7.44、变量的相关性与统计案例

【基础检测】
1． (2012 新课标)在一组样本数据(x1， y1)， (x2， y2)， „， (xn，yn)(n≥2，x1，x2，„，xn 不全相等)的散点图中， 1 若所有样本点(xi，yi)(i＝1，2，„，n)都在直线 y＝2x＋ 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为( D ) 1 A．－1 B．0 C.2 D．1 【解析】利用相关系数的意义直接作出判断． 样本点都在直线上时，其数据的估计值与真实值是 相 等 的 ， 即 yi ＝ ^ yi，代入相关系数公式 r＝
【点评】 本题是根据调查的人数列出 2×2 列联表计 算 K2 的值， 与确定的临界值比较后， 可得两个变量是否 相关，这也是解决此类问题的通法．
三、回归分析 例3下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产 品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准 煤)的几组对照数据． x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关 于 x 的线性回归方程^ y ＝^ b x＋^ a； (3)已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程．预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参数数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)
第44讲 变量的相关性、统计案例
【学习目标】 1． 会作两个有关联变量数据的散点图， 会利用散点 图认识变量间的相关关系． 2． 了解最小二乘法的思想， 能根据给出的线性回归 方程系数公式建立线性回归方程． 3．会求回归方程模型，并能进行相关性检验． 4．了解独立性检验的含义，知道什么是 2×2 列联 表． 5．会运用独立性检验的方法判断事件 A 与事件 B 的关系． 6．掌握相关性检验的步骤．
A．x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B．x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C．当 n 为偶数时，分布在 l 两侧的样本点的个数 一定相同 D．直线 l 过点(x，y)
【解析】 选 具体分析 结论 项 相关系数用来衡量两个变量之间的相关 A 程度， 直线的斜率表示直线的倾斜程度； 不正确 它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负， 还可以是 0； 当 相关系数在 0 到 1 之间时，两个变量为 B 不正确 正相关， 在－1 到 0 之间时， 两个变量负 相关 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性 C 不正确 无关，也不一定是平均分布 回归直线 l 一定过样本点中心(x，y)；由 D 回归直线方程的计算公式^ a ＝ y－ ^ b x 可知 正确 直线 l 必过点(x，y)
2 ^ ∑ （ y － y ） i i i＝ 1 1－ n ＝1. 2 － ∑ （ y i－ y ） ＝ i 1 n
2．设(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点，直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法 得到的线性回归方程(如图)，以下结论中正确的是( D )
(3)可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否 有关系，并且能较为准确地给出这种判断的可靠程度， 具 体 做 法 是 ： 根 据 观 测 数 据 计 算 由 公 式 K2 ＝ n（ad－bc）2 所给出的检验随机 （a＋b）（a＋c）（c＋d）（b＋d） 变量的观测值 k，并且 k 的值越大，说明“X 与 Y 有关 系”成立的可能性越大，同时可以利用以下数据来确定 “X 与 Y 有关系”的可信程度． 如果 k＞10.828，就有 99.9%的把握认为“X 与 Y 有关系”； 如果 k＞7.879，就有 99.5%的把握认为“X 与 Y 有 关系”；
n
3．独立性检验 (1)分类变量 用变量的不同“值”，表示个体所属的不同类别， 这种变量称为分类变量．例如：是否吸烟，宗教信仰， 国籍等． (2)列联表： 即列出两个分类变量的频数表： 一般地， 假设有两个分类变量－ x 和－ y， 它们的值域分别为{x1， x2} 和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为： y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋ d 合计 a＋c b＋d n 其中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量．
3.下表是 x 与 y 之间的一组数据，据 y 关于 x 的线 性回归方程^ y ＝^ b x＋^ a 必过( D ) x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 A.点(2，2) B．点(1.5，2) C．点(1，2) D．点(1.5，4)
【解析】y 关于 x 的线性回归方程表示的直线恒过
1 3 1 y y x x 点( ， )，而 ＝4×(0＋1＋2＋3)＝2， ＝4(1＋3＋5
【解析】回归方程必过样本中心( x ， y
-
-
)，A 正确；
由回归分析知识知 B 正确；相关指数 R2 越小，说明线 性相关程度越弱，C 错误；由|r|＞r0.05，则有 95%的把 握说明 y 和 x 之间具有线性相关关系．故选 C.
二、独立性检验 例2为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助， 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结 果如下： 性别 男 女 是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老 年人的比例； (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需 要志愿者提供帮助与性别有关？
5． 为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有 关，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2×2 列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知 P(k2≥3.841)≈0.05，P(k2≥5.024)≈0.025.
2 50 ×（ 13 × 20 － 10 × 7 ） 根据表中数据，得到 k2＝ 23×27×20×30
一、两个变量的相关关系 例1对两个变量 y 和 x 进行回归分析， 得到一组样本 数据：(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)，则下列说法中 不正确 的是( C ) ．．． A．由样本数据得到的回归方程^ y ＝bx＋a 必过样本 中心(－ x ，－ y) B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C．用相关指数 R2 来刻画回归效果，R2 越小，说明 模型的拟合效果越好 D．若变量 y 和 x 之间的相关系数为 r＝－0.936 2， 则变量 y 和 x 之间具有线性相关关系
-
2
∑ ＝1xiyi－n i ＝ n 2 ∑ ＝1xi －n i
n
－ x－ y ，^ a ＝－ y －^ b 2 － x
(4)样本的相关系数 n -
xi yi - n x y i =1
2
-
i =1 i =1 r＝ . 当 r＞0 时，表示两个变量正相关，当 r＜0 时，表 示两个变量负相关，|r|越接近于 1，表明两个变量的线 性相关性越强；|r|越接近于 0，表明两个变量之间几乎 不存在线性相关关系． 通常当|r|>0.75 时， 认为两个变量 有很强的线性相关关系． 2．回归分析 (1)线性回归模型 y＝bx＋a＋e， 其中 a，b 称为模型中的未知参数，e 称为随机误差；
【分析】(2)问利用公式求^ a 、^ b ，即可求出线性回归 方程． (3)问将 x＝100 代入回归直线方程即可．
【解析】 (1)由题设所给数据， 可得散点图如图所示．
2 (2)由对照数据，计算得：i∑ x ＝1 i ＝86，
4
x＝
3＋4＋5＋6 ＝4.5(吨)， 4 2.5＋3＋4＋4.5 y＝ ＝3.5(吨)． 4 已知∑ i＝1xiyi＝66.5， 所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为： ∑ y i＝1xiyi－4x· ^ b＝ 4 2 2 ∑ x － 4 x i i＝ 1 66.5－4×4.5×3.5 ＝ ＝0.7， 86－4×4.52
如果 k＞6.635， 就有 99%的把握认为“X 与 Y 有关 系”； 如果 k＞5.024，就有 97.5%的把握认为“X 与 Y 有 关系”； 如果 k＞3.841， 就有 95%的把握认为“X 与 Y 有关 系”； 如果 k＞2.706， 就有 90%的把握认为“X 与 Y 有关 系”； 如果 k≤2.706，就认为没有充分的证据显示“X 与 Y 有关系”． 这种利用随机变量 k2 来确定在多大程度上可以认 为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量 的独立性检验．
(3)如果散点图中，具有相关关系的两个变量所有观 察值的数据点，分布在一条直线附近，则称这两个变量 具有 线性相关关系 ， 这条直线叫做 回归直线 ， 方程为^ y ＝^ b x＋^ a，
n
(x - x )(y - y )
i i
-
-
其中 ^ b＝ － x.
i=1
(x - x )
i i=1
n
(x i - x )
n
(y i - y ) 2
n
-
2 ^ ∑ （ y － y ） i i i＝ 1 1－ n 2 2 － ∑ （ y － y ） i (2)相关指数 R ＝ ． i＝ 1 用 R2 来刻画回归的效果，R2 越大，说明残差平方 和越小，表示 拟合效果越好 ．在线性回归模型中 R2 表示解释变量对预报变量变化的贡献率．R2 越接近 1， 表示回归效果越好． (3)建立回归模型的基本步骤 ①确定研究对象，明确解释变量与预报变量； ②画出解释变量与预报变量的散点图； ③由经验确定回归方程的类型； ④估计回归方程中的参数； ⑤分析残差图是否异常，若存在异常，则检查数据 是否有误，或模型是否合适等．
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^ a ＝ y －^ b x＝3.5－0.7×4.5＝0.35. 因此，所求的线性回归方程为： ^ y ＝0.7x＋0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的 生产能耗，得降低的生产能耗为： 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨)标准煤．
(3)根据(2)的结论， 能否提出更好的调查方法来估计 该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比 例？说明理由． 附： P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828