均每次下调x%,则7000(1﹣x)2=5670,解得:x1=10%,x2=190%(不合题意,舍去);答:平均每次下调的百分率为10%.(2)(1﹣5%)×(1﹣15%)=95%×85%=80.75%,(1﹣x)2=(1﹣10%)2=81%.∵80.75%<81%,∴房产销售经理的方案对购房者更优惠.4.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.5.如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A(0,8),点B(m,0),且m>0.把△AOB绕点A逆时针旋转90°,得△ACD,点O,B旋转后的对应点为C,D,(1)点C的坐标为;(2)①设△BCD的面积为S,用含m的式子表示S,并写出m的取值范围;②当S=6时,求点B的坐标(直接写出结果即可).【答案】(1)C(8,8);(2)①S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②点B的坐标为(7,0)或(2,0)或(6,0).【解析】【分析】(1)由旋转的性质得出AC=AO=8,∠OAC=90°,得出C(8,8)即可;(2)①由旋转的性质得出DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,得出∠ACE=90°,证出四边形OACE是矩形,得出DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,得出BE=OB−OE=m−8,由三角形的面积公式得出S =0.5m2−4m(m>8)即可;b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,BE=OE−OB=8−m,由三角形的面积公式得出S=−0.5m2+4m(0<m<8)即可;c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;②当S=6,m>8时,得出0.5m2−4m=6,解方程求出m即可;当S=6,0<m<8时,得出−0.5m2+4m=6,解方程求出m即可.【详解】(1)∵点A(0,8),∴AO=8,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴AC=AO=8,∠OAC=90°,∴C(8,8),故答案为(8,8);(2)①延长DC交x轴于点E,∵点B(m,0),∴OB=m,∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD,∴DC=OB=m,∠ACD=∠AOB=90°,∠OAC=90°,∴∠ACE=90°,∴四边形OACE是矩形,∴DE⊥x轴,OE=AC=8,分三种情况:a、当点B在线段OE的延长线上时,如图1所示:则BE=OB﹣OE=m﹣8,∴S=0.5DC•BE=0.5m(m﹣8),即S=0.5m2﹣4m(m>8);b、当点B在线段OE上(点B不与O,E重合)时,如图2所示:则BE=OE﹣OB=8﹣m,∴S=0.5DC•BE=0.5m(8﹣m),即S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);c、当点B与E重合时,即m=8,△BCD不存在;综上所述,S=0.5m2﹣4m(m>8),或S=﹣0.5m2+4m(0<m<8);②当S=6,m>8时,0.5m2﹣4m=6,解得:7(负值舍去),∴7当S=6,0<m<8时,﹣0.5m2+4m=6,解得:m=2或m=6,∴点B 的坐标为(4+27,0)或(2,0)或(6,0).【点睛】本题是三角形综合题目,考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识;本题综合性强,有一定难度.6.某连锁超市派遣调查小组在春节期间调查某种商品的销售情况,下面是调查后小张与其 他两位成员交流的情况.小张:“该商品的进价为 24元/件.”成员甲:“当定价为 40元/件时,每天可售出 480件.”成员乙:“若单价每涨 1元,则每天少售出 20件;若单价每降 1元,则每天多售出 40件.” 根据他们的对话,请你求出要使该商品每天获利 7680元,应该怎样合理定价? 【答案】要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件 【解析】 【分析】设每件商品定价为x 元,则在每件40元的基础上涨价时每天的销售量是[]48020(40)x --件,每件商品的利润是(24)x -元,在每件40元的基础上降价时每天的销量是[]48040(40)x +-件,每件的利润是(24)x -元,从而可以得到答案.【详解】解:设每件商品定价为x 元.①当40x ≥时,[](24)48020(40)7680x x ---= , 解得:1240,48;x x ==②当40x <时,[](24)48040(40)7680x x -+-=, 解得:1236,40x x ==(舍去),.答:要使该商品每天获利7680元,应定价为36元/件、40元/件或48元/件. 【点睛】本题考查的是一元二次方程中的升降价对销售量产生影响方面的应用,用含有未知数的代数式表示销售量是这一类题的关键.7.随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展,家用汽车已越来越多地进入普通家庭,汽车消费成为新亮点.抽样调查显示,截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆.已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆.(1)求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率;(2)为保护城市环境,要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆,据估计从2008年底起,此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆?(假定每年新增汽车数量相同)【答案】详见解析【解析】试题分析:(1)主要考查增长率问题,一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)解决问题;(2)参照增长率问题的一般规律,表示出2010年的汽车拥有量,然后根据关键语列出不等式来判断正确的解.试题解析:(1)设年平均增长率为x,根据题意得:10(1+x)2=14.4,解得x=﹣2.2(不合题意舍去)x=0.2,答:年平均增长率为20%;(2)设每年新增汽车数量最多不超过y万辆,根据题意得:2009年底汽车数量为14.4×90%+y,2010年底汽车数量为(14.4×90%+y)×90%+y,∴(14.4×90%+y)×90%+y≤15.464,∴y≤2.答:每年新增汽车数量最多不超过2万辆.考点:一元二次方程—增长率的问题8.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B,直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D,AB与CD相交于点E,线段OA、OC的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA>OC),BE=5,tan∠ABO=.(1)求点A,C的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E,求k的值;(3)若点P在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q,使以点C,E,P,Q为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q的个数,并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A(12,0),C(﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA>OC求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度,根据Rt△AOB得出AB的长度,作EM⊥x轴,根据三角形相似得出点E的坐标,然后求出k的值;(3)、分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E (3,12),C (﹣6,0), ∴CG=9,EG=12, ∴EG 2=CG•GP , ∴GP=16, ∵△CPE 与△PCQ 是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12, ∵OC=6, ∴OH=10, ∴Q (10,﹣12),如图②作MN ∥x 轴,交EG 于点N ,EH ⊥y 轴于点H ∵E (3,12),C (﹣6,0), ∴CG=9,EG=12, ∴CE=15, ∵MN=CG=, 可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR ,HE=CR ∴Q (﹣3,6﹣3),考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.9.使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点.例如,对于函数1y x =-,令y=0,可得x=1,我们就说1是函数1y x =-的零点. 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数).(1)当m =0时,求该函数的零点;(2)证明:无论m 取何值,该函数总有两个零点; (3)设函数的两个零点分别为1x 和2x ,且121114x x +=-,此时函数图象与x 轴的交点分别为A 、B(点A 在点B 左侧),点M 在直线10y x =-上,当MA+MB 最小时,求直线AM 的函数解析式.【答案】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-. (2)见解析,(3)AM 的解析式为112y x =--. 【解析】 【分析】(1)根据题中给出的函数的零点的定义,将m=0代入y=x 2-2mx-2(m+3),然后令y=0即可解得函数的零点;(2)令y=0,函数变为一元二次方程,要想证明方程有两个解,只需证明△>0即可; (3)根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标,个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′,连接AB′,求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时,直线AM 的函数解析式 【详解】(1)当m =0时,该函数的零点为6和6-.(2)令y=0,得△=∴无论m 取何值,方程总有两个不相等的实数根.即无论m 取何值,该函数总有两个零点. (3)依题意有,由解得.∴函数的解析式为.令y=0,解得∴A(),B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’,连结AB’, 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点.易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C (10,0),D (0,10). 连结CB’,则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6,∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’(106-,)设直线AB’的解析式为y kx b =+,则20{106k b k b -+=+=-,解得112k b =-=-, ∴直线AB’的解析式为112y x =--, 即AM 的解析式为112y x =--.10.定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米3240元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【答案】(1)10%;(2)方案②【解析】试题分析:首先设下调的百分率为x ,根据题意列出方程进行求解,得出答案;分别求出两种方案所需要花费的钱数,然后进行比较.试题解析:(1)设平均每次下调的百分率是x ,依题意得,4000(1-x )2=3240解之得:x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去)答:平均每次下调的百分率是10%.(2)方案①实际花费=100×3240×98%=317520元 方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520>316000 ∴方案②更优惠考点:一元二次方程的应用。

九年级数学一元二次方程综合测试卷(word含答案)

九年级数学一元二次方程综合测试卷(word含答案)

【分析】 (1)根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求,设出未知数,然后列方程求解即可; (2)分别求出两种方式的增长率,然后比较即可. 【详解】 (1)设平均每次下调 x%,则 7000(1﹣x)2=5670,解得:x1=10%,x2=190%(不合题意,舍去); 答:平均每次下调的百分率为 10%. (2)(1﹣5%)×(1﹣15%)=95%×85%=80.75%,(1﹣x)2=(1﹣10%)2=81%. ∵ 80.75%<81%,∴ 房产销售经理的方案对购房者更优惠.
(2)若这个方程有两个实数根 x1,x2,求 a 的取值范围; (3)若方程两个实数根 x1,x2 满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求 a 的值.
【答案】(1)
x1
3,
x2
4 (2) a
5 4
(3)-4次方程的解法即可求出答案;
(2)根据判别式即可求出 a 的范围;
∴矩形的对角线长为: m2 n2 m n2 2mn 15 .
【点睛】 本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等,一元二次方程根的情况与判别 式△的关系:(1)△>0 时,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0 时,方程有两个相等 的实数根;(3)△<0 时,方程没有实数根.
4.已知关于 x 的一元二次方程 x2﹣x+a﹣1=0. (1)当 a=﹣11 时,解这个方程;
利用根与系数的关系得出 m+n=5,mn=5,则矩形的对角线长为 m2 n2 ,利用完全平方
公式进行变形即可求得答案. 【详解】 解:(1)∵方程 x2-(2k+1)x+k2+1=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=[-(2k+1)]2-4×1×(k2+1)=4k-3>0,

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合检测卷带答案

九年级上册数学《一元二次方程》单元综合检测卷带答案

九年级上册数学《一元二次方程》单元测试卷[考试时间:90分钟满分:120分]第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(2017秋•合浦县校级期中)把方程(x+1)(3x﹣2)=10化为一元二次方程的一般形式后为()A .2x2+3x﹣10=0B .2x2+3x﹣10=0C .3x2﹣x+12=0D .3x2+x﹣12=02.(2018秋•淮安区期中)已知关于x的方程,(1)A x2+B x+C =0;(2)x2﹣4x=0;(3)3x2=0;(4)x+(1﹣x)(1+x)=0;中,一元二次方程的个数为()个.A .1B .2C .3D .43.(2018秋•桐梓县期中)m是方程x2+x﹣1=0的根,则式子m3+2m2+2018的值为()A .2017B .2018C .2019D .20204.(2019春•鄞州区期中)用配方法解下列方程时,配方错误的是()A .2x2﹣7x﹣4=0化为(x)2B .2t2﹣4t+2=0化为(t﹣1)2=0C .4y2+4y﹣1=0化为(y)2D .x2﹣x﹣4=0化为(x)25.(2018秋•花都区期中)下列一元二次方程中没有实数根是()A .x2﹣2x﹣4=0B .x2﹣4x+4=0C .x2﹣2x﹣5=0D .x2+3x+5=06.(2018秋•江阴市期中)若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2﹣8x+15=0的一根,则这个三角形的周长为()A .5B .3或5C .13D .11或137.(2017春•道里区校级期中)(m2+n2)(m2+n2﹣2)﹣8=0,则m2+n2=()A .4B .2C .4或﹣2D .4或28.(2018秋•昆山市期中)若α,β是方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为()A .2015B .﹣2016C .2016D .20199.(2018秋•唐山期中)如图,在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条宽均为xm的小路(阴影),余下部分作为草地,草地面积为551m2,根据图中数据,求得小路宽x的值为()A .1B .1.5C .2D .2.510.(2018秋•红桥区期中)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,一共碰杯55次,设参加酒会的人数为x,则可列方程为()A .x(x﹣1)=55B .x(x﹣1)=55C .x(x+1)=55D .x(x+1)=55第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)11.(2018秋•广水市期中)把方程3x(x﹣1)=(x+2)(x﹣2)+9化成A x2+B x+C =0的形式为.12.(2018秋•龙华区校级期中)关于x的方程3x﹣1=0是一元二次方程,则m的值为.13.(2019春•温州期中)若实数A 是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根,则A 3的值为.14.(2018秋•清江浦区期中)若方程x2﹣4x+3=0的两根是等腰三角形的底和腰,则它的周长为.15.(2017秋•阜阳期中)代数式x2+8x+5的最小值是.16.(2018秋•泰兴市校级期中)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣(2m+1)x+(m+1)=0有实数根,则m的取值范围是.17.(2018春•开福区校级期中)在实数范围内定义一种运算“*”,其运算法则为A *B =A 2﹣A B .根据这个法则,下列结论中正确的是.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①*2;②若A +B =0,则A *B =B *A ;③(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程;④方程(x+3)*1=1的根是x1,x2.18.(2018秋•镇原县期中)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.现该商场要保证每天盈利1500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价元.三.解答题(共6小题,满分46分)19.(12分)(2018秋•镇原县期中)用指定的方法解下列方程:(1)4(x﹣1)2﹣36=0(直接开平方法)(2)2x2﹣5x+1=0 (配方法)(3)(x+1)(x﹣2)=4(公式法)(4)2(x+1)﹣x(x+1)=0(因式分解法)20.(6分)(2017秋•新罗区校级期中)已知关于x的方程(m2﹣1)x2+(m﹣1)x﹣2=0.(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程?(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程?21.(6分)(2018秋•农安县期中)阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.解:设x﹣2=y,则原方程化为:3y2+7y+4=0.∵A =3,B =7,C =4,∴B 2﹣4A C =72﹣4×3×4=1.∴y.∴y1=﹣1,y2.当y=﹣1时,x﹣2=﹣1,∴x=1;当y时,x﹣2,∴x.∴原方程的解为:x1=1,x2.(1)请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;(2)若(A 2+B 2)(A 2+B 2﹣2)=3,求代数式A 2+B 2的值.22.(6分)(2017秋•武昌区校级期中)已知△A B C 的一边为5,另两边是方程x2﹣(2k﹣3)x+k2﹣3k+2=0的解(1)如果△A B C 是直角三角形,求k的值;(2)如果△A B C 是等腰三角形,求△A B C 的面积.23.(8分)(2018春•嵊州市期中)已知关于x的两个一元二次方程:方程①:(1)x2+(k+2)x﹣1=0;方程②:x2+(2k+1)x﹣2k﹣3=0.(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根;(3)若方程①和②有一个公共根A .求代数式(A 2+4A ﹣2)k+3A 2+5A 的值.24.(8分)(2018秋•建宁县期中)某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为20万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆,根据市场调查,月销售量不会突破40辆.(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤40且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;(2)已知该型号汽车的销售价为22万元/辆,公司计划当月销售利润45万元,那么该月需售出多少辆汽车?答案与解析一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(2017秋•合浦县校级期中)把方程(x+1)(3x﹣2)=10化为一元二次方程的一般形式后为()A .2x2+3x﹣10=0B .2x2+3x﹣10=0C .3x2﹣x+12=0D .3x2+x﹣12=0[解答]解:方程整理得:3x2+x﹣12=0,故选:C .[点评]此题考查了一元二次方程的一般形式,其一般形式为A x2+B x+C =0(A ≠0).2.(2018秋•淮安区期中)已知关于x的方程,(1)A x2+B x+C =0;(2)x2﹣4x=0;(3)3x2=0;(4)x+(1﹣x)(1+x)=0;中,一元二次方程的个数为()个.A .1B .2C .3D .4[解答]解:(1)A x2+B x+C =0中A 可能为0,故不是一元二次方程;(2)x2﹣4x=0符合一元二次方程的定义,故是一元二次方程;(3)3x2=0,符合一元二次方程的定义,是一元二次方程;(4)1+(x﹣1)(x+1)=0,去括号合并后为x2=0,是一元二次方程;所以是一元二次方程的有三个,故选:C .[点评]本题主要考查一元二次方程的定义,即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程,注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以.3.(2018秋•桐梓县期中)m是方程x2+x﹣1=0的根,则式子m3+2m2+2018的值为()A .2017B .2018C .2019D .2020[解答]解:∵m是方程x2+x﹣1=0的根,∴m2+m=1∵m3+2m2+2018=m3+m2+m2+2018=m(m2+m)+m2+2018=m+m2+2018=1+2018=2019.故选:C .[点评]本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想,解决本题的关键是利用根的定义得关于m 的等式,变形m3+2m2+2018后整体代入.4.(2019春•鄞州区期中)用配方法解下列方程时,配方错误的是()A .2x2﹣7x﹣4=0化为(x)2B .2t2﹣4t+2=0化为(t﹣1)2=0C .4y2+4y﹣1=0化为(y)2D .x2﹣x﹣4=0化为(x)2[解答]解:A 、2x2﹣7x﹣4=0化为(x)2,故本选项错误;B 、2t2﹣4t+2=0化为(t﹣1)2=0,故本选项错误;C 、4y2+4y﹣1=0化为(y)2,故本选项错误;D 、x2﹣x﹣4=0化为(x)2,故本选项正确;故选:D .[点评]此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.5.(2018秋•花都区期中)下列一元二次方程中没有实数根是()A .x2﹣2x﹣4=0B .x2﹣4x+4=0C .x2﹣2x﹣5=0D .x2+3x+5=0[解答]解:A .x2﹣2x﹣4=0中△=4﹣4×1×(﹣4)=20>0,有两个不相等的实数根;B .x2﹣4x+4=0中△=16﹣4×1×4=0,有两个相等的实数根;C .x2﹣2x﹣5=0中△=4﹣4×1×(﹣5)=24>0,有两个不相等的实数根;D .x2+3x+5=0中△=9﹣4×1×5=﹣11<0,没有实数根;故选:D .[点评]本题考查了根的判别式,解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况.6.(2018秋•江阴市期中)若一个三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2﹣8x+15=0的一根,则这个三角形的周长为()A .5B .3或5C .13D .11或13[解答]解:由方程x2﹣8x+15=0可得(x﹣3)(x﹣5)=0,∴x=3或x=5,当x=3时,2、3、6构不成三角形,舍去;当x=5时,三角形的周长为2+5+6=13;故选:C .[点评]本题主要考查解方程的能力和三角形三边间的关系,根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键.7.(2017春•道里区校级期中)(m2+n2)(m2+n2﹣2)﹣8=0,则m2+n2=()A .4B .2C .4或﹣2D .4或2[解答]解:设m2+n2=t(t≥0),由原方程,得t(t﹣2)﹣8=0,整理,得(t﹣4)(t+2)=0,解得t=4或t=﹣2(舍去),所以m2+n2=4.故选:A .[点评]本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用.换元法是借助引进辅助元素,将问题进行转化的一种解题方法.这种方法在解题过程中,把某个式子看作一个整体,用一个字母去代表它,实行等量替换.这样做,常能使问题化繁为简,化难为易,形象直观.8.(2018秋•昆山市期中)若α,β是方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根,则α2+3α+β的值为()A .2015B .﹣2016C .2016D .2019[解答]解:∵α,β是方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根,∴α2+2α﹣2018=0,即α2+2α=2018,α+β=﹣2,则α2+3α+β=α2+2α+α+β=2018﹣2=2016,故选:C .[点评]本题主要考查方程的解得概念及韦达定理,熟练掌握韦达定理是解题的关键.9.(2018秋•唐山期中)如图,在宽为20m,长为30m的矩形地面上修建两条宽均为xm的小路(阴影),余下部分作为草地,草地面积为551m2,根据图中数据,求得小路宽x的值为()A .1B .1.5C .2D .2.5[解答]解:根据题意得:(30﹣x)(20﹣x)=551,化简得:x2﹣50x+49=0,解得:x1=1,x2=49.∵当x2=49时,20﹣x=﹣29<0,∴x2=49舍去.故选:A .[点评]本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.10.(2018秋•红桥区期中)在一次酒会上,每两人都只碰一次杯,一共碰杯55次,设参加酒会的人数为x,则可列方程为()A .x(x﹣1)=55B .x(x﹣1)=55C .x(x+1)=55D .x(x+1)=55[解答]解:设参加酒会的人数为x人,根据题意得:x(x﹣1)=55,故选:A .[点评]本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)11.(2018秋•广水市期中)把方程3x(x﹣1)=(x+2)(x﹣2)+9化成A x2+B x+C =0的形式为2x2﹣3x﹣5=0.[解答]解:方程整理得:3x2﹣3x=x2﹣4+9,即2x2﹣3x﹣5=0.故答案为:2x2﹣3x﹣5=0.[点评]此题考查了一元二次方程的一般形式,一元二次方程的一般形式是:A x2+B x+C =0(A ,B ,C 是常数且A ≠0)特别要注意A ≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中A x2叫二次项,B x叫一次项,C 是常数项.其中A ,B ,C 分别叫二次项系数,一次项系数,常数项.12.(2018秋•龙华区校级期中)关于x的方程3x﹣1=0是一元二次方程,则m的值为﹣2.[解答]解:根据题意得:m2﹣2=2,解得:m1=2,m2=﹣2,m﹣2≠0,解得:m≠2,即m=﹣2,故答案为:﹣2.[点评]本题考查了一元二次方程的定义,正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.13.(2019春•温州期中)若实数A 是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根,则A 3的值为21.[解答]解:∵实数A 是一元二次方程x2﹣3x+1=0的一个根,∴A 2﹣3A +1=0,A 2=3A ﹣1,A 2+1=3A ,1=3A ﹣A 2,∴A 3=A (3A ﹣1)=3A 2﹣A=3(3A ﹣1)﹣A=9A ﹣3﹣A +24﹣8A=21.故答案为:21.[点评]本题主要考查了一元二次方程的解的知识,解答本题的关键是求出A 2=3A ﹣1,A 2+1=3A ,1=3A ﹣A 2,利用整体法代值计算,此题难度较大.14.(2018秋•清江浦区期中)若方程x2﹣4x+3=0的两根是等腰三角形的底和腰,则它的周长为7.[解答]解:x2﹣4x+3=0,(x﹣3)(x﹣1)=0,x﹣3=0,x﹣1=0,解得x1=3,x2=1,当3为腰长时,三角形的三边分别为3,3,1,能组成三角形,周长=3+3+1=7,当3是底边时,三角形的三边分别为3,1,1,∵1+1<3不能够组成三角形,综上所述,这个等腰三角形的周长是7.故答案为:7.[点评]本题考查了因式分解法解一元二次方程,等腰三角形的性质,难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形.15.(2017秋•阜阳期中)代数式x2+8x+5的最小值是﹣27.[解答]解:∵x2+8x+5(x2+16x)+5(x2+16x+64﹣64)+5,⇒x2+8x+5[(x+8)2﹣64]+5(x+8)2﹣27,∵(x+8)2≥0,∴代数式x2+8x+5的最小值是﹣27.[点评]此题考查了学生的应用能力,解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值.16.(2018秋•泰兴市校级期中)关于x的一元二次方程(m﹣1)x2﹣(2m+1)x+(m+1)=0有实数根,则m的取值范围是m且m≠1.[解答]解:∵一元二次方程(m﹣1)x2﹣(2m+1)x+(m+1)=0有实数根,∴△≥0,即(2m+1)2﹣4(m﹣1)(m+1)≥0,解得:m,∵m﹣1≠0,∴m≠1,则m的取值范围是m且m≠1,故答案为:m且m≠1.[点评]本题考查了一元二次方程A x2+B x+C =0(A ≠0)的根的判别式△=B 2﹣4A C :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.17.(2018春•开福区校级期中)在实数范围内定义一种运算“*”,其运算法则为A *B =A 2﹣A B .根据这个法则,下列结论中正确的是①②④.(把所有正确结论的序号都填在横线上)①*2;②若A +B =0,则A *B =B *A ;③(x+2)*(x+1)=0是一元二次方程;④方程(x+3)*1=1的根是x1,x2.[解答]解:*()22,①正确;若A +B =0,则A =﹣B ,∴A *B =A 2﹣A B =B 2﹣B A =B *A ,②正确;(x+2)*(x+1)=(x+2)2﹣(x+2)(x+1)=x+2,③错误;(x+3)*1=(x+3)2﹣(x+3)=x2+5x+6,∴(x+3)*1=1即为方程x2+5x+6=1,化简得x2+5x+5=0,解得x1,x2,④正确.故答案为:①②④[点评]本题考查一元二次方程的应用,实数的运算等知识,解题的关键是理解题意,学会利用新的定义解决问题,属于中考常考题型.18.(2018秋•镇原县期中)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.现该商场要保证每天盈利1500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元.[解答]解:设每千克应涨价x元,由题意列方程得:(5+x)(200﹣10x)=1500,解得:x=5或x=10,为了使顾客得到实惠,那么每千克应涨价5元;故答案为:5.[点评]此题考查了一元二次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解.三.解答题(共6小题,满分46分)19.(12分)(2018秋•镇原县期中)用指定的方法解下列方程:(1)4(x﹣1)2﹣36=0(直接开平方法)(2)2x2﹣5x+1=0 (配方法)(3)(x+1)(x﹣2)=4(公式法)(4)2(x+1)﹣x(x+1)=0(因式分解法)[解答]解:(1)方程变形得:(x﹣1)2=9,开方得:x﹣1=3或x﹣1=﹣3,解得:x1=4,x2=﹣2;(2)方程变形得:x2x,配方得:x2x(x)2,开方得:x±,则x1,x2;(3)方程整理得:x2﹣x﹣6=0,这里A =1,B =﹣1,C =﹣6,∵△=1+24=25,∴x,则x1=3,x2=﹣2;(4)分解因式得:(x+1)(2﹣x)=0,解得:x1=﹣1,x2=2.[点评]此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,配方法,公式法,以及直接开平方法,熟练掌握各自解法是解本题的关键.20.(6分)(2017秋•新罗区校级期中)已知关于x的方程(m2﹣1)x2+(m﹣1)x﹣2=0.(1)当m为何值时,该方程为一元二次方程?(2)当m为何值时,该方程为一元一次方程?[解答]解:(1)∵关于x的方程(m2﹣1)x2+(m﹣1)x﹣2=0为一元二次方程,∴m2﹣1≠0,解得m≠±1,即当m≠±1时,方程为一元二次方程;(2)∵关于x的方程(m2﹣1)x2+(m﹣1)x﹣2=0为一元一次方程,∴m2﹣1=0,且m﹣1≠0,解得m=﹣1,即当m为﹣1时,方程为一元一次方程.[点评]本题主要考查方程的定义,掌握一元一次方程、一元二次方程的定义是解题的关键.21.(6分)(2018秋•农安县期中)阅读下列例题的解答过程:解方程:3(x﹣2)2+7(x﹣2)+4=0.解:设x﹣2=y,则原方程化为:3y2+7y+4=0.∵A =3,B =7,C =4,∴B 2﹣4A C =72﹣4×3×4=1.∴y.∴y1=﹣1,y2.当y=﹣1时,x﹣2=﹣1,∴x=1;当y时,x﹣2,∴x.∴原方程的解为:x1=1,x2.(1)请仿照上面的例题解一元二次方程:2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0;(2)若(A 2+B 2)(A 2+B 2﹣2)=3,求代数式A 2+B 2的值.[解答]解:(1)2(x﹣3)2﹣5(x﹣3)﹣7=0,设x﹣3=y,则原方程化为:2y2﹣5y﹣7=0,∵A =2,B =﹣5,C =﹣7,∴B 2﹣4A C =(﹣5)2﹣4×2×(7)=81,y,∴y1,y2=﹣1,当y时,x﹣3,解得:x;当y=﹣1时,x﹣3=﹣1,解得:x=2;所以原方程的解为:x1,x2=2;(2)(A 2+B 2)(A 2+B 2﹣2)=3,设A 2+B 2=y,则原方程化为:y(y﹣2)=3,即y2﹣2y﹣3=0,(y﹣3)(y+1)=0,y﹣3=0,y+1=0,y1=3,y2=﹣1,当y=3时,A 2+B 2=3;当y=﹣1时,A 2+B 2=﹣1,∵两个数的平方和具有非负性,∴此时不行,即代数式A 2+B 2的值为3.[点评]本题考查了解一元二次方程和根的判别式,能正确换元是解此题的关键.22.(6分)(2017秋•武昌区校级期中)已知△A B C 的一边为5,另两边是方程x2﹣(2k﹣3)x+k2﹣3k+2=0的解(1)如果△A B C 是直角三角形,求k的值;(2)如果△A B C 是等腰三角形,求△A B C 的面积.[解答]解:(1)∵x2﹣(2k﹣3)x+k2﹣3k+2=0∴[x﹣(k﹣1)][x﹣(k﹣2)]=0,解得,x1=k﹣1,x2=k﹣2,∵△A B C 的一边为5,另两边是方程x2﹣(2k﹣3)x+k2﹣3k+2=0的解,∴k﹣1>0,k﹣2>0,k﹣1>k﹣2,∵△A B C 是直角三角形,∴当斜边的长是5时,(k﹣1)2+(k﹣2)2=52,解得,k1=5,k2=﹣2(舍去),当斜边的长是k﹣1时,(k﹣2)2+52=(k﹣1)2,解得,k3=14,即如果△A B C 是直角三角形,k的值是5或14;(2)∵x2﹣(2k﹣3)x+k2﹣3k+2=0∴[x﹣(k﹣1)][x﹣(k﹣2)]=0,解得,x1=k﹣1,x2=k﹣2,∵△A B C 是等腰三角形,∴当k﹣2=5时,k=7,则k﹣1=6,此时△A B C 的面积是:,当k﹣1=5时,k=6,则k﹣2=4,此时△A B C 的面积是:2.[点评]本题考查解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理,解答本题得关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用分类讨论的数学思想解答.23.(8分)(2018春•嵊州市期中)已知关于x的两个一元二次方程:方程①:(1)x2+(k+2)x﹣1=0;方程②:x2+(2k+1)x﹣2k﹣3=0.(1)若方程①有两个相等的实数根,求解方程②;(2)若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根;(3)若方程①和②有一个公共根A .求代数式(A 2+4A ﹣2)k+3A 2+5A 的值.[解答]解:(1)∵方程①有两个相等实数根,∴10且△1=0,即(k+2)2﹣4(1)×(﹣1)=0,则(k+2)(k+4)=0,解此方程得k1=﹣2,k2=﹣4,而k+2≠0,∴k=﹣4,当k=﹣4时,方程②变形为:x2﹣7x+5=0,解得x1,x2;(2)∵△2=(2k+1)2+4(2k+3)=4k2+12k+13=(2k+3)2+4>0,∴无论k为何值时,方程②总有实数根,∵方程①、②只有一个方程有实数根,∴此时方程①没有实数根,(3)设A 是方程①和②的公共根,∴(1)A 2+(k+2)A ﹣1=0 ③,A 2+(2k+1)A ﹣2k﹣3=0④,由(③﹣④)×2得kA 2=2(k﹣1)A ﹣4k﹣4⑤,由④得:A 2=﹣(2k+1)A +2k+3⑥,将⑤、⑥代入,原式=kA 2+4A k﹣2k+3A 2+5A =2(k﹣1)A ﹣4k﹣4+4A k﹣2k﹣3(2k+1)A +6k+9+5A =5.[点评]本题考查了根的判别式:利用一元二次方程根的判别式(△=B 2﹣4A C )判断方程的根的情况.一元二次方程A x2+B x+C =0(A ≠0)的根与△=B 2﹣4A C 有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根.24.(8分)(2018秋•建宁县期中)某汽车销售公司5月份销售某种型号汽车,当月该型号汽车的进价为20万元/辆,若当月销售量超过5辆时,每多售出1辆,所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆,根据市场调查,月销售量不会突破40辆.(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤40且x为正整数),实际进价为y万元/辆,求y与x的函数关系式;(2)已知该型号汽车的销售价为22万元/辆,公司计划当月销售利润45万元,那么该月需售出多少辆汽车?[解答]解:(1)由题意可得当0<x≤5时,y=20;当5<x≤40时,y=20﹣0.1(x﹣5)=﹣0.1x+20.5,(2)当0<x≤5时,(22﹣20)×5=10<45,不合题意;当5<x≤40时,[22﹣(﹣0.1x+20.5)]x=45,解得x=30,或x=﹣10(舍去)∴需售出30辆汽车[点评]本题考查了分段函数的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时求出分段函数的解析式是关键.。

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测卷含答案

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合检测卷含答案
[详解]∵ ,
∴x△(x-2)=x2+x(x-2)=12,
整理得:2x2-2x-12=0,
解得:x1=-2,x2=3.
故选A.
[点睛]本题考查了新定义运算及一元二次方程的解法,根据新定义的运算规则将所求方程化为一元二次方程方程是解决本题的关键.
10.若关于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有两个不等的实根,则m的取值范围是( )
10.若关于x的方程(m﹣2)x2﹣2x+1=0有两个不等的实根,则m的取值范围是( )
A. m<3B. m≤3C. m<3且m≠2D. m≤3且m≠2
二、填空题(本题共计10小题,每题3分,共计30分,)
11.若 ,则: ________.
12.若关于 的方程 的一个根 的值是 .则另一根 ________, ________.
A.3B.3或-3C.-3D.不等于3的任意实数
[答案]B
[解析]
[分析]
根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到m2-9=0,然后利用平方根的定义求出m即可.
[详解]把x=0代入2x2-x+m2-9=0得m2-9=0,
所以m=3或-3.
故选B.
[点睛]本题考查了一元二次方程的解:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
[答案]B
[解析]
[分析]
配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
[详解]∵x2-4x+3=0
∴x2-4x=-3
∴x2-4x+4=-3+4
∴(x-2)2=1
故选B.

九年级数学上册 一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学上册 一元二次方程单元综合测试(Word版 含答案)

九年级数学上册 一元二次方程单元综合测试(Word 版 含答案)一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题(难)1.如图1,平面直角坐标系xOy 中,等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上,8BC =,顶点A在y 的正半轴上,2OA =,一动点E 从(3,0)出发,以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动,到达OB 的中点停止.另一动点F 从点C 出发,以相同的速度沿CB 向左运动,到达点O 停止.已知点E 、F 同时出发,以EF 为边作正方形EFGH ,使正方形EFGH 和ABC ∆在BC 的同侧.设运动的时间为t 秒(0t ≥).(1)当点H 落在AC 边上时,求t 的值;(2)设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ,请问是存在t 值,使得9136S =?若存在,求出t 值;若不存在,请说明理由;(3)如图2,取AC 的中点D ,连结OD ,当点E 、F 开始运动时,点M 从点O 出发,以每秒25OD DC CD DO ---运动,到达点O 停止运动.请问在点E 的整个运动过程中,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界)吗?如果可能,求出点M 在正方形EFGH 内(含边界)的时长;若不可能,请说明理由.【答案】(1)t=1;(2)存在,143t =,理由见解析;(3)可能,3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】(1)用待定系数法求出直线AC 的解析式,根据题意用t 表示出点H 的坐标,代入求解即可;(2)根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式,求出点H 落在BC 边上时的t 值,求出此时重叠面积为169﹤9136,进一步求出重叠面积关于t 的表达式,代入解t 的方程即可解得t 值;(3)由已知求得点D (2,1),AC=结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长. 【详解】(1)由题意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0), 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b , 将点A 、C 坐标代入,得:402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =-+, 当点H 落在AC 边上时,点E(3-t ,0),点H (3-t ,1), 将点H 代入122y x =-+,得: 11(3)22t =--+,解得:t=1;(2)存在,143t =,使得9136S =. 根据已知,当点F 运动到点O 停止运动前,重叠最大面积是边长为1的正方形的面积,即不存在t ,使重叠面积为9136S =,故t ﹥4, 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n , 将点A 、B 坐标代入,得:402m n n -+=⎧⎨=⎩,解得:122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩, ∴直线AC 的函数解析式为122y x =+, 当t ﹥4时,点E (3-t ,0)点H (3-t ,t-3),G(0,t-3), 当点H 落在AB 边上时,将点H 代入122y x =+,得: 13(3)22t t -=-+,解得:133t =;此时重叠的面积为221316(3)(3)39t -=-=, ∵169﹤9136,∴133﹤t ﹤5, 如图1,设GH 交AB 于S ,EH 交AB 于T,将y=t-3代入122y x =+得:1322t x -=+, 解得:x=2t-10, ∴点S(2t-10,t-3),将x=3-t 代入122y x =+得:11(3)2(7)22y t t =-+=-, ∴点T 1(3,(7))2t t --, ∴AG=5-t ,SG=10-2t ,BE=7-t ,ET=1(7)2t -, 211(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21(5)2ASGS AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424t t -+-, 由2527133424t t -+-=9136得:1143t =,29215t =﹥5(舍去), ∴143t =;(3)可能,35≤t≤1或t=4. ∵点D 为AC 的中点,且OA=2,OC=4, ∴点D (2,1),AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动; 当0﹤t ﹤12时,M 在线段OD 上,H 未到达D 点,所以M 与正方形不相遇; 当12﹤t ﹤1时, 12+12÷(1+4)=35秒, ∴t =35时M 与正方形相遇,经过1÷(1+4)=15秒后,M 点不在正方行内部,则3455t ≤≤; 当t=1时,由(1)知,点F 运动到原E 点处,M 点到达C 处; 当1≤t≤2时,当t=1+1÷(4-1)=43秒时,点M 追上G 点,经过1÷(4-1)=13秒,点M 都在正方形EFGH 内(含边界),4533t ≤≤ 当t=2时,点M 运动返回到点O 处停止运动,当 t=3时,点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时,点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时,点M 都在正方形EFGH 内(含边界), 综上,当3455t ≤≤或4533t ≤≤或35t ≤≤时,点M 可能在正方形EFGH 内(含边界).【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合,涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识,解答的关键是认真审题,提取相关信息,利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路,进而推理、探究、发现和计算.2.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m %,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m 元,购买数量在原计划基础上增加15m %,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m %,求出m 的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.3.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等2cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解.③当时,,,由题意,得,解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于.【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB,CQ的长.4.阅读下列材料计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)(+),令+=t,则:原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣+t2=在上面的问题中,用一个字母代表式子中的某一部分,能达到简化计算的目的,这种思想方法叫做“换元法”,请用“换元法”解决下列问题:(1)计算:(1﹣﹣)×(+)﹣(1﹣﹣)×(+)(2)因式分解:(a2﹣5a+3)(a2﹣5a+7)+4(3)解方程:(x2+4x+1)(x2+4x+3)=3【答案】(1);(2)(a2﹣5a+5)2;(3)x1=0,x2=﹣4,x3=x4=﹣2【解析】【分析】(1)仿照材料内容,令+=t代入原式计算.(2)观察式子找相同部分进行换元,令a2﹣5a=t代入原式进行因式分解,最后要记得把t换为a.(3)观察式子找相同部分进行换元,令x2+4x=t代入原方程,即得到关于t的一元二次方程,得到t的两个解后要代回去求出4个x的解.【详解】(1)令+=t,则:原式=(1﹣t)(t+)﹣(1﹣t﹣)t=t+﹣t2﹣﹣t+t2+=(2)令a2﹣5a=t,则:原式=(t+3)(t+7)+4=t2+7t+3t+21+4=t2+10t+25=(t+5)2=(a2﹣5a+5)2(3)令x2+4x=t,则原方程转化为:(t+1)(t+3)=3t2+4t+3=3t (t +4)=0 ∴t 1=0,t 2=﹣4 当x 2+4x =0时, x (x +4)=0 解得:x 1=0,x 2=﹣4 当x 2+4x =﹣4时, x 2+4x +4=0 (x +2)2=0 解得:x 3=x 4=﹣2 【点睛】本题考查用换元法进行整式的运算,因式分解,解一元二次方程.利用换元法一般可达到降次效果,从而简便运算.5.已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=,是否存在这样的n 值,使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根?若存在,请求出这样的n 值;若不存在,请说明理由?【答案】存在,n=0. 【解析】 【分析】在方程①中,由一元二次方程的根与系数的关系,用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方,把方程②分解因式,建立方程求n ,要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1,x2是方程①的两个根,则x 1+x 2=2n ,x 1x 2=324n +-,所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2, 由方程②得,(x+n-1)[x-2(n+1)]=0, ①若4n 2+3n+2=-n+1,解得n=-12,但1-n=32不是整数,舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2),解得n=0或n=-14(舍), 综上所述,n=0.6.如图,∠ AOB =90°,且点A ,B 分别在反比例函数1k y x =(x <0),2ky x=(x >0)的图象上,且k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根. (1)求k 1,k 2的值;(2)连接AB ,求tan ∠ OBA 的值.【答案】(1)k 1=-2,k 2=3. (2)tan∠OBA =63. 【解析】解:(1)∵k 1,k 2分别是方程x 2-x -6=0的两根,∴解方程x 2-x -6=0,得x 1=3,x 2=-2.结合图像可知:k 1<0,k 2>0,∴k 1=-2,k 2=3.(2)如图,过点A 作AC ⊥x 轴于点C ,过点B 作BD ⊥y 轴于点D .[来源:学&科&网Z&X&X&K]由(1)知,点A ,B 分别在反比例函数2y x =-(x <0),3y x=(x >0)的图象上, ∴S △ACO =12×2-=1 ,S △ODB =12×3=32.∵∠ AOB =90°, ∴∠ AOC +∠ BOD =90°,∵∠ AOC +∠ OAC =90°,∴∠ OAC =∠ BOD . 又∵∠ACO =∠ODB =90°,∴△ACO ∽△ODB .∴S S ACO ODB ∆∆=2OA OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭=23,∴OA OB =±63(舍负取正),即OA OB =63. ∴在Rt △AOB 中,tan ∠ OBA =OA OB =63.7.已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.(1)求k 的取值范围;(2)若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ,且它们的倒数之和是32-,求k 的值. 【答案】(1)k <-34;(2)k=﹣1 【解析】试题分析:(1)根据交点得个数,让y=0判断出两个不相等的实数根,然后根据判别式△= b2-4ac的范围可求解出k的值;(2)利用y=0时的方程,根据一元二次方程的根与系数的关系,可直接列式求解可得到k 的值.试题解析:(1)∵二次函数y=x2-(2k-1)x+k2+1的图象与x轴有两交点,∴当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根.∴△=b2-4ac=[-(2k-1)]2-4×1×(k2+1)>0.解得k<-34;(2)当y=0时,x2-(2k-1)x+k2+1=0.则x1+x2=2k-1,x1•x2=k2+1,∵===32 -,解得:k=-1或k=13-(舍去),∴k=﹣18.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B在x轴正半轴上,OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根(OA>OB).(1)求点D的坐标.(2)求直线BC的解析式.(3)在直线BC上是否存在点P,使△PCD为等腰三角形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D(4,7)(2)y=3944x-(3)详见解析【解析】试题分析:(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度,过点D作DE⊥y于点E,根据正方形的性质可得AD=AB,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA,AE=OB,再求出OE,然后写出点D的坐标即可;(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同理求出点C的坐标,设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P与点B重合时,△PCD为等腰三角形;点P为点B关于点C 的对称点时,△PCD为等腰三角形,然后求解即可.试题解析:(1)x2﹣7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∵OA>OB,∴OA=4,OB=3,过D作DE⊥y于点E,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数9.已知:如图,在平面直角坐标系中,矩形AOBC的顶点C的坐标是(6,4),动点P从点A出发,以每秒1个单位的速度沿线段AC运动,同时动点Q从点B出发,以每秒2个单位的速度沿线段BO运动,当Q到达O点时,P,Q同时停止运动,运动时间是t秒(t >0).(1)如图1,当时间t=秒时,四边形APQO是矩形;(2)如图2,在P,Q运动过程中,当PQ=5时,时间t等于秒;(3)如图3,当P,Q运动到图中位置时,将矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E,连接OP,OE,此时∠POE=45°,连接PE,求直线OE的函数表达式.【答案】(1)t=2;(2)1或3;(3)y=12 x.【解析】【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长.(1)由四边形APQO是矩形可得AP=OQ,列得方程即可求出t.(2)过点P作x轴的垂线PH,构造直角△PQH,求得HQ的值.由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t表示HQ,即列得方程求出t.根据t的取值范围考虑t的合理性.(3)由轴对称性质,对称轴PQ垂直平分对应点连线OC,得OP=PE,QE=OQ.由∠POE =45°可得△OPE是等腰直角三角形,∠OPE=90°,即点E在矩形AOBC内部,无须分类讨论.要求点E坐标故过点E作x轴垂线MN,易证△MPE≌△AOP,由对应边相等可用t表示EN,QN.在直角△ENQ中利用勾股定理为等量关系列方程即求出t.【详解】∵矩形AOBC中,C(6,4)∴OB=AC=6,BC=OA=4依题意得:AP=t,BQ=2t(0<t≤3)∴PC=AC﹣AP=6﹣t,OQ=OB﹣BQ=6﹣2t (1)∵四边形APQO是矩形∴AP=OQ∴t=6﹣2t解得:t=2故答案为2.(2)过点P作PH⊥x轴于点H∴四边形APHO是矩形∴PH=OA=4,OH=AP=t,∠PHQ=90°∵PQ=5∴HQ3 =①如图1,若点H在点Q左侧,则HQ=OQ﹣OH=6﹣3t ∴6﹣3t=3解得:t=1②如图2,若点H在点Q右侧,则HQ=OH﹣OQ=3t﹣6∴3t﹣6=3解得:t=3故答案为1或3.(3)过点E作MN⊥x轴于点N,交AC于点M∴四边形AMNO是矩形∴MN=OA=4,ON=AM∵矩形沿PQ折叠,点A,O的对应点分别是D,E∴PQ垂直平分OE∴EQ=OQ=6﹣2t,PO=PE∵∠POE=45°∴∠PEO=∠POE=45°∴∠OPE=90°,点E在矩形AOBC内部∴∠APO+∠MPE=∠APO+∠AOP=90°∴∠MPE=∠AOP在△MPE与△AOP中PME OAP90 MPE AOPPE0P ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MPE≌△AOP(AAS)∴PM=OA=4,ME=AP=t∴ON=AM=AP+PM=t+4,EN=MN﹣ME=4﹣t∴QN=ON﹣OQ=t+4﹣(6﹣2t)=3t﹣2∵在Rt△ENQ中,EN2+QN2=EQ2∴(4﹣t)2+(3t﹣2)2=(6﹣2t)2解得:t1=﹣2(舍去),t2=43∴AM=43+4=163,EN=4﹣43=83∴点E坐标为(163,83)∴直线OE的函数表达式为y=12x.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,勾股定理,轴对称的性质,全等三角形的判定和性质,解一元一次和一元二次方程.在动点题中要求运动时间t的值,常规做法是用t表示相关线段,再利用线段相等或勾股定理作为等量关系列方程求值.要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性.10.已知关于x的方程230x x a++=①的两个实数根的倒数和等于3,且关于x的方程2(1)320k x x a-+-=②有实数根,又k为正整数,求代数式2216kk k-+-的值.【答案】0.【解析】【分析】由于关于x的方程x2+3x+a=0的两个实数根的倒数和等于3,利用根与系数的关系可以得到关于a的方程求出a,又由于关于x的方程(k-1)x2+3x-2a=0有实数根,分两种情况讨论,该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,又k为正整数,利用判别式可以求出k,最后代入所求代数式计算即可求解.【详解】解:设方程①的两个实数根分别为x1、x2则12123940x xx x aa+-⎧⎪⎨⎪-≥⎩===,由条件,知12121211x xx x x x++==3,即33a-=,且94a≤,故a=-1,则方程②为(k-1)x2+3x+2=0,Ⅰ.当k-1=0时,k=1,x=23-,则2216kk k-=+-.Ⅱ.当k-1≠0时,∆=9-8(k-1)=17-6-8k≥0,则178k≤,又k是正整数,且k≠1,则k=2,但使2216kk k-+-无意义.综上,代数式2216kk k-+-的值为0【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系,在解方程时一定要注意所求k的值与方程判别式的关系.要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程,。

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合测试题含答案

九年级上学期数学《一元二次方程》单元综合测试题含答案
A. 2018B. 2013C. 2014D. 2012
[答案]C
[解析]
试题分析:因为x=1是关于x的一元二次方程Ax2+Bx-5=0的一个根,
所以A+B﹣5=0,所以A+B=5.
2019-A-B=2019-(A+B)=2019-5=2014.
故选C.
考点:一元二次方程的解.1061442
9.)一个三角形的两边长为4和5,第三边的长是方程x2﹣9x+18=0的一个根,则这个三角形的周长为()
A. -10B. 4C. -4D. 10
7.定义新运算:对于任意实数A,B,都有A⊕B=A2-3A+B,如3⊕5=32-3×3+5,若x⊕1=11则实数x的值()
A. 2或-5B. -2或5C. 2或5D. -2或-5
8.若关于x的一元二次方程为Ax2+Bx-5=0(A≠0)的一个解是x=1,则2019-A-B的值是
A. 15B. 12C. 13或12D. 15或12
[答案]D
[解析]
试题分析:先解一元二次方程,再求三角形的周长.
解方程 得 , .
1当 时,三角形的周长为 ;
2当 时,三角形的周长为 .
故选D.
考点:(1)解一元二次方程;(2)三角形的周长.
10.将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销量就要减少10个,为了赚8 000元利润,则应进货()
13.方程 的根是_____________.
[答案] , .
[解析]
试题分析:方程变形得: ,分解因式得: ,可得 或 ,解得: , .故答案为 , .
A.400个B.200个
C.400个或200个D.600个

数学九年级上册《一元二次方程》单元综合测试(带答案)

数学九年级上册《一元二次方程》单元综合测试(带答案)
【答案】
【解析】
【分析】
第一年的利润率为 ,则第一年的利润为 ,第二年的利润率为 ,由题意列方程即可得出结论.
【详解】解:根据题意可知:第一年的利润为 万元,第二年的利润率为 ,利润为 万元,
则可得方程: ,
故答案为 .
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是利用本金×利润率=利润列式解一元二次方程.
6.方程 的左边配成完全平方式后所得的方程为()
A. B. C. D. 以上都不对
7.解方程 得方程 根为()
A , B. ,
C. , D. ,
8.两个实根之和为 的一元二次方程是()
A. B.
C. D.
9.已知一元二次方程 ,用配方法解该方程,则配方后的方程是()
A. B.
C. D.
10.如果 ,那么 的值为()
6.方程 的左边配成完全平方式后所得的方程为()
A. B. C. D.以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
将方程 移项得 ,在方程两边同时加上一次项系数一半的平方16,即可得出结论.
【详解】解:方程 移项,得:
,
等式两边同时加上16,得:
,即:
,
故答案为A.
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程.配方法的一般步骤:
13.当 ________时,方程 不是一元二次方程,当 ________时,上述方程是一元二次方程.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义,一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.
【详解】∵ 不是一元二次方程,
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九年级数学一元二次方程单元综合测试(Word版含答案)一、初三数学一元二次方程易错题压轴题(难)1.“父母恩深重,恩怜无歇时”,每年5月的第二个星期日即为母亲节,节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们.(1)经过和花店卖家议价,可在原标价的基础上打八折购进,若在花店购买80个礼盒最多花费7680元,请求出每个礼盒在花店的最高标价;(用不等式解答)(2)后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在(1)中花店最高售价的基础上降价25%,学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒,但实际购买过程中,“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%,购买数量和原计划一样:“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元,购买数量在原计划基础上增加15m%,最终,在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%,求出m的值.【答案】(1)120;(2)20.【解析】试题分析:(1)本题介绍两种解法:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,解出即可;解法二:根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费,再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价;(2)先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额:120a(1﹣25%)(1+52m%),在“美团”网上的购买实际消费总额:a[120(1﹣25%)﹣920m](1+15m%);根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可.试题解析:(1)解:解法一:设标价为x元,列不等式为0.8x•80≤7680,x≤120;解法二:7680÷80÷0.8=96÷0.8=120(元).答:每个礼盒在花店的最高标价是120元;(2)解:假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒,由题意得:120×0.8a(1﹣25%)(1+52m%)+a[120×0.8(1﹣25%)﹣920m](1+15m%)=120×0.8a(1﹣25%)×2(1+ 152m%),即72a(1+52m%)+a(72﹣920m)(1+15m%)=144a(1+152m%),整理得:0.0675m2﹣1.35m=0,m2﹣20m=0,解得:m1=0(舍),m2=20.答:m的值是20.点睛:本题是一元二次方程的应用,第二问有难度,正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键.2.(1)课本情境:如图,已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,动点P从点A出发,以3cm/s的速度向点O运动,直到点O为止;动点Q同时从点C出发,以2cm/s的速度向点B运动,与点P同时结束运动,出发时,点P和点Q之间的距离是10cm;(2)逆向发散:当运动时间为2s时,P,Q两点的距离为多少?当运动时间为4s时,P,Q 两点的距离为多少?(3)拓展应用:若点P沿着AO→OC→CB移动,点P,Q分别从A,C同时出发,点Q从点C移动到点B停止时,点P随点Q的停止而停止移动,求经过多长时间△POQ的面积为12cm2?【答案】(1)85s或245s(2)62cm;213cm(3)4s或6s【解析】【分析】(1)过点P作PE⊥BC于E,得到AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,利用勾股定理得到方程,故可求解;(2)根据运动时间求出EQ、PE,利用勾股定理即可求解;(3) 分当点P在AO上时,当点P在OC上时和当点P在CB上时,根据三角形的面积公式列出方程即可求解.【详解】解:(1)设运动时间为t秒时,如图,过点P作PE⊥BC于E,由运动知,AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t,∵点P和点Q之间的距离是10 cm,∴62+(16﹣5t)2=100,解得t1=85,t2=245,∴t=85s或245s.故答案为85s或245s(2)t=2时,由运动知AP =3×2=6 cm ,CQ =2×2=4 cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BE =6,∴EQ =BC ﹣BE ﹣CQ =16﹣6﹣4=6, 根据勾股定理得PQ=2262PE EQ +=, ∴当t =2 s 时,P ,Q 两点的距离为62 cm ;当t =4 s 时,由运动知AP =3×4=12 cm ,CQ =2×4=8cm , ∴四边形APEB 是矩形, ∴PE =AB =6,BQ =8,CE=OP=4 ∴EQ =BC ﹣CE ﹣BQ =16﹣4﹣8=4, 根据勾股定理得PQ=22213PE EQ +=, P ,Q 两点的距离为213cm .(3)点Q 从C 点移动到B 点所花的时间为16÷2=8s , 当点P 在AO 上时,S △POQ =2PO CO ⋅=(163)62t -⋅=12, 解得t =4.当点P 在OC 上时,S △POQ =2PO CQ ⋅=(316)22t t-⋅=12, 解得t =6或﹣23(舍弃). 当点P 在CB 上时,S △POQ =2PQ CO ⋅=(2223)62t t +-⨯=12, 解得t =18>8(不符合题意舍弃),综上所述,经过4 s 或6 s 时,△POQ 的面积为12 cm 2. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用、一元二次方程与动点问题,解题的关键是熟知勾股定理的应用,根据三角形的面积公式找到等量关系列出方程求解.3.如图,在△ABC 中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=16 cm.点 P从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速度移动,点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2 cm/s的速度移动.如果 P、 Q分别从 A、B同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设运动的时间为 t 秒.(1)当 t 为何值时,△PBQ的面积等于 35cm2?(2)当 t 为何值时,PQ的长度等82cm?(3)若点 P,Q的速度保持不变,点 P在到达点 B后返回点 A,点 Q在到达点 C后返回点B,一个点停止,另一个点也随之停止.问:当 t为何值时,△PCQ的面积等于 32cm2?【答案】(1)t为5或7;(2)t为45或4;(3)t为4或16【解析】【分析】(1)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用面积公式列方程求解即可.(2)分别用含t的代数式表示PB,BQ的长,利用勾股定理列方程求解即可.(3)分段要清楚,,P,Q都没有返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,P不返回,Q返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程,,两点都返回,表示好PB,CQ的长,用面积公式列方程即可得到答案.【详解】解:(1),.根据三角形的面积公式,得,即,整理,得,解得,.故当为5或7时,的面积等于35.(2)根据勾股定理,得,整理,得,解得,.故当为或4时,的长度等于.(3)①当时,,,由题意,得,解得:,(舍去).②当时,,,由题意,得,次方程无解. ③当时,,,由题意,得, 解得:(舍去),.综上所述,当为4或16时,的面积等于. 【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题,建立正确情境下的几何模型是解决问题的关键,特别是最后一问,关键是弄懂分段的时间界点,才能正确的表示PB ,CQ 的长.4.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +a ﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程;(2)若这个方程有两个实数根x 1,x 2,求a 的取值范围;(3)若方程两个实数根x 1,x 2满足[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,求a 的值. 【答案】(1)123,4x x =-=(2)54a ≤(3)-4 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程的解法即可求出答案; (2)根据判别式即可求出a 的范围; (3)根据根与系数的关系即可求出答案. 【详解】(1)把a =﹣11代入方程,得x 2﹣x ﹣12=0, (x +3)(x ﹣4)=0, x +3=0或x ﹣4=0, ∴x 1=﹣3,x 2=4;(2)∵方程有两个实数根12x x ,, ∴△≥0,即(﹣1)2﹣4×1×(a ﹣1)≥0, 解得54a ≤:; (3)∵12x x ,是方程的两个实数根,222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-,,,. ∵[2+x 1(1﹣x 1)][2+x 2(1﹣x 2)]=9,∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦, 把22112211x x a x x a -=--=-,代入,得:[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9,即(1+a )2=9, 解得:a =﹣4,a =2(舍去), 所以a 的值为﹣4.点睛:本题考查了一元二次方程,解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系.5.(本题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ,AB 与CD 相交于点E ,线段OA 、OC 的长是一元二次方程-18x+72=0的两根(OA >OC ),BE=5,tan ∠ABO=.(1)求点A ,C 的坐标;(2)若反比例函数y=的图象经过点E ,求k 的值;(3)若点P 在坐标轴上,在平面内是否存在一点Q ,使以点C ,E ,P ,Q 为顶点的四边形是矩形?若存在,请写出满足条件的点Q 的个数,并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)、A (12,0),C (﹣6,0);(2)、k=36;(3)、6个;Q 1(10,﹣12),Q 2(﹣3,6﹣3).【解析】试题分析:(1)、首先求出方程的解,根据OA >OC 求出两点的坐标;(2)、根据∠ABO 的正切值求出OB 的长度,根据Rt △AOB 得出AB 的长度,作EM ⊥x 轴,根据三角形相似得出点E 的坐标,然后求出k 的值;(3)、分别以CE 为矩形的边,在点C 、E 处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q.试题解析:(1)由题意,解方程得:x1=6,x2=12.∵OA>OC,∴OA=12,OC=6.∴A(12,0),C(﹣6,0);(2)∵tan∠ABO=,∠AOB=90°∴∴OB=16.在Rt△AOB中,由勾股定理,得AB=20∵BE=5,∴AE=15.如图1,作EM⊥x轴于点M,∴EM∥OB.∴△AEM∽△ABO,∴,即:∴EM=12,AM=9,∴OM=12﹣9=3.∴E(3,12).∴k=36;(3)满足条件的点Q的个数是6,x轴的下方的Q1(10,﹣12),Q2(﹣3,6﹣3);方法:如下图①分别以CE为矩形的边,在点C、E处设计直角,垂线与两坐标轴相交,得到点P,进而得到点Q;(有三种)②以CE为矩形对角线,则以CE的中点为圆心做圆,与两坐标轴相交,得到点P,再得点Q;(有三种)如图①∵E (3,12),C (﹣6,0), ∴CG=9,EG=12, ∴EG 2=CG•GP , ∴GP=16, ∵△CPE 与△PCQ 是中心对称,∴CH=GP=16,QH=FG=12, ∵OC=6, ∴OH=10, ∴Q (10,﹣12),如图②作MN ∥x 轴,交EG 于点N ,EH ⊥y 轴于点H ∵E (3,12),C (﹣6,0), ∴CG=9,EG=12, ∴CE=15, ∵MN=CG=, 可以求得PH=3﹣6,同时可得PH=QR ,HE=CR ∴Q (﹣3,6﹣3),考点:三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6.如图,在ABC ∆中,90ACB ∠=︒,以点B 为圆心,BC 的长为半径画弧,交线段AB 于点D ,以点A 为圆心,AD 长为半径画弧,交线段AC 于点E ,连结CD .(1)若28A ∠=︒,求ACD ∠的度数; (2)设BC a =,AC b =;①线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根吗?说明理由. ②若线段AD EC =,求ab的值. 【答案】(1)ACD ∠=31︒;(2)①是;②34a b =. 【解析】 【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠B ,根据等腰三角形的性质求出∠BCD ,计算即可; (2)①根据勾股定理求出AD ,利用求根公式解方程,比较即可;②根据勾股定理列出算式,计算即可. 【详解】(1)在ABC ∆中,90ACB ∠=︒. ∴90B A ∠=︒-∠9028=︒-︒ 62=︒,∵BC BD =,∴1802BBCD BDC ︒-∠∠=∠=180622︒-︒=59=︒.∴DCA ACB BCD ∠=∠-∠9059=︒-︒31=︒.(2)①BD BC a ==, ∴AD AB BD =-AB a =-.在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,AB ==∵2220x ax b +-=,∴x =a =- a AB =-±.∴线段AD 的长度是方程2220x ax b +-=的一个根. ②∵AE AD =, 又∵AD EC =, ∴2b AE EC ==, ∴2b AD =. 在Rt ABC ∆中,222AB AC BC =+,∴2222b a b a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,22224b a ab b a ++=+,∴234b ab =. ∵0b >, ∴34b a =, ∴34a b =. 【点睛】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键.7.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上,顶点B 在x 轴正半轴上,OA 、OB 的长分别是一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根(OA >OB ). (1)求点D 的坐标. (2)求直线BC 的解析式.(3)在直线BC 上是否存在点P ,使△PCD 为等腰三角形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,说明理由.【答案】(1)D (4,7)(2)y=3944x -(3)详见解析 【解析】试题分析:(1)解一元二次方程求出OA 、OB 的长度,过点D 作DE ⊥y 于点E ,根据正方形的性质可得AD=AB ,∠DAB=90°,然后求出∠ABO=∠DAE ,然后利用“角角边”证明△DAE 和△ABO 全等,根据全等三角形对应边相等可得DE=OA ,AE=OB ,再求出OE ,然后写出点D 的坐标即可;(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ,同理求出点C 的坐标,设直线BC 的解析式为y=kx+b (k≠0,k 、b 为常数),然后利用待定系数法求一次函数解析式解答;(3)根据正方形的性质,点P 与点B 重合时,△PCD 为等腰三角形;点P 为点B 关于点C 的对称点时,△PCD 为等腰三角形,然后求解即可. 试题解析:(1)x 2﹣7x+12=0,解得x1=3,x2=4,∵OA>OB,∴OA=4,OB=3,过D作DE⊥y于点E,∵正方形ABCD,∴AD=AB,∠DAB=90°,∠DAE+∠OAB=90°,∠ABO+∠OAB=90°,∴∠ABO=∠DAE,∵DE⊥AE,∴∠AED=90°=∠AOB,∵DE⊥AE∴∠AED=90°=∠AOB,∴△DAE≌△ABO(AAS),∴DE=OA=4,AE=OB=3,∴OE=7,∴D(4,7);(2)过点C作CM⊥x轴于点M,同上可证得△BCM≌△ABO,∴CM=OB=3,BM=OA=4,∴OM=7,∴C(7,3),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0,k、b为常数),代入B(3,0),C(7,3)得,,解得,∴y=x﹣;(3)存在.点P与点B重合时,P1(3,0),点P与点B关于点C对称时,P2(11,6).考点:1、解一元二次方程;2、正方形的性质;3、全等三角形的判定与性质;4、一次函数8.如图,正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上,我们称正方形EFGH 是正方形ABCD的外接正方形.探究一:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍?如图,假设存在正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD的2倍.因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为2,所以EF=FG=GH=HE2EB=x,则BF2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC∴BF=AE2﹣x在Rt△AEB中,由勾股定理,得x2+2﹣x)2=12解得,x1=x2=2 2∴BE=BF,即点B是EF的中点.同理,点C,D,A分别是FG,GH,HE的中点.所以,存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的2倍探究二:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍?(仿照上述方法,完成探究过程)探究三:已知边长为1的正方形ABCD,一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的4倍?(填“存在”或“不存在”)探究四:已知边长为1的正方形ABCD,是否存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的n倍?(n>2)(仿照上述方法,完成探究过程)【答案】不存在,详见解析【解析】【分析】探究二,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可;探究三,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答;探究四,根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答.【详解】探究二:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为3,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+x)2=12,整理得x2x+1=0,b2﹣4ac=3﹣4<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍;探究三:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为4,所以EF=FG=GH=HE=2,设EB=x,则BF=2﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE=2﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+(2﹣x)2=12,整理得2x2﹣4x+3=0,b2﹣4ac=16﹣24<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH,它的面积是正方形ABCD面积的3倍,故答案为不存在;探究四:因为正方形ABCD的面积为1,则正方形EFGH的面积为n,所以EF=FG=GH=HE,设EB=x,则BF﹣x,∵Rt△AEB≌Rt△BFC,∴BF=AE﹣x,在Rt△AEB中,由勾股定理,得,x2+﹣x)2=12,整理得2x2﹣+n﹣1=0,b2﹣4ac=8﹣4n<0,此方程无解,不存在一个外接正方形EFGH ,它的面积是正方形ABCD 面积的n 倍.【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键.9.如图,在矩形ABCD 中,6AB = ,10BC = ,将矩形沿直线EF 折叠.使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处,且点E 、F 分别在边AB 、AD 上(含端点),连接CF .(1)当32BG = 时,求AE 的长;(2)当AF 取得最小值时,求折痕EF 的长;(3)连接CF ,当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时,直接写出BG 的长.【答案】(1)92AE =;(2)62EF =3)185BG =. 【解析】【分析】 (1)根据折叠得出AE=EG ,据此设AE=EG=x ,则有BE=6-x ,由勾股定理求解可得;(2)由FG ⊥BC 时FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,显然四边形AEGF 是正方形,从而根据勾股定理可得答案;(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①FG=FC ;②FG=GC ;分别求解可得.【详解】(1)由折叠易知,AE EG =,设AE EG x ==,则有6BE x =-,由勾股定理,得()(222632x x =-+,解得92x =,即92AE = (2)由折叠易知,AF FG =,而当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,FG 的值最小,即此时AF 能取得最小值,当FG BC ⊥时,点E 与点B 重合,此时四边形AEGF 是正方形,∴折痕226662EF =+=(3)由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形,可知应分两种情况讨论:①当FG=FC 时,如图2,过F 作FH ⊥CG 于H ,则有:AF=FG=FC,CH=DF=GH设AF=FG=FC=x,则DF=10-x=CH=GH 在Rt△CFH中∵CF2=CH2+FH2∴x2=62+(10-x)2解得:x=345,∴DF=CH=GH=10-165,即BG=10-165×2=185,②当FG=GC时,则有:AF=FG=GC=x,CH=DF=10-x;∴GH=x-(10-x)=2x-10,在Rt△FGH中,由勾股定理易得:x2=62+(2x-10)2,化简得:3x2-40x+136=0,∵△=(-40)2-4×3×136=-32<0,∴此方程没有实数根.综上可知:BG=185.【点睛】本题主要考查四边形的综合问题,解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点,也考查了分类讨论的数学思想.10.定南县某楼盘准备以每平方米4000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,房地产开发商为了加快资金周转,对价格经过两次下调后,决定以每平方米3240元的均价开盘销售.(1)求平均每次下调的百分率;(2)某人准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房,开发商给予以下两种优惠方案以供选择:①打9.8折销售;②不打折,一次性送装修费每平方米80元,试问哪种方案更优惠?【答案】(1)10%;(2)方案②【解析】试题分析:首先设下调的百分率为x,根据题意列出方程进行求解,得出答案;分别求出两种方案所需要花费的钱数,然后进行比较.试题解析:(1)设平均每次下调的百分率是x,依题意得,4000(1-x)2=3240解之得:x=0.1=10%或x=1.9(不合题意,舍去)答:平均每次下调的百分率是10%.(2)方案①实际花费=100×3240×98%=317520元方案②实际花费=100×3240-100×80=316000元∵317520>316000 ∴方案②更优惠考点:一元二次方程的应用。

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