计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( )A ．B ．C ．D ．2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( )A ．2,6B ．2,7C ．3,6D ．3,73．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋f －1g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋52＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( )5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A ．243B ．252C ．261D ．2796．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝－； ② y 与x 负相关且y ^＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^＝＋； ④y 与x 正相关且y ^＝－－.其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③C ．③④D ．①④7．为了估计某水池中鱼的尾数，先从水池中捕出2000尾鱼，并给每尾鱼做上标记(不影响存活)，然后放回水池，经过适当的时间，再从水池中捕出500尾鱼，其中有标记的鱼为40尾，根据上述数据估计该水池中鱼的尾数为( )A ．10000B ．20000C ．25000D ．300008．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为( )A ．1－π8 B ．1－π4 C ．1－π2D ．1－3π49．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由K 2＝nad －bc a ＋bc ＋da ＋cb ＋d，得K 2＝110×40×30－20×20260×50×60×50≈.附表：A ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 10．二项式(x 2＋2x)10的展开式中的常数项是( ) A ．第10项 B ．第9项 C ．第8项 D ．第7项11．给出下列五个命题：①将A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体为9个，则样本容量为30；②一组数据1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③甲组数据的方差为5，乙组数据为5,6,9,10,5，那么这两组数据中比较稳定的是甲；④已知具有相关关系的两个变量满足的回归直线方程为y＝1－2x，则x每增加1个单位，y平均减少2个单位；⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[,内的频率为.其中真命题为()A．①②④B．②④⑤C．②③④D．③④⑤12．已知x，y的取值如下表：从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y＝＋a，则a＝()A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13从某500件产品中随机抽取50件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将这500件产品按001,002,003，…，500进行编号．如果从随机数表第7行第4列的数2开始，从左往右读数，则依次抽取的第4个个体的编号是________．(下面摘录了随机数表第6行至第8行各数)16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 72 06 50 25 83 42 16 33 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7914．若对任意的实数x，有x4＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3＋a4(x＋2)4，则a3的值为________．15．在三棱锥P－ABC中，任取两条棱，则这两条棱异面的概率是________．16．一袋中装有分别标记着1,2,3数字的3个小球，每次从袋中取出一个球(每只小球被取到的可能性相同)，现连续取3次球，若每次取出一个球后放回袋中，记3次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为X，Y，设ξ＝Y－X，则E(ξ)＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某水泥厂甲、乙两个车间包装水泥，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99乙：110,115,90,85,75,115,110(1)画出这两组数据的茎叶图；(2)求出这两组数据的平均值和方差(用分数表示)；并说明哪个车间的产品较稳定．(3)从甲中任取一个数据x(x≥100)，从乙中任取一个数据y(y<100)，求满足条件|x－y|≤20的概率．18．(本小题满分12分)在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，选课情况如下表：科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912(1)求选出的4人均选科目乙的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．19．(本小题满分12分)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如下.(1)计算样本的平均成绩及方差；(2)现从10个样本中随机抽出2名学生的成绩，设选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．20．(本小题满分12分)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．21．(本小题满分12分)某班同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：(1)从A ，B (2)在B 小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X ，求X 的分布列和期望E (X )．22．(本小题满分14分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立．求：(1)打满4局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数ξ的分布列与期望E (ξ)．数学卷（十九）1． A 因为ξ服从正态分布N (1，σ2)，所以P (ξ≤4)＝P (ξ≥－2)＝，故P (ξ≤－2)＝1－P (ξ≥－2)＝1－＝.2． D x ＝17×5－(9＋12＋10＋27＋24)＝3，∵15<10＋y <18且中位数为17，∴y ＝7，故选D.3． A 根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有C 24种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有C 34种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法C 24＋C 34＝10种．4． B 令h (x )＝fx gx ＝a x ，则h ′(x )＝f ′xgx －fxg ′x [gx ]2<0，∴h (x )是减函数，∴0<a <1.又f 1g 1＋f －1g －1＝52，∴a ＋1a ＝52，∴a ＝12.由Δ>0得b <25.又b ∈(0,1)，由几何概型概率公式得：p ＝25，选B.5． B 有两个重复数字时，①含2个0，有9种，②含1个0,0不能排在百位，∴有C 12C 19＝18种；③不含0，有C 19C 13C 18＝216种(或C 29C 12C 13＝216种)；有三个重复数字时，有C 19＝9种，∴共有含重复数字的三位数9＋18＋216＋9＝252个，故选B.6． D y 与x 正(或负)相关时，线性回归直线方程y ＝b ^x ＋a ^中，x 的系数b ^>0(或b ^<0)，故①④错．7． C 设估计该水池中鱼的尾数为n ，根据题意可得2000n ＝40500，解得n ＝25000.故C 正确．8． B ∵f (x )有零点，∴Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，∴a 2＋b 2≥π2，∵a ，b ∈[－π，π]， ∴所求概率P ＝4π2－π·π24π2＝1－π4，故选B. 9． C10． B 通项T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·(2x)r ＝2r ·C r 10x 20－5r 2，令20－5r 2＝0得r ＝8，∴常数项为第9项．11． B ①样本容量为9÷36＝18，①是假命题；②数据1,2,3,3,4,5的平均数为16(1＋2＋3＋3＋4＋5)＝3，中位数为3，众数为3，都相同，②是真命题；③x －乙＝5＋6＋9＋10＋55＝7，s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝15×(4＋1＋4＋9＋4)＝，∵s 2甲>s 2乙，∴乙稳定，③是假命题；④是真命题；⑤数据落在[,内的有：120,122,116,120共4个，故所求概率为410＝，⑤是真命题．12． B x －＝2，y －＝， ∵回归直线过样本点中心(2,， ∴＝×2＋a ^， ∴a ^＝，故选B.13． 206 按规定的读数方法，依次读取的数是：217,157,245,217,206，…，由于重复的数字应只保留1个，故读取的第4个个体的编号为206.14． －2 ∵x 4＝[(x ＋2)－2]4＝(x ＋2)4－2(x ＋2)3＋4(x ＋2)2－8(x ＋2)＋16，∴a 3＝－2. 15． 15 三棱锥中两条相对的棱所在直线是异面直线，共有3对，从6条棱中任取两条，可知有15种取法，∴取到两条棱异面的概率P ＝315＝15.16． 43 由题意知ξ的取值为0,1,2，ξ＝0，表示X ＝Y ，ξ＝1表示X ＝1，Y ＝2；或X ＝2，Y ＝3；ξ＝2表示X ＝1，Y ＝3.∴P (ξ＝0)＝333＝19，P (ξ＝1)＝2×2×333＝49， P (ξ＝2)＝2×3＋A 3333＝49， ∴E (ξ)＝0×19＋1×49＋2×49＝43. 17．解： (1)茎叶图如图：………………………………………………3分(2)x －甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100； x －乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100； S 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)＝247；S 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝16007，∵S 2甲<S 2乙，故甲车间产品比较稳定．………………………………………………6分(3)所有可能的情况有：(102,90)，(102,85)，(102,75)，(101,90)，(101,85)，(101,75)，(103,90)，(103,85)，(103,75)，不满足条件的有：(102,75)，(101,75)，(103,75)，所以P (|x －y |≤20)＝1－39＝23.………………………………………………10分18．解： (1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，且P (A )＝C 25C 26＝23，P (B )＝C 24C 26＝25，………………………………………2分所以选出的4人均选科目乙的概率为P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝23×25＝415.………………………………………………4分 (2)由条件知ξ可能的取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝415，P (ξ＝1)＝C 25C 26·C 12C 14C 26＋C 15C 26·C 24C 26＝2245，P (ξ＝3)＝C 15C 26·1C 26＝145，P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝29，………………………………………………9分ξ的分布列为：∴ξ的数学期望E (ξ)＝0×415＋1×2245＋2×29＋3×145＝1. ………………………………………………12分19．解： (1)样本的平均成绩x －＝92＋98×2＋85×2＋74×3＋60×210＝80，………………………………………2分 方差s 2＝110[(92－80)2＋(98－80)2×2＋(85－80)2×2＋(74－80)2×3＋(60－80)2×2]＝175. ………………………………………………5分(2)由题意知选出学生的分数为90分以上的人数为ξ，得到随机变量ξ＝0,1,2.P (ξ＝0)＝C 27C 210＝715，P (ξ＝1)＝C 13C 17C 210＝715，P (ξ＝2)＝C 23C 210＝115，……………………………………………9分分布列为：E (ξ)＝0×715＋1×715＋2×115＝35.………………………………………………12分20．解： (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝2466＝411.………………………4分(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对，故P (ξ＝2)＝6C 212＝111，于是P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611，………………………………………………8分 所以随机变量ξ的分布列是因此E (ξ)＝12分 21．解： (1)记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A ，P (A )＝12×45×13＋12×15×23＋12×45×23＝715，………………………………………5分 (2)在B 小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，P (X ＝k )＝C k 4C 3－k 16C 320，(k ＝0,1,2,3)，E (X )＝0×2857＋1×819＋2×895＋3×1285＝. ………………………………………………12分22．解：令A k ，B k ，C k 分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜．(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满4局比赛还未停止的概率为P (A 1C 2B 3A 4)＋P (B 1C 2A 3B 4)＝124＋124＝18.………………………………4分(2)ξ的所有可能值为2,3,4,5,6，且 P (ξ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝122＋122＝12， P (ξ＝3)＝P (A 1C 2C 3)＋P (B 1C 2C 3)＝123＋123＝14. P (ξ＝4)＝P (A 1C 2B 3B 4)＋P (B 1C 2A 3A 4)＝124＋124＝18. P (ξ＝5)＝P (A 1C 2B 3A 4A 5)＋P (B 1C 2A 3B 4B 5)＝125＋125＝116.P (ξ＝6)＝P (A 1C 2B 3A 4C 5)＋P (B 1C 2A 3B 4C 5)＝125＋125＝116.……………………………9分 故分布列为∴E (ξ)＝2×12＋3×14＋4×18＋5×116＋6×116＝4716.…………………………………12分。