用完全平方公式分解因式
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
利用完全平方公式因式分解
15.5.２利用完全平方公式因式分解一、回顾 与 思考、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2=4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式222241(1)49(2)(3)94(4)1625a x x y x ----+6、二、新知:(1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b2三、探究：完全平方公式：()2222a ab b a b ++=+公式应用的特征:左边 ：结果： 四、练一练1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b.22222(4)44(5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++五、例1:把下列各式因式分解例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++六、练一练1、分解因式七、灵活运用1、已知51=+x x ，那么221x x+=_______。
2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
3、分解因式()()49142++-+y x y x =____________________。
八、随堂检测()2__________________a b +=()2__________________a b -=()2222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249x x ++()22344x xy y -+-()()22221123622(3)21y y xy x y a a ++---++()()222322444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()222221123622(3)214441a a ab a b x x y y ++---++-+。
用完全平方公式进行因式分解
4y2=22y2=（2y）2
运用了积的乘方的逆 运用公式！
分解因式： (1) －2xy－x2－y2 (2) 4(m+n)2+24(m+n)+36 (3) ax2+2a2x+a3
(解析：） (1) －2xy－x2－y2
解：原式=-(2xy+x2+y2)
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2
例1：下列各式是不是完全平 方式
(1)a2+b2+2ab 是 (2)-2xy+x2+y2 是
(3)6x2-9xy+10y2不是(4)4a2+12ab+9b2 是
(5)x2+x+
1 4
是 (6)a2+6ab+b2 不是
(7)-x2+2xy-y2 是 (8)x2+y2
不是
例2：请补上一项，使下列多项式成为完全 平方式。
(2) 4(m+n)2+24(m+n)+36
解：原式=[2(m+n)]2+ 2×2（m+n)×6+62
=[2(m+n)+6]2
=(2m+2n+6)2
=[2(m+n+3)]2
=4(m+n+3)2
(3) ax2+2a2x+a3 解：原式=a.x2+a.2ax+a.a2
=a(x2+2ax+a2) =a(x2+2.x.a+a2) =a(x+a)2
解：(1)3ax2+6axy+3ay2
用完全平方公式因式分解教学设计
《用完全平方公式因式分解》的教学设计及反思一、教学目标：1、会用完全平方公式分解因式。
2、会综合运用提取公因式法、公式法分解因式。
3、通过对完全平方公式的逆向变形及将一个整式看做“元”进行分解，发展学生的观察、类比、归纳、预见等能力，进一步体会换元思想，提高处理数学问题的技能。
二、重点和难点：重点：用完全平方公式因式分解。
难点：由于用完全平方公式因式分解的关键是能否判断一个多项式是否为完全平方式，因此准确判断一个多项式是否为完全平方式是本课的一个难点。
而例4分解和化简过程比较复杂，并要求用换元的思想来因式分解，是本节教学的另一个难点。
三、教学过程：（一）、用完全平方公式因式分解之引入篇（1）做一做：把下列各式分解因式（学生上台板演）（1）ax4－ax2（2）16m4－n4估计有部分学生只是把多项式16m4－n4分解到（4m2+ n2）（4m2－ n2）的形式，教师予以强调指出必须分解到每个因式不能分解为止。
（2）考一考a、除了平方差公式外，还有那些公式？b、如何表示？（a+b）2=a2+2ab+b2（a－b）2=a2－2ab+b2c、怎样用语言表述？d、公式应该怎么写？(a±b)2=a2±2ab+b2反过来，可得a2±2ab+b2=(a±b)2两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方。
形如a2±2ab+b2的多项式称为完全平方式.实质为：两数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍．给出完全平方式的概念。
（二）、用完全平方公式因式分解之辨析篇判别下列各式是不是完全平方式：(1)x2+y2; (2)a2-6a+9;(3)△2-2×△×□+□2; (4)m2+2mn-n2.（三）、用完全平方公式因式分解之归纳篇a2±2ab+b2完全平方式的特点：1．有三项组成．2．其中有两项分别是某两个数（或式）的平方．3. 另一项是上述两数（或式）的乘积的2倍，符号可正可负．（四）、用完全平方公式因式分解之探索篇对照a2±2ab+b2=(a±b)2，你会吗？1、x2+4x+4= ( )2+2( )( )+( )2 =( + )22、m2-6m+9=( )2- 2( )( )+( )2 =( - )2注意：公式中的a、b可以表示单项式甚至是多项式。
用完全平方公式因式分解
注意符号 哦！！！
解：原式＝ - （x2 – 4xy + 4y2 ） = - ( x – 2y )2
1、下列分解因式正确的是（ B ）
A、1+4x2 =(1+2x)2
B、a2+6a+9 = (a+3)2 C、1+4m- 4m2=(1-2m)2
小心变形哦
D、x2+xy+y2=(x+y) 2
2、把下列各式分解因式：
（1）有 三 项组成。
（2）有两项分别是某两个数（或式）的
平方，
且这两项 同 号.
（3）交叉项是上述两数（或式）的乘积的 2倍或-2 倍
我们把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫做完全平方式。
16x2 －+24x+9
. . (4x)2 －+ 2 4x 3 +32
. . a2 －+ 2 a b + b2
(1)4x2-4x＋1
(2) -2xy-x²-y²
我们已经学习了两种方法进行因式分解： 第一种是提公因式法， 第二种运用公式法：如果多项式是二项式，
考虑运用平方差公式，如果多项式是三项式， 考虑运用完全平方公式。
(1)3ax2 + 6axy＋ 3ay2
注意啦！如果多项式中有公因式，应先提取公因式！
简单记成：一提二套三彻底
练一练：把下列各式分解因式： （1） ax2 + 2a2x + a3
（2）(m + n )2 + 4(m + n) + 4
求华
学习目标：
1、经历用完全平方公式法分解因式的探索过程， 理解公式的意义。
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。
根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。
2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。
3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。
这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。
对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。
否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。
下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。
例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。
根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。
例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。
除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。
差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。
在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。
因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。
运用完全平方公式因式分解教学参考
第1课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)一、情境导入1.分解因式：(1)A2—4/；(2)3/-3/;(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.［类型二］运用完全平方公式分解因式≡3因式分解：(1)—3a2—+24,才一48 才;(2)(才+4) 2 —16 才.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.【类型三】利用完全平方公式求值(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.［类型四］运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342÷34×32 + 162;(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.［类型五］利用因式分解判定三角形的形状(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，并说明理由.解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可.解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.［类型六］整体代入求值［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是一种分解因式的方法，适用于形如$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$的二次多项式。
根据完全平方公式，可将这样的二次多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$。
例如，对于多项式$x^2+6x+9$，我们可以使用完全平方公式将其进行因式分解。
根据完全平方公式，我们知道该多项式可以写成$(x+3)^2$的形式。
因此，因式分解的结果为$(x+3)(x+3)$或$(x+3)^2$。
接下来，我们将介绍用完全平方公式分解因式的步骤。
步骤1：观察多项式是否满足完全平方公式的形式。
一个二次多项式可以写为$a^2+2ab+b^2$或$a^2-2ab+b^2$。
步骤2：确定$a$和$b$的值。
根据多项式中的系数和幂运算，我们可以计算出$a$和$b$的值。
例如，在$x^2+6x+9$中，$a$的值是$x$，$b$的值是$3$。
需要注意的是，$a$和$b$的值可能是复数。
步骤3：将$a$和$b$的值代入完全平方公式。
对于多项式$a^2+2ab+b^2$，可以将其分解为$(a+b)^2$。
而对于多项式$a^2-2ab+b^2$，可以将其分解为$(a-b)^2$。
步骤4：将多项式分解为完全平方公式的形式。
根据步骤3，我们将多项式分解为$(a+b)^2$或$(a-b)^2$的形式。
例如，在$x^2+6x+9$的例子中，我们可以将其分解为$(x+3)^2$。
步骤5：检查因式分解的正确性。
可以通过展开因式分解后的形式来验证因式分解的正确性。
例如，在$(x+3)^2$的情况下，我们可以将其展开为$x^2+6x+9$，与原多项式相同。
接下来，我们将通过一个具体的例子来演示完全平方公式的应用。
例子1：将多项式$x^2+8x+16$进行因式分解。
解：根据步骤1，该多项式满足完全平方公式的形式。
根据步骤2，$a$的值是$x$，$b$的值是$4$。
根据步骤3，由于$b$是正数，我们可以将多项式分解为$(a+b)^2$的形式。
用完全平方公式因式分解
所以-kXY =±2×4X·3Y 即： -k=±2×4×3=±24
所以：K= ±24 Page 41
对应练习：
式子4X2+MX+9是一个完全平方式， 试求M的值
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八年级 数学
第十五章 因式分解
拓展运用---试一试
三、利用因式分解计算
(2)18 x 81 x2
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例3 把下列各式因式分解。
a4 2a2b b2
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习题：(1) p4 4 p2q 4q2
(2)x4 2x2 y 2 y 4
Page 11
小结：
完全平方式具有：
1、是一个三项式 2、有两个“项”平方,而且有这两“项” 的积的两倍或负两倍 3、我们可以利用完全平方公式来进行因 式分解
解：(1) x5－x3 = x3 (x2 –1) = x3 (x+1)(x－1)
(2)2x4-32y4=2(x4-16y4)
=2(x2+4y2)(x2-4y2)
= 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
注意： 1、有公因式要先提出公因式，再考虑平方差公式.
2、分解因式分解到不能分解为止.
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5、将下列各式分解因式
(1)x2 12 x 36
(2) 2xy x2 y2
2
(3) 3x
6xy
3y2
(4)16n2 8n(m n) (m n)2
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◆创新应用: 已知(a+2b)2-2a-4b+1=0, 求(a+2b)2005的值.
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
完全平方公式分解因式
（a+3)(a-3)= a2 -9 (2x+y)(2x-y)= (2x)2-y2=4x2-y2
a2 -9= （a+3 ）( a-3 )
4x2-y2= (2x+y )(2x-y ) a2- b2 =(a +b) (a - b)
因式分解的平方差公式：
两个因式的积 的形式
a² - b² = (a+b) (a-b)Fra bibliotekb表示1
填一填
多项式
x2 x 1 4
是否是完全平 a、b各表示什 表示（a+b）2或（a
方式
么
－b）2
是
a表示x， b表示1/2
(x 1)2 2
9a2b2 3ab 1
否
1 m2 3mn 9n2 4
是
a表示
1 2
m，
(
1
m
3n)
2
b表示3n 2
x6 10x3 25
否
我们把以上两个式子 叫做完全平方式.
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍.
a2 2abb2 a2 2abb2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式； 2、有两个“项”的平方； 3、有这两“项”积的2倍或-2倍。
首2 2首尾尾2
随堂演练
判别下列各式是不是完全平方式.
=2(x2+4y2)(x2-4y2) = 2(x2+4y2)(x+2y)(x-2y)
现在我们把乘法公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”.
运用完全平方公式分解因式
Page 19
把下列各式因式分解
(5)9a − 4b(3a − b) = 9a − 12ab + 4b = (3a − 2b)
2
2 2
2
(6)3ax + 6axy + 3ay = 3a( x 2 + 2 xy + y 2 ) = 3a( x + y ) 2
2 2
(7)(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)2=(a+1-a+1)2=4
2 2 2 2
2 2
=(y+x) (y-x)
2
简便计算： 简便计算：
56 + 68× 56 + 34
2
2
解：原式=（56+34）
=90 =8100
Page 21
2
例题
பைடு நூலகம்
(5 4a 2 + 12ab + 9b 2 ) 2 2 解： 原式 = (2a) + 2 ⋅ (2a ) ⋅ (3b) + (3b)
Page 25
2
2
2
平方项符号相同（同正） 平方项符号相同（同正）
2 2
a + 2ab + b = (a + b ) 2 2 2 a − 2 ab + b = (a − b )
2
Page 10
()a−ab 2 6+ 9 b
2 2
2 2
练一练 因式分解： 因式分解：
2
10x＋ （1）25x2＋10x＋1 =(5x+1)
.
从符号看： 带平方的项符号相同（同“+”或同
“-”）
用完全平方公式分解因式
用完全平方公式分解因式。 用完全平方公式分解因式。 提取公因式法 （2）因式分解通常考虑______________方法。 因式分解通常考虑______________方法。 ______________方法 彻底 （3）因式分解要_________ 因式分解要_________
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？ 与你分享吗？
用完全平方公式分解因式
(a + b ) = a + 2ab + b
2 2
2 2
(a − b ) = a − 2ab + b
2 2
两数和（或差）的平方， 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方 和，加上（或减去）这两数的积的2倍。 加上（或减去）这两数的积的2
两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 两数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2 倍，等于这两个数和（或差）的平方。 等于这两个数和（或差）的平方。
2 2
(4) 4 y + 2 xy + y
2
2
练一练：按照完全平方公式填空： 练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a − 10a + ( 25 ) = ( a − 5 )
2
2 2
2
(2) ( a y ) + 2ay + 1 = ( ay + 1 )
2
(3)
1 1 2 2 2 − ( rs ) + r s = ( − rs ) 4 2
例1：把下列各式分解因式
(1) 4a + 12ab + 9b
2
2
1 2 (2) a + ab + b 4
2
(3) − x + 4 xy − 4 y
完全平方公式分解因式
A、
1 4
x
3y
2
B、
1 2
x
3y
2
2、把 4 x2 y2 4 xy分解因式得( A )
9
3
A、
2 3
x
y
2
B、 43
x
y
2
新知检测---试一试
3、如果100x2+kxy+y2可以分解为
（10x-y)2,那么k的值是（ B ）
(2).x2 1 x x2 (1)2 2 x 1 (x 1)2
4
2
2
2
(3). 9m2 6mn n2 (9m2 6mn n2 )
(3m)2 2 3m n n2 (3m n)2
(4).1 4(x y) 4(x y)2
1 21 2(x y) 2(x y)2 (1 2x 2y)2
继续探索---试一试
(1)4+9a2 -12a
(2) -a2-4ab-4b2
(3)-25x2 +30xy-9y2 (4) 4-12(x-y)+9(x-y)2
（5）m2+10m(a+b)+25(a+b) 2
(1)=4+9a2-12a =(2-3a)2
(2)= -(a2+4ab+4b2) = -(a+2b)2
(3)= -(25x2-30xy+9y2)= -(5x-3y)2 (4)=【 2-3(x-y) 】2 =(2-3x+3y)2 (5)=(m+5a+5b)2
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课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）因式分解的完全平方公式在应用时应注意什么？
布置作业
教材习题14.3第3、5（1）（3）题．
理解完全平方式
下列多项式是不是完全平方式？为什么？ 2 a （ 1） - 4 a + 4 ； （2） 1+ 4a 2 ； （3） 4b 2 + 4b+1 ； （4） a 2 +ab+b 2 ．
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b 2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
追问1 式吗？ 追问2 追问3
你能用提公因式法或平方差公式来分解因 这两个多项式有什么共同的特点？
你能利用整式的乘法公式——完全平方公 2 式 （a b） =a 2 2ab+b 2 来解决这个问题吗？
探索完全平方公式
2 a 2 + 2ab+b 2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
八年级
上册
14.3 因式分解 （第3课时）
• 学习目标： 1．了解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方 公式进行因式分解． 2．综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进 行因式分解． • 学习重点： 运用完全平方公式分解因式．
探索完全平方公式
2 2 2 2 a + 2 ab + b a 2 ab + b 你能将多项式 与多项式 分解 因式吗？
2 2 x + 4 xy 4 y 解：（2）
=-（x 2 - 4 xy+ 4 y 2）
2 =-（x- 2 y） ．
应用完全平方式
练习1 将下列多项式分解因式： 2 x （1） +12 x+36； 2 2 2 xy x y ； （ 2） （3） a 2 + 2a+1； （4） 4 x 2 - 4 x+1．
你对因式分解的方法有什么新的发现？请尝试概括 你的发现.
探索完全平方公式
把整式的乘法公式——完全平方公式 2 （a b） =a 2 2ab+b 2 反过来就得到因式分解的完全平 方公式：
2 a 2 2ab+b 2 =（a b）
理解完全平方式
我们把 a 2 + 2ab+b 2 和 a 2 - 2ab+b 2 这样的式子叫做完 全平方式． 利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式 因式分解．
2 -12 （a+b） +36 解：（2） （a+b） 2 =（a+b-6） ．
综合运用完全平方式
练习2 将下列多项式分解因式： 2 2 3 （1） ax + 2a x+a ； 2 2 3 x + 6 xy 3 y ． （ 2）
了解公式法的概念
把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于 分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分 解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
（1）完全平方式的结构特征是什么？ （2）两个平方项的符号有什么特点？ （3）中间的一项是什么形式？
理解完全平方式
2 a 2 + 2ab+b 2 =（a+b） 2 a 2 - 2ab+b 2 =（a-b）
完全平方式必须是三项式，其中两项为平方项，并 且两个平方项的符号同为正，中间项是首尾两项乘积的 二倍，符号不限．
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3ax +6axy+3ay （a+b） +36 ． （ 1） ；（2）（a+b）-12
2 2 3 ax + 6 axy + 3 ay 解：（1）
=3（ a x 2 + 2 xy+y 2）
2 =3（ aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx y） ；
综合运用完全平方式
例2 分解因式： 2 2 2 3ax +6axy+3ay （a+b） +36 ． （ 1） ；（2）（a+b）-12
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 -x + 4 xy- 4 y ． （1） 16 x + 24 x+9 ；（2）
2 16 x + 24 x+9 解：（1） 2 （4 x） + 2 4 x 3+32 2 （4 x+3） ；
应用完全平方式
例1 分解因式： 2 2 2 -x + 4 xy- 4 y ． （1） 16 x + 24 x+9 ；（2）