因式分解(公式法之完全平方公式与平方差公式)
因式分解之四大基本解法
因式分解之四大基本解法知识锦囊经典例题【必会考点1】提取公因式1．因式分解：2281012x y xy --【解答】解：原式222(456)x y xy =--2(43)(2)xy xy =+-．2．因式分解：324824m m m -+-．【解答】解：32248244(26)m m m m m m -+-=--+．3．因式分解：325()10()x y y x -+-．【解答】解：325()10()x y y x -+-325()10()x y x y =-+-25()[()2]x y x y =--+25()(2)x y x y =--+．4．因式分解：3()3()a x y b y x ---．【解答】解：3()3()a x y b y x ---3()3()a x y b x y =-+-3()()x y a b =-+．【必会考点2】公式法1．因式分解：（1）22169x y - （2）22222()4x y x y +-． 【解答】解：（1）原式22(4)(3)(43)(43)x y x y x y =-=+-；（2）原式222222(2)(2)()()x y xy x y xy x y x y =+++-=+-．2．分解因式：22(23)m m -+．【解答】解：原式(23)(23)m m m m =++--(33)(3)m m =+--3(1)(3)m m =-++．3．因式分解：2()6()9x y y x -+-+【解答】解：2()6()9x y y x -+-+2()6()9x y x y =---+2(3)x y =--．【必会考点3】提取公因式与公式法综合1．因式分解：（1）2x xy -； （2）329189x x x -+； 【解答】解：（1）22(1)(1)(1)x xy x y x y y -=-=+-；（2）322291899(21)9(1)x x x x x x x x -+=-+=-；2．因式分解：（1）244am am a -+； （2）22()()a x y b y x -+-． 【解答】解：（1）22242(44)(2)am am a a m m a m -+=-+=-；（2）2222()()()()()()()a x y b y x x y a b x y a b a b -+-=--=-+-．【必会考点3】分组分解法1．因式分解：2m my mx yx -+- 【解答】解：（3）2m my mx yx -+-2()()m my mx yx =-+-()()m m y x m y =-+-()()m y m x =-+.2．因式分解：2221b bc c -+-【解答】解：2221b bc c -+-2()1b c =--(1)(1)b c b c =-+--．【必会考点4】十字相乘法1．因式分解：（1）256x x +- （2）2234a ab b -- 【解答】解：（1）256(1)(6)x x x x +-=-+（2）2234a ab b --(4)()a b a b =-+．2．分解因式：2231x x -+【解答】解：2231(1)(21)x x x x -+=--.巩固练习1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．2．分解因式：（1）()()x x a y a x -+- （2）321025x y x y xy -+3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +-4．分解因式：222(4)16m m +-．5．分解因式（1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--．6．因式分解：22436x xy x y -+-7．因式分解：22144a ab b -+-8．分解因式（1）2249x y - （2）2221x y y -+-9．分解因式：22221x y x y -+-．10．分解因式①226x x -- ②332x x -+11．分解因式：2228x xy y --．12．十字相乘法因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x --（3）2231x x -+ （4）2656x x +-．13．因式分解：（1）23a b b -； （2）1n m mn -+-；（3）2221x x y -+-； （4）2()()()x y x y x y -++-14．把下列各式分解因式：（1）225x -； （2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+； （4）3222a a b ab -+-．15．因式分解：（1）236x xy x -+； （2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．巩固练习解析1．因式分解：（1）2()3()m a b n b a ---； （2）2282()x x y --．【解答】解：（1）2()3()m a b n b a --- 2()3()m a b n a b =-+- ()(23)a b m n =-+；（2）2282()x x y --222[4()]x x y =-- 2(3)()x y x y =-+．2．（1）分解因式()()x x a y a x -+- （2）分解因式321025x y x y xy -+ 【解答】（1）解：()()x x a y a x -+- (x =x a -)(y -x a -) (=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+ (xy =21025)x x -+ (xy =25)x -．3．因式分解：53242357a b c a b c a bc +- 【解答】解：原式322(57)a bc a b c ab =+-； 4．分解因式：222(4)16m m +-． 【解答】解：222(4)16m m +-22(44)(44)m m m m =+++- 22(2)(2)m m =+-．5．分解因式 （1）222(1)4a a +- （2）229()25()a b a b +--． 【解答】解：（1）222(1)4a a +-22(12)(12)a a a a =+++- 2(1)a =+2(1)a -； （2）229()25()a b a b +--[3()5()][3()5()]a b a b a b a b +=+--+- .4(4)(4)a b b a =--．6．因式分解：22436x xy x y -+- 【解答】解：原式2(2)3(2)x x y x y =-+- (2)(23)x y x =-+．7．22144a ab b -+-【解答】解：22144a ab b -+-221(44)a ab b =--+ 21(2)a b =--(12)(12)a b a b =+--+．8．分解因式 （1）2249x y - （2）2221x y y -+-【解答】解：（1）原式(23)(23)x y x y =-+； （2）原式22(21)x y y =--+22(1)x y =--(1)(1)x y x y =+--+．9．分解因式：22221x y x y -+-．【解答】解：原式222222(1)1(1)(1)(1)(1)(1)x y y y x y y x =-+-=-+=+-+． 10．分解因式 ①226x x -- ②332x x -+【解答】解：①226(23)(2)x x x x --=+-； ②332x x -+ 342x x x =-++ (2)(2)(2)x x x x =+-++2(2)(21)x x x =+-+ 2(2)(1)x x =+-．11．分解因式：2228x xy y --． 【解答】解：2228x xy y -- (4)(2)x y x y =-+．12．十字相乘法因式分解： （1）256x x ++ （2）256x x -- （3）2231x x -+ （4）2656x x +-．【解答】解：（1）原式(2)(3)x x =++； （2）原式(6)(1)x x =-+； （3）原式(21)(1)x x =--； （4）原式(23)(32)x x =+-． 13．因式分解： （1）23a b b -； （2）1n m mn -+-； （3）2221x x y -+-；（4）2()()()x y x y x y -++-【解答】解：（1）原式22()()()b a b b a b a b =-=-+；（2）原式(1)()(1)(1)(1)(1)n m mn n m n m n =-+-=-+-=+-；（3）原式2222(21)(1)(1)(1)x x y x y x y x y =-+-=--=---+；（4）原式()()2()x y x y x y x x y =--++=-．14．把下列各式分解因式：（1）225x -；（2）2816a a -+；（3）2()9()x x y x y +-+；（4）3222a a b ab -+-．【解答】解：（1）原式(5)(5)x x =+-；（2）原式2(4)a =-；（3）原式2()(9)x y x =+-()(3)(3)x y x x =++-；（4）原式22(2)a a ab b =--+2()a a b =--．15．因式分解：（1）236x xy x -+；（2）3241628m m m -+-；（3）2318()12()a b b a ---．【解答】解：（1）236(361)x xy x x x y -+=-+；（2）322416284(47)m m m m m m -+-=--+；（3）23218()12()6()(322)a b b a a b a b ---=-+-．。
完全平方公式法因式分解
1.
7.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值； (2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当a－b＝3时，原式＝32＝9. (2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
因式分解的平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)
因式分解的完全平方公式：
a2+2ab+b2= (a+b) 2
a2－2ab+b2= (a－b) 2
例3：因式分解： (1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
3. 完全平方公式： (a+b) 2 =a2+2ab+b2.
(a－b) 2 =a2-2ab+b2
完全平方公式： (a+b) 2=a2±2ab+b2.
1.整式的乘法 (1). (p+1) 2 = ______ (2). (m+2) 2 =______ (3). (p-1) 2 =______ (4). (m-2) 2 =______ (5). (a+b) 2 =_______ (6). (a-b) 2 =_______
(1).两个数的平方和加上这两个数的积的2倍， 等于这两个数的和的平方;
(2).两个数的平方和减去这两个数的积的2倍， 等于这两个数的差的平方.
特点:1.共有三项、2.有两个平方项、 3.另一项两个数乘积的正或负2倍。
完全平方公式因式分解
灵活应用: 灵活应用:
(1)2006 − 6
2 2 2 2
2
(2)13 − 2 ×13 × 3 + 9 (3)11 + 39 + 66 ×13
小结
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 正确选取a,b. 注意 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
注意: 注意
(1)正确选取 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清
分解因式
(1)3am + 3an + 6amn
2 2
(2) − a
2
− 4b + 4ab
2
2
(3) -8a(2a+b)-b
应用范围: 二次三项式. 应用范围 二次三项式 注意:(1)正确选取 注意 正确选取a,b. 正确选取 (2)公式分清 公式分清. 公式分清 (3)在因式分解中，通常先观察 在因式分解中， 在因式分解中 所给多项式是否有公因式， 所给多项式是否有公因式， 然后在考虑用公式。 然后在考虑用公式。 （4）二项式若有负号，要提出符号 ）二项式若有负号， (5)对于部分题目需要整理变形 对于部分题目需要整理变形
2 就得到
a + 2ab + b = (a + b) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
a + 2ab+ b = (a+ b) 2 2 2 a − 2ab+ b = (a − b )
因式分解--完全平方公式 - 基础版
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2) –x2+4xy–4y2.
12
知识点二：运用完全平方公式分解因式
典例讲评
分解因式：(1) 16x2+24x+9
(2x)2，9=32，24x=2·4x·3,
（来自《教材》）
14
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
2.下列各式中,可以利用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.2x2+4x+1 B.4x2-12xy+9y2 C.2x2+4xy+y2 D.x2-y2+2xy 3.(易错题)若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值是( ) A.4 B.-4 C.±8 D.±4 4.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.-a2-4ab+4b2 B .a2+6ab-9b2 C.a2+2ab+4b2 D.4(a-b)2+4(a-b)+1
所以16x2+24x+9是一个完全平方式。
解：16x2+24x+9= (4x)2+ 2 ·4x ·3 + 32
a2 + 2 ·a ·b + b2
=(4x+3)2.
（来自《教材》）
13
知识点二：运用完全平方公式分解因式
学以致用
1.分解因式：① x2+12x+36 ③ a2+2a+1
② -2xy-x2-y2 ④ 4x2-4x+1
典例讲评
完全平方公式和平方差公式有哪些
完全平方公式和平方差公式有哪些完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决一些与平方数相关的问题时发挥着重要的作用。
下面将详细介绍完全平方公式和平方差公式的定义和应用。
一、完全平方公式完全平方公式是指将一个二次多项式转化为一个完全平方式表示的公式。
二次多项式可以写成\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，a和b可以是任意实数。
完全平方公式通过将二次多项式写成一个完全平方式的形式，可以方便地进行运算和化简。
完全平方公式的应用十分广泛，特别是在因式分解与整式运算、解二次方程、求函数的最值等方面，其作用不可忽视。
二、平方差公式平方差公式是指将两个数的平方差表示为一个因式的形式的公式。
平方差公式有两种常见形式：1. \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\)其中，a和b可以是任意实数。
平方差公式可以应用于因式分解、整式运算等问题的解答。
2. \(a^2 + b^2 = (a + bi)(a - bi)\)其中，a和b表示实数，i为虚数单位。
当b不为0时，该公式可以应用于复数运算，如复数的乘法和除法。
当b为0时，该公式可以用于判定一个实数是否为一个复数的平方。
平方差公式的广泛应用使得解决与平方数相关的问题变得更加简便。
总结：完全平方公式和平方差公式是数学中常用的公式，它们在解决与平方数相关的问题时发挥着重要作用。
完全平方公式将二次多项式转化为完全平方式，便于运算和化简；平方差公式通过将平方差表示为因式的形式，方便因式分解、整式运算和复数运算等问题的解答。
这些公式的应用广泛，对于学习和应用数学都至关重要。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的公式来解决与平方数相关的问题。
熟练掌握完全平方公式和平方差公式的定义、应用和证明，将会极大地提高我们在数学领域的能力和解题技巧。
通过不断的练习和实践，我们可以更好地理解和运用这些公式，为解决更复杂的数学问题打下坚实的基础。
第3课 因式分解
2x＋1＝(x＋1)2，故本项错误；③等式的右边不是乘积形
式，不是因式分解，故本项错误；④2x＋4＝2(x＋2)，故
本项正确．
【纠错】 ④ ★名师指津 因式分解是将一个多项式变形为几个因式
的乘积的形式．在变形的过程中，应注意避免将部 分多项式转化成几个因式乘积的形式，导致式子最 后的形式是和的形式，从而没有正确地进行因式分 解．
【答案】 D
【类题演练 1】 下列式子变形是因式分解的是 ( ) A．x2－2x－3＝x(x－2)－3 B．x2－2x－3＝(x－1)2－4 C．(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3 D．x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)
【解析】 A．没把一个多项式转化成几个整式积的形式， 故本选项错误． B．没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项 错误． C．是整式的乘法，故本选项错误． D．把一个多项式转化成几个整式积的形式，故本选项正 确．
2．用完全平方公式分解因式时，其关键是掌握公式的特 征．
【典例 3】 (2018·贺 州 ) 下 列 各 式 分 解 因 式 正 确 的 是
() A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2 B．2x2－4xy＋9y2＝(2x－3y)2 C．2x2－8y2＝2(x＋4y)(x－4y) D．x(x－y)－y(y＋x)＝(x－y)(x＋y) 【解析】 A．x2＋6xy＋9y2＝(x＋3y)2，故本选项正确． B．2x2－4xy＋9y2 无法分解因式，故本选项错误． C．2x2－8y2＝2(x＋2y)(x－2y)，故本选项错误． D．x(x－y)－y(y＋x)无法分解因式，故本选项错误．
2．提取公因式法常用的变形有 a－b＝－(b－a)，当 n 为 奇数时，(a－b)n＝－(b－a)n；当 n 为偶数时，(a－b)n ＝(b－a)n．
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式因式分解
平方差公式和完全平方公式是数学中常用的公式，在因式分解中起到了重要作用。
以下是这两个公式的介绍和因式分解方法：
1. 平方差公式：
平方差公式用于因式分解具有平方项的差的平方。
其公式为：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)。
利用此公式，我们可以将一个差的平方写成两个因数的乘积。
2. 完全平方公式：
完全平方公式用于因式分解一个二次多项式。
其公式为：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2。
利用完全平方公式，我们可以将一个二次多项式写成一个完全平方的形式。
因式分解示范：
1. 平方差公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 - 9。
根据平方差公式，我们有：x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)。
2. 完全平方公式因式分解：
假设我们要因式分解x^2 + 6x + 9。
根据完全平方公式，我们有：x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2。
通过使用平方差公式和完全平方公式，我们可以将一个多项式因式分解为乘积的形式。
这两个公式在代数中的应用非常广泛，帮助我们简化表达式，解决方程和证明数学性质等问题。
需要注意的是，因式分解可能会涉及到更复杂的多项式和多步操作。
理解和熟练运用这些公式，可以在数学问题求解中提高效率和准确性。
沪科版七年级下册数学8.4因式分解公式法课件
2.小试牛刀
把下列各式分解因式：
（1）x2 – 4= (x+2)(x-2) （2）x2-2xy+y2 = (x-y)2 （3）1-36n2 = (1+6n)(1-6n) （4）y2-6y+9 = (y-3)2
探究(二) 1.视察以上“小试牛刀”的多项式, 回答
从因式分解的角度用语言叙述为:
如果一个三项式能化为“两个数的平方 和加上(或减去)这两个数的积的2倍”, 那么 它就能分解为“这两个数的和(或差)的平方”.
如果一个二项式能化为“两个数的平方 差”, 那么它就能分解为“这两个数的和与这 两个数的差的积”.
例如 x2 +8x+16= (x+4)2 x2-16= (x+4)(x-4)
（3）4x2- 100=(2x+10)(2x-10) （4）9y2-6y+1 =(3y-1)2 （5）25m2-80m+64 =(5m-8)2 （6）-16+a2b2 =(ab+4)(ab-4)
素养提升 例题2. 把下列各式的分解因式:
（1）(a+b)2-4(a+b)+ 4
（2）x4 – 81 （3）4a2-3b(4a-3b)
2021-280217 =4035
七、作业: P78 习题 第4题
广西靖西市第二中学
电教处录制
202X年4月23日
八、课外拓展 1.如果4x2-12xy+ n是一个 完全平方式, 那么n为 9y2 。
2.如果x2+ mxy+9y2是一个完 全 两道题都是三项式,其中二项有平方且同号, 第三项是底数乘积的2倍, 则能用完全平方公式.
因式分解(完全平方公式)课件
因式分解(完全平方公式)是将多项式分解成平方因子的特殊方法。
完全平方公式的原理
1 平方公式
平方公式是指一个二次方程的两个解之和等于系数b的相反数，而两个解的乘积等于系数 c。
2 完全平方公式的推导
完全平方公式的推导基于平方公式，通过对多项式进行平方运算。
3 常用的完全平方公式
因式分解(完全平方公式) 课件
因式分解(完全平方公式)是一种数学方法，用于将多项式分解成较简单的因子。 它的原理基于完全平方的特性，可以帮助我们解决各种数学问题。
什么是因式分解(完全平方公式)
1 定义
因式分解是将一个多项式分解成多个乘积的过程，每个乘积都被称为因子。
2 完全平方
一个完全平方是一个数的平方，例如4的完全平方是16。
1
确定多项式的类型
首先，我们需要确定多项式的类型，是一个二次方程还是其他类型的多项式。
2
提取公因子
然后，我们可以尝试提取多项式的公因子，使其更容易进行因式分解。
3
应用完全平方公式
接下来，我们可以根据所学的完全平方公式，将多项式分解成平方因子。
因式分解(完全平方公式)的例子
二次方程
多项式
例如，我们可以用因式分解(完全 平方公式)来解决二次方程的问题。
常用的完全平方公式包括平方差公式和平方和公式。
完全平方公式的应用
求解方程
完全平方公式可以帮助我们求 解二次方程，找到方程的解。
化简多项式
通过因式分解(完全平方公式)， 我们可以将复杂的多项式化简 为更简单的形式。
探索数学关系
通过分析完全平方公式，我们 可以发现数学中的一些有趣的 关系和特性。
因式分解(完全平方公式)的步骤
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式
一、方差公式
方差（Variance）是衡量集中趋势的数学描述，在统计学中，方差是衡量数据集偏离数据平均值的程度。
它的定义是：一组随机变量（x1,
x2,…, xn）的方差是它们的联合分布的第二阶水平的中心，它表示这些变量的变异程度。
用数学公式表示为：
s^2=〖1/(n-1)〗Σ〖(x_i-x)^2〗
其中：〖x_i〗
表示第i个数据；x
表示数据的平均值；n表示数据的个数；s
表示样本标准差；Σ
表示所有数据的和。
完全平方公式（Quadratic Formula）是一种求解多项式方程的技巧,它避免了用二元因式去求多项式的因式分解。
它是一个多项式方程的解，可以用来求解2次项的方程（ax²+bx+c = 0）。
完全平方公式可以将多项式的二次幂公式解写成一般的对应形式，即“x=（-b±√b²-4ac）
/2a”。
其中：a、b和c分别是方程中的常数，x表示方程的未知变量。
这里使用公式推导：
假设ax²+bx+c=0，换句话说就是求ax²+bx+c=0的根。
令：X1和X2分别表示ax2+bx+c=0的两个根。
前两项a和b的系数可以用完全平方公式求出。
首先，将X1和X2带入方程ax²+bx+c=0，可以得到：
aX1²+bX1+c=0
aX2²+bX2+c=0
相减可以得到：
a（X1²-X2²）=b（X2-X1）
进一步计算可以得到：
X1+X2=-b/a
X1X2=c/a。
8.因式分解-----公式法课件数学沪科版七年级下册
解：（1）原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)
（2）原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
分解后的结果中若出现公因 式，一定要再用提公因式法 继续分解.
2.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36；
（1）ab2-ac2;
(2)3ax2+24axy+48ay2. 48a=3a×16
(1)解：ab2-ac2 =a(b2-c2) （提取公因式） =a(b+c)(b-c).（用平方差公式）
(2)解：3ax2+24axy+48ay2 =3a(x2+8xy+16y2) （提取公因式） =3a[x2+2·x·4y+(4y)2] =3a(x+4y)2. （用完全平方公式）
（2）原式=－ 3（x2 -2xy +y2） =－3(x－y )2.
3.分解因式： （3）5m2a4－5m2b4； （4）a2－4b2－a－2b.
解：（3）原式＝5m2(a4－b4) ＝5m2(a2＋b2)(a2－b2) ＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b).
（4）原式＝(a2－4b2)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b) ＝(a＋2b)(a－2b－1).
整式乘法
( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
类比平方差公式，把整式乘法的完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
平方差公式完全平方公式
平方差公式完全平方公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2这两个公式在代数中非常重要，可以帮助我们简化计算、理解代数式的结构和性质。
下面，我们分别详细介绍这两个公式。
一、平方差公式我们先来看一个具体的例子：要将25-16表示为两个数的积。
根据平方差公式：25-16=(5+4)(5-4)=9通过平方差公式，我们将25-16这个差值分解为两个数的积，即5+4和5-4相乘得到9、这种分解可以帮助我们更方便地计算。
假设a和b是两个实数，并且a>b。
我们要求a^2-b^2的值。
根据乘法公式，a^2-b^2可以改写为(a-b)(a+b)。
我们可以将a-b视为一个因式，在它的后面添加括号(a+b)。
这样，我们得到了一个完整的乘法运算式：(a-b)(a+b)。
我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + ab - ab - b^2我们可以看到，中间的两项ab和-b^2可以合并为0，最终得到a^2 - b^2总结一下，平方差公式的表达式为：a^2-b^2=(a+b)(a-b)这个公式可以帮助我们处理二次差值的问题，简化计算。
完全平方公式是指将一个二次多项式写成一个平方的形式，即：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2我们来看一个具体的例子：要将x^2+6x+9表示为一个平方。
根据完全平方公式：x^2+6x+9=(x+3)^2通过完全平方公式，我们将x^2+6x+9这个二次多项式写成了(x+3)^2的形式。
这种形式更简洁，也更容易理解。
完全平方公式的推导如下：我们假设a和b是两个实数，并且a>b。
我们要求a^2 + 2ab + b^2的值。
根据平方差公式的推导过程，我们可以将a^2 + 2ab + b^2写成一个完整的乘法运算式(a + b)(a + b)。
我们可以再次应用乘法公式，将这个式子展开，得到a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，中间的两项2ab和b^2可以合并为2ab + b^2，最终得到了原来的二次多项式。
4.3.2公式法(完全平方公式)
完全平方公式与因式分解关系
你能用不同的方式表示图形的面积吗？
方法一：（a+b）2
方法二：a2+2ab+b2
b
整式乘法
a
（a+b）2
= a2+2ab+b2
因式分解
a
b
完全平方公式与因式分解关系
事实上，把乘法公式的(完全平方公式)： (a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b² 反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)
课堂小结
公式 完全平方公式 特 点 分解因式
步骤
a2±2ab+b2=(a±b)2
（1）要求多项式有三项. （2）其中两项同号，且都可以写成某 数或式的平方，另一项则是这两数或式 的乘积的2倍，符号可正可负.
一提、二套、三查
课后作业
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
课后作业
5.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2 =(x－6)2;
(2)原式=[2(2a+b)]²－ 2·2(2a+b)·1+(1)² =(4a+2b － 1)2;
a²+2ab+b²=(a+b)²， a²-2ab+b²=(a-b)²
形如 （a²±2ab+b²）的式子称为完全平方式.
根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公 式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做 公式法 .
专题：完全平方公式,十字相乘法
13
完成作业2.27作业
14
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
15
＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
x2 4x 22 y2 10 y 52 0
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， 几个非负数的和为0， ∴x－2＝0，y－5＝0， 则这几个非负数都为0. ∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
知识要点2
十字相乘法
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
11
(1)X2-7x+12 x x
(3)x2+8x+12
(2)x2-4x-12 (4)x2-11x-12
(5) 2x2-7x+3
(6) 5x2+6xy-8y2
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),
故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的
值为___±__8___.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解 因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
十字交叉因式分解
十字交叉因式分解是什么
十字交叉法因式分解：先将二次项系数拆成两个乘积的形式，再将常数项拆成两个乘积的形式，然后交叉乘积后等于一次项系数。
1、提取公因式法。
2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。
例如：配方法和十字交叉法等。
(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2。
(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3。
(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3。
这就是所谓的双十字相乘法。
因式分解方法灵活
学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合
分析和解决问题的能力。
用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式。 用完全平方公式分解因式。 提取公因式法 （2）因式分解通常考虑______________方法。 因式分解通常考虑______________方法。 ______________方法 彻底 （3）因式分解要_________ 因式分解要_________
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？ 与你分享吗？
用完全平方公式分解因式
(a + b ) = a + 2ab + b
2 2
2 2
(a − b ) = a − 2ab + b
2 2
两数和（或差）的平方， 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方 和，加上（或减去）这两数的积的2倍。 加上（或减去）这两数的积的2
两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 倍，等于这两个数和（或差）的平方。 等于这两个数和（或差）的平方。
2 2
(4) 4 y + 2 xy + y
2
2
练一练：按照完全平方公式填空： 练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a − 10a + ( 25 ) = ( a − 5 )
2
2 2
2
(2) ( a y ) + 2ay + 1 = ( ay + 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 − ( rs ) + r s = ( − rs ) 4 2
例1：把下列各式分解因式
(1) 4a + 12ab + 9b
2
2
1 2 (2) a + ab + b 4
2
(3) − x + 4 xy − 4 y
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因式分解基础习题
（公式法）
专题训练一：利用平方差公式分解因式
题型(一)：把下列各式分解因式
1.24x -
2.2
9y - 3.21a -
4.224x y -
5.2125b -
6.222
x y z - 7.2240.019m b - 8.2219
a x - 9.2236m n -
10.2249x y - 11.220.8116a b - 12.222549p q -
13.2422a x b y - 14.41x - 15. 44411681
a b m -
题型(二)：把下列各式分解因式
1.22()()x p x q +-+
2. 22
(32)()m n m n +--
3.2216()9()a b a b --+
4.22
9()4()x y x y --+
5.22()()a b c a b c ++-+-
6.22
4()a b c -+
题型(三)：把下列各式分解因式
1.53x x -
2.22
4ax ay - 3.322ab ab -
4.316x x -
5.2433ax ay -
6.2
(25)4(52)x x x -+-
7.324x xy - 8.343
322x y x - 9.4416ma mb -
10.238(1)2a a a -++ 11.416ax a -+
12.2216()9()mx a b mx a b --+
题型(四)：利用因式分解解答下列各题
1.证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
2.计算
⑴22758258- ⑵22429171-
⑶223.59 2.54⨯-⨯
⑷222221
1111(1)(1)(1)(1)(1)
234910---⋅⋅⋅--
专题训练二：利用完全平方公式分解因式
题型(一)：把下列各式分解因式
1.221x x ++
2.2441a a ++
3. 2169y y -+
4.2
14m m ++ 5. 221x x -+
6.2816a a -+
7.2144t t -+ 8.21449m m -+ 9.2
22121b b -+ 10.214
y y ++ 11.2258064m m -+ 12.243681a a ++
13.22
42025p pq q -+ 14.2
24x xy y ++ 15.2244x y xy +-
题型(二)：把下列各式分解因式
1.2()6()9x y x y ++++
2.222()()a a b c b c -+++
3.2412()9()x y x y --+-
4.22()4()4m n m m n m ++++
5.()4(1)x y x y +-+-
6.22(1)4(1)4a a a a ++++
题型(三)：把下列各式分解因式
1.222xy x y --
2.223
44xy x y y -- 3.232a a a -+-
题型(四)：把下列各式分解因式 1.221222
x xy y ++ 2.42232510x x y x y ++
3.2232ax a x a ++
4.2222
()4x y x y +-
5.2222()(34)a ab ab b +-+
6.42
()18()81x y x y +-++
题型(五)：利用因式分解解答下列各题
1.已知： 2211128,22
x y x xy y ==++，求代数式的值。
2.3322322
a b ab +==已知，，求代数式a b+ab -2a b 的值。
3.已知：222
0a b c ABC a b c ab bc ac ++---=、、为△的三边，且， 判断三角形的形状，并说明理由。