中考数学总复习 第1编 教材知识梳理篇 第6章 图形的相似与解直角三角形 第18讲 相似(精练)试题
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2. 合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b mn k++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，= ，语言描述如下：=，= ，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：nm b a =图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.l 3l 2l 1ABCD E E D CBA D ECA l 1l 2l 3AB CD EA 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.如上图：若 = . = ，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形．．．．三边．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
九年级相似三角形知识点总结
九年级相似三角形知识点总结相似三角形作为九年级数学中的重要内容，涉及到比例、角度、边长等概念。
在本文中，我们将对九年级相似三角形的相关知识点进行总结。
以下是该知识点的详细内容：一、相似三角形的定义与性质相似三角形是指具有相同形状但大小可能不同的三角形。
在两个相似三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
1. 对应角相等性质：若两个三角形的内角分别对应相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边成比例性质：若两个三角形的三条边之间成比例，那么这两个三角形是相似的。
3. 相似三角形的比例关系：设两个相似三角形A和B，它们的对应边长分别为a、b和c、d。
则有以下比例关系成立：a/b = c/d = k （k为比例系数）二、相似三角形的判定方法判定两个三角形是否相似，常用以下方法：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
2. AAA相似判定法：若两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形一定相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边分别成比例，那么这两个三角形一定相似。
三、相似三角形的性质应用相似三角形的性质在解决实际问题中有广泛的应用。
以下是相似三角形的性质在实际问题中的应用：1. 测量不可达长度：在实际测量中，有时由于某些原因，无法直接测量出几何图形中的某些边长。
利用相似三角形的比例关系，可以间接计算出这些不可达长度。
2. 高度与距离计算：利用相似三角形的性质，可以求解建筑物高度、山上塔楼高度等实际问题中需要计算的高度和距离。
3. 相似三角形的构造：利用相似三角形的特点，可以进行各种构造问题的求解，如分割线段、求解垂足等问题。
四、相似三角形与比例运算相似三角形的性质与比例运算密切相关。
以下是相似三角形与比例运算的相关内容：1. 比例关系的运用：相似三角形的性质中涉及到边长的比例关系，通过运用比例关系，可以计算出未知边长的具体值。
2. 比例运算的应用：在解决相似三角形实际问题中，我们可以借助比例运算的方法，确定未知量的数值。
九年级数学图形相似知识点
九年级数学图形相似知识点在九年级数学课上，我们学习了许多有趣的数学知识，其中包括图形的相似性质。
相似是数学中重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析各种图形之间的关系。
在本文中，我们将探讨九年级数学课程中涉及的一些重要的图形相似知识点。
一、相似图形的定义两个图形如果满足以下三个条件，我们就称它们是相似的。
1. 对应角相等：图形中相等的角分别对应相等。
2. 对应边成比例：图形中对应的边的长度成比例。
3. 相似比例：两个相似图形的边的长度的比值称为相似比例。
通过相似的定义，我们可以得出一些重要的结论。
例如，如果两个三角形相似，那么它们的对应边长比相等；如果两个正方形相似，那么它们的边长比也相等。
二、相似三角形的性质相似三角形是九年级数学课程中一个重要的概念。
我们经常用相似三角形来解决实际问题，尤其是涉及到测量和工程方面的计算。
下面是一些相似三角形的性质。
1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们是相似的。
根据AAA相似定理，我们可以快速判断两个三角形是否相似。
只需确认它们的三个角分别相等即可。
2. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边长成比例，那么它们是相似的。
SSS相似定理告诉我们，只要两个三角形的对应边长比例相等，那么它们就是相似的。
这些相似三角形的性质非常有用，可以帮助我们在实际问题中进行快速计算和推导。
例如，在测量不便的情况下，我们可以通过测量一个三角形的某些部分，然后利用相似三角形的性质来计算其他部分的长度。
三、相似比例的计算在相似图形中，相似比例是一个重要的概念。
我们经常使用相似比例来计算图形的各种长度和面积。
下面是一些常用的相似比例计算方法。
1. 边长比例计算：如果两个相似图形的边长比例为a:b，那么两个图形的面积比例为a²:b²。
这个计算方法告诉我们，如果两个相似图形的边长比例为a:b，那么它们的面积比例为a²:b²。
例如，如果一个三角形的边长比为2:3，那么它的面积比为4:9。
中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第6章 图形的相似与解直角三角形 第18讲 图形的相似(精讲
第六章 图形的相似与解直角三角形第十八讲 图形的相似 宜宾中考考情与预测近五年中考考情 2019年中考预测年份 考查点 题型 题号 分值 预计2019年宜宾中考考查在组合图形中，利用三角形相似知识，解决实际问题.xx三角形相似 选择题 73分 xx 三角形相似 填空题 153分 xx 三角形相似 填空题 163分 xx 位似 选择题 6 3分 xx三角形相似解答题 2412分宜宾考题感知与试做1.（xx·宜宾中考）如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD.若B （1，0），则点C 的坐标为（ B ）A .（1，2）B .（1，1）C .（2，2）D .（2，1）,（第1题图）) ,（第2题图）)2.（宜宾中考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 于点D ，则△BCD 与△ABC 的周长之比为（ A ）A .1∶2B . 1∶3C . 1∶4D . 1∶53.（宜宾中考）若一个图形的面积为2，那么将与它成中心对称的图形放大为原来的两倍后的图形 面积为（ A ）A .8B .6C .4D .24.（xx·宜宾中考）如图，⊙O 的内接正五边形ABCDE 的对角线AD 与BE 相交于点G ，AE ＝2，则EG 的长是 5－1 Ｗ.,（第4题图）),（第5题图）)5.（xx ·宜宾中考）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D 等于（ A ）A .2B .3C .23D .32宜宾中考考点梳理成比例线段、平行线分线段成比例1.两条线段的比是两条线段的长度之比. （1）两条线段的长度单位需统一； （2）线段的比是一个不带单位的数.2.成比例线段对于给定的四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如a b ＝cd （或a∶b＝c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.3.比例的性质基本性质：a b ＝cd ⇔ ad ＝bc （bd≠0）.合（分）比性质：若a b ＝c d ，则a±b b ＝ c±ddＷ.等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n （b ＋d ＋…＋n≠0），则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝ abＷ.4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AC AB ＝ BCAC ，那么点C 叫做线段AB 的 黄金分割点 ，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比值为5－12Ｗ. 5.平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.相似三角形6.相似三角形：对应边 成比例 、对应角 相等 的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.7.相似三角形的性质（1）相似三角形的 对应角 相等；（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于 相似比 ，面积比等于 相似比的平方 Ｗ. 8.相似三角形的判定（1） 两 角分别相等的两个三角形相似； （2）两边成比例且 夹角 相等的两个三角形相似； （3）三边 成比例 的两个三角形相似；（4）平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似； （5）对于两个直角三角形，除了以上判定方法外，还可以通过得到：①一个锐角相等；②两组直角边对应成比例；③斜边和一直角边对应成比例来判定这两个直角三角形相似.相似多边形的判定及性质9.相似多边形：两个边数 相同 的多边形，如果各边对应 成比例 ，各角对应 相等 ，就称这两个多边形相似.10.相似多边形的性质（1）相似多边形的对应边 成比例 ； （2）相似多边形的对应角 相等 ；（3）相似多边形周长的比等于 相似比 ，相似多边形面积的比等于 相似比的平方 Ｗ.位似图形11.位似图形：如果两个图形的对应点连线都交于一点，并且这一点到各组对应点的距离的比相等，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心 .【温馨提示】（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比 Ｗ.（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，原图形上点的坐标为（x ，y ），那么位似图形上的点的坐标为 （kx ，ky ） 或 （－kx ，－ky ） Ｗ.12.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点就是 位似中心 Ｗ.13.位似作图的步骤（1）确定 位似 中心、原图形的关键点、 相似比 （即要将图形放大或缩小的倍数）； （2）作出原图形中各关键点的对应点；（3）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.1.（xx ·乐山中考）如图，DE ∥FG ∥BC ，若DB ＝4FB ，则EG 与GC 的关系是（ B ）A .EG ＝4GCB .EG ＝3GC C .EG ＝52GC D .EG ＝2GC2.（xx·内江中考）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1∶3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ D ）A .1∶ 1B .1∶ 3C .1∶ 6D .1∶93.（xx·资阳中考）已知：如图，△ABC 的面积为12，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，则四边形BCED 的面积为 9 Ｗ.4.如图，四边形ABCD 和A′B′C′D′是以点O 为位似中心的位似图形，若 OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的面积比为（ A ）A .4∶9B .2∶5C .2∶3D .2∶ 3中考典题精讲精练线段成比例及比例的性质【典例1】（1）若y x ＝34，则x ＋yx的值为（ D ）A .1B .47C .54D .74（2）下列各组线段（单位：cm ）中，成比例线段的是（ A ）A .1，2，4，8B .2，4，6，8C .3，6，8，12D .3，6，9，12【解析】（1）∵y x ＝34，∴x ＋y x ＝4＋34；（2）根据成比例线段的定义判断即可.位似变换【典例2】如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A （－1，3），B （－1，1），C （－3，2）.（1）请画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1.（2）以原点O 为位似中心，将△A 1B 1C 1放大为原来的2倍，得到△A 2B 2C 2，请在第三象限内画出△A 2B 2C 2，并求出S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2的值.【解析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连结即可得到△A 1B 1C 1；（2）连结A 1O 并延长至A 2，使A 2O ＝2A 1O ，连结B 1O 并延长至B 2，使B 2O ＝2B 1O ，连结C 1O 并延长至C2，使C2O＝2C1O，然后顺次连结点A2、B2、C2即可得到△A2B2C2；由变换的方式可知△A1B1C1与△A2B2C2相似，且相似比为1∶2，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方便可求出两个三角形的面积比.【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示.∵将△A1B1C1放大为原来的2倍得到△A2B2C2，∴△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为1∶2，∴S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4.相似三角形的性质及判定命题规律：在中考题目中，相似三角形的知识常与解直角三角形、全等三角形、圆、二次函数等知识综合.考查探索问题、解决问题的能力.【典例4】如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x轴上，OA＝4，AB＝3.动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动.当两个动点运动了x s（0<x<4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标；（用含x的代数式表示）（2）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于点P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）分两种情况：①若∠OMN＝90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM＝90°，则∠ONM＝∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可.【解答】解：（1）根据题意，得MA＝x，ON＝1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理，得OB2＝OA2＋AB2，OB＝OA2＋AB2＝42＋32＝5.作NP⊥OA于点P，如图①，则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴PNAB＝OPOA＝ONOB，即PN3＝OP4＝1.25x5，解得OP ＝x ，PN ＝34x ，∴点N 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，34x ；（2）存在某一时刻，使△OMN 是直角三角形.理由：①若∠OMN＝90°，如图②，则MN ∥AB ，此时OM ＝4－x ，ON ＝1.25x.∵MN ∥AB ，∴△OMN ∽△OAB ，∴OM OA ＝ON OB ，即4－x 4＝1.25x 5， 解得x ＝2；②若∠ONM＝90°，如图③，则∠ONM＝∠OAB，此时OM ＝4－x ，ON ＝1.25x.∵∠ONM＝∠OAB，∠MON ＝∠BOA，∴△OMN ∽△OBA ，∴OM OB ＝ON OA ，即4－x 5＝1.25x 4，解得x ＝6441. 综上所述，x 的值是2或6441 时，△OMN 是直角三角形.1.下列各组数中，成比例的是（ A ）A .－6，－8，3，4B .－7，－5，14，5C .3，5，9，12D .2，3，6，122.如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1、l 2、l 3于点A 、B 、C ；过点B 的直线DE 分别交l 1、l 3于点D ，E.若AB ＝2，BC ＝4，BD ＝1.5，则线段BE 的长为（ C ）A .1B .2C .3D .43.已知a b ＝34，b c ＝35，则a∶b∶c 等于（ C ）A .3∶4∶5B .4∶3∶5C .9∶12∶20D .9∶15∶204.如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD ＝90°，CO ＝CD ，若B （1，0），则点C 的坐标为（ D ）A .（1，－2）B .（－2，1）C .（2，－2）D .（1，－1）,（第4题图）),（第5题图）)5.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，若AD ＝OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为 1∶4Ｗ.6.如图，直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，求点B 的对应点B ′的坐标.解：∵直线y ＝12x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B.令x ＝0，可得y ＝1， 令y ＝0，解得x ＝－2，∴点A 和点B 的坐标分别为（－2，0），（0，1）.∵△BOC 与△B′O′C′是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3， ∴OB O′B′＝13，∴O ′B ′＝3， ∴点B′的坐标为（－8，－3）或（4，3）.7.△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ C ）A .1∶2B .1∶3C .1∶4D .1∶168.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于（ D ）A .3∶2B .3∶1C . 1∶1D .1∶29.在下列命题中，真命题是（ D ） A .两个钝角三角形一定相似 B .两个等腰三角形一定相似 C .两个直角三角形一定相似 D .两个等边三角形一定相似10.梯形的中位线长为12 cm，上、下底之比为1∶3，则梯形的上、下底之差是－12 Ｗ.11.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（A）A.ADAB＝AEACB.DFFC＝AEECC.ADDB＝DEBCD.DFBF＝EFFC12.（xx·宜宾模拟）如图，在矩形ABCD中E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为F，连结DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②tan∠CAD＝2；③DF＝DC；④CF＝2AF，正确的是（C）A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形
知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。
a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。
5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。
6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。
7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。
8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。
说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。
比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。
11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。
13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。
九年级下册数学《相似》重点知识整理
九年级下册数学《相似》重点知识整理《相似》重点知识27.1 图形的相似1、相似的定义如果两个图形形状相同,但大小不一定相等,那么这两个图形相似。
（相似的符号：∽）2、相似的判定如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。
3、相似比相似多边形的对应边的比叫相似比。
相似比为1时，相似的两个图形全等相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。
相似多边形的周长比等于相似比。
相似多边形的面积比等于相似比的平方。
27.2 相似三角形1、相似三角形的判定（★重难点）（1）.平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似（2）三边对应成比例（3）两边对应成比例,且夹角相等（4）两个三角形的两个角对应相等★常考题型：1、利用三角形的相似测量塔高、河宽2、相似三角形判定的常用模型A字型、8字型、三等角模型3、相似的性质1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比。
2.相似三角形周长的比等于相似比。
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方4.多边形的面积的比等于相似比的平方，周长比等于相似比。
27.3 位似1、定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。
2、位似的相关性质（1）位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。
（2）位似多边形的对应边平行或共线。
（3）位似可以将一个图形放大或缩小。
（4）位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。
（5）根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。
★易错点1、位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；2、两个位似图形的位似中心只有一个；3、两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；4、位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；5、平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点+易错点汇总
第六章《图形的相似》知识点一：比例线段1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质：(1)基本性质：a cb d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。
知识点二 ：相似三角形的性质与判定5. 相似三角形的判定：(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. FE DC B A学 班级 姓名 考试号-----------------------------------------------------------密---------------------------------封----------------------------------线--------------------------------------(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC∽△DEF.6.相似三角形的性质：(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例2：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为 .(2) 如图，DE∥BC， AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG= .【学习目标】1.加深了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段，认识图形的相似、位似等概念和性质．2.理解相似图形的性质与判定、位似的性质与把一个图形放大或缩小，在同一坐标系下感受位似变换后点的坐标的变化规律.【重点难点】重点：利用相似三角形知识解决实际的问题；位似的应用及在平面直角坐标系中作位似图形．难点：如何把实际问题抽象为相似三角形、位似形这一数学模型.【知识回顾】1、相似三角形定义：_________________________．2、判定方法：__________________________3、相似三角形性质：（1）对应角相等，对应边成比例；（2）对应线段之比等于；（对应线段包括哪几种主要线段？）（3）周长之比等于；（4）面积之比等于．4、相似三角形中的基本图形．（1）平行型（X型，A型）; （2）交错型；（3）旋转型；（4）母子三角形.5、位似形的性质： .6、将一个图形按一定的比例放大或缩小的步骤为： . 【综合运用】1.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.2如图，在等腰三角形△ABC中，底边BC=60cm，高AD=40cm，四边形PQRS是正方形，S,R分别在AB,AC上，SR与AD相交于点E.（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.【矫正补偿】如图1，已知矩形ABED，点C是边DE的中点，且AB = 2AD．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）保持图1中ABC固定不变，绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中（当垂线段AD、BE在直线MN的同侧），试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系？并给予证明．【完善整合】1.通过本节课的学习你有那些收获?2.你还有哪些疑惑？第六章《图形的相似》易错疑难易错点1 对黄金分割的概念理解不清而出现漏解AB ，点C是线段AB的黄金分割点，则AC的长为.1. 已知线段20易错点2 找不准三角形的对应关系2. 如图，ACD ∆和ABC ∆相似需具备的条件是() A.AC AB CD BC =； B. CD BCAD AC=C. 2AC AD AB =；D. 2CD AD BD =易错点3 混淆相似三角形的性质，误认为相似三角形的面积比等于相似比 3. 如图，若ADE ABC ∆∆，DE 与AB 相交于点D ，与AC 相交于点E ，2DE =，5BC =，20ABC S ∆=，求ADE S ∆的值.易错点4 不能区分“相似”写“”的含义4. 如图，在矩形ABCD 中，10,4AB AD ==，点P 是边AB 上一点，连接,PD PC ，若APD ∆与BPC ∆相似，则满足条件的点P 有 个.第4题第5题5. 如图，ABC ∆中，90C ∠=︒，16BC =cm ，12AC =cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点,P Q 分别从点,B C 同时出发，设运动时间为t s ，当t = 时，CPQ ∆与CBA ∆相似. 疑难点1 相似三角形的判定和性质的综合应用1. 如图是一块含30°角的直角三角板，它的斜边8AB =8cm ，里面空心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边间的距离都是1 cm ，那么DEF ∆的周长是( )A. 5cm ；B. 6cm ；C. (63)-cm ；D. (33)+cm第1题第2题2. 如图，已知矩形ABCD ，2,6AB BC ==，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位长度的速度运动，当点E 运动到点A 时，,E F 两点停止运动.连接BD ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，连接EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连接,CF EC .给出下列结论:①CDE CBF ∆∆;②DBC EFC ∠=∠;③DE HGAB EH=;④GH 10.上述结论正确的个数为( )A.1B. 2C. 3D. 4 疑难点2 相似图形中的规律探索3.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB 的两边,OA OC 分别在x 轴和y 轴上，且2,1OA OC ==.在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O 为位似中心放大为原来的32倍，得到矩形111A OC B ，再将矩形111A OC B 以原点O 为位似中心放大32倍，得到矩形222A OC B ……依此类推，得到的矩形n n n A OC B 的对角线交点的坐标为 .第3题 第4题4.如图，已知正方形11ABC D 的边长为1，延长11C D 到1A ，以11A C 为边向右作正方形1122AC C D ，延长22C D 到2A ，以22A C 为边向右作正方形2233A C C D ……依此类推，若112A C =，且点12310,,,,,A D D D D …都在同一直线上，则正方形991010A C C D 的边长是 .疑难点3 相似三角形与函数等知识的综合5. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式．（2）当P 在什么位置时，△OP A 为直角三角形，求出此时P 点的坐标．疑难点4 动态问题中的相似三角形6.如图，在直角坐标系中，点(0,4),(3,4),(6,0)A B C --，动点P 从点A 出发以1个单位长度/秒的速度在y 轴上向下运动，动点Q 同时从点C 出发以2个单位长度/秒的速度在x 轴上向右运动，过点P 作PD y ⊥轴，交OB 于点D ，连接DQ .当点P 与点O 重合时，两动点均停止运动.设运动的时间为t 秒.(1)当1t =时，求线段DP 的长;(2)连接CD ，设CDQ ∆的面积为S ，求S 关于t 的函数表达式，并求出S 的最大值; (3)运动过程中是否存在某一时刻，使ODQ ∆与ABC ∆相似?若存在，请求出所有满足要求的t 的值;若不存在，请说明理由参考答案例1. 5(5－1)；例 2.（1）9：4；（2）1：2 综合运用：1.分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，AB ∥CD ，即得∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°，再由∠AFE +∠AFD =180°，∠AFE =∠B ，可得∠AFD =∠C ，问题得证； （2）根据平行四边形的性质可得AD ∥BC ，CD =AB =4，再根据勾股定理可求得DE 的长，再由△ADF ∽△DEC 根据相似三角形的性质求解即可. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥CD ∴∠ADF =∠CED ，∠B +∠C =180°∵∠AFE +∠AFD =180，∠AFE =∠B ∴∠AFD =∠C ∴△ADF ∽△DEC ； 解：（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，CD =AB =4。
九年级下册数学相似-知识点总结
九年级下册数学相似-知识点总结数学是一门让人们头疼的学科，尤其是在九年级下册的数学中，相似这个概念可能是让学生犯迷糊的一个知识点。
相似是几何学中一个非常重要的概念，它在解决几何问题时经常被运用。
在本文中，我将对九年级下册数学中与相似有关的知识进行总结和归纳，希望能够为同学们带来一些帮助。
1. 相似的基本概念相似指的是两个或多个图形在形状上相同，但是大小不同的情况。
当两个图形相似时，它们的对应边长之比相等，而对应的角度也相等。
这就是相似的基本概念。
在解决相似问题时，我们通常会用到比例和比例的性质。
2. 相似三角形相似三角形是相似的一个重要例子。
在解决相似三角形的问题时，我们可以利用三角形内角、相似三角形边长的比例关系，运用相似三角形的性质解题。
此外，还可以运用相似三角形的性质证明一些结论，如直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3. 相似的判定条件在判断两个图形是否相似的情况下，我们有一些判定条件可以依据。
其中一个常见的判定条件是AA相似判定法，也就是两个图形的对应角相等。
另一个常见的判定条件是三边比例相等判定法，也就是两个图形的三条边对应的比值相等。
这些判定条件可以帮助我们在解决相似问题时迅速确定是否相似。
4. 相似比例的运用相似比例是解决相似问题的关键。
当我们确定了两个相似图形之间的比例关系后，我们可以利用相似比例计算未知边长或角度，并解决与相似有关的各种几何问题。
在运用相似比例时，我们需要注意单位的转换和计算的准确性。
5. 长方体与正方体的相似在相似的概念中，长方体与正方体的相似问题也是常见的。
当两个立体图形相似时，它们的对应面的积之比等于对应边长的比值的平方。
我们可以运用这一性质解决立体几何中的相似问题，例如求解一个长方体与正方体的边长比例。
总结起来，在九年级下册的数学学习中，相似是一个重要的几何概念，掌握相似的基本概念、判定条件和相似比例的运用是解决相似问题的关键。
要注意运用相似比例时的单位转换和计算准确性。
九年级《图形的相似》知识点归纳
苏科版九下《图形的相似》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：512长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形（3）合、分比性质：a c a b c db d b d±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“斜边和一直角边对应成比例”（3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）FE D CB A E BD E D(3)B C AE DBC(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
初三数学《相似三角形》知识点归纳
初三数学《相似三角形》知识提纲(何老师归纳)一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2：比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：cda b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。
③ 比例中项:若c a b c a b cbb a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质1.比例的基本性质:bc ad dcb a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=±3.等比：若……（若……）a b c d e f mn k b d f n =====++++≠04、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=215-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到=.=，=，nmb a =语言描述如下：=，=，=.（4）上述结论也适合下列情况的图形：图（2） 图（3） 图（4） 图（5）2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.A 型 X 型由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或. 3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 如上图：若=.=，=，则AD ∥BE ∥CF此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.4.定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例. 二：相似三角形： （一）：定义：1：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第6章 图形的相似与解直角三角形 第19讲 解直角三角形(精练)课件
2019/7/13
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编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第5章
第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似河北五年中考真题及模拟图形相似的判定及性质1．(2016河北中考)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( C),A),B),C) ,D) 2．(2014河北中考)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.图①图②乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是( A)A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对图形的位似3．(2017保定中考模拟)图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是( D)A．点M B．点N C．点O D．点P4．(2017保定中考模拟)若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( A) A．87°B．60°C．75°D．120°5．(2017唐山中考模拟)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是( D)①∠B和∠A互为补角；②∠A和∠ADE互为余角；③△ABC∽△ADE；④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；⑤△ABC与△ADE位似．A．4 B．2 C．1 D．36．(2016沧州八中一模)如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于( A)A．5∶8 B．3∶8C．3∶5 D．2∶5(第6题图)(第7题图)7．(2016石家庄二十八中一模)如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，BG＝42，则△EFC的周长为( D)A．11 B．10 C．9 D．88．(2016保定中考模拟)在直角坐标系中，已知点A(－2，0)，B(0，4)，C(0，3)，过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作( C)A．2条B．3条C．4条D．6条9．(2016邯郸一模)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF ＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为( D)A．4 B．2C．5 D．310．(2016保定十七中一模)下列四组图形中，一定相似的是( D)A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形11．(2016石家庄二十八中一模)如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.(1)求证：AC＝AD＋CE；(2)若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求DPPQ的值．解：(1)∵∠A＝∠C＝90°，DB ⊥BE ，∴∠ADB ＋∠ABD＝90°，∠ABD ＋∠EBC＝90°. ∴∠ADB ＝∠EBC.又AD ＝BC ，∴△ADB ≌△CBE(ASA )， ∴AB ＝CE.∴AC＝BC ＋AB ＝AD ＋CE ； (2)过点Q 作QH⊥BC 于点H.则△ADP∽△HPQ，△BHQ ∽△BCE ， ∴AD HP ＝AP HQ ，BH BC ＝QH EC. 设AP ＝x ，QH ＝y ，则有BH 3＝y5，∴BH ＝3y 5，PH ＝3y5＋5－x ，∴33y 5＋5－x ＝x y ，即(x －5)·(3y－5x)＝0. 又点P 不与A ，B 重合， ∴x ≠5，即x －5≠0. ∴3y －5x ＝0，即3y ＝5x. ∴DP PQ ＝x y ＝35.12．(2016河北中考)如图①，E 是线段BC 的中点，分别以B ，C 为直角顶点的△EAB 和△EDC 均是等腰直角三角形，且在BC 的同侧．(1)AE 和ED 的数量关系为________； AE 和ED 的位置关系为________；(2)在图①中，以点E 为位似中心，作△EGF 与△EAB 位似，H 是B C 所在直线上的一点，连接GH ，HD ，分别得到图②和图③.①在图②中，点F 在BE 上，△EGF 与△EAB 的相似比是1∶2，H 是EC 的中点，求证：GH ＝HD ，GH ⊥HD.②在图③中，点F 在BE 的延长线上，△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，若BC ＝2，请直接写出CH 的长为多少时，恰好使得GH ＝HD 且GH⊥HD.(用含k 的代数式表示)解：(1)AE ＝ED ；AE⊥ED；(2)①由题意，得∠B＝∠C＝90°， AB ＝BE ＝EC ＝DC.∵△EGF 与△EAB 的相似比为1∶2，∴∠GFE ＝∠B＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE ＝∠C. ∵H 是EC 的中点，∴EH ＝HC ＝12EC ，∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF ≌△DHC.∴GH ＝HD ，∠GHF ＝∠HDC. ∵∠HDC ＋∠DHC＝90°， ∴∠GHF ＋∠DHC＝90°. ∴∠GHD ＝90°，∴GH ⊥HD ； ②∵GH ＝HD ，GH ⊥HD ， ∴∠FHG ＋∠DHC＝90°.∵∠FHG ＋∠FGH＝90°，∴∠FGH ＝∠DHC. 在△FGH 和△CHD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FGH ＝∠CHD，∠GFH ＝∠HCD，GH ＝HD ，∴△GFH ≌△HCD.∴FG ＝CH. ∵EF ＝FG ，∴EF ＝CH.∵△EGF 与△EAB 的相似比是k∶1，BC ＝2， ∴BE ＝EC ＝1，∴EF ＝k ，∴CH 的长为k.,中考考点清单)比例的相关概念及性质1．线段的比：两条线段的比是两条线段的__长度__之比．2．比例中项：如果a b ＝b c，即b 2＝__ac__，我们就把b 叫做a ，c 的比例中项．3．比例的性质性质 内容性质1a b ＝cd ⇔__ad__＝bc(a ，b ，c ，d ≠0)．性质2如果a b ＝c d ，那么a ±b b ＝c ±dd.性质3 如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)，则a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝__mn(不唯一)__.4.黄金分割：如果点C 把线段AB 分成两条线段，使AB ＝__BCAC__，那么点C 叫做线段AC 的__黄金分割点__，AC 是BC 与AB 的比例中项，AC 与AB 的比叫做__黄金比__．相似三角形的判定及性质5．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．6．性质：(1)相似三角形的__对应角__相等；(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；(3)相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__． 7．判定：(1)__有两角__对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似； (3)三边__对应成比例__，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似． 【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1)；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定(1)]或再找夹边成比例[用判定(2)]； (3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．如：AB BC ＝DEEF ，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明．相似多边形8．定义：对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．9．性质：(1)相似多边形的对应边__成比例__；(2)相似多边形的对应角__相等__；(3)相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．位似图形10．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上)，那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．11．性质：(1)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于__k或－k__；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．12．找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．13．画位似图形的步骤：(1)确定__位似中心__；(2)确定原图形的关键点；(3)确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．,中考重难点突破)比例的性质【例1】已知a 5＝b 4＝c3，且3a －2b ＋c ＝20，则2a －4b ＋c 的值为________．【解析】比例的性质中常见题型，把a ，b ，c 用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可． 【答案】－61．(2015沧州十三中一模)若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋yz －y的值是( A )A ．－5B ．－103C .103D ．5相似三角形的判定与性质【例2】(茂名中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒3 cm 的速度向点A 运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒2 cm 的速度向点B 运动，运动时间为t s ⎝⎛⎭⎪⎫0<t<103，连接MN. (1)如图①，若△BMN 与△ABC 相似，求t 的值； (2)如图②，连接AN ，CM ，若AN⊥CM，求t 的值．【解析】(1)△BMN 与△ABC 相似，分两种情况：△BMN∽△BAC 和△BMN∽△BCA ，得对应线段成比例，求得t 的值；(2)过点M 作MD⊥BC 于点D ，把BM ，DM ，BD ，CN 用t 表示后，CD 就可用t 表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t 的方程，求出t 的值．【答案】解：(1)由题意知BA ＝62＋82＝10(cm )，BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ， ∴BN ＝(8－2t)cm .①当△BMN∽△BAC 时，有BM BA ＝BNBC，∴3t 10＝8－2t 8，解得t ＝2011； ②当△BMN∽△BCA 时，有BM BC ＝BNBA，∴3t 8＝8－2t 10，解得t ＝3223. ∴当△B MN 与△ABC 相似时，t 的值为2011或3223；(2)如图②，过点M 作MD⊥CB 于点D. 由题意得BM ＝3t cm ，CN ＝2t cm ，DM ＝BM·sin B ＝3t·610＝95t(cm )，BD ＝BM·cos B ＝3t·810＝125t(cm )，∴CD ＝⎝⎛⎭⎪⎫8－125t cm .∵AN ⊥CM ，∠ACB ＝90°，∴∠CAN ＋∠ACM ＝90°，∠MCD ＋∠ACM＝90°， ∴∠CAN ＝∠MCD.∵MD ⊥CB ，∴∠MDC ＝∠ACB＝90°，∴△CAN ∽△DCM.∴AC CD ＝CNDM，∴68－125t ＝2t 95t，解得t ＝1312.2．如图，不等长的两对角线AC ，BD 相交于点O ，且将四边形ABCD 分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA ∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是( B )A ．甲、丙相似，乙、丁相似B ．甲、丙相似，乙、丁不相似C ．甲、丙不相似，乙、丁相似D ．甲、丙不相似，乙、丁不相似3．(自贡中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边的中点，求证：DE 綊12BC.证明：∵D 是AB 的中点，E 是AC 的中点， ∴AD AB ＝12，AE AC ＝12， ∴AD AB ＝AE AC. 又∵∠A＝∠A，∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC ＝12，∠ADE ＝∠B， ∴BC ＝2DE ，BC ∥DE ，即DE 綊12BC.位似图形【例3】(2016承德二中模拟)如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC在y 轴上，如果矩形OA′B′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是( D )A ．(－2，3)B ．(2，－3)C ．(3，－2)或(－2，3)D ．(－2，3)或(2，－3)【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′. 【答案】D4．(2016沧州八中二模)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO＝CD.若B(1，0)，则点C的坐标为( B)A．(1，2)B．(1，1)C．(2，2)D．(2，1)。
初中数学九年级下册《6.0第6章 图形的相似》PPT课件
又∵ ∠E=∠B ∴ ∠1=∠E
D1
M
A C
而(3∠)∵A△MDM=A∠D∽E△MAME∴A △∴MDAAM MD∽AEM M△MEA
典型例题
AE 2
例3、已知△ABC中，EC 1，DE//BC,△DEF的面
积为4. (1)求 D BCE的值
A
(2)求△BCF的面积 (3)求△CEF的面积
形的相似比叫位似比。
.
知识回顾 5、相似三角形的应用
（1）平行投影
在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影。 在平行光线的照射下，不同物体的物高与影长成比例。
（2）中心投影
在点光源照射下，物体所产生的影称为中心投影。
（3）盲区 视0 D 点E
视线
盲区 视线
B C
典型例题
快点吧！
例1、(1)下列结论中正确的是 ①②④ .
1、阳光通过窗口照到教室内，竖直的窗框AB在 地面上留下2m长的影子ED（如图），已知窗框 的影子到窗框下墙角的距离EC是4m，窗口底边 离地面的距离BC是1.2m，试求窗框AB的高度。
解：∵BD//AE
∴CD△CCBBD～2 △1.C2AE
CE CA 4 CA
∴
E2A? B Nhomakorabea1.2
2 D
C
解得：AC=2.4 则
现实问题解决
2、如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的 南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有一 根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点O处看北岸， 发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮
住米，．并22且.5在这两棵树之间还有三棵C 树，5北0则F岸?河宽为D A 2O0E15南B 岸
知识回顾 3、相似三角形有哪些性质？
初三数学《相似三角形》知识点归纳(K12教育文档)
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初三数学《相似三角形》知识提纲(孟老师归纳）一：比例的性质及平行线分线段成比例定理（一)相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是,或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项2:比例尺= 图上距离／实际距离3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段,记作：c d a b =(或a:b=c:d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，② 线段a 叫首项,d 叫a ，b ，c 的第四比例项.③ 比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. (二）比例式的性质1.比例的基本性质：bc ad dc b a =⇔= 2.合比：若，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0则…………a c e m b d f n a b m n k ++++++++===4、黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC,BC （AC>BC)，并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中n m b a =AC=215-AB≈0.618AB,（三)平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
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第六章 图形的相似与解直角三角形
第十八讲 相似
1．(2017重庆中考)若△ABC∽△DEF 相似比为3∶2，则对应高的比为(A )
A ．3∶2
B ．3∶5
C ．9∶4
D ．4∶9
2．如图，已知AB ，CD ，EF 都与BD 垂直，垂足分别是B ，D ，F ，且AB ＝1，CD ＝3，
那么EF 的长是(C )
A .13
B .23
C .34
D .45
3．已知△ABC∽△A′B′C′且AB A′B′＝12
，则S △ABC ∶S △A ′B ′C ′为(C ) A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶4D ．4∶1
4．若y x ＝34，则x ＋y x
的值为(D ) A ．1 B .47C .54D .74
5．若x∶y＝1∶3，2y ＝3z ，则2x ＋y z －y 的值是(A ) A ．－5 B ．－103C .103
D ．5
6．如图，已知在△ABC 中，点D ，E ，F 分别是边AB ，AC ，BC 上的点，DE ∥BC，EF ∥AB ，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB 等于(A ) A ．5∶8 B ．3∶8 C ．3∶5 D ．2∶5
,(第6题图)),(第7题图))
7．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE∥BC，若S △ADE ∶S △BDE ＝1∶2，则S △ADE ∶S △BEC ＝(B ) A ．1∶4 B ．1∶6 C ．1∶8 D ．1∶9
8．如图所示，在平面直角坐标系中，有两点A(4，2)，B(3，0)，以原点为位似中心，A ′B ′与AB 的相似比为1∶2，得到线段A′B′.正确的画法是(D )
,A ),B )
,C ),D )
9．(河北中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为(B )
A .12
B ．2
C ．3
D ．4
10．如图所示，△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ∶AB ＝1∶3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为__1∶9__．
,(第10题图))
,(第11题图)) 11．如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积
分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝__8__． 12．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA ∶OC ＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B )
A ．①与②相似
B ．①与③相似
C ．①与④相似
D ．②与④相似
,(第12题图)),(第13题图))
13．在△ABC 中，D ，E 分别是边AB 与AC 的中点，BC ＝4，下面四个结论：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4；④△ADE 的周长与△ABC 的周长之比为1∶4；其中正确的有__①②③__．(只填序号)
14．(2017随州中考)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当AE ＝__125或53
__时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
15．(2017浙江中考)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连结AE ，则△ABE 的面积等于__78__．
16．如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．
解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，
∴∠AMB ＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，∴∠AFE ＝90°，
∴∠B ＝∠AFE，∴△ABM ∽△EFA ；
(2)∵∠B＝90°，AB ＝12，BM ＝5，
∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝12.
∵F 是AM 的中点，
∴AF ＝12
AM ＝6.5. ∵△ABM ∽△EFA ，
∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE
， ∴AE ＝16.9，
∴DE ＝AE －AD ＝4.9.
17．(2017武汉中考改编)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，CD ＝10，DA ＝55，则
BD 的长为．
18．(2017衢州中考)如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D ，连结OD.作BE⊥CD 于点E ，交半圆O 于点F.已知CE ＝12，BE ＝9.。