2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试(3月)数学(理)试卷(带解析)

文档编号：YLWK874552绝密★启用前2017届河南省洛阳市高三第二次统一考试（3月）数学（理）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．M={x|y=√x−1}，N={x|y=log2(2−x)}，则C R(M∩N)=（）A. [1,2) B. (−∞,1)∪[2,+∞) C. [0,1] D. (−∞,0)∪[2,+∞)2．设复数z满足(1+i)z=|1−i|（i为虚数单位），则z̅=（）A. 1+iB. 1−iC. √22−√22i D. √22+√22i3．已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则a1+a5+a9a2+a3等于（）A. 2B. 3C. 4D. 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（）A. 1B. √22C. √52D. √625．甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（）A. 144种B. 180种C. 288种D. 360种6．已知圆C的方程为x2+y2=1，直线l的方程为x+y=2，过圆C上任意一点P作与l夹角为45°的直线交l于A，则|PA|的最小值为（）A. 12B. 1C. √2−1D. 2−√27．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框闰，P表示估计的结果，刚图中空白框内应填入P=（）A.M 2017B.2017MC.4M 2017D.20174M8．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）A. πB. 3πC. 8πD. 9π9．如图，12F F 、是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 310．设函数f(x)=ln(√x 2+1−x)，若a ，b 满足不等式f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0，则当1≤a ≤4时，2a −b 的最大值为（ ）A. 1B. 10C. 5D. 811．在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cosB b=−3cosC c，则角A 的最大值为（ ）A. π6 B. π4 C. π3 D. π212．已知函数f(x)={x 2−1,(x <1)lnx x,(x ≥1)，关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A. {−1,1e } B. (0,+∞) C. (0,1e ) D. (0,1e ]文档编号：YLWK874552第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．已知角α的始边与x 轴非负半轴重台，终边在射线4x −3y =0(x ≤0)上，则cosα−sinα=______． 14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,⋅⋅⋅⋅⋅⋅.该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3−a 22)+(a 2a 4−a 32)+(a 3a 5−a 42)+⋅⋅⋅+ (a 2015a 2017−a 20162)=______． 15．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点C ，D 分别在线段OA ，OB 上，且OC =BD ，若OA =1，∠AOB =120°，则MC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______．16．已知椭圆C:x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A 、B ，F 为椭圆C 的右焦点．圆x 2+y 2=4上有一动点P ，P 不同于A ，B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则kPB k QF的取值范围是______．三、解答题17．{a n a 1=1，其前n 项和为S n ，且满足2S n =(n +1)a n ，(n ∈N ∗)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n =3n −λa n 2，若数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围．18．某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为13．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%？(2)已知一名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人．求该厂每月获利的均值． 19．已知三棱锥A −BCD ，AD ⊥平面BCD ，BD ⊥CD ，AD =BD =2，CD =2√3，E ，F 分别是AC ，BC 的中点．(1)P 为线段BC 上一点．且CP =2PB ，求证：AP ⊥DE . (2)求直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值．20．已知动圆M 过定点E(2,0)，且在y 轴上截得的弦PQ 的长为4． (1)求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；(2)设A ，B 是轨迹C 上的两点，且OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，F(1,0)，记S =S ΔOFA +S ΔOAB ，求S 的最小值．21．已知函数f(x)=lnx −1x ，g(x)=ax +b ．(1)若a =2，F(x)−g(x)，求F(x)的单凋区间；(2)若函数g(x)=ax +b 是函数f(x)=lnx −1x 的图像的切线，求a +b 的最小值； (3)求证：2e x−52−lnx +1x >0．22．选修4−4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosαy =√3sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ−π4)=3√2．(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时点P 的直角坐标． 23．选修4—5：不等式选讲已知关于x 的不等式|x +3|+|x +m|≥2m 的解集为R ． (1)求m 的最大值；(2)已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c =1，求2a 2+3b 2+4c 2的最小值及此时a ，b ，c 的值．文档编号：YLWK874552参考答案1．B 【解析】∵M =[1,+∞),N =(−∞,2)∴M ∩N =[1,2),C U (M ∩N)=(−∞,1)∪[2,+∞).选B. 2．D【解析】由题意得z =√21+i=√2(1−i)2,∴z̅=√2(1+i)2,选D.3．B【解析】由题意得a 42=a 2a 8⇒(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)⇒d =a 1(∵d ≠0)，因此a 1+a 5+a 9a 2+a 3=d+5d+9d 2d+3d=3,选B.4．C【解析】几何体为一个四棱锥P −ABCD ，其中PA =√3,PB =√6,PC =√5,PD =√2,AB =BC =CD =DA =1, 所以S ΔPAB =S ΔPAD =√22,S ΔPDC =12,S ΔPBC =√52，因此面积最大的侧面面积为√52，选C.5．C【解析】排法为C 61C 21A 44=288,选C.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 6．D【解析】PA =√2d P−l ≥√2(d O−l −r)=√2(21)=2−√2,选D.7．C【解析】由题意得π×12412=M 2017⇒p =π=4M 2017,选C.8．B【解析】由题意得圆锥的轴截面为正三角形,其外接圆半径为2,所以圆锥底面半径为√3 ,高为3,体积为13π×(√3)2×3=3π,选B.9．B 【解析】试题分析：由双曲线的定义，知12||||2AF AF a -=，21||||2BF BF a -=．又21||||BF BF -＝21||(||||)BF AF AB --＝21||||||BF AF AB -+．又2ABF ∆为等边三角形，所以21||||||BF AF AB -+＝212||||AF AF -，即21||||BF BF -＝212||||AF AF -，所以12||||AF AF -=212||||AF AF -，所以123||||2AF AF =，所以12||6,||4AF a AF a ==．在12AF F ∆中，由余弦定理，得221212||||||F F AF AF =+－122||||cos 60AF AF ︒＝2221(6)(4)264282a a a a a +-⨯⨯⨯=，即22428c a =，所以2227c e a ==，所以e =故选B ．考点：1、双曲线的定义及几何性质；2、余弦定理．【方法点睛】离心率e 的求解中可以不求出a c ，的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e ，一般步骤如下： ①根据已知条件得到齐次方程220Aa Bac Cc ＋＋＝；②化简得到关于e 的一元二次方程20A Be Ce ＋＋＝；③求解e 的值；④根据双曲线离心率的取值范围1()e ∈+∞，进行取舍．10．B【解析】因为f(x)+f(−x)=ln(√x 2+1−x)+ln(√x 2+1+x)=0,所以函数f(x)为奇函数,又因为x >0时f(x)=ln(√x 2+1−x)=-ln(√x 2+1+x)为单调减函数,且f(0)=0所以f(x)为R 上减函数,因此f(a 2−2a)+f(2b −b 2)≤0⇔f(a 2−2a)≤−f(2b −b 2)⇔f(a 2−2a)≤f(−2b +b 2)⇔a 2−2a ≥−2b +b 2⇔(a −1)2≥(b −1)2⇔{a ≥b a +b −2≥0或{a ≤ba +b −2≤0,因为1≤a ≤4,所以可行域为一个三角形ABC 及其内部,其中A(1,1),B(4,4),C(4,−2),因此直线z =2a −b 过点C 时取最大值10,选B.点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去“f”，即将函数值的大小转化自变量大小关系, 对称性可得到两个对称的自变量所对应函数值关系. 11．A【解析】由正弦定理得cosB sinB=−3cosC sinC,所以tanC =−3tanB ,因此B ，C 中有一钝角, 角A 必为锐角,因为tanA =−tan(B +C)=−tanB+tanC1−tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0 , 所以tanB >0,tanA ≤2√3tanB=√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 12．C【解析】2[f(x)]2+(1−2m)f(x)−m =0⇒f(x)=−12或f(x)=m ,因为(lnx x)′=1−lnx x =0⇒x =e ,所以1≤x <e 时f ′(x)>0,f(x)∈[0,1e );x ≥e 时f ′(x)<0,f(x)∈(0,1e ];而x ≤0 时f(x)单调递减,f(x)∈[−1,+∞); 0<x <1 时f(x)单调递增,f(x)∈[−1,0);因此f(x)=−12有两个根,则f(x)=m 需有3个根, 即m ∈(0,1e ),选C.文档编号：YLWK874552点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 13．15【解析】P(−3,−4)为射线4x −3y =0(x ≤0)上一点,由三角函数定义得 cosα=−35,sinα=−45,cosα−sinα=1514．1【解析】a n a n+2−a n+12+a n+1a n+3−a n+22=a n a n+2+a n+1(−a n+1+a n+3)−a n+22=a n a n+2+a n+1a n+2−a n+22=a n+2(a n +a n+1)−a n+22=a n+22−a n+22=0,所以所求式等于a 1a 3−a 22=2−1=1. 15．[38,12]【解析】以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则M(12,√32)，设OD =x ∈[0.1]，则D(−x 2,√32x),C(1−x,0)，因此MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12−x)(−x 2−12)+(−√32)(√32x −√32)=12(x 2−x +1)∈[38,12] 点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.16．(−∞,0)∪(0,1)【解析】设PA 斜率为k,(k ≠0)，则PB 斜率为1k ,由y =k(x +2)与3x 2+4y 2=12联列方程组解得Q(6−8k 23+4k 2,12k3+4k 2)， 所以k QF =12k3−12k 2(k 2≠14),∴k PBkQF=12k 2−312k 2=1−14k 2∈(−∞,0)∪(0,1)17．(1) a n =n(n ∈N ∗);（2）(−∞,2)．【解析】试题分析: (1)由和项求通项,一般利用S n −S n−1=a n (n ≥2)进行转化，得到项之间递推关系式，再利用叠乘法求通项，（2）研究数列单调性，只需研究相邻两项之间关系即可，本题数列{b n }为递增数列，等价于b n+1>b n 恒成立，再利用变量分离转化为对应数列最值问题：λ<2⋅3n 2n+1的最小值，最后根据数列{2⋅3n2n+1}单调性求最小值，即得λ的取值范围．试题解析:(1)∵2S n =(n +1)a n ，∴2S n+1=(n +2)a n+1，∴2a n+1=(n +2)a n+1+(n +1)a n ，即na n+1=(n +1)a n ，∴an+1n+1=a n n，∴an n =a n−1n−1=⋅⋅⋅=a 11=1 ∴a n =n(n ∈N ∗).（2）b n =3n −λn 2.b n+1−b n =3n+1−λ(n +1)2 −(3n −λn 2)=2⋅3n −λ(2n +1).∵数列{b n }为递增数列，∴2⋅3n −λ(2n +1)>0，即λ<2⋅3n2n+1. 令c n =2⋅3n2n+1，则c n+1c n=2⋅3n+12n+3⋅2n+12⋅3n=6n+32n+1>1.∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1=2，即λ的取值范围为(−∞,2)．点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法①用作差比较法，根据a n +1−a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列.②用作商比较法，根据an +1a n与1的大小关系及a n 符号进行判断.③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件 18．(1) 3;(2)140881．【解析】试题分析: (1)本题先识别事件为独立重复试验，其随机变量服从二项分布，一名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多一台机器出现故障的概率，小于0.9；两名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多两台机器出现故障的概率，小于0.9；三名工人保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率为至多三台机器出现故障的概率，大于0.9；因此至少有三名工人，（2）关键确定随机变量的取法：若至多两台机器出现故障，则获利4×5−2=18；若三台机器出现故障，则获利3×5−2=13；若四台机器出现故障，则获利2×5−2=8；根据对应概率列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析: (1)一台机器运行是否出现故障可看作一次实验，在一次试验中，机器出现故障设为事件A ，则事件A 的概率为13．该厂有4台机器就相当于4次独立重复试验，可设出现故障的机器台数为X ，则X ∼B(4,13)，P(X =0)=C 40(23)4=1681，P(X =1)=C 41⋅13⋅(23)3=3281， P(X =2)=C 42⋅(13)2(23)2=2481，P(X =3)=C 43⋅(13)3⋅23=881，X设该厂有n 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为文档编号：YLWK874552∵7281≤90%≤8081，∴至少要3名工人，才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%．(2)设该厂获利为Y 万元，则Y 的所有右能取值为：18,13,8，P(Y =18)=P(X =0) +P(X =1)+P(X =2)=7281， P(Y =13)=P(X =3)=881， P(Y =8)=P(X =4)=181．则E(Y)=18×7281+13×881+8×181=140881．故该厂获利的均值为140881．19．(1)见解析；(2)√217． 【解析】试题分析: (1)证明线线垂直，一般需多次利用线面垂直判定与性质定理进行转化，其中线线垂直的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题需利用勾股定理计算得到线线垂直.（2）求线面角，一般利用空间向量数量积求解，即先根据条件建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，解方程组得平面法向量，利用向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与线面角之间互余关系求解. 试题解析: (1)PG ∥BD 交CD 于G ，∴CGGD =CPPB =2，∴GD =13CD =23√3， 在ΔADG 中，tan∠GAD =√33，∴∠DAG =30°.AC 2=AD 2+CD 2=4+12=16，∴AC =4，E 为中点，DE =AE =2，∴∠ADE =60°，∴AG ⊥DE ． ∵AD ⊥面BCD ，∴AD ⊥BD ，又∵BD ⊥CD ，AD ∩CD =D ，∴BD ⊥面ADC ， ∴PG ⊥面ADC ，∴PG ⊥DE ．∵AG ∩PG =G ，∴DE ⊥面AGP ，AP ⊂面AGP ， ∴DE ⊥AP .(2)以点D 为坐标原点，以直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系,则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2√3,0)，E(0,√3,1)，F(1,√3,0)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，DE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,1)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2√3,−2)． 设平面EDF 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0,即{x +√3y =0,√3y +z =0,取n =(3,−√3,3)． 设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ 的夹角为θ，cosθ=AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=4√21√217. 所以直线AC 与平面DEF 所成角的正弦值为√217．20．(1) y 2=4x ；(2) S min=4√3.【解析】试题分析: (1) 根据垂径定理得等量关系d M−y 2+(|PQ|2)2=|EM|2，再将等量关系用坐标表示，可得动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）先用A(y 124,y 1)（y 1>0），B(y 224,y 2)坐标化简条件OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4，得y 1y 2=−8，而S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1，根据弦长公式及点到直线距离公式可得S △OAB =y 1−y 2.最后利用基本不等式求最值.试题解析: (1)设M(x,y)，PQ 的中点N ，连MN ，则：|PN|=2，MN ⊥PQ ， ∴|MN|2+|PN|2=|PM|2. 又|PM|=|EM|,∴|MN|2+|PN|2=|EM|2∴x 2+4=(x −2)2+y ，整理得y 2=4x . (2)设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，不失一般性，令y 1>0，则S △OFA =12⋅|OF|⋅y 1=12y 1， ∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4, ∴y 12y 2216+y 1y 2=−4,解得y 1y 2=−8③直线AB 的方程为：y−y 1y 2−y 1x−y 124y 224−y 124，(y 1≠−y 2),即y −y 1=4(x−y 124)y 1+y 2，令y =0得x =2，即直线AB 恒过定点E(2,0)，当y 1=−y 2时，AB ⊥x 轴，A(2,2√2)，B(2,−2√2)． 直线AB 也经过点E(2,0).∴S △OAB =12|OE|⋅|y 1−y 2|=y 1−y 2.文档编号：YLWK874552由③可得S△OAB=y1+8y1,∴S=S△OAB=12y1+(y1+8y1)=32y1+8y1≥2√12=4√3.当且仅当32y1=8y1，即y1=4√33时，S min=4√3.21．(1)F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)；(2)−1；(3) 见解析.【解析】试题分析: (1)先求函数导数，再在定义域内求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间，（2）先设切点(x0,lnx0−1x0)，根据导数几何意义将a+b表示成x0的函数：lnx0+1x02−1x0−1，再利用导数求函数最小值，(3)利用结论e x≥x+1，进行放缩2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3，转化证明2x−3≥lnx−1x，这可以构造差函数G(x)=lnx−1x−2x+3，利用导数可得其最大值为G(1)=0.试题解析: (1)a=2时，F(x)=f(x)−g(x)=lnx−1x−2x−b，F′(x)=1x +1x2−2(x>0)，F′(x)=x+1−2x2x2=(1−x)(1+2x)x2，解F′(x)>0得0<x<1，解F′(x)<0得x>1，∴F(x)的单调增区间为(0,1)，单调减区间为区间为(1,+∞)．(2)设切点坐标为设切点坐标为(x0,lnx0−1x0)，f′(x)=1x +1x2，切线斜率a=f′(x0)=1x0+1x02，又lnx0−1x0=ax0+b，∴b=lnx0−2x0−1，∴a+b=lnx0+1x02−1x0−1令ℎ(x)=lnx+1x2−1x−1(x>0)，ℎ′(x)=1x −2x3+1x2=x2+x−2x3=(x+2)(x−1)x3，解ℎ′(x)<0得o<x<1，解ℎ′(x)>0得x>1，∴ℎ(x)在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增．∴ℎ(x)≥ℎ(1)=−1，∴a+b的最小值为−1．(3)法一：令G(x)=lnx−1x−2x+3，由(1)知(G(x))max=G(1)=0，∴lnx−1x≤2x−3.又e x≥x+1，∴2e x−52≥2[(x−52)+1]=2x−3(x>0)∴2e x−52≥2x −3≥lnx −1x ，（两个等号不会同时成立） ∴2ex−52−lnx +1x >0．法二：令P(x)=2e x−52−lnx +1x，P ′(x)=2ex−52−1x−1x 2显然P ′(x)在(0,+∞)上递增，P ′(1)<0，P ′(2)>0 ∴P ′(x)=0在(0,+∞)上有唯一实根x ∗，且x ∗∈(1,2)，2e x∗−52=1x ∗+ 1(x ∗)2，∴P(x)在(0,x ∗)上递减，在(x ∗,+∞)上递增， ∴P(x)≥P(x ∗) =2e x∗−52−lnx =2e x∗−52−lnx ∗+1x ∗ =2x ∗+1(x ∗)2−lnx ∗>2+1−ln2>0 ∴2e x−52−lnx +1x >0，点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数ℎ(x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 22．(1) x 2+y 23=1， x +y −6=0；(2)2√2， P (12,32)．【解析】试题分析: (1)利用 cos 2α+sin 2α=1将曲线C 1的参数方程化为普通方程为x 2+y 23=1，利用ρcosθ=x,ρsinθ=y 将曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为x +y −6=0．（2）根据直线与圆位置关系可得|PQ|取得最小值为圆心到直线距离减去半径，此时P 为过圆心且垂直于直线C 2的直线与圆的交点（靠近直线C 2）.试题解析: (1)C 1的普通方程为x 2+y 23=1，C 2的直角坐标方程为x +y −6=0．(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(cosα,√3sinα)，因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)=√3sinα−6|√2=√2|sin(α+π6)−3|.当且仅当α=2kπ+π3(k ∈Z)时，|PQ|取得最小值，最小值为2√2，此时P 的直角坐标为(12,32)．23．(1)1；(2)a =613，b =413，c =313时，最小值为1213． 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 |x +3|+|x +m|最小值为|m −3|.再解不等式|m −3|≥2m 即得m 的最大值；（2）由柯西不等式得(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1，即得2a 2+3b 2+4c 2的最小值，再根据等于号成立条件解得a ，b ，c 的值．试题解析: (1)因为|x +3|+|x +m|≥ |(x +3)−(x +m)| =|m −3|.文档编号：YLWK874552当−3≤x ≤−m 或−m ≤x ≤−3时取等号，令|m −3|≥2m 所以m −3≥2m 或m −3≤−2m ． 解得m ≤−3或m ≤1 ∴m 的最大值为1． (2)∵a +b +c =1．由柯西不等式，(12+13+14)(2a 2+3b 2+4c 2) ≥(a +b +c)2=1,∴2a 2+3b 2+4c 2≥1213，等号当且仅当2a =3b =4c ，且a +b +c =1时成立． 即当且仅当a =613，b =413，c =313时，2a 2+3b 2+4c 2的最小值为1213．。