14年高考真题——文科数学(福建卷)
2014年福建省高考数学试卷文科学生版
2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2014?福建）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}2．（5分）（2014?福建）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3iB．﹣2+3iC．2﹣3iD．2+3i3．（5分）（2014?福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．14．（5分）（2014?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（）4．3DB．2C．A．13）x≥0”0，+∞），x的否定是（+?．5（5分）（2014?福建）命题“x∈[330xx），≥+B．?∈（﹣∞，?x0），x＜+x0x∈（﹣∞，0A．330＜∞），x+x0+x+0，∞），x≥∈．D?x[+0∈x．C?[，000000221=0+x且与直线+y 的圆心，）﹣（过圆已知直线2014?分）（6．5（福建）lx+y3=4）l垂直，则的方程是（A．x+y﹣2=0B．x﹣y+2=0C．x+y﹣3=0D．x﹣y+3=07．（5分）（2014?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为π对称x=（x）的图象关于直线C．y=f）对称）的图象关于点（﹣，0D．y=f （x）的图象如图所示，则≠1a＞0，且ax8．（5分）（2014?福建）若函数y=log（a）下列函数正确的是（．BA．．DC．3的无盖长方体容器，，高为（5分）（2014?福建）要制作一个容积为4m1m9．元，则该元，侧面造价是每平方米10已知该容器的底面造价是每平方米20）容器的最低总造价是（元．160元D．240C．A80元B．120元为平行四O为平行四边形ABCD对角线的交点，（10．（5分）2014?福建）设M）边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（A．．4B．2．C3D22，设平面区域=1）b﹣y（+）a﹣x（：C福建）已知圆2014?（分）5（．11．22的最大值为（a +b）轴相切，若圆心C∈ΩΩ=，且圆C与x 则，A．49B．37C．29D．512．（5分）（2014?福建）在平面直角坐标系中，两点P（x，y），P（x，y）211212间的“L﹣距离”定义为|PP|=|x﹣x|+|y﹣y|．则平面内与x轴上两个不同211212的定点F，F的“L﹣距离”之和等于定值（大于|FF|）的点的轨迹可以是（）2211．BA．．．DC分16:二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共粒豆子，有1000分）（2014?福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒13．（4．粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为180．AC=2，BC=，则AB等于在△14．（4分）（2014?福建）ABC中，A=60°，，．f（4分）（2014?福建）函数（x）=的零点个数是．15＞，，且下列三个关系：①}，2{a，b，c}=0，1{分）16．（4（2014?福建）已知集合．c 等于10b0b=2a≠2；②；③?c≠有且只有一个正确，则100a++.分6小题，共74三．解答题：本大题共．=81a=3a}a福建）在等比数列（12．17（分）2014?{中，，52n；a（Ⅰ）求n （Ⅱ）设b=loga，求数列{b}的前n项和S．nnn3n18．（12分）（2014?福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．）的值；（（Ⅰ）求f（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）（2014?福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．美元低于10352013年新标准，人均GDP分）20．（12（2014?福建）根据世行GDP人均40851035﹣美元为中等偏下收入国家；为低收入国家；人均GDP为美元为高12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于为4085﹣12616如GDP（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）（2014?福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．x﹣ax（a=e为常数）的图象与y轴交福建）已知函数．（14分）（2014?f（x）22于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；2x；＜0时，xe＞（2）证明：当x（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x，使得当x∈（x，+∞）时，恒有x00x．ce ＜。
2014年高考福建文科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2014年福建，文1，5分】若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q = （ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤ 【答案】A【解析】{|34}P Q x x ≤ ＝＜，故选A ． （2）【2014年福建，文2，5分】复数()32i i +等于（ ）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i + 【答案】B【解析】232i i 3i 223()i i ＋＝＋＝－＋，故选B ． （3）【2014年福建，文3，5分】以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）（A ）2π（B ）π （C ）2 （D ）1【答案】A 【解析】根据题意，可得圆柱侧面展开图为矩形，长212ππ⨯=，宽1，∴212S ππ=⨯=，故选A ． （4）【2014年福建，文4，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B【解析】第一次循环1n =，判断1221>成立，则112n =+=；第二次循环，判断2222>不成立，则输出2n =，故选B ．（5）【2014年福建，文5，5分】命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ）（A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥（C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，故该命题的否定是[)00,x ∃∈+∞，3000x x +<，故选C ．（6）【2014年福建，文6，5分】直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）（A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+= 【答案】D【解析】直线过圆心()0,3，与直线10x y ++=垂直，故其斜率1k =．所以直线的方程为()310y x -=⨯-，即30x y -+=，故选D ．（7）【2014年福建，文7，5分】将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）（A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】sin y x =的图象向左平移2π个单位，得π()=sin =cos 2y f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，所以()f x 是偶函数，A 不正确；()f x 的周期为2π，B 不正确；()f x 的图象关于直线()x k k π=∈Z 对称，C 不正确；()f x 的图象关于点(),02k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z 对称，当1k =-时，点为π(,0)2-，故选D ．（8）【2014年福建，文8，5分】若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】B【解析】由题中图象可知log 31a =，所以3a =．A 选项，133xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭为指数函数，在R 上单调递减，故A 不正确．B 选项，3y x =为幂函数，图象正确．C 选项，()33y x x =-=-，其图象和B 选项中3y x =的图象关于x 轴对称，故C 不正确．D 选项，()3log y x =-，其图象与3log y x =的图象关于y 轴对称，故D选项不正确，故选B ．（9）【2014年福建，文9，5分】要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（ ）（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元 【答案】C【解析】设容器的底长x 米，宽y 米，则4xy =．所以4y x=，则总造价为：()()80420211080202080f x xy x y x x x x ⎛⎫=++⨯⨯=++=++ ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞． 所以()20160f x ≥⨯=，当且仅当4x x=，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价是160元，故选C ．（10）【2014年福建，文10，5分】设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）（A ）OM （B ）2OM （C ）3OM （D ）4OM【答案】D【解析】因为M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则，得2OA OC OM += ，2OB OD OM +=，所以4OA OB OC OD OM +++=，故选D ．（11）【2014年福建，文11，5分】已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩．若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为（ ）（A ）5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 【答案】C【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以1b =，所以圆心在直线1y =上，求得与直线30x y -+=，70x y +-=的两交点坐标分别为()2,1A -，()6,1B ，所以[]2,6a ∈-．所以[]22211,37a b a +=+∈，所以22a b +的最大值为37，故选C ．（12）【2014年福建，文12，5分】在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于 12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）【答案】A【解析】不妨设()1,0F a -，()2,0F a ，其中0a >，点(),P x y 是其轨迹上的点，P 到1F ，2F 的“L -距离”之和等于定值b （大于12||||F F )，所以x a y x a y b +++-+=，即2x a x a y b -+++=．当x a <-，0y ≥时，上式可化为2b y x －=；当a x a -≤≤，0y ≥时，上式可化为2by =a -； 当x a >，0y ≥时，上式可化为2b x+y =；当x a <-，0y <时，上式可化为2bx+y =-；当a x a -≤≤，0y <时，上式可化为2b y a =-；当x a >，0y <时，上式可化为2bx y =-，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．（13）【2014年福建，文13，5分】如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ． 【答案】0.18【解析】由几何概型可知18010001S S S ==阴影阴影正方形，所以0.18S 阴影＝．故答案为0.18． （14）【2014年福建，文14，5分】在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC =AB = ．【答案】1【解析】由余弦定理可知：2222431cos 2222b c a c A bc c +-+-===⨯，所以1c =，故答案为1．（15）【2014年福建，文15，5分】函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是 ．【答案】2【解析】当0x ≤时，令()220f x x =-=，得x =x =．当0x >时，()26ln f x x x =-+，()12+0f x x'=>．所以()f x 单调递增，当0x →时，()0f x <；当x →+∞时，()0f x >，所以()f x 在()0,+∞上有一个零点．综上可知共有两个零点．故答案为2．（16）【2014年福建，文16，5分】已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于 ． 【答案】201【解析】由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况：（1）当①成立时，则2a ≠，2b ≠，0c =，此种情况不成立； （2）当②成立时，则2a =，2b =，0c =，此种情况不成立；（3）当③成立时，则2a =，2b ≠，0c ≠，即2a =，0b =，1c =， 所以1001010021001201a b c ++=⨯+⨯+=．三、解答题：本大题共6题，共74分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （17）【2014年福建，文17，12分】在等比数列{}n a 中，23a =，581a =．（1）求n a ；（2）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=．（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n nS +-==． （18）【2014年福建，文18，12分】已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+．（1）求54f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间． 解：（1）55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2）因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故周期T π=．由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈．因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．（19）【2014年福建，文19，12分】如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ．（1）求证：CD ⊥平面ABD ；（2）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积．解：（1）因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故A B C D ⊥．又CD BD ⊥，AB BD B = ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ．（2）由AB ⊥平面BCD ，得A B B D ⊥．因1AB BD ==，故12ABD S ∆=．因M 是AD 中点，故124ABD ABM S S ∆∆==． 由（1）知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积1312ABM A MBC C ABM S h V V ∆--⋅===．（20）【2014年福建，文20，12分】根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616GDP 如下表．（1（2）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解：（1）设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为：()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a a⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E {}{}{},,,,,,B C B D B E{}{}{},,,,,C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =． （21）【2014年福建，文21，12分】已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =- 的距离小2．（1）求曲线Γ的方程；（2）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N ．以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ．试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合） 时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．解：（1）设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =． （2）当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下：由（1）知抛物线Γ的方程为214y x =， 设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =．由'12y x =得切线l 的斜率012k x =， 故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-．由200420y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r =00||3||24x MN x =+，||AB ==所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．（22）【2014年福建，文22，14分】已知函数()xf x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有x x ce <． 解：（1）由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =．故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-．令()0f x '=，得ln 2x =．当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增．所 以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln 22ln 4f =-，()f x 无极大值．（2）令()2x g x e x =-，则由（1）得()()()2ln 22ln 40x g x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增．又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，由（2）知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤．取00x =，当()0,x x ∈+∞时，恒有2xx ce <；②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立，即要()2ln 2ln ln x kx x k>=+ 成立．令()2ln ln h x x x k =--，则()21h x x=-．所以当2x >时，()0h x '>，()h x 在()2,+∞单增．取01616x k =>，故()h x 在()0,x +∞单增．又()()()()0162ln 16ln 8ln 23ln 50h x k k k k k k k =--=-+-+>，即存在016x c=，当()0,x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上得证．。
2014年福建省高考数学试卷(文科)(含解析版)
2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3} 2．（5分）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0 6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0B．x﹣y+2=0C．x+y﹣3=0D．x﹣y+3=0第 1 页共 25 页 17．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f （x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称8．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a ≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．42第 2 页共 25 页11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49B．37C．29D．512．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于．15．（4分）函数f（x）=的零点个数是．16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于．第 3 页共 25 页 3三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．4第 4 页共 25 页20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离第 5 页共 25 页 5小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．6第 6 页共 25 页2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4}B．{x|3＜x＜4}C．{x|2≤x＜3}D．{x|2≤x≤3}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键2．（5分）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转第 7 页共 25 页7一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．1【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：A．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．48第 8 页共 25 页【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．5．（5分）命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0），x3+x＜0B．∀x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0D．∃x0∈[0，+∞），x03+x0≥0【考点】2J：命题的否定．【专题】5L：简易逻辑．【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选：C．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．6．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0B．x﹣y+2=0C．x+y﹣3=0D．x﹣y+3=0第 9 页共 25 页9【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．7．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f （x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B ．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos（﹣）=0即可得到正确选项．【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，10第 10 页共 25 页∴y=f（x）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．8．（5分）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】15：综合题；51：函数的性质及应用．【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；第 11 页共 25 页11对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选：B．【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】15：综合题；59：不等式的解法及应用．【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．412第 12 页共 25 页【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】虑用特殊值法去做，因为O 为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．11．（5分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49B．37C．29D．5【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，第 13 页共 25 页13∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b 2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．14第 14 页共 25 页C．D．【考点】J3：轨迹方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y +m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18．第 15 页共 25 页15【考点】CF：几何概型．【专题】5I：概率与统计．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．16第 16 页共 25 页15．（4分）函数f（x）=的零点个数是2．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故x＞0时，函数有1个零点．故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b=2；第 17 页共 25 页17③ƒc≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．【考点】19：集合的相等．【专题】5J：集合．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．18第 18 页共 25 页【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．18．（12分）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f （x）的最小正周期及单调递增区间．【考点】GS：二倍角的三角函数；H1：三角函数的周期性．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x ）=sin （2x+）+1，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）第 19 页共 25 页19+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x +）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD ．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，V A=V C﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC﹣MBC的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；20第 20 页共 25 页（Ⅱ）解：∵AB ⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM =S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM•CD=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；CC：列举法计算基本事件数及事件第 21 页共 25 页21发生的概率；CS：概率的应用．【专题】12：应用题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S 满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的22第 22 页共 25 页坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P 在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．【解答】解：（Ⅰ）设S （x，y）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S 到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y．（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB 的长度不变，证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P（x 0，y0）（x0≠0）则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即．由得，由得，又N（0，3），所以圆心C（），半径r==∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．第 23 页共 25 页23【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．22．（14分）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．【解答】解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；24第 24 页共 25 页（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．第 25 页共 25 页25。
【推荐】2014年福建省高考数学试卷(文科)
2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，则P ∩Q 等于（ ）A ．{|3≤＜4}B ．{|3＜＜4}C ．{|2≤＜3}D ．{|2≤≤3}2．（5分）复数（3+2i ）i 等于（ ）A ．﹣2﹣3iB ．﹣2+3iC ．2﹣3iD ．2+3i3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A ．2πB ．πC ．2D ．14．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（5分）命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”的否定是（ ）A ．∀∈（﹣∞，0），3+＜0B ．∀∈（﹣∞，0），3+≥0C ．∃0∈[0，+∞），03+0＜0D ．∃0∈[0，+∞），03+0≥06．（5分）已知直线l 过圆2+（y ﹣3）2=4的圆心，且与直线+y+1=0垂直，则l 的方程是（ ）A ．+y ﹣2=0B ．﹣y+2=0C ．+y ﹣3=0D ．﹣y+3=07．（5分）将函数y=sin 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A．y=f（）是奇函数B．y=f（）的周期为πC．y=f（）的图象关于直线=对称D．y=f（）的图象关于点（﹣，0）对称8．（5分）若函数y=log（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确a的是（）A．B．C．D．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．411．（5分）已知圆C：（﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，则a2+b2的最大值为（）A ．49B ．37C ．29D ．512．（5分）在平面直角坐标系中，两点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）间的“L ﹣距离”定义为|P 1P 2|=|1﹣2|+|y 1﹣y 2|．则平面内与轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于定值（大于|F 1F 2|）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ．14．（4分）在△ABC 中，A=60°，AC=2，BC=，则AB 等于 ． 15．（4分）函数f （）=的零点个数是 ．16．（4分）已知集合{a ，b ，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a ≠2；② b=2；③ c ≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c 等于 ．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{a n }中，a 2=3，a 5=81．（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设bn =log3an，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）已知函数f（）=2cos（sin+cos）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．（14分）已知函数f（）=e﹣a（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（）的极值；（2）证明：当＞0时，2＜e；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在0，使得当∈（，+∞）时，恒有＜ce．2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）若集合P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，则P∩Q等于（）A．{|3≤＜4} B．{|3＜＜4} C．{|2≤＜3} D．{|2≤≤3}【分析】由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：∵P={|2≤＜4}，Q={|≥3}，∴P∩Q={|3≤＜4}．故选：A．【点评】本题考查交集的运算，理解好交集的定义是解题的关键2．（5分）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．【解答】解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．3．（5分）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2 D．1【分析】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．【解答】解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：A ．【点评】本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．4．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n ＞n 2，跳出循环，确定输出的n 值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n ＞n 2，跳出循环，输出n=2．故选：B ．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．5．（5分）命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”的否定是（ ）A ．∀∈（﹣∞，0），3+＜0B ．∀∈（﹣∞，0），3+≥0C ．∃0∈[0，+∞），03+0＜0D ．∃0∈[0，+∞），03+0≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．【解答】解：∵命题“∀∈[0，+∞），3+≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：∃0∈[0，+∞），03+0＜0故选：C ．【点评】本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．6．（5分）已知直线l 过圆2+（y ﹣3）2=4的圆心，且与直线+y+1=0垂直，则l 的方程是（ ）A ．+y ﹣2=0B ．﹣y+2=0C ．+y ﹣3=0D ．﹣y+3=0【分析】由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l 的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l 经过点（0，3），斜率为1，故l 的方程是 y ﹣3=﹣0，即﹣y+3=0，故选：D ．【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．7．（5分）将函数y=sin 的图象向左平移个单位，得到函数y=f （）的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A ．y=f （）是奇函数B ．y=f （）的周期为πC ．y=f （）的图象关于直线=对称 D ．y=f （）的图象关于点（﹣，0）对称 【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y=f （）的图象对应的解析式为f （）=cos ，则可排除选项A ，B ，再由 cos =cos （﹣）=0即可得到正确选项．【解答】解：将函数y=sin的图象向左平移个单位，得y=sin（+）=cos．即f（）=cos．∴f（）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos（﹣）=0，∴y=f（）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．【点评】本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确8．（5分）若函数y=loga的是（）A．B．C．D．【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．【解答】解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log3=1，a解得a=3，对于A，由于y=a﹣是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=loga （﹣）与y=loga的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选：B．【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．9．（5分）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元【分析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．【解答】解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．10．（5分）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则等于（）A． B．2 C．3 D．4【分析】虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．【解答】解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．【点评】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．11．（5分）已知圆C：（﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．49 B．37 C．29 D．5【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与轴相切，∴b=1，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a 2+b 2=36+1=37，即最大值为37， 故选：B ．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．12．（5分）在平面直角坐标系中，两点P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）间的“L ﹣距离”定义为|P 1P 2|=|1﹣2|+|y 1﹣y 2|．则平面内与轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于定值（大于|F 1F 2|）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设出F 1，F 2的坐标，在设出动点M 的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案． 【解答】解：设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），再设动点M （，y ），动点到定点F 1，F 2的“L ﹣距离”之和等于m （m ＞2c ＞0），由题意可得：|+c|+|y|+|﹣c|+|y|=m，即|+c|+|﹣c|+2|y|=m．当＜﹣c，y≥0时，方程化为2﹣2y+m=0；当＜﹣c，y＜0时，方程化为2+2y+m=0；当﹣c≤＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤＜c，y＜0时，方程化为y=c﹣；当≥c，y≥0时，方程化为2+2y﹣m=0；当≥c，y＜0时，方程化为2﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．故选：A．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0.18 ．【分析】根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．【解答】解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=0.18，故答案为：0.18．【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于 1 ．【分析】利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（4分）函数f（）=的零点个数是 2 ．【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．【解答】解：当≤0时，由f（）=0得2﹣2=0，解得=或=（舍去），当＞0时，由f（）=0得2﹣6+ln=0，即ln=6﹣2，作出函数y=ln和y=6﹣2在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个交点，故＞0时，函数有1个零点．故函数f（）的零点个数为2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．16．（4分）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：① a≠2；② b=2；③ c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201 ．【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．【解答】解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足题意；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足题意；当a=2时，b=0、c=1，此时满足题意；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．【点评】本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）在等比数列{an }中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n ；（Ⅱ）设b n =log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n 代入b n =log 3a n ，得到数列{b n }的通项公式，由此得到数列{b n }是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 2=3，a 5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n =log 3a n ， ∴．则数列{b n }的首项为b 1=0，由b n ﹣b n ﹣1=n ﹣1﹣（n ﹣2）=1（n ≥2）， 可知数列{b n }是以1为公差的等差数列． ∴．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和公式，是基础的计算题．18．（12分）已知函数f （）=2cos （sin+cos ）． （Ⅰ）求f （）的值；（Ⅱ）求函数f （）的最小正周期及单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f （）=sin （2+）+1，从而求得f （）的值．（Ⅱ）根据函数f （）=sin （2+）+1，求得它的最小正周期．令2π﹣≤2+≤2π+，∈，求得的范围，可得函数的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f （）=2cos （sin+cos ）=sin2+1+cos2=sin （2+）+1， ∴f （）=sin （+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f （）=sin （2+）+1，故它的最小正周期为=π．令2π﹣≤2+≤2π+，∈，求得π﹣≤≤π+，故函数的单调递增区间为[π﹣，π+]，∈．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．19．（12分）如图，三棱锥A ﹣BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ． （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M 为AD 中点，求三棱锥A ﹣MBC 的体积．【分析】（Ⅰ）证明：CD ⊥平面ABD ，只需证明AB ⊥CD ；（Ⅱ）利用转换底面，V A ﹣MBC =V C ﹣ABM =S △ABM •CD ，即可求出三棱锥A ﹣MBC 的体积．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD ，∵CD ⊥BD ，AB ∩BD=B ， ∴CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）解：∵AB ⊥平面BCD ，BD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥BD ． ∵AB=BD=1， ∴S △ABD =， ∵M 为AD 中点，∴S △ABM =S △ABD =， ∵CD ⊥平面ABD ，∴V A ﹣MBC =V C ﹣ABM =S △ABM •CD=．【点评】本题考查线面垂直，考查三棱锥A ﹣MBC 的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20．（12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．【分析】（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A，C，E，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．【点评】本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．21．（12分）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．【分析】（Ⅰ）设S（，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S 满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N 的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P 在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．【解答】解：（Ⅰ）设S （，y ）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S 到F （0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等， 曲线Γ是以F 为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线， ∴曲线Γ的方程为：2=4y ．（Ⅱ）当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变， 证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P （0，y 0）（0≠0）则y 0=，由y得切线l 的斜率==∴切线l 的方程为：，即．由得，由得，又N （0，3），所以圆心C （），半径r==∴点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．22．（14分）已知函数f （）=e ﹣a （a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线y=f （）在点A 处的切线斜率为﹣1．（1）求a 的值及函数f （）的极值；（2）证明：当＞0时，2＜e ；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0，使得当∈（0，+∞）时，恒有＜ce ．【分析】（1）利用导数的几何意义求得a ，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g （）=e ﹣2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令0=，则e ＞2＞，即＜ce ．即得结论成立．【解答】解：（1）由f （）=e ﹣a 得f ′（）=e ﹣a ．又f ′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f （）=e ﹣2，f ′（）=e ﹣2．由f ′（）=0得=ln2，当＜ln2时，f ′（）＜0，f （）单调递减；当＞ln2时，f ′（）＞0，f （）单调递增；∴当=ln2时，f （）有极小值为f （ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f （）无极大值．（2）令g （）=e ﹣2，则g ′（）=e ﹣2，由（1）得，g ′（）=f （）≥f （ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g ′（）＞0， ∴当＞0时，g （）＞g （0）＞0，即2＜e ；（3）对任意给定的正数c ，总存在0=＞0．当∈（0，+∞）时，由（2）得e ＞2＞，即＜ce ．∴对任意给定的正数c ，总存在0，使得当∈（0，+∞）时，恒有＜ce ．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·福建(文科数学)
2014·福建卷(文科数学)1．[2014·福建卷] 若集合P＝{x|2≤x<4}，Q＝{x|x≥3}，则P∩Q等于()A．{x|3≤x<4}B．{x|3<x<4}C．{x|2≤x<3}D．{x|2≤x≤3}1．.A[解析]把集合P＝{x|2≤x<4}与Q＝{x|x≥3}在数轴上表示出来，得P∩Q＝{x|3≤x<4}，故选A.2．[2014·福建卷] 复数(3＋2i)i等于()A．－2－3iB．－2＋3iC．2－3iD．2＋3i2．B[解析] (3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A．2πB．πC．2D．13．A[解析]由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.4．[2014·福建卷] 阅读如图1-1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1-1A．1B．2C．3D．44．B[解析]当n＝1时，21>12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22>22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.5．[2014·福建卷] 命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥05．C[解析]“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”是含有全称量词的命题，其否定是“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”，故选C.6．[2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是()A．x＋y－2＝0B．x－y＝2＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝06．D[解析]由直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，可设直线l的方程为x－y＋m＝0.又直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心(0，3)，则m＝3，所以直线l的方程为x－y＋3＝0，故选D.7． [2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析]将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-28． [2014·福建卷] 若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图1-2所示，则下列函数图像正确的是( )图1-2A BC D 图1-38．B [解析]由函数y ＝log a x 的图像过点(3，1)，得a ＝3.选项A 中的函数为y ＝⎝⎛⎭⎫13x，其函数图像不正确；选项B 中的函数为y ＝x 3，其函数图像正确；选项C 中的函数为y ＝(－x )3，其函数图像不正确；选项D 中的函数为y ＝log 3(－x )，其函数图像不正确，故选B.9． [2014·福建卷] 要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元9．C [解析]设底面矩形的一边长为x .由容器的容积为4m 3，高为1m ．得另一边长为4x m.记容器的总造价为y 元，则 y ＝4×20＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×1×10 ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时等号成立．因此，当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元，故选C. 10． [2014·福建卷] 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B ．2OM → C ．3OM →D ．4OM →10．D [解析]如图所示，因为M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以M 是AC 与BD 的中点，即MA →＝－MC →，MB →＝－MD →.在△OAC 中，OA →＋OC →＝(OM →＋MA →)＋(OM →＋MC →)＝2OM →. 在△OBD 中，OB →＋OD →＝(OM →＋MB →)＋(OM →＋MD →)＝2OM →， 所以OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →，故选D.11． [2014·福建卷] 已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4911．C [解析]作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0表示的平面区域Ω(如下图阴影部分所示，含边界)，圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心坐标为(a ，b )，半径为1.由圆C 与x 轴相切，得b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝1，即直线x ＋y －7＝0与直线y ＝1的交点坐标为(6，1)，设此点为P .又点C ∈Ω，则当点C 与P 重合时，a 取得最大值， 所以，a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37，故选C.12． [2014·福建卷] 在平面直角坐标系中，两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的“L -距离”定义为||P 1P 2||＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1，F 2的“L -距离”之和等于定值(大于||F 1F 2||) )AC图1-412．A [解析]设M (x ，y )是轨迹上任意一点，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，||MF 1|＋|MF 2||＝2a ，其中a 为常数，且a >c >0，由“L －距离”定义，得|x ＋c |＋|y |＋|x －c |＋|y |＝2a ，即|y |＝12(2a －|x ＋c |－|x －c |)，当y ≥0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x <－c ，a －c ，－c ≤x <c ；－x ＋a ，x ≥c ，当y <0时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －a ，x <－c ，－a ＋c ，－c ≤x <c ，x －a ，x ≥c .则满足上述关系的图像只有选项A.13． [2014·福建卷] 如图1-5所示，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．图1-513．0.18 [解析]设阴影部分的面积为S .随机撒1000粒豆子，每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的，落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数＝1801000＝0.18， 所以可以估计阴影部分的面积为0.18.14． [2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________． (这是边文，请据需要手工删加)14．1 [解析]由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.15． [2014·福建卷] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．15．2 [解析]当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2，即在区间(－∞，0)上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ， 令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点． 综上可知，函数f (x )的零点的个数是2. 16． [2014·福建卷] 已知集合{a ，b ，c }＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a ≠2；②b ＝2；③c ≠0有且只有一个正确，则100a ＋10b ＋c 等于________．16．201 [解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c ＝0，由①正确得a ＝1，所以b ＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a ＝2，与②正确矛盾，故②不正确． (iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a ＝2，由②不正确及③正确得b ＝0，c ＝1，故③正确．则100a ＋10b ＋c ＝100×2＋10×0＋1＝201. 17． [2014·福建卷] 在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 17．解：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n2.18． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4 ＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .19． [2014·福建卷] 如图1-6所示，三棱锥A BCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD .(1)求证：CD ⊥平面ABD ；(2)若AB ＝BD ＝CD ＝1，M 为AD 中点，求三棱锥A -MBC 的体积．图1-619．解：方法一：(1)证明：∵AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， ∴AB ⊥CD .又∵CD ⊥BD ，AB ∩BD ＝B ，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD .(2)由AB ⊥平面BCD ，得AB ⊥BD .∵AB ＝BD ＝1，∴S △ABD ＝12.∵M 是AD 的中点， ∴S △ABM ＝12S △ABD ＝14.由(1)知，CD ⊥平面ABD ，∴三棱锥C -ABM 的高h ＝CD ＝1，因此三棱锥A -MBC 的体积 V A -MBC ＝V C ABM ＝13S △ABM ·h ＝112.方法二：(1)同方法一．(2)由AB ⊥平面BCD ，得平面ABD ⊥平面BCD . 且平面ABD ∩平面BCD ＝BD .如图所示，过点M 作MN ⊥BD 交BD 于点N ， 则MN ⊥平面BCD ，且MN ＝12AB ＝12.又CD ⊥BD ，BD ＝CD ＝1，∴S △BCD ＝12.∴三棱锥A -MBC 的体积V A MBC ＝V A BCD －V M BCD ＝13AB ·S △BCD －13MN ·S △BCD ＝112. 20． [2014·福建卷] 根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：(1)(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．20．解：(1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa＝6400(美元)．因为6400∈[4085，12616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个．设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”， 则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个． 所以所求概率为P (M )＝310.21． [2014·福建卷] 已知曲线Γ上的点到点F (0，1)的距离比它到直线y ＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程．(2)曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线y ＝3分别与直线l 及y 轴交于点M ，N .以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B .试探究：当点P 在曲线Γ上运动(点P 与原点不重合)时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．21．解：方法一：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点．依题意，点S 到点F (0，1)的距离与它到直线y ＝－1的距离相等， 所以曲线Γ是以点F (0，1)为焦点，直线y ＝－1为准线的抛物线， 所以曲线Γ的方程为x 2＝4y .(2)当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变．证明如下： 由(1)知抛物线Γ的方程为y ＝14x 2.设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，则y 0＝14x 20，由y ′＝12x ，得切线l 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝12x 0，所以切线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝0，得A ⎝⎛⎭⎫12x 0，0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝3，得M ⎝⎛⎭⎫12x 0＋6x 0，3. 又N (0，3)，所以圆心C ⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 0，3， 半径r ＝12|MN |＝⎪⎪⎪⎪14x 0＋3x 0， |AB |＝|AC |2－r 2 ＝⎣⎡⎦⎤12x 0－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＋32－⎝⎛⎭⎫14x 0＋3x 02＝ 6.所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变． 方法二：(1)设S (x ，y )为曲线Γ上任意一点，则|y －(－3)|－（x －0）2＋（y －1）2＝2.依题意，点S (x ，y )只能在直线y ＝－3的上方，所以y ＞－3，所以（x －0）2＋（y －1）2＝y ＋1， 化简得，曲线Γ的方程为x 2＝4y . (2)同方法一． 22． [2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值； (2)证明：当x ＞0时，x 2＜e x ；(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 22．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ， 得f ′(x )＝e x －a .又f ′(0)＝1－a ＝－1，得a ＝2. 所以f (x )＝e x －2x ，f ′(x )＝e x －2. 令f ′(x )＝0，得x ＝ln2.当x ＜ln2时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞ln2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以当x ＝ln2时，f (x )有极小值，且极小值为f (ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4， f (x )无极大值．(2)证明：令g (x )＝e x －x 2，则g ′(x )＝e x －2x . 由(1)得，g ′(x )＝f (x )≥f (ln2)＝2－ln4＞0， 即g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上单调递增，又g (0)＝1＞0， 所以当x ＞0时，g (x )＞g (0)＞0，即x 2＜e x .(3)证明：对任意给定的正数c ，取x 0＝1c ，由(2)知，当x ＞0时，x 2＜e x .所以当x ＞x 0时，e x ＞x 2＞1cx ，即x <c e x .因此，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法二：(1)同方法一． (2)同方法一．(3)证明：令k ＝1c (k ＞0)，要使不等式x ＜c e x 成立，只要e x ＞kx 成立．而要使e x ＞kx 成立，则只需要x >ln(kx )， 即x ＞ln x ＋ln k 成立．①若0＜k ≤1，则ln k ≤0，易知当x ＞0时，x ＞ln x ≥ln x ＋ln k 成立． 即对任意c ∈[1，＋∞)，取x 0＝0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .②若k ＞1，令h (x )＝x －ln x －ln k ，则h ′(x )＝1－1x ＝x －1x，第 11 页 共 11 页 所以当x ＞1时，h ′(x )＞0，h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 取x 0＝4k ，h (x 0)＝4k －ln(4k )－ln k ＝2(k －ln k )＋2(k －ln2)， 易知k ＞ln k ，k ＞ln2，所以h (x 0)＞0.因此对任意c ∈(0，1)，取x 0＝4c，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x . 方法三：(1)同方法一．(2)同方法一．(3)证明：①若c ≥1，取x 0＝0，由(2)的证明过程知，e x ＞2x ，所以当x ∈(x 0，＋∞)时，有c e x ≥e x ＞2x ＞x ， 即x ＜c e x .②若0＜c ＜1，令h (x )＝c e x －x ，则h ′(x )＝c e x －1.令h ′(x )＝0得x ＝ln 1c. 当x ＞ln 1c时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 取x 0＝2ln 2c， 则h (x 0)＝c e2ln 2c －2ln 2c＝2⎝⎛⎭⎫2c －ln 2c ， 易知2c －ln 2c＞0，又h (x )在(x 0，＋∞)内单调递增， 所以当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有h (x )＞h (x 0)＞0， 即x ＜c e x .综上，对任意给定的正数c ，总存在x 0，当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x ＜c e x .。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学文
15.(4 分)函数 f(x)=
2
的零点个数是
.
解析：当 x≤0 时，由 f(x)=0 得 x -2=0，解得 x= 或 x= (舍去)， 当 x＞0 时，由 f(x)=0 得 2x-6+lnx=0，即 lnx=6-2x， 作出函数 y=lnx 和 y=6-2x 在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有 1 个零点，
sin(2x+ ≤2kπ+
)+1，故它的最小正周期为 ，k∈Z，求得 kπ，kπ+ ]，k∈Z.
≤x≤kπ+
故函数的单调递增区间为[kπ-
19.(12 分)如图，三棱锥 A-BCD 中，AB⊥平面 BCD，CD⊥BD.
(Ⅰ)求证：CD⊥平面 ABD； (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥 A-MBC 的体积. 解析：(Ⅰ)证明 CD⊥平面 ABD，只需证明 AB⊥CD； (Ⅱ)利用转换底面，VA-MBC=VC-ABM= S△ABM•CD，即可求出三棱锥 A-MBC 的体积. 答案：(Ⅰ)∵AB⊥平面 BCD，CD⊂平面 BCD，∴AB⊥CD， ∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面 ABD； (Ⅱ)∵AB⊥平面 BCD，BD⊂平面 BCD，∴AB⊥BD. ∵AB=BD=1，∴S△ABD= ， ∵M 为 AD 中点，∴S△ABM= S△ABD= ，
圆心为(a，b)，半径为 1 2 2 2 ∵圆心 C∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，∴b=1，则 a +b =a +1， 2 2 ∴要使 a +b 的取得最大值，则只需 a 最大即可， 由图象可知当圆心 C 位于 B 点时，a 取值最大， 由 37， 答案：C 12.在平面直角坐标系中，两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的“L-距离”定义为 |P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|.则平面内与 x 轴上两个不同的定点 F1， F2 的“L-距离”之和等于定值 (大于|F1F2|)的点的轨迹可以是( ) ，解得 ，即 B(6，1)，∴当 a=6，b=1 时，a +b =36+1=37，即最大值为
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(福建卷带解析)答案解析
2014年全国普通高等学校招生统一考试文科（福建卷）数学答案解析1、【答案】A【解析】试题分析：由已知，选A.考点：集合的运算.2、【答案】B【解析】试题分析：选B.考点：复数的四则运算.3、【答案】A【解析】试题分析：由已知得，所得圆柱的底面半径和高均为为，所以圆柱的侧面积为，选A. 考点：旋转体的侧面积.4、【答案】B【解析】试题分析：执行程序，，满足条件，不满足条件，输出选B.考点：算法与程序框图.5、【答案】C【解析】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C.考点：全称命题与存在性命题.6、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，圆心为，所求直线的斜率为，由直线方程的斜截式得，，即，故选D.考点：圆的方程，直线的垂直，直线方程.7、【答案】D【解析】试题分析：将函数的图象向左平移个单位，得到函数，因为，所以，选D.考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.8、【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象可知，所以，，及均为减函数，只有是增函数，选B.考点：幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质.9、【答案】C【解析】试题分析：设长方体底面边长分别为，则，所以容器总造价为，由基本不等式得，，当且仅当底面为边长为的正方形时，总造价最低，选C.考点：函数的应用，基本不等式的应用.10、【答案】D【解析】试题分析：由已知得，而所以，选D.考点：平面向量的线性运算，相反向量.11、【答案】C【解析】试题分析：即圆心到原点距离的平方.画出可行域，由已知，当圆心为时，最大，此时，选C.考点：简单线性规划的应用，直线与圆的位置关系.12、【答案】A【解析】试题分析：不妨设是平面内符合条件的点，则由“L-距离”定义得（，）.即时，；时，；时，；时，；时，；时，.故选A. 考点：新定义，绝对值的概念，分类讨论思想.13、【答案】【解析】试题分析：由随机数的概念及几何概型得，所以估计阴影部分的面积为. 考点：随机数，几何概型.14、【答案】【解析】试题分析：由余弦定理得，，解得.考点：余弦定理的应用.15、【答案】【解析】试题分析：令得，，只有符合题意；令得，，在同一坐标系内，画出的图象，观察知交点有，所以零点个数是.考点：分段函数，函数的零点，函数的图象和性质.16、【答案】【解析】试题分析：由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以，正确，，故.考点：推理与证明.17、【答案】(1) .（2）.【解析】试题分析：(1)设的公比为q，依题意得方程组，解得，即可写出通项公式.（2）因为，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设的公比为q，依题意得，解得，因此，.（2）因为，所以数列的前n项和.考点：等比数列、等差数列.18、【答案】（1）；（2），的单调递增区间为. 【解析】试题分析：思路一：（1）直接将代入函数式，应用三角函数诱导公式计算.（2）应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简.得到.由，解得.思路二：先应用和差倍半的三角函数公式化简函数（1）将代入函数式计算；（2）由，解得.试题解析：解法一：（1）（2）因为.所以.由，得，所以的单调递增区间为. 解法二：因为（1）（2）由，得，所以的单调递增区间为.考点：和差倍半的三角函数公式，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.19、【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）由平面BCD，平面BCD，得到.进一步即得平面.（2）思路一：由平面BCD，得.确定.根据平面ABD，知三棱锥C-ABM的高，得到三棱锥的体积.思路二：由平面BCD知，平面ABD平面BCD，根据平面ABD平面BCD=BD，通过过点M作交BD于点N.得到平面BCD，且，利用计算三棱锥的体积. 试题解析：解法一：（1）∵平面BCD，平面BCD，∴.又∵，，平面ABD，平面ABD，∴平面.（2）由平面BCD，得.∵，∴.∵M是AD的中点，∴.由（1）知，平面ABD，∴三棱锥C-ABM的高，因此三棱锥的体积.解法二：（1）同解法一.（2）由平面BCD知，平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCD=BD，如图，过点M作交BD于点N.则平面BCD，且，又，∴.∴三棱锥的体积. 考点：垂直关系，几何体的体积，“间接法”、“等积法”.20、【答案】（1）该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.（2）. 【解析】试题分析：（1）设该城市人口总数为a，通过计算该城市人均GDP由，作出结论.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：，共3个，由古典概型概率的计算即得.试题解析：（1）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为因为，所以该城市人均GDP达到了中等偏上收入国家标准.（2）“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是：共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准”为M，则事件M包含的基本事件是：，共3个，所以所求概率为.考点：频率分布表，古典概型.21、【答案】（1）.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明见解析.【解析】试题分析：（1）思路一：设为曲线上任意一点，依题意可知曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，得到曲线的方程为.思路二：设为曲线上任意一点，由，化简即得.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，得，应用导数的几何意义，确定切线的斜率，进一步得切线的方程为. 由，得.由，得.根据，得圆心，半径，由弦长，半径及圆心到直线的距离之关系，确定.试题解析：解法一：（1）设为曲线上任意一点，依题意，点S到的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为.（2）当点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变，证明如下：由（1）知抛物线的方程为，设，则，由，得切线的斜率，所以切线的方程为，即.由，得.由，得.又，所以圆心，半径，. 所以点P在曲线上运动时，线段AB的长度不变.解法二：（1）设为曲线上任意一点，则，依题意，点只能在直线的上方，所以，所以，化简得，曲线的方程为.（2）同解法一.考点：抛物线的定义，导数的几何意义，直线方程，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系.22、【答案】（1）当时，有极小值，无极大值.（2）见解析.（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由，得.从而.令，得驻点.讨论可知：当时，，单调递减；当时，，单调递增.当时，有极小值，无极大值.（2）令，则.根据，知在R上单调递增，又，当时，由，即得.（3）思路一：对任意给定的正数c，取，根据.得到当时，.思路二：令，转化得到只需成立. 分，，应用导数研究的单调性. 思路三：就①，②，加以讨论.试题解析：解法一：（1）由，得.又，得.所以，.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以当时，有极小值，且极小值为，无极大值.（2）令，则.由（1）得，，即. 所以在R上单调递增，又，所以当时，，即.（3）对任意给定的正数c，取，由（2）知，当时，.所以当时，，即.因此，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有. 解法二：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）令，要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只需，即成立.①若，则，易知当时，成立. 即对任意，取，当时，恒有.②若，令，则，所以当时，，在内单调递增.取，，易知，，所以.因此对任意，取，当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有. 解法三：（1）同解法一.（2）同解法一.（3）①若，取，由（2）的证明过程知，，所以当时，有，即.②若，令，则，令得.当时，，单调递增.取，，易知，又在内单调递增，所以当时，恒有，即.综上，对任意给定的正数c，总存在，当时，恒有.考点：导数的计算及导数的应用，全称量词与存在量词，转化与化归思想，分类讨论思想.。
2014福建高考真题数学文(含解析)
18．（本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) 2 cos x(sin x cos x) ． （I）求 f (
5π ) 的值； 4
（II）求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递增区间．
4 / 16
19．（本小题满分 12 分） 如图，三棱锥 A BCD 中， AB BCD, CD BD ． （I）求证： CD 平面 ABD ； （II）若 AB BD CD 1 ， M 为 AD 中点，求三棱锥 A MBC 的体积．
（I）判断该城市人均 GDP 是否达到中等偏上收入国家标准； （II）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均 GDP 都达到中等偏上收入国家标 准的概率．
6 / 16
21．（本小题满分 12 分） 已知曲线 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y 3 的距离小 2． （I）求曲线 的方程； （II）曲线 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A ．直线 y 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M , N ，以 MN 为直径 作圆 C ，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B ，试探究：当点 P 在曲线 上运动（点 P 与原点不重合）时，线 段 AB 的长度是否发生变化？证明你的结论．
）
5．命题“ x 0, , x3 x 0 ”的否定是 （ A． x (0, ) ， x3 x 0
3 x0 0 C． x0 [0, ) ， x0
）
B． x (0, ) ， x3 x 0
3 x0 0 D． x0 [0, ) ， x0
2014 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数 学（文科） 第 I 卷（选择题 共 60 分）
2014学年高考文科数学年福建卷
数学答案解析
第Ⅰ卷(选择题 共 21 分)
一、选择题 1.【答案】A 【解析】 sin 30 1 ，故选 A.
2 【考点】特殊角的三角函数值. 2．【答案】B 【解析】4 的算术平方根为 2，故选 B. 【考点】算术平方根的概念. 3．【答案】D 【解析】 3x2 表示 3 个 x2 相加，故选 D. 【考点】整式的运算. 4．【答案】C 【解析】由题意可知 AB l ， CB l ，垂足都为 B，故选 C. 【考点】图形的判断. 5．【答案】D 【解析】42 是偶数，但不是 8 的整数倍，故选 D. 【考点】命题的判断. 6．【答案】C 【解析】在 △ABC 和 △BDE 中， AC DB， AB DE ，BC EB，△ABC △DEB ，ACB DBE ， 又 AFB 是△BCF 的外角，ACB 1 AFB ，故选 C.
（2 分）
依题意得，每队赛 3 场，本组比赛的场数共 6 场.
若 A 队两胜一平，积 7 分.
（3 分）
因为输给 A 队的有 2 支球队，这 2 支球队的积分一定小于 7 分，
所以最多只有与 A 队打平的那支球队的积分等于 7 分，所以积 7 分保证一定出线.
（4 分）
若 A 队两胜一负，积 6 分.
（2 分） （3 分）
5 / 17
AM AN ， AM BC ， AN DC ， Rt△ABM Rt△ADN . AB AD . 平行四边形 ABCD 是菱形. 证法二：连接 BD，
（4 分） （5 分） （6 分）
AD∥BC ，ADB DBC . BAD BCD ， BD BD . AD BC . 四边形 ABCD 是平行四边形. ABC ADC . AM AN ， AM BC ， AN DC ， Rt△ABM Rt△ADN . AB AD . 平行四边形 ABCD 是菱形. 证法三：连接 AC，
2014年福建省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2014年福建省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分1.(5分)若集合P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},则P∩Q等于( )A.{x|3≤x＜4}B.{x|3＜x＜4}C.{x|2≤x＜3}D.{x|2≤x≤3}2.(5分)复数(3＋2i)i等于( )A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i3.(5分)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A.2πB.πC.2D.14.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( )A.1B.2C.3D.45.(5分)命题“∀x∈[0,＋∞),x3＋x≥0”的否定是( )A.∀x∈(－∞,0),x3＋x＜0B.∀x∈(－∞,0),x3＋x≥0C.∃x0∈[0,＋∞),x3＋x＜0 D.∃x∈[0,＋∞),x3＋x≥06.(5分)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心,且与直线x＋y＋1＝0垂直,则l的方程是( )A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝07.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位,得到函数y＝f(x)的函数图象,则下列说法正确的是( )A.y＝f(x)是奇函数B.y＝f(x)的周期为πC.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D.y＝f(x)的图象关于点(－,0)对称8.(5分)若函数y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是( )A. B. C. D.9.(5分)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元10.(5分)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则等于( )A.B.2C.3D.411.(5分)已知圆C ：(x －a)2＋(y －b)2＝1,设平面区域Ω＝,若圆心C ∈Ω,且圆C与x 轴相切,则a 2＋b 2的最大值为( ) A.49 B.37 C.29 D.512.(5分)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L－距离”定义为|P 1P 2|＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|.则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L－距离”之和等于定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )A. B. C.D.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13.(4分)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 .14.(4分)在△ABC 中,A ＝60°,AC ＝2,BC ＝,则AB 等于 .15.(4分)函数f(x)＝的零点个数是.16.(4分)已知集合{a,b,c}＝{0,1,2},且下列三个关系：① a≠2；② b＝2；③ c≠0有且只有一个正确,则100a＋10b＋c等于.三.解答题：本大题共6小题,共74分.17.(12分)在等比数列{an }中,a2＝3,a5＝81.(Ⅰ)求an；(Ⅱ)设bn ＝log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx).(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.19.(12分)如图,三棱锥A－BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB＝BD＝CD＝1,M为AD中点,求三棱锥A－MBC的体积.20.(12分)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035－4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.(12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.22.(14分)已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时,x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x,＋∞)时,恒有x＜ce x.2014年福建省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分1.(5分)若集合P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},则P∩Q等于( )A.{x|3≤x＜4}B.{x|3＜x＜4}C.{x|2≤x＜3}D.{x|2≤x≤3}【分析】由于两集合已是最简,直接求它们的交集即可选出正确答案【解答】解：∵P＝{x|2≤x＜4},Q＝{x|x≥3},∴P∩Q＝{x|3≤x＜4}.故选：A.【点评】本题考查交集的运算,理解好交集的定义是解题的关键2.(5分)复数(3＋2i)i等于( )A.－2－3iB.－2＋3iC.2－3iD.2＋3i【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简求值.【解答】解：(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i.故选：B.【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算,是基础的计算题.3.(5分)以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A.2πB.πC.2D.1【分析】边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,从而可求圆柱的侧面积.【解答】解：边长为1的正方形,绕其一边所在直线旋转一周,得到的几何体为圆柱,则所得几何体的侧面积为：1×2π×1＝2π,故选：A.【点评】本题是基础题,考查旋转体的侧面积的求法,考查计算能力.4.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n的值为( )A.1B.2C.3D.4【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件2n＞n2,跳出循环,确定输出的n值. 【解答】解：由程序框图知：第一次循环n＝1,21＞1；第二次循环n＝2,22＝4.不满足条件2n＞n2,跳出循环,输出n＝2.故选：B.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.5.(5分)命题“∀x∈[0,＋∞),x3＋x≥0”的否定是( )A.∀x∈(－∞,0),x3＋x＜0B.∀x∈(－∞,0),x3＋x≥0C.∃x0∈[0,＋∞),x3＋x＜0 D.∃x∈[0,＋∞),x3＋x≥0【分析】全称命题的否定是一个特称命题,按此规则写出其否定即可得出正确选项. 【解答】解：∵命题“∀x∈[0,＋∞),x3＋x≥0”是一个全称命题.∴其否定命题为：∃x0∈[0,＋∞),x3＋x＜0故选：C.【点评】本题考查全称命题的否定,掌握此类命题的否定的规则是解答的关键.6.(5分)已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心,且与直线x＋y＋1＝0垂直,则l的方程是( )A.x＋y－2＝0B.x－y＋2＝0C.x＋y－3＝0D.x－y＋3＝0【分析】由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,再利用点斜式求直线l的方程. 【解答】解：由题意可得所求直线l经过点(0,3),斜率为1,故l的方程是 y－3＝x－0,即x－y＋3＝0,故选：D.【点评】本题主要考查用点斜式求直线的方程,两条直线垂直的性质,属于基础题.7.(5分)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位,得到函数y＝f(x)的函数图象,则下列说法正确的是( )A.y＝f(x)是奇函数B.y＝f(x)的周期为πC.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D.y＝f(x)的图象关于点(－,0)对称【分析】利用函数图象的平移法则得到函数y＝f(x)的图象对应的解析式为f(x)＝cosx,则可排除选项A,B,再由cos＝cos(－)＝0即可得到正确选项.【解答】解：将函数y＝sinx的图象向左平移个单位,得y＝sin(x＋)＝cosx.即f(x)＝cosx.∴f(x)是周期为2π的偶函数,选项A,B错误；∵cos＝cos(－)＝0,∴y＝f(x)的图象关于点(－,0)、(,0)成中心对称.故选：D.【点评】本题考查函数图象的平移,考查了余弦函数的性质,属基础题.8.(5分)若函数y＝logax(a＞0,且a≠1)的图象如图所示,则下列函数正确的是( )A. B. C. D.【分析】根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值,再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项.【解答】解：由对数函数的图象知,此函数图象过点(3,1),故有y＝loga3＝1,解得a＝3,对于A,由于y＝a－x是一个减函数故图象与函数不对应,A错；对于B,由于幂函数y＝x a是一个增函数,且是一个奇函数,图象过原点,且关于原点对称,图象与函数的性质对应,故B正确；对于C,由于a＝3,所以y＝(－x)a是一个减函数,图象与函数的性质不对应,C错；对于D,由于y＝loga (－x)与y＝logax的图象关于y轴对称,所给的图象不满足这一特征,故D错.故选：B.【点评】本题考查函数的性质与函数图象的对应,熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键.9.(5分)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器,已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元【分析】设池底长和宽分别为a,b,成本为y,建立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.【解答】解：设池底长和宽分别为a,b,成本为y,则∵长方形容器的容器为4m3,高为1m,∴底面面积S＝ab＝4,y＝20S＋10[2(a＋b)]＝20(a＋b)＋80,∵a＋b≥2＝4,∴当a＝b＝2时,y取最小值160,即该容器的最低总造价是160元,故选：C.【点评】本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题,由实际问题向数学问题转化是关键.10.(5分)设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则等于( )A. B.2 C.3 D.4【分析】虑用特殊值法去做,因为O为任意一点,不妨把O看成是特殊点,再代入计算,结果满足哪一个选项,就选哪一个.【解答】解：∵O为任意一点,不妨把A点看成O点,则＝,∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点,∴＝2＝4故选：D.【点评】本题考查了平面向量的加法,做题时应掌握规律,认真解答.11.(5分)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1,设平面区域Ω＝,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2＋b2的最大值为( )A.49B.37C.29D.5【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用圆C与x轴相切,得到b＝1为定值,此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为(a,b),半径为1∵圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,∴b＝1,则a2＋b2＝a2＋1,∴要使a2＋b2的取得最大值,则只需a最大即可,由图象可知当圆心C位于B点时,a取值最大,由,解得,即B(6,1),∴当a＝6,b＝1时,a2＋b2＝36＋1＝37,即最大值为37,故选：B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.12.(5分)在平面直角坐标系中,两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的“L－距离”定义为|P 1P 2|＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|.则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1,F 2的“L－距离”之和等于定值(大于|F 1F 2|)的点的轨迹可以是( )A. B. C.D.【分析】设出F 1,F 2的坐标,在设出动点M 的坐标,由新定义列式后分类讨论去绝对值,然后结合选项得答案.【解答】解：设F 1(－c,0),F 2(c,0),再设动点M(x,y),动点到定点F 1,F 2的“L－距离”之和等于m(m ＞2c ＞0), 由题意可得：|x ＋c|＋|y|＋|x －c|＋|y|＝m, 即|x ＋c|＋|x －c|＋2|y|＝m.当x ＜－c,y ≥0时,方程化为2x －2y ＋m ＝0； 当x ＜－c,y ＜0时,方程化为2x ＋2y ＋m ＝0； 当－c ≤x ＜c,y ≥0时,方程化为y ＝；当－c ≤x ＜c,y ＜0时,方程化为y ＝c －； 当x ≥c,y ≥0时,方程化为2x ＋2y －m ＝0； 当x ≥c,y ＜0时,方程化为2x －2y －m ＝0.结合题目中给出的四个选项可知,选项A 中的图象符合要求. 故选：A. 【点评】本题考查轨迹方程的求法,考查了分类讨论的数学思想方法,解答的关键是正确分类,是中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分13.(4分)如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为0.18 .【分析】根据几何槪型的概率意义,即可得到结论.【解答】解：正方形的面积S＝1,设阴影部分的面积为S,∵随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,∴几何槪型的概率公式进行估计得,即S＝0.18,故答案为：0.18.【点评】本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键,比较基础.14.(4分)在△ABC中,A＝60°,AC＝2,BC＝,则AB等于 1 .【分析】利用余弦定理列出关系式,将AC,BC,以及cosA的值代入即可求出AB的长.【解答】解：∵在△ABC中,A＝60°,AC＝b＝2,BC＝a＝,∴由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA,即3＝4＋c2－2c,解得：c＝1,则AB＝c＝1,故答案为：1【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关键.15.(4分)函数f(x)＝的零点个数是 2 .【分析】根据函数零点的定义,直接解方程即可得到结论.【解答】解：当x≤0时,由f(x)＝0得x2－2＝0,解得x＝或x＝(舍去),当x＞0时,由f(x)＝0得2x－6＋lnx＝0,即lnx＝6－2x,作出函数y＝lnx和y＝6－2x在同一坐标系图象,由图象可知此时两个函数只有1个交点,故x＞0时,函数有1个零点.故函数f(x)的零点个数为2,故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断,对于比较好求的函数,直接解方程f(x)＝0即可,对于比较复杂的函数,由利用数形结合进行求解.16.(4分)已知集合{a,b,c}＝{0,1,2},且下列三个关系：① a≠2；② b＝2；③ c≠0有且只有一个正确,则100a＋10b＋c等于201 .【分析】根据集合相等的条件,列出a、b、c所有的取值情况,再判断是否符合条件,求出a、b、c的值后代入式子求值.【解答】解：由{a,b,c}＝{0,1,2}得,a、b、c的取值有以下情况：当a＝0时,b＝1、c＝2或b＝2、c＝1,此时不满足题意；当a＝1时,b＝0、c＝2或b＝2、c＝0,此时不满足题意；当a＝2时,b＝1、c＝0,此时不满足题意；当a＝2时,b＝0、c＝1,此时满足题意；综上得,a＝2、b＝0、c＝1,代入100a＋10b＋c＝201,故答案为：201.【点评】本题考查了集合相等的条件的应用,以及分类讨论思想,注意列举时按一定的顺序列举,做到不重不漏.三.解答题：本大题共6小题,共74分.17.(12分)在等比数列{an }中,a2＝3,a5＝81.(Ⅰ)求an；(Ⅱ)设bn ＝log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(Ⅰ)设出等比数列的首项和公比,由已知列式求解首项和公比,则其通项公式可求；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的an 代入bn＝log3an,得到数列{bn}的通项公式,由此得到数列{bn}是以0为首项,以1为公差的等差数列,由等差数列的前n项和公式得答案. 【解答】解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q,由a2＝3,a5＝81,得,解得.∴；(Ⅱ)∵,bn ＝log3an,∴.则数列{bn }的首项为b1＝0,由bn －bn－1＝n－1－(n－2)＝1(n≥2),可知数列{bn}是以1为公差的等差数列.∴.【点评】本题考查等比数列的通项公式,考查了等差数列的前n项和公式,是基础的计算题.18.(12分)已知函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx).(Ⅰ)求f()的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.【分析】(Ⅰ)利用三角恒等变换化简函数的解析式为f(x)＝sin(2x＋)＋1,从而求得f()的值.(Ⅱ)根据函数f(x)＝sin(2x＋)＋1,求得它的最小正周期.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋,k∈Z,求得x的范围,可得函数的单调递增区间.【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)＝sin2x＋1＋cos2x＝sin(2x＋)＋1,∴f()＝sin(＋)＋1＝sin＋1＝＋1＝2.(Ⅱ)∵函数f(x)＝sin(2x＋)＋1,故它的最小正周期为＝π.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋,k∈Z,求得kπ－≤x≤kπ＋,故函数的单调递增区间为[kπ－,kπ＋],k∈Z.【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性和单调性,属于中档题. 19.(12分)如图,三棱锥A－BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD.(Ⅰ)求证：CD⊥平面ABD；(Ⅱ)若AB＝BD＝CD＝1,M为AD中点,求三棱锥A－MBC的体积.【分析】(Ⅰ)证明：CD⊥平面ABD,只需证明AB⊥CD；(Ⅱ)利用转换底面,VA－MBC ＝VC－ABM＝S△ABM•CD,即可求出三棱锥A－MBC的体积.【解答】(Ⅰ)证明：∵AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, ∴AB⊥CD,∵CD⊥BD,AB∩BD＝B,∴CD⊥平面ABD；(Ⅱ)解：∵AB⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,∴AB⊥BD.∵AB＝BD＝1,∴S△ABD＝,∵M为AD中点,∴S△ABM ＝S△ABD＝,∵CD⊥平面ABD,∴VA－MBC ＝VC－ABM＝S△ABM•CD＝.【点评】本题考查线面垂直,考查三棱锥A－MBC的体积,正确运用线面垂直的判定定理是关键.20.(12分)根据世行2013年新标准,人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035－4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085－12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人(Ⅱ)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.【分析】(Ⅰ)利用所给数据,计算该城市人均GDP,即可得出结论；(Ⅱ)利用古典概型概率公式,即可得出结论.【解答】解：(Ⅰ)设该城市人口总数为a,则该城市人均GDP为＝6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；(Ⅱ)从该城市5个行政区中随机抽取2个,共有＝10种情况,GDP都达到中等偏上收入国家标准的区域有A,C,E,抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准,共有＝3种情况,∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.【点评】本题考查概率与统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然、或然思想.21.(12分)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(Ⅰ)求曲线Γ的方程；(Ⅱ)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A.直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M,N,以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B,试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论.【分析】(Ⅰ)设S(x,y)曲线Γ上的任意一点,利用抛物线的定义,判断S满足配额我想的定义,即可求曲线Γ的方程；(Ⅱ)通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程,求出A、M的坐标,N的坐标,以MN为直径作圆C,求出圆心坐标,半径是常数,即可证明当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.【解答】解：(Ⅰ)设S(x,y)曲线Γ上的任意一点,由题意可得：点S到F(0,1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等,曲线Γ是以F为焦点直线y＝－1为准线的抛物线,∴曲线Γ的方程为：x2＝4y.(Ⅱ)当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变,证明如下：由(Ⅰ)可知抛物线的方程为y＝,设P(x0,y)(x≠0)则y＝,由y得切线l的斜率k＝＝∴切线l的方程为：,即.由得,由得,又N(0,3),所以圆心C(),半径r＝＝∴点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度不变.【点评】本题考查轨迹方程的求法,直线与抛物线的位置关系的应用,圆的方程函数的导数等指数的应用,难度较大.22.(14分)已知函数f(x)＝e x－ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时,x2＜e x；(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x,＋∞)时,恒有x＜ce x.【分析】(1)利用导数的几何意义求得a,再利用导数法求得函数的极值；(2)构造函数g(x)＝e x－x2,利用导数求得函数的最小值,即可得出结论；(3)利用(2)的结论,令x＝,则e x＞x2＞x,即x＜ce x.即得结论成立. 【解答】解：(1)由f(x)＝e x－ax得f′(x)＝e x－a.又f′(0)＝1－a＝－1,∴a＝2,∴f(x)＝e x－2x,f′(x)＝e x－2.由f′(x)＝0得x＝ln2,当x＜ln2时,f′(x)＜0,f(x)单调递减；当x＞ln2时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；∴当x＝ln2时,f(x)有极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4.f(x)无极大值.(2)令g(x)＝e x－x2,则g′(x)＝e x－2x,由(1)得,g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＝e ln2－2ln2＝2－ln4＞0,即g′(x)＞0, ∴当x＞0时,g(x)＞g(0)＞0,即x2＜e x；(3)对任意给定的正数c,总存在x0＝＞0.当x∈(x,＋∞)时,由(2)得e x＞x2＞x,即x＜ce x.∴对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x,＋∞)时,恒有x＜ce x.【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想.属难题.。
福建省高考数学试卷文科
2014年福建省高考数学试卷（文科）2014年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2013?福建）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}2．（5分）（2013?福建）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i3．（5分）（2013?福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．14．（5分）（2013?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）（2013?福建）命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥06．（5分）（2013?福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=07．（5分）（2013?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于点（﹣，0）对称8．（5分）（2013?福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．9．（5分）（2013?福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元10．（5分）（2013?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．411．（5分）（2013?福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5B．29 C．37 D．4912．（5分）（2013?福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013?福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________．14．（4分）（2013?福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于_________．15．（4分）（2013?福建）函数f（x）=的零点个数是_________．16．（4分）（2013?福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于_________．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2013?福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）（2013?福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．19．（12分）（2013?福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．20．（12分）（2013?福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（12分）（2013?福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．22．（14分）（2013?福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．2014年福建省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）（2013?福建）若集合P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，则P∩Q等于（）A．{x|3≤x＜4} B．{x|3＜x＜4} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2≤x≤3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由于两集合已是最简，直接求它们的交集即可选出正确答案解答：解：∵P={x|2≤x＜4}，Q={x|x≥3}，∴P∩Q={x|3≤x＜4}．故选A．点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2013?福建）复数（3+2i）i等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C．2﹣3i D．2+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简求值．解答：解：（3+2i）i=3i+2i2=﹣2+3i．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础的计算题．3．（5分）（2013?福建）以边长为1的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．1考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．解答：解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故选：A．点评：本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．4．（5分）（2013?福建）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1B．2C．3D．4考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件2n＞n2，跳出循环，确定输出的n值．解答：解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．5．（5分）（2013?福建）命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”的否定是（）A．?x∈（﹣∞，0），x3+x＜0 B．?x∈（﹣∞，0），x3+x≥0C．?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0 D．?x0∈[0，+∞），x03+x0≥0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：全称命题的否定是一个特称命题，按此规则写出其否定即可得出正确选项．解答：解：∵命题“?x∈[0，+∞），x3+x≥0”是一个全称命题．∴其否定命题为：?x0∈[0，+∞），x03+x0＜0故选C．点评：本题考查全称命题的否定，掌握此类命题的否定的规则是解答的关键．6．（5分）（2013?福建）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．解答：解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．点评：本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．7．（5分）（2013?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）的函数图象，则下列说法正确的是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x ）的图象关于点（﹣，0）对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用函数图象的平移法则得到函数y=f（x）的图象对应的解析式为f（x）=cosx，则可排除选项A，B，再由cos=cos （﹣）=0即可得到正确选项．解答：解：将函数y=sinx 的图象向左平移个单位，得y=sin（x+）=cosx．即f（x）=cosx．∴f（x）是周期为2π的偶函数，选项A，B错误；∵cos=cos （﹣）=0，∴y=f（x ）的图象关于点（﹣，0）、（，0）成中心对称．故选：D．点评：本题考查函数图象的平移，考查了余弦函数的性质，属基础题．8．（5分）（2013?福建）若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数正确的是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据对数函数的图象所过的特殊点求出a的值，再研究四个选项中函数与图象是否对应即可得出正确选项．解答：解：由对数函数的图象知，此函数图象过点（3，1），故有y=log a3=1，解得a=3，对于A，由于y=a﹣x是一个减函数故图象与函数不对应，A错；对于B，由于幂函数y=x a是一个增函数，且是一个奇函数，图象过原点，且关于原点对称，图象与函数的性质对应，故B正确；对于C，由于a=3，所以y=（﹣x）a是一个减函数，图象与函数的性质不对应，C错；对于D，由于y=log a（﹣x）与y=log a x的图象关于y轴对称，所给的图象不满足这一特征，故D错．故选B．点评：本题考查函数的性质与函数图象的对应，熟练掌握各类函数的性质是快速准确解答此类题的关键．9．（5分）（2013?福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，建立函数关系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求．解答：解：设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，∴底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，∴当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故选：C．点评：本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题，由实际问题向数学问题转化是关键．10．（5分）（2013?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2C．3D．4考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；平面向量及应用．分析：虑用特殊值法去做，因为O为任意一点，不妨把O看成是特殊点，再代入计算，结果满足哪一个选项，就选哪一个．解答：解：∵O为任意一点，不妨把A点看成O点，则=，∵M是平行四边形ABCD的对角线的交点，∴=2=4故选：D．点评：本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．11．（5分）（2013?福建）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=1，设平面区域Ω=，若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为（）A．5B．29 C．37 D．49考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用圆C与x轴相切，得到b=1为定值，此时利用数形结合确定a的取值即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：圆心为（a，b），半径为1∵圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2=a2+1，∴要使a2+b2的取得最大值，则只需a最大即可，由图象可知当圆心C位于B点时，a取值最大，由，解得，即B（6，1），∴当a=6，b=1时，a2+b2=36+1=37，即最大值为37，C故选：12．（5分）（2013?福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L﹣距离”定义为|P1P2|=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．则平面内与x轴上两个不同的定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于|F1F2|）的点的轨迹可以是（）A．B．C．D．考点：轨迹方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设出F1，F2的坐标，在设出动点M的坐标，由新定义列式后分类讨论去绝对值，然后结合选项得答案．解答：解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），再设动点M（x，y），动点到定点F1，F2的“L﹣距离”之和等于m（m＞2c＞0），由题意可得：|x+c|+|y|+|x﹣c|+|y|=m，即|x+c|+|x﹣c|+2|y|=m．当x＜﹣c，y≥0时，方程化为2x﹣2y+m=0；当x＜﹣c，y＜0时，方程化为2x+2y+m=0；当﹣c≤x＜c，y≥0时，方程化为y=；当﹣c≤x＜c，y＜0时，方程化为y=c ﹣；当x≥c，y≥0时，方程化为2x+2y﹣m=0；当x≥c，y＜0时，方程化为2x﹣2y﹣m=0．结合题目中给出的四个选项可知，选项A中的图象符合要求．点评：本题考查轨迹方程的求法，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是正确分类，是中档题．二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分13．（4分）（2013?福建）如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据几何槪型的概率意义，即可得到结论．解答：解：正方形的面积S=1，设阴影部分的面积为S，∵随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，∴几何槪型的概率公式进行估计得，即S=，故答案为：点评：本题主要考查几何槪型的概率的计算，利用豆子之间的关系建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．14．（4分）（2013?福建）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于1．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用余弦定理列出关系式，将AC，BC，以及cosA的值代入即可求出AB的长．解答：解：∵在△ABC中，A=60°，AC=b=2，BC=a=，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即3=4+c2﹣2c，解得：c=1，则AB=c=1，故答案为：1点评：此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（4分）（2013?福建）函数f（x）=的零点个数是2．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．解答：解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：2点评：本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．16．（4分）（2013?福建）已知集合{a，b，c}={0，1，2}，且下列三个关系：①?a≠2；②?b=2；③?c≠0有且只有一个正确，则100a+10b+c等于201．考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题．分析：根据集合相等的条件，列出a、b、c所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a、b、c的值后代入式子求值．解答：解：由{a，b，c}={0，1，2}得，a、b、c的取值有以下情况：当a=0时，b=1、c=2或b=2、c=1，此时不满足条件；当a=1时，b=0、c=2或b=2、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=1、c=0，此时不满足条件；当a=2时，b=0、c=1，此时满足条件；综上得，a=2、b=0、c=1，代入100a+10b+c=201，故答案为：201．点评：本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．三．解答题：本大题共6小题，共74分.17．（12分）（2013?福建）在等比数列{a n}中，a2=3，a5=81．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的a n代入b n=log3a n，得到数列{b n}的通项公式，由此得到数列{b n}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．解答：解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，由a2=3，a5=81，得，解得．∴；（Ⅱ）∵，b n=log3a n，∴．则数列{b n}的首项为b1=0，由b n﹣b n﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1，可知数列{b n}是以1为公差的等差数列．∴．点评：本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．18．（12分）（2013?福建）已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．考点：二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=sin（2x+）+1，从而求得f（）的值．（Ⅱ）根据函数f（x）=sin（2x+）+1，求得它的最小正周期．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得x的范围，可得函数的单调递增区间．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（）=sin（+）+1=sin+1=+1=2．（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（2x+）+1，故它的最小正周期为=π．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和单调性，属于中档题．19．（12分）（2013?福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM?CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴V A﹣MBC=V C﹣ABM=S△ABM?CD=．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．20．（12分）（2013?福建）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP为1035﹣4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP为4085﹣12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表：行政区区人口占城市人口比例区人均GDP（单位：美元）A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000E 20% 10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．考点：概率的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）利用所给数据，计算该城市人均GDP，即可得出结论；（Ⅱ）利用古典概型概率公式，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）设该城市人口总数为a，则该城市人均GDP为=6400∴该城市人均GDP达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）从该城市5个行政区中随机抽取2个，共有=10种情况，抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准，共有=3种情况，∴抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率．点评：本题考查概率与统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然、或然思想．21．（12分）（2013?福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，利用抛物线的定义，判断S满足配额我想的定义，即可求曲线Γ的方程；（Ⅱ）通过抛物线方程利用函数的导数求出切线方程，求出A、M的坐标，N的坐标，以MN为直径作圆C，求出圆心坐标，半径是常数，即可证明当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．解答：解：（Ⅰ）设S（x，y）曲线Γ上的任意一点，由题意可得：点S到F（0，1）的距离与它到直线y=﹣1的距离相等，曲线Γ是以F为焦点直线y=﹣1为准线的抛物线，∴曲线Γ的方程为：x2=4y．（Ⅱ）当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变，证明如下：由（Ⅰ）可知抛物线的方程为y=，设P（x0，y0）（x0≠0）则y0=，由y得切线l的斜率k==∴切线l的方程为：，即．由得，由得，又N（0，3），所以圆心C（），半径r==∴点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段AB的长度不变．点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，圆的方程函数的导数等指数的应用，难度较大．22．（14分）（2013?福建）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用导数的几何意义求得a，再利用导数法求得函数的极值；（2）构造函数g（x）=e x﹣x2，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论；（3）利用（2）的结论，令x0=，则e x＞x2＞x，即x＜ce x．即得结论成立．解答：解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．点评：本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；sllwyn；刘长柏；xintrl；liu老师；gongjy；maths；qiss；清风慕竹；caoqz （排名不分先后）菁优网2014年7月21日。
精编2014年全国高考福建省高中数学文科试卷和答案
2014年福建文科卷一．选择题1.若集合}{}{24,3,P x x Q x x =≤<=≥则P Q ⋂等于 （ ） }{}{}{}{.34.34.23.23A x x B x x C x x D x x ≤<<<≤<≤≤ 2.复数()32i i +等于 （ ）.23.23.23.23A i B i C i D i ---+-+3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）.2..2.1A B C D ππ4.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为 （ ）.1.2.3.4A B C D5.命题“[)30,.0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是 （ ）()()[)[)3333000000.,0.0.,0.0.0,.0.0,.0A x x x B x x x C x x x D x x x ∀∈-∞+<∀∈-∞+≥∃∈+∞+<∃∈+∞+≥ 6.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是 （ ）.20.20.30.30A x y B x y C x y D x y +-=-+=+-=-+=7.将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是 （ ）()()()() (2).-02A y f x B y f x C y f x x D y f x πππ====⎛⎫= ⎪⎝⎭是奇函数的周期为的图象关于直线对称的图象关于点，对称8.若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是 （ ）9.要制作一个容积为34m ，高为1m 的无盖长方体容器，已知该溶器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该溶器的最低总造价是 （ ）.80.120.160.240A B C D 元元元元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于 （ ）..2.3.4AOM B OM C OM D OM11.已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为 （ ）.5.29.37.49A B C D12.在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L-距离”定义为121212.PP x x y y =-+-则平面内与x 轴上两个不同的定点12,FF 的“L-距离”之和等于定值（大于12F F ）的点的轨迹可以是 （ ）二、填空题13、如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________14、在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________15、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=0,ln 620,22x x x x x x f 的零点个数是_________16. 已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ②2=b ③0≠c 有且只有一个正确，则10010________a b c ++等于三．解答题：本大题共6小题，共74分.17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5()4f π的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图，三棱锥A BCD -中，,AB BCD CD BD ⊥⊥平面.（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035-4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085-12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家.某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A .直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
2014年高考文科数学福建卷及答案解析
数学试卷 第1页（共12页）数学试卷 第2页（共12页）数学试卷 第3页（共12页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(文科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|24}P x x =≤＜,{3}Q x =≥,则P Q 等于 （ ）A .{|34}x x ≤＜B .{|34}x x ＜＜C .{|23}x x ≤＜D .{|23}x x ≤≤2.复数(32i)i +等于（ ）A .23i --B .23i -+C .23i -D .23i +3.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ）A .2πB .πC .2D .14.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的n 的值为（ ）A .1B .2C .3D .45.命题“[0,)x ∀∈+∞,30x x +≥”的否定是 （ ）A .(,0)x ∀∈-∞,30x x +＜B .(,0)x ∀∈-∞,30x x +≥C .0[0,)x ∃∈+∞,300x x +＜ D .0[0,)x ∃∈+∞,300x x +≥ 6.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是（ ） A .20x y +-= B .20x y -+= C .30x y +-=D .30x y -+=7.将函数sin y x =的图象向左平移π2个单位,得到函数()y f x =的图象,则下列说法正确的是（ ）A .()y f x =是奇函数B .()y f x =的周期为πC .()y f x =的图象关于直线π2x =对称 D .()y f x =的图象关于点π(,0)2-对称8.若函数log (0,1)a y x a a =≠＞且的图象如下图所示,则下列函数图象正确的是（ ）A .B .C .D .9.要制作一个容积为34m ,高为1m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是（ ）A .80元B .120元C .160元D .240元10.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA OB OC OD +++等于（ ）A .OMB .2OMC .3OMD .4OM11.已知圆C ：22()()1x a y b -+-=,平面区域Ω：70,30,0,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≥若圆心C Ω∈,且圆C 与x 轴相切,则22a b +的最大值为（ ）A .5B .29C .37D .4912.在平面直角坐标系中,两点111(,)P x y ,222(,)P x y 间的“L -距离”定义为121|||||PP x =-212|||x y y +-,则平面内与x 轴上两个不同的定点1F ,2F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）A .B .C .D .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共12页）数学试卷 第5页（共12页）数学试卷 第6页（共12页）第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上. 13.如图,在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.14.在ABC △中,60A =,2AC =,BC ,则AB 等于________.15.函数22,0,()26ln ,0,x x f x x x x ⎧-=⎨-+⎩≤＞的零点个数是________.16.已知集合{,,}{0,1,2}a b c =,且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确,则10010a b c ++等于________.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中,23a =,581a =. （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设3log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （Ⅰ）求5π()4f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图,三棱锥A BCD -中,AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面ABD ；（Ⅱ）若1AB BD CD ===,M 为AD 中点,求三棱锥A MBC -的体积.20.（本小题满分12分）根据世行2013年新标准,人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1 035～ 4 085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4 085～12 616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人（Ⅰ）判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.21.（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点(0,1)F 的距离比它到直线3y =-的距离小2. （Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ,直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点M ,N .以MN 为直径作圆C ,过点A 作圆C 的切线,切点为B .试探究:当点P在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时,线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论.22.（本小题满分14分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-.（Ⅰ）求a 的值及函数()f x 的极值； （Ⅱ）证明：当0x ＞时,2e x x ＜；（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当0(,)x x ∈+∞时,恒有e x x c ＜.=P Q xB++2i i=3i2)4=+80160xx160元，故选M BD2OA OC OM+=，+++=，故选OA OB OC OD OM2+=，所以4OB OD OM【解析】由题意，画出可行域Ω，圆心C∈Ω，且圆C与数学试卷第7页（共12页）数学试卷第8页（共12页）数学试卷第9页（共12页）数学试卷 第10页（共12页）数学试卷 第11页（共12页）数学试卷 第12页（共12页）AB BD B =，平面ABD ，BD AB ⊥平面112ABM h =.，则该城市人均GDP。
2014年福建省高考数学试卷(文科)学生版
2014 年福建省高考数学试卷（文科）一．选择题:本大题共12 小题，每题 5 分，共60 分1．（5 分）（2014?福建）若会合P={ x| 2≤x＜4} ，Q={ x| x≥3} ，则 P∩Q 等于（）A．{ x| 3≤x＜ 4}B．{ x| 3＜ x＜ 4}C．{ x| 2≤x＜3}D．{ x| 2≤x≤3} 2．（5 分）（2014?福建）复数（3+2i）i等于（）A．﹣ 2﹣3i B．﹣ 2+3i C．2﹣3i D．2+3i3．（5 分）（2014?福建）以边长为 1 的正方形的一边所在所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（）A．2πB．πC．2D．14．（5 分）（2014?福建）阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出的n 的值为（）A．1B．2C．3D．45．（5 分）（2014?福建）命题“? x∈ [ 0，+∞），x3+x≥0”的否认是（）A．? x∈（﹣∞， 0），x3+x＜ 0B．? x∈（﹣∞， 0），x3+x≥0C．? x0∈ [ 0，+∞），x03 +x0＜ 0D．? x0∈[ 0， +∞）， x03+x0≥06．（ 5 分）（ 2014?福建）已知直线 l 过圆 x2 +（y﹣3）2=4 的圆心，且与直线 x+y+1=0垂直，则 l 的方程是（）A．x+y﹣2=0B．x﹣ y+2=0C．x+y﹣3=0D．x﹣y+3=0 7．（5分）（2014?福建）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，获得函数 y=f （x）的函数图象，则以下说法正确的选项是（）A．y=f（x）是奇函数B．y=f（x）的周期为πC．y=f（x）的图象对于直线x= 对称D．y=f（x）的图象对于点（﹣，0）对称8．（5 分）（2014?福建）若函数y=log a x（a＞0，且 a≠1）的图象以下图，则以下函数正确的选项是（）A．B．C．D．9．（5 分）（2014?福建）要制作一个容积为 4m3，高为 1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是（）A．80 元B．120 元C．160元D．240 元10．（ 5 分）（2014?福建）设 M 为平行四边形 ABCD对角线的交点， O 为平行四边形 ABCD所在平面内随意一点，则等于（）A．B．2C．3D．411．（ 5分）（2014?福建）已知圆C：（ x﹣ a）2+（ y ﹣ b ）2=1，设平面地区Ω=，若圆心 C∈Ω，且圆 C与 x 轴相切，则 a2+b2的最大值为（）A．49B．37C．29D．5 12．（ 5 分）（2014?福建）在平面直角坐标系中，两点P1（x1，y1），P2（ x2，y2）间的“L﹣距离”定义为 | P1P2| =| x1﹣x2|+| y1﹣ y2| ．则平面内与x 轴上两个不一样的定点 F1，F2的“L﹣距离”之和等于定值（大于 | F1F2| ）的点的轨迹能够是（）A．B．C．D．二、填空题 :本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分13．（ 4 分）（ 2014?福建）如图，在边长为 1 的正方形中随机撒1000 粒豆子，有180 粒落到暗影部分，据此预计暗影部分的面积为．14．（4 分）（2014?福建）在△ ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则 AB 等于．，的零点个数是．15．（4 分）（2014?福建）函数 f（x）=，＞16．（ 4 分）（2014?福建）已知会合 { a，b，c} ={ 0，1，2} ，且以下三个关系：①a≠2；② b=2；③ ?c≠0 有且只有一个正确，则100a+10b+c 等于．三．解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.17．（ 12 分）（ 2014?福建）在等比数列 { a n} 中， a2=3，a5=81．（Ⅰ）求 a n；（Ⅱ）设 b n=log3a n，求数列 { b n } 的前 n 项和 S n．18．（ 12 分）（ 2014?福建）已知函数 f （x）=2cosx（sinx+cosx）．（Ⅰ）求 f（）的值；（Ⅱ）求函数 f （x）的最小正周期及单一递加区间．19．（ 12 分）（ 2014?福建）如图，三棱锥A﹣BCD中， AB⊥平面 BCD， CD⊥BD．（Ⅰ）求证： CD⊥平面 ABD；（Ⅱ）若 AB=BD=CD=1，M 为 AD 中点，求三棱锥A﹣MBC 的体积．20．（ 12 分）（ 2014?福建）依据世行2013 年新标准，人均 GDP 低于 1035 美元为低收入国家；人均 GDP为 1035﹣4085 美元为中等偏下收入国家；人均 GDP 为 4085﹣ 12616 美元为中等偏上收入国家；人均 GDP不低于 12616 美元为高收入国家．某城市有 5 个行政区，各区人口占该城市人口比率及人均 GDP以下表：行政区区人口占城市人口比率区人均 GDP（单位：美元）A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000（Ⅰ）判断该城市人均GDP能否达到中等偏上收入国家标准；（Ⅱ）现从该城市 5 个行政区中随机抽取 2 个，求抽到的 2 个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．21．（ 12 分）（ 2014?福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣ 3 的距离小 2．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）曲线Γ在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A．直线 y=3 分别与直线 l 及 y 轴交于点 M ，N，以 MN 为直径作圆 C，过点 A 作圆 C 的切线，切点为 B，尝试究：当点 P 在曲线Γ上运动（点 P 与原点不重合）时，线段 AB 的长度能否发生变化？证明你的结论．22．（ 14 分）（2014?福建）已知函数 f （x）=e x﹣ax（a 为常数）的图象与y 轴交于点 A，曲线 y=f（x）在点 A 处的切线斜率为﹣ 1．（1）求 a 的值及函数 f（ x）的极值；（2）证明：当 x＞0 时， x2＜e x；（3）证明：对随意给定的正数 c，总存在 x0，使适当 x∈（ x0，+∞）时，恒有 x ＜c e x．。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建）卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}|24P x x =≤<，{}|3Q x x =≥，则P Q =（ ）（A ）{}|34x x ≤< （B ）{}|34x x << （C ）{}|23x x ≤< （D ）{}|23x x ≤≤2．复数()32i i +等于（ ） （A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +3．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于（ ） （A ）2π （B ）π （C ）2 （D ）14．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是 （ ） （A ）(),0x ∀∈-∞，30x x +< （B ）(),0x ∀∈-∞，30x x +≥ （C ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +< （D ）[)00,x ∃∈+∞，3000x x +≥6．直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ） （A ）20x y +-= （B ）20x y -+= （C ）30x y +-= （D ）30x y -+=7．将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是( ) （A ）()y f x =是奇函数 （B ）()y f x =的周期为π （C ）()y f x =的图像关于直线2x π=对称 （D ）()y f x =的图像关于点()2,0π-对称8．若函数()log 0,1a y x a a =>≠且的图象如右图所示，则下列函数正确的是（ ）9．要制作一个容积为43m ，高为1m 的无盖长方体容器。
已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )（A ）80元 （B ）120元 （C ）160元 （D ）240元10．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA OB OC OD +++等于（ ）（A ）OM （B ）2OM （C ）3OM （D ）4OM 11．已知圆C ：()()221x a y b -+-=，平面区域Ω：70300x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩。
若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为( )（A ） 5 （B ）29 （C ）37 （D ）49 12．在平面直角坐标系中，两点()111,P x y ，()222,P x y 间的“L -距离”定义为121212||||||||PP x x y y =-+-，则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12||||F F ）的点的轨迹可以是（ ）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在答题卡相应位置上。
13．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________。
14．在ABC ∆中，060A =，2AC =，BC ，则AB = 。
15．函数()()()22026ln 0x x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩的零点个数是________。
16．已知集合{}{},,0,1,2a b c =，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于________。
三．解答题：本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。
17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，23a =，581a =。
⑴求n a ；⑵设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
18．（本小题满分12分）已知函数()()2cos sin cos f x x x x =+。
⑴求()54f π的值；⑵求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间。
19．（本小题满分12分）如图1-6所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD 。
⑴求证：CD ⊥平面ABD ；⑵若1AB BD CD ===，M 为AD 中点，求三棱锥A MBC -的体积。
20．（本小题满分12分）根据世行2013年新标准，人均GDP低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为13054085-美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为408512616-美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家。
某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表。
⑴判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；⑵现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率。
21．（本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到点()0,1F 的距离比它到直线3y =-的距离小2。
⑴求曲线Γ的方程；⑵曲线Γ在点P 处的切线l 与x 轴交于点A ，直线3y =分别与直线l 及y 轴交于点,M N 。
以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B 。
试探究：当点P 在曲线Γ上运动（点P 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？证明你的结论。
22．（本小题满分12分）已知函数()ax e x f x-=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为1-。
⑴求a 的值及函数()x f 的极值；⑵证明：当0>x 时，x e x <2；⑶证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有x x ce <。
M 图1-6DC BA2014年普通高校招生全国统考数学试卷（福建卷）解答一．ABABC DDBCD CA二．13．0.18；14．1；15．2；16．20117．解：⑴设{}n a 的公比为q ，依题意得141381a q a q =⎧⎨=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，因此13n n a -=； ⑵因为3log 1n nb a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和()()2122n n S n b b n n =+=-。
18．解：⑴55552cos sin cos 2cos sin cos 24444444f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ⑵因()22sin cos 2cos sin 21cos 2214f x x x x x x x π⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，故周期T π=。
由222242k x k πππππ-≤+≤+得()388k x k k Z ππππ-≤≤+∈。
因此()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。
19．解：⑴因AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，故AB CD ⊥。
又CD BD ⊥，AB BD B =，AB ⊂平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以CD ⊥平面ABD ；⑵由AB ⊥平面BCD ，得A B B D ⊥。
因1A B B D ==，故12ABD S ∆=。
因M 是AD 的中点，故214ABM ABD S S ∆∆==。
由⑴知，CD ⊥平面ABD ，故三棱锥C ABM -的高1h CD ==，因此三棱锥A MBC -的体积3112A MBC C ABM ABM V V S h --∆==⋅=。
20．解：⑴设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为()80000.2540000.3060000.1530000.10100000.206400a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。
因为[)64004085,12616∈，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准；⑵“从5个行政区中随机抽取2个”的所有基本事件是：{}{}{}{},,,,,,,,A B A C A D A E{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,B C B D B E C D C E D E 共10个，设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{}{}{},,,,,A C A E C E 共3个，所以所求概率为()310P M =。
21．解：⑴设(),S x y 为曲线Γ上任意一点，依题意，点S 到()0,1F 的距离与它到直线1y =-的距离相等，所以曲线Γ是以点()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为24x y =；⑵当点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变。
证明如下：由⑴知抛物线Γ的方程为214y x =，设()()000,0P x y x ≠，则20014y x =。
由'12y x =得切线l 的斜率012k x =，故切线l 的方程为()00012y y x x x -=-，即20042y x x x =-。
由200420y x x x y ⎧=-⎨=⎩得01,02A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由200423y x x x y ⎧=-⎨=⎩得0016,32M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
又()0,3N ，所以圆心0013,34C x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，半径r = 00||3||24x MN x =+，||AB === 所以点P 在曲线Γ上运动时，线段AB 的长度不变。
22．解：⑴由题()x f x e a '=-，故()101f a '-==-，得2a =。
故()2x f x e x =-，()2x f x e '=-。
令()0f x '=，得ln 2x =。
当ln 2x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当ln 2x >时，()0f x '>，()f x 单调递增。
所以当ln 2x =时，()f x 取得极小值，其值为()ln22ln4f =-，()f x 无极大值；⑵令()2x g x e x =-，则由⑴得()()()2ln22ln40xg x e x f x f '=-=≥=->，故()g x 在R 上单调递增。
又()010g =>，故当时，()()00g x g >>，即2x x e <；⑶①若1c ≥，由⑵知，当0x >时，2x x e <，故当0x >时，2x x x e ce <≤。