牛顿运动定律经典临界问题

1.如图所示，质量为M的木板上放着一质量为m的木块，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，木板与水平地面间的动摩擦因数为μ2，加在小板上的力F为多大，才能将木板从木块下抽出?2.如图所示，小车上放着由轻弹簧连接的质量为mA＝1kg，mB＝0.5kg的A、B两物体，两物体与小车间的最大静摩擦力分别为4N和1N，弹簧的劲度系数k＝0.2N/cm 。

①为保证两物体随车一起向右加速运动，弹簧的最大伸长是多少厘米？②为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动，弹簧的伸长是多少厘米？3.一个质量为0.2 kg的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图4，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.图34. 如图所示，把长方体切成质量分别为m和M的两部分，切面与底面的夹角为θ，长方体置于光滑的水平面上。

设切面是光滑的，要使m和M一起在水平面上滑动，作用在m上的水平力F满足什么条件？5.一根劲度系数为k,质量不计的轻弹簧，上端固定,下端系一质量为m的物体,有一水平板将物体托住,并使弹簧处于自然长度。

如图5所示。

现让木板由静止开始以加速度a(a＜g ）匀加速向下移动。

求经过多长时间木板开始与物体分离.图56.如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。

现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s 内F 是变力，在0.2s以后F 是恒力，g=10m/s 2,则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

7.一弹簧秤的秤盘质量m 1=1．5kg ，盘内放一质量为m 2=10．5kg 的物体P ，弹簧质量不计，其劲度系数为k=800N/m ，系统处于静止状态，如图7所示。

现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0．2s内F 是变化的，在0．2s 后是恒定的，求F 的最大值和最小值各是多少？（g=10m/s 2） 8.一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央.桌布的一边与桌的AB边重合，如图所示.已知盘与桌布间的动摩擦因数为 μ1，盘与桌面间的动摩擦因数为 μ2.现突然以恒定加速度a 将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB 边.若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a 满足的条件是什么？(以g 表示重力加速度)牛顿运动定律临界问题经典题目详细解答1.F>(μ1+μ2)(M+m)g2.(1) 为保证两物体随车一起向右加速运动，且弹簧的伸长量最大，A 、B 两物体所受静摩擦力应达到最大，方向分别向右、向左。

对A 、B 作为整体应用牛顿第二定律2/2s m m m f f a BA BA =+-=(3分) 对A 应用牛顿第二定律 a m kx f A A =-x = 0.1m(2) 为使两物体随车一起向右以最大的加速度向右加速运动， A 、B 两物体所受静摩擦力应达到最大，方向均向右。

对A 、B 作为整体应用牛顿第二定律2/310s m m m f f a B A B A =++= 对A 应用牛顿第二定律 a m kx f A A =-x = 3.33cm图6图73.解题方法与技巧：当加速度a 较小时，小球与斜面体一起运动，此时小球受重力、绳拉力和斜面的支持力作用，绳平行于斜面，当加速度a 足够大时，小球将“飞离”斜面，此时小球受重力和绳的拉力作用，绳与水平方向的夹角未知，题目中要求a =10 m/s 2时绳的拉力及斜面的支持力，必须先求出小球离开斜面的临界加速度a 0.（此时，小球所受斜面支持力恰好为零）由mg cot θ=ma 0所以a 0=g cot θ=7.5 m/s 2因为a =10 m/s 2＞a 0所以小球离开斜面N =0，小球受力情况如图5，则Tc os α=ma , T sin α=mg所以T =22)()(mg ma +=2.83 N,N =0. 4.()tan mF m M g Mθ≤+ 5. kaa g m t )(2-=。

6.解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤盘。

此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质量都不计，所以此时弹簧处于原长。

在0_____0.2s 这段时间内P 向上运动的距离：x=mg/k=0.4m因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m txa == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+F min =ma,又因此时N=mg ，所以有F min =ma=240N.当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m(a+g)=360N.7.解：因为在t=0.2s 内F 是变力，在t=0.2s 以后F 是恒力，所以在t=0.2s 时，P 离开秤盘。

此时P 受到盘的支持力为零，由于盘的质量m 1=1．5kg ，所以此时弹簧不能处于原长，这与例2轻盘不同。

设在0_____0.2s 这段时间内P 向上运动的距离为x,对物体P 据牛顿第二定律可得： F+N-m 2g=m 2a对于盘和物体P 整体应用牛顿第二定律可得：a m m g m m x k g m m k F )()()(212121+=+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++令N=0，并由述二式求得k a m g m x 12-=，而221at x =，所以求得a=6m/s 2. 当P 开始运动时拉力最小，此时对盘和物体P 整体有F min =(m 1+m 2)a=72N.当P 与盘分离时拉力F 最大，F max =m 2(a+g)=168N. 8解:对盘在桌布上有 μ1mg = ma 1 ① 在桌面上有μ2mg = ma 2 ②υ12 =2a 1s 1 ③ υ12=2a 2s 2 ④图3盘没有从桌面上掉下的条件是s 2≤─12l - s 1 ⑤对桌布 s = ─ 12 at 2 ⑥ 对盘 s 1 = ─ 12 a 1t 2⑦ 而 s = ─12l + s 1 ⑧ 由以上各式解得a ≥( μ1 + 2 μ2) μ1g / μ2 ⑨10．（2010江苏无锡模拟）如图（a ）所示，质量为M =10kg 的滑块放在水平地面上，滑块上固定一个轻细杆ABC ，∠ANC =45°。

在A 端固定一个质量为m =2kg 的小球，滑块与地面间的动摩擦因数为μ=0.5。

现对滑块施加一个水平向右的推力F 1=84N ，使滑块做匀速运动。

求此时轻杆对小球的作用力F 2的大小和方向。

（取g =10m/s 2）有位同学是这样解的——小球受到重力及杆的作用力F 2，因为是轻杆，所以F 2方向沿杆向上，受力情况如图（b ）所示。

根据所画的平行四边形，可以求得F 2 = 2mg =202N你认为上述解法是否正确？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解答。

解析：结果不正确，杆AB 对球的作用力方向不一定沿着杆的方向．由牛顿第二定律，对整体有F 1－ μ( M + m )g = (M +m )a a =m M g )m M (F ++μ-1=21010)210(5.084+⨯+⨯-m/s 2解得：F 2= 264)22()102()()(2222=⨯+⨯=+N ma mg N=20.4Ntan α =mamg=5． 轻杆对小球的作用力F 2与水平方向夹角斜向右上。

（二）、解决临界值问题的两种基本方法1．以物理定理、规律为依据，首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。

2．直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，找出相应的物理规律和物理值 【例1】质量为0.2kg 的小球用细线吊在倾角为θ=60°的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图所示，不计摩擦，求在下列三种情况下，细线对小球的拉力（取g =10 m/s 2）(1) 斜面体以23m/s 2的加速度向右加速运动；(2) 斜面体以43m/s 2，的加速度向右加速运动；【解析】解法1：小球与斜面体一起向右加速运动，当a 较小时，小球与斜面体间有挤压；当a 较大时，小球将飞离斜面，只受重力与绳子拉力作用。

因此要先确定临界加速度a 0（即小球即将飞离斜面，与斜面只接触无挤压时的加速度），此时小球受力情况如图所示，由于小球的加速度始终与斜面体相同，因此小球所受合外力水平向右，将小球所受力沿水平方向和竖直方向分解解，根据牛顿第二定律有 T cos θ=ma 0 ，T sin θ=mg联立上两式得a 0=5.77m/s 2（1）a 1=23 m/s 2＜5.77 m/s 2,所以小球受斜面的支持力F N 1的作用，受力分析如图所示，将T 1, F N 1沿水平方向和竖直方向分解，同理有111sin cos ma F T N =θ-θ， mg s F T N =θ+θcos sin 11联立上两式得T 1＝2.08N, F N 1＝0.4N（2) a 2=43m/s 2＞5.77 m/s 2,所以此时小球飞离斜面，设此时细线与水平方向夹角为θ0，如图4-73所示，同理有 202cos ma T =θ，mg T =02sin θ联立上两式得T 2＝2.43N, θ0＝arctan 1.44解法2：设小球受斜面的支持力为F N ，线的拉力为T ，受力分析如图所示，将T 、F N 沿水平方向和竖直方向分解，根据牛顿第二定律有ma F T N =θ-θsin cos ，mg s F T N =θ+θcos sin联立上两式得：T ＝m (g sin θ＋a cos θ) cos θ F N ＝m (g cos θ一a sin θ）当F N ＝0时，即a ＝g cot θ＝5.77m/s 2时，小球恰好与斜面接触。

所以，当a ＞5.77 m/s 2时，小球将飞离斜面；a < 5.77 m/s 2，小球将对斜面有压力。

评注：解法1直接分析、讨论临界状态，计算其临界值，思路清晰。

解法2首先找出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析和讨论其特殊规律和特殊解。

本题考察了运动状态的改变与受力情况的变化，关健要明确何时有临界加速度。

另外需要注意的是，当小球飞离斜面时【例2】如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。

现施加水平力F 拉B ，A 、B 刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动。

若改为水平力F ′拉A ，使A 、B 也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F ′不得超过（ B ）A ．2FB ．F /2C ．3FD ．F /3【解析】水平力F 拉B 时，A 、B 刚好不发生相对滑动，这实际上是将要滑动，但尚未滑动的一种临界状态，从而可知此时A 、B 间的摩擦力即为最大静摩擦力。