北师大版初二数学下册4.3公式法(一)利用平方差公式进行因式分解

4.3 公式法（一）利用平方差公式进行因式分解•课题§ 4.3.公式法（一）•教学目标（一）教学知识点1. 使学生了解运用公式法分解因式的意义；2. 使学生掌握用平方差公式分解因式.3. 使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式•（二）能力训练要求1. 通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力2. 训练学生对平方差公式的运用能力.（三）情感与价值观要求在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.•教学重点让学生掌握运用平方差公式分解因式.•教学难点将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.•教学方法引导自学法•教具准备投影片两张第一张（记作§ 4.3.1 A）第二张（记作§ 4.3.1 B ）•教学过程，引入新课1 .创设问题情境［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法一一公式法n.新课讲解［师］1.请看乘法公式2 2（a+b）（a —b）=a - b （1）左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是2 2a —b = （a+b）（a—b）（2）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解 •第(1)个等式可以看作是整式乘法中的 平方差公式，第(2)个等式可以看作是因式分解中的平方差公式2. 公式讲解［师］请大家观察式子 a 2— b 2,找出它的特点.［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差=(3 m +2 n ) (3 m — 2n ) 3. 例题讲解［例1］把下列各式分解因式：2(1) 25—16x ; (2) 9a 2— b 2.422解：(1) 25 — 16x =5 —( 4x ) =(5+4x ) (5—4x );21 2 2(2) 9a —b = ( 3a )—(4=(3a + 丄 b ) ( 3a —丄 b ).2 2［例2］把下列各式分解因式2 2(1) 9 (nrn ) —( m- n );3(2) 2x — 8x .解：(1) 9 (m +n ) 2—( m- n ) 2 2 2=［3 (m + n )］ —( m- n )=［3 (m +n ) + (m- n )］ ［ 3 ( m +n ) — ( m- n )］ =(3 m +3 n + m- n ) ( 3 m +3n —m +n ) =(4 m +2 n ) (2 m +4 n ) =4 (2 m + n ) (m +2 n )32(2) 2x — 8x =2x (x — 4) =2x (x +2) (x —2)说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因 式；例2的(1)是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式， 例2的(2)是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用 提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法补充例题投影片(§ 4.3.1 A ) 判断下列分解因式是否正确•(1) (a +b ) 2— c 2=a 2+2ab +b 2— c 2.42222［师］如果一个二项式， 分解成两个整式的和与差的积2 2 2女口 x — 16= (x ) — 4 = 9 m — 4n = ( 3 m )- 它能够化成两个整式的平方差, (x+4) (2n )(x — 4).2就可以用平方差公式分解因式, -b ) 22(2) a —仁(a)—仁(a+1) • (a —1).［生］解：(1)不正确•本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但(1) 中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解(2) 不正确.错误原因是因式分解不到底，因为 a 2— 1还能继续分解成(a +1) (a — 1)应为 a 4— 1= ( a 2+1) (a 2— 1) = (a 2+1) (a +1) (a — 1).川.课堂练习 (一)随堂练习 1. 判断正误2 2解：(1) X +y = (x +y ) (x — y )；2 2(2) x — y = (x +y ) (x — y );2 2(3) — x +y = ( — x +y ) ( — x — y )22(4) — x — y =—( x +y ) (x — y ) 2. 把下列各式分解因式 解：(1) a 2b 2— m i =(ab ) 2— m 2 =(ab + m ) (ab — m ; (2 ) (m — a ) 2—( n +b )=[(m — a ) + (n +b )] [(m- a ) — ( n +b )] =(m — a +n +b ) (m — a — n — b )；2 2(3) x —( a +b — c )=[x + ( a +b — c ) [x —( a +b — c ) =(x +a +b — c ) (x — a — b +c );44(4) — 16x +81y =(9y 2) 2—( 4x 2) 22 2 2 2=(9y +4x ) ( 9y — 4x )29=(9y +4x ) ( 3y +2x ) (3y — 2 x ) 3. 解：S 剩余=a — 4b1 当 a =3.6, b =0.8 时，2 2 2 2 z 2XS 剩余=3.6 — 4 X 0.8 =3.6 — 1.6 =5.2 X 2=10.4 (cm )答：剩余部分的面积为 210.4 cm .(二)补充练习投影片(§ 4.3.1 B ) 把下列各式分解因式(1) 36 (x +y ) 2— 49 (x — y )2(2) (x —1) +b (1—x );2 2(3) (x +x +1) — 1. 解：(1) 36 (x +y )— 49 (x — y )2 2=[6 (x +y 门—[7 (x —y 厂=[6 (x +y ) +7 (x — y )] :6 (x +y ) — 7 (x — y )] =(6x +6y +7x — 7y ) (6x +6y — 7x +7y ) =(13x — y ) (13y — x );(2) (x — 1) +b 2 (1— x ) =(x — 1)— b 2 (x — 1) =(x — 1) (1 — b 2)(X) (V) (X) (X)=(x —1) (1 + b) (1—b)2 2(3)(x+x+1) —12 2=(x +X+1+1 ) (x +x+1 —1)=(x2+x+2) (x2+x)2=x (x+1) (x +x+2)IV.课时小结我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法•如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行•第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止•V.课后作业习题4.421. 解：(1) a —81= (a+9) ( a—9);2(2)36 —x = (6+x) (6—x);2 2(3) 1 —16b=1—( 4b) = (1+4b) (1 —4b)2 2(4)m —9n = (m+3 n) (m- 3n);2 9(5)0.25 q —121p=(0.5 q+11p) (0.5 q—11p);2 2(6)169x —4y = (13x+2y) (13x—2y);/ 、2 2 .22(7)9a p —b q=(3ap+bq) ( 3ap—bq);49 2 22 7 7(8) a —x y = ( a+xy) ( a —xy); 4 2 22 22. 解: (1) (mm) —n= (m+n+n) (m+n—n) = m (m+2 n);2 2(2) 49 (a—b) —16 (a+b)2=[7 (a—b)] —[ 4 (a+b)]=:7 (a—b) +4 (a+b)] :7 ( a—b)—4 (a+b)]=(7a—7b+4a+4b) (7a—7b—4a—4b)=(11a—3b) (3a—11b);2 2(3)(2x+y) —( x+2y)=(2x+y) + (x+2y)] [(2x+y) — ( x+2y)]=(3x+3y) (x—y)=3 (x+y) (x—y);(4)(x +y ) —x y/22 、/22 、=(x +y +xy) (x +y —xy);2 4 2 4(5)3ax —3ay =3a (x —y )2 2=3a (x+y) (x—y )(6)p4—仁(p2+1) ( p2—1)2=(p+1) (p+1) (p—1).3.解：S环形=n R —n r 2= n ( R —r2)=n (R+r) (R—r)当R=8.45, r=3.45 , n =3.14 时，S环形=3.14 X( 8.45+3.45 ) (8.45 —3.45 ) =3.14 X 11.9 X 5=186.83 (cm i)2答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm .W .活动与探究把(a +b +c ) ( bc +ca +ab )— abc 分解因式 解: (a +b +c ) (bc +ca +ab )— abc =[a + ( b +c )] [bc +a (b +c )]— abc22=abc +a (b +c ) +bc (b +c ) +a (b +c ) — abc22=a (b +c ) +bc (b +c ) +a (b +c ) =(b +c ) [a +bc +a ( b +c )]2=(b +c ) [ a +bc +ab +ac ] =(b +c ) [ a ( a +b ) +c (a +b )] =(b +c ) (a +b ) (a +c ) •板书设计解：(1) 49x — 121y =(7x +11y ) ( 7x — 11y ); 2 2 2 2(2) — 25a +16b = (4b ) —( 5a )=(4b +5a ) (4b — 5a )； (3) 144a 2b 2— 0.81 c 2 =(12ab +0.9c ) (12ab — 0.9 c ); (4) — 36x 2+坐 y 2= ( 7y ) 2—( 6x ) 2648=(7y +6x ) ( -y — 6x );8 82(5) (a — b ) — 1= (a — b +1) (a — b — 1);2 2•备课资料 参考练习把下列各式分解因式:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)(8)2 249x — 121y ; 2 2—25a +16b ; 2 2 2 144a b — 0.81 c ;249 2.—36x +y ;64(a — b ) 2— 1;2 29x —( 2y +z );2 2 (2m- n ) —( m- 2n );49 (2a — 3b ) 2— 9 (a +b ) 2.(6)9x —( 2y+z)=[3x+ (2y+z)] :3x—( 2y+z门=(3x+2y+z) (3x—2y —z);2 2(7)(2m—n) —( m—2n) =[(2 m—n) + (m-2n)][(2 m—n) — ( m—2n)=(3 m— 3n) (m+ n)=3 (m—n) (m+ n)2 2(8)49 (2a —3b) —9 (a+b)2=:7 (2a—3b) —[ 3 (a+b)=:7 (2a—3b) +3 (a+b) : 7 (2a—3b)—3 (a+b)=(14a—21b+3a+3b) (14a—21b—3a—3b) =(17a—18b) (11a—24b)。