利用完全平方公式因式分解
因式分解学案用完全平方公式分解学案
因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。
在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。
本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。
一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。
二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。
即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。
2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。
3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。
下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。
例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。
因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。
例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。
因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。
通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。
三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。
下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。
问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。
假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。
教学课件：七下湘教公式法第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形
如这样的多项式进行因式分解.
例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
a2+2·a·b+b2 = (a+b)2
知识讲授
因式分解的完全平方公式
a 2 2ab b 2 a b
2
a 2ab b a b
2
2
2
注意：公式中
的, 既可以
是单项式，也
可以是多项式.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个
数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识讲授
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫做完全平方式.
能用完全平方公式分解因式的多项式的特点
(x2-1)2
[(x+1)(x-1)]2
(x+1)2(x-1)2.
知识讲授
例5 因式分解：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ；
(2)( + )－（ + ） + .
解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2）
有公因式，先
提公因式
=3a（x+y）2.
(2)原式 = （ + ）－ × （ + ） × +
法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因
式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些
乘法公式可以用来分解因式呢？
完全平方公式
完全平方公式因式分解
完全平方公式因式分解
完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。
该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解等）。
完全平方公式：
两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的的积的2倍。
（a+b）²=a²﹢2ab+b²
两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的二倍。
﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²
扩展：
掌握用完全平方公式因式分解的特征.
(1)完全平方式：形如的多项式称为完全平方式.
(2)完全平方公式：公式中的a，b不仅可以表示数字、_____, 也可以是_____.
(3)公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的_____，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方.
【解析】
完全平方公式：.公式中的a,b，不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式.
(公式的特征：左边由三项组成，其中有两项分别是某两个数（或式）的平方，另一项是上述两数（或式）的乘积的倍，符号可正可负；右边是两项和（或差）的平方. 【答案】
(2)单项式，多项式.(3)乘积的倍.。
完全平方公式分解因式
完全平方公式分解因式在代数学中，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将一个二次三项式分解为两个二次项的乘积。
它由以下公式给出：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2其中a和b是任意实数。
在这篇文章中，我们将详细介绍完全平方公式的应用和证明，并提供一些例子来帮助读者理解。
首先，让我们来看看为什么这个公式成立。
我们将用代数的方法来证明它。
首先，考虑一个二次三项式(a+b)^2、根据乘法法则，我们可以将其展开为：(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以看到，展开后得到的结果是一个完全平方公式。
因此，我们证明了完全平方公式的正确性。
现在，让我们用完全平方公式来分解一些二次三项式。
考虑以下的二次三项式：x^2+6x+9我们注意到，这个三项式是一个完全平方公式。
具体来说，它可以分解为：x^2+6x+9=(x+3)^2通过使用完全平方公式，我们可以将一个二次三项式化简为一个更简单的二次项表达式。
这在解决数学问题和方程时非常有用。
接下来，我们将提供一些例子，以帮助读者更好地理解完全平方公式的应用。
例子1：将二次三项式x^2+10x+25分解为两个二次项的乘积。
根据完全平方公式，我们可以将其分解为：x^2+10x+25=(x+5)^2因此，x^2+10x+25可以写成(x+5)^2的形式。
例子2：将二次三项式4x^2-12x+9分解为两个二次项的乘积。
首先，我们要注意到这个三项式不是一个完全平方公式。
因此，我们需要找到适当的因式分解方法。
我们可以使用因式分解法将其分解为两个一次项的乘积：4x^2-12x+9=(2x-3)(2x-3)通过展开右边的表达式，我们可以验证等式的正确性。
因此，4x^2-12x+9可以写成(2x-3)^2的形式。
总结起来，完全平方公式是一种因式分解方法，用于将二次三项式分解为两个二次项的乘积。
完全平方公式分解因式的方法
完全平方公式分解因式的方法完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以被写成两个一次多项式的平方和的形式，例如 $x^2+6x+9$ 就是一个完全平方：$x^2+6x+9 = (x+3)^2$。
分解完全平方的方法有多种，其中最常用的是配方法和直接提取平方根法。
下面我们分别介绍这两种方法。
一、配方法1. 将二次项系数 $a$ 除以 $2$，得到系数 $m=frac{a}{2}$。
2. 将常数项 $c$ 和 $m$ 的平方相减，得到差值 $n=c-m^2$。
3. 将原式按照 $x^2+2mx+m^2+n$ 的形式写出来。
4. 将 $x^2+2mx+m^2$ 分解成 $(x+m)^2$。
5. 将 $(x+m)^2+n$ 分解成 $(x+m+sqrt{n})(x+m-sqrt{n})$。
例如，对于 $x^2+6x+9$ 这个完全平方，我们可以按照以上步骤进行分解：1. $m=frac{6}{2}=3$。
2. $n=9-3^2=0$。
3. 原式为 $x^2+2times3x+3^2$。
4. $x^2+2times3x+3^2=(x+3)^2$。
5. $(x+3)^2+0=(x+3+sqrt{0})(x+3-sqrt{0})=(x+3)^2$。
因此，$x^2+6x+9$ 可以分解为 $(x+3)^2$。
二、直接提取平方根法对于形如 $x^2+2mx+m^2$ 的完全平方，我们可以直接提取平方根得到 $(x+m)^2$。
例如，$x^2+6x+9$ 就可以直接提取平方根得到 $(x+3)^2$。
需要注意的是，直接提取平方根的方法只适用于完全平方的情况，如果是一般的二次多项式，就需要使用配方法等其他方法进行因式分解了。
以上就是完全平方公式的分解因式方法，希望对大家有所帮助。
苏科版数学七年级下册《用完全平方公式因式分解》说课稿
苏科版数学七年级下册《用完全平方公式因式分解》说课稿一. 教材分析《苏科版数学七年级下册》中的《用完全平方公式因式分解》一节，是在学生已经掌握了有理数的乘方、平方差公式和完全平方公式的知识基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生掌握利用完全平方公式进行因式分解的方法，培养学生解决实际问题的能力。
教材通过例题和练习题的安排，使学生能够逐步理解和掌握完全平方公式因式分解的应用。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在数学学习方面已经有了一定的基础，对于平方差公式和完全平方公式已经有了一定的了解。
但是，学生在运用完全平方公式进行因式分解时，可能会出现对公式记忆不牢、理解不透彻、应用不熟练的问题。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的学习需求，针对性地进行教学，帮助学生巩固知识，提高解题能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握完全平方公式，并能运用完全平方公式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过合作交流、探索发现，培养学生运用完全平方公式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：完全平方公式的记忆和应用。
2.教学难点：如何引导学生发现完全平方公式的内涵，以及如何灵活运用完全平方公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作交流法、探究发现法等，引导学生主动参与学习，提高学生的学习效果。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板等教学工具，直观展示教学内容，帮助学生理解和记忆。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习平方差公式，引出完全平方公式，激发学生的学习兴趣。
2.讲解新课：讲解完全平方公式的推导过程，让学生理解并记忆完全平方公式。
3.例题讲解：通过典型例题，讲解如何利用完全平方公式进行因式分解，引导学生掌握解题方法。
4.练习巩固：安排练习题，让学生运用完全平方公式进行因式分解，巩固所学知识。
5.拓展提高：引导学生发现完全平方公式的内涵，探讨如何灵活运用完全平方公式解决实际问题。
6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]
![6.3(2)运用完全平方公式因式分解[下学期]](https://img.taocdn.com/s3/m/6eb0435f3b3567ec102d8afb.png)
1．分解因式： 分解因式：
1) 9a 2 − 6ab + b 2 ) − a 2 − 10a − 25 ( (2 3 ) 49b 2 + a 2 + 14ab ) 4x 3y + 4x 2y 2 + xy 3 ( (4
( 5 ) x 4 − 18x 2 + 81
2 2
2.下面因式分解对吗？为什么？ 2.下面因式分解对吗？为什么？ 下面因式分解对吗
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的 两个数的平方和， 平方和 或减去） 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b)2 a
2
− 2ab + b
2
= (a − b )
2
两个数的平方和，加上（或减去） 两个数的平方和，加上（或减去）这两个数 平方和 积的两倍，等于这两数和 或者差）的平方． 的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
1．判别下列各式是不是完全平方式． ．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x + y ； 不是
2 2
(2) x + 2 xy + y ； 是
2 2
(3) x − 2 xy + y ； 是
2 2
(4) x + 2 xy − y ； 不是
2 2
(5) − x + 2 xy − y ． 是
2 2
你能总结出完全平方式的特点吗？ 你能总结出完全平方式的特点吗？
± 2 × 首 × 尾+ 首 尾
2
2
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 判别下列各式是不是完全平方式， 判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
《运用完全平方公式分解因式说课稿》
《运用完全平方公式分解因式》说课稿《运用完全平方公式分解因式》是新课标北师大版数学八年级下册第二章第三节第二课时内容。
下面我将从教材分析、学法与教法、教学过程三方面来说明。
一、教材分析：1、地位与作用：分解因式与数系中分解质因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形。
在后面的学习过程中应用广泛，如：将分式通分和约分，二次根式的计算与化简，以及解方程都将以它为基础。
因此分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用。
同时，在因式分解中体现了数学的众多思想，如：“化归”思想、“类比”思想、“整体”思想等。
因此，因式分解的学习是数学学习的重要内容。
根据《课标》的要求，本章介绍了最基本的两种分解因式的方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。
运用完全平方公式分解因式不仅是现阶段的学习重点，而且为学生以后分解二次三项式奠定了一定的基础。
2、教学目标：①知识与技能：会运用公式法（直接运用公式不超过两次）分解因式。
②过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和思考问题的能力，总结因式分解的一般分解的方向。
③情感态度与价值观：培养学生灵活地运用知识的能力和积极思考的良好习惯，体会因式分解在数学学科中的地位与价值，感受数学的简谐美。
3、重点、难点：①重点：掌握公式法中的完全平方公式进行分解因式。
②难点：灵活地运用公式法或以学过的提公因式法进行分解因式，正确地判断因式分解的彻底性问题。
二、学法与教法分析1、学法分析：①注意分解因式与整式乘法的关系，两者是互逆的。
②注意完全平方公式的特点。
2、教法分析：根据《课标》的要求，结合本班学生的知识水平，本堂课采用对比，探究，讲练结合的方法完成教学目标。
对比学习平方差公式的方法指导学生探究分解因式的完全平方公式。
在教学过程中，所选例题保证基本的运算技能，避免复杂的题型，直接用公式不超过两次。
利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解当我们遇到一个多项式无法因式分解的时候，可以考虑使用完全平方公式来进行因式分解。
完全平方公式是一种通过加减法将一个二次多项式转化为一个平方的方法。
完全平方公式如下：(a+a)^2=a^2+2aa+a^2(a−a)^2=a^2−2aa+a^2我们以一个具体例子来说明这个方法。
假设我们要因式分解a^2+6a+9这个二次多项式。
我们可以将这个多项式写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以将a^2+6a+9写成(a+3)^2的形式。
因此，a^2+6a+9=(a+3)^2接下来我们来看一个更复杂的例子。
假设我们要因式分解a^2+8a+12这个二次多项式。
我们可以尝试将这个多项式写成两个完全平方的和的形式。
首先，我们需要找到两个数，它们的乘积等于12，而它们的和等于8、通过试错的方法，我们可以得出这两个数是2和6然后，我们可以使用这两个数将a^2+8a+12进行因式分解。
a^2+8a+12=(a+2)(a+6)通过这种方法，我们成功将a^2+8a+12因式分解为两个一次多项式的乘积。
(a+2)(a+6)即为该多项式的因式分解形式。
除了上述的二次多项式，我们还可以使用完全平方公式来因式分解更复杂的多项式。
例如，a^4+10a^2+25这个四次多项式。
我们可以将a^4+10a^2+25写成一个完全平方的形式。
根据完全平方公式，(a+a)^2=a^2+2aa+a^2，我们可以尝试将a^4+10a^2+25写成(a^2+5)^2的形式。
通过这种方法，我们成功将a^4+10a^2+25因式分解为一个完全平方的平方。
(a^2+5)^2即为该多项式的因式分解形式。
总结一下，完全平方公式是一种因式分解多项式的方法。
通过将一个二次多项式转化为一个平方的形式，我们可以更容易地因式分解一个多项式。
通过试错的方法或其他的求解技巧，我们可以找到适合使用完全平方公式的例子来进行因式分解。
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式完全平方公式是指一个二次多项式的平方可以进行因式分解成两个一次多项式之和，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
设二次多项式为$ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$。
根据完全平方公式，可以将其因式分解为$(px+q)^2$的形式，其中$p$和$q$分别表示两个一次多项式的系数。
根据完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 计算二次项的系数：$p=\sqrt{a}$。
2. 计算常数项的系数：$q=\frac{b}{2\sqrt{a}}$。
3. 将一次项表示为$p$和$q$的线性组合：$bx=c(q+px)$。
这一步是将一次项表示为两个一次多项式的和的形式。
对于一个给定的二次多项式，如果其平方形式与完全平方公式的形式相同，则可以直接确定因式分解。
否则，需要对二次多项式进行平方操作，然后根据完全平方公式进行因式分解。
下面以两个例子来说明完全平方公式的应用。
例子1：将$4x^2+4x+1$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{4}=2$。
根据以上步骤，可以将$4x^2+4x+1$分解为$(2x+1)^2$。
例子2：将$9x^2-12x+4$进行因式分解。
步骤1：计算二次项的系数：$p=\sqrt{9}=3$。
根据以上步骤，可以将$9x^2-12x+4$分解为$(3x-2)^2$。
除了完全平方公式，还可以使用差平方公式和平方差公式进行因式分解。
差平方公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式之差的平方，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
平方差公式是指一个二次多项式可以进行因式分解成两个一次多项式的平方差的形式，并且这两个一次多项式都是该二次多项式的根。
完全平方公式、差平方公式和平方差公式是进行因式分解的重要工具。
在解决实际问题中，常常会遇到需要进行因式分解的情况。
因此，熟练掌握这些公式的应用是很重要的。
运用完全平方公式因式分解教学参考
第1课时运用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点.(重点)2.掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式.(难点)一、情境导入1.分解因式：(1)A2—4/；(2)3/-3/;(3)√-l; (4) (x÷3^)2-(χ-3y)2.2.根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“才+2助+从Iab + 4”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点：运用完全平方公式分解因式［类型一］判断能否用完全平方公式分解因式(≡1下列多项式能用完全平方公式分解因式的有()(1)a-∖-abΛ^β； (2)-一a+；； (3)9a j-24aZ?+4Z?2； (4) —a ÷8a-16.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：(1)/+μ+人乘积项不是两数积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)才一a+ J= (a-1)2；(3)9才-24勖+4次乘积项是这两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4) — a2+8a-16= 一(/-8a+16)= - U-4)2.所以(2) (4)能用完全平方公式分解.故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.［类型二］运用完全平方公式分解因式≡3因式分解：(1)—3a2—+24,才一48 才;(2)(才+4) 2 —16 才.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式一3才，再把另一个因式(V-8x+16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解.解：(1)原式=-3/(V—8x+16) ——3∕(x—4)2；(2)原式=(才+4)2- (4a)2= (a2+4+4a) (a2+4-4a) = U+2)2U-2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解.【类型三】利用完全平方公式求值(SB 已知4x+y2-10y+29=0,求f∕+2χy+1 的值.解析：首先配方，借助非负数的性质求出x、y的值，问题即可解决.解：*.*X —4,γ÷y-↑,Oy+ 29 = 0, Λ (χ-2)2+ (y—5)2=0. V (A,-2)2^0, (y—5)2>0, .∙.χ-2=0, y—5=0, .∙.x=2, y=5, ∙∖xy-^-2xy+l = (Λ,∕÷I)2= H2= 121.方法总结：几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0.［类型四］运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342÷34×32 + 162;(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92.解析：利用完全平方公式转化为(a±力2的形式后计算即可.解：(1) 342 + 34 X 32 +162 = (34 +16)2 = 2500 ；(2)38. 92-2×38. 9X48. 9+48. 92= (38. 9-48. 9)2= 100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键.［类型五］利用因式分解判定三角形的形状(SB已知a, A C分别是A4¾7三边的长，且才+2〃+02-26(&+©=0,请判断△力回的形状，并说明理由.解析：首先利用完全平方公式分组进行因式分解，进一步分析探讨三边关系得出结论即可.解：由/+2//+——28(a+c)=0,得 a'—2aZ?+1} +1/-2bc-∖- c2=0,即(a—Z?)2+ {b- c)2=0, .∙.a-b=0, b-c=O f .*.a= b= c f Z∖4%7是等边三角形.方法总结：通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质解答，这是解决此类问题一般的思路.［类型六］整体代入求值［例❺已知a+6=5, ab=10,求*6+才炉+Ja6的值.解析：将*6+4武昂3分解碌6与(叶犷的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答.解：3才6+才62+56=$仇才+246+62)=56(4+6)2.当西+6=5,仍=］。
最新湘教版七年级数学(下)教案 3.3 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解
第2课时 利用完全平方公式进行因式分解1．理解完全平方公式，弄清完全平方公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用完全平方公式分解因式的方法，能正确运用完全平方公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．分解因式：(1)x 2－4y 2； (2)3x 2－3y 2；(3)x 4－1; (4)(x ＋3y )2－(x －3y )2；2．根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，你能将形如“a 2＋2ab ＋b 2、a 2－2ab ＋b 2”的式子分解因式吗？二、合作探究探究点一：用完全平方公式因式分解【类型一】 判定能否利用完全平方公式分解因式下列多项式能用完全平方公式分解因式的有( )(1)a 2＋ab ＋b 2；(2)a 2－a ＋14；(3)9a 2－24ab ＋4b 2；(4)－a 2＋8a －16. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：(1)a 2＋ab ＋b 2，乘积项不是a ，b 两数的积的2倍，不能运用完全平方公式；(2)a 2－a ＋14＝(a －12)2；(3)9a 2－24ab ＋4b 2，乘积项是3a 和2b 两数积的4倍，不能用完全平方公式；(4)－a 2＋8a －16＝－(a 2－8a ＋16)＝－(a －4)2.所以(2)(4)能用完全平方公式分解．故选B.方法总结：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍．【类型二】 运用完全平方公式分解因式因式分解：(1)－3a 2x 2＋24a 2x －48a 2；(2)(a 2＋4)2－16a 2.解析：(1)有公因式，因此要先提取公因式－3a 2，再把另一个因式(x 2－8x ＋16)用完全平方公式分解；(2)先用平方差公式，再用完全平方公式分解．解：(1)原式＝－3a 2(x 2－8x ＋16)＝－3a 2(x －4)2；(2)原式＝(a 2＋4)2－(4a )2＝(a 2＋4＋4a )(a 2＋4－4a )＝(a ＋2)2(a －2)2.方法总结：分解因式的步骤是一提、二用、三查，即有公因式的首先提公因式，没有公因式的用公式，最后检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．探究点二：用完全平方公式因式分解的应用【类型一】 运用因式分解进行简便运算利用因式分解计算：(1)342＋34×32＋162；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92.解析：利用完全平方公式转化为(a ±b )2的形式后计算即可．解：(1)342＋34×32＋162＝(34＋16)2＝2500；(2)38.92－2×38.9×48.9＋48.92＝(38.9－48.9)2＝100.方法总结：此题主要考查了运用公式法分解因式，正确掌握完全平方公式是解题关键．【类型二】 完全平方公式的非负性的运用试说明：不论a ，b ，c 取什么有理数，a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．解析：先提取12后，分组凑成完全平方公式，从而判断它的非负性． 解：a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12(2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2ac －2bc )＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(b 2－2bc ＋c 2)＋(a 2－2ac ＋c 2)]＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2]≥0，∴a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 一定是非负数．方法总结：本题主要考查了完全平方公式的运用，解题的关键在于把原多项式化为三个完全平方公式和的形式，利用完全平方公式的非负性来作出判断．【类型三】 整体代入求值已知a ＋b ＝5，ab ＝10，求12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3的值． 解析：将12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3分解为12ab 与(a ＋b )2的乘积，因此可以运用整体代入的数学思想来解答． 解：12a 3b ＋a 2b 2＋12ab 3＝12ab (a 2＋2ab ＋b 2)＝12ab (a ＋b )2.当a ＋b ＝5，ab ＝10时，原式＝12×10×52＝125.方法总结：解答此类问题的关键是对原式进行变形，将原式转化为含已知代数式的形式，然后整体代入．三、板书设计1．完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.2．完全平方公式的特点：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)；(2)有两个同号的平方项；(3)有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)．简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央．本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排．其实公式的探究活动本身既是对学生能力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的能力。
如何解(公式法的因式分解完全平方公式)
如何解(公式法的因式分解完全平方公式)因式分解是数学学习中的一个重要内容，而公式法中的完全平方公式更是其中的关键。
别担心，咱们一起来把这个难题给攻克掉！先来说说完全平方公式到底是啥。
它有两个形式：(a + b)² = a² + 2ab + b²以及 (a - b)² = a² - 2ab + b²。
那怎么用这两个公式来进行因式分解呢？咱们通过一些例子来瞅瞅。
比如说，有个式子 x² + 6x + 9 ，咱们来分解它。
先看，6x 正好是 2乘以 3 乘以 x ，而 9 是 3 的平方，这不就符合 (a + b)² = a² + 2ab + b²这个形式嘛，其中 a 就是 x ，b 就是 3 ，所以可以分解为 (x + 3)²。
再比如 4x² - 12xy + 9y²，这里 4x²可以看成 (2x)²，9y²可以看成(3y)²，而 -12xy 正好是 -2 乘以 2x 乘以 3y ，所以它可以分解为 (2x -3y)²。
我记得我以前教过一个学生，叫小李。
这孩子特别聪明，就是一碰到因式分解就犯迷糊。
有一次上课，我就专门讲完全平方公式的因式分解，出了一道题 16x² + 24x + 9 让大家做。
小李一开始眉头皱得紧紧的，嘴里还嘟囔着：“这可咋整啊！”我走到他身边，轻声问他：“来，咱们先看看，16x²是不是可以写成 (4x)²呀？9 是不是 3 的平方？那24x 是不是 2 乘以 4x 乘以 3 呢？”小李眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦，这就是一个完全平方！”然后很快就写出了正确答案(4x + 3)²。
从那以后，小李对因式分解的题目就越来越得心应手啦。
咱们再深入一点，有些式子可能不是一下子就能看出来是完全平方的形式，这时候就需要咱们稍微变一变。
运用完全平方公式因式分解
运用完全平方公式因式分解因式分解这玩意儿，就像是数学世界里的开锁匠，而完全平方公式就是那把神奇的钥匙。
咱们今天就来好好聊聊怎么用这把钥匙打开因式分解的大门。
我先给大家讲讲完全平方公式是啥。
它就像一对双胞胎，一个叫(a+ b)² = a² + 2ab + b²，另一个叫(a - b)² = a² - 2ab + b²。
这俩公式看着有点复杂，但其实就像是搭积木，只要你掌握了规律，就能轻松拼出想要的形状。
比如说，给你一个式子 x² + 6x + 9，这时候咱们就可以把它看成是(a + b)²的形式。
那谁是 a，谁是 b 呢？很明显，a 就是 x，b 就是 3，因为 2ab = 6x，所以 2×x×3 = 6x。
那按照公式，它就可以分解为(x + 3)²。
是不是感觉挺神奇的？再比如 4x² - 12xy + 9y²，咱们也来找找 a 和 b。
a 就是 2x，b 就是3y，因为 2×2x×3y = 12xy。
所以这个式子就可以分解为(2x - 3y)²。
我记得之前有个同学，叫小李，他刚开始学这个的时候总是晕头转向的。
有一次做作业，遇到一个式子 16x² + 24x + 9，他怎么都分解不出来。
我就问他：“你想想完全平方公式，先找找 a 和 b 呀。
”他苦着脸说：“老师，我找不到。
”我就引导他：“那 16x²可以写成谁的平方呀？”他想了想说：“4x 的平方。
”我又问：“那 9 呢？”他马上回答：“3 的平方。
”“那 2ab 是不是 24x 呢？”他一拍脑袋：“哎呀，我知道了，a 是 4x，b 是 3，所以可以分解为(4x + 3)²。
”从那以后，小李遇到这种题就再也不害怕了，还经常主动给其他同学讲呢。
咱们再来说说用完全平方公式因式分解的一些小窍门。
用完全平方公式进行因式分解
我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
例题：把下列式子分解因式
4x2+12xy+9y2
2x2 22x3y 3y2 2x 3y2
首2 2首尾 尾2 =(首±尾)2
5、把 1 x2 3xy 9 y分2 解因式得
4
（ B）
A、
1 4
x
3y
2
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子叫做完全平 方式
“头” 平方, “尾” 平方, “头” “尾” 两倍中间放.
判别下列各式是不是完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2ab b2 a2 2ab b2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式 2、有两个平方的“项” 3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍
首2 2首尾尾2
下并列分各解式因是式不是完全平方式
1 a2 b2 2ab 是
22xy x2 y 2 是 3 x2 4xy4 y 2 是 4a2 6abb2 否
5x2 x 1
是
4
6 a2 2ab 4b2 否
运用公式法
把乘法公式反过来用,可以把符合公式 特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
现在我们把这个公式反过来
a2 2abb2 ab2
a2 2abb2 ab2
很显然，我们可以运用以上这
x
3
y
2
6、把
4 9
x2
y2
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15.5.２利用完全平方公式因式分解
一、回顾 与 思考
、因式分解的方法有 种，分别是 2、提取公因式法 ma+mb+mc= 3、平方差公式法 a 2-b 2
=
4、能用平方差公式进行因式分解的多项式有什么特点？
5、分解因式一直到不能分解为止.所以分解后一定检查括号内是否能继续分解. 分解因式
2222
41(1)49
(2)(3)94(4)1625
a x x y x --
--+
6、
二、新知:
(1) a 2＋2ab ＋b 2 (2) a 2－2ab ＋b
2
三、探究：
完全平方公式：()2
22
2a ab b a b ++=+
公式应用的特征:左边 ：
结果： 四、练一练
1:下列各多项式哪些能用完全平方式因式分解?若是,请找出相应的a 和b.
22222(4)44
(5)14(6)441(7)a a a b b a ab b -+++-++
五、例1:把下列各式因式分解
例2：分解因式22(1)363ax axy ay ++ （2）2()12()36a b a b +-++
六、练一练
1、分解因式
七、灵活运用
1、已知51
=+x x ，那么221x x
+=_______。
2、12142++mx x 是一个完全平方式，则m =_______。
3、分解因式()()49142
++-+y x y x =____________________。
八、随堂检测
()
2
__________________
a b +=()
2
__________________
a b -=()
2
222a ab b a b -+=-()211236x x ++()2222y x xy ++-()2
223y x xy +--()211236x x ++2(2)16249
x x ++()22
344x xy y -+-()()22221123622(3)21
y y xy x y a a ++---++()()2223
22
444152(6)363x x ax a x a x xy y -+++-+-()()()2
22
2211236
22(3)21
4441
a a a
b a b x x y y ++---++-+。